Relatório 4 Capacitancia e Capacitores

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Universidade Federal de Itajubá
Engenharia de Computação
FIS 413
Capacitância e Capacitores
Mateus de Bem Vieira
ECO - 22519
Itajubá, Maio de 2012
Objetivos
Determinar a capacitância de um capacitor;
Fazer medidas da carga de um capacitor através da corrente;
Estudar a associação de capacitores em série e em paralelo.
Nesta oportunidade, teremos contato com capacitores e suas respectivas associações em série e paralelo. Poderemos também determinar as capacitâncias e cargas equivalentes para cada associação.
Para cada associação utilizaremos as seguintes fórmulas:
Capacitores em série:	
Capacitores em paralelo:
Para o cálculo da carga acumulada entre as placas utilizaremos: 
Introdução Teórica
Capacitores
Um capacitor é constituído por dois condutores isolados, de formatos arbitrários, com cargas de mesmo módulo e sinais contrários. O capacitor é caracterizado por q, o módulo da carga em qualquer um dos dois condutores e por (V, a diferença de potencial entre os dois condutores. Essas duas grandezas são proporcionais, a saber:
onde C é chamada de capacitância do capacitor. O símbolo elétrico do capacitor é este:
�
Ao se aplicar a um capacitor uma tensão contínua através de um resistor, esse se carrega com uma tensão, cujo valor depende do intervalo de tempo em que se desenvolverá o processo. A carga gerada poderá ser calculada pela relação abaixo:
Se um capacitor carregado é ligado a um condutor, ele se descarregará gradativamente.
Associação de Capacitores
Assim como os resistores, os capacitores podem ser associados em série e em paralelo. Quando associados, eles podem ser substituídos por um outro capacitor, com uma capacitância equivalente.
Os capacitores pode estar associados em série, como segue abaixo: 
�
A capacitância equivalente é dada por:
�
Os capacitores podem também estar associados em paralelo, como mostrado abaixo:
�
A capacitância equivalente será dada por:
�
Procedimento Experimental
Medidas da descarga do capacitor
	Primeiro ligamos um capacitor de 470 (F em série com uma fonte DC ajustada para 10 V, e um voltímetro para medir a voltagem em cima do capacitor como mostrado abaixo:
�
Inicialmente a chave estava fechada. Ligamos a fonte e o capacitor se carrega, praticamente instantaneamente. Então, abrimos a chave e iniciamos a medida da voltagem sobre o capacitor seguindo os intervalos de tempos pedidos (Tabela 1). Depois repetimos o processo com o capacitor de 1000µF e também para estes resistores ligados em série e em paralelo obtendo medidas de descarga segundo a tabela abaixo:
	 
	PARTE A
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Descarga do capacitor de 470µF e 1000µF
	
	Descarga dos capacitores em série e paralelo
	
	
	470µF
	1000µF
	
	Paralelo
	Série
	
	
	Tempo [s]
	Tensão [V]
	Tempo [s]
	Tensão [V]
	
	Tempo [s]
	Tensão [V]
	Tempo [s]
	Tensão [V]
	
	
	0
	10,0
	0
	10,0
	
	0
	10,0
	0
	10,0
	
	
	15
	8,4
	30
	8,6
	
	45
	8,6
	10
	8,6
	
	
	30
	7,2
	60
	7,4
	
	90
	7,4
	20
	7,4
	
	
	45
	6,2
	90
	6,3
	
	135
	6,2
	30
	6,3
	
	
	60
	5,2
	120
	5,4
	
	180
	5,4
	40
	5,4
	
	
	75
	4,8
	150
	4,8
	
	225
	4,6
	50
	4,7
	
	
	90
	4,0
	180
	4,0
	
	270
	4,0
	60
	4,0
	
	
	105
	3,4
	210
	3,6
	
	315
	3,4
	70
	3,5
	
	
	120
	2,8
	240
	3,0
	
	360
	3,0
	80
	3,0
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Medidas de carga do capacitor
	Agora realizamos a alteração do circuito conforme mostra a figura abaixo. Os capacitores antes são descarregados curto-circuitando seus terminais. Desta forma podemos realizar a medida de carga do capacitor:
�
Com a chave fechada, ligamos a fonte. Então, abrimos a chave e iniciamos a contagem do tempo e realizando as medidas das voltagens para ao capacitor de 470(F e 1000(F, depois com ambos os capacitores ligados primeiro em paralelo e depois em série obtendo:
	 
	PARTE B
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Carga do capacitor de 470µF e 1000µF
	
	Carga dos capacitores em série e paralelo
	
	
	470µF
	1000µF
	
	Paralelo
	Série
	
	
	Tempo [s]
	Tensão [V]
	Tempo [s]
	Tensão [V]
	
	Tempo [s]
	Tensão [V]
	Tempo [s]
	Tensão [V]
	
	
	0
	10,0
	0
	10,0
	
	0
	10,0
	0
	10,0
	
	
	15
	8,6
	30
	8,6
	
	45
	8,6
	10
	8,6
	
	
	30
	7,4
	60
	7,4
	
	90
	7,4
	20
	7,4
	
	
	45
	6,2
	90
	6,4
	
	135
	6,3
	30
	6,3
	
	
	60
	5.4
	120
	5,5
	
	180
	5,4
	40
	5,4
	
	
	75
	4.6
	150
	4,8
	
	225
	4,8
	50
	4,7
	
	
	90
	4,0
	180
	4,2
	
	270
	4,0
	60
	4,0
	
	
	105
	3,4
	210
	3,6
	
	315
	3,6
	70
	3,4
	
	
	120
	3,0
	240
	3,1
	
	360
	3,1
	80
	3,0
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Cálculos e Análises
Podemos determinar a corrente de carga e descarga do capacitor sabendo a resistencia interna do voltímetro. A resistência interna do voltímetro varia de acordo com o fundo de escala utilizado, valendo para o multímetro utilizzado 20k(/V. Como utilizamos a escala de 10V, a resistencia interna foi de 200k(. 
Agora como conhecemos a resistência interna do multímetro e sabemos a tensão (que será a diferença entre a tensão da fonte e a tensão lida pelo multímetro) podemos calcular as correntes de carga e descarga do capacitor pela 1ª Lei de Ohm (V = R.I). 
A interteza foi calculada utilizando incerteza para medidas indiretas. Assim, para a incerteza chegamos a fórmula: 
∆i = ∆V / R
onde ∆V: incerteza da tensão, ∆V= 0,1 V
 R: resistência da escala do voltímetro, no caso, 200 k(.
Portanto, ∆i = 0,5 (A.
Assim, obtivemos os dados nas tabelas abaixo:
	 
	PARTE A
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Descarga do capacitor de 470µF e 100µF
	
	Descarga dos capacitores em série e paralelo
	
	
	470µF
	100µF
	
	Paralelo
	Série
	
	
	Tempo [s]
	Corrente [µI]
	Tempo [s]
	Corrente [µI]
	
	Tempo [s]
	Corrente [µI]
	Tempo [s]
	Corrente [µI]
	
	
	0
	50,0
	0
	50,0
	
	0
	50,0
	0
	50,0
	
	
	15
	42,0
	30
	43,0
	
	45
	43,0
	10
	43,0
	
	
	30
	36,0
	60
	37,0
	
	90
	37,0
	20
	37,0
	
	
	45
	31,0
	90
	31,5
	
	135
	31,0
	30
	31,5
	
	
	60
	26,0
	120
	27,0
	
	180
	27,0
	40
	27,0
	
	
	75
	24,0
	150
	24,0
	
	225
	23,0
	50
	23,5
	
	
	90
	20,0
	180
	20,0
	
	270
	20,0
	60
	20,0
	
	
	105
	17,0
	210
	18,0
	
	315
	17,0
	70
	17,5
	
	
	120
	14,0
	240
	15,0
	
	360
	15,0
	80
	15,0
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	PARTE B
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Carga do capacitor de 470µF e 100µF
	
	Carga dos capacitores em série e paralelo
	
	
	470µF
	100µF
	
	Paralelo
	Série
	
	
	Tempo [s]
	Corrente [µI]
	Tempo [s]
	Corrente [µI]
	
	Tempo [s]
	Corrente [I]
	Tempo [s]
	Corrente [µI]
	
	
	0
	50,0
	0
	50,0
	
	0
	50,0
	0
	50,0
	
	
	15
	43,0
	30
	43,0
	
	45
	43,0
	10
	43,0
	
	
	30
	37,0
	60
	37,0
	
	90
	37,0
	20
	37,0
	
	
	45
	31,0
	90
	32,0
	
	135
	31,5
	30
	31,5
	
	
	60
	27,0
	120
	27,5
	
	180
	27,0
	40
	27,5
	
	
	75
	23,0
	150
	24,0
	
	225
	24,0
	50
	23,5
	
	
	90
	20,0
	180
	21,0
	
	270
	20,0
	60
	20,0
	
	
	105
	17,0
	210
	18,0
	
	315
	18,0
	70
	17,0
	
	
	120
	15,0
	240
	15,5
	
	360
	15,5
	80
	15,0
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Tabela 9: Correntes de carga e descarga dos capacitores de 470(F e 1000(F e das duasassociações série e paralelo
Cálculo das Cargas por Integração Numérica no intervalo:
Os valores obtidos nas tabelas de 9 a 16 é uma função da corrente no tempo que, pela relação vista na introdução teórica, pode ser integrada para se achar a carga do capacitor. A partir da obtenção das correntes de carga e descarga e tendo os tempos para a realização do carregamento e descarregamento pode-se obter uma equação i(t) em função do tempo. Integrando então esta função no intervalo de tempo em que foram feitas as medidas dos potenciais, pode-se obter o valor da carga para o descarregamento e carregamento.
 
Para estes cálculos foram feitas regressões exponenciais com o auxilio da calculadora para a obtenção das equações e a partir daí, integrando estas funções temos os seguintes valores para a carga:
	Descarga
	Carga
	Cap.
	470(F
	1000(F
	Paralelo
	Série
	470(F
	1000(F
	Paralelo
	Série
	Q (mC)
	3,35
	6,75
	10,12
	2,47
	3,35
	7,12
	10,18
	2,25
Tabela 10 - Cargas dos capacitores e das suas associações série e paralelo
Com os valores obtidos das cargas, pôde calcular-se o valor da capacitância em cada caso, através da relação entre as grandezas carga e diferença de potencial abaixo:
C = ∆Q/∆V
Os valores obtidos para cada capacitância estão expressos abaixo:
	Descarga
	Carga
	Cap.
	470(F
	1000(F
	Paralelo
	Série
	470(F
	1000(F
	Paralelo
	Série
	C ((F)
	467
	1055
	1510
	321
	465
	1017
	1434
	317
Tabela 11 - Capacitâncias dos capacitores e das suas associações série e paralelo
Podemos achar o valor mais provável de cada capacitância pela média dos valores obtidos na tabela acima. Isso ocorre devido à corrente de fuga, que aparece devido ao dieblétrico contido entre as placas do capacitor permitir uma pequena condução de corrente.
No circuito de descarga, essa corrente de fuga será um pouco da corrente de descarga do capacitor. Portanto, a corrente medida pelo voltímetro/amperímetro será menor do que a corrente de descarga do capacitor. No circuito de carga, acontecerá o contrário: a corrente de fuga será uma pequena porção da corrente da fonte e, portanto, a corrente medida será maior do que a corrente de carga do capacitor.
Essas diferenças de corrente serão transmitidas para as cargas de cada circuito e, consequentemente, para as capacitâncias calculadas. Fazendo-se a média entre esses dois valores (descarga e carga), obter-se-há um valor mais coerente ao valor da capacitância desejado.
Para a associação dos capacitores, calcula-se o valor teórico das capacitâncias equivalentes e se comparar com o valor obtido experimentalmente. Esses valores obtidos e as comparações estão expressas na tabela abaixo:
	Cap.
	470(F
	1000(F
	Paralelo
	Série
	C ((F)
	465,3
	983,9
	1419,7
	314,5
Tabela 12 – Capacitâncias média dos capacitores e das suas associações série e paralelo
Comparando Valores das Capacitâncias
Para a associação dos capacitores, tem de se calcular o valor teórico das capacitâncias equivalentes afim de se obter uma comparação com os valores .
Capacitores em paralelo:
�
Ceq = 1470(F
Capacitores em série:
�
Ceq = 319,73(F
	 
	Cap.
	Cteó ((F)
	Cexp ((F)
	470(F
	470,00
	465,3
	1000(F
	1000,00
	983,9
	Paralelo
	1470,00
	1419,7
	Série
	319,73
	314,50
Tabela 13 - Média dos valores das capacitâncias obtidas e comparação com os valores teóricos
Comparando os valores das capacitâncias (470(F e 1000(F) e das combinações em série e em paralelo obtidos através de dados experimentais com os valores informados das capacitâncias, pode-se observar que os valores se encontram bem próximos, havendo pequenas diferenças (note que os erros são menores que 4%), que podem ser justificadas por erros de leitura, erros de arredondamento nos cálculos e também o fato de trabalharmos com instrumentos de medida em condições não ideais.
f) Processos de Carga e Descarga de um Capacitor
Processo de carga (Capacitor Carregando)
�
Ligando o gerador com a chave fechada, o potencial indicado no voltímetro é o potencial aplicado no circuito uma vez que não passa corrente pelo capacitor. assim, ao se abrir a chave, a tensão aplicada ao circuito passa a se dividir sobre o voltímetro e o capacitor, sendo que à medida que esta diminui no voltímetro, aumenta no capacitor. Como em um capacitor tensão e carga são diretamente proporcionais, ou seja, à medida que a tensão sobre ele aumenta, aumenta também a carga, havendo assim o carregamento do capacitor.
Processo de descarga (Capacitor Descarregando)
Ligando o gerador com a chave fechada o capacitor se carrega,uma vez que estando em paralelo com o voltímetro, o potencial sobre o capacitor é o mesmo indicado no voltímetro. Assim, ao abrir a chave o potencial que havia sido aplicado ao capacitor reduz gradativamente da mesma forma que diminui no voltímetro. Como tensão e carga são diretamente proporcionais em um capacitor, havendo queda na tensão, diminui também a carga no capacitor, havendo assim o descarregamento deste.
Estimativa das incertezas
Incerteza nas medições diretas
Na leitura dos valores das voltagens e dos tempos há uma incerteza determinada por um erro observacional embutido na leitura determinado por μ / 2, onde μ é o menor valor de possível leitura.
Incerteza da voltagem:
ΔV = μ / 2			ΔV = 0,1 / 2				ΔV = 0,05 [V]
Incerteza do tempo:
Δt = μ / 2			Δt = 0,2 / 2				Δt = 0,1 [s]
Incerteza nas medições indiretas
Incerteza da corrente:
Então, temos: 
 => 
Onde:
I → valor da corrente
V → valor da voltagem
ΔV → incerteza da voltagem = 0,05 [V]
	Voltagem (V)
	Corrente (mA)
	Incerteza – ΔI (mA)
	10,0
	0,0500
	0,00025
	7,3
	0,0365
	0,00025
	7,1
	0,0355
	0,00025
	7,0
	0,0350
	0,00025
	5,5
	0,0275
	0,00025
	5,4
	0,0270
	0,00025
	5,3
	0,0265
	0,00025
	5,2
	0,0260
	0,00025
	5,0
	0,0250
	0,00025
	4,1
	0,0205
	0,00025
	4,0
	0,0200
	0,00025
	3,9
	0,0195
	0,00025
	3,8
	0,0190
	0,00025
	3,1
	0,0155
	0,00025
	3,0
	0,0150
	0,00025
	2,9
	0,0145
	0,00025
	2,8
	0,0140
	0,00025
Incertezas das Correntes.
Pode-se observar que a Incerteza é a mesma para todas as correntes:
ΔI = 0,00025 [mA]
Incerteza da carga:
Então, temos:
Onde:
Q → valor da carga
ΔI → incerteza da corrente = 0,00025 [mA]
Δt → incerteza do tempo = 0,1 [s]
I → variação da corrente
t → variação do tempo
	Carga (mC)
	I (mA)
	t (s)
	ΔQ [mC]
	3,35(5)
	0,0360
	120
	0,0235
	6,81(8)
	0,0355
	240
	0,0481
	10,18(8)
	0,0355
	360
	0,0718
	2,21(2)
	0,0360
	80
	0,0156
	3,36(9)
	0,0355
	120
	0,0239
	7,00(1)
	0,0345
	240
	0,0582
	10,27(2)
	0,0350
	360
	0,0734
	2,22(9)
	0,0360
	80
	0,0157
Incertezas das Cargas
Incerteza da capacitância:
 (
Então, temos:
Onde:
C → valor da capacitância
ΔQ → incerteza da carga
ΔV → incerteza da voltagem = 0,05 [V]
Q → variação da carga
V → variação da voltagem
	Capacitância ((F)
	Q (mC)
	ΔQ (mC)
	V (V)
	466,(0)
	3,35(5)
	0,0235
	7,2
	960,(3)
	6,81(8)
	0,0481
	7,1
	1434,(9)
	10,18(8)
	0,0718
	7,1
	307,(2)
	2,21(2)
	0,0156
	7,2
	474,(5)
	3,36(9)
	0,0239
	7,1
	1014,(6)
	7,00(1)
	0,0582
	6,9
	1467,(4)
	10,27(2)
	0,0734
	7,0
	309,(6)
	2,22(9)
	0,0157
	7,2
Incertezas das Capacitâncias
Conclusão
A partir dos valores das correntes de carga e/ou descarga e os respectivos tempos para a realização do carregamento ou descarregamento de um capacitor, pode-se, por integração numérica, obter o valor da carga do capacitor.
Concluiu-se, também, que o dielétrico existente entre as placas do capacitor não é perfeito, pois permite uma corrente de fuga que influi na carga e descarga do capacitor.
Por fim, verificou-se que, comoos resistores, os capacitores associados também podem ser substituídos por um capacitor equivalente. Para capacitores em série, temos:
Para capacitores em paralelo, temos:
Referências Bibliográficas
[1] HALLIDAY, D. & RESNICK, R., Física 3, Livros Técnicos e Científicos Ltda., 4a edição, Rio de Janeiro, 1984, p. 90
[2] CAPUANO, F.G. & MARINO, M.A.M., Laboratório de Eletricidade e Eletrônica, Ed. Érica, 3a edição, São Paulo, 1988, pp. 148-150
[3] HALLIDAY, D. & RESNICK, R., Física 3, Livros Técnicos e Científicos Ltda., 4a edição, Rio de Janeiro, 1984, p. 118
Gráficos
Gráfico1
Gráfico 2
Gráfico 3
Gráfico 4 
Gráfico 5
Gráfico 6
Gráfico 7
Gráfico 8
Cálculo das áreas sob os gráficos
A partir da Tabela 9 e dos gráficos de 1 a 8 foi possível calcular aproximadamente as áreas sob os gráficos, dividindo-os em oito trapézios, para se obter os valores de carga a partir da expressão: Q = ∑ Ai.
	Os intervalos de tempo foram escolhidos com base nos intervalos contidos na tabela 9. A partir da fórmula a seguir calculou-se a área dos trapézios: At = (B+b) * (∆t / 2).
	Para o gráfico 1 temos,
∆t = 15 [ s ].		I -> [ µA ].
A1 = (50+42) * (15/2) = 690			A2 = (42+36) * (15/2) = 585
A3 = (36+31) * (15/2) = 502			A4 = (31+26) * (15/2) = 427,5
A5 = (26+24) * (15/2) = 375			A6 = (24+20) * (15/2) = 330
A7 = (20+17) * (15/2) = 277,5			A8 = (17+14) * (15/2) = 232,5
Q1 = ∑ Ai = 3420 [µC]
Analogamente obtemos os valores de carga para os gráficos de 2 a 8:
Q2 = ∑ Ai = 6990 [µC]				Q3 = ∑ Ai = 10372,5 [µC]
Q4 = ∑ Ai = 2320 [µC]				Q5 = ∑ Ai = 3457,5 [µC]
Q6 = ∑ Ai = 7057,5 [µC]				Q7 = ∑ Ai = 10496,5 [µC]
Q8 = ∑ Ai = 2320 [µC]
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_1033977749/ole-[42, 4D, 2E, F8, 00, 00, 00, 00]
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