Apostila de Mineralogia I UNESP

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Mineralogia Óptica
Óptica Cristalina
Antonio José Ranalli Nardy
Fábio Braz Machado
Departamento de Petrologia e Metalogenia
Instituto de Geociências e Ciências Exatas
Universidade Estadual Paulista – UNESP
http://www.rc.unesp.br/igce/petrologia/nardy
- 2002 -
__________________________________________________ Mineralogia Óptica, Nardy, A.J.R; Machado, F.B, cap.I, pag.1
I- Introdução – Conceitos Básicos
Luz: É a parte visível do espectro eletromagnético, que compreende desde os raios g até as ondas
longas de rádio, conforme mostra a Figura I.1.
Os limites dos intervalos de comprimento de onda (l) das diferentes cores do espectro da luz
visível é arbitrário, isto por que as cores passam umas para as outras gradualmente. Se na retina
humana chegam simultaneamente ondas com comprimentos de onda de 3900 à 7700 Å, o cérebro
interpreta essa radiação como sendo luz branca. Em outras palavras, a luz branca é a “mistura” de
todas as cores do espectro da luz visível (lembre-se do experimento do Disco de Newton).
Como toda onda de espectro eletromagnético, a luz é uma forma de energia radiante, que apresenta
natureza tanto ondulatória
quanto corpuscular. No
presente caso, a luz será
tratada como uma onda
em movimento harmônico
contínuo, representando-
se somente a sua
componente elétrica, uma
vez que esta é a mais
importante na análise dos
fenômenos ópticos.
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l
c
N =
T
N
1=
Comprimento de onda (l): É a distância entre duas posições consecutivas e idênticas (ou em fase)
na direção de propagação de uma onda.
O comprimento de onda, no caso da luz visível,
é dado em Ângstrons Å, onde 1Å = 1x10-7 mm
= 1x10-1 mm.
Período (T): É o tempo gasto para completar uma oscilação, ou seja, é o tempo necessário para
percorrer-se uma distância igual a um comprimento de onda (l). O período é expresso em segundos
Freqüência (N): É o número de oscilações completadas em uma certa unidade de tempo. A
freqüência é expressa em ciclos por segundo ou Hz. Observar que o período é o inverso da
freqüência, ou seja:
 Ê
Velocidade da luz: A velocidade da luz no vácuo é igual para todas as cores sendo igual a:
C=299.776(±± 4) Km/s
A relação que essas grandezas guardam entre si é:
Ë
Deve-se também considerar-se que freqüência das oscilações não muda quando as ondas passam
através de diferentes meios, ou seja, quando um raio de luz sofre refração poderá haver mudanças
em sua velocidade e/ou em seu comprimento de onda mas nunca na freqüência
Luz monocromática: É a luz constituída de um único comprimento de onda ou variável em um
intervalo bastante estreito, ex.: Lâmpada de vapor de sódio com l variando entre 5890 e 5896 Å.
Luz policromática: É a luz constituída por uma larga variação de comprimentos de onda, ex.: luz do
sol, lâmpada doméstica, etc.
O microscópio petrográfico utiliza-se de uma fonte de luz policromática, obtida através de uma
lâmpada com filamento de tungstênio (igual a lâmpada doméstica), de cor amarelada, adicionada
de um filtro azul para torna-la branca1. O emprego de luz policromática no microscópio é desejável
pois promove o fenômeno da dispersão dos índices de refração nos minerais. A luz monocromática
por sua vez, é empregada apenas em medidas ópticas de precisão, como nos refratômetros
(equipamentos que medem o índice de refração de minerais e líquidos).
Raio: É a direção de propagação da luz a partir do ponto de origem a um outro ponto qualquer. Nos
meios homogêneos, os raios são retilíneos.
Feixe: É um conjunto de raios de luz que partem de uma mesma fonte.
Superfície de onda ou superfície de velocidade de onda: A partir de um ponto luminoso, infinitos
raios são emitidos em todas as direções. Decorrido um certo tempo, estes raios terão percorrido
uma certa distância a partir de sua origem. A linha ou superfície que une ou contém as
extremidades destes raios denomina-se superfície de velocidade de onda, conforme mostra a
Figura I.4.
 
1 isto porque o azul é a cor complementar do amarelo.
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Assim, em um meio isotrópico, onde a
velocidade da luz é igual em todas às
direções, a superfície de onda em qualquer
instante será esférica.
Onde f-f’= frente de onda = plano tangente
à superfície de onda no ponto tocado por um
raio qualquer. A frente de onda une
distâncias percorridas pelos raios após um
certo intervalo de tempo, n= normal a onda
que é perpendicular à frente de onda.
Observe que uma onda se propaga na direção do raio, mas a frente de onda avança na direção da
normal à onda.
Em um meio anisotrópico, a velocidade da luz não é igual em todas as direções sendo sua
superfície de onda representada por um elipsóide, conforme mostra a Figura I.5.
Podemos então verificar que em
um meio isotrópico a frente de
onda (f-f’) será sempre
perpendicular ao raio (R), ou seja, a
frente de onda se propagará
perpendicularmente ao raio,
conforme se observa na Figura I.4,
enquanto que em um meio
anisotrópico a frente de onda só
será perpendicular ao raio nas
direções dos eixos principais do
elipsóide (Figura I.5).
Os princípios da reflexão e refração
As construções geométricas mostrando como a luz é refletida ou refratada, baseiam-se no Princípio
de Huygens (1690), que diz: “Qualquer ponto ou partícula excitado pelo impacto da energia de
uma onda de luz, torna-se uma nova fonte puntiforme de energia”. Então, cada ponto sobre uma
superfície refletora pode ser considerado como uma fonte secundária de radiação tendo a sua
própria superfície de onda.
A reflexão:
A leI.fundamental sobre a reflexão afirma que os ângulos de incidência e reflexão medidos à partir
de uma normal à superfície refletora são iguais e situam-se no mesmo plano (ou seja são
coplanares) denominado plano de incidência.
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2,1
sen
sen
2
1
n
l
i
v
v ==
n
f
f'
i i = rr
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Figura I.6: O Princípio de Huygens aplicado à reflexão
n
g g'
n'
b'
b
i
l
1
2
f
f '
Figura I.7: O Princípio de Huygens aplicado à refração
Admitindo-se um meio como sendo
isotrópico e aplicando-se o Princípio de
Huygens (1690), pode-se determinar a frente
de onda dos raios refletidos, traçando-se uma
linha tangente às superfícies de onda dos
raios de luz incidentes (f – f’). Desta forma,
os raios de luz refletidos serão
perpendiculares à frente de onda.
A refração:
Quando um raio de luz atinge uma superfície que separa dois meios (no presente caso é o
isotrópico), parte da luz é refletida e a outra penetra no meio sendo desviada ou refratada.
Admitindo-se: como “V1” a velocidade de propagação no meio 1 e “V2” a velocidade de
propagação no meio 2 e que V1 > V2 e b – b’ a frente de onda dos raios incidentes; a partir do
Princípio de Huygens onde os pontos de impacto da luz no contato entre os dois meios g - g’ agem
como fontes secundárias de luz, pode-se determinar a direção de propagação dos raios refratados,
conforme mostra o esquema da Figura I.7.
Admitindo-se um meio como sendo
isotrópico, traçada a frente de onda dos
raios refratados, ou seja f – f’, a trajetória
dos raios de luz será aquela perpendicular a
f –f’.
De acordo com o princípio da refração, o
raio incidente, o raio refratado e a normal
(n-n’) à superfície de separação entre os
dois meios (g-g’) são coplanares.
A relação entre os ângulos de incidência, refração e velocidades de propagação nos dois meios é
dada pela LeI.de Snell (1621):
Ì
Onde n1,2 , uma constante, é o índice de refração do meio 2 em relação ao meio 1.
Esta expressãomostra que a relação entre as velocidades em dois meios isotrópicos é proporcional
a relação entre os senos dos ângulos dos raios incidentes e refratados. Assim, se o ângulo de
incidência for igual a zero, então o sen I. = 0 , ou seja, a luz incidindo normalmente sobre a
interface entre dois meios ela não atravessa sem sofrer desvio.
Por outro lado, se a luz incide obliquamente sobre um sólido opticamente mais denso, ou com
maior índice de refração, o raio refratado se aproximará da normal e passará a se propagar com
uma velocidade menor do que aquela em que vinha se propagando no outro meio.
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v
c
n =
2,1
1
2
2
1
n
n
n
v
v ==
2
1
1
2
sen
sen
2
1
l
l===
n
n
l
i
v
v
O índice de refração
Quando a luz passa de um meio para outro, sua velocidade aumenta ou diminuI.devido as
diferenças das estruturas atômicas das duas substâncias, ou de suas densidades ópticas ou índices
de refração.
O índice de refração absoluto de um meio pode ser obtido experimentalmente e é dado pela
relação:
Í
onde:
c= velocidade da luz na vácuo,
v= velocidade da onda de luz para um comprimento de onda específico num certo meio
O índice de refração da luz no vácuo é considerado arbitrariamente como sendo igual a 1, que é
praticamente aquele obtido para o ar: 1,00029 (temperatura de 15o C e 1 atm de pressão). De fato,
tratamos o índice de refração de um mineral de forma relativa, comparando-o com o do vácuo (ou
ar), ou seja, quantas vezes o seu índice de refração é maior do que aquele do vácuo, e portanto uma
grandeza adimensional, que é derivado da expressão:
 Î
Da expressão Î, nota-se que o índice de refração de um mineral é inversamente proporcional a velocidade de
propagação da luz em seu interior, ou quanto mais denso opticamente for o mineral, menor será a velocidade de
propagação da luz.
De fato, a densidade óptica, ou índice de refração do mineral é diretamente proporcional a sua
densidade, obedecendo a seguinte relação:
n -1= Kr Ï
onde:
n= índice de refração do mineral
K= uma constante,
r= densidade do mineral.
Ainda podemos relacionar o índice de refração, a velocidade de propagação e o comprimento da
onda da luz:
¼
Determinações precisas do índice de refração, empregam fontes de luz fortemente monocromáticas,
no caso lâmpadas com filamento de sódio l= 5890 Å. Por outro lado, emprega-se também de forma
rotineira, fontes policromáticas, como é o caso do microscópio petrográfico, onde procura-se
reconstituir a luz branca utilizando-se de filtros específicos para que sejam preservadas as cores
naturais dos minerais. Veja na figura abaixo, como varia o índice de refração de uma placa de vidro
borossilicato em função da variação dos comprimentos de onda (l) dos raios de luz que a
atravessam.
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Figura I.8: Diagrama que mostra a variação dos índices de refração em função dos diferentes comprimentos de onda.
(em mm) F, E, D e C, correspondem às linhas de absorção de Fraunhofer (1814).
Por convenção, em óptica cristalina, os índices de refração dos minerais são reportados para um comprimento de onda
específico, l= 589 mm (ou 5890 Å) que corresponde a uma das linhas de absorção de Fraunhofer (1814) para a luz
solar – nD (linha D na figura I.8). Além disso, este comprimento de onda (D) corresponde a luz emitida pelo sódio que
também é o valor médio do espectro da luz visível. Com isso, e no caso do exemplo apresentado na Figura I.8, o índice
de refração da placa de vidro seria 1,523.
O mesmo diagrama da Figura I.8, mostra também a dependência do índice de refração de
substâncias cristalinas com a variação da temperatura. A Tabela abaixo, mostra os índices de
refração de algumas substâncias comuns, à 20o C:
Substância Índice de refração (n)
água 1,333
álcool etílico (anidro) 1,362
acetona 1,357
querosene 1,448
Nujol (óleo laxante) 1,477
Bálsamo do Canadá 1,537
Os índices de refração dos minerais não opacos mais comuns variam entre 1,326 (vilaunita) até
2,415 (goetita). Cerca de 56% deles, situam-se entre 1,475 e 1,700 (Fleischer et al., 1984).
Portanto, é plausível utilizar-se de um meio de imersão em análises ópticas como o Bálsamo do
Canadá, uma vez que seu índice de refração é igual a 1,537, ou seja, próximo ao ponto médio deste
intervalo.
1,55
1,54
1,53
1,51
1,50
1,52
salicilato de etila (10 C)
o
salicilato de etila (50 C)
o
vidro borossilicato
E D CF
500 550 650600
l m) (m
1,523
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ni
nl
l
i =
sen
sen
60,1
sensen ilv =
50,1
sensen ilr =
Luz Bran
ca
i
v
r
N
lrlv
i= ângulo de incidência
lr= ângulo de refração do raio vermelho
lv= ângulo de refração do raio violeta
n= normal á superfície de incidência da luz
v= trajetório do raio de cor violeta = 3900 l A
or= trajetório do raio de cor vermelha = 7700 l A
o
Figura I.9: Dispersão dos índices de refração da luz branca, 
 observada em um prisma de vidro.
Dispersão ou cromatismo:
A equação Ï mostra claramente que o índice de refração de uma substância difere para as várias
cores que compõem a luz branca. Este fato pode ser facilmente demonstrado pela conhecida
experiência do prisma.
Um estreito feixe de luz branca,
incidindo sobre a parede de um prisma
de vidro ou de alguma outra
substância transparente, decompõe-se
em cores individuais que formam o
espectro visível, uma vez que o prisma
tem um índice de refração diferente
para cada uma das cores.
Na Figura I.9, é mostrado apenas os
dois raios extremos do espectro da luz
visível, ou seja o vermelho (r), com
l= 7700 Å e o violeta (v), com l=
3900 Å. Se o índice de refração do
prisma para a cor vermelha: nr= 1,50
e para o violeta : nv= 1,60, temos que:
ou
seja, o raio vermelho terá um ângulo
de refração (lr)menor que o do violeta
(lv). Verifica-se portanto que raios de
luz com comprimentos de onda mais
curtos têm velocidades menores e
consequentemente refratam-se menos
do que aqueles de comprimentos mais
longos. Generalizando, podemos dizer que em substâncias incolores, o índice de refração varia
inversamente ao comprimento de onda da luz.
Por fim, define-se a dispersão (D) de um meio qualquer como sendo a diferença entre os índices de
refração para o violeta e o vermelho:
D= nviol - nverm ÑÑ
Ângulo crítico e a reflexão total:
A leI.de Snell, expressão Ð, mostra que:
Ò
Então, se “ni” for menor que “nl” a relação nI./ nl será sempre menor do que 1,0 e
consequentemente l será sempre menor que i, ou seja, sempre haverá refração com o raio refratado
(l) aproximando-se da normal.
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i
nl
ni
l sensen =
Figura 1.10: Esquema mostrando raios com diferentes ângulos de incidência:
 i= incidente, l= refratado, r= refletido. l= ângulo limite, t= reflexão total
itrt
ni
nl
r1rc
n
i1
ic
itrt
raio
Figura I.11: 
Representação
 tridimensional de 
um raio de luz não 
polarizado 
Por outro lado , se o meio de incidência do raio de luz tiver um índice de refração nI> nl, a razão
nI/ nl será sempre maior que
1,0 e evidentemente, l será
maior que I Portanto para que
haja refração, há necessidade
que o ângulo I seja tal que leve r
a ser menor do que 90o, ou que
o senr < 1 Caso isto não ocorra,
teremos uma situação de
indeterminação na eq. 9, que
pode ser escrita como:
Ó
O valor de i que leva o sen r = 1 ou r = 90°(ic na Figura 1.10) é designado por ângulo crítico. Para
valores de i superiores ao ângulo crítico não se observará mais refração mas apenas reflexão -
reflexão total.
Polarização da luz:
As ondas de luz se propagam em movimento ondulatório transversal no qual a direção de vibração
é perpendicular à direção de propagação.
A luz natural, ou não polarizada, apresenta direções de
vibração em inúmeras direções, mas todas elas
perpendiculares à direção de propagação do raio, conforme
mostra a Figura I.11.
A luz polarizada, por sua vez, apresenta apenas uma
direção de vibração, também perpendicular a sua
direção de propagação, conforme se observa na Figura
I.12.
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Obtém-se a polarização da luz através dos seguintes métodos:
4Polarização por Reflexão e Refração
4Polarização por Absorção Seletiva
4 Polarização por Dupla Refração
Polarização por reflexão e refração
A luz incidente em uma superfície plana e polida sofrerá
em parte reflexão, que será polarizado perpendicularmente
ao plano de incidência, enquanto que a porção refratada
será polarizada paralelamente ao plano de incidência.
O grau de polarização será função de vários fatores, como
qualidade e índice de refração da superfície refletora e ,
principalmente, do ângulo de incidência do feixe de luz
que, segundo Brewster, atingirá a máxima polarização
quando os raios incidentes e refratados forem
complementares, ou seja, quando sen l = cos I.
Polarização por absorção
Emprega-se para isto substâncias que deixam atravessar a luz apenas em certas direções
preferencias, como cristais de turmalina cortadas paralelamente ao eixo cristalográfico “c” ou
através de polaróides.
A turmalina, por exemplo, apresenta a
propriedade de transmitir a máxima
quantidade de luz para os raios que
apresentem direção de vibração
paralelas a sua direção de maior
alongamento, ou paralelos ao eixo
cristalográfico “c”. Assim quando um
feixe de luz não polarizado atinge a
turmalina, todos os raios que
apresentam direção de vibração
diferentes daqueles de seu eixo
cristalográfico “c” serão absorvidos pelo
cristal. Os transmitidos, estarão
polarizados com direção de vibração
paralela a aquela direção cristalográfica.
Polarização por dupla refração
Um raio de luz ao atravessar um meio anisotrópico se refrata desdobrando-se em dois raios que
vibram em planos perpendiculares entre si denominados: extraordinário (“E”) e ordinário(“O”). A
calcita exibe este fenômeno de maneira notável , uma vez que ne = 1,486 e nw = 1,658. Assim, um
cristal de calcita cortado convenientemente em duas partes, que são coladas entre si por bálsamo do
Canadá (nb=1,537). A esta montagem, dá-se o nome de Prisma de Nicol.
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Quando um o raio de luz natural incide, com um ângulo conveniente em uma das faces do prisma,
este se desdobra em dois outros denominados: extraordinário (E) e ordinário (O) que possuem
direções de vibração ortogonais, conforme mostra a Figura I.15.
O raio ordinário (O), com índice de refração igual a nb, se propaga no cristal de calcita regido pelo
seu índice de refração nw. Ao atingir o Bálsamo do Canadá, com um ângulo de incidência maior do
que aquele denominado “ângulo crítico” (pois nb > nw), se observará o fenômeno da reflexão total,
e o raio ordinário será então absorvido pela parede emagrecida do prisma, Figura I.15. O raio
extraordinário (E), atravessa o cristal de calcita comandado pelo índice de refração ne, que é
próximo aquele do bálsamo do Canadá e nunca sofrerá o fenômeno da reflexão total (pois ne < nb)
e sempre será refratado atravessando a camada de bálsamo sem sofrer desvio apreciável. Com isso,
se obtém luz polarizada que pode ser usada de forma rotineira em microscopia.
Atualmente, os microscópios empregam polarizadores constituídos por substâncias orgânicas
designadas por placas polaróides, fornecendo luz polarizada através da absorção seletiva da luz.
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II- O Microscópio Petrográfico e Tipos de Preparado para
Análises
A primeira descrição microscópica de uma rocha foi efetuada por um inglês de nome Henry Clifton
Sorby, em 1849. Evidentemente na época, foi considerado insano e ridicularizado por seus colegas.
Cético, o cientista afirmava: “Eu acredito que não há necessariamente conexão entre o tamanho do
objeto e sua importância na explicação de um fato”. Hoje, ele é considerado o pai da Petrografia
Microscópica.
Dois tipos básicos de microscopia óptica são empregados em geologia:
Luz Transmitida: utilizada para a análise de minerais transparentes, onde a luz atravessa o objeto a ser
estudado e atinge a objetiva;
Luz Refletida: utilizada para análise de minerais opacos, sendo que, a luz incide mineral em sua
superfície e é refletida em direção a objetiva, conforme mostra o esquema da Figura II.1
Figura II.1: Diagramas esquemáticos de sistemas ópticos de luz refletida e transmitida. No primeiro caso o mineral deverá
ser opaco e ter uma boa superfície refletora, enquanto que no segundo, ser transparente.
Objetiva
Mineral
Platina
Luz do 
polarizador
para a ocular
prisma
para a ocular
Luz do Polarizador
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Tipos de preparados para análises microscópicas
A análise de minerais transparentes através de microscopia óptica de transmissão, é feita através de
dois tipos de preparados principais:
Lâminas Delgadas: são obtidas através de uma seção extremamente fina (da ordem de 0,03 mm) de
uma rocha, solo ou mineral, conforme mostra o esquema da Figura II.2. Sua vantagem principal é que
todos os cristais e/ou mineras presentes na seção tem uma mesma espessura, conhecida, o que permite
determinar uma série de propriedades ópticas.
Figura II.2: Representação esquemática de uma montagem em lâmina de um mineral granulado.
2- Lâminas de pó ou de material granulado: são obtidas através da moagem ou concentração de
espécimes minerais a serem estudados, conforme mostra a Figura II.3. Emprega-se este método em
mineralogia determinativa, em petrologia sedimentar para a identificação de minerais pesados
presentes na rocha, etc .
Figura II.3: Respresentação esquemática de uma montagem em lâmina de um mineral granulado
O microscópio petrográfico ou de luz polarizada
Um microscópio ordinário é constituído fundamentalmente pela associação de duas lentes
convergentes denominadas: objetiva e ocular. Estás duas lentes são montadas em posições fixas nos
extremos opostos de um tubo de metal de comprimento l, conforme mostra a Figura II.4.
Basicamente, a objetiva forma uma imagem real aumentada do mineral (PR) que está sendo
examinado, o qual se posiciona a uma distancia menor do que a distancia focal da ocular (oc). Assim, a
imagem real obtida pela objetiva (P’R’) é aumentada quando vista através da ocular, como uma
imagem virtual (P”R”).
O microscópio petrográfico nada mais é que um microscópio ordinário ao qual são introduzidos dois
polarizadores posicionados entre o mineral a ser examinado. As diversas partes constituintes de um
microscópio petrográfico podem ser agrupadas em: sistema óptico: ocular, lente de Amici-Bertrand,
analisador, objetiva, condensador móvel, diafragma íris, condensador fixo, filtro azul e polarizador e
sistema mecânico de suporte: ou tubo, Braço, Revólver (ou sistema de sustentação das objetivas),
Platina, Cremalheira macro e micrométrica de movimentação vertical da platina, e base.
Lâmina
Resina Minerais(grãos)
Lamínula
Bálsamo do Canadá
Lâmina
Resina
Lamínula
Bálsamo do Canadá Fatia de Rocha0,03 mm
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Figura 11.4: Representação esquemática de um microscópio ordinário onde:
ob= distância focal da objetiva, oc= distância focal da ocular, RP= mineral disposto sobre a lâmina e platina do
microscópio, R’P’= imagem real aumentada do mineral produzida pela objetiva, R”P”= imagem virtual aumentada do
mineral produzida pela ocular.
A introdução de alguns ou todos os elementos no caminho óptico do microscópio, permite a determinação de diferentes
propriedades, constituindo assim, sistemas ópticos distintos.1, conforme mostra a Tabela abaixo e a Figura II.5.
Sistema peças ópticas fundamentais propriedades ópticas observáveis
Luz Natural
polarizador inferior
(objetiva pequena ou média)
Morfológicas: hábito, relevo, cor,
divisibilidade, etc
Ortoscópico
Polarizador inferior e analisador
(objetiva pequena ou média)
Cores de interferência: birrefringência, sinal
de elongação, tipo de extinção, etc
Conoscópico
polarizador inferior, analisador, lente de
Amici-Bertrand e condensador móvel.
(objetiva maior)
Figuras de interferência: caráter óptico, sinal
óptico, ângulo 2V, etc
 
1 Estarão sempre presentes no caminho óptico o polarizador inferior, o filtro azul, o condensador fixo, a
objetiva e a ocular.
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Figura II.5: Representação esquemática dos sistemas ópticos possíveis em um microscópio petrográfico.
Objetivas
A objetiva é uma lente ou um associação de lentes que fornece uma imagem real aumentada do objeto
observado. Acha-se localizada na extremidade do tubo ou canhão, conforme esquematizado na Figura
II.5. Para facilidade de mudança de uma objetiva para outra, a maioria dos microscópios são dotados
de um dispositivo denominado revólver ou porta-objetivas.
As principais características de uma objetiva vem impressas em seu corpo metálico, conforme
esquematizado na Figura II.6, e são:
Aumento Linear – é a relação entre a imagem real fornecida pela objetiva e o objeto, ou seja, é quantas
vezes a imagem será maior que o objeto, como 3,2X, 10X, 50X, etc.
Abertura Angular – é o ângulo entre os raios mais divergentes que penetram na objetiva a partir de um
ponto enfocado pela objetiva.
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2
sen AA
nAN =
Aumento Linear
Abertura Numérica
Comprimento do tubo
Espessura da Lamínula
Especificação Luz Polarizada
Abertura Numérica (AN) – é considerada como sendo a quantidade de luz que efetivamente penetra na
objetiva e é dada pela expressão: . Ê
Onde n= índice de refração entre a lente coletora da objetiva e a superfície superior do mineral.
Figura II.6: Esquema das indicações anotadas no corpo metálico de uma objetiva
Na tabela abaixo, e na Figura II.7, são apresentadas as características de um conjunto de objetivas de
um microscópio. Observe que quanto maior for o aumento linear de uma objetiva maior será sua
abertura angular e numérica, menor será a profundidade de enfoque e a distância de trabalho.
Aumento
linear(AL)
Abertura
angular
(AA)
Abertura
numérica
(AN)
Distância de
 trabalho(dt)
em mm
Profundidade
de enfoque
 em mm
3,2X 14º 0.12 34.5 0.5
10X 29º 0.25 5.8 0.04
45X 116º 0.85 0.6 0.01
Fique atento às definições:
Distância de trabalho ou frontal(dt): É a distância entre a face inferior da objetiva e a face superior do
objeto já focalizado. Quanto maior for o aumento linear da objetiva, menor será a distância de
trabalho.
Limite de resolução: É a menor distância entre dois pontos para quais a objetiva fornece imagens
nítidas. Então quanto maior for a abertura numérica, maior será o limite de resolução da objetiva.
Profundidade de foco: É a distância vertical máxima que pode ser focalizada de uma só vez por uma
objetiva. A profundidade do foco é inversamente proporcional a abertura numérica.
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Figura II.7: Representações esquemáticas das propriedades de uma objetiva: AA= abertura angular, dt= distância de
trabalho ou frontal, para as objetivas de aumentos lineares de 3,2, 10 e 45 vezes.
Objetivas secas e de imersão
As objetivas ditas “secas”, são aquelas em que entre a face inferior da objetiva e o topo do mineral
disposto em uma lâmina de vidro, o ar é o meio de imersão. Nas objetivas “de imersão”, este espaço é
preenchido por um líquido viscoso, com índice de refração conhecido que tem como função aumentar
a abertura numérica da objetiva e consequentemente sua nitidez, conforme pode ser confirmado pela
equação Ê. Objetivas de imersão são usadas em casos muito especiais, onde há necessidade de grande
aumento linear.
Oculares
As oculares são associações de lentes que permitem conservar a imagem real do objeto fornecido pela
objetiva, Figura II.5.
As lentes da ocular acham-se fixas em um tubo metálico e aquela mais próxima do olho do observador
recebe o nome de lente de olho e a que recebe o raio de luz proveniente da objetiva é chamada de
coletora.
As oculares podem ser positivas ou negativas. Nas positivas o foco do sistema está antes da lente
coletora e nas negativas , o foco se acha depois da lente coletora., conforme pode ser observado nos
esquemas das Figura II.8.
De maneira geral, podemos reconhecer as oculares entre si, pois o retículo das positivas está disposto
antes da lente coletora enquanto que nas negativas entre as lentes de olho e coletora. Ainda, as oculares
positivas têm comportamento de uma “lupa de mão”, ou seja, é possível focalizar um objeto através
dela, o que não é possível com o emprego de oculares negativas.
dt
dt
dt
45x
AA
AA
10x
3.2x
Platina
Mineral
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Figura II.8: Tipos de oculares, positivas e negativas, empregadas em mineralogia óptica
Em ambas as oculares , existe um diafragma fixo colocado precisamente no plano que contém a
imagem real do objeto em análise pela objetiva. A função do diafragma é de limitar o campo de visão,
e ainda possui gravado em sua superfície o retículo que pode ser 2 linhas, uma N-S e outra E-W; ou
uma escala micrométrica ; ou ainda uma escala quadriculada, conforme mostra a Figura II.9.
Figura II.9: Principais tipos de retículos empregados em oculares para estudos petrográficos
O aumento visual total do microscópio
O conjunto objetiva mais ocular é responsável pela obtenção da imagem ampliada do mineral. Se o
aumento linear da ocular é ALO e da objetiva ALB, o aumento visual total do microscópio (AT) será
dada pela expressão: AT= ALO x ALB ·
Reticulada Micrométrica Gradedada
 Ocular
NEGATIVA
 Ocular
POSITIVA
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Polarizador e Analisador
O microscópio petrográfico é dotado de dois polarizadores, ou nicóis2, designados de polarizador
inferior (ou simplesmente polarizador) e o outro, superior, denominado analisador. Nos microscópios
modernos, estes polarizadores são constituídos de placas de polaróides, que são compostos químicos
orgânicos que quando construídos, são estirados segundo uma certa direção. Assim a luz natural não
polarizada quando incide no polarizador, todas as suas direções de vibração, com exceção daquela
paralela a direção de deformação do polaróide, serão absorvidas por ele.
O polarizador inferior está localizado acima da fonte de luz e abaixo do mineral a ser estudado.Sua
função é fornecer luz polarizada, que com o movimento de rotação da platina do microscópio pode
incidir em diferentes direções na superfície do mineral, Figura II.5.
O analisador, está disposto acima do mineral sob análise e abaixo da ocular. Está orientado de forma
que sua direção de polarização seja perpendicular ao do polarizador inferior.
As direções de vibração dos polarizadores, formam um ângulo de 90o entre si e deverão ser paralelas
àquelas dos retículos da ocular como mostra, por exemplo, a Figura II.10.
Figura II.10: Representação do paralelismo entre os retículos da ocular com as direções
de vibração do polarizador (P-P) e analisador (A-A).
Assim, toda vez que uma substância isotrópica é colocada entre dois polarizadores cruzados, não
haverá passagem de luz para o observador. Isto é facilmente observado ao microscópio petrográfico,
quando cruzamos os nicóis sem haver nenhum mineral na platina. Como o ar é uma substância
isotrópica, a luz proveniente do polarizador chega direta ao analisador, sem sofrer desvio. Como sua
direção de polarização é perpendicular ao do analisador, esta será totalmente absorvida por ele, sem
haver nenhuma transmissão de luz.
Entretanto, quando uma substância anisotrópica é disposta na platina do microscópio, a luz sofrerá o
chamado “fenômeno da dupla refração”. Para ilustrar a descrição, tomemos como exemplo a Figura
I.11. O raio de luz que parte do polarizador vibrando em uma única direção, N-S (poderia ser E-W), ao
atingir a superfície do mineral, é desmembrado em dois outros raios designados por r1 e r2. Como
estes dois raios de luz vibram em planos perpendiculares entre si (são ortogonais), eles são chamados
de incongruentes, ou seja, não interferem entre si para gerarem um único raio de luz.
Porém, ao atingirem o analisador, eles passam a vibrar em um único plano e então, interferem-se
mutuamente, gerando uma onda resultante, paralela a direção de vibração do analisador, que agora
transmite luz ao observador
 
2 Nicol é um termo clássico em mineralogia óptica quando a polarização da luz era obtida através de prismas
de calcita cortadas e coladas segundo direções específicas. Com isso, o termo “nicóis cruzados” significa que
o analisador está inserido no caminho óptico do microscópio.
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360
o
90
180
270 retículo
re
tí
cu
lo
Figura II.11: A função do analisador no sistema óptico de um microscópio. P-P= direção de vibração do polarizador, A-A=
direção de vibração do analisador, r1 e r2 são os dois raios que surgem devido ao fenômeno da dupla refração. No
destaque, a obtenção do raio resultante da soma vetorial dos raios r1 e r2 segundo a direção do analisador e conseqüente
transmissão da luz através dele (analisador).
Platina
A platina do microscópio petrográfico é uma placa metálica, que sustenta o preparado em análise,
Figura II.5. Além disso, a platina tem um movimento, de rotação e é graduada que associada aos
retículos da ocular, conforme mostra a Figura II.12, permite efetuar medidas de ângulos entre direções
morfológicas e ópticas dos minerais em estudo.
Figura II.12: Esquema da associação entre a platina graduada e os retículos da
ocular utilizadas como linhas de referência na medida de ângulos entre
unidades lineares.
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Lente de Amici-Berttand
É empregada apenas no sistema conoscópico e tem como finalidade trazer a figura de interferência
para o plano focal da ocular. Acha-se localizada entre a ocular e o analisador e pode ser introduzida ou
retirada do sistema óptico, Figura II.5.
Condensadores
Existem dois condensadores no microscópios petrográfico, um fixo, que está localizado entre o
polarizador e a platina do microscópio, o outro móvel, que se encontra sobre o condensador fixo e
imediatamente sob a platina, Figura II.5.
Os condensadores tem a finalidade de promoverem uma maior convergência dos raios de luz sob o
objeto em análise.
O condensador móvel tem como função especial, de promover uma alta convergência dos raios de luz
em praticamente um ponto sobre o objeto em análise de tal forma que os raios de luz que partem do
objeto para a objetiva sejam divergentes. O condensador móvel só deve ser usado quando utiliza-se se
objetivas de médio a grande aumento linear e é peça fundamental no sistema conoscópico.
Diafragma Íris
É um dispositivo que limita a quantidade de luz que penetra no microscópio e se localiza geralmente
sobre o condensador fixo. A diminuição do feixe de luz permite realçar as feições morfológicas dos
minerais como suas bordas, traços de fratura, rugosidade das superfícies, presença de inclusões, etc.
Filtros
Os filtros, geralmente, são placas de vidro coloridos e tem como finalidade , absorver certas radiações
indesejáveis da luz utilizada. Como conseqüência, a utilização apropriada de um filtro que permite
aumentar o contraste de imagens e melhorar a resolução.
O filtro mais empregado no microscópio petrográfico é o azul que torna a luz amarelada da lâmpada de
Tungstênio bem próxima da luz branca natural.
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III- AS INDICATRIZES DOS MINERAIS
Minerais isotrópicos e anisotrópicos uniaxiais
Definição: Indicatriz é uma figura geométrica tridimensional que mostra a variação dos índices de
refração nas diferentes direções do interior de um mineral. Assim, cada raio vetor da indicatriz
representa uma direção de vibração cujo comprimento é proporcional ao índice de refração do
cristal para as ondas de luz que vibram paralelamente àquela direção. Observe que as indicatrizes
dos minerais mostram as diferenças entre os índices de refração enquanto as superfícies de
velocidade de onda (ou de raio)1, a variação da velocidade. Assim estes dois tipos de representação
geométrica serão iguais mas representando grandezas inversamente proporcionais (pois V»1/n).
As indicatrizes dos minerais são figuras abstratas, ou seja, não podem ser observadas ao
microscópio. Por outro lado esta abstração nos permite localizar e determinar os índices de refração
associados as diferentes faces ou seções de um mineral.
Minerais Isotrópicos:
Em um mineral isotrópico, ou seja um mineral opticamente homogêneo, o índice de refração é
constante, independente da direção considerada, ou seja, o raio de luz se propaga com a mesma
velocidade em todas as direções. Assim as indicatrizes destes minerais serão esferas cujos raios
vetores são proporcionais aos seus índices de refração, conforme mostra a Figura III.1. Dada a
homogeneidade do mineral somente aqueles que se cristalizam em um sistema de maior simetria
serão isotrópicos, ou seja aqueles do sistema isométrico ou cúbico. No outro extremo, substâncias
homogêneas que não possuem nenhum arranjo cristalino, também serão isotrópicas.
Figura III.1: Representação de uma indicatriz isotrópica, que
corresponde a uma esfera cujo raio é proporcional ao índice de
refração do mineral (n).
 
1 Superfície de velocidade de onda é a que une raios que percorreram uma mesma distância em um
mesmo intervalo de tempo – vide capítulo I.
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A propagação de um raio de luz que atravessa um mineral isotrópico é bastante simples de se
avaliar, pois eles não promovem o fenômeno da dupla refração e assim, o raio de luz que parte do
polarizador, atravessa o mineral sem mudar sua direção de vibração. Mesmo que o raio incidente
não seja polarizado, ao atravessar o mineral elecontinuará da mesma forma, conforme mostrado na
Figura III.2. Observe que a superfície onde incide o raio de luz secciona a indicatriz passando por
seu centro geométrico. Como a incidência deste raio se faz com um ângulo de incidência igual a
zero em relação à normal à superfície do mineral, o mesmo irá atravessa-lo sem sofrer nenhum
desvio ou polarização.
Figura III.2 : Incidência normal ou perpendicular à superfície de um mineral isotrópico de raios de luz polarizado (B) e
não polarizado (A). Observe que a a face onde ocorre a incidência secciona o centro da indicatriz resultando um círculo
cujo raio é proporcional ao índice de refração do mineral (n). Para ambos os raios, não há mudança nem na trajetória
nem na direção de polarização da luz.
Minerais Anisotrópicos
Os minerais anisotrópicos são aqueles que apresentam mais do que um índice de refração nas
diferentes direções de propagação da luz no seu interior, e assim, suas indicatrizes são
representadas por elipsóides de revolução de dois ou três eixos, onde cada um deles (também
chamados de raios vetores) representa um índice de refração.
Toda vez que um raio de luz incide sobre a superfície de um mineral anisotrópico transparente este
sofre o chamado “fenômeno da dupla refração”, ou seja, ao se refratar são produzidos dois raios de
luz distintos, que vibram em planos perpendiculares entre si e se propagam no interior do mineral,
Figura .III.3.
________________________________________________ Mineralogia Óptica, Nardy, A.J.R; Machado, F.B, cap.III, pag.23
C
O
E plano de incidência
Figura III.3: Raio de luz não polarizado que incide
num cristal de calcita e sofre o fenômeno da dupla
refração. O raio ordinário (O) vibra
perpendicularmente ao plano de incidência e é
aquele que não sofre desvio ao atravessar o mineral,
ao contrário do extraordinário (E), cuja direção de
vibração é perpendicular àquele plano.
Via de regra os raios refratados produzidos por este fenômeno são chamados de ordinário “O” e
extraordinário “E” sendo que o ordinário segue a lei de Snell para a refração (no caso r = 0),
enquanto o extraordinário não (uma vez que r¹ 0). A direção de polarização (ou vibração) do raio
extraordinário está contida no plano de incidência (que também contém o eixo cristalográfico “c”
do mineral) enquanto que a do ordinário é perpendicular a ele, Figura III.3.
Os minerais anisotrópicos são divididos em dois grandes grupos denominados:
Uniaxiais : com dois índices de refração principais que compreendem os minerais que se cristalizam
nos sistemas trigonal, tetragonal e hexagonal e,
Biaxiais : com três índices de refração principais e compreendem os minerais que se cristalizam nos
sistemas ortorrômbico, monoclínico e triclínico.
A indicatriz uniaxial
A indicatriz de uma substância anisotrópica uniaxial é um elipsóide de revolução com dois eixos
principais, denominados de “E” e “O”, cujos comprimentos são proporcionais, respectivamente,
aos índices de refração dos raios extraordinário - ne e ordinário - nw, que são também chamados de
direções de vibração ou privilegiadas do mineral.. Na Figura III.4, acha-se representada uma
indicatriz uniaxial (tridimensional e segundo uma seção principal), onde o comprimento do raio
vetor “E” é maior do que o de “O” ou seja, ne > nw.
Todas as seções que passam pelo centro geométrico da indicatriz e que contém as direções “E” e
“O”, são chamadas de seções principais e correspondem a elipses. Ao contrário, a seção
perpendicular a direção “E”, ou paralela a “O”, corresponde a um círculo cujo raio é igual a nw e
portanto chamada de seção circular.
________________________________________________ Mineralogia Óptica, Nardy, A.J.R; Machado, F.B, cap.III, pag.24
seção principal
seção circular
Figura III.4: Representações espacial e segundo uma seção principal de uma indicatriz uniaxial onde ne > nw. Observe
que no segundo esquema a direção “O” é perpendicular a seção principal considerada, representada pelo símbolo ¤.
Pode-se então verificar que todo raio que incide na indicatriz, passando pelo seu centro, na direção
de , “E”, atravessa o mineral sem sofrer desvio ou mudança nas direções de propagação e/ou de
vibração. Isto ocorre porque o raio está incidindo na indicatriz perpendicularmente a seção circular,
onde há infinitas direções de vibração todas elas proporcionais a nw. Portanto, segundo esta direção
(E), o raio de luz se comporta como estivesse atravessando um meio isotrópico, pois se incidir
polarizado ou não, permanecerá desta mesma forma ao atravessar o mineral. A esta direção a qual o
mineral se comporta como uma substância isotrópica, e portanto não está sujeita ao fenômeno da
dupla refração, dá-se o nome de eixo óptico.
Os minerais que se cristalizam nos sistemas trigonal, tetragonal e hexagonal, apresentam forte
simetria ao redor do eixo cristalográfico “c”, havendo uma distribuição uniforme de ligações
químicas em todas as direções contidas nos planos (001) ou (0001), que corresponderiam então a
seções circulares nas indicatrizes uniaxiais. Como o eixo óptico é sempre perpendicular a uma
seção circular, nos minerais uniaxiais a direção do eixo óptico será sempre coincidente com o eixo
cristalográfico “c”.
Relações morfológicas dos cristais com as indicatrizes
Na figura III.5, está representado um cristal uniaxial caracterizado por diversas faces e sua
indicatriz disposta em seu centro geométrico (do cristal). Observe que ela foi orientada de forma a
que o eixo óptico (eo) coincidisse com o eixo cristalográfico “c” do cristal.2 Se cada face deste
cristal corta a indicatriz passando pelo seu centro, podemos observar as figuras geométricas
resultantes dessa intersecção, que são denominadas de elipses de intersecção, as quais
correspondem aos índices de refração associados a cada seção específica.
 
2 esta orientação deverá ser sempre obedecida!
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l
i
b
Figura III.5: Índices de refração das faces l, i e b resultantes das elipses de
intersecção de cada uma delas com a indicatriz uniaxial associada.
Observe que na face l, a elipse de intersecção resultante, é
uma elipse com índice de refração maior proporcional a ne e
o menor a nw, ou seja uma seção principal da indicatriz.
Assim, os índices de refração associados à face l são ne e
nw. Para a face b, a elipse de intersecção resultante é um
círculo, cujo raio é proporcional a nw, ou seja, possui apenas
um único índice de refração associado (nw), tendo portanto
comportamento de uma substância isotrópica, pois a seção é
paralela a seção circular da indicatriz (ou perpendicular ao
eixo óptico). A face i, por sua vez, corta a indicatriz de
forma a conter nw e ne’. Isto porque toda a seção que corta a
indicatriz fica “obrigada” a passar pelo seu centro, e assim
sempre conterá a seção circular ou nw. Entretanto, a face i
não é uma seção principal da indicatriz, ou seja, não contém
o eixo óptico. Assim esta face corta a indicatriz de forma a
conter um índice de refração para o raio extraordinário um
pouco diferente de ne e portanto chamado de ne’.
A incidência e a propagação da luz em minerais uniaxiais
Para que possamos entender melhor a interação da luz em uma indicatriz uniaxial, vejamos o que
ocorre com um raio de luz que incide perpendicularmente à superfície, nas seguintes situações:
1º caso Þ Incidência na direção do eixo óptico
Observando a Figura III.6, vê-se que a face inferior do mineral secciona a indicatriz paralelamente
a seção circular ou perpendicularmente ao eixo óptico (1) e que os raios de luz incidentes são todos
perpendiculares à face do mineral. Se o raio de luz for polarizado ou não (1 e 2), observe que eles
atravessam o mineral sem sofrer desvio ou alteração tanto em suas trajetóriasquanto nas direções
de polarização.
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Figura III.6: Incidência normal de raios de luz polarizados (2) ou não (3) na face inferior de um mineral anisotrópico
uniaxial com ne > nw, segundo a direção do eixo óptico (1).
2º caso Þ Incidência paralela ao eixo óptico ou segundo uma seção principal
Um raio de luz não polarizado que incide normalmente na superfície de um cristal, paralelamente a
uma seção principal (aquela que contém o eixo óptico), conforme esquema 1 mostrado na Figura
III.7, sofrerá o fenômeno da dupla refração, com o surgimento de dois raios de luz, ordinário (O) e
extraordinário (E), que vibram em planos ortogonais entre si. Por outro lado se um raio de luz
polarizado incidir normalmente na superfície de um cristal vibrando paralelamente a ao eixo óptico,
conforme esquema 2 da Figura III.7, este atravessará o cristal sem sofrer desvio pois sua direção de
polarização é paralela a uma direção privilegiada da indicatriz.
3º caso Þ Incidência paralela à direção “O” ou perpendicularmente ao eixo óptico
Um raio de luz polarizado perpendicularmente ao eixo óptico ou paralelamente a direção de “O”,
incidindo normalmente à superfície de um cristal anisotrópico uniaxial, conforme mostrado no
esquema 3 da Figura III.7, atravessará o cristal sem sofrer dupla refração, pelo mesmo motivo
explicado para o segundo caso, ou seja, sua direção de polarização é paralela a uma direção
privilegiada da indicatriz. Para o caso em que a luz não é polarizada, o mecanismo de refração é o
mesmo do descrito no 2º caso.
E
ne
nw
 seção 
circular
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4º caso Þ Incidência não paralela a nenhuma direção privilegiada
Se um raio de luz polarizado segundo uma direção qualquer e não coincidente com nenhuma das
direções privilegiadas da indicatriz, incidir perpendicularmente à superfície do cristal, conforme o
caso 4 da Figura III.7, este sofrerá o fenômeno da dupla refração, surgindo dois raios de luz com
índices de refração e direções de vibração proporcionais a E e a O.
Figura III.7: Raios de luz incidindo normalmente à superfície de um mineral uniaxial segundo diferentes direções, para
os seguintes casos:
Raio de luz não polarizado (1) e polarizado (2), incidindo paralelamente ao eixo óptico ou segundo uma seção
principal;
Raio de luz polarizado incidindo paralelamente a direção “O” ou perpendicularmente ao eixo óptico (3);
Raio de luz polarizado incidindo segundo uma direção qualquer porém não paralela a E ou a O.
________________________________________________ Mineralogia Óptica, Nardy, A.J.R; Machado, F.B, cap.III, pag.28
Índices de refração associados a um raio qualquer
Quando a incidência dos raios de luz em uma indicatriz não se faz segundo uma de suas direções
privilegiadas (conforme foi visto no 4o caso do item anterior), o que ocorre quando se trabalha com
luz convergente (conoscopia), torna-se importante determinar quais são os índices de refração
associados àquele raio. Considere o caso mostrado na Figura III.8 (a), observe que o raio de luz
incide na indicatriz, passando pelo seu centro, segundo a direção r –r1, fazendo um ângulo q com o
eixo óptico (= eixo cristalográfico c = direção E da elipse).
Os índices de refração a que estarão associados a esse raio serão aqueles perpendiculares a sua
direção de propagação. Assim, traçamos um plano perpendicular à direção do raio r-r1 e
observamos que a figura de intersecção obtida contém os índices de refração n’e e nw, Figura III.8
(b). Assim o raio r-r1 que atinge a indicatriz segundo um ângulo q em relação ao eixo óptico,
sofrerá o fenômeno da dupla refração surgindo dois raios de luz um extraordinário, que vibra
paralelamente a direção E’ e tem índice de refração igual a n’e e o outro, ordinário que vibra
segundo a direção O e tem índice de refração igual a nw. Na Figura III.8 (b), para facilitar a
representação gráfica, está assinalado apenas o raio normal aos extraordinário e ordinário, pois de
fato o que nos interessam são as suas direções de vibração e não as suas trajetórias individuais,
representadas no plano de uma seção principal na Figura III.8(c).
Figura III.8: Índices de refração associados a um raio – r-r1, que incide em uma indicatriz formando um ângulo Q com
a direção “E”. Observe em (A) que o raio passa pelo centro da indicatriz e atravessando a seção circular. Como os
índices de refração associados a um raio são aqueles perpendiculares a sua direção de propagação, em (B), foi traçado
um plano perpendicular a r-r1 que produz uma elipse de intersecção com eixo maior na direção de E’ e com eixo menor
a “O”, correspondendo, respectivamente, aos índices de refração ne’ e nw, ambos perpendiculares entre si e ao raio
incidente (r-r1). Em (C) estão projetados na seção principal os elementos representados em (B).
Se quisermos, podemos determinar ne’ através da expressão ¶
2
1
2
2
2
]sen)1(1[
'
q
e
w
we
-+
=
n
n
n
n
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Sinal óptico dos minerais uniaxiais
Sinal óptico de um mineral é a relação entre seus índices de refração principais. Para os minerais
uniaxiais, o sinal óptico é a relação entre os índices de refração dos raios extraordinário e ordinário.
Assim quando o índice de refração do raio extraordinário (ne) for maior que o do ordinário (nw),
diz-se que o mineral tem sinal óptico positivo. Nessa situação, a indicatriz será uma elipse de
revolução alongada segundo a direção do eixo óptico - prolato, Figura III.X.
No caso contrário, quando o índice de refração do raio ordinário for maior do que o do raio
extraordinário, o mineral terá sinal óptico negativo e sua indicatriz será achatada segundo a direção
do eixo óptico – oblato (terá a forma de um pão de hambúrguer), Figura III.9.
Figura III.9: Representações de indicatrizes uniaxiais de sinais ópticos positivo (+) e negativo (-) projetados em uma
das seções principais do elipsóide3.
 
3 não há relação entre o comprimento do eixo cristalográfico “c” com aquele assumido por ne na
indicatriz, ou seja, os minerais uniaxiais positivos não terão eixos cristalográficos “c” maiores do que
aqueles dos negativos.
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Veja alguns exemplos de minerais uniaxiais:
Mineral zircão: sistema cristalino tetragonal, ne= 1,967, nw= 1,920 uniaxial positivo (Figura
III.10).
Figura III.10: Cristal de zircão exibindo a indicatriz uniaxial positiva em seu interior e as elipses de intersecção
para cada face discriminada
Berilo: sistema cristalino hexagonal, ne= 1,557, nw= 1,560 uniaxial negativo (Figura III.11).
Figura III.11: Cristal de berilo exibindo a indicatriz uniaxial negativa em seu interior e as elipses de intersecção para
cada face discriminada.
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Minerais anisotrópicos biaxiais
Quando iniciamos o estudo sobre as indicatrizes dos minerais, abordamos inicialmente aquelas
isotrópicas por serem as mais simples de todas, apresentando apenas um único índice de refração.
Do ponto de vista cristalográfico os minerais isotrópicos apresentam maior grau de simetria pois
pertencem ao sistema isométrico, onde apenas um único parâmetro de cela é necessário para sua
descrição.
As indicatrizes anisotrópicas, vimos, são caracterizadas por mais de um índice de refração. Aquelas
uniaxiais, apresentam dois deles (ne e nw) e consequentemente, suas indicatrizes são representadas
porelipsóides de revolução de dois eixos (E e O). São uniaxiais os minerais que cristalizam-se nos
sistemas trigonal, tetragonal e hexagonal. Estes três sistemas são caracterizados por uma forte
simetria ao redor do eixo cristalográfico “C” (é a direção que apresenta um eixo de maior ordem do
sistema cristalino), sendo necessários dois parâmetros de cela para sua descrição: uma na direção
de “c” e outra perpendicular a ele (a = b ¹ c), daí seus dois índices de refração.
As indicatrizes anisotrópicas biaxiais, são representadas por elipsóides de revolução com três eixos
principais, onde cada um deles representa um índice de refração (na, nb e ng). De fato, os sistemas
cristalinos ortorrômbico, monoclínico e triclínico apresentam um grau de simetria menor ainda do
que aqueles uniaxiais, sendo necessários três parâmetros de cela para caracteriza-los (a ¹ b ¹ c).
Os três eixos principais do elipsóide biaxial são denominados de “X”, “Y“ e “Z”, cujos
comprimentos são proporcionais, respectivamente, aos índices de refração dos raios na, nb e ng,
também chamados de direções de vibração ou privilegiadas do mineral. Na Figura III.12, acha-se
representada uma indicatriz biaxial (tridimensional e segundo uma seção principal), onde a na < nb
< ng. Esta relação será sempre verificada nos minerais biaxiais, ao contrário daqueles uniaxiais
onde ne pode ser maior ou menor que nw.
Figura III.12: Indicatriz biaxial mostrando as relações entre as direções X, Y e Z da elipse com os índices de refração
na, nb e ng. Observe a relação na < nb < ng, que é sempre obedecida na óptica dos cristais biaxiais. Duas seções
circulares de raio proporciona a nb e portanto com direção de Y estão presentes.
A indicatriz biaxial, mostra três seções principais: X-Y, X-Z, Z-Y, todas elas correspondendo a
elipses, Figura III.13. Na seção X-Y, estão presentes os índices na e nb; na X-Z, na e ng; e na Z-Y,
ng e ; nb .
eo eo
Y
XSeção Circular
Seção Principal (ZX)
 Plano Óptico
2 V
eo eo
SC
SC
na
________________________________________________ Mineralogia Óptica, Nardy, A.J.R; Machado, F.B, cap.III, pag.32
Z
X
Z'Z '
YY
X' X'
 seção
circular
 seção
circular
Figura III.13: Indicatriz Biaxial, mostrando três seções principais da
indicatriz e os índices de refração associados a cada uma delas. Observe que
todas elas são elípticas e:
 Seção ZY – estão associados os índices de refração ng e nb,
 Seção XZ- estão associados os índices de refração na e ng,
 Seção XY- estão associados os índices de refração na e nb
Geometricamente podemos observar na seção principal da indicatriz definida por X-Z, ou seja a
seção que contém as direções de maior (Z) e menor comprimento (X), que existem duas seções que
contém o eixo de comprimento intermediário – Y, que correspondem a duas seções circulares,
cujos raios são iguais a nb ., conforme esquematizado na Figura III.14.
Figura III.14: Representação da indicatriz biaxial segundo a seção principal
X-Z. Observe que seções inclinadas a Z (por exemplo Z’) terão índices de
refração progressivamente menores (veja que o comprimento de ng’,
associado a direção Z’, é menor do que o de ng, que está associado a Z).
Observe também que as seções inclinadas a X (por exemplo X’) terão índices
de refração progressivamente maiores (veja que o comprimento de na’,
associado a direção X’, é maior do que o de na, que está associado a X).
Consequentemente, haverá uma certa seção, entre X e Z que coincidirá com a
direção Y da indicatriz, tendo como índice de refração, nb. Por construção,
esta seção é uma seção circular (ao contrário das demais que são elípticas)
com raio equivalente a nb.
Como perpendicular a uma seção circular há sempre um eixo óptico associado, as indicatrizes
biaxiais possuem dois eixos ópticos e os raios que se propagam segundo essas direções, estarão
submetidos, todos, ao mesmo índice de refração nb . Observe na Figura III.12, que os eixos ópticos
estão contidos na seção principal XZ, que recebe então a designação de plano óptico e o ângulo
agudo que eles formam entre si, medido sobre este plano, recebe a designação de ângulo 2V.
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Relações morfológicas dos cristais com as indicatrizes
Na Figura III.15, está representado um cristal biaxial caracterizado por diversas faces e sua
indicatriz disposta em seu centro geométrico a exemplo do que foi feito no estudo das indicatrizes
uniaxiais. Observe que as diferentes faces do cristal cortam a indicatriz resultando elipses de
intersecção distintas, e assim, índices de refração distintos em cada face específica.
Observe por exemplo, que a face XZ corta a indicatriz resultando em uma elipse de intersecção
com eixo maior igual a Z e menor igual a X, ou seja os índices de refração associados a ela serão
na e ng (observe que a face considerada é paralela. a seção principal XZ da indicatriz). Seguindo o
mesmo raciocínio, para a face XY os índices de refração associados seriam na e nb , para a YZ nb e
ng, e até que em YC apenas nb .
Figura III.15: Relações entre os índices de refração associados as diferentes faces de um cristal biaxial. As faces XZ,
XY, YZ correspondem às seções principais homônimas da indicatriz e, como os índices de refração associados a uma
face serão aqueles que ficam contidos no plano de intersecção da face do mineral com a sua indicatriz (elipse de
intersecção), teremos para XZ: na e n g, XY: na e nb, YZ- nb e ng. Observe também que a face X’Y corta a indicatriz
segundo Y mas de forma inclinada em relação a X e consequentemente os índices de refração associados seriam na’ e
nb. Para a face X’Z’, veja que ela secciona a indicatriz de forma inclinada em relação a X e a Z e portanto, os índices
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W
Figura III.16: Incidência normal de um raio de luz não po-
 larizado em um plano geral de um mineral biaxial.
de refração associados seriam na’e ng’. Situação inversa acontece na face Y, pois ela é exatamente paralela a seção
circular da indicatriz e por conseqüência, o índice de refração a ela associada seria apenas nb.
Alguns casos de incidência da luz em superfícies cristalinas biaxiais
Todos os casos a serem analisados referem-se à incidência normal sobre a superfície cristalina, ou
seja, i = 0. Sempre que um raio de luz incide em uma superfície anisotrópica, os índices de refração
que estarão associados a ele, serão aqueles perpendiculares a sua direção de propagação. Tendo
isso em mente, analisemos os casos abaixo:
1º caso Þ Incidência em planos gerais
Planos gerais são aqueles em que a face
ou seção do mineral não contém nenhum
índice de refração principal da indicatriz.
Corresponderia (e de fato sempre
corresponderá!) a face X’Z’ da Figura
III.15.
Para a incidência normal de um raio de
luz não polarizado em uma seção X’Z’,
conforme representado na Figura III.16,
surgirão dois raios de luz, OR1 e OR2 que
terão direções de polarização paralelos a
OZ’ e OX’, respectivamente, conforme
mostra a Figura III.16. Estes dois raios
(OR1 e OR2), estarão contidos nos planos
definidos por estas retas, suas direções de
propagação e a normal a estas direções
(OW). Suas direções de propagação serão aquelas definidas por seus raios conjugados, sendo OR1
o raio conjugado de OZ’ e OR2 o de OX’ Observe que nesta situação, ambos os raios (OR1 e OR2)
têm comportamento de raios extraordinários. Por outro lado, se o raio de luz estiver polarizado, os
raios refratados dependerão da direção de polarização da luz. Se a luz acha-se polarizada segundo a
direção OX’, o raio a ser refratado será unicamente o raio OR2. Porém se ele estiver polarizado
segundo a direção OZ’, o raio refratado será apenas OR1. Entretanto, se a direção de polarizaçãoda
luz não coincide com nenhuma das direções “privilegiadas”, a luz será decomposta na refração
segundo as direções OX’ e OZ’, com o aparecimento de ambos os raios, OR1 e OR2.
2º caso Þ Incidência em planos semi-gerais
Plano semi-geral é aquele em que a face ou a seção do mineral, contém um eixo principal da elipse.
É o caso por exemplo da face X’Y da Figura III.15. Portanto, trata-se de um caso mais particular
que o anterior, pois um semi-eixo da elipse de intersecção é exatamente o mesmo da indicatriz. Na
Figura III.17, um raio de luz não polarizado, incide perpendicularmente ao plano semi geral X’Y de
um mineral biaxial. Com isso há, devido ao fenômeno da dupla refração, o surgimento de dois raios
de luz OR1 e OR2. Como as direções de vibração (ou índices de refração) associados a um raio são
aquelas perpendiculares a sua direção de propagação e seguindo o mesmo raciocínio do caso
anterior, o raio
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Figura III.17: Incidência normal de um raio de luz não po-
larizado em um plano semi-geral de um mineral biaxial.
Figura III.18: Incidência normal de um raio de luz não pola-
 rizado em um plano principal de um mineral biaxial.
OR1 terá direção de vibração de OZ (estará
contido no plano definido por OR1 – OZ e
OW) enquanto que o OR2, a direção de
vibração de OX’ (estará contido no plano
definido por OR2 – OX’ e OW), ou seja o
raio OR1 é o raio conjugado de OZ
enquanto que o OR2 é conjugado de OX’.
Além disso, observe que a normal a frente
de onda dos raios OR1 e OR2 (OW)
coincide com OR1. Com isso, a construção
apresentada na Figura III.17, evidencia que
o raio OR1 tem comportamento de raio
ordinário (prevista pela lei de Snell, pois o
ângulo entre o raio de incidência e a
normal a superfície do mineral é igual a
zero) enquanto que o OR2 se comporta
como um raio extraordinário (pois não
obedece a lei de Snell). Se o raio de luz que incide nesta superfície do mineral for polarizado, o
efeito será o mesmo descrito no caso 1
3º caso Þ Incidência em planos principais
É um caso ainda mais particular de
incidência de luz em um cristal
anisotrópico biaxial, pois a seção, ou a
face do mineral, corta a indicatriz de
forma a conter dois eixos principais da
elipse (X, Y, Z), que é recebe a
designação de plano principal. Na
Figura III.15, como para qualquer
mineral biaxial, reconhecemos as faces
XY, YZ e XZ como planos principais
da indicatriz.
Para um raio de luz não polarizado
incidindo sobre o plano principal YZ
(conforme mostrado na Figura III.18)
e, se empregarmos o mesmo raciocínio
que utilizamos para identificarmos as
direções de propagação e vibração dos
raios resultantes do fenômeno da dupla refração promovido pelo mineral biaxial, teremos a situação
representada na Figura III.18. Observe que os raios conjugados da direções OY e OZ são paralelos
entre si e consequentemente os raios OR1, OR2 e a normal a frente de onda destes dois raios (OW)
também são coincidentes. Neste caso, os dois raios, OR1 e OR2, têm comportamento de raios
ordinários.
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Neste caso, se a luz for polarizada, e se a direção de polarização coincidir com OX ou OY só
haverá um raio refratado (OR1 e OR2, respectivamente).
Observe que a terminologia empregada nos minerais uniaxiais, onde designamos as direções do
elipsóide e os índices de refração da indicatriz como sendo do raio ordinário (O, nw) e
extraordinário (E, ne) é imprópria para as indicatrizes biaxiais, pois associados a uma seção
poderemos ter dois raios extraordinários (caso 1), um raio ordinário e outro extraordinário (caso 2)
ou dois raios ordinários (caso 3). Assim, no estudo das indicatrizes biaxiais, utilizamos a
designação de raios lento ou rápido. Como nos minerais biaxiais, os índices de refração associados
as direções X (na), Y (nb) e Z (ng), obedecem sempre a relação na < nb < ng, ao índice de refração
associado a X (na) corresponderá sempre o do raio rápido e a Z (ng) o raio lento. Quanto a direção
Y ou a nb , dependerá a qual outra direção ou índice de refração ele esteja associado. Se for a X, nb
corresponderá ao raio rápido mas, se for a X ou a na, será o raio lento.
Orientação das indicatrizes em função dos eixos cristalográficos dos minerais.
Vimos que os minerais biaxiais são aqueles que se cristalizam nos sistemas ortorrômbico,
monoclínico e triclínico. Como as propriedades ópticas de um mineral são função de sua estrutura e
simetria cristalina, deve-se esperar que a estrutura cristalina ordene a sua indicatriz óptica.
Sistema ortorrômbico: os minerais deste sistema possuem três eixos cristalográficos,
perpendiculares entre si, porém com comprimentos diferentes. Estes três eixos cristalográficos
coincidirão, necessariamente, com as três direções ópticas, porém sem nenhuma relação exclusiva,
conforme mostram a Figura III.19.A e Tabela III.1.
Sistema monoclinico: os minerais do sistema monoclínico, tem no eixo cristalográfico b o único
eixo de simetria binário, com um plano de reflexão perpendicular a ele (no caso exclusivo da classe
prismática), conforme mostra a Figura III.19.B. Neste plano de simetria, estão contidos os eixos
cristalográficos a e c que por sua vez são perpendiculares a b. Assim o eixo cristalográfico b
coincidirá com um das direções X, Y ou Z da indicatriz.
Sistema triclínico: no sistema triclínico, o comprimento dos eixos cristalográficos são todos
diferentes entre si não formando ângulos retos. Como não há elementos de simetria no sistema (a
não ser um centro de inversão), os eixos da indicatriz não coincidem com nenhum dos eixos
cristalográficos.
 Sistema a b c
Ortorrômbico coincide
X, Y ou Z
 coincide
X, Y ou Z
 coincide
X, Y ou Z
Monoclínico não
 coincide
 coincide
X, Y ou Z
 não
 coincide
Triclínico não
 coincide
 não
 coincide
 não
 coincide
 Relação esquemática entre os eixos cristalográficos a,
 b e c com os eixos X, Y e Z da indicatriz biaxial.
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Figura III.19: Relação entre as indicatriz e os eixos cristalográficos dos minerais dos sistemas ortorrômbico (A),
monoclínico (B) e triclínico (C). a, b e c são os eixos cristalográficos, X, Y e Z as direções da indicatriz biaxial. O
plano hachuriado no interior dos minerais, corresponde ao um plano óptico da indicatriz que coincide com planos de
reflexão nos casos dos sistemas ortorrômbico (classes piramidal e bipiramidal) e monoclínico (classe prismática).
Índices de refração associados a um raio qualquer
Quando a incidência dos raios de luz em uma indicatriz não for normal a superfície do mineral ou
não coincidir com uma de suas direções privilegiadas (conforme foi visto no 1o caso do item
anterior), podemos determinar os índices de refração a eles associados se considerarmos que os
índices de refração a ele associados (ou as direções X, Y ou Z da indicatriz) serão aqueles
perpendiculares a sua direção de propagação na indicatriz óptica.. Considere o caso mostrado na
Figura III.20 e observe que o raio de luz incide na indicatriz, passando pelo seu centro, segundo a
direção Ri, fazendo um ângulo q em relação a direção Z da indicatriz.
Assim, traçamos um plano perpendicular à direção do raio R – R’ e observamos que a figura de
intersecção obtida, uma elipse, contém os índices de refração ng’e na’ Figura III.20. Assim o raio
R-R’ que atinge a indicatriz segundo um ângulo q em relação a direção Z da indicatriz, sofrerá o
fenômeno da dupla refração surgindo dois raios de luz um deleslento (l), que vibra paralelamente a
direção Z’ e tem índice de refração igual a ng’ e o outro, rápido (r) que vibra segundo a direção X’
e tem índice de refração igual a na’.De fato na Figura III.20, está assinalado apenas o raio normal
aos raios lento e rápido, pois o que nos interessam são as suas direções de vibração e não as suas
trajetórias individuais.
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R'
n
'g
n 'a
l
r
R
Figura III.20: Índices de refração associados a um raio Ri que
incide em uma indicatriz formando um ângulo Q com a direção Z.
Observe que o raio passa pelo centro da indicatriz. Como os
índices de refração associados a um raio são aqueles
perpendiculares a sua direção de propagação, foi traçado um plano
perpendicular a R – R’ que produz uma elipse de intersecção
(hachuriada na figura) com eixo maior na direção de Z’ e com eixo
menor a X’, correspondendo, respectivamente, aos índices de
refração ng’ e na’ ambos perpendiculares entre si e ao raio
incidente (R-R’); “r” e “l”, são as direções de vibração dos raios
refratados proporcionais a ng’ e na’.
Sinal Óptico e Ângulo 2V
Tendo em vista que a relação na < nb < ng é sempre obedecida, o sinal óptico dos minerais é dado
pela relação entre o valor assumido pelo índice de refração intermediário (nb) em comparação
aquele maior (ng) e menor (na). Desta forma, quando o valor numérico de nb se aproximar mais de
na, o mineral terá sinal positivo. Ao contrário, quando nb se aproximar de ng, o mineral terá sinal
óptico negativo.
Veja os exemplos das Figuras III.21 e III.22.
Figura III.21: Mineral: Silimanita
Índices de refração:
na= 1,657; nb= 1,658 e ng= 1,677
Como o valor de nb está mais próximo de na do que de ng (nb-na= 0,001 < ng-na= 0,019) o sinal
óptico da silimanita é positivo.
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Legenda: BXA= bissetriz aguda, P.O.= plano óptico; a,b,c= eixos cristalográficos, X, Y e Z=
direções ópticas, 2V= ângulo formado pelos dois eixos ópticos medidos no plano óptico.1
Figura III.22: Mineral: Faialita
Índices de refração:
na= 1,8005; nb= 1,838 e ng= 1,847
Como o valor de nb está mais próximo de ng do que de na (nb-na= 0,033 > ng-na= 0,009) o sinal
óptico da faialita é negativo.
Legenda: BXA= bissetriz aguda, P.O.= plano óptico; a,b,c= eixos cristalográficos, X, Y e Z=
direções ópticas, 2V= ângulo formado pelos dois eixos ópticos medidos no plano óptico1.
Observe que quando o mineral apresenta sinal óptico positivo a bissetriz aguda (BXA) do ângulo
2V é a direção Z da indicatriz e quando for negativo, a bissetriz aguda será a direção X. Isto ocorre
porque todo eixo óptico é perpendicular a uma seção circular. No caso dos minerais biaxiais, a
seção circular se posiciona na indicatriz segundo a direção de Y e o seu raio é proporcional a nb
(Figura III.12). Vimos que quando o mineral é positivo, nb se aproxima de na (ou Y se aproxima
de X) e como o eixo óptico é perpendicular a seção circular, o eixo óptico se aproximará de Z,
conforme mostra a Figura III.23
 
1 Obs: os eixos ópticos estão assinalados com uma bolinha cheia na sua extremidade e por um arco cuja parte convexa
aponta para a direção da inclinação do eixo óptico (da parte côncava para a convexa).
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 (B)
Biaxial -
2 V
eo eo
 (A)
Biaxial +
2
 V
eo
eo
Figura III.23: Representação em uma indicatriz biaxial da disposição do
eixo óptico (em termos de inclinação a direção Z , ou seja o ângulo V)
com a variação do índice de refração nb. Às seções circulares nb1, nb2 e
nb3, estão associados respectivamente, os eixos ópticos eo1, eo2 e eo3.
Observe que os eixos ópticos são perpendiculares a suas respectivas
seções circulares e que ao conjunto eo1-sc1, etc corresponderia a um
mineral específico.
A medida que o valor de nb aumenta (de nb1 para nb3) ou seja, ele se desloca em direção a Z (ng),
o ângulo V também aumenta de forma ao eixo óptico se aproximar progressivamente de X.
Na Figura III.24, acham-se representadas as indicatrizes biaxiais de sinais ópticos positivo(A) e
negativo (B), projetados no plano ZX, mostrando que quando positivos, a bissetriz aguda do ângulo
2V corresponde a Z e a bissetriz obtusa a X. Por outro lado, quando negativo, a bissetriz aguda do
ângulo 2V corresponde a X e a obtusa (BXO) a Z.
Figura III.24: Indicatrizes de minerais biaxiais de sinais ópticos positivo (A) e negativo (B). Legenda: sc= seção
circular, BXA= bissetriz aguda, BXO= bissetriz obtusa, eo= eixo óptico, 2V= ângulo entre os dois eixos ópticos, na,
nb e ng são os índices de refração associados, respectivamente, as direções X, Y e Z da indicatriz. (Observe que os
esquemas representados nestas figuras são as elipses de intersecção da seção XZ com as indicatrizes biaxiais positiva e
negativa).
________________________________________________ Mineralogia Óptica, Nardy, A.J.R; Machado, F.B, cap.III, pag.41
2
gab nnn +=
)(
)(cos
222
222
2
agb
bga
nnn
nnn
VZ -
-=
A indefinição do sinal óptico
Como o sinal óptico dos minerais biaxiais é função do valor assumido por nb em relação a na e nb ,
de tal forma que quando nb se aproximar de na o sinal óptico do mineral será positivo e, será
negativo, quando nb se aproximar de ng. Porém, existe um valor em que nb será exatamente o valor
médio entre estes dois valores ou:
Com isso, diz-se que o mineral tem sinal óptico indefinido ou ainda nulo e o seu ângulo 2V, será
igual a 90o ou seja, um eixo óptico estará disposto sobre a seção circular do outro eixo óptico!
Embora esta situação pareça ser apenas uma possibilidade teórica, de fato existem minerais que se
enquadram nesta situação. Como exemplo a forsterita (o extremo de composição magnesiana do
grupo da olivina) tem ângulo 2V entre 85 a 90o e índices de refração variando nos intervalos: na=
1,635 – 1,640; nb= 1,651 – 1,660; ng= 1,670 – 1,680.
A relação entre os índices de refração e o ângulo 2V
Vimos anteriormente que a disposição dos eixos ópticos na indicatriz óptica, é função dos valores
assumidos pelos diferentes índices de refração dos minerais. Como os eixos ópticos são
perpendiculares às seções circulares, que correspondem a direção Y (ou raio igual a nb),
normalmente se diz que as posições dos eixos ópticos são controlados pelo índice de refração nb .
No item anterior, esta relação ficou bastante clara, pois quando o valor de nb se igualou a média
dos índices de refração extremos da indicatriz (na e ng), o sinal óptico do mineral se tornou
indefinido.
Assim, pode-se a partir dos valores dos índices de refração do mineral e através da equação que
define as relações geométricas em uma elipse de revolução com três eixos, estabelecer as seguintes
relações para o ângulo 2V:
 ou
Onde: VZ=, metade do ângulo 2V, medido entre o eixo Z da indicatriz até o eixo óptico
 Vx= metade do ângulo 2V, medido entre o eixo X da indicatriz até o eixo óptico
Baseado nestas equações, Mertie (1942) construiu um diagrama onde o valor do ângulo 2V pode
ser estimado para os minerais biaxiais, conforme mostrado na Figura III.25.
)(
)(cos
222
222
2
agb
abg
nnn
nnn
VX -
-=
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Nele, os valores de na são plotados na ordenada do lado esquerdo do diagrama, e os de ng do lado
direito. Uma linha une estes dois pontos e sobre ela é assinalado o valor de nb . A projeção do ponto
obtido sobre a abcissa, corresponde ao valor do ângulo 2V, conforme mostra o exemplo, na Figura
III.25, de um