Prévia do material em texto

Instrumentação
para Sistemas
Energéticos e Industriais
1a. Edição
Itajubá, outubro de 2006
Instrumentação
para Sistemas
Energéticos e Industriais
Zulcy de Souza
Edson da Costa Bortoni
Itajubá, outubro de 2006
Diagramação e Criação da capa
novosdias 
soluções gráficas
(35) 9986-3214
ISBN: XX-XXXXX-XX-X
FICHA CATALOGRÁFICA
prefácio
O ser humano é dotado de sentidos para observar o mundo. Desde o princípio ele busca 
constantemente ampliar estes dons, desenvolvendo métodos e aplicações que facilitam 
a avaliação dos fenômenos que acontecem à sua volta. Para não expor a sua integridade 
física, os sentidos são utilizados de forma indireta, imitando-se à visão, audição e toque. 
É com este objetivo que os instrumentos de medição, por mais rudimentar que possam 
ser vem sendo criados. 
Nos processos industriais é de importância capital para o sucesso tecnológico do mun-
do atual a utilização de instrumentação. Neste sentido, o domínio de geração de energia 
hidráulica merece uma especial atenção, uma vez que tanto no mercado mundial, quan-
to principalmente no mercado brasileiro, esta maneira de produzir energia tem uma 
participação significativa na matriz energética. 
É ainda notória, no meio técnica, a falta de literatura específica sobre instrumentação 
que possa ajudar os técnicos no entendimento conceitual, desenvolvimento de projeto, 
escolha e utilização de instrumentação adequada para os sistemas de geração de ener-
gia hidráulica. Nos parece então indispensável um trabalho de base que possa elucidar 
e orientar as pessoas neste domínio tão vasto da tecnologia.Não menos importante no 
campo da engenharia, a busca de aplicação objetiva e assertiva da tecnologia disponí-
vel é constante pelo fato de afetar diretamente o resultado financeiro de um projeto. ‘
No contexto acima, a idéia de apresentar um livro de instrumentação voltado para o que 
há de mais avançado para a geração de energia hidráulica e buscando o Estado da Arte 
de maneira concisa foi tomando forma. Os diversos aspectos da instrumentação são 
abordados de forma simples e direta, o que facilito sobremaneira o entendimento do 
leitor. Não se buscou neste livro apenas a catalogação e descrição detalhada dos vários 
tipos de instrumentação, mas apresentar os fenômenos físicos que atuam no processo 
das medições, conseguindo com isso uma tradução inteligível pelo ser humano. O que 
está atualmente disponível pode se considerado não somente como um documento de 
base, mas de consulta, útil para nortear a atuação dos técnicos. 
Desejando o acolhimento favorável e merecido desta obra por todos que se vivenciam 
este assunto, felicito e agradeço aos autores que trabalharam “duro” para dar esta impor-
tante contribuição. 
Luciano Teixeira dos Santos
preâmbulo
A caracterização completa instantânea ou média do estado de um sistema sólido 
ou fluido, seja líquido ou gasoso, no espaço e no tempo, dentro de um volume de 
controle pré estabelecido, somente pode ser feita através de medidas de suas pro-
priedades entre as quais se destacam:
• posicionamento e limites do volume de controle a ser caracterizado;
• regime inercial ou de escoamento;
• massa específica - densidade ;
• viscosidade, no caso de fluido;
• cor;
• textura; 
• temperatura;
• pressão, elasticidade e tensão superficial, no caso de fluido;
• velocidades e sua distribuição espacial;
• composição física-química-biológica;
Nos vários Capítulos do Livro serão apresentadas particularidades e como, pratica-
mente, algumas destas propriedades que caracterizam o sistema podem ser obtidas 
em nível de laboratório e de campo.
Para tanto, em tese, estes Capítulos contem:
Capitulo 1 - Sistema de Medição. O capítulo é iniciado com os postulados que nor-
teia a teoria dos erros, base teórica da possibilidade para determinação prática de 
qualquer propriedade, sendo encerrado com recomendações para que a medida de 
uma propriedade possa ser obtida dentro de um balizamento previamente estabe-
lecido.
Capítulos 2, 3, 4, 5, e 6. Nestes capítulos serão apresentados os fundamentos que 
norteiam o estabelecimento da instrumentação de captação, os circuitos de medi-
das com suas saídas, suas limitações e recomendações de quando e como devem 
ser instalados e operacionalizados objetivando medir temperaturas, deslocamentos, 
níveis, pressões, velocidades, vazões e volumes, sempre em volumes de controle e 
condicionantes preestabelecidas. Também, na maioria dos Capítulos apresenta-se a 
instrumentação já industrializada fabricada em série ou por encomenda. O último 
item do Capítulo 6 contem métodos expedidos e de baixo custo, que poderão ser 
utilizados para medir volumes bombeados, sejam diários, semanais ou mensais.
No final do livro, é apresentada uma Bibliografia indicativa e um Índice Remissivo. 
Devido a grande amplitude dos temas que constituem o Livro, os autores, exausti-
vamente consultaram e usaram a bibliografia apresentada, sem fazer citação dire-
tamente no texto, na maioria dos casos, pelo qual se penitenciam junto a todos os 
autores.
No que se refere às fotografias de instrumentos, as mesmas, em sua grande maioria 
foram retiradas de catálogos de fabricantes, citados na bibliografia e também, dispo-
níveis na Internet, sendo que, na maioria delas pelo menos o nome do fabricante é 
citado junto com a fotografia correspondente.
Considerando a grande variedade de simbologia utilizada nos Capítulos, bem como 
letras, números ou conjunto deles, representando uma mesma grandeza ou carac-
terística, os autores preferiram identifica-las em suas ocorrências e não em um item 
específico como usualmente é feito.
Os autores estão abertos para receberem comentários, críticas e recomendações so-
bre forma e conteúdo dos assuntos tratados, os quais poderão ser feitos pela Internet 
nos seguintes endereços: zulcy@unifei.edu.br e bortoni@unifei.edu.br.
Finalmente, os autores agradecem a todos que colaboraram direta ou indiretamente 
para que o Livro fosse escrito e editado, particularmente ao Prof. Dr. Geraldo Tiago 
Filho e a Mestre em Engenharia Gessa Tiburcio Caetano que escreveram e ilustraram 
o item 6.18, Método Direto de Medida de Vazão em Canal por Onda Sonora – Corre-
tômetro Acústico de efeito Doppler – ADCP.
Agradecimentos especiais a ALSTOM Brasil Ltda. nas pessoas do Diretor Carlos Al-
berto C. Almeida e do Manager Luciano Teixeira dos Santos por tornarem possível a 
publicação deste livro.
Os Autores
índice
PREFÁCIO
PREÂMBULO
1 SISTEMA DE MEDIÇÃO
1.1 POSTULADOS ............................................................................................................... 2
1.2 CONCEITOS .................................................................................................................... 3
1.3 FERRAMENTAL ESTATÍSTICO .................................................................................. 10
1.4 CARACTERÍSTICAS ESTATÍSTICAS DOS INSTRUMENTOS DE MEDIÇÃO .. 15
1.5 CARACTERÍSTICAS DINÂMICAS DOS INSTRUMENTOS DE MEDIÇÃO ... 21
1.5.1 Considerações ............................................................................................................... 21
1.5.2 Padrões ............................................................................................................................ 24 
1.5.3 Grandezas Base e Padrões Associados ................................................................. 24 
1.5.4 Rastreabilidade ............................................................................................................. 26
1.5.5 Calibração dos Instrumentos ................................................................................... 27
1.5.6 Algoritmos ...................................................................................................................... 301.6 FERRAMENTAS ANALÓGICAS ................................................................................ 32
1.6.1 Circuitos com Amplificadores Operacionais ...................................................... 32
1.6.2 Sistema de Aquisição de Dados ............................................................................. 36
1.7 INSTRUMENTAÇÃO VIRTUAL .................................................................................. 43
1.8 CONDICIONAMENTO DE SINAIS ............................................................................. 46
1.8.1 Detecção de Variação de Resistência ................................................................... 46
1.8.2 Detecção de Variação de Capacitância ................................................................ 52
1.9 IDENTIFICAÇÃO, SÍMBOLO E DIAGRAMA DE INSTRUMENTAÇÃO ............. 54
1.9.1 Sistema de Identificação ........................................................................................... 55
1.9.2 Símbolos e Elementos Gráficos .............................................................................. 56
1.10 CONCEITO DE SISTEMA DE MEDIÇÃO .................................................................. 65
1.11 ESCOLHA DO SISTEMA DE MEDIÇÃO ................................................................. 66
2 TEMPERATURA
2.1 CONCEITOS - CONSIDERAÇÕES - ESCALAS ......................................................... 72
2.2 TERMOMETRIA .............................................................................................................. 76
2.2.1 Classes de Termômetros ............................................................................................ 76
2.2.2 Expansão Térmica ........................................................................................................ 76
2.2.2.1 Termômetro de líquido em vidro ........................................................................... 76
2.2.2.2 Termômetro bimetálico ............................................................................................. 81
2.2.2.3 Termômetro de pressão ............................................................................................ 84
2.2.3 Efeito Termelétrico - Termopares ........................................................................... 86
2.2.3.1 Princípio .......................................................................................................................... 86
2.2.3.2 Características ............................................................................................................... 86
2.2.3.3 Fabricação ...................................................................................................................... 89
2.2.3.4 Medição ........................................................................................................................... 91
2.2.3.5 Esquemas de compensação .................................................................................... 98
2.2.3.6 Cabos de extensão ...................................................................................................... 100
2.2.4 Variação de Resistência ............................................................................................. 101
2.2.4.1 Princípio .......................................................................................................................... 101
2.2.4.2 Termômetros resistivos - RTD .................................................................................. 102
2.2.4.3 Termômetros de fio distendido .............................................................................. 110
2.2.4.4 Termistores ..................................................................................................................... 112
2.2.5 Medição por Ultra-Som ............................................................................................. 119
2.2.5.1 Fundamentos ................................................................................................................ 119
2.2.5.2 Aplicação ........................................................................................................................ 120
2.2.6 Pirometria ....................................................................................................................... 120
2.2.6.1 Fundamentos ................................................................................................................ 120
2.2.6.2 Pirômetro de Radiação .............................................................................................. 124
2.2.6.3 Pirômetro Óptico ......................................................................................................... 126
3 DESLOCAMENTO
3.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 130
3.2 SENSORES DE DESLOCAMENTO LINEAR .............................................................. 131
3.2.1 Transformador Diferencial ........................................................................................ 131
3.2.2 Sensores Magneto-Sônicos ...................................................................................... 136
3.2.3 Sensores Resistivos ..................................................................................................... 138
3.3 SENSORES DE DESLOCAMENTO ANGULAR ........................................................ 139
3.3.1 Sensor Resistivo ............................................................................................................ 139
3.3.2 Encoder Óptico Incremental .................................................................................... 140
3.3.3 Encoder Absoluto ........................................................................................................ 143
4 NÍVEL
4.1 CONSIDERAÇÕES - SUPERFÍCIES DE MEDIDA - MÉTODOS ............................ 148
4.1.1 Considerações ............................................................................................................... 148
4.1.2 Características das Superfícies de Medida ......................................................... 149
4.1.3 Métodos .......................................................................................................................... 151
4.2 PRINCÍPIO DA GRAVIDADE ....................................................................................... 151
4.3 PRINCÍPIO HIDROSTÁTICO ........................................................................................ 153
4.3.1 Fundamentos ................................................................................................................ 153
4.3.2 Método Direto com Régua na Superfície ............................................................ 155
4.3.3 Método Direto na Superfície com Limnímetro ................................................. 157
4.3.4 Método Direto na Superfície com Bóia ................................................................ 158
4.3.5 Método Direto na Superfície com Flutuador ..................................................... 160
4.3.6 Método Direto de Sobre pressão ........................................................................... 165
4.4 PRINCÍPIO ELÉTRICO ................................................................................................... 169
4.4.1 Fundamentos ................................................................................................................ 169
4.4.2 Método Capacitivo ...................................................................................................... 169
4.4.3 Método Condutivo ...................................................................................................... 171
4.5 PRINCÍPIO SONORO ....................................................................................................172
4.5.1 Fundamentos ................................................................................................................ 172
4.5.2 Método Ultra-Som Extrusivo ou Intrusivo .......................................................... 175
4.5.3 Método Ultra-Som à Microonda com Emissor e Receptor Separados ..... 176
4.5.4 Instrumentação Comercial ....................................................................................... 177
4.5.5 Método Usando Microonda com Emissor e Receptor 
 Combinados-Radar ..................................................................................................... 179
4.5.5.1 Sem Guia de Onda ....................................................................................................... 179
4.5.5.2 Com Guia de Onda ...................................................................................................... 180
4.6 PRINCÍPIO ÓPTICO ....................................................................................................... 181
4.6.1 Fundamentos ................................................................................................................ 181
4.6.2 Método da Reflexão .................................................................................................... 182
4.6.3 Método da Refração ................................................................................................... 183
4.6.4 Método da Fibra Óptica ............................................................................................. 184
4.6.5 Método Laser ................................................................................................................ 184
4.7 PRINCÍPIO DA RADIAÇÃO ......................................................................................... 185
4.7.1 Fundamentos - Comentários ................................................................................... 185
4.7.2 Fontes ............................................................................................................................... 190
4.7.3 Detetores ........................................................................................................................ 192
4.7.4 Sistema de Controle de Nível .................................................................................. 193
4.7.5 Medição Continua de Níveis .................................................................................... 194
4.8 PRINCÍPIO DA VIBRAÇÃO .......................................................................................... 198
4.8.1 Fundamentos - Comentários ................................................................................... 198
4.8.2 Sistemas Comerciais ................................................................................................... 199
4.9 PRINCÍPIO TÉRMICO .................................................................................................... 199
4.9.1 Fundamentos ................................................................................................................ 199
4.9.2 Sistemas Comerciais ................................................................................................... 201
4.10 PRINCÍPIO DO TORQUE .............................................................................................. 202
4.10.1 Fundamentos ................................................................................................................ 202
4.10.2 Torque Direto e Membrana ...................................................................................... 202 
4.10.3 Pá Rotativa ...................................................................................................................... 203
5 PRESSÃO
5.1 CONCEITOS - CONSIDERAÇÕES .............................................................................. 206
5.2 PRESSÕES ABSOLUTAS ............................................................................................... 212
5.3 PRESSÕES RELATIVAS ................................................................................................. 214
5.3.1 Manômetro Hidrostático a Coluna Líquida ........................................................ 214
5.3.2 Manômetro a Tubo de Bourdon ............................................................................. 218
5.3.3 Manômetro a Pistão e Mola ..................................................................................... 221
5.3.4 Manômetro a Pistão e Peso - Balança Manométrica ....................................... 221
5.3.5 Manômetro a Membrana .......................................................................................... 224
5.3.6 Manômetro a Cápsula ................................................................................................ 226
5.3.7 Manômetro à Fole ....................................................................................................... 226
5.3.8 Manômetro a Transdutor ou Transmissor de Pressão ..................................... 227
5.3.8.1 Fundamentos e Características ............................................................................... 227
5.3.8.2 Tecnologias Utilizadas ................................................................................................ 229
5.4 MEDIDAS DE PRESSÃO DIFERENCIAL ................................................................... 239
5.4.1 Geral ................................................................................................................................. 239
5.4.2 Sensor Diferencial com Célula Capacitiva ........................................................... 240
5.4.3 Sensor Diferencial com Silício Ressonante ......................................................... 241
6 VELOCIDADE - VAZÃO
6.1 CONCEITUAÇÃO BÁSICA ........................................................................................... 248
6.2 MÉTODO DIRETO - CONDUTO - DIFERENÇA DE PRESSÃO ............................ 251
6.2.1 Fundamentos ................................................................................................................ 251
6.2.2 Placa de Orifício - Venturi Clássico ......................................................................... 254
6.2.3 Bocal ISA - Venturi Bocal ou Venturi Curto ......................................................... 256
6.2.4 V-Cone ............................................................................................................................. 257
6.3 MÉTODO DIRETO - CONDUTO -FREQÜÊNCIA .................................................... 258
6.3.1 Fundamentos ................................................................................................................ 258
6.3.2 Medidor Vortex ............................................................................................................. 259
6.3.3 Medidor Turbilhão ....................................................................................................... 261
6.3.4 Medidor Coanda .......................................................................................................... 262
6.4 MÉTODO DIRETO - CONDUTO - PRINCÍPIOS DA MECÂNICA ....................... 263
6.4.1 Fundamentos ................................................................................................................ 263
6.4.2 Medidor Rotâmetro .................................................................................................... 263
6.4.3 Medidor Desvio ............................................................................................................ 266
6.4.4 Medidor Hélice ............................................................................................................. 268
6.4.5 Medidor de Deslocamento Positivo ...................................................................... 270
6.5 MÉTODO DIRETO - CONDUTO- GOLPE DE ARÍETE .......................................... 272
6.5.1 Fundamentos ................................................................................................................ 272
6.5.2 Método de Gibson ....................................................................................................... 272
6.6 MÉTODO DIRETO - CONDUTO - ACELERAÇÃO .................................................. 275
6.6.1 Fundamentos ................................................................................................................ 275
6.6.2 Medidor Coriolis ........................................................................................................... 275
6.7 MÉTODO DIRETO - CANAL - IMPULSÃO ............................................................... 278
6.7.1 Fundamentos ................................................................................................................ 278
6.7.2 Medidor com Flutuador ............................................................................................ 278
6.7.3 Medidor com Flutuador Integrante ...................................................................... 279
6.8 MÉTODO DIRETO - CANAL - DIFERENÇA DE NÍVEL .......................................... 280
6.8.1 Fundamentos ................................................................................................................ 280
6.8.2 Medidor Vertedor ........................................................................................................ 280
6.8.3 Medidor Calha ............................................................................................................... 283
6.9 MÉTODO DIRETO - CANAL - DESLOCAMENTO .................................................. 289
6.9.1 Fundamentos ................................................................................................................ 289
6.9.2 Medidor de Cortina Móvel ....................................................................................... 289
6.10 MÉTODO DIRETO - CONDUTO/CANAL -VOLUME/TEMPO ............................. 291
6.10.1 Fundamentos ................................................................................................................ 291
6.10.2 Método Volumétrico ................................................................................................... 291
6.1.2.1 Roteiro para calibração de reservatório por pesagem ................................... 292
6.1.2.2 Determinação do erro ................................................................................................ 295
6.1.2.3 Vazões .............................................................................................................................. 298
6.11 MÉTODO DIRETO - CONDUTO/CANAL - PRINCÍPIOS DA MECÂNICA ........ 298
6.11.1 Fundamentos ................................................................................................................ 298
6.11.1.1 Condutos - Fluído no estado gasoso .................................................................... 299
6.11.1.2 Condutos - Fluído no estado líquido .................................................................... 299
6.11.1.3 Canais ............................................................................................................................... 300
6.11.2 Tubo de Pitot e Tubo de Prandtl ............................................................................. 301
6.11.3 Tubo Annubar e de Darcy ......................................................................................... 302
6.11.4 Tubo de Darcy-Coler e Tubo de Recknagel ........................................................ 304
6.11.5 Transondas ..................................................................................................................... 304
6.11.6 Sonda Venturi ................................................................................................................ 305
6.11.7 Molinetes - Micromolinetes ..................................................................................... 306
6.12 MÉTODO DIRETO - CONDUTO/CANAL - RADIAÇÃO IÔNICA ........................ 307
6.12.1 Fundamentos ................................................................................................................ 307
6.12.2 Sonda Iônica .................................................................................................................. 307
6.13 MÉTODO DIRETO - CONDUTO/CANAL - TÉRMICO ........................................... 308
6.13.1 Fundamentos ................................................................................................................ 308
6.13.2 Sonda Térmica ............................................................................................................... 309
6.14 APLICAÇÃO DE PACOTES GRÁFICOS ..................................................................... 311
6.15 MÉTODO DIRETO - CONDUTO/CANAL - QUÍMICO ........................................... 313
6.15.1 Fundamentos ................................................................................................................ 313
6.15.2 Método da Diluição..................................................................................................... 314
6.15.3 Método da Mancha Salgada ou de Allen ............................................................ 316
6.22 MÉTODO INDIRETO - CONDUTO/CANAL - DIFERENÇA DE PRESSÃO ........ 319
6.16.1 Fundamentos ................................................................................................................ 319
6.16.2 Pressão Diferencial em Curvas ................................................................................ 319
6.16.3 Método de Winter-Kennedy .................................................................................... 320
6.16.4 Diferença de Pressão por Redução de Seção..................................................... 324
6.17 MÉTODO INDIRETO - CONDUTO - LEI DE FARADAY ......................................... 324
6.17.1 Fundamentos ................................................................................................................ 324
6.17.2 Medidor Eletromagnético ........................................................................................ 324
6.22 MÉTODO INDIRETO - CANAL - ONDA SONORA ................................................ 326
6.18.1 Fundamentos ................................................................................................................ 326
6.18.2 Correntômetro Acústico de Efeito Doppler para Grandes Rios .................. 329
6.18.2.1 Características gerais .................................................................................................. 329
6.18.2.2 Sistema ADCP ................................................................................................................ 335
6.18.2.3 Modos de operação do ADCP ................................................................................. 336
6.18.2.4 Algoritmo para processamento de vazão ........................................................... 338
6.18.2.5 Cálculo da vazão .......................................................................................................... 341
6.18.2.6 Estimativa da vazão nas partes não medidas da seção transversal........... 341
6.18.2.7 Verificação da adequação do ADCP às pequenas seções ............................. 344
6.18.2.8 Procedimento para medição de vazões com ADCP ........................................ 345
6.18.3 Correntômetro Acústico de Efeito Doppler para Pequenos Rios ............... 348
6.22 MÉTODO INDIRETO - CONDUTO/CANAL - ATRITO ........................................... 350
6.19.1 Fundamentos ................................................................................................................350
6.19.2 Perda de Carga em Condutos .................................................................................. 350
6.19.3 Perda de Carga em Canais ........................................................................................ 351
6.22 MÉTODO INDIRETO - CONDUTO/CANAL - ONDA SONORA .......................... 352
6.20.1 Fundamentos ................................................................................................................ 352
6.20.2 Medidor Ultra-Som Doppler .................................................................................... 352
6.20.3 Medidor Ultra-Som por Tempo de Transito ........................................................ 353
6.22 MÉTODO INDIRETO - CONDUTO/CANAL - RAIO LUMINOSO ....................... 360
6.21.1 Fundamentos ................................................................................................................ 360
6.21.2 Medidor a Laser ............................................................................................................ 360
6.22 MÉTODO INDIRETO - MEDIÇÃO EXPEDITA E CONTROLADA 
 DE VOLUME MENSAL BOMBEADO ......................................................................... 361
6.22.1 Fundamentos .............................................................................................................. 361
6.22.2 Bomba Acionada por Motor Elétrico .................................................................. 361
6.22.3 Bomba Acionada por Motor a Pistão .................................................................. 362
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................... 367
ÍNDICE ALFABÉTICO REMISSIVO .......................................................................................... 375
1SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Capítulo 1
SISTEMA DE MEDIÇÃO
O Capítulo faz uma síntese dos postulados da teoria dos erros, conceitua denominações e expressões mais utilizadas no contexto da medida de grandezas físicas, estabelece o que se entende por sistema de medição, caracteriza estática e dinamicamente os instrumentos de medição, des-
creve as ferramentas analógicas básicas utilizadas e roteiriza como deve ser feita a 
escolha do sistema de medição para determinação dos valores mais prováveis das 
grandezas pretendidas, bem como de seus erros, desvios, incertezas e outros. Dedica 
especial atenção para a calibração dos instrumentos de medida, estabelecendo algo-
ritmo geral para a calibração e para o uso de instrumentos a partir das características 
da calibração. 
2 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 1.1. POSTULADOS
 A teoria dos erros, devida quase que totalmente a Gauss, baseia-se em qua-
tro postulados os quais podem ser aplicados quando o número de observações ou 
medidas é grande para que se possa tomar, sem grande erro, a freqüência pela pro-
babilidade. Estes postulados podem ser assim enunciados:
• A probabilidade de se cometer um erro compreendido entre os valores x e x+dx 
é uma função de x.
• A probabilidade de ocorrência de erros de mesmo valor absoluto, mas de sinais 
contrários, são iguais.
• A probabilidade de se cometer erro entre + ∞ e ∞− é igual à unidade, isto é, 
é a certeza.
• O valor mais provável de uma grandeza medida n vezes com a mesma precisão 
é a média aritmética das n medidas efetuadas.
 Efetuando grande número de medidas da mesma grandeza, determinando 
o seu valor mais provável, de acordo com o quarto postulado, calculando o resíduo 
correspondente a cada medida e traçando um gráfico no qual as abscissas, positivas 
e negativas, sejam proporcionais ao valor absoluto dos resíduos, isto é, às diferen-
ças entre os valores medidos e o valor mais provável, e as ordenadas ao número de 
resíduos, obtém-se uma curva como a da Fig. 1.1, simétrica em relação ao eixo das 
ordenadas, denominada curva de Gauss. 
Fig. 1.1 - Curva de Gauss.
 Nesta curva o ponto A, por exemplo, de abscissa +x e ordenada j, indica que 
se achou j resíduos iguais a +x. O ponto A1, de abscissa −x e ordenada j, portanto 
3SISTEMAS DE MEDIÇÃO
simétrico a A em relação ao eixo das ordenadas, mostra que foram obtidos j resíduos 
iguais a −x. Considerando outro ponto qualquer da curva verifica-se que a ele cor-
responde um ponto de mesma ordenada e de abscissa igual em valor absoluto e de 
sinal contrario, isto é, para cada valor absoluto dos resíduos há tantos resíduos positi-
vos como negativos, o que está de acordo com o segundo postulado. A ordenada na 
origem será tanto maior quanto maior for o número de medidas cujo resultado não 
diferir do valor mais provável.
 A equação da curva de Gauss é:
 ( ) 2222 xhxh ehekxf ⋅−⋅− ⋅
π
=⋅= , logo: 
π
=
h
k (1.1)
 O valor da constante k foi obtido considerando o terceiro postulado, isto é 
que a integral da curva de Gauss entre ∞− e ∞+ corresponde a probabilidade de 
cometer-se erro é igual à unidade.
 Como o grau de achatamento da curva depende diretamente de h, e como 
este achatamento depende do número de resíduos de valor absoluto muito grande, 
Gauss chamou h de módulo de precisão.
 A curva de Gauss permite obter a probabilidade total de cometer-se erro en-
tre dois resíduos dados, por exemplo, x2 e x3, bastando para tanto realizar a integral 
de f(x) entre estes limites, o que corresponde à área marcada na Fig. 1.1.
1.2. CONCEITOS 
• Grandeza, de um modo geral, é o valor numérico que representa uma quanti-
dade física. Este valor numérico sempre deve observar, no Brasil, o constante no 
Sistema Internacional de Unidades - SIU -, ou no Sistema Técnico de Unida-
des - STU. 
• Valor de uma grandeza é o numero que quantifica, em determinado espaço 
e intervalo de tempo à grandeza, geralmente sob a forma de uma unidade de 
medida multiplicada por um número.
• Valor verdadeiro ou real de uma grandeza é o numero que quantifica de forma 
absoluta, em determinado espaço e intervalo de tempo à grandeza. Praticamen-
te este valor não pode ser determinado de modo absoluto, pois implicaria em 
amostras e instrumentação perfeitas, o que não é possível no universo físico.
4 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
• Valor verdadeiro convencional de uma grandeza, valor atribuído a uma gran-
deza específica e aceito, às vezes, por acordo entre as partes, como tendo uma 
incerteza apropriada para uma dada finalidade. Por exemplo, em 1986 foi reco-
mendada para o valor da constante de Avogadro: 6,0221367⋅1023 (mol-1). Fre-
qüentemente, um grande número de resultados de medições de uma grandeza 
é utilizado para estabelecer um valor verdadeiro convencional, normalmente, 
neste caso, denominado valor mais provável da grandeza.
• Valor médio ou mais provável de uma grandeza, valor que quantifica, em mé-
dia, uma grandeza em determinado espaço e intervalo de tempo, determinado 
pela média aritmética dos valores atribuídos à grandeza. Se uma grandeza xi as-
sume no intervalo de tempo ∆t os valores x1,...,xn, decorridos entre eles, frações 
de tempo ∆t/n, mantidas as demais condições de contorno, seu valor mais pro-
vável ou médio é dado por:
 
n
x
x
n
1i
i∑
== (1.2)
• Mediana, valor central de um conjunto numérico de grandezas ordenadas as-
cendentemente ou descendentemente.
• Moda, valor da grandeza variável x que corresponde a um máximo em uma 
distribuição de freqüência.
 )x(fmáxxx
~ = (1.3)
• Média móvel, eficiente ferramenta de análise estatística e se baseia na determi-
nação da média da moda ou da mediana para uma janela contendo um deter-minado número de pontos (tamanho da janela), sendo que esta janela se movi-
menta por todo o conjunto de pontos. O j-ésimo valor será dado por:
 
N
x
xˆ
2/Ni
2/Nij
j
j
∑
+
−== (1.4)
sendo N o tamanho da janela
5SISTEMAS DE MEDIÇÃO
• Medida ou medição, ação que tem por objetivo assinalar um número como va-
lor de uma grandeza física em uma unidade estabelecida. O resultado de uma 
medição é completo e inclui uma estimação, necessariamente em termos esta-
tísticos, do valor provável e da incerteza. O citado número deve estar no SIU 
ou no STU.
• Desvio ou resíduo de uma medida, valor da diferença entre o valor medido e 
seu valor médio.
 xxd ii −= (1.5)
• Desvio ou resíduo médio de uma série de medidas, valor médio do módulo 
dos desvios ou resíduos.
 
n
d
d
n
1i
i∑
==
 (1.6)
• Desvio ou resíduo médio relativo de uma série de medidas, valor do desvio 
médio pelo valor mais provável da medida.
 
x
d
dm = (1.7)
• Erro da medida ou erro absoluto, diferença entre o valor medido e o valor ver-
dadeiro.
 ivii xxe −= (1.8)
 Como o valor verdadeiro da medida não pode ser determinado, na prática 
é usado um valor verdadeiro convencional.
• Erro grosseiro ou espúrio, diferença entre o valor medido com enganos oriun-
dos, principalmente, de falta de atenção ou pratica do operador ou operadores, 
sejam nas leituras, transcrição de valores ou de eventuais cálculos para obtenção 
do valor final e o valor verdadeiro convencional. As medidas resultantes destes 
erros devem ser eliminadas, Fig.1.2.
6 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 1.2 - Erros - incerteza - intervalo de confiança
• Erro sistemático, diferença do valor verdadeiro convencional da medida que 
permanece constante durante o intervalo de tempo utilizado, ou varia segundo 
uma lei definida. Estes erros são devidos às características inerentes da fabrica-
ção do instrumento, tais como tolerâncias de componentes, ou também devido 
ao uso, ou mau uso do instrumento e, também, alterações das condições am-
bientais, Fig. 1.2. 
 Tais erros podem ter sua influência minimizada através do uso de arranjos 
eficientes de medição, modificação das entradas do sistema, projeto adequado do 
instrumento, propiciando altos ganhos de realimentação e redução de ruídos através 
de filtros, dentre outros. Como exemplo, considere as seguintes situações onde para 
a medição da resistência, R, de um circuito emprega-se uma fonte, E, um voltímetro, 
V, e um amperímetro, A, que mede a intensidade da corrente gerada, I. 
 Fig. 1.3 - Exemplo de erro sistemático.
 No caso, ra, rv são resistência interna do amperímetro e do voltímetro, res-
pectivamente.
7SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 
R
aRR
i
VV
i
V
R
+
== e 
vRR
R
ii
V
i
V
R
+
== (1.9)
 Nestas duas alternativas observar-se-á sempre a presença de erros sistemáti-
cos devido à natureza real dos medidores. Nos esquemas da Fig. 1.3, para a medição 
de baixas resistências, dá-se preferência ao arranjo da direita, a fim de que a resistên-
cia interna do amperímetro não influencie no resultado da medida. Para a medição 
de altas resistências usa-se o arranjo da esquerda, o qual elimina os efeitos da resis-
tência interna do voltímetro.
• Erro aleatório ou estatístico, diferença do valor verdadeiro convencional em 
relação à medida que varia de maneira imprevisível em valor e sinal, quando é 
feita leitura de uma grandeza estabelecida nas mesmas condições, Fig. 1.2. Estes 
erros são na realidade, perturbações na medida em que podem atuar positiva-
mente ou negativamente sobre a medida em relação ao seu valor verdadeiro, de 
modo que erros positivos e erros negativos ocorram em igual número de vezes 
em uma série de medidas sobre uma mesma grandeza. Em geral estes erros são 
de pequena magnitude, podendo, aleatoriamente, atingir valores elevados. Es-
tes erros podem ocorrer, por exemplo, quando um observador humano tem que 
interpolar a medida em uma escala analógica que oscila, por influência de ruídos 
elétricos. Na maioria dos casos os erros aleatórios podem ser superados toman-
do-se a média aritmética de um grande número de leituras de uma mesma gran-
deza. Devido à natureza estatística deste erro, é comum expressar a medida em 
termos probabilísticos associando ao resultado o seu intervalo de confiança.
• Erro médio quadrático, aquele cujo quadrado é igual à média aritmética dos 
desvios ao quadrado.
 
n
d
e
n
1i
2
i
2
m
∑
== ou n
d
e
n
1i
2
i
m
∑
== (1.10)
• Erro tolerável, aquele que é, no máximo, igual a três vezes o erro médio quadrá-
tico. Toda medida com desvio maior que o erro tolerável deve ser abandonada.
• Erro médio da média, desvio padrão do valor médio, índice de precisão da 
média de uma série de medidas ou variância experimental, diferença entre o 
valor mais provável da série de medidas e seu valor verdadeiro:
 vxxE −= (1.11)
8 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Como ( ) ( )vivivii xxxxxxxxxxe −+−=−+−=−= , tem-se: Ede ii += . 
Com isto 0Ened
n
1i
i
n
1i
i =⋅−= ∑∑
==
 ou ∑
=
⋅=
n
1i
i Ene .
 Considerando o erro médio quadrático, tem-se:
 
( )
( ) 2
2222
n
1i
n
1i
2
i
2
i
n
1i
2
i
n
1i
2
i
2
m
E1n
n
EnEn2En
n
EneE2e
n
Ee
n
d
e
⋅−=
⋅+⋅⋅−⋅
=
=
⋅+⋅⋅−
=
−
==
∑ ∑∑∑
= ===
 Deste modo, resulta para a variância experimental:
 
1n
e
E
2
m2
−
= ou ( )1nn
d
E
n
1i
2
i
−⋅
±=
∑
= (1.12)
• Desvio padrão, desvio típico, erro médio ou índice de precisão de uma série 
de medidas, aquele cujo quadrado, sua variância, é igual à média aritmética 
dos erros da medida.
 
n
e
n
1i
2
i
2
∑
==σ (1.13)
 Como vii xxe −= , xxd ii −= , Exxde vii =−=− , logo: Ede ii += . 
 Com isto:
 
( )
2
n
1i
2
i
2
1i
n
1i
i
22
i
n
1i
2
i
2 E
n
d
n
dE2End
n
Ed
+=
⋅⋅+⋅+
=
+
=σ
∑∑ ∑∑
== == ou
 
( ) 1n
d
1nn
d
n
d
n
1i
2
i
n
1i
2
i
n
1i
2
i
2
−
=
−⋅
+=σ
∑∑∑
=== . Com isto resulta para a (1.12):
9SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 1n
d
n
1i
2
i
−
±=σ
∑
=
 (1.14)
 Se o número de medidas for menor que 10, o desvio padrão leva a uma 
sub-estimativa da contribuição da incerteza. Neste caso, o valor da variância expe-
rimental, expressão (1.12), deverá ser determinado em função da experiência, por 
exemplo, com base em medidas pretéritas, ou multiplicando-se os valores de σ pelos 
fatores da Tab.1.1.
Tab. 1.1 - Fatores de multiplicação - fσ - para o desvio padrão
n 2 3 4 5 6 7 8 9
fσ 7,0 2,3 1,7 1,4 1,3 1,3 1,2 1,2
• Incerteza ou faixa de dispersão de uma série de medidas, intervalo dentro do 
qual se espera queesteja o valor verdadeiro da grandeza dentro de uma probabi-
lidade estabelecida, Fig. 1.2. O valor numérico da incerteza é o produto do desvio 
padrão por um parâmetro numérico cujo valor depende do nível de confiança. 
Normalmente é usada a variável de Student − t − com uma probabilidade de 
acerto ou nível de confiança de 95 (%) para instrumentos calibrados e de 99 
(%), para calibração de instrumentos, Tab. 1.2.
 
n
tI
σ
⋅= (1.15)
Tab. 1.2 - Variável de Student
n t (95%) t(99%) n t(95%) t(99%)
4 2,78 4,6041 60 2,00 2,6603
5 2,57 4,0321 100 1,98 2,6259
10 2,23 3,1693 200 1,97 2,6006
15 2,13 2,9467 500 1,96 2,5857
20 2,09 2,8453 1000 1,96 2,5806
30 2,04 2,7500 ∞ 1,96 2,5700
 
48,3259 n
2,5
n
2,3
n
63,2
69,1t +++=
10 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
• Exatidão da medida, nível de aproximação entre uma medida e seu valor real 
uma vez aplicada a esta medida todas as correções conhecidas. Caso não se co-
nheça o valor verdadeiro usa-se o valor verdadeiro convencional.
• Intervalo de confiança, intervalo que incluí o valor real com uma probabilidade 
determinada e que é função das estatísticas das amostras, Fig. 1.2.
• Correção, valor que deve ser agregado ao resultado de uma medição de modo a 
levar em conta qualquer erro sistemático conhecido e, portanto, obter a melhor 
aproximação do valor verdadeiro. Pode ser uma constante ou uma função do 
próprio valor medido.
• Propagação de erros, erros de grandezas dependentes − u − calculadas atra-
vés de expressões que interligam grandezas independentes − x, y, z,...−, logo: 
u = f(x, y, z,...), das quais são conhecidos seus erros − ex, ey, ez, ...− são calcula-
dos pela seguinte expressão:
 ...e
z
u
e
y
u
e
x
u
e 2z
2
2
y
2
2
x
2
t +⋅





∂
∂
+⋅





∂
∂
+⋅





∂
∂
±= (1.16)
1.3. FERRAMENTAL ESTATÍSTICO
 Os conceitos já estabelecidos podem ser expandidos de modo a receberem 
tratamento estatístico quando deve ser manipulado grande numero de dados. Uma 
das técnicas mais extensivamente empregada é a regressão linear e ajuste de equa-
ções a conjuntos de dados, buscando os seguintes objetivos:
• Condensar dados obtendo fórmulas preditivas.
• Confirmar ou rejeitar uma relação matemática proposta.
• Modelagem matemática de sistemas.
• Comparações quantitativas de dois ou mais conjuntos de dados.
 Considerando a análise de regressão linear onde se trabalha com uma vari-
ável dependente e uma variável independente, onde a variável independente, x é, 
também, chamada variável de controle, podendo assumir um valor qualquer den-
tro das limitações físicas impostas pelo processo de análise. A variável dependente, 
Y, é uma variável aleatória caracterizada por uma distribuição onde, para cada valor 
de x, obtém-se como resposta uma realização Y, também denominada variável de 
11SISTEMAS DE MEDIÇÃO
resposta. Assumindo que um conjunto de dados com n pares de valores (xi,yi) com 
i=1,…,n, tenha sido obtido a partir do processo em questão.
 Deve-se ter sempre em mente que ao se aplicar uma regressão linear assu-
mem-se as seguintes considerações:
• As variáveis Y e x são teoricamente relacionadas uma à outra pela equação de 
uma reta:
 E(Y) = β0 + β1⋅x (1.17)
• O conjunto de dados é representativo do processo.
• Os Yi com i=1,…,n, são valores independentes um do outro (autocovariância 
nula).
• Os Yi são variáveis aleatórias que possuem uma mesma variância, σ2.
• Os erro aleatórios intrínsecos a Yi seguem uma distribuição normal.
 Do ponto de vista prático, não é muito razoável acreditar que cada xi é exata-
mente conhecido, sem erro. Entretanto, a técnica de regressão linear requer que este 
seja conhecido com razoável precisão e que qualquer incerteza associada à xi seja 
muito menor que a variabilidade inerente associada à Yi. Esta restrição proíbe a apli-
cação da regressão linear a situações nas quais tanto a variável dependente quanto a 
independente sejam aleatórias simultaneamente observadas. Uma das técnicas para 
a análise de tal situação é a convolução.
 A equação (1.17) define a relação entre x e Y, mas ainda não é um modelo 
matemático de regressão linear porque não considera a presença dos erros inevitá-
veis no processo experimental. Este modelo matemático pode ser obtido através da 
adição do erro εi.
 ii10i xY ε+⋅β+β= (1.18)
 Nesta expressão, εi representa uma variável aleatória unicamente associada 
à Yi, para cada i=1,…,n. As variáveis εi são identicamente distribuídas N(0,σ) e cada εi 
é estatisticamente independente de qualquer outro εj com j≠i (ruído branco).
 Os parâmetros β0 e β1 são constantes cujos valores verdadeiros são desconhe-
cidos e devem ser determinados a partir dos dados. Cada valor xi pode ser considerado 
como uma constante e, para cada um, tem-se uma variável independente Yi.
 O lado direito desta equação possui uma variável aleatória εi. As outras três 
12 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
são constantes. Posto que εi é distribuído N(0,σ), ambos os lados direito e esquerdo 
Yi são distribuídas como N(β0 + β1 xi,σ). A Fig. 1.4 apresenta uma interpretação gráfi-
ca do conteúdo teórico da equação (1.18). 
Fig. 1.4 - Representação gráfica da equação (1.18)
 Nota-se que o valor esperado (média) de Yi, E(Yi), varia linearmente de uma 
maneira proporcional ao valor de xi. No entanto, a variância de Yi se mantém cons-
tante, não importando o valor de xi. Do ponto de vista tridimensional, a distribuição 
de probabilidade de Yi, f(xi), forma um contorno com idênticas funções de densidade 
normal, diferindo somente nas suas médias, que seguem o lugar definido pela reta.
 Posto que o modelo tenha a forma de uma linha reta de duas di-
mensões, β0 é o intercepto de Y e β1 é a inclinação da linha. Diferentemen-
te de i
2
i2i10i xxY ε+⋅β+⋅β+β= que é de segunda ordem em xi, diferente de 
i
x
0i
i1eY ε+⋅β= ⋅β que é não linear nos parâmetros e de primeira ordem em xi. 
 Com o modelo de regressão linear em mãos, deve-se investigar a técnica que 
leva às melhores estimativas de β0 e β1 para se obter o melhor ajuste. No entanto, sur-
ge à questão: Qual é o melhor ajuste? O melhor ajuste é aquele que minimiza o erro 
total. Basta, afinal, definir a forma como se calcula este erro total. Considerando que 
o erro é dado pela diferença entre o valor medido e o valor verdadeiro, obtido pela 
regressão linear, podem-se citar três alternativas:
• Minimizar a Soma total dos erros - ( )∑ − ii yˆy
Dado três pontos distribuídos aleatoriamente no plano xy observa-se com este 
critério que mais de uma reta atinge o objetivo de minimizar a soma total dos 
erros, fato que o torna inconveniente, Fig. 1.5.
13SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Fig. 1.5 - Caso da soma total dos erros.
• Minimizar a Soma total dos módulos dos erros - ∑ − ii yˆy
Tomando-se os mesmos pontos analisados, pode-se obter as seguintes retas 
alternativas empregando este critério, Fig. 1.6.
A soma dos módulos dos erros no primeiro caso, Fig. 1.6a é igual a 4, enquanto 
que para o segundo, Fig. 1.6b, resulta 3, ou seja, seguindo este critério a segunda 
curva seria a escolhida.
Fig. 1.6 - Caso da soma total dos módulos dos erros
 Neste exemplo, Fig. 1.6b, observa-se que o resultado seria o mesmo caso o 
ponto +3 não fosse considerado, não representando a realidade de maneira fidedig-
na. Sendo assim, este critério pode ser descartado.
• Minimizar a Soma total dos quadradosdos erros - ( )2ii yˆy∑ −
Esta alternativa tem se mostrado superior em relação às anteriores pelos seguin-
tes motivos:
• Elevando ao quadrado, todos os erros se tornam positivos e o problema do 
sinal é superado.
14 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
• Todos os dados contribuem para a identificação dos parâmetros.
• Elevando ao quadrado, são enfatizados os grandes erros e, pela natureza do 
critério, estes pontos serão evitados (filtro).
• A álgebra é simples e de fácil implementação computacional.
 Sendo assim, substituindo, na (1.18), Yi, β0 e β1 por yi, b0 e b1 e isolando o 
resíduo, ei (estimativa de εi), resulta:
 ( )i0ii xbbye ⋅+−= (1.19)
 Tal metodologia também é conhecida como mínimos quadrados.
 Os valores dos parâmetros que resultarem da minimização da soma dos qua-
drados dos resíduos, b0 e b1, são freqüentemente chamados estimativas de β0 e β1. 
Com isto tem-se:
 ∑∑
==
⋅−−==
n
1i
2
i10i
n
1i
2
i )xbby(eFmin (1.20)
 Tomando a derivada parcial de F com relação à b0 e b1, e igualando a zero, 
tem-se:
 
n
xby
b
n
1i
i1
n
1i
i
0
∑∑
==
⋅−
= ; 
∑ ∑∑
∑∑∑
= ==
===
⋅−⋅
⋅−⋅⋅
= n
1i
n
1i
i
n
1i
i
2
i
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
ii
1
xxxn
yxyxn
b (1.21)
 Em termos de estimadores tem-se:
 i10i1100 xˆˆYˆ;bˆ;bˆ ⋅β+β==β=β (1.22)
 Para o caso particular onde yi = b1⋅xi, resulta:
 
∑
∑
=
=
⋅
= n
1i
2
i
n
1i
ii
1
x
yx
b (1.23)
 Esta expressão é a da regressão linear sem intercepto.
15SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 Certas funções curvilíneas podem ser linearizadas, e terem seus parâmetros 
determinados pelo método de mínimos quadrados, procedendo-se a apenas algu-
mas mudanças de variáveis. A Tab. 1.2 mostram algumas destas funções.
Tab. 1.2 - Linearização de funções
Função Equação original Equação linearizada
Hiperbólica
10 x
x
y
β+⋅β
=
x
1
y
1
10 ⋅β+β=
Exponencial )xexp(y 10 ⋅ββ= xlnyln 10 ⋅β+β=
Potência 1xy 0
β⋅β= xlnlnyln 10 ⋅β+β=
Logarítmica )xln(y 10 ⋅β+β= )x(lny 10 ⋅β+β=
Exponencial inversa
x
expy 10
β
β=
x
lnyln 10
β
+β=
Pseudo-exponencial x
10 e
1
y
−⋅β+β
= x10 ey
1 −⋅β+β=
 É curioso observar que a reta obtida por mínimos quadrados passa exata-
mente pela coordenada definida pelo valor médio das variáveis independentes e das 
variáveis dependentes
1.4. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DOS INSTRUMENTOS DE 
MEDIÇÃO
 As características estáticas dos instrumentos de medição referem-se a sua 
utilização quando a grandeza a medir encontra-se em estado de equilíbrio termodi-
nâmico, isto é, quando a variação no espaço e no tempo de todas suas propriedades 
controláveis físicas, químicas e térmicas são da mesma ordem que propriedades não 
controláveis correspondentes externas.
 Por exemplo, medições de pressões e temperaturas podem ser feitas desde que 
suas variações sejam da mesma ordem que as externas correspondentes. Em princípio, 
são as variações de temperatura que condicionam os estados estáticos das medidas.
 De um modo geral, para estes estados, a bibliografia, entre outras, utiliza a 
seguinte conceituação:
16 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
• Instrumento de medição, dispositivo utilizado para uma medição, sozinho ou 
em conjunto com outro(s) complementar(es).
• Medida materializada, dispositivo destinado a reproduzir ou fornecer, de maneira 
permanente durante seu uso, um ou mais valores conhecidos de uma dada grandeza.
• Transdutor de medição, dispositivo que fornece uma grandeza de saída que 
tem uma correlação determinada com a grandeza de entrada.
• Cadeia de medição ou Sistema de Medição, seqüência de elementos de um 
instrumento ou sistema de medição, que constitui o trajeto do sinal de medição 
desde o estímulo até a resposta, vide item 1.10.
• Detetor, captor ou sensor dispositivo ou substância que indica a presença de um 
fenômeno, sem necessariamente fornecer o valor de uma grandeza associada.
• Escala de um instrumento de medição, conjunto ordenado de marcas, associa-
do a qualquer numeração a qual faz parte dispositivo mostrador de um instru-
mento de medição.
• Comprimento de escala, para uma dada escala, é o comprimento da linha com-
preendida entre a primeira e a última marca, passando pelo centro de todas as 
marcas menores.
• Divisão de escala, parte de uma escala compreendida entre duas marcas suces-
sivas quaisquer.
• Comprimento de uma divisão, distância entre duas marcas sucessivas quais-
quer, medidas ao longo da linha do comprimento de escala.
• Valor de uma divisão, diferença entre os valores da escala correspondentes a 
duas marcas sucessivas.
• Ajuste de um instrumento de medição, operação destinada a fazer com que 
um instrumento de medição tenha desempenho compatível com o seu uso.
• Regulagem de um instrumento de medição, ajuste empregando somente os 
recursos disponíveis no instrumento para o usuário.
• Exatidão (Accuracy), aptidão de um instrumento de medição para dar respos-
tas próximas a um valor verdadeiro convencional. A exatidão é um conceito qua-
litativo e normalmente é dada como um valor percentual do fundo de escala do 
instrumento. Por exemplo: um voltímetro com fundo de escala 10 (V) e exatidão 
±1 (%) apresenta erro máximo esperado é de 0,1 (V). Isto quer dizer que se o ins-
trumento mede 1 (V), o possível erro é de 10 (%) deste valor ou 0,1 (V). Por esta 
razão é uma regra importante escolher instrumentos com uma faixa apropriada 
para os valores a serem medidos.
17SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 A classe de exatidão de instrumentos de medição é certas exigências me-
trológicas destinarem a conservar os erros dentro de limites específicos. Por exem-
plo, seja o caso de transformadores de potência - TPs - e, transformadores de 
corrente - TCs -, onde a classe de exatidão dependerá da aplicação do equipamento, 
que deverão possuir classe de exatidão igual ou superior. As aplicações mais comuns 
estão contidas na Tab. 1.3.
Tab. 1.3 - Classes de Exatidão
Classe Aplicação
Menor que 0,3
não padronizado
TC padrão, medições em laboratório, medições espe-
ciais.
0,3 Medidas de energia com fins de faturamento, medições em laboratórios.
0,6 a 1,2 Alimentação usual de amperímetros, voltímetros, watí-metros, medidores estatísticos, fasímetros e outros.
3 Aplicações diversas. Não deve ser usado em medição de energia e potência.
• Precisão, termo que descreve o grau de liberdade a erros aleatórios, ou seja, 
ao nível de espalhamento de várias leituras em um mesmo ponto. A precisão é 
freqüentemente confundida com a exatidão. Um aparelho preciso não implica 
que seja exato. Uma baixa exatidão em instrumentos precisos decorre normal-
mente de um desvio ou tendência nas medidas, o que poderá ser corrigido por 
uma nova calibração. A Fig. 1.7 procura ilustrar as características de exatidão e 
precisão de um instrumento ou equipamento.
Fig. 1. 7 - Exatidão e Precisão.
18 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
• Repetitividade, aproximação acertada, em presença de erros aleatórios, entre 
as medições de uma mesma grandeza, obtidas em iguais condições. Em última 
análise, a repetitividade descreve o grau de concordância entre os resultados 
de medições sucessivas de um mesmo mensurando efetuadas sob as mesmas 
condições de medição. Estas condições são denominadas condições de repe-
titividade e incluemo mesmo procedimento de medição, mesmo observador, 
mesmo instrumento de medição utilizado nas mesmas condições, mesmo local 
e repetição em curto período de tempo.
• Reprodutibilidade, proximidade acertada entre medições do mesmo valor de 
uma grandeza obtida em diferentes condições, por exemplo: diferentes obser-
vadores, instrumentos, espaços e intervalos de tempo suficientemente grandes 
para que as diferenças errôneas sejam insignificantes. Assim, a reprodutibilidade 
expressa o grau de concordância entre os resultados das medições de um mes-
mo mensurando, efetuadas sob condições variadas de medição. Para que uma 
expressão de reprodutibilidade seja válida, é necessário que sejam especificadas 
as condições alteradas, que podem incluir o princípio de medição, método de 
medição, observador, instrumento de medição, padrão de referência, local, con-
dições de utilização e condições climáticas.
 Os graus de repetitividade e de reprodutibilidade são maneiras alternativas 
de se expressar à precisão. Embora estes termos signifiquem praticamente à mesma 
coisa, eles são aplicados a contextos diferentes.
• Resolução, variação menor possível que pode ter uma variável física a qual pode 
causar uma variação na resposta do sistema de medição.
• Tolerância, termo muito próximo à exatidão e define o erro máximo que é es-
perado em um determinado valor. Embora não seja uma característica estática 
de instrumentos, é aqui mencionada porque a exatidão de alguns instrumentos 
é especificada em termos de tolerância. Quando aplicado corretamente, a to-
lerância de um componente manufaturado descreve o máximo desvio de um 
valor especificado. Por exemplo, um resistor escolhido aleatoriamente com valor 
nominal 1000 (Ω) e tolerância 5 (%) pode ter seu valor real entre 950 e 1050 (Ω).
• Faixa de indicação ou alcance (range), conjunto de valores limitados pelas in-
dicações extremas, ou seja, entre os valores máximos e mínimos possíveis de 
serem medidos com determinado instrumento. Por exemplo, um termômetro 
pode ter um range de 0 a 100 (oC).
• Amplitude da faixa nominal (span) ou varredura, diferença entre o maior e o 
menor valor de uma escala de um instrumento determinado. Assim, um instru-
19SISTEMAS DE MEDIÇÃO
mento capaz de reagir entre 20 e 200 (psi) tem um span de 180 (psi).
• Tendência de um instrumento de medição (bias), erro sistemático da indica-
ção de um instrumento que ocorre em toda a sua faixa de indicação. A tendên-
cia é normalmente estimada pela média dos erros de indicação de um número 
apropriado de medições repetidas e poderá ser removida através de nova cali-
bração ou simplesmente um ajuste de zero.
• Linearidade e não linearidade, característica, normalmente desejável, onde 
a leitura de um instrumento é linearmente proporcional à grandeza que está 
sendo medida. O gráfico da Fig. 1.8 mostra a relação entre uma grandeza 
e o resultado de medições. Nela observa-se um certo grau de linearidade que 
pode ser notado mesmo visualmente. No entanto, podem-se utilizar métodos 
estatísticos, tais como um coeficiente de correlação, para saber o quão a curva 
mostrada se aproxima de uma reta. A não linearidade, por sua vez, é definida 
como o máximo desvio de qualquer uma das leituras com relação à reta obtida, 
e é normalmente expressa como uma percentagem do fundo de escala. 
Fig. 1.8- Linearidade entre as grandezas e as leituras. 
• Sensibilidade do instrumento, resposta de um instrumento de medição divi-
dida pela correspondente variação do estímulo. A sensibilidade pode depender 
do valor do estímulo. Sendo assim, a sensibilidade pode ser contabilizada como 
a inclinação da reta que define a relação entre a leitura e a grandeza medida. Por 
exemplo, a pressão de 2 (b) produz uma deflexão de 10 (graus) em um transdu-
tor de pressão, logo, a sensibilidade do instrumento é 5 (graus/bar), desde que a 
deflexão seja zero quando se aplica 0 (b).
• Sensibilidade a distúrbios. Todas as calibrações e especificações de um instru-
mento são válidas somente sob condições controladas de temperatura, pressão, 
20 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
etc. Estas condições ambientais padrão são usualmente definidas na especifi-
cação do instrumento. Em função da variação das condições ambientais, certas 
características estáticas dos instrumentos podem se alterar lentamente. Sendo 
assim, a sensibilidade a distúrbios é uma medida da extensão destas alterações. 
Tais variações de condições ambientais podem afetar os instrumentos de duas 
maneiras, conhecidas como deriva (drift) de zero e deriva de sensibilidade.
 A deriva de zero descreve o efeito de como a leitura do zero de um instru-
mento pode ser modificada pela alteração nas condições ambientais. Em um voltí-
metro, por exemplo, a deriva de zero relacionada às variações de temperatura é dada 
em (volts/oC). Se o zero deste voltímetro é modificado em função de outras condi-
ções ambientais, outros coeficientes deverão ser determinados.
 A deriva de sensibilidade ou deriva do fator de escala define o quão a 
sensibilidade de um instrumento varia em função das condições ambientais.
 Na Fig. 1.9 exemplifica-se a existência de deriva de zero, deriva de sensibilida-
de e os casos onde ambos acontecem, respectivamente.
Fig. 1.9 - Características com deriva zero, de sensibilidade e de ambas.
 Seja, por exemplo, uma balança de mola que foi calibrada em um ambiente 
à temperatura de 20 (oC) com as seguintes características deflexão/carga, Tab. 1.4. 
Quando esta balança for usada em um ambiente à temperatura de 30 (oC) obtém-se 
as seguintes características deflexão/carga, Tab. 1.5.
Tab. 1.4 - Características da balança
Carga kg 0 1 2 3
Deflexão mm 0 20 40 60
Tab. 1.5 - Características da balança a 30 (oC)
Carga kg 0 1 2 3
Deflexão mm 5 27 49 71
21SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 A deriva de zero e de sensibilidade por (oC) de mudança na temperatura am-
biente, resulta:
 A 20 (oC) - sensibilidade 20 (mm/kg). A 30 (oC) - sensibilidade 22 (mm/kg). Ten-
dência (bias) = 5 (mm) - (deflexão a carga zero). Sensibilidade = 2 (mm/kg). Deriva de 
zero/oC = 5/10 = 0,5 (mm/oC). Deriva de sensibilidade/oC = 2/10 = 0,2 (mm/kg/oC).
• Resolução, menor diferença entre indicações de um dispositivo mostrador que 
pode ser significativamente percebida. Para um dispositivo mostrador digital, é 
a variação na indicação quando o dígito menos significativo varia de uma unida-
de. Este conceito também se aplica a um dispositivo registrador.
• Zona morta, intervalo máximo no qual um estímulo pode variar em ambos os 
sentidos, sem produzir variação na resposta de um instrumento de medição. A 
zona morta pode depender da taxa de variação e pode, muitas vezes, ser delibe-
radamente ampliada, de modo a prevenir variações na resposta para pequenas 
variações no estímulo.
• Discrição é a capacidade do instrumento de não interferir no mesurando.
1.5. CARACTERÍSTICAS DINÂMICAS DOS INSTRUMENTOS DE 
MEDIÇÃO 
1.5.1. Considerações
 As características estáticas dos instrumentos, conforme foi visto, referem-se 
somente a medidas em estados de equilíbrio. As características dinâmicas, no entan-
to, descrevem o seu comportamento durante o intervalo de tempo em que a gran-
deza medida varia até o momento em que o seu valor medido é apresentado, como é, 
por exemplo, medidas das características em escoamentos de fluidos. Como nas carac-
terísticas estáticas, as características dinâmicas se aplicam somente quando os instru-
mentos são utilizados sob condições ambientais especificadas. Fora destas condições 
de calibração podem-se esperar alterações nestas características dinâmicas.
 Qualquer sistema de medida linear e invariante no tempo respeita a seguinte 
relação entre entrada − q1 − e saída − q0 − em um tempo − t − maior que zero.
 (1.24) 
22 INSTRUMENTAÇÃOPARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
a0-, …, an, b0, …,bm são constantes.
 Se for considerado que a grandeza a ser medida permanece constante du-
rante o tempo de leitura, então esta equação fica simplificada, podendo ser chamada 
equação dinâmica.
 (1.25)
 Simplificações adicionais podem ser consideradas quando esta equação é 
aplicada a classes típicas de instrumentos.
• Instrumento de ordem zero, a menos de a0, todos os outros coeficientes da 
equação dinâmica são iguais à zero.
 i000 qbqa ⋅=⋅ ou ii000 qkqa/bq ⋅=⋅= (1.26)
k é uma constante conhecida como sensibilidade do instrumento, definida ante-
riormente.
 Qualquer instrumento que se comporte segundo esta equação é dito ser de 
ordem zero. Como exemplo, pode-se citar um potenciômetro usado para medir mo-
vimento; a tensão de saída muda instantaneamente tão logo à haste do potenciôme-
tro se movimente ao longo de seu curso.
• Instrumento de primeira ordem, a menos de a0 e a1, todos os outros coeficien-
tes da equação dinâmica são iguais à zero.
 (1.27)
 Se d/dt for substituído pelo operador D, tem-se:
 i00001 qbqaqDa ⋅=⋅+⋅ ou D)a/a(1
q)a/b(
q
01
i00
0 ⋅+
⋅
= (1.28)
 Sendo, 
0
1
a
a
=τ a constante de tempo do sistema, tem-se:
 
D1
qk
q i0 ⋅τ+
⋅
= (1.29)
23SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 Resolvendo-se analiticamente esta equação, a saída q0 em resposta a um de-
grau na entrada qi varia de maneira aproximada conforme se mostra na Fig. 1.10. 
A constante de tempo τ da resposta ao degrau é o tempo tomado quando a saída 
atinge 63(%) do seu valor final.
 O termopar é um bom exemplo de instrumento de primeira ordem. Se um 
termopar à temperatura ambiente for colocado em água fervente, a tensão de saída 
não irá instantaneamente para o nível de 100 (oC), mas irá gradativamente conforme 
mostrado na Fig.1.10 até atingir o seu valor definitivo.
Fig. 1.10 - Variação de q0 em função do tempo.
 O termopar é um bom exemplo de instrumento de primeira ordem. Se um 
termopar à temperatura ambiente for colocado em água fervente, a tensão de saída 
não irá instantaneamente para o nível de 100oC, mas irá gradativamente conforme 
mostrado na figura anterior até atingir o seu valor definitivo.
 Um grande número de instrumentos pertence à classe de instrumentos de 
primeira ordem e, na maioria destes casos, as constantes de tempo possuem valores 
reduzidos. É conveniente salientar que em se tratando de sistemas de controle, é de 
fundamental importância que esta constante de tempo seja levada em consideração. 
 Os instrumentos de primeira ordem são formados por associações de um ele-
mento que possua característica de dissipação e um elemento de armazenamento, 
sejam eles elétricos ou mecânicos. Ou seja, a energia armazenada em um elemento 
vai se dissipando em outro, resultando em uma característica exponencial. Elemen-
tos elétricos passivos que armazenam energia são os indutores (campo magnético) 
e os capacitores (campo elétrico), os quais possuem os análogos mecânicos: mola e 
amortecedor. A perda elétrica por efeito Joule sobre uma resistência tem como aná-
logo mecânico a perdas por atrito.
24 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
1.5.2. Padrões 
 Padrão é a medida materializada, o instrumento de medição, o material de 
referência ou o sistema de medição destinado a definir, realizar, conservar ou repro-
duzir uma unidade ou um ou mais valores de uma grandeza para servir como refe-
rência. Sendo assim, têm-se os seguintes tipos de padrões:
• Padrão de referência, aquele que, geralmente tendo a mais alta qualidade 
metrológica disponível em um dado local ou em uma dada organização, a partir 
do qual as medições lá executadas são derivadas.
• Padrão primário, aquele que é designado ou amplamente reconhecido como 
tendo as mais altas qualidades metrológicas e cujo valor é aceito sem referência 
a outros padrões de mesma grandeza. Este conceito é igualmente válido para 
grandezas de base e para grandezas derivadas.
• Padrão secundário, aquele cujo valor é estabelecido por comparação a um pa-
drão primário da mesma grandeza.
• Padrão internacional, aquele reconhecido por um acordo internacional para 
servir, internacionalmente, como base para estabelecer valores a outros padrões 
da grandeza a que se refere.
• Padrão nacional, aquele reconhecido por uma decisão nacional para servir, em 
um país, como base para estabelecer valores a outros padrões da grandeza a que 
se refere.
• Padrão de trabalho, aquele utilizado rotineiramente para calibrar ou contro-
lar medidas materializadas, instrumentos de medição ou materiais de trans-
ferência. Um padrão de trabalho é, geralmente, calibrado por comparação a 
um padrão de referência. O padrão de trabalho utilizado rotineiramente para 
assegurar que as medições estão sendo executadas corretamente é chamado 
padrão de controle.
• Padrão de transferência, aquele utilizado como intermediário para comparar 
padrões. O termo dispositivo de transferência deve ser utilizado quando o in-
termediário não é um padrão.
• Padrão itinerante, aquele, algumas vezes de construção especial, para ser trans-
portado entre locais diferentes, como, por exemplo, o padrão de freqüência de 
césio, portátil, operado por bateria.
1.5.3. Grandezas Base e Padrões Associados
 O sistema corrente de unidades do SIU adotado e recomendado pela Conferência 
Geral de Pesos e Medidas se baseia nas sete unidades de base caracterizadas na Tab. 1.6.
25SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 Através destas unidades base podem-se obter as chamadas unidades derivadas.
Tab. 1.6 - Unidades fundamentais do SI1
Grandeza unidade padrão Definição
comprimento m
Comprimento do caminho percorrido pela luz em um 
intervalo de 1/299792458 segundos.
massa kg
Massa do cilindro de platino-irídio mantido no Bureau 
Internacional de Pesos e Medidas em Sévres, França.
tempo s
9192631770 períodos da radiação correspondente 
à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado 
fundamental do átomo de césio 133 (uma precisão de 
1 em 1012 ou 1 segundo em 36000 anos)
temperatura K
Fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do 
ponto tríplice da água.
corrente A
Corrente que flui em dois condutores paralelos, retilí-
neos, infinitamente longos e de seção transversal des-
prezível, imerso em vácuo, distantes um metro um do 
outro, produz a força de 2∙10-7 (N) por metro de com-
primento destes condutores.
intensidade
luminosa cd
Intensidade luminosa em uma dada direção de uma 
fonte que emite radiação monocromática à freqüência 
de 540 (THz); (Hz∙1012) com uma densidade de radia-
ção de 1,4641 (mW/esferorradiano)1.
matéria mol
Quantidade de matéria de um sistema que contém 
tantas entidades elementares quantos são os átomos 
contidos em 0,012 kg de massa do carbono 12.
 Atualmente, um novo padrão de tensão tem sido utilizado. Ele foi obtido 
através de uma junção de filmes finos (junção Josephson) a qual após ser resfriada 
até aproximadamente zero absoluto é irradiada com microondas. Isto permite de-
senvolver uma tensão - u - através da junção, a qual está diretamente relacionada 
com a freqüência de excitação da seguinte forma:
 
e2
fh
⋅
⋅
=υ (1.30)
1 Um esferorradiano é o ângulo sólido no qual, tendo o seu vértice no centro de uma esfera, corta uma 
área da superfície desta esfera igual à área de um quadrado cujos lados têm o comprimento igual ao 
raio da esfera.
26 INSTRUMENTAÇÃOPARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
h = 6,63.10-34 (J.s) - constante de Planck; e = 1,602. 10-19 (C) - carga do elétron; f (Hz) 
-freqüência de radiação de microondas. A exatidão deste sistema é da ordem de 0,01 
(ppm).
 Quando um campo magnético é aplicado perpendicularmente à direção de 
uma corrente fluindo em um metal, dá origem a uma tensão. Esse é o conhecido 
efeito Hall. Porém, quando este princípio é aplicado a semicondutores ultrafinos, a 
baixas temperaturas, aparece uma série de patamares de resistências cujos valores 
são função do campo magnético aplicado.
 Esta resistência é quantizada em unidades de h/e2, divididas por um número 
inteiro. Este é o efeito Hall Quântico, mostrado na Fig.1.11.
Fig. 1.11 - Efeito Hall Quântico integral em função de GaAs-GaA1As a 30 (mK), com exatidão 
de 0,01 (ppm).
1.5.4. Rastreabilidade 
 Rastreabilidade é a propriedade do resultado de uma medição ou do valor 
de um padrão estar relacionado a referências estabelecidas, geralmente padrões in-
ternacionais ou nacionais, através de uma cadeia contínua de comparações, cadeia 
de rastreabilidade, todas tendo incertezas estabelecidas.
 Sendo assim, este padrão pode ser dito rastreável. O esquema, a seguir, apre-
senta uma cadeia de rastreabilidade.
27SISTEMAS DE MEDIÇÃO
1.5.5. Calibração de Instrumentos
 A calibração de instrumentos é um conjunto de operações que estabelece, 
sob condições específicas, a relação entre os valores indicados por um instrumento 
de medição ou sistema de medição ou valores representados por uma medida ma-
terializada ou um material de referência, e os valores correspondentes das grande-
zas estabelecidas por padrões. Muitas vezes o termo aferição também é empregado 
com o sentido de calibração, no entanto a tendência é o desuso deste, já que em 
nível mundial não existe o seu sinônimo em inglês ou em francês como acontece 
com o termo calibração (calibration ou étalonnage).
 O resultado de uma calibração permite tanto o estabelecimento dos valores 
do mensurando para as indicações, como a determinação das correções a serem apli-
cadas. Além disto, uma calibração pode, também, determinar outras propriedades 
metrológicas como o efeito das grandezas de influência.
 O resultado de uma calibração pode ser registrado em um documento, algu-
mas vezes denominado certificado de calibração ou relatório de calibração.
 Estas considerações serão aplicadas objetivando estabelecer algoritmos para 
calibrar um instrumento e para, posteriormente, como utiliza-lo. 
 O instrumento padrão será designado por padrão e o instrumento a calibrar 
por instrumento, devendo estarem ligados de modo que a grandeza a medir seja 
feita simultaneamente por ambos, devendo os circuitos que os interligam ao sensor 
terem as mesmas características.
 A calibração será realizada em n pontos da escala do instrumento que se 
pretende obter a calibração. Em cada um dos n pontos deverão ser feitas J leituras 
no padrão e I no instrumento, sendo o ponto genérico designado por k, com medi-
da no padrão Yjk e no instrumento Xik - k=1...n; i=1...I; j=1...J. 
 Assim os valores mais prováveis das medidas em cada ponto resultam:
 ; (1.31)
28 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Os valores médios para os n pontos:
 
n
Y
Y;
n
X
X
n
1k
k
n
1k
k ∑∑
== == (1.32)
 Os desvios padrões podem ser calculados por:
 (1.33)
 ; (1.34) 
 A curva padrão da calibração ( )XfY = quando o coeficiente de correla-
ção estiver próximo da unidade pode ser representado por uma reta 
de coeficientes e XbYa ⋅−= , logo: 
 ( )XXbYaXbY −⋅+=+⋅= (1.35) 
 Para o uso do instrumento deve-se colocar em evidência a variável X, que 
passará ser 0X , ou seja, o valor médio da grandeza media pelo instrumento, o que 
permitirá obter a reta de calibração:
 BYAb
Y
X
b
Y
X
b
YY
X 0
00
0 +⋅=−+=+
−
= (1.36) 
0Y - valor médio das leituras no instrumento calibrado.
0X - valor médio da grandeza medida pelo instrumento calibrado.
 
b
YX
B;
b
1
A
−
== - coeficientes da reta de calibração.
 Quando a curva padrão ( )XfY = tiver coeficiente de correlação afastado da 
unidade, pode-se procurar lineariza-la usando ferramental estatístico.
29SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 O erro padrão do instrumento para N leituras em cada ponto resulta:
 (1.37)
 Nesta expressão, σ é a estimativa do desvio padrão da regressão baseada em 
(n-2) graus de liberdade calculado por:
 (1.38)
 Com isto resulta que a expressão (1.37) pode ser escrita em função de coefi-
cientes, conforme segue:
 (1.39)
 
xx
4
2
b
C
σ⋅
σ
= ; 
xx
4
2
b
Y2
D
σ⋅
σ⋅⋅
−= ; 







σ⋅
+⋅
σ
=
xx
22
2
b
Y
n
1
b
E ; 2
2
b
F
σ
= 
 A dispersão dos pontos em relação à reta é fornecida pelo citado coeficiente 
de correlação R.
 O valor da incerteza do valor médio 0X é calculado por:
 EteI s ⋅+= (1.40)
 ∑∑
= =
=
J
1j
I
1i
2
jis ee é o erro sistemático sendo ije os erros sistemáticos de cada tipo 
e fonte de erro; 
N
E
σ
= é o desvio padrão da médio de 0Xˆ com ∑∑
= =
σ=σ
J
1j
I
1i
2
ji , sendo 
ijσ os erros aleatórios de cada tipo e fonte de erro; t é a variável de Student, Tab. 1.2.
 Quando se tem como fonte de erro somente a medida no instrumento cali-
brado, com desconsideração dos erros de aquisição, de arredondamento e sistemá-
tico, a expressão (1.40) resulta igual a (1.15), sendo o σ calculado pela (1.38).
 Se, para o instrumento calibrado não for possível obter uma reta de calibra-
ção, o valor de E da expressão (1.40) será considerado o desvio padrão da média da 
série de medidas realizadas:
30 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 
( )
( )1NN
YY
E
N
1k
2
k00
−⋅
−
=
∑
= (1.41)
N - número de leituras da série de medidas; 0Y - valor médio das N leituras; 
k0Y - cada uma das leituras no instrumento a ser calibrado.
 Caso o valor da expressão (1.40) resulte igual à zero, calcula-se o desvio pa-
drão da média da série de medidas realizadas por:
 N
DM
E =
 (1.42)
MD - menor divisão da escala do instrumento a ser calibrado.
1.5.6. Algoritmos
• Algoritmo geral para calibração de instrumentos
1 Em função dos limites escolhidos na escala que se deseja obter a curva de 
calibração, estabelece-se o número de pontos - n - da curva bem como os 
pontos de equilíbrios onde serão feitas as medidas/registros.
2 Para cada ponto - k - de equilíbrio, instrumento e padrão fazem-se leituras/
registros Xi no instrumento e correspondentes Yj no padrão, em intervalos 
de tempos iguais. Por exemplo, usando pacote computacional, 100 valores 
de Xi (i=1,..., =100) e Yj (j=1,...,=100) no tempo de 1 segundo, cada registrosendo feito no final de 1/100 do segundo. Em seguida calcula-se:
3 
J
Y
Y;
I
X
X
J
1j
kj
k
I
1i
ki
k
∑∑
== == ;
4 
n
Y
Y;
n
X
X
n
1k
k
n
1k
k ∑∑
== == ;
5 n
YX
YX
n
1k
n
1k
kk
k
n
1k
kyx
∑ ∑
∑ = =
=
⋅
−⋅=σ ;
31SISTEMAS DE MEDIÇÃO
6 
n
X
X
2n
1k
kn
1k
2
kxx








−=σ
∑
∑ =
=
 ; 
7 
n
Y
Y
2n
1k
kn
1k
2
kyy








−=σ
∑
∑ =
=
;
8 
xx
yxb
σ
σ
= ; XbYa ⋅−= ;
9 Determina-se/traça-se a curva padrão, ( )XXbYaXbY −⋅+=+⋅= ;
10 
yyxx
yxR
σ⋅σ
σ
= , sendo próximo da unidade usar a reta 9;
11 Plotar/determinar com os valores obtidos em 4 a função ( )XfY = , confron-
tando-a com a reta 9 e deliberando qual será a curva padrão, podendo ser 
tomado como referência o R determinado em 10.
• Algoritmo geral para uso de instrumento a partir de características da cali-
bração
Dados: N; n; σxx ; σyy ; σxy ; 
xx
yxb
σ
σ
= ; Y ; XbYa ⋅−= ; ( )XfY = ;
MD = menor divisão da escala do instrumento calibrado; 99(%) - N = 100 - t = 2,62; 
95(%) - N = 100 - t = 1,96
Roteiro:
1 Estabelecido o estado de equilíbrio para o ponto de interesse no instru-
mento realiza-se N leituras/registros em intervalo de tempo pré-fixado. Por 
exemplo, usando pacote computacional, 100 valores de xi (i=1... =100) no 
tempo de 1 segundo, cada registro sendo feito no final de 1/100 do segundo. 
Em seguida calcula-se:
2 
N
x
x
N
1i
i∑
== , valor mais provável das medidas no ponto de interesse;
32 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
3 axbx +⋅= , valor mais provável corrido da medida no ponto de interesse, 
para o caso da curva padrão ser uma reta ou ( )xfx = sendo os coeficientes 
desta função os mesmos da curva ( )XfY = obtida na calibração;
4 
2n
xx
2
yx
yy
−
σ
σ
−σ
=σ ;
5 
( )
xx
2
2
p
b
Yx
n
1
N
1
b
e
σ⋅
−
++⋅
σ
= erro padrão do instrumento para o ponto de in-
teresse onde foram feitas N medidas;
6 O desvio padrão e determinado por 
N
E
σ
= se em 3 for usada a reta. Se for a 
função 
( )
( )1NN
xx
E
N
1k
2
k
−⋅
−
=
∑
= . Se este for zero calcular e usar 
N
DM
E = ;
7 EtI ⋅= , valor da incerteza no ponto de interesse.
1.6. FERRAMENTAS ANALÓGICAS
1.6.1. Circuitos com Amplificadores Operacionais
 O amplificador operacional (op-amp), com esquema na Fig. 1.12, é um dos 
componentes de circuitos mais utilizados, principalmente pela sua versatilidade e 
baixo custo.
 Vo=A.(V2 - V1)
Fig. 1.12 – Esquema de amplificador operacional.
 As características ideais de um op-amp são: 
33SISTEMAS DE MEDIÇÃO
• Amplificação diferencial com ganho infinito;
• Impedância de entrada infinita;
• Impedância de saída nula.
• No entanto, op-amps reais se comportam da seguinte maneira:
• Possuem realmente alto ganho que, no entanto, cai com o inverso da freqüên-
cia, de maneira que o produto ganho freqüência esteja entre 105 e 108; 
• A impedância de entrada é tipicamente 106 (Ω) para transistores (BJT) bipolares 
e 1012 (Ω) para transistores de efeito de campo (FET);
• Quando V-=V+ a saída não é nula devido a desbalanços interno de tensão e cor-
rente (offset);
• A saída em corrente fica limitada em 10 (mA) a ±10 (V).
 Nas Figs. 1.13 a 1.23, estão representados esquemas e características de al-
guns circuitos:
Fig. 1.13 - Esquema e características de 
amplificador inversor
Fig. 1.14 - Esquema e características 
amplificador não inversor
Fig. 1.15 - Esquema e características de 
amplificador subitrator.
Fig. 1.16 - Esquema e características de 
seguidor de tensão ou buffer.
0Z;RZ
V
R
R
V
01i
1
1
2
0
→=
⋅−= ( )
0Z;Z
V
R
R
1V
0i
1
1
2
0
=∞→
⋅+=
( )
4231
12
1
2
0
RReRR
VV
R
R
V
==
−⋅=
0Z;Z
VV
0i
10
→∞→
=
34 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 1.17 - Esquema e características de 
conversor corrente tensão. 
Fig. 1.18 - Esquema e características de 
conversor tensão corrente.
Fig. 1.19 - Esquema e características de 
somador.
Fig. 1.20 - Esquema e características de 
amplificador de instrumentação.
 Uma outra configuração de amplificador de instrumentação possível é mos-
trada na Fig. 1.21. 
0Z;0Z
IRV
0i
0
→=
⋅−=
0Z;Z
R
V
I
0i →∞=
=
( )
RR...RR
paraV...VVV
R
V
...
R
V
R
V
RV
n21
n210
n
n
2
2
1
1
0
====
+++−=






+++⋅−=
0Z;Z
R
R2
1
R
R
VV
V
G
0i
1
2
3
4
12
0
1
→∞→





 ⋅
+⋅=
−
=
35SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Fig. 1.21 - Esquema da Texas Instrumerts para amplificador de instrumentação.
 Com uma combinação adequada dos valores dos resistores pode-se ter uma 
saída proporcional à diferença entre as tensões na entrada. Note que estando os am-
plificadores de entrada na configuração não inversora, o circuito apresentará a alta 
impedância de entrada desejada. 
 Este é o circuito encontrado internamente no amplificador de instrumenta- 
ção INA 321 (Texas Instruments). A saída deste circuito é dada por:
( ) 221
2
1
0
CR1R
R
V
V
⋅⋅ω+⋅
−
=
Deslocamento de fase:
c
2 f
f
CRtan −=⋅⋅ω−=φ
fc - freqüência de corte. O ganho reduz 
03,01 (dB), e acima, 20 (dB) por década
CR1
CR
V
V
2
2
1
0
⋅⋅ω+
⋅⋅ω−
=
Acima de fc o ganho passa a ser -R2/R1
Fig. 1.22 - Esquema e características de 
filtro passa baixa.
Fig. 1.23 - Esquema e características de 
filtro passa alta
1.6.2. Sistema de Aquisição de Dados
 Os sistemas de aquisição de dados vêm se firmando rapidamente como uma 
alternativa de instrumentação que combina baixo custo com alta qualidade. Tais 
sistemas podem ser encontrados como placas a serem instaladas diretamente nos 
slots de PCs, instrumentos dedicados, controladores lógico programáveis, unidades 
36 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
terminais remotas, etc. Podem contar com conversores analógico-digitais, digitais-
analógico, entradas e saídas digitais, controladores e temporizadores, dentre outros.
Conversores D/A
 O conversor digital para analógico (D/A) transforma um número binário de 
N bits em uma tensão ou corrente de saída que pode ter 2N valores distintos. Ge-
ralmente a relação entre entrada e saída é linear, mas outros tipos de relação (ex.: 
logarítmica) também são encontradas. A Fig. 1.24 traz uma representação gráfica de 
um conversor de 3 bits, tendo oito níveis discretos na saída compreendendo a faixa 
de 0 a 7/8 do fundo de escala (F.S.).
Nesta figura podem-se observar algumas características dos conversores D/A, 
reais:
• A resolução, ou erro de quantização, de um conversor D/A de N bits é a maior 
diferença entre qualquer tensão dentro da faixa total de saída e a tensão de 
saída mais próxima. No caso de um conversor D/A ideal, este é a metade 
de um degrau, ou seja, 0,5 (LSB). Devido à relação estreita entre resolução e 
número de bits, a descrição resolução N-bits é frequentemente utilizada.
 Fig. 1. 24 - Gráfico de conversor D/A
• O erro de exatidão absoluto é a diferença entre a saída real e a saída ideal, 
normalmente expresso em unidades de LSB para comparação com o erro de 
quantização.
37SISTEMAS DE MEDIÇÃO
• O erro de exatidão relativa é a diferença da saída real e a linha reta que passa 
pelos pontos medidos da escala. Posto que este erro é relativo à linha reta, 
também é chamado erro de linearidade, sendo expresso em unidadesde 
LSB para comparação com o erro de quantização.
 Existem vários circuitos capazes de exercer esta tarefa, porém os mais utiliza-
dos são baseados em amplificadores operacionais. O primeiro e mais simples esquema 
é o que se utiliza de um circuito somador com resistores em peso binário, Fig. 1.25.
 Fig. 1.25 - Esquema de circuito somador com resistores em peso binário
 Uma alternativa é a utilização de uma rede R-2R, Fig. 1.26 As principais carac-
terísticas na especificação de um conversor D/A são:
• Modelo;
• Resolução;
• Entradas digitais;
Fig. 1.26- Esquema de rede R - 2R
• Faixas de saída;
• Impedância de saída;
• Velocidade de conversão;
38 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
• Linearidade;
• Precisão;
• Tempo de acomodação;
• Coeficientes de deriva;
• Alimentação.
Conversores A/D
 Os conversores analógicos-digitais são circuitos ou componentes que, exci-
tados por uma tensão ou corrente, produz um código digital equivalente.
 Para tanto, existem várias filosofias de conversão que podem ser imple-
mentadas. A mais simples, pórém menos utilizada é o conversor A/D básico, por 
aproximação sucessiva, mostrado na Fig. 1.27.
 Fig. 1.27 - Esquema de conversor A/D básico.
 Nesta filosofia, depois de liberado o sinal de início da conversão - SC -, o con-
tador passa a gerar palavras digitais a partir de zero, simultaneamente o conversor D/
A produz um valor analógico equivalente à palavra gerada pelo contador. Este valor 
é então comparado ao sinal analógico aplicado na entrada - Vent. Enquanto o sinal 
gerado for menor que o aplicado, o contador continua operando e gerando novos 
sinais analógicos formando a chamada tensão em escada. Este ciclo se repete até 
que o sinal analógico gerado seja igual ao aplicado na entrada. Nestas condições há 
o término da conversão e um sinal de fim da conversão - EOC - é emitido.
 A grande desvantagem deste método é a baixa velocidade. No pior caso (en-
trada máxima) o contador tem que alcançar a contagem máxima antes que a tensão 
em escada seja maior do que a entrada analógica. Para um conversor de 8 bits isto 
significa 255 períodos de clock, enquanto que para um conversor de 12 bits, o tempo 
39SISTEMAS DE MEDIÇÃO
de conversão é de 4095 períodos de clock.
 Uma outra filosofia bem mais rápida é o chamado conversor flash. Este possui 
2N-1 comparadores para determinar simultaneamente todos os N bits da palavra digital 
de saída. Um conjunto de portas lógicas or-exclusive determina a localização do compa-
rador cuja entrada de referência mais se aproxima do valor analógico de entrada.
 Outras técnicas existentes são o conversor contador prático, o conversor de 
dupla inclinação, e o que utiliza a conversão de tensão para freqüência e conversão 
de tensão para tempo, dentre outros. A Fig. 1.28 contem um esquema de conversor 
contador A/D
Fig. 1. 28 - Esquema de conversor contador A/D.
 A especificação básica de um conversor A/D passa por:
• Resolução;
• Exatidão;
• Linearidade diferencial;
• Coeficientes de deriva;
• Tempo de conversão;
• Faixas de tensão de entrada;
• Impedância de entrada;
• Sinais de saída;
• Estados de conversão;
• Alimentação.
40 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Sample-and-hold
 Alguns conversores analógicos digitais exigem que a tensão analógica de 
entrada permaneça constante durante todo o período de conversão. Como muitas 
vezes os sinais que se deseja medir variam no tempo, lança-se mão dos circuitos sam-
ple-and-hold, S/H, (amostragem e retenção) para a execução desta tarefa.
 Existem amplificadores operacionais específicos para tanto, estes operam 
como um típico op-amp no modo sample, mas no modo hold, a saída fica idealmente 
constante, independentemente da entrada. Este valor constante é o valor que estava 
na saída quando da mudança do modo sample para hold. Esta mudança de modos 
se faz por uma entrada digital, 0 ou 1. A Fig. 1.29 mostra dois circuitos possíveis para 
a implementação do S/H e um gráfico exemplificando como é feita esta operação.
Fig. 1.29 - Esquemas de circuitos possíveis para implantação de S/H
Amostragem de sinais 
 A amostragem de sinais requer uma fina coordenação de um número de 
elementos, principalmente quando se deseja exatidão combinada com velocidade. 
Neste aspecto, a velocidade de amostragem, ou taxa de amostragem, possui algu-
mas limitações. Seja, por exemplo, a amostragem de uma onda senoidal com freqü-
ência f (Hz) e uma amplitude pico a pico de 2V0. Esta onda é dada por:
 )tf2(senV)t(V 0 ⋅⋅π⋅⋅= (1.43)
 A primeira derivada fornece a taxa de variação:
41SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 )tf2cos(Vf2
td
Vd
0 ⋅⋅π⋅⋅⋅⋅π⋅= (1.44)
 Esta derivada possui um valor máximo 2⋅π⋅f⋅V0. Se o conversor A/D possuir N 
bits de resolução e uma taxa de amostragem TA, para uma exatidão de conversão 
de 1/2 (LSB) tem-se que a entrada não deverá mudar de uma parte em 2N+1, ou seja, 
V0⋅2
-N durante um intervalo de amostragem:
 
a
N
0
0
T2
V
Vf2
⋅
<⋅⋅π⋅ ou 
a
1Nmax T2
1
f
⋅π⋅
= + (1.45)
 Estas equações fornecem importantes relações entre o tempo de conversão 
e a máxima taxa de amostragem. Sejam os seguintes exemplos:
 N=8, Ta=10 (µs) → fmax = 62 (Hz);
 N=8, Ta=50 (ns) → fmax = 12 (kHz);
 N=8, Ta=15 (ns) → fmax = 41 (kHz).
 Quando uma onda senoidal é amostrada seis vezes por ciclo, uma curva 
passando por estes pontos fica próxima à curva original amostrada e a freqüência 
observada é igual à freqüência verdadeira. Porém, quando a mesma senóide é amos-
trada a uma freqüência 6/5 da freqüência verdadeira, uma curva também poderá 
ser passada por estes pontos, porém, mesmo parecendo uma senóide, possuirá uma 
freqüência aparente cinco vezes menor do que a original, Fig. 1.30.
Fig. 1. 30 - Gráficos senoidais. 
 A freqüência resultante f0 é uma função da freqüência verdadeira f e da fre-
qüência de amostragem fS. Para f/fS < 0,5, f0 = f. Quando f excede fS/2, a freqüência 
aparente f0 cai linearmente e chega à zero em f=fS, quando a onda é amostrada exa-
42 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
tamente uma vez por ciclo. Em geral, se a freqüência de amostragem é qualquer múl-
tiplo da freqüência verdadeira, a onda é amostrada a uma mesma fase e a freqüência 
aparente é zero.
 É importante observar que se qualquer freqüência acima de fS/2 que exista 
no sinal amostrado aparecerá nos dados amostrados como ondas de menor freqüên-
cia. Este fenômeno chamado aliasing é evitado somente quando a maior freqüência 
do sinal for amostrada ao menos duas vezes por ciclo. Este é o teorema da amostra-
gem de Nyquist.
 Em muitos casos utilizam-se filtros passa baixa com a função de mitigar os 
sinais de freqüências superiores à metade da freqüência de amostragem, evitando 
erros de cálculo na análise dos sinais obtidos. Estes filtros são comumente denomi-
nados filtros anti-aliasing.
 É muito comum adotar-se taxas de amostragem em potências de 2, como 
por exemplo, 2, 4, 8, 16, 32, ... , 2n. Isto é feito, porque na maioria das vezes utiliza-se a 
transformada rápida de Fourier (FFT) para análise de dados, e que o número de pon-
tos dentro de um período seja uma potência de 2 é um pré-requisito para viabilizar a 
sua aplicação.
Placas de aquisição de dados
 Diversos fabricantes têm disponibilizado no mercado sistemas de aquisição 
de dados de relativo baixo custo. Tais sistemas são placas de aquisição de dados que 
são conectadas diretamente aos slots de computadores pessoais. Tais placas podem 
conter conversores A/D, D/A ou ambos, Fig. 1.31.
Fig. 1.31 - Esquema com componentes de uma placa de aquisiçãode dados. 
 As principais características na especificação de uma placa de aquisição de 
dados são:
43SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Entradas analógicas
• Número de canais de entrada (monopolar/diferencial);
• Taxa máxima de amostragem;
• Resolução (bits);
• Faixas de tensão de entrada;
• Ganhos.
Saídas analógicas 
• Número de entradas analógicas;
• Resolução
Portas de I/O
• Número de canais de I/O digitais;
• Contadores/temporizadores.
 Além destes considera-se ainda a existência de triggers analógicos e digitais, 
gerenciamento de memória DMA, cabos e placa de conexão, softwares compatíveis 
e drivers, dentre outros.
1.7. INSTRUMENTAÇÃO VIRTUAL
 A instrumentação tradicional é autocontida, tem capacidade de entrada e sa-
ída de sinais e interface com o usuário fixa através de botões liga-desliga, rotativos e 
outros. Dentro da caixa, um circuito especializado, podendo incluir conversores A/D, 
condicionadores de sinais, microprocessadores, memórias e um barramento interno 
que converte sinais do mundo real, analisa e apresenta os resultados para o usuário. 
O fabricante define todas as funcionalidades do instrumento - o usuário não pode 
mudar isso.
 A instrumentação tem sempre elevado, largamente, o custo da tecnologia 
para introduzir suas inovações. Componentes de rádio foram usados para abrir cami-
nho aos primeiros instrumentos eletrônicos. A tecnologia dos monitores de televisão 
44 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
alavancou o uso em osciloscópios e analisadores. A tendência hoje é que os compu-
tadores e notebooks sirvam como equipamentos para instrumentação.
 Instrumentos virtuais alavancam a arquitetura aberta do padrão da indústria 
de computadores para fornecer o processamento, memória e capacidade de exibi-
ção; enquanto que, mais baratas e de aplicação mais geral, as placas de aquisição de 
dados, interface IEEE 488 (GPIB) e VXI, ligadas a um barramento padrão fornecem as 
capacidades da instrumentação.
 Controlando os computadores estão os programas que permitem que o 
usuário desenvolva o seu sistema de medição de acordo com as suas necessidades. 
Existem vários softwares no mercado para esta finalidade com recursos de análise e 
visualização de dados. As Figs. 1.32 e 1.33 mostram algumas destas potencialidades.
Fig. 1.32 Resultados na tela do computador.
45SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Fig. 1.33 - Resultados na tela do computador.
 A instrumentação virtual pode ser feita também se combinando os recursos 
dos computadores com instrumentos que permite o seu controle através da interfa-
ce GPIB padrão IEEE 488 - instrumentos inteligentes.
 Desenvolvida na década de 70, esta é uma interface paralela mundialmente 
padronizada para sistemas de testes e medidas. O barramento possui 16 linhas onde 
oito (0 a 7) são vias de dados e o restante indica o estado do sistema, que são:
• DAV (data valida) - Apresenta um nível lógico 0 quando os dados são válidos.
• NRFD (not ready for data) - Apresenta nível lógico 0 quando a unidade receptora 
está preparada para receber dados.
• NDAC (not data accepted) - Vai a nível lógico 0 quando a unidade receptora ter-
minou de receber dados.
• ATN (attention) - É um sinal de controle geral usado para vários propósitos, sen-
do principalmente para controlar o uso da linha de dados e especificar os dispo-
sitivos emissor e receptor a serem usados.
• IFC (interface clear) - O controlador usa esta linha de estado para colocar a inter-
face em estado de espera.
• SRQ (service request) - É uma linha de interrupção que permite dispositivos de 
alta prioridade, tais como alarmes, interrompa o tráfego corrente e tenha acesso 
imediato ao barramento.
• REN (remote enable) - Esta linha de estado é usada para especificar qual dos 
conjuntos alternativos de programação dos dispositivos será usado.
• EOI (end of output ou identify) - Esta linha de estado é usada pelo emissor para 
indicar que terminou a transmissão de dados.
 A Fig. 1.34 apresenta a configuração e pinagem de um soquete fêmea pa-
drão GPIB e o fluxo de informações em um intercâmbio típico entre um controlador 
e um instrumento inteligente.
46 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 1.34 - Configuração e pinagem de soquete fêmea padrão GPIB e fluxo de informações.
1.8. CONDICIONAMENTO DE SINAIS
1.8.1. Detecção de Variação de Resistência
 Muitos sensores têm o seu princípio operativo baseado em variação de re-
sistência. Isto acontece, por exemplo, em medidas de pressão e força empregando 
strain gages, medidas de temperatura empregando termoresistores ou termistores, 
medidas de deslocamento linear ou angular usando resistores variáveis, etc.
 A detecção eletrônica da variação de resistência tem sido historicamente fei-
ta através do uso da ponte de Wheatstone. Esta ponte é basicamente um circuito 
composto por quatro resistores e uma fonte de alimentação com tensão constante, 
como mostrado na Fig. 1. 35.
Fig. 1.35 - Detecção com ponte de Wheatstone
 A tensão Vo pode ser dada pela diferença entre as tensões em D e em B. Uti-
lizando as expressões do divisor de tensão, vem.
 V
)RR()RR(
RRRR
V
RR
R
V
RR
R
VVV
4321
4132
43
4
21
2
CBO ⋅+⋅+
⋅−⋅
=⋅
+
−⋅
+
=−= (1.46)
 Supondo que haja uma variação em todas as resistências durante uma medi-
ção, a correspondente variação da tensão medida será:
 V
)RR()RR()RR()RR(
)RR()RR()RR()RR(
)VV(
44332211
44113322
OO ⋅∆++∆+⋅∆++∆+
∆+⋅∆+−∆+⋅∆+
=∆+ (1.47)
47SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 Diz-se que a ponte está em equilíbrio quando a tensão medida é igual a zero. 
Nestas condições tem-se:
 4132 RRRR ⋅=⋅ ou r
1
R
R
R
R
3
4
2
1 == (1.48)
 Este resultado pode ser usado para simplificar a equação anterior que des-
creve a variação da tensão de saída com a variação das resistências. Dessa forma, a 
variação da tensão será aproximadamente igual a:
 VR
R
R
R
R
R
R
R
)r1(
r
V
4
4
3
3
2
2
1
1
20 ⋅




 ∆
−
∆
+
∆
−
∆
⋅
+
≅∆ (1.49)
 Esta é a expressão básica que rege o comportamento da saída da ponte de 
Wheatstone em face de variação em qualquer de seus parâmetros.
 Quando as resistências forem iguais, R será igual a 1 e a nova expressão 
será:
 )RRRR(
R4
V
V 43210 ∆−∆+∆−∆⋅≅∆ (1.50)
 Quando o elemento sensor baseado em variação de resistência se situa dis-
tante do circuito da ponte, normalmente se emprega a configuração quarto-de-
ponte, onde apenas este elemento é variável e os outros permanecem constantes. 
Normalmente o elemento variável é o que ocupa o lugar de R3, sendo assim, consi-
derando os valores das resistências iguais a R, resulta:
 V
R
R
4
1
V0 ⋅
∆
⋅≅∆ (1.51)
 Quando, porém o elemento sensor é a própria ponte, podem-se arranjar os 
resistores convenientemente de modo a maximizar os efeitos da variação de resis-
tência. Neste caso utiliza-se a configuração ponte-completa, onde elementos de 
variação negativa são colocados em uma diagonal, por exemplo, R2 e R4, enquanto 
elementos de variação positiva são colocados na outra diagonal, R1 e R3. Para valores 
iniciais de resistência iguais a R, fica:
 V
R
R
V0 ⋅
∆
=∆ (1.52)
 Analisando-se estas expressões pode-se observar que a configuração quar-
48 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
to-de-ponte, além de não ser perfeitamente linear,reduz a sensibilidade do circuito 
a um quarto.
 
R
V
4
1
R
V0 ⋅=
∆
∆
 (1.53)
 Na configuração ponte-completa, por outro lado, a resposta do circuito é li-
near e a sensibilidade do mesmo é totalmente aproveitada.
Circuito a dois fios
 Este é o sistema mais simples e de menor custo para ser aplicado, porém é o mais 
vulnerável à incidência de resistências parasitas, conforme pode ser observado na Fig. 1.36.
Fig. 1.36 - Circuito a dois fios
 Observe neste circuito que, mesmo que todos os resistores possuíssem valo-
res iguais, isto é, R1=R2=R4=R, a ponte ficaria desequilibrada, uma vez que o produto 
diagonal não seria igual:
 R1 . R4 =/ R2 . (R + 2r) (1.54)
 Onde r é a resistência parasita resultante do comprimento do cabo de inter-
ligação. Naturalmente este erro varia proporcionalmente com a relação r/R e com o 
comprimento do cabo.
Circuito a Três Fios
 Uma solução alternativa ao circuito a dois fios é utilizar um terceiro fio.
 Nesta concepção, a introdução de uma terceira resistência parasita pode 
ser usada para equilibrar a ponte quando os seus resistores apresentarem valores 
iguais, conforme mostra a Fig. 1.37.
49SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 Fig. 1.37 - Circuito a três fios
 Nestas condições, considerando iguais as resistências da ponte, o produto 
das resistências diagonalmente opostas fica:
 R1 . (R4 + r) = R2 . (R + r) (1.55)
 A premissa básica para o correto funcionamento deste circuito é que a im-
pedância de entrada do elemento que irá medir Vo seja suficientemente grande de 
modo que a queda de tensão no terceiro condutor seja desprezível.
 Este sistema é o mais largamente empregado na medida de strain gages e 
termo resistores.
Circuito a Quatro Fios
 O sistema a quatro fios opera excitando-se o elemento sensor resistivo atra-
vés de uma fonte de corrente, utilizando-se, para tanto, um par de condutores. Outro 
par de condutores é usado para tomar-se a queda de tensão imediatamente junto 
aos terminais do elemento sensor, Fig. 1.38.
Fig. 1. 38 - Circuito a quatro fios.
 Considerando que a medida de tensão é feita com um instrumento de altís-
50 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
sima impedância de entrada, a tensão medida é exatamente igual à queda de tensão 
sobre o elemento sensor. Dessa forma, o sistema de medição fica praticamente in-
sensível a resistências parasitas oriundas de cabos de interligação.
Circuito de Ponte Completa
 Quando o elemento sensor se caracteriza pela própria ponte de Wheatstone, pode-
se lançar mão de circuitos eletrônicos dedicados à medição da tensão de saída da ponte.
 A Fig. 1.39, mostra a concepção do circuito integrado AM442 (Analog Mi-
croelectronics) especialmente desenvolvido para o uso em sistemas de detecção de 
variação de resistência baseados em ponte completa.
 Neste caso, a saída em tensão da ponte é diretamente conectada à entra-
da de um amplificador de instrumentação e posteriormente convertida em corrente 
para ser transmitida à distância.
 Um sistema semelhante emprega o amplificador de instrumentação INA118 
(Burr Brown), Fig. 1.40.
 A família de circuitos integrados XTR (Burr Brown) trabalha com a detecção de 
variação de resistência em pontes baseadas em fontes de corrente. Nesta configuração 
o comparador irá alterar a sua saída à menor variação da resistência R1 ligada à entrada 
inversora, já que a tensão na entrada não inversora está fixada por R2, Fig. 1.41.
Fig. 1.39 - Circuito de ponte completa.
51SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Fig. 1.40 - Sistema com amplificador 
de instrução.
Fig. 1.41 - Sistema com circuito integrado XTR
 Uma vantagem adicional deste circuito é que os próprios condutores de ali-
mentação do circuito são responsáveis pela transmissão da informação na forma de 
um loop de corrente.
1.8.2. Detecção de Variação de Capacitância
 Uma característica intrínseca da capacitância é a sua reatância capacitiva. 
Esta, por sua vez, depende da freqüência a qual o capacitor está submetido. A re-
atância, contudo, apresenta característica resistiva, de modo que o seu valor pode 
ser eletronicamente determinado empregando-se pontes de corrente alternada. As 
pontes mais comumente empregadas para tanto, e que levam o nome de seus inven-
tores, são: Pontes Wien, Schering, Sauty e Nerst.
 As pontes de corrente alternada são uma extensão da ponte de corrente 
contínua, apresentam a mesma topologia, com quatro braços descritos por suas im-
pedâncias complexas, sendo que sua excitação é feita por meio de uma fonte de 
corrente alternada de freqüência conhecida, como mostrado na Fig. 1.42.
 Na Fig. 1.42a, a tensão na saída da ponte, Vo, é dada pela diferença entre as 
tensões em D e em B.
Fig. 1.42 - Detecção por variação de capacitância.
 Utilizando as expressões do divisor de tensão, resulta:
 V
)ZZ()ZZ(
ZZZZ
V
ZZ
Z
V
ZZ
Z
VVV
4321
4132
43
4
21
2
CBO ⋅+⋅+
⋅−⋅
=⋅
+
−⋅
+
=−= (1.56)
 A condição de equilíbrio se dá quando:
 4132 ZZZZ ⋅=⋅ (1.57)
52 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Por se tratarem de impedâncias complexas, a condição de igualdade deverá 
ser verificada nas partes reais e imaginárias na representação retangular, ou nos mó-
dulos e nos ângulos no caso da representação polar, ou seja:
 4132 ZZZZ ⋅=⋅ e 4132 θ+θ=θ+θ (1.58)
 Na Fig. 1.42 b esta representada a ponte Sauty a qual é indicada para a de-
tecção de variação de capacitâncias com bom fator de qualidade, ou seja, impedân-
cias capacitivas de grande ângulo. O valor da impedância capacitiva desconhecida 
será:
 





⋅ω
⋅−⋅=
C
1
jR
Q
P
Z (1.59)
 Esta ponte também é conhecida como ponte P/Q série.
 Na Fig. 1.42c esta esquematizada a ponte Wien, usada para a detecção de va-
riação de capacitâncias com baixo fator de qualidade, ou seja, impedâncias capaciti-
vas de pequeno ângulo. O valor da impedância capacitiva desconhecida é calculado 
por:
 










⋅ω⋅+
⋅=
Cj
R
1
1
Q
P
Z (1.60)
 Esta ponte também é conhecida como ponte P/Q paralelo.
 Existem diversas outras maneiras de se detectar variação em elementos sen-
sores capacitivos. Uma delas que vem ganhando destaque é aquela que se baseia em 
um oscilador de referência, cuja freqüência variável ajustada através de COSC, aciona 
dois integradores simétricos sincronizados em fase e em tempo, Fig. 1.43. As ampli-
tudes destes dois integradores são determinadas pelas capacitâncias CX1 e CX2, onde 
CX1 é a capacitância de referência e CX2 é a capacitância a ser medida.
Fig. 1.43 - Detecção de variação em elementos sensores capacitivos.
53SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 A comparação precisa das duas amplitudes produz um sinal DC que corres-
ponde à variação relativa entre os capacitores CX1 e CX2.
 Na Fig. 1.44 esta esquematizado o circuito integrado CAV424 (Analog Micro-
electronics) que implementa esta técnica. Neste caso, a diferença entre as capacitân-
cias pode ser da ordem de 5% a 10%. Como CX1 pode varia de 10 (pF) a 1 (nF), a faixa 
de medição de capacitâncias pode ser de 0 a 10,5 (pF) e até 0 a 2 (nF).
Fig. 1.44 - Circuito integrado CAV424.
1.9. IDENTIFICAÇÃO, SIMBOLOGIAE DIAGRAMAS DE 
INSTRUMENTAÇÃO
 O nível de detalhamento na representação de um sistema de instrumenta-
ção pode variar com um enorme grau de complexidade. Esquemas simplificados 
ou conceituais, freqüentemente denominados diagramas de fluxo, provêm muito 
menos detalhes que os diagramas de tubulações e instrumentação (P&IDs) bem 
desenvolvidos.
 A norma ANSI/ISA S5.1-1984 (R1992) de Identificação e Simbologia de Instru-
mentação define como cada símbolo é construído usando elementos gráficos, códi-
gos alfanuméricos, abreviações, blocos de funções e linhas de conexão. Este sistema 
foi desenvolvido principalmente para o uso na indústria química, petrolífera, energia, 
condicionamento de ar, siderurgia e numerosas outras indústrias de processo.
 Outros campos, tais como astronomia, navegação e medicina, usam instru-
54 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
mentos muito especializados que são diferentes dos usados na indústria convencio-
nal de processos. No entanto, o sistema é flexível o suficiente para atender as neces-
sidades de campos específicos.
 Além de símbolos de identificação a serem usados em diagramas, à norma 
também traz diretrizes sobre a identificação dos equipamentos dentro dos sistemas 
de instrumentação (Ag numeres). A aderência a uma norma de representação ga-
rante o entendimento consistente de sistemas de comunicação entre instrumenta-
ção, controle e automação.
1.9.1. Sistema de Identificação
 Cada instrumento ou função a ser definida é designado por um código alfa-
numérico ou etiqueta de identificação (Ag numere). A identificação do laço, parte 
do número de identificação, geralmente, é comum para todos os instrumentos do 
mesmo laço. Um sufixo ou prefixo pode ser adicionado para completar a identifica-
ção, como mostrado na Tab. 1.7
Tab. 1.7 - Identificação de Instrumentos
TIC 103 Número de identificação (tag number)
103 Número do laço
TIC Identificação funcional
T Primeira letra
IC Letras subseqüentes 
 Existem dois sistemas de numeração de laços, série e paralelo. O sistema de 
numeração paralelo consiste em iniciar uma seqüência numérica para cada nova 
primeira letra, ex.: TIC-100, FRC-100, LIC-100, AI-100, etc. A este código pode-se 
adicionar um sufixo, caso em um laço possua mais de um instrumento com a mesma 
identificação funcional, ex.: FV-2A, FV-2B, FV-2C, ou TE-25-1, TE25-2, TE25-3, etc. O 
sistema série usa uma única seqüência de números para uma planta ou seção, inde-
pendentemente da primeira letra de identificação do loop, isto é: TIC-100, FRC-101, 
LIC-102, AI-103, etc.
 O número do laço onde o instrumento está inserido deve incluir códigos que 
descrevam a área a que pertence. Podem-se usar números para designar funções 
especiais, como por exemplo, a série 900 a 999 pode ser usada para laços cuja função 
55SISTEMAS DE MEDIÇÃO
primária está relacionada à segurança. Também, nos diagramas, o símbolo do instru-
mento deve ser acompanhado do seu número de identificação.
 A identificação funcional de um instrumento ou sua função equivalente 
consiste na combinação de letras: uma primeira letra designando o mensurando ou 
a inicial da variável, tais como Análise (A), Flow (F), Temperatura (T), etc., e uma 
segunda ou mais letras subseqüentes, que definem as funções desempenhadas ou 
tipos de saídas, tais como Indicação (I), Record (R), Transmissor (T), e assim por 
diante. Um instrumento com uma ou mais funções de medidas deve ser designado 
por todas as suas funções, por exemplo: FR-2/PR-4 quando possui duas funções, ou 
PR-7/8 quando tiver duas saídas.
 A identificação funcional de um instrumento é feita de acordo com a sua 
função e não de acordo com a sua construção. Assim, um registrador de pressão 
diferencial usado para medir vazão é identificado por FR; um indicador de pressão e 
um pressostato conectado à saída de um transmissor de nível pneumático são iden-
tificados por LI e LS, respectivamente.
 Em um laço de instrumentação, a primeira letra da identificação funcional é 
escolhida de acordo com a variável inicial ou medida, e não de acordo com a variável 
manipulada. Dessa forma, uma válvula que controla vazão em função de um regula-
dor de nível é identificada por LV e não por FV.
 As letras subseqüentes do sistema de identificação designam um ou mais 
meios de saída, funções passivas e ou funções de saída. Uma letra modificadora pode 
ser usada, se necessário, adicionalmente a uma ou mais letras subseqüentes. Como 
exemplo, o código TDAL contém duas letras modificadoras. A letra D transforma o 
mensurando T (temperatura) em uma nova variável: temperatura diferencial. A letra 
L restringe a função de saída A, alarme, em apenas alarme baixo (Low).
 As Tabs. 1.8 mostram um resumo das letras mais utilizadas seguidas de seu 
significado, em função da posição em que se encontram na identificação do instru-
mento, assim como algumas combinações típicas de letras.
1.9.2. Símbolos e Elementos Gráficos
 A norma ISA S5.1 define quatro elementos gráficos – instrumentos discretos, 
funções de controle distribuído e indicação, função computacional, e controlador 
lógico programável – e os agrupa em três categorias segundo a sua localização – lo-
56 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
calização primária, localização auxiliar e montagem em campo.
 Os instrumentos discretos são indicados por elementos circulares. 
Tab. 1.8a - Letras de identificação
 Primeira letra Letras subseqüentes
 Mensurando ou inicial da variável Modificador
Leitura ou 
função passiva
Função de 
saída Modificador
A Analisador Alarme 
B Queimador (Burner) ou combustão Livre Livre Livre
C Condutividade elétrica Controle 
D Densidade Diferencial 
E Tensão elétrica Elemento sensor primário 
F Vazão (Flow rate) Razão (fraction) 
G Livre Visor de vidro (Glass) 
H Comando manual (Hand) Alto (High)
I Corrente elétrica Indicação 
J Potência Varredura 
K Tempo, escalonamento de tempo
Taxa de 
 variação no 
tempo
 Estação de controle 
L Nível (Level) Luz Baixo (Low)
M Umidade (moisture) Momentâneo Médio, intermediário
N Livre Livre Livre Livre
O Livre Orifício, restrição 
P Pressão, vácuo Ponto de teste 
Q Grandeza (Quantity)
Integrador, 
totalisador 
R Radiação Registro (Record) 
S Velocidade (Speed) Freqüência Segurança 
Chave (Swi-
tch) 
T Temperatura Transmissor 
U Multivariável Multifunção Multifunção Multifunção
V Vibração, viscosidade Válvula, damper 
57SISTEMAS DE MEDIÇÃO
W Peso (Weight), força Poço (Well) 
X Não classificado Eixo X Não classificado Não classificado
Não 
classificado
Y Evento, estado ou presença Eixo Y 
Relé, cálculo, 
conversão 
Z Posição, dimensão Eixo Z Atuador, acionador 
Tab. 1.8b - Combinações Típicas
Letra
Controladores
Dispositi-
vos de 
leitura
Chaves e alarmes Transmissores
Grav. Ind. Cego Grav. Ind. Alto Baixo Comb Grav. Ind. Cego
A ARC AIC AC AR AI ASH ASL ASHL ART AIT AT
B BRC BIC BC BR BI BSH BSL BSHL BRT BIT BT
E ERC EIC EC ER EI ESH ESL ESHL ERT EIT ET
F FRC FIC FC FR FIFICV FSH FSL FSHL FRT FIT FT
FQ FQRC FQIC FQR FQI FQSH FQSL FQIT FQT
FF FFRC FFIC FFC FFR FFI FFSH FFSL
H HIC HC
I IRC IIC IR II ISH ISL ISHL IRT IIT IT
J JRC JIC JR JI JSH JSL JSHL JRT JIT JT
K KRC KIC KC KR KI KSH KSL KSHL KRT KIT KT
L LRC LIC LC LR LI LSH LSL LSHL LRT LIT LT
P PRC PIC PC PR PI PSH PSL PSHL PRT PIT PT
PD PDRC PDIC PDC PDR PDI PDSH PDSL PDRT PDIT PDT
Q QRC QIC QR QI QSH QSL QSHL QRT QIT QT
R RRC RIC RC RR RI RSH RSL RSHL RRT RIT RT
S SRC SIC SC SR SI SSH SSL SSHL SRT SIT ST
T TRC TIC TC TR TI TSH TSL TSHL TRT TIT TT
TD TDRC TDIC TDC TDR TDI TDSH TDSL TDRT TDIT TDT
U UR UI
V VR VI VSH VSL VSHL VRT VIT VT
W WRC WIC WC WR WI WDSH WDSL WDSL WRT WIT WT
WD WDRC WDICWDC WDR WDI WDRT WDT
X
Y YIC YC YR YI YSH YSL YSHL YT
58 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Z ZRC ZIC ZC ZR ZI ZSH ZSL ZSH ZRT ZIT ZT
ZD ZDRC ZDIC ZDC ZDR ZDI ZDSH ZDSL ZDSH ZDRT ZDIT ZDT
1. Grav. - Gravação; Ind. - Indicação; Comb. - Combinação
2. Esta tabela não é exaustiva.
3. Outras possíveis combinações: FO, FRK, HK, FX, TJR, LLH, PFR, KQI, QQI, WKIC, 
HMS.
4. Dispositivos de alarme, A, podem ser usados da mesma maneira que chaves, S.
 Elementos de controle e indicadores são representados por um círculo ins-
crito em um quadrado. Funções computacionais são indicadas por um hexágono, 
enquanto os controladores lógicos são representados por um losango dentro de um 
quadrado, Tab. 1.9.
 Cruzando-se uma única barra horizontal em qualquer dos quatro elementos 
gráficos descritos, indica que as funções residem na categoria de localização primária.
Tab. 1.9 - Simbologia geral de instrumentos ou funções
 Montado em painel principal 
Montado em 
campo
Montando em 
painel local ou do 
equipamento
Instrumentos 
discretos
Indicador ou display 
compartilhado
Função exercida por 
computador
Controlador lógico 
programável
1. O tamanho do símbolo pode variar de acordo com a necessidade do Livre e do tipo de documento. 
2. Dispositivos inacessíveis (atrás de painéis) podem ser descritos pela mesma simbologia usando 
 uma barra horizontal tracejada.
 Uma linha dupla indica uma localização auxiliar, enquanto a inexistência de 
59SISTEMAS DE MEDIÇÃO
linhas indica que o dispositivo ou função é instalado em campo. 
 Dispositivos localizados atrás de um painel ou em algum outro lugar inaces-
sível são representados com uma linha horizontal tracejada.
 No exemplo da Fig. 1.45, do diagrama P&ID, o elemento FT 101 representa 
um transmissor de vazão montado em campo conectado via sinal elétrico (linha tra-
cejada) ao indicador controlador de fluxo FIC 101 localizado em um dispositivo de 
indicação e controle distribuído. 
 
Fig. 1.45 – Exemplo de sistema de identificação.
 A extração de raiz quadrada do sinal de entrada é uma parte da funcionali-
dade do FIC 101. A saída deste dispositivo é um sinal elétrico para TY 101 localizado 
em um cubículo inacessível. O sinal de saída do TY 101 é um sinal pneumático (linha 
com barra dupla inclinada), o que o caracteriza como um conversor I/P (transdutor 
corrente para pneumático). TT 101 e TIC 101 são similares a FT 101 e FIC 101, estando, 
porém, medindo, indicando e controlando temperatura. A saída do TIC 101 é conec-
tada através de um barramento de dados (linha com bolinhas) ao setpoint (SP) de FIC 
101, formando uma estratégia de controle em cascata.
 O exemplo conta com um módulo denominado YIC. Isto mostra que em al-
guns casos, alguns sistemas menos complexos podem ser resumidos em um único 
bloco. Neste caso, este sistema é detalhadamente mostrado a direita, na Fig. 1.45 
Este sistema consta de uma válvula do tipo liga/desliga é controlada por uma válvula 
soleinóide. Seus limites são ajustados para indicar se a mesma está na posição aberta 
(ZSH) e fechada (ZSL). Todas as entradas e saídas são ligadas a um PLC acessível pelo 
operador (losango em um quadrado com uma linha horizontal cheia). A letra Y indica 
um evento, estado ou presença. A letra I mostra que há uma indicação visual disponí-
60 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
vel e a letra C significa que o dispositivo é submetido a um controle.
 A conexão entre elementos de um sistema de instrumentação e controle é 
representada através de linhas. Tais conexões podem ser elétricas, pneumáticas, rá-
dio ou outras. A Tab. 1.10 mostra alguns exemplos de representação de linhas de 
conexão.
Tab. 1.10 - Linhas de conexão
Conexão ao processo ou 
alimentação do instrumento
Sinal pneumático
Sinal elétrico
Tubo capilar
Sinal hidráulico
Sinal eletromagnético, 
radioativo ou sônico (guiado)
Sinal eletromagnético, 
radioativo ou sônico 
(sem guia de onda)
Rede interna ou barramento 
(software ou dados)
Link mecânico
 A Tab. 1.11 apresenta a descrição de blocos funcionais. Tais símbolos podem 
ser usados de duas formas: Como um bloco de função isolado em diagramas ou 
como indicadores de funções executadas por elementos em diagramas mais deta-
61SISTEMAS DE MEDIÇÃO
lhados. Um terceiro uso é a combinação dos anteriores, encontrados em sistemas de 
controle distribuído, quando, por exemplo, um sinal da variável medida entra em um 
bloco extrator de raiz quadrada, é desenhado em uma posição adjacente ao contro-
lador distribuído.
Tab. 1.11 - Blocos Funcionais
N Função Símbolo Equação
1 Soma Σ n21 x...xxM ++=
2 Média Σ/n
n
x...xx
M n21
++
=
3 Diferença ∆ 21 xxM −=
4 Proporcional K 1:1; 2:1 xKM ⋅=
5 Integral ∫ ∫ ⋅⋅= tdXT
1
M
6 Derivada d/dt
td
Xd
TM ⋅=
7 Multiplicador x 21 xxM ⋅=
8 Divisor + 21 x/xM =
9 Extrator de raiz n n xM =
10 Exponencial xn nxM =
11 Função não linear f(x) )x(fM =
12 Função do tempo f(t) )t(fM =
13 Seleciona maior >



≤
≥
=
212
211
XXparaX
XXparaX
M
14 Seleciona menor <



≥
≤
=
212
211
XXparaX
XXparaX
M
62 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
15 Limita alto



≥
≤
=
HXparaH
HXparaX
M
16 Limita baixo



≤
≥
=
LXparaL
LXparaX
M
17 Proporcional reverso -K XKM ⋅−=
18
Limitador de velocida-
de
XMouH
td
Xd
paraH
td
Md
XMeH
td
Xd
para
td
Xd
td
Md
≠≥=
=≤=
19 Bias +; -; ± bXM ±=
20 Conversor */** Converte a grandeza * em **
 Além da simbologia apresentada anteriormente, uma série de outros símbo-
los é usada para representar componentes de processos. Na Fig. 1.46 são apresenta-
dos apenas alguns deles.
63SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Fig. 1.46 - Componentes de processos.
 Alguns softwares comerciais atualmente disponíveis no mercado já trazem 
uma biblioteca de símbolos próprios para diagramas de tubulações e instrumenta-
ção, compatíveis com o AutoCAD, facilitando sobremaneira a construção de diagra-
mas e atualização de bases de dados. 
64 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
1.10. CONCEITO DE SISTEMA DE MEDIÇÃO
 Sistema de medição é o conjunto completo de instrumentos de medição 
e outros equipamentos acoplados para executar uma medição específica. De um 
modo geral um sistema de medição é constituído de quatro partes:
• Medidor, dispositivo que interage com o sólido ou fluido criando a possibilida-
de de medir as características de interesse.
• Captor ou Sensor, dispositivo que capta do sólido ou fluido a característica de 
interesse.
• Circuito de medida, conjunto que recebe do captor ou dos captores a caracte-
rística de interesse respectiva, procede ao tratamento necessário e a transmite 
ao instrumento de medida.
• Instrumento de medida, aparelho que recebendo a característica de interesse 
do circuito de medida, procede a seu tratamento de modo esteja disponível con-
forme previsto.
 Na Fig. 1.47 esta representado um sistema de medida conhecido como tubo 
de Prandtl, cuja característica de interesse é medir velocidades em pontos do esco-
amento e calcular a vazão em uma seção transversal conhecida de um conduto. Este 
sistema é formado por um medidor − a −, tubo em L que contem o captor − b − para 
pressão de estagnação e o captor − c − para pressão estática. O circuito de medida 
− d − é constituído de mangueiras que transmitem as pressões para o instrumento 
de medida - e -, manômetro diferencial o qual fornece os ∆hi e seus erros. Com este 
valores anotados, a velocidade e seu erro para cada área do setor correspondente é 
determinada, permitindo o cálculo da velocidade média para a seção transversal do 
escoamento e com esta a respectiva vazão e seu erro.65SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Fig. 1.47 - Sistemas para medição de 
vazões com tubo de Prandt
Fig. 1.48 - Sistema para medição de vazões com 
transonda diferencial
 Na Fig. 1.48, com os mesmos objetivos, porem em um canal, o sistema de 
medida é constituído por um medidor − a − corpo aerodinâmico com haste, cap-
tores − b, c − para pressões de estagnação transmitidas a transdutor diferencial de 
pressão e captor - d - com transdutor de posição. Neste caso, o circuito de medida 
é composto por cabos − e −, módulo − f − e pacote computacional, o qual permite 
que o instrumento de medida − g −, microcomputador, mostre, em tempo real, o 
comportamento de cada medida, seu valor e erro, bem como de todas as medidas 
já feitas, o valor calculado da velocidade média e da vazão na seção transversal com 
seus respectivos erros os quais podem ser são fornecidos digitados através da im-
pressora − h.
1.11. ESCOLHA DO SISTEMA DE MEDIÇÃO
 Para que um sistema de medida possa ser escolhido é necessário que seja 
caracterizado, em cada caso:
Natureza da aplicação e do local
• no caso de fluido, tipo de escoamento: reservatório, rio, canal, galeria, con-
duto livre ou conduto forçado;
• no caso de sólido: características físicas e sistema de lançamento ou retirada; 
• tipo de instalação: central hidrelétrica, de bombeamento, de petróleo, do-
méstica, sistemas de transporte do material, outras;
• sentido do escoamento: uma só direção ou com possibilidade de operação 
66 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
em direção contraria;
• tipo de fluido: líquido, vapor, gás; líquido-vapor, líquido-gás;
• características do meio que transporta o sólido ou fluido: natureza e es-
tado das paredes, trechos retos, diâmetros, espessuras, locais de acesso, sis-
tema de controle;
• características do meio ambiente: pressão barométrica, temperatura, umi-
dade, qualidade física e química do ar, presença de campos vibratórios, ele-
tromagnéticos, eletrostáticos e de outra natureza;
• acesso ao local: características das vias para se chegar aos locais de medida;
• características operacionais da instalação, possibilidades e tempos de 
parada;
• instalação de medição: de uso permanente, esporádico ou dentro de cro-
nograma;
• disponibilidades locais de energia elétrica: ciclagem, tensão, tomadas, 
distâncias. 
Características física, química e biológica do fluido
• pressões e temperaturas de serviço;
• massa específica e viscosidade;
• condutividade elétrica, térmica e sônica;
• presença de ácidos, bases e outras substâncias corrosivas ou não de origem 
química e biológica;
• elementos transportados pelo fluido.
Resultados desejados
• medidas desejadas;
• forma de apresentar as medidas: indicador digital ou analógico, registra-
dor intermitente ou permanente, limitadores de escala com ou sem alarme;
• fixação da: exatidão, precisão, repetitividade, amortecimento, perdas máxi-
mas possíveis, proteções e unidades desejadas.
Elementos econômicos e garantias
• custo para estudos e projetos;
67SISTEMAS DE MEDIÇÃO
• custo do equipamento e da instalação;
• custos de operação e manutenção;
• garantias de manutenção, sob aspecto do equipamento e de pessoal, bem 
como vida útil esperada;
• padronização com equipamentos existentes, bem como qualidade e custos 
da assistência técnica prestada;
Fornecedores
• fabricantes e suas competências comprovadas;
• características técnicas e custos dos produtos ofertados;
• garantias;
• rede de manutenção.
68 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
69SISTEMAS DE MEDIÇÃO
71TEMPERATURA
Capítulo 2
TEMPERATURA
P retende-se neste Capítulo fazer uma abordagem sobre a termometria, em geral, com ênfase especial à medição de temperatura em fluido, líquido ou gasoso, estacionário ou em escoamento. Para tanto, uma introdução pro-curará conceituar temperatura, como ela pode ser referenciada e medida. 
Isto feito será estabelecido como pode ser classificado o instrumental utilizado nesta 
medição, descrevendo os princípios em que cada tipo se baseia, como suas escalas 
praticamente podem ser estabelecidas, quais suas limitações na fabricação, calibra-
ção e uso, bem como quais os erros a serem considerados e como os mesmos po-
dem ser avaliados. Sugestões, recomendações e critérios serão estabelecidos para 
a escolha do tipo mais adequado para atender uma necessidade pré-estabelecida, 
sempre com prevalência para o caso do meio de interesse, mais uma vez, ser um 
fluido. Também, serão abordadas as questões ligadas à precisão, exatidão, sensibi-
lidade e outras, fundamentais para que o resultado das medidas tenha indiscutível 
confiabilidade. 
72 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
2.1. CONCEITOS - CONSIDERAÇÕES - ESCALAS
 O conceito de temperatura, como o de força, tem-se através dos estados fi-
siológicos. Normalmente, força esta relacionada com esforço muscular, sendo descri-
ta através da necessidade de ser feito esforço para empurrar ou puxar algo. Também, 
a temperatura pode ser vinculada com a sensação de quente e frio. Porém, o sentido 
de temperatura no ser humano, como o de força é incerto e de alcance restrito. O que 
é quente para um pode ser frio para outro.
 Postula-se que dois sistemas estão em equilíbrio térmico, isto é sem fluxo de 
energia térmica entre si, quando possuem a mesma temperatura. Este postulado 
pode ser considerado como a definição de temperatura, o qual deu origem o que 
alguns autores denominam o Princípio Zero da Termodinâmica:
 Dois sistemas que estão separadamente em equilíbrio térmico com um terceiro, 
estão em equilíbrio térmico entre si, ou mais facilmente os três sistemas estão à mes-
ma temperatura.
 Este princípio é tacitamente aplicado cada vez que se compara sistemas em 
estados térmicos diferentes, desde que seja fixado um como base. Assim, se o siste-
ma A quando colocado em presença do sistema B sofreu variação em seu estado 
térmico, então o sistema B não estava à mesma temperatura que o sistema A. Uma 
observação deste gênero serviria apenas para indicar igualdade ou desigualdade en-
tre estados térmicos de sistemas, sem indicar um valor numérico. Para que tal seja 
possível, torna-se indispensável assinalar um valor numérico a alguma de suas pro-
priedades mensuráveis que varia com a temperatura. Tal propriedade pode ser elétri-
ca, magnética, ótica ou outra qualquer como é a dilatação. Escolhida a propriedade 
há a necessidade de ser fixado o ponto para o inicio da comparação. Para tanto, o 
Comitê Internacional de Pesos e Medidas - CIPM -, em sua Conferencia Geral, 1968, 
definiu a Escala Internacional de Temperatura - EIT -, estabelecendo os denominados, 
ponto fixos de referência, fundamentais ou primários relacionados na Tab. 2.1. 
73TEMPERATURA
Tab. 2. 1 - Pontos Fixos de Referência - 1968 - t (oC) = T (K) - 273,15
Ponto - 1 (atm) = 101325 (N/m2) T (K) t (oC)
Triplo do hidrogênio 13,81 - 239,34
Ebulição do hidrogênio a 33330,6 (N/m2) 17,042 - 256,108
Ebulição do hidrogênio 20,28 - 252,87
Ebulição do néon 27,102 - 246,048
Triplo do oxigênio 54,361 -218,789
Triplo da água ( comp. isotópica da água dos oceanos) 273,16 0,01
Ebulição da água 373,15 100
Congelação do zinco 692,73 419,58
Congelação do argento 1235,08 961,93
Congelação do ouro 1337,58 1064,43
Triplo do argônio (EIT 1975) 83,798 -189,35
 Tendo como base os pontos de gelo e de vapor, basta dividir o intervalo en-
tre estes pontos em um número qualquer de partes iguais, por exemplo, na escala 
Celsius o número de partes é 100, sendo denominada cada intervalo de um grau 
Celsius ou Centígrado , 1 (oC). 
 Em casos de calibração com maior tolerância, como ocorre na maioria das 
aplicações industriais, pode ser usado os denominados pontos fixos secundários 
constantes na Tab.2.2. 
74 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Tab. 2.2 - Pontos de Referência Secundários - EIT 1975
Ponto - 1 (atm)
Temp. Prática
T (K) t (oC)
Triplo do hidrogênio normal 13,956 - 259,194
Ebulição do hidrogênio normal 20,397 - 252,753
Triplo do néon 24,561 - 248,589
Triplo do azoto 63,146 - 210,004
Ebulição do azoto 77,344 - 195,806
Ebulição do argônio 87,294 - 185,856
Sublimação do anidro carbônico 194,674 - 78,476
Congelação do mercúrio 234,314 - 38,836
Congelação da água 273,15 0
Triplo do fenoxbenzeno 300,02 26,87
Congelação do índio 429,784 156,634
Congelação do bismuto 544,592 271,442
Congelação do cádmio 594,258 321,108
Congelação do chumbo 60,652 327,502
Ebulição do mercúrio 629,81 356,66
Ebulição do enxofre 717,824 444,674
Congelação do antimônio 903,905 630,755
Congelação do alumínio 933,61 660,46
Congelação do cobre 1358,03 1084,88
Congelação níquel 1728 1455
Congelação do cobalto 1768 1495
Congelação do paládio 1827 1554
Congelação da platina 2042 1769
Congelação do ródium 2236 1963
Fusão do óxido de alumínio 2327 2054
Congelação do irídio 2720 2447
Fusão do nióbio 2750 2477
Fusão do molibdênio 2896 2623
Fusão do tungstênio 3695 3422
75TEMPERATURA
 Além do método do uso de pontos fixos para a calibração de termômetros, 
pode ser utilizado o método do termômetro padrão. Neste caso, o termômetro 
a ser calibrado e o padrão são colocados em sistema que possam ter seus estados 
térmicos homogêneos controlados e permita, conhecida a temperatura no padrão, 
estabelecer a correspondente no termômetro em calibragem.
 É importante sempre ter em mente quando do uso de um termômetro, como 
o mesmo foi calibrado, para que seja possível fazer as correções que se fizerem ne-
cessária nos valores lidos de modo que os erros possam ser estabelecidos.
 Na Fig. 2.1 estão representados os pontos extremos das escalas mais utilizadas: 
Celcius ou Centígrado - oC -, Kelvin - K -, Fahrenheit - oF -, Reaumur - oR - e Rankine - oRa. 
Fig. 2.1 - Escalas termométricas.
 Matematicamente, pode-se obter as seguintes relações entre as escalas ter-
mométricas:
 
9
7,194t
4
t
9
23t
5
51,372T
5
t aRRF −==
−
=
−
= (2.1)
 No caso particular do escoamento de fluidos, sem entrar no mérito das cor-
reções e erros, para o caso da Fig. 2.2, medição da temperatura com um termopar 
descoberto devem ser considerada as temperaturas estáticas e dinâmicas ou de 
estagnação, assim relacionadas em Kelvin: 
 
p
2
d c2
v
TT
⋅
+= (2.2)
v (m/s), cp (J/kg K) - calor específico do fluído a pressão constante.
76 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 2.2 - Medição de temperatura dinâmica - Td - em um fluido em escoamento com termopar.
2.2. TERMOMETRIA
2.2.1. Classes de Termômetros 
 Os instrumentos para medida de temperatura podem ser divididos em clas-
ses de acordo com o princípio físico no qual ele opera. Estes princípios são:
• Expansão térmica;
• Efeito termelétrico;
• Variação da resistência elétrica;
• Variação da freqüência de ressonância;
• Emissão radioativa;
• Fibra óptica.
2.2.2. Expansão Térmica
 Os métodos de expansão térmica utilizam à variação dimensional que qual-
quer substância sofre com a variação da temperatura, estejam estas substâncias no 
estado sólido, líquido ou gasoso. 
 Instrumentos que se baseiam neste princípio de operação incluem termô-
metros de líquido em vidro, termômetro bimetálico e termômetro de pressão.
2.2.2.1. Termômetro de líquido em vidro
 Os termômetros de líquido em vidro são constituídos por um reservatório 
ligado a um tubo capilar. Conforme os limites de uso é escolhido o líquido termomé-
trico que preenche o reservatório e parte do tubo capilar sendo o restante ocupado 
por um gás neutro, normalmente azoto ou argônio para o caso de altas temperatu-
77TEMPERATURA
ras, ou não conter gás algum. A Tab. 2.3 mostra os limites de uso para cada líquido 
termométrico, bem como o coeficiente de dilatação cúbica aparente - α (o)-1 - dos 
respectivos líquido, fundamental para correção oriunda da coluna emergente.
Tab. 2.3 - Limites dos Líquidos Termométricos
Limites - oC Líquido α(o)-1
- 200 até + 20 Pentano 0,001
- 110 até + 100 Álcool etílico 0,001
 - 90 até + 100 Tolueno 0,001
 - 10 até + 200 Cresol - álcool etílico 0,001
 - 38 até + 650 Mercúrio 0,0016
 - 58 até + 650 Mercúrio - tálio 0,0016
 0 até + 1000 Mercúrio - gálio 0,0016
 Terminado o preenchimento com o líquido termométrico e o gás devida-
mente confinados no interior do reservatório-tubo capilar, o instrumento tem suas 
marcas extremas obtidas nos pontos de gelo e de vapor d’água, o que permitira, 
proceder-se à divisão da escala escolhida.
 Teoricamente, sendo - V (mm)3 -, o volume interno do reservatório, admitido 
cheio pelo líquido termométrico a 0 (oC), - d (mm) -, o diâmetro interno do tubo capi-
lar e α, pode-se calcular o comprimento linear da divisão da escala - ∆l (mm) -, por
 
2d
V4
l
⋅π
α⋅⋅
=∆ (2.3)
 Para o caso do líquido termométrico ser mercúrio, resulta da (2.3):
 
2gH d8094
V
l
⋅
=∆ (2.4)
 A fabricação destes termômetros é bastante delicada, sendo que o tubo capi-
lar tem seção transversal circular, com diâmetro de décimos de milímetros, quando é 
exigido que esta seção seja mantida praticamente constante em todo o comprimen-
to da haste. Para facilitar a leitura, pode ser usada a seção transversal elíptica, desde 
que não seja exigido grande precisão em toda extensão da haste. 
78 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 A sensibilidade destes termômetros, calculada pela expressão (2.5) tem os 
seguintes valores:
 



 ⋅
=⋅
−−
−−
otanpenK01
mercúrioK012,0
Td
Vd
V
1
13
13
0
 (2.5)
 Os termômetros a líquido em vidro podem ser fabricados e calibrados de 
modo a apresentarem resultados de medidas com incertezas menores que ± 1 (%) 
do fundo da escala, podendo chegar a ± 0,15 (%) no caso de instrumentos espe-
ciais e industriais.
 No que se refere à medida de diferença de temperaturas, os tipos com esca-
las ajustáveis podem chegar a centésimos de grau Celsius
 Na Fig. 2.3 estão apresentados dois tipos bastante comuns, em a o tipo sem 
proteção, com escala gravada no próprio vidro, muito usado em laboratório e em b, 
um tipo protegido e com escala gravada em lamina de material, praticamente inde-
formável. Nesta mesma figura, a direita são apresentadas vantagens e desvantagens 
para o uso destes tipos de termômetros.
Vantagens
• vasta normalização;
• fabricação seriada de muitos tipos;
• baixo preço e simplicidade de uso;
• boa precisão e exatidão; 
• possibilidade de avaliação de erros.
 
Desvantagens
• fragilidade;
• tempos de resposta elevados;
• faixa de escala pequena quando necessário
• grande exatidão;
• dificuldade de correção da parte emergente
• da escala quando com proteção metálica.
Fig. 2. 3 - Tipos de termômetro de líquido em vidro com vantagens e desvantagens.
79TEMPERATURA
 No que se refere ao uso destes termômetros, particularmente quando forem 
calibrados pelo método dos pontos fixos, devem ser feitas as seguintes correções:
Coluna emergente. Se o termômetro for parcialmente mergulhado no fluido que se 
quer medir a temperatura - tf (
oC) -, como é o caso da Fig. 2.4 e, se for lida a tempe-
ratura em sua escala - te (
oC) -, estadeverá ser corrigida considerando que, quando 
da sua calibração todo o termômetro estava mergulhado, tendo sofrido dilatação em 
toda sua extensão, fato que não ocorre no presente uso, da seguinte forma: 
 tr=300+0,00016⋅400⋅(300-100) = 312,8 (
oC)
 Nesta expressão - α (o)-1- é o coeficiente de dilatação cúbica do líquido ter-
mométrico; - tme (
oC) -, a temperatura do meio externo e - L - o comprimento, em 
graus, da parte emergente da escala até te.
 Se, por exemplo, neste caso, o termômetro fosse de mercúrio com os valores 
nele inscritos, resultaria aplicando a expressão (2.6):
 tr=98+0,00016⋅(98-40)⋅(98-36)=98,58 (
oC).
 Assim, a não consideração da coluna emergente acarretaria um erro de 0,5 
(%) para menos.
Fig. 2.4 - Correção da temperatura devido à parte emergente da escala.
80 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Para o caso do termômetro industrial da Fig. 2.5 a correção seria:
 tr=300 + 0,00016 . 400 . (300-100) = 312,8 (oC)
 Valor 4,3 (%) maior que indicado pela escala.
Fig. 2.5 - Caso de termômetro industrial
Correção de pressão. Caso o reservatório do termômetro esteja mergulhado em 
um sistema em que a pressão é maior que a atmosférica normal, ele sofrerá uma 
contração, reduzindo seu volume, aumentando, portanto, a coluna do líquido ter-
mométrico. O erro introduzido depende, basicamente, da espessura da parede do 
vidro do reservatório, sendo, em média, da ordem de 10-4 de grau por milímetro 
de mercúrio de pressão, logo: 
 760⋅10-4=0,076 (oC)
Erro de capilaridade. Este erro ocorre sempre que o valor a ser medido oscila. Quan-
do tal ocorre, o fluido termométrico no tubo capilar, devido às tensões de superfí-
cie, responde muito lentamente e não de forma regular, particularmente quando for 
81TEMPERATURA
mercúrio, ocasionando erros maiores que a menor divisão da escala. Assim, se esta 
for de um centésimo o erro estará em torno de dois centésimos.
2.2.2.2. Termômetro bimetálico
 Duas lâminas metálicas de diferentes materiais quando soldadas à ponto e 
submetidas à variação da temperatura se deformam, podendo esta propriedade ter 
os mais variados usos.
 A Fig. 2.6a mostra a deflexão e a Fig. 26b como a propriedade pode ser utili-
zada para operacionalizar, na instrumentação de controle, uma chave liga-desliga. 
Fig. 2. 6 - a - Princípio. b - Termostato bimetálico usado em controle.
 A Tab. 2.4 contém os principais metais utilizados bem como algumas de suas 
características, inclusive, o denominado ponto de Curie que fornece a temperatura 
a partir da qual um material ferromagnético perde suas propriedades magnéticas. 
Este ponto esta intimamente ligado ao término do limite elástico do material como 
componente do par bimetálico.
82 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Tab. 2.4 - Materiais Usados em Par Bimetálico
Dilatação Composição Resistividade ρ (µΩcm)
Coef. de 
dilatação α 
(10-4 oC)
Módulo de 
elasticidade 
E (N/mm2)
Ponto de 
Curie (oC)
ALTA
Ni=22%
Cr=3%
Fe=resto
78 19,4 198000 750
Ni=20%
Mn=6%
Fe=resto
78 20,4 198000 750
Mn=72%
Cu=18%
Ni=10%
171 27,0 118000 -
Mn=74%
Cu=10%
Ni=16%
171 29,0 118000 -
MÉDIA
Ni≥99,5% 8,9 13,0 220000 355
Cu≥99,99% 1,70 17,0 125000 -
BAIXA
Ni=36%
Fe=resto 78.0 0,5 151000 250
Ni=31%
Co=5%
Fe=resto
75,0 -0,1 151000 250
Ni=42%
Fe=resto 63,0 5,3 152000 350
 A deflexão de um par bimetálico varia linearmente com a temperatura so-
mente na faixa I da Fig. 2.7. A faixa II, que engloba a faixa I, esta compreendida entre 
duas retas em que existe uma variação máxima da deflexão específica de ± 5 (%). O 
domínio de utilização do par bimetálico, na Fig. 2.7, é representado pela faixa III, com 
ponto final sempre correspondendo ao menor limite de elasticidade das lâminas que 
formam o par bimetálico.
83TEMPERATURA
Fig. 2.7 - Esquema com os limites de uso de par bimetálico.
 Na Tab. 2.5 estão representadas as geometrias mais usadas para bimetálico 
bem como formulas relacionando suas características geométricas e de deformação 
quando ocorre variação de temperatura.
Tab. 2.5 - Geometrias e Características de Bimetálico
Geometria do Bimetálico Deflexão Força Tensão
e
tLd
D
2 ∆⋅⋅
=
L4
tebEd
F
2
⋅
∆⋅⋅⋅⋅
= 2eb
LF6
⋅
⋅⋅
=σ
e8
tLf
D
2
v
⋅
∆⋅⋅
=
L2
tebEf
F
2
V
⋅
∆⋅⋅⋅⋅
= 2eb2
LF3
⋅⋅
⋅⋅
=σ
e2
tLd
D
2
⋅
∆⋅⋅
=
L2
tebEd
F
2
⋅
∆⋅⋅⋅⋅
= 2eb
LF3
⋅
⋅⋅
=σ
84 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Continuação Tab. 2.5
( )212122 aaa2a
e
td
D
−⋅⋅−
⋅
∆⋅
=
D>0 se a2>2,41.a1
D=0 se a2=2,41.a1
D<0 se a2<2,41.a1
( )21212
3
2
aaa2a
L4
tebEd
F
−⋅⋅−⋅
⋅
⋅
∆⋅⋅⋅⋅
=
2eb
LF6
⋅
⋅⋅
=σ
e
tLR063
⋅π
∆⋅⋅⋅
=θ
r6
tebEr
F
2
e
⋅
∆⋅⋅⋅⋅
= 2eb
LF6
⋅
⋅⋅
=σ
 Nessa tabela a simbologia usada representa:
D (mm) - deflexão; θ (graus) - ângulo de rotação; F (N) - força de deformação; ∆t 
(oC) - diferença de temperatura; d (oC)-1 - deflexão específica; re (rad/
oC) - rotação 
específica; σ (N/mm2) - tensão de deformação; L (mm) - comprimento útil; b (mm) - 
largura; e (mm) - espessura; E (N/mm2) - módulo de elasticidade; fV (
oC)-1 - coeficiente 
de Vilarceau, calculado pelas expressões a seguir:
• bimetálico biapoiado - ( )
2
2211
22
22
2
11
12
V
eeEeE4
eEeE
1
2
3
f
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅−⋅
+
α−α
⋅= (2.7)
• bimetálico engastado - ( ) ( )022V tteD4D4L
eD8
f
−⋅⋅⋅−⋅+
⋅⋅
= (2.8)
 t e t0 (
oC) são as temperaturas final e inicial.
2.2.2.3. Termômetro de pressão
 Os termômetros de pressão, denominados termomanômetros, também 
utilizam o princípio da dilatação dos fluídos, sendo constituídos por, Fig. 2.8:
85TEMPERATURA
 
 I - para leitura a distância.
 II - para leitura local.
 a - captor; 
 b - tubo; 
 c - peça de fixação; 
 d - tubo flexível com proteção; e - tubo rígido;
 f - Instrumento de medida.
Fig. 2.8 - Termomanômetros. a - para leitura à distância. b - para leitura local.
• Captor, reservatório e tubo contendo o fluido termométrico cuja pressão va-
ria com a temperatura a ser medida;
• Circuito de medida, elementos de ligação, tubo flexível ou rígido com invó-
lucro protetor;
• Instrumento de medida, normalmente manômetro Bourdon. 
 Conforme o estado do fluído manométrico, têm-se os seguintes termomanô-
metros:
• termomanômetro à dilatação de líquido, quando o fluído manométrico 
está no estado líquido. O fluído mais utilizado é o mercúrio, já que se mantém no 
estado líquido entre as temperaturas de -30 a 600 (oC);
• termomanômetro à dilatação de gás, quando o fluído manométrico está 
no estado gasoso. O gás mais utilizado é o azoto, por não ser prejudicial à saúde 
e manter o estado gasoso até temperaturas próximas de -273 (oC). Para fins espe-
cíficos tem sido usados, também, o argônio e o hélio;
• termomanométro à tensão de vapor, quando o fluído termométrico é um 
líquido em presença de seu vapor ou líquido e vapor de natureza diferentes.
86 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
2.2.3. Efeito Termelétrico - Termopares
2.2.3.1. Princípio 
 Os termopares são sensores de temperatura largamente empregados em 
laboratório, no campo e na indústria, principalmente por apresentarem robustez, 
baixo custo e operação em um largo espectro de temperaturas. Estes sensores se 
baseiam no efeito termoeléctrico, descoberto por Thomas Seebeck em 1821, que é a 
criação de uma diferença de potencial quando quaisquer dois metais são unidos em 
um ponto de contato e submetidos a um gradiente de temperatura, Fig. 2.9. Mesmo 
não sendo a tensão gerada uma função da linear da temperatura pode-se lineari-za-la para pequenas variações desta.
 
Fig. 2.9 - Efeito Seebeck.
2.2.3.2 Características 
 Embora o efeito termelétrico apareça quando se une qualquer metal diferen-
te, existem certas combinações de metais e ligas que fornecem melhores resultados, 
sendo, inclusive, padronizadas em nível internacional. As principais combinações e 
suas características são mostradas na Tab. 2.6.
87TEMPERATURA
Tab. 2.6 - Características de Termopares
Condutor
Tipo
Sensibilidade Campo de Uso (oC)
Positivo Negativo t (oC) µV/oC Normal Normalizado Junção
Cobre Cobalto - -269,15 a 26,85 4 a 43 26,85
-262,15 a 
26,85 -
Cromo Constantan E -200a 900 67,9 - - -
Cobre Constantan T 0 a 350 51 350 -200 a 350 500
Ferro Constantan J 0 a 600 55 600 -40 a 750 800
Níquel 
Cromo Constantan E
200 
a 600 78,5 600 -200 a 900 900
Níquel 
Cromo
Níquel 
Alumínio K
0 
a 1000 41 1100 -200 a 1200 1250
Paládio Platina Ródio -
0 
a 1000 41 1200 0 a 1200 1300
Nicrosil Nisil N 650 a 1260 34,8 - - -
Platina 
Ródio 10% Platina S
600 
a 1400 11,4 1300 0 a 1600 1600
Platina 
Ródio 13% Platina R
600 
a 1400 12,9 1300 0 a 1600 1600
Platina 
Ródio 30%
Platina 
Ródio 6% B
1000 
a 1600 10,6 1700 600 a 1700 1800
Irídio 
Ródio 60% Irídio -
1000 
a 2000 5,7 2000 1500 a 2000 2200
Tungstênio
 Rênio 3%
Tungstênio 
Rênio 25% -
1000 
a 2400 15 2400 1500 a 2400 2800
88 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Tab. 2.6 - Continuação
Ambiente Normal de Uso Tolerância de intercâmbio 
normalizado de Termopares Oxido Redutor Recomendado
- - - 0,3 a 0,5 (% t)
bom - oxido, inerte -
bom bom ar, azoto, argônio ±1,5 (%t) ; -200 a 40 (
oC)
±0,75 (%t); -40 a 350 (oC)
bom até 
400 oC bom ar, azoto, argônio ±0,75 (%t); -40 a 750 (
oC)
bom ruim ar, argônio ±1,5 (%t); -200 a 40 (
oC)
±0,75 (%t); -40 a 900 (oC)
bom ruim ar, argônio ±1,5 (%t); -200 a 40 (
oC)
 ±0,75 (%t); -40 a 1200 (oC)
bom bom ar, azoto, argônio, hidrogênio ±2,5 (%t); 0 a 1600 (
oC)
bom - oxido, inerte
muito bom razoável ar ±0,25 (%t); 0 a 1600 (oC)
muito bom razoável ar ±0,25 (%t); 0 a 1600 (oC)
bom razoável ar ±0,5 (%t); 600 a 1700 (oC)
razoável ruim gases raros, azoto, vácuo -
muito ruim bom gases raros, hidrogênio, vácuo -
 Algumas ligas condutoras recebem denominação especial, tais como: Alu-
mel = Alumínio + Níquel; Chromel = Cromo + Níquel; Constantan = Cobre + Níquel; 
Nicrosil = Níquel + Cromo + Silício; Nisil = Níquel + Silício.
 Para identificação do tipo e polaridade, os termopares também têm normali-
zadas as cores segundo os diversos órgãos normativos internacionais, destacando-se 
os constantes na Tab. 2.7.
 No que se refere ao diâmetro, em milímetros, dos fios dos termopares, en-
contra-se comercialmente: cobre/Constantan - 0,5; 1,0; 1,5. ferro/Constantan - 0,8; 
1,0; 1,5; 3,0. níquel-crômo/ligas de níquel - 0,5; 1,0; 1,5; 2;0; 3,0; 4,0. platina e ligas de 
platina e de ródio - 0,5.
89TEMPERATURA
2.2.3.3. Fabricação
 No mercado pode-se encontrar termopares com três tipos de exposição da 
junção: aterrado, não aterrado e exposto, Fig. 2.10.
Fig. 2.10 - Tipos de junções e elementos que compõe os captores.
Tab. 2.7 - Cores Normalizadas para Termopares
Estados Unidos ASTM
Inglaterra BS1843 - 1952
Inglaterra BS4937: Part 30 - 1993
França NFE
Alemanha DIN
90 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Na ponta de um termopar aterrado, os fios são presos fisicamente dentro da 
parede de sonda, resultando em boa transferência de calor do exterior, pela parede 
de sonda, até a junção do termopar.
 Em uma sonda não aterrada, a junção do termopar é destacada da parede de sonda.
 Sendo assim, a resposta se torna mais lenta, mas, em contrapartida, resulta 
em um isolamento elétrico da ordem de 1,5 (MΩ) a 500 (Vdc) em todas as direções.
 O termopar de junção exposta fica com a sua ponta em contato direto com o 
ambiente. Este tipo oferece o melhor tempo de resposta, mas tem seu uso limitado a 
ambientes não corrosivos e aplicações despressurizadas.
 A Fig. 2.10a mostra os componentes do termopar, sendo que a junção dos 
fios do termopar pode ser feita por torção, solda por aquecimento ou com estanho 
ou por micro soldagem elétrica autógena. A torção dos fios do termopar, em geral, 
não é recomendada por deficiência de contato ocasionada, por exemplo, pela for-
mação de película oxidante nos fios. A soldagem por aquecimento e com estanho 
somente deve ser usada quando as temperaturas a medir forem baixas, havendo, 
portanto, garantia das propriedades físicas e químicas dos fios do termopar. A micro 
soldagem elétrica autógena é a mais indicada em todos os casos já que mantém as 
propriedades físicas e químicas dos fios condutores. 
 Os isolantes dos fios dos termopares dependem das características do meio 
onde o termopar for usado. A Tab. 2.8 fornece algumas indicações de uso.
Tab. 2.8 - Isolantes dos Fios Condutores de Termopares
Material
Temp. de Uso (oC)
Comportamento
Contínuo Intermitente
Algodão 90 90 sensível à umidade
Policloreto de vinil -50 a 105 135 resistente a água, hidrocarbone-tos, óleos, acido, mofo
Poliamido 125 135 resistente à umidade e ao mofo
Politetrafluoretilieno -90 a 250 300 resistente à água, ácidos, solven-tes e vapores tóxicos até 350 (oC)
Fibra de vidro e 
silicone 300 450
pouca resistência ao vapor 
d’água acima de 200 (oC)
Fibra de vidro 500 600 pouca resistência ao vapor d’água acima de 200 (oC)
Amianto 530 650 pouca resistência ao vapor d’água acima de 200 (oC)
Fibra de silício 850 1000 pouca resistência ao vapor d’água acima de 200 (oC)
91TEMPERATURA
 A proteção tubular depende das características do meio onde o termopar vai 
atuar, sendo usado, principalmente: aços refratários, até 1300 (oC); aços resistentes 
ao calor, até 700 (oC); aços inoxidáveis, até 400 (oC) e tubos metálicos com reves-
timento de borracha, teflon, esmalte.
2.2.3.4. Medição
 Para se medir a tensão de um termopar não basta simplesmente conectar 
um voltímetro ou outro instrumento de medida, já que a conexão de uma ponta de 
prova ligada aos terminais do termopar forma outras junções e circuitos termelétri-
cos adicionais, conforme mostra a Fig. 2.11. 
Fig. 2. 11 - Medição com termopar.
 Neste caso, os dois terminais do termopar são ligados às pontas de prova do 
sistema de medição. Nota-se que o circuito contém três junções de metais diferentes, 
J1, J2 e J3. A junção J1 irá gerar uma tensão proporcional à temperatura neste ponto 
do recinto, ao passo que J2 e J3 irão gerar tensões proporcionais à temperatura no lo-
cal dos terminais. Para determinar a tensão de contribuição de J1 torna-se necessário 
conhecer a temperatura nas junções J2 e J3, bem como a relação tensão-temperatura 
para estas junções, para então subtrair a tensão dos termopares parasitas em J2 e J3 
da tensão medida. Para tanto, pode-se proceder conforme segue:
• Compensação de junta fria
 A expressão junta fria vem da prática tradicional de nas junções dos fios do 
termopar com os fios condutores ser a referência o ponto de gelo, logo a uma tem-
peratura de 0 (oC), Fig. 2.12. 
92 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 2.12 - Junções de referência a 0 (o).
 Esta figura mostra que a tensão a ser medida depende da diferença de tem-
peratura que se deseja medir t1 e a de referência tref, que neste caso é de 0 (
oC).
Já, por estarem às pontas de medição numa mesma temperatura, as tensões geradas 
nestes pontos poderão ser obtidas pelo conhecimento da relação tensão-tempera-
tura 0 (oC), de modo que o erro adicionado por esta conexão será compensado. As-
sim, se a temperatura medida é maior que zero, o termopar tem uma saída positiva, 
caso contrário, a saída é negativa.Quando a junção de referência e a junção de medida estão à mesma temperatura, a 
tensão medida será zero.
 Embora o ponto de gelo seja uma referência padrão, nem sempre é prática. 
Uma técnica mais usual é medir a temperatura na junção de referência com um sen-
sor de temperatura de leitura direta, e subtrair a contribuição da tensão do termopar 
parasita. 
 De acordo com a lei dos metais intermediários, ao se inserir qualquer tipo 
de condutor em um circuito com termopares, não se incorre em erros significativos, 
posto que ambos os terminais se encontram, aproximadamente na mesma tempe-
ratura. Seja, então, a Fig. 2.13 com circuito bastante similar ao da Fig. 2.12, tendo, no 
entanto, um condutor de Constantan de pequeno comprimento inserido imediata-
mente antes da junção J3. 
93TEMPERATURA
Fig. 2.13 - Junções de referência a tref ≠ 0 (
oC)
 Neste caso, se for considerado que as junções J3 e J4 estão à mesma tempera-
tura e, contando-se com a lei dos metais intermediários, pode-se concluir que ambos 
os circuitos são eletricamente equivalentes. As junções J2 e J4 são do mesmo tipo 
(cobre-constantan) e estão sujeitas a uma mesma temperatura. As junções estão em 
direções opostas, de modo que a contribuição à tensão medida é nula. As junções J1 
e J3 são ferro-constantan e também em direções opostas; no entanto, estão sujeitas a 
temperaturas diferentes. Sendo assim, J1 e J3 são as duas únicas junções cujas saídas 
têm influência sobre a tensão total medida.
 Assim, usando a notação VJx(ty) para indicar a tensão gerada pela junção Jx à 
temperatura ty, o problema geral do termopar é reduzido à seguinte equação:
 VM = VJ1
 (tTC) - VJ3 (tref) (2.9)
 Nesta equação: VM é a tensão medida, tTC é a temperatura do termopar em J1, 
e tref é a temperatura na junção de referência.
 Observa-se que VJx(ty) é uma tensão gerada à temperatura ty com respeito a 
alguma temperatura de referência. Desde que VJ1 e VJ3sejam funções da temperatura 
relativa a uma mesma temperatura de referência, esta equação é válida. Como a jun-
ção J3 é do mesmo tipo de J1, mas em direção oposta, . VJ3(tref) = VJ1 (tref). Também, já 
que VJ1 é a tensão que o termopar gera, esta poderá ser chamada VTC , de modo que 
a equação anterior poderá ser rescrita:
 VM = VTC (tTC) - VTC (tref) (2.10)
 Sendo assim, medindo-se VM e tref, e conhecendo a relação tensão-tempera-
tura, pode-se determinar a temperatura do termopar.
 Existem duas técnicas para implementar a compensação de junta fria: por 
hardware e por software. Ambas as técnicas requerem que a temperatura na junção 
de referência seja medida por um sensor de leitura direta, tais como sensores semi-
condutores, RTD e outros.
94 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Na compensação por hardware, uma fonte de tensão variável é inserida no 
circuito para cancelar as tensões dos termopares parasitas. Esta tensão é ajustada 
para haver compensação para uma dada temperatura ambiente. Neste ponto reside 
a principal desvantagem deste método, já que deve ser provido um circuito paralelo 
para ajustar a tensão de compensação. Na compensação por software este valor de 
tensão é diretamente adicionado à equação da tensão medida, estando sujeita tam-
bém à mesma desvantagem da compensação por hardware.
 Existem duas maneiras de se determinar à temperatura do termopar para 
uma dada tensão medida, VM, e temperatura na junção de referência, tref.
Compensação por software - Adição de tensão
 O método mais preciso para compensação usa dois passos de conversão ten-
são-temperatura. A partir da equação (2.9) pode-se encontrar a verdadeira tensão 
que o termopar produziria com a junção de referência a 0 (oC), como segue:
 VTC (tTC) = VM + VTC (tref) (2.11)
 Logo, este método impõe o seguinte roteiro:
1. Medir a temperatura da junção de referência, tref;
2. Converter esta temperatura em uma tensão equivalente para o tipo de ter-
mopar sob teste, VTC(tref). Podem-se usar tanto tabelas como polinômios que 
assumem a junção de referência a 0 oC;
3. Adicionar esta tensão equivalente à tensão medida, VM, para obter a verda-
deira tensão que o termopar iria produzir com a junção de referência a 0 (oC), 
VTC(tTC).
4. Converter à tensão resultante em temperatura, sendo este valor a tempera-
tura do termopar, tTC. 
Compensação por software - Adição de temperatura
 Este método é mais simples que o anterior por adição de tensão já que utili-
za o fato de, para pequenas variações de temperatura, a tensão ser uma função linear 
da temperatura, logo:
 VTC (tT1) - VTC (tt2) 
~~ VTC (t1 - t2) (2.12)
 Esta consideração é verdadeira somente para t1 bastante próximo de t2. Por 
95TEMPERATURA
outro lado, assumindo que a temperatura do termopar é relativamente próxima da 
temperatura de referência, pode-se ainda escrever:
 VM = VTC (tTC - tref) (2.13)
 Sendo assim, para obter a temperatura do termopar, tem-se o seguinte pro-
cedimento:
1. Mede-se a temperatura da junção de referência, tref.
2. Converte-se a tensão medida, VM, em temperatura usando a relação tensão-
temperatura do termopar. Esta temperatura é aproximadamente a diferença 
entre o termopar e a referência de junta fria, tTC- tref.
3. Adiciona-se a temperatura da junção de referência, tref, a este valor para ob-
ter-se a temperatura do termopar.
Linearização dos dados
 A relação entre a temperatura e a tensão de saída dos termopares é não-li-
near, porém, para uma determinada faixa de temperatura, esta relação aproxima-se 
bastante da seguinte curva polinomial:
 t = a0 + a1 . n + a2 . n
2 + ... + an . n
n (2.14)
 Da mesma forma, a tensão de saída do termopar poderá ser relacionada à 
temperatura:
 n = c0 + c1 . t + c2 . t
2 + ... + cn . t
n (2.15)
 Os valores dos coeficientes constam nas Tabs. 2.9 e 2.10:
 Para o termopar tipo K, os valores da Tab. 2.10 devem ser substituídos na 
equação:
 24 )t6569,621()01234381,1(n
n
2
210 e6795,811tc...tctccv
⋅⋅⋅− −⋅+⋅++⋅+⋅+= (2.16)
96 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Tab. 2.9 - Constantes da Equação (2.14)
Tipo E J K
Faixa (oC) 0 a 1000 0 a 760 0 a 500
a0 0,0 0,0 0,0
a1 1,7057035.10
-2 1,978425.10-2 2,508355.10-2
a2 -2,3301759.10
-7 -2,001204.10-7 7,860106.10-8
a3 6,5435585.10
-12 1,036969.10-11 -2,503131.10-10
a4 -7,3562749.10
-17 -2,549687.10-16 8,315270.10-14
a5 -1,7896001.10
-21 3,585153.10-21 -1,228034.10-17
a6 8,4036165.10
-26 -5,344285.10-26 9,804036.10-22
a7 -1,3735879.10
-30 5,099890.10-31 -4,413030.10-26
a8 1,0629823.10
-35 1,057734.10-30
a9 -3,2447087.10
-41 -1,052755.10-35
a10
Erro (oC) ±0,02 ±0,05 ±0,05
Tab. 2.9 - Constantes da Equação (2.14) - continuação
Tipo R S T
Faixa (oC) -50 a 250 -50 a 250 0 a 400 
a0 0,0 0,0 0,0
a1 1,8891380.10
-1 1,84949460.10-1 2,592800.10-2
a2 -9,3835290.10
-5 -8,00504062.10-5 -7,602961.10-7
a3 1,3068619.10
-7 1,02237430.10-7 4,637791.10-11
a4 -2,2703580.10
-10 -1,5224859.10-10 -2,165394.10-15
a5 3,5145659.10
-13 1,88821343.10-13 6,048144.10-20
a6 -3,8953900.10
-16 -1,5908594.10-16 -7,293422.10-25
a7 2,8239471.10
-19 8,23027880.10-20
a8 -1,2607281.10
-22 -2,3418194.10-23
a9 3,1353611.10
-26 2,79786260.10-27
a10 -3,3187769.10
-30
Erro (oC) ±0,02°C ±0,02°C ±0,03°C
97TEMPERATURA
Tab. 2.10- Constantes da Equação (2.15)
Tipo E J K
Faixa (oC) 0 á 1000 -210 a 760 0 á 1372 
c0 0,0 0,0 -17,600413686
c1 58,665508710 50,38118782 38,921204975
c2 4,50322756⋅10
-2 3,04758369⋅10-2 1,855877⋅10-2
c3 2,89084072⋅10
-5 -8,56810657⋅10-5 -9,9457593⋅10-5
c4 -3,30568967⋅10
-7 1,32281953⋅10-7 3,18409457⋅10-7
c5 6,5024403⋅10
-10 -1,7052958⋅10-10 -5,607284⋅10-10
c6 -1,9197496⋅10
-13 2,0948090⋅10-13 5,6075059⋅10-13
c7 -1,2536600⋅10
-15 -1,2538395⋅10-16 -3,202072⋅10-16
c8 2,1489218⋅10
-18 1,5631726⋅10-20 9,7151147⋅10-20
c9 -1,4388042⋅10
-21 -1,210472⋅10-23
c10 3,5960899⋅10
-25
Tab. 2.10 - Constantes da Equação (2.15) - continuação
Tipo R S T
Faixa (oC) -50 a 1064 -50 a 1064 0 a 400 
c0 0,0 0,0 0,0
c1 5,28961729765 5,40313308631 38,748106364
c2 1,39166589⋅10
-2 1,25934289⋅10-2 3,32922279⋅10-2
c3 -2,38855693⋅10
-5 -2,32477969⋅10-5 2,06182434⋅10-4
c4 3,56916001⋅10
-8 3,22028823⋅10-8 -2,18822568⋅10-6
c5 -4,6234767⋅10
-11 -3,3146519⋅10-11 1,09968809⋅10-8
c6 5,0077744⋅10
-14 2,5574425⋅10-14 -3,0815759⋅10-11
c7 -3,7310589⋅10
-17 -1,2506887⋅10-17 4,5479135⋅10-14
c8 1,5771648⋅10
-20 2,7144318⋅10-21 -2,7512902⋅10-17
c9 -2,8103863⋅10
-24
c10
98 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
2.2.3.5. Esquemas de compensação
 Nos sistemas de medição de temperatura baseados em termopar, normal-
mente, a temperatura na saída do termopar é a própria temperatura ambiente. Para 
compensar variações na temperatura ambiente, uma tensão variável com a tempe-
ratura deve ser somada à saída do termopar. A Fig. 2.14 mostra um sistema de medi-
ção de temperatura utilizando termopar, com compensação de junta fria e saída em 
corrente de 4 a 20 (mA). 
Fig. 2.14 - Esquema de compensação.
 Nesta aplicação emprega-se um termopar tipo J combinado com um XTR101 
(Burr Brown) para dar uma saída de 4 a 20 (mA) para uma variação de temperatura de 
0 a 1000 (ºC).
 Uma das fontes de corrente de 1 (mA) do XTR101 alimenta o diodo de silício 
usado como um sensor de temperatura para a compensação de junta fria. Para uma 
melhor exatidão, os terminais do termopar e o diodo devem ser mantidos à mes-
ma temperatura. O diodo possui uma tensão direta dependente da temperatura de 
aproximadamente -2 (mV/ºC). O divisor de tensão com os resistores R1 e R2 atenuam 
esta tensão direta para casar com o coeficiente Seebeck do termopar. A outra fonte 
99TEMPERATURA
de corrente de 1 (mA) é conectada a R3 para ajuste de zero. O resistor de 2,5 (kΩ) es-
tabelece uma tensão de 5 (V) para manter o XTR101 IA na sua faixa linear. O ajuste 
de 4 (mA) para 0 (ºC) é feito em R3. O ajuste de fundo de escala é feito com resistor RS, 
que é escolhido para dar uma saída de 4 a 20 (mA) para a relação de 58 (mV/1000ºC) 
na saída do termopar. Valores nominais recomendados para estes componentes e 
coeficientes de Seebeck são mostrados na Tab. 2.11.
Tab. 2.11 - Valores para Esquema da Fig. 2.14
Termopar tipo E J K T
Coef. Seebeck (µV/ºC @ 0ºC) 58,5 50,2 39,4 38,0
R1 (kΩ) 2,0 2,0 2,0 2,0
R2 (kΩ) 60,3 51,5 40,2 38,7
R3 (kΩ) 19,0 16,3 12,8 12,3
 Este circuito possui a vantagem de que a transmissão de sinal em corrente, 
proporcional à temperatura, é feita no mesmo condutor de alimentação do circuito.
 Um outro esquema de compensação emprega o amplificador de instru-
mentação INA 118 (Texas Instruments) e uma fonte de referência, Fig. 2.15. Neste 
caso o sensor da temperatura de referência é um PT 100.
Fig. 2.15 - Esquema de compensação com amplificador INA.
100 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 O valor de RG deve ser escolhido de modo a compensar as juntas parasitas que 
se verificam à temperatura ambiente. Valores nominais são apresentados na Tab. 2.12.
Tab. 2.12 - Valores para Esquema da Fig. 2.15
Termopar tipo E J K T
Coef. Seebeck (µV/ºC @ 0ºC) 58,5 50,2 39,4 38,0
R1 (kΩ) 66,5 76,8 97,6 102
R2 (kΩ) 66,5 76,8 97,6 102
2.2.3.6. Cabos de Extensão
 Ao se conectar um termopar, os seus cabos deveriam se prolongar até os 
terminais de entrada do instrumento de medição, onde é feita a compensação de 
temperatura no seu ponto de interconexão. Isto é uma condição ideal, porém de alto 
custo. A solução encontrada é fazer esta ligação através de cabos de compensação, 
ou cabos de extensão.
 Os cabos de compensação não precisam, necessariamente, ser do mesmo 
material que os cabos do termopar. Precisam, no entanto, ter as mesmas caracterís-
ticas termelétricas do termopar a que estão ligados, na faixa de temperatura em que 
se encontram, normalmente até 100 (ºC) e, excepcionalmente, até 200 (ºC).
 Para termopares do tipo J (ferro-constantan) e T (cobre-constantan), os ca-
bos são desses mesmos materiais, e são designados por JX e TX, respectivamente.
 Para termopares do tipo K (chromel-alumel), podem-se usar cabos de:
• chromel-alumel (KX);
• ferro-cupronel (WX);
• cobre-constantan (TX).
 Quando o termopar é do tipo R ou S, o custo dos cabos de extensão de mes-
mo material que o do termopar seria proibitivo. Utilizam-se, nesse caso, cabos de 
extensão de cobre e cupro-níquel.
 Os cabos de compensação podem ser cobertos com uma capa de plástico, 
borracha, PVC, amianto ou fibra de vidro. Como não são fabricados com a mesma exa-
tidão exigida para os cabos de termopares, só devem ser empregados dentro de limi-
tes de temperatura especificados em normas. A cor dos cabos também é regida por di-
versas normas. A norma ANSI preconiza o vermelho como sendo o elemento negativo. 
101TEMPERATURA
O elemento positivo dependerá do tipo de cabo de compensação, Tab. 2.13. 
Tab. 2.13 - Cabos de Compensação
Termopar Cabo de compensação Temperatura Tolerância Cor
T TX – Standard -60 a 100ºC 1,0ºC Azul
T TX – Especial -60 a 100ºC 0,5ºC Azul
J JX – Standard 0 a 200ºC 2,2ºC Branco
J JX – Especial 0 a 200ºC 1,1ºC Branco
K KX 0 a 200ºC 2,2ºC Amarelo
K WX 24 a 200ºC 3,3ºC Verde
K TX – Standard 0 a 60ºC 3,3ºC Azul
R, S SX 24 a 100ºC 5ºC Preto
2.2.4. Termômetro de Resistência Elétrica
2.2.4.1. Princípio
 Os termômetros de resistência elétrica se baseiam no princípio da resistência 
elétrica de um condutor metálico variar com a temperatura onde o mesmo esteja 
inserido.
 Assim se, L0 e S0 são os valores do comprimento - L - e da seção transversal 
- S -, de um metal condutor na temperatura de referência - T (K) -, tem-se:
 
0
0
S
L
)T()T(R ⋅ρ= (2.17)
 O denominado coeficiente de resistividade térmico - α (K)-1 - que depende 
da natureza dos condutores é definido por:
 
T
1
T
R
R
1
∂
ρ∂
⋅
ρ
=
∂
∂
⋅=α (2.18)
 Praticamente, sendo R e R0 resistência elétrica de um condutor respectiva-
mente nas temperaturas T e T0 (K), tem-se:
 
)TT(R
RR
00
0
−⋅
−
=α (K-1) (2.19)
102 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Este princípio pode ser aplicado a metais condutores ou a semicondutores, 
dando origem aos termômetros resistivos.
 Os termômetros resistivos compreendem os que têm o elemento sensível 
do captor uma ou mais bobinas de fio metálico, denominado RTD (resistence tem-
peratura devices) e os que têm um fio metálico distendido, denominado termôme-
tros de fio distendido
2.2.4.2. Termômetros resistivos-RTD
 Estes termômetros são muito utilizados pela sua excelente precisão sobre 
uma larga faixa de temperatura com exatidão da ordem de 0,01 (Ω) na faixa de 0,026 
(°C) a 0 (°C). São, também, extremamente estáveis com derivas menores que 0,1 (°C/
ano), podendo chegara 0,0025 (°C/ano) em alguns modelos. Muitas vezes podem-se 
encontrar dificuldades em se medir tão pequenas variações (menores que 0,4Ω/°C) 
já que os RTDs possuem relativamente baixa resistência (100Ω), a ponto de a medida 
ser influenciada pela resistência própria das pontas de prova.
 Para os RTDs é usado o valor médio para α da expressão (2.19) entre as 
temperaturas de 0 e 100 (oC), resultando:
 
0
0100100
0 R100
RR
⋅
−
=α (oC) (2.20)
 Os materiais mais usados na fabricação dos captores dos RTDs, bem como 
algumas de suas características encontram-se na Tab. 2.14.
Tab. 2.14 - Materiais para Captores dos RTDs
Metal ρ à 0 
oC
(µΩ⋅cm) (K)
Temperatura
de fusão (oC)
Intervalo de
uso (oC)
Cobre 1,56 4,25⋅10-3 1083 -190 a 150
Níquel 6,38 6,60⋅10-3 1453 -60 a 180
Platina 9,81 3,92⋅10-3 1769 -250 a 1100
Índio 6,00 4,98⋅10-3 153 -269 a 27
 Comparando o RTD com outros dispositivos, tem-se que a sua saída contém 
trechos relativamente lineares em relação à temperatura, conforme pode ser consta-
tado na Fig. 2.16.
α100
0
103TEMPERATURA
Fig. 2.16 - Variação da resistência elétrica relativa em função da temperatura.
 A curva da resistência elétrica em função da temperatura pode ser obtida 
através de en- saios ou utilizando-se equações estatísticas experimentais tal como 
a Callendar-Van Dunse:
 [ ]320t )100t(CtBtA1RR −⋅+⋅+⋅+⋅= (2.21)
Rt - resistência do RTD na temperatura t; R0 é a resistência do RTD a 0 (°C). 
 Para temperaturas acima de 0°C, o coeficiente C é igual à zero, reduzindo, 
nestas condições, a equação para uma equação do segundo grau.
Sendo assim, passando-se uma corrente conhecida IEX, pelo RTD e medindo-se a ten-
são de saída, V0, pode-se obter a temperatura pela seguinte expressão:
 








⋅
⋅−⋅⋅
++⋅⋅
⋅−⋅
=
0XE
0XE02
0XE
0XE0
RI
)RIV(B4
AARI
)RIV(2
t (2.22)
 Os valores de R/Ro para os captores a resistência de platina normalizados es-
tão na Tab. 2.15, enquanto que a Tab. 2.16 contém a precisão não normalizada e nas 
expressões (2.23) e (2.24) as normalizadas, por classe.
104 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Tab. 2.15 - R/R0 - Captores à Resistência de Platina
t (oC) R/R0 t (
oC) R/R0
-200 0,1849 300 2,1202
-100 0,6025 400 2,4704
0 1,000 500 2,8090
100 1,3850 600 3,1359
200 1,7584 700 3,4513
Tab. 2.16 - Precisão Não Normalizada de Captores à Resistência de Platina
t Resistência à t Resistência à
oC
± 0,5 (%) ± 1,0 (%) ± 2,0 (%)
oC
± 0,5 (%) ± 1,0 (%) ± 2,0 (%)
exatidão 
(oC )
exatidão 
(oC )
exatidão 
(oC )
exatidão 
(oC )
exatidão 
(oC )
exatidão 
(oC )
0 ± 1,3 ± 2,3 ± 5,2 120 ± 2,1 ± 4,0 ± 7,9
20 ± 1,4 ± 2,4 ± 5,6 200 ± 2,8 ± 5,0 ± 9,7
60 ± 1,7 ± 3,1 ± 6,5 300 ± 3,5 ± 6,2 ± 12,0
100 ± 2,0 ± 3,8 ± 7,4 500 ± 4,8 ± 8,4 ± 24
Classe A - tolerâncias mínimas: ( )t002,051,0t ⋅+±=∆ (2.23)
Classe A - tolerâncias padrões: ( )t500,003,0t ⋅+±=∆ (2.24)
 A maioria das curvas de RTDs segue uma das três curvas padronizadas, nor-
ma DIN 43760, norma americana, ou a escala internacional de temperatura ITS-90. 
Os coeficientes da fórmula de Callendar-Van Dunsen para cada um destes RTDs de 
platina estão na Tab. 2.17.
105TEMPERATURA
Tab. 2. 17 - Valores das Constantes da Fórmula de Callender-Van Dunsen - Captor de 
Platina
Norma α (K)-1 A (oC)-1 B (oC)-2 C (oC)-3
DIN 43760 0,003850 3,9080x10-3 -5,8019x10-7 -4,2735x10-12
Americana 0,003911 3,9692x10-3 -5,8495x10-7 -4,2325x10-12
ITS-90 0,003926 3,9848x10-3 -5,8700x10-7 -4,0000x10-12
 Empregando-se a expressão do termo resistor e o coeficiente da norma DIN 
/ IEC 751, pôde-se construir a Tab.2.18 a qual pode ser utilizada para consulta rápida 
de resistência e temperatura em um Pt100.
 Um circuito eletrônico, Fig. 2.17, pode ser usado para medição de temperatura 
na faixa de -55 a 300 (ºC). O sistema a dois fios, com loop de corrente de 4 a 20 (mA).
Tab. 2.18 - Resistência e Temperatura Pt 100
Temp. 
(K)
Temp. 
(C)
R 
(ohms)
Temp. 
(K)
Temp. 
(C)
R 
(ohms)
Temp. 
(K)
Temp. 
(C)
R 
(ohms)
70 -203.15 17.1564 355 81.85 131.6025 645 371.85 237.3449
75 -198.15 19.3193 360 86.85 133.5080 650 376.85 239.0829
80 -193.15 21.4731 365 91.85 135.4105 655 381.85 240.8179
85 -188.15 23.6181 370 96.85 137.3102 660 386.85 242.5501
90 -183.15 25.7547 375 101.85 139.2070 665 391.85 244.2794
95 -178.15 27.8830 380 106.85 141.1009 670 396.85 246.0058
100 -173.15 30.0032 385 111.85 142.9919 675 401.85 247.7294
105 -168.15 32.1158 390 116.85 144.8800 680 406.85 249.4500
110 -163.15 34.2209 395 121.85 146.7652 685 411.85 251.1678
115 -158.15 36.3187 400 126.85 148.6475 690 416.85 252.8826
120 -153.15 38.4095 405 131.85 150.5270 695 421.85 254.5946
125 -148.15 40.4935 410 136.85 152.4035 700 426.85 256.3037
130 -143.15 42.5709 415 141.85 154.2772 705 431.85 258.0099
135 -138.15 44.6420 420 146.85 156.1480 710 436.85 259.7132
140 -133.15 46.7069 425 151.85 158.0159 715 441.85 261.4136
145 -128.15 48.7659 430 156.85 159.8809 720 446.85 263.1112
150 -123.15 50.8191 435 161.85 161.7430 725 451.85 264.8058
155 -118.15 52.8668 440 166.85 163.6023 730 456.85 266.4976
160 -113.15 54.9091 445 171.85 165.4586 735 461.85 268.1864
165 -108.15 56.9461 450 176.85 167.3121 740 466.85 269.8724
170 -103.15 58.9782 455 181.85 169.1627 745 471.85 271.5555
175 -98.15 61.0053 460 186.85 171.0104 750 476.85 273.2357
106 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Tab. 2.18 - Continuação
180 -93.15 63.0278 465 191.85 172.8552 755 481.85 274.9131
185 -88.15 65.0457 470 196.85 174.6971 760 486.85 276.5875
190 -83.15 67.0592 475 201.85 176.5361 765 491.85 278.2591
195 -78.15 69.0684 480 206.85 178.3722 770 496.85 279.9277
200 -73.15 71.0734 485 211.85 180.2055 775 501.85 281.5935
205 -68.15 73.0745 490 216.85 182.0359 780 506.85 283.2564
210 -63.15 75.0716 495 221.85 183.8633 785 511.85 284.9164
215 -58.15 77.0650 500 226.85 185.6879 790 516.85 286.5735
220 -53.15 79.0546 505 231.85 187.5096 795 521.85 288.2277
225 -48.15 81.0407 510 263.85 189.3284 800 526.85 289.8791
230 -43.15 83.0233 515 241.85 191.1444 805 531.85 291.5275
235 -38.15 85.0026 520 246.85 192.9574 810 536.85 293.1731
240 -33.15 86.9785 525 251.85 194.7675 815 541.85 294.8158
245 -28.15 88.9512 530 256.85 196.5748 820 546.85 296.4555
250 -23.15 90.9207 535 261.85 198.3792 825 551.85 298.0924
255 -18.15 92.8871 540 266.85 200.1807 830 556.85 299.7265
260 -13.15 94.8505 545 271.85 201.9793 835 561.85 301.3576
265 -8.15 96.8109 550 276.85 203.7750 840 566.85 302.9858
270 -3.15 98.7683 555 281.85 205.5678 845 571.85 304.6112
273.15 0.00 100.0000 560 286.85 207.3577 850 576.85 306.2336
275 1.85 100.7228 565 291.85 209.1448 855 581.85 307.8532
280 6.85 102.6745 570 296.85 210.9290 860 586.85 309.4699
 285 11.85 104.6232 575 301.85 212.7102 865 591.85 311.0837
290 16.85 106.5691 580 306.85 214.4886 870 596.85 312.6946
295 21.85 108.5121 585 311.85 216.2641 875 601.85 314.3026
300 26.85 110.4522 590 316.85 218.0367 880 606.85 315.9078
305 31.85 112.3894 595 321.85 219.8065 885 611.85 317.5100
310 36.85 114.3237 600 326.85 221.5733 890 616.85 319.1094
315 41.85 116.2551 605 331.85 223.3373 895 621.85 320.7059
320 46.85 118.1836 610 336.85 225.0983 900 626.85 322.2994
325 51.85 120.1093 615 341.85 226.8565 905 631.85 323.8901
330 56.85 122.0320 620 346.85 228.6118 910 636.85 325.4780
335 61.85 123.9519 625 351.85 230.3642 915 641.85 327.0629
340 66.85 125.8689 630 356.85 232.1137 920 646.85 328.6449
345 71.85 127.7830635 361.85 233.8603 925 651.85 330.2241
350 76.85 129.6942 640 366.85 235.6041 930 565.85 331.8003
 Neste circuito, a ponte excitada por duas fontes de corrente de 1 (mA), é for-
mada por um termistor, RT1, e um resistor variável de 5 (kΩ) usado para ajustar a 
temperatura referente a 4 (mA). O resistor RS ajusta o fundo de escala para 20 (mA).
107TEMPERATURA
 Este circuito possui a vantagem de que a transmissão de sinal em corrente, 
proporcional à temperatura, é feita no mesmo condutor de alimentação do circuito. 
Fig. 2.17 - Circuito eletrônico para medição de temperatura na faixa de -55 a 330 (oC).
 A Fig. 2.18 mostra dois esquemas típicos de circuitos comparadores usados 
em acionamento de termostatos. Na Fig. 2.18a têm-se um sistema de compara-
ção com histerese, enquanto na Fig. 2.18b um sistema de comparação simples.
Fig. 2. 18 - Esquemas de circuitos típicos comparadores para termostatos.
108 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 A corrente de saída do loop será:
 
( )[ ]
( )Ω
Ω+
⋅+=
5,26
R/00521
niVAm4I S0 (2.25)
 Na Fig. 2.19 são apresentados e esquemas resistores comerciais.
109TEMPERATURA
Fig. 2.19 - Esquema de RTDs comerciais da ZÜRICH.
110 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 A Tab. 2.19 contem as características dos fios condutores mais utilizados.
Tab. 2.19 - Características de Fios Condutores
Material
Resistência Rt/R0
∅ 0,6 mm
Ω/m a 0 oC
∅ 0,8 mm
Ω/m a 0 oC a 200 
oC a 400 oC a 600 oC
Cobre 0,06 0,034 1,860 2,750 3,700
Argento 0,057 0,031 1,820 2,700
Níquel 0,320 0,180 2,500 4,850 5,880
Níquel-Cromo 2,480 1,390 1,086 1,175 1,248
Cobre-Níquel 1,770 1,000 0,996 0,994 1,024
Cobre c/capa
de Níquel 0,090 0,050 1,883 2,810 3,760
2.2.4.3. Termômetros de fio distendido 
 Neste tipo de termômetro de resistência, usado para medir temperatura em 
fluidos, seu sensor é constituído por um fio metálico de diâmetro - d -, da ordem de 
1 (µm) e comprimento - L - não maior que 1 (mm), soldado em suas extremidades em 
suportes de ponta fina, Fig. 2. 20.
Fig. 2.20 - Sensor de termômetro de fio distendido.
vf (m/s) - velocidade de escoamento do fluído.
 Os fios metálicos mais usados para este tipo de termômetro estão relaciona-
dos, com algumas de suas características na Tab. 2.20.
111TEMPERATURA
Tab. 2.20 - Características de Fios para Captor de Termômetro de Fio Distendido
Material ρ(g/cm3)
σ20
(µΩ⋅cm)-1 (oC)-1 (W⋅m-1⋅K-1)
c à 20 (oC)
(J⋅kg-1⋅K-1)
Platina 21,45 0,094 3,92⋅10-3 71 134
Platina - Ródio 19,97 0,052 1,66⋅10-3 509 150
ρ - massa específica; σ - condutividade elétrica a 20 (oC); α - coeficiente de resisti-
vidade térmica entre 0 e 100 (oC); λ - condutividade térmica entre 0 e 100 (oC); c 
- calor específico a 20 (oC).
 Sendo o fio metálico percorrido por uma corrente de baixa intensidade - I -, e, 
sendo a variação da temperatura pequena, o efeito Joule pode ser desprezado, fican-
do, portanto, sua temperatura - T - dependendo somente da temperatura do fluido 
- Tf -, que por sua vez depende da sua velocidade - vf.
 Experimentalmente ficou demonstrado que este tipo de sensor permite me-
dir temperatura em escoamentos gasosos na faixa de 0 a 600 (oC) com precisão em 
torno de ± 1 (%) e freqüências entre 0 e 5 (kHz).
 A calibração de um sensor de fio distendido pode ser feita pelo método do 
aquecimento interno ou pelo método do aquecimento externo, esquematizado 
na Fig. 2.21, o qual consiste, basicamente, de uma resistência de fio de platina-ródio a 
10 (%), de diâmetro da ordem de 3,5 (µm), instalada na saída de um injetor por onde 
escoa um fluxo de ar aquecido ou não. Esta resistência percorrida por uma corrente 
senoidal - I - de freqüência variável a qual permite que as oscilações senoidais de 
temperatura, transmitidas ao fluxo de ar, seja calibrada com o dobro da freqüência, 
em razão do efeito Joule na resistência. 
Fig. 2.21 - Esquema para calibração de sensor de fio distendido pelo do método do 
aquecimento interno.
α100
0
λ 100
0
112 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 O sensor é instalado com o fio distendido paralelamente a resistência de pla-
tina-ródio a (10%), a uma distância tal, que o fio e seus suportes sejam submetidos ao 
campo oscilatório de temperaturas.
 A banda passante por este sistema, que depende da resposta em freqüência 
do fio de platina-ródio a 10(%) e da difusão longitudinal do calor entre este fio e o 
ponto de medida, permite determinar a função de transferência do captor instalado 
na faixa de freqüência 10-2 a 800 (Hz) pela relação:
 
*
0
*
t
)n(t
)n(H = (2.26)
 Nesta expressão, t*(n) e 
*
0t são, respectivamente, as oscilações da tempera-
tura medidas à freqüência n e a freqüência de 10-2 (Hz). 
2.2.4.4. Termistores
 Os termistores consistem de materiais semicondutores tratado com óxidos 
que exibem uma grande redução na resistência em função do aumento da tempera-
tura. Nos semicondutores, a condutividade elétrica se dá com os elétrons da banda 
de condução. Se a temperatura aumenta, alguns elétrons saem da camada de valên-
cia e vão para a banda de condução, aumentando a condutividade do elemento. A 
condutividade elétrica em semicondutor é descrita pela lei de Boltzmann que pode 
ser resumida pela seguinte equação:
 





⋅
β
−⋅⋅=
ρ
=σ
Tk
expTA
1
r
 (2.27)
σ - (Ω⋅cm)-1 condutividade; ρ (Ω⋅cm) - resistividade; A (eV⋅Ω⋅cm)-1 - constante di-
mensional; Tr e T (K) - temperaturas de referência e no ponto; β (K) - índice de sensi-
bilidade térmica; k = (1,38026 ± 6⋅10-5)⋅10-23 (J/K) ≅ 8,61709x10-5 (eV/K) - constante 
de Boltzmann.
 O comportamento da equação (2.27), para semicondutores, segundo Blake-
more, está representado esquematicamente, em escalas logarítmicas, na Fig. 2.22, 
compreendendo as seguintes regiões:
• Região 1 - a condução é controlada pela mudança de órbita dos elétrons 
devido a impurezas existentes no material, fazendo com que ρ decresça com T.
113TEMPERATURA
• Região 2 - a condução ocorre devido à ionização parcial oriunda da troca 
energética entre átomos, continuando ρ a decrescer com T.
As regiões 1 e 2 são as utilizadas nos termômetros de germânio até 100 (K) e 
de carbono até 300 (K). Estes termômetros são conhecidos como termômetros 
criogênios, que quando usados em termistores eles correspondem à faixa de 
temperatura ambiente de 150 a 600 (K).
• Região 3 - aqui todas as impurezas são ionizadas, provocando o crescimen-
to de ρ com T, sendo que para o silício, entre 200 e 450 (K), este crescimento é 
praticamen-te, linear. 
• Região 4 - nesta, ρ volta a decrescer com T, mas de modo exponencial.
Fig. 2.22 - Comportamento de semicondutores.
 Considerando estas regiões, e a Fig. 2.23 os termistores classificam-se em:
• termistores com coeficiente de tempera- tura negativo - NTC -, quando nas 
regiões 1 e 2, fabricados em material cerâmico obtido utilizando óxidos metáli-
cos recozi- dos em fornos a temperaturas maiores que 1100 (oC), sob ambiente 
de oxigênio a baixa pressão o que permite abranger um campo de resistências 
de 10 (Ω) até 1 (MΩ). 
• termistores com coeficiente de temperatura positivo - PTC -, limitados a 
região 3, com coeficiente de temperatura pouco negativo ou mesmo nulo e com 
ρ crescendo com T. São, também, fabricados com material cerâmico, porém, ten-
do por base óxidos ferroelétricos, tais como os titanatos de bário, de estrôncio e 
chumbo. 
114 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAISFig. 2.23 - Termistores CTN e CTP
 Estes termistores são muito usados no controle de aquecimentos anormais e 
na proteção contrasurtos de tensão e em curto-circuitos.
 A resistência do termistor varia com a temperatura segundo a seguinte relação:
 














−⋅β⋅=
0
0 T
1
T
1
expRR (2.28)
 A Tab. 2.21 mostra a variação da resistência calculada pela expressão (2.28) 
para termistores usuais em função do coeficiente de sensibilidade térmica, β.
 Na Fig. 2.24, pode ser observado o comportamento do termistor de β = 
2930 (K) com o captor à resistência de platina de 100 (Ω) a 0 (oC).
115TEMPERATURA
Fig. 2.24 - Gráfico comparativo da variação da resistência com a temperatura da Platina e do 
termistor de β = 2930 (K).
 Para obter a temperatura em função da resistência do termistor pode-se em-
pregar a fórmula de Steinhart-Hart:
 
[ ] 3T2T10 )R(nla)R(nlaa
1
T
⋅+⋅+
= (2.29)
T - temperatura em Kelvin; RT - resistência do termistor. Os coeficientes a0, a1 e a2 são 
fornecidos pelo fabricante do termistor.
 Na Fig. 2.25 estão esquematizados os três tipos de circuitos mais utilizados 
na medição de termistores.
 Para medida com ponte de Wheatstone, tem-se;
 





+
−
+
⋅=
42
4
3t
t
RR
R
RR
R
ATMT (2.30)
116 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Tab. 2.21 - Variação da Resistência de Termistores
Tipo β (K) α (%⋅K
-1)
a 25 (oC) R0 (Ω)
R25/R125
(oC)
a 5120 - 5,7 5⋅106 75
b 4710 - 5,3 106 51,5
c 4350 - 4,9 2⋅105 39,2
d 4240 - 4,7 105 35,7
e 4055 - 4,5 3⋅104 30,6
f 3540 - 4,0 2⋅103 19,8
g 3270 - 3,7 5⋅102 15,7
h 2930 - 3,3 102 11,8
Tab. 2.21 - Variação da Resistência de Termistores - continuação
Rt/R0 ta tb tc td te tf tg th
4.10-4 - - - - - - - 270
10-3 225 250 265 293 - - - -
4.10-3 170 185 190 210 225 290 - -
10-2 135 150 158 168 178 210 240 285
4.10-2 98 105 117 119 123 140 152 180
10-1 70 75 80 82 83 98 118 120
4.10-1 40 42 44 46 48 49 50 55
1 25 25 25 25 25 25 25 25
4 -4 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -13
10 -18 -19 -21 -25 -30 -31 -31 -34
40 -35 -37 -39 -41 45 -50 - -
100 -46 -50 - - - - - -
117TEMPERATURA
Fig. 2.25 - Tipos de circuitos para medição com termistores.
 Um outro tipo de termistor é o transdutor de temperatura usando o diodo 
semicondutor. Normalmente, diodos alimentados com corrente constante, possuem 
uma barreira de potencial de 0,6 (V), com um coeficiente de deriva de temperatura 
de -2 (mV/ºC). O limite superior de temperatura para os diodos é da ordem de 120 
(ºC), podendo, em alguns casos, chegar a 200 (ºC). Há uma tendência de que novos 
tipos de semicondutores baseados em silício e em diamante venham a elevar este 
limite à faixa dos 300 (ºC) a 600 (ºC). Atualmente, os termopares e RTDs são os mais 
indicados para medidas de temperaturas elevadas. No entanto, para temperaturas 
baixas, podem-se usar diodos especiais para operarem como sensores de tempera-
turas criogênicas, próximas ao zero absoluto, de 1,4 (K) a 475 (K).
 Um circuito básico é mostrado na Fig. 2.26, onde o diodo representado pela 
junção entre base e emissor de um transistor é usado como sensor de temperatura.
Fig. 2.26 - Circuito básico com junção como sensor de temperatura.
118 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Nesta figura tem-se:
 2
1
2
ER0 RA100R
R
1VV +µ−





+⋅= (2.31)
VRE (V) - tensão sobre o diodo.
 Os ajustes de zero e fundo de escala são feitos em R1 e R2.
 A Fig.2.27 mostra um circuito de medição de temperaturas criogênicas em-
pregando sensores baseados em diodos. O sensor requer uma corrente de excitação 
de 10 (µA), que será fornecida por uma das fontes de corrente do XTR101. Para con-
verter uma fonte de corrente de 1 (mA) para 10 (µA), será formado um espelho de 
corrente de precisão, formado pelos resistores R2, R3 e A1.
Fig. 2.27 - Circuito para medição de temperaturas criogênicas.
 A fonte de corrente de 1 (mA) é conectada entre R2 e à entrada inversora do 
operacional. O operacional irá ajustar a suas entradas à mesma tensão através de R3. 
O resultado é uma precisão de 0,1 (V) através de ambos R2 e R3. A corrente de saída 
na entrada não inversora é 1 (mA)⋅R2/R3 = 10 (µA). Com o amplificador especificado, a 
corrente bias adiciona um erro desprezível.
 A outra fonte de corrente de 1 (mA) supre o ajuste de zero e o consumo do 
amplificador. A fonte de corrente é conectada a um zener de 5,1 (V) através de R1. 
A corrente através de R1 é exatamente 1 (mA) -1 (µA). A tensão de ajuste de zero é 
R1⋅990 (µA). O zener de 5,1 (V) garante a tensão de alimentação do amplificador. O re-
sistor de 249 (kΩ) em série com o diodo sensor de temperatura força o amplificador 
a operar na sua região linear.
119TEMPERATURA
 Embora os diodos sejam comuns em aplicações de medidas de temperatura, 
sua exatidão é limitada. O coeficiente de temperatura de um diodo de silício tem 
uma não-linearidade em torno de 1 (%) sobre uma faixa de 0 a 100 (ºC), assim como 
tem problemas com estabilidade da tensão direta com o tempo. Uma exatidão me-
lhor pode ser obtida a partir de diodos de silício, medindo-se a diferença da queda 
de tensão direta entre dois diodos operando com densidades de corrente diferentes. 
Esta tensão tem um coeficiente de variação positivo com a temperatura proporcional 
à temperatura absoluta. Se os diodos possuírem uma baixa resistência e forem bem 
casados, o coeficiente de linearidade da temperatura pode ser melhor que 0,01 (%).
 Atualmente existem algumas soluções de sensores de temperatura semi-
condutores encapsulados na forma de circuitos integrados. A Fig. 1.28 mostra uma 
configuração típica do LM45 (National Instruments) para medição de temperatura 
com incerteza de ±3 (oC). A saída em tensão já é linearizada com a temperatura e a 
sensibilidade apresentada é de 10 (mV/ oC).
Fig. 2.28 - Configuração típica do LM45 - National Instruments.
2.2.5. Medição por Ultra-Som
2.2.5.1. Fundamentos
 O princípio da termometria acústica foi descoberto em 1873, mas até bem 
recentemente era somente empregada para medidas de temperaturas criogênicas.
 Os termômetros acústicos aproveitam o fato da velocidade do som ser ex-
tremamente dependente da temperatura do meio no qual a onda sonora atravessa. 
A velocidade do som - v (m/s) -, em um gás é relacionada à temperatura através da 
seguinte expressão:
120 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 
2/1
M
TRk
v 




 ⋅⋅= (2.32)
k = cp/cv - relação entre calores específicos à pressão e a volume constantes; R=8,314 
(J/kmol⋅K) - constante universal dos gases; T (K) - temperatura termodinâmica; M 
(kg/mol) - massa molecular do gás. 
2.2.5.2. Aplicação
 A Fig. 2.29 ilustra a aplicação de tal técnica, mostrando a operação dos trans-
missores e receptores, caminhos de medida e gráfico de regiões isotérmicas.
2.2.6. Pirometria
2.2.6.1. Fundamentos
 A Pirometria trata da medição de temperatura através dos Pirômetros, ins-
trumentos que utilizam o princípio da radiação, logo a energia emitida por um corpo 
para se inferir o valor da temperatura. 
 Uma grande vantagem destes instrumentos é não ser necessário o contato 
direto com o corpo cuja temperatura se deseja determinar, sendo que este pode 
estar parado ou em movimento e a temperatura bastante elevada, já que tem sido
fabricados com faixas de medição que se estendem até 3500 (ºC).
 Embora suas principais aplicações se encontremna medição de temperatu-
ras altas, normalmente cobertas pelos termopares de platina, o limite inferior prático 
se encontra em torno de 30 (ºC).
 Os Pirômetros podem ser classificados em dois grupos:
• Pirômetro de radiação, em que a radiação sensibiliza um elemento cuja saída, 
por sua vez, é medida por métodos usuais.
• Pirômetro óptico, em que a luminosidade emitida pelo corpo é comparada 
com a emitida por um corpo padrão, que pode ser ajustada pelo operador.
 O primeiro grupo trabalha na região do infravermelho, enquanto o segundo, 
trabalha na faixa da luz visível. A Fig. 2.30 mostra o espectro de cores e a área de atu-
ação de cada um.
121TEMPERATURA
Fig. 2.29 - Aplicação da técnica acústica para medir temperaturas.
122 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 2.30 - Espectro de cores com área de atuação dos Pirômetros (termômetros radioativos).
 O fundamento destes termômetros está na denominada teoria do corpo 
negro, que é um corpo que absorve toda a radiação que nele incide, sem transmitir 
ou refletir qualquer parte da mesma. Sendo assim, um corpo negro irradia a energia 
em todos os comprimentos de onda do espectro, com uma intensidade máxima que 
é dependente de sua temperatura. Um corpo com uma superfície opaca enegrecida 
pode ser considerado um corpo negro.
 Não é usual encontrar-se um corpo negro. Os objetos usuais refletem uma 
parte da radiação que recebem, transmitem uma parte e absorvem outra. A energia 
irradiada é menor que a de um corpo negro.
 Um forno ou estufa, quando todo o interior se encontra à mesma temperatu-
ra, se comporta como um corpo negro. Se for feita uma pequena abertura na parede 
do mesmo, a radiação que passa pela mesma é composta de radiação irradiada pelos 
corpos existentes em seu interior, adicionada à radiação refletida pelos mesmos.
 Pode-se dizer, então, que a emissividade de um corpo negro é igual a 1, en-
quanto que os demais corpos terão uma emissividade menor do que 1.
 Por outro lado, todos os corpos emitem radiação eletromagnética em função 
de sua elevação de temperatura acima do zero absoluto. Tal emissividade pode ser 
entendida através das leis básicas da física da radiação térmica, na qual a descrição 
matemática da distribuição de energia segue a chamada função de Planck.
 
1e
ch2
q
Tk/hc
52
−
λ⋅⋅⋅π⋅
⋅ε=
⋅λ⋅⋅
−
λ
 (2.33)
qλ - distribuição da energia radiada em um dado comprimento de onda; ε - emis-
sividade da superfície; T - temperatura absoluta, em Kelvin; h, e, k, c - constantes 
físicas.
 A integral da função de Plank resulta na equação de Stefan-Boltzmann, que 
estabelece que a energia radiada pelo corpo negro é proporcional à quarta potência 
da temperatura absoluta do corpo, ou seja:
123TEMPERATURA
 ∫
∞
λ ⋅σ⋅ε=λ=
0
4TdqE (2.34)
E - energia radiada; σ - constante de Stefan-Boltzmann 5,67032x10-8(W.m2.K-4); T - 
temperatura absoluta em Kelvin.
 Se este corpo for um corpo negro, a emissividade deve ser tomada igual a 1, 
logo:
 4TE ⋅σ= (2.35)
 Se o elemento receptor da energia se encontra a uma temperatura diferente 
do zero absoluto, Tr, a equação é modificada para:
 ( )4r4 TTE −⋅σ⋅ε= (2.36)
 A distribuição de energia radiada varia com o comprimento de onda e com a 
temperatura, como mostra o gráfico da Fig. 2.31.
 Pela figura, observa-se que a radiação varia sensivelmente com o compri-
mento de onda e que, quanto menor este comprimento, maior será a máxima ra-
diação. Isto pode ser comprovado observando-se a cor de um corpo que está sendo 
aquecido, passando pelo vermelho (maior comprimento de onda), amarelo, e depois, 
o branco (menor comprimento de onda). A lei de Wien diz que a intensidade máxima 
de radiação ocorre a um comprimento de onda específico, que diminui à medida que 
a temperatura aumenta:
Fig. 2.31 - Distribuição da energia radiada.
124 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 898.2.constTm ==⋅λ 2,898 (µmK) (2.37)
λm - comprimento de onda correspondente à radiação de máxima intensidade.
2.2.6.2. Pirômetro de radiação
 O pirômetro de radiação utiliza semicondutores detectores de fótons, sensí-
veis ao comprimento de onda do espectro de radiação infravermelho. São adequa-
dos para as medições de temperatura com alta velocidade de resposta e para insta-
lações que impedem o emprego de outros tipos de medidores.
 De uma maneira geral, este sistema se baseia no princípio de que a radiação emi-
tida por um corpo quente passa a ser concentrada por meio de uma lente, sensibilizando 
um elemento detector que converte esta energia em um sinal elétrico, Fig. 2.32.
Fig. 2.32 - Esquema do pirômetro de radiação.
 As faixas de medição estão entre 35 até 1800 (oC), sendo o tamanho mínimo 
do alvo de 1,5 (cm2) a uma distância de 20 (cm). A escolha adequada do detector, dos 
filtros de infravermelho e dos acessórios define a medição confiável em condições de 
aplicação muito severas e difíceis. A Fig. 2.33 ilustra uma análise do uso de pirôme-
tros em função do campo de visão e do tamanho do corpo a ser medido. Uma relação 
típica distância/área é 6:1.
Fig. 2.33 - Uso adequado de pirômetros.
Incorreto Correto Incorreto
125TEMPERATURA
 Na Fig. 2.34 são apresentadas fotografias de alguns modelos comerciais de 
medidores infravermelhos. Em alguns casos, uma mira laser pontual ou de superfície é 
usada para assegurar que se está medindo a temperatura da superfície de interesse.
Fig. 2.34 - Medidores comerciais.
 Existem também sensores especiais para montagem visando à supervisão de 
processos, incluindo o termopar infravermelho que nada mais é que um sensor de 
temperatura infravermelho que provê um sinal de saída com sensibilidade idêntica à 
de um termopar, Fig. 2.35. Neste caso, deve-se especificar o tipo de termopar deseja-
do, se tipo J, K, T ou E. O sensor infravermelho poderá então substituir um termopar 
convencional aproveitando-se de toda a instalação elétrica existente.
Fig. 2.35 - Fotografias de sensores de supervisão.
126 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
2.2.6.3. Pirômetro óptico
 Enquanto os pirômetros de radiação trabalham na faixa de luz infravermelha, 
os pirômetros ópticos são dispositivos que trabalham em uma faixa estreita do es-
pectro de radiação visível. O comprimento de onda é de cerca de 0,65 microns. Atra-
vés da observação visual é feita uma comparação entre a intensidade de radiação do 
meio cuja temperatura se quer determinar, com a de uma fonte de radiação interna, 
geralmente um filamento aquecido de uma lâmpada.
 O instrumento, semelhante a uma luneta, é apontado para o meio cuja tem-
peratura se deseja saber. O foco é ajustável, permitindo ao operador focalizar o obje-
to. A Fig. 2.36 ilustra esquematicamente este aparelho.
Fig. 2.36 - Esquema de pirômetro óptico.
 Ao mesmo tempo em que o operador foca o objeto, pode-se ver o filamento, 
ficando, portanto, as duas imagens superpostas uma à outra.
 A comparação pode se feita por dois métodos. Ou varia-se a corrente através 
do filamento até que o seu brilho se confunda com o objeto; ou mantém-se a corren-
te constante e varia-se a posição do filtro. Em geral o primeiro método é mais usado, 
Fig. 2.37. 
Fig. 2.37 - Exemplo de ajuste.
127TEMPERATURA
 Na Fig. 2.37a, estando o filamento da lâmpada inicialmente mais frio que o 
alvo,faz com que o mesmo apareça mais escuro. Quando a corrente é aumentada, o 
filamento começa a ficar mais quente e parece brilhar mais que o alvo (b). Ajusta-se 
convenientemente até que a temperatura do filamento se iguale à do alvo, confun-
dindo-se com o mesmo.
 A faixa de medição é limitada no extremo inferior de cerca de 750 (ºC). Abai-
xo desta temperatura não há emissão de luz suficiente para uma medição precisa. A 
1300 (ºC) a imagem seria brilhante demais para a observação direta. A inserção do 
filtro de faixa permite medir temperaturas da ordem de 3500 (ºC).
 Em função da emissividade dos materiais, diferentes alvos a temperaturas 
idênticas podem exibir brilhos diferentes. Alvos com maior emissividade irão brilhar 
mais do que alvos com menor emissividade, à mesma temperatura. Neste caso tor-
na-se necessário conhecer-se a emissividade do material para que uma leitura cor-
reta da temperatura possa ser efetuada. A Fig. 2.38 mostra fotografias de modelos 
comerciais de pirômetros ópticos.
Fig. 2.38 - Modelos comercias de pirômetros ópticos.
129DESLOCAMENTO
Capítulo 3
DESLOCAMENTO
N este Capítulo não será feita uma abordagem generalizada sobre os sis-temas de medição de deslocamento, mas sim uma síntese concentrada nos sensores para medição de deslocamento linear e angular de última geração, normalmente industrializados e de fabricação seriada, desta-
cando-se:
• Sensores de deslocamento linear: transformador diferencial, magnéto-sônico e 
resistivo;
• Sensores de deslocamento angular: resistivo, encoder óptico incremental e en-
coder absoluto.
 Tais sensores serão descritos de modo que o usuário tendo por base as carac-
terísticas do deslocamento de interesse possa estabelecer a melhor opção. 
130 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
3.1. INTRODUÇÃO
 Os sensores de deslocamento, de uma maneira geral, são instrumentos usa-
dos para medir o movimento de um corpo. Este movimento pode ser descrito por 
uma reta entre dois pontos, ou mesmo um movimento angular, em uma trajetória 
diferente, como um arco de circunferência, por exemplo.
 Não obstante o seu uso como um transdutor primário, medindo o movimen-
to de um corpo, os sensores de deslocamento são também largamente utilizados 
como um componente secundário em sistemas de instrumentação, onde outras 
grandezas físicas, tais como pressão, força, aceleração, nível ou temperatura que são 
convertidas em um movimento translacional pelo transdutor de medida primária.
Existem muitos tipos diferentes de sensores de deslocamento, cada um com 
suas características particulares e méritos descritos a seguir. O conhecimento destas 
particularidades é de fundamental importância para o processo de seleção da alter-
nativa mais apropriada para uma dada aplicação.
No decorrer deste capítulo são discutidos sensores de deslocamento linear, 
tais como sensores resistivos, transformadores diferenciais, sensores magnetos-sôni-
cos, dentre outros, assim como sensores de deslocamento angular, dentre os quais se 
destacam o potenciométrico (resistivo), encoders ópticos incrementais e encoders 
absolutos. Alguns destes modelos são apresentados na Fig. 3.1.
Fig. 3.1 - Modelos de sensores de deslocamento.
131DESLOCAMENTO
3.2. SENSORES DE DESLOCAMENTO LINEAR
3.2.1. Transformador Diferencial
 O transformador diferencial, mais conhecido como LVDT – Linear Variable 
Diferential Transformer –, é um sensor de deslocamento linear bastante difundido 
na indústria. A sua principal vantagem sobre os outros tipos de sensores é o seu alto 
grau de robustez, principalmente por não haver contato físico do elemento sensor 
em sua extensão. Os LVDT também podem ser a prova d’água ou trabalhar em am-
bientes agressivos.
 O princípio de funcionamento do LVDT é baseado em transferência magné-
tica, o que resulta em resolução infinita. A menor fração de movimento pode ser 
detectada por condicionadores eletrônicos de sinal adequados.
 A combinação destes dois fatores aliados à também outros tais como exati-
dão e repetitividade, tem garantido o sucesso da aplicação desta tecnologia por mais 
de 90 anos.
 Um LVDT consta de uma base onde são montadas três bobinas, Fig. 3.2. A 
primeira bobina, primária, é excitada com corrente alternada. da ordem de 1 a 30 
(kHz) e tensão de 0,5 a 10 (V). As outras duas bobinas, secundárias, são enroladas de 
tal maneira que, quando um material ferromagnético é colocado na posição linear 
central entre as duas, a mesma tensão é induzida em cada bobina. Entretanto, as 
bobinas secundárias são conectadas opostamente uma à outra de modo que, na 
posição central as suas saídas sejam canceladas.
Fig. 3.2 - Esquemas de LVDT
132 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 A excitação é aplicada ao enrolamento primário do sensor de posição pelo 
circuito oscilador. O oscilador é montado externamente, não mostrado nesta figura. 
 A armadura (parte móvel ou cursor do transdutor) permite a indução de uma 
tensão nas bobinas secundárias 1 e 2 (Sec. 1 e Sec. 2). A armadura é feita de um mate-
rial magnético especial e freqüentemente é conectada a uma haste não magnética, 
usada para medir o deslocamento.
 Quando a armadura está na posição central, Fig. 3.3, há uma mesma tensão 
induzida em ambas as bobinas secundárias. Entretanto, como são enroladas em opo-
sição, a soma é cancelada, produzindo uma saída nula. 
 Se a armadura se move indo para Sec. 1 (saindo de Sec. 2), Fig. 3.4, o resulta-
do é que a soma de Sec. 1 e Sec. 2 favorecem Sec. 1, resultando em uma tensão, em 
fase com a tensão de excitação.
 Por outro lado, quando a armadura se move no sentido de Sec. 2, a soma das 
tensões favorece Sec.2, Fig. 3.5, resultando em uma tensão fora de fase com a excitação.
 A saída de um LVDT é uma tensão alternada não possuindo uma polaridade 
definida.
Fig. 3.3 - Armadura na posição central
133DESLOCAMENTO
 
Fig. 3.4 - Armadura movendo-se para a Sec. 1.
 
Fig. 3.5 - Armadura movendo-se para a Sec.2
O valor eficaz da saída do transdutor, E0, aumenta independentemente da di-
reção do movimento em relação à região central, como mostra a Fig. 3.6.
134 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 3.6 - Gráfico mostrando o comportamento da amplitude de saída em um LVDT
 A fim de se conhecer em qual direção se dá o deslocamento, deve-se obser-
var tanto a fase quanto a magnitude da tensão de saída, Fig. 3.7. Note que a tensão 
de saída poderá estar em fase ou fora de fase com a tensão de excitação, dependen-
do apenas do lado em que se encontra a armadura em relação ao centro.
Fig. 3. 7 - Comportamento da tensão de saída de um LVDT.
 A fase da tensão de saída do sensor deverá ser comparada com a fase da 
tensão de excitação. Este trabalho é feito empregando-se um circuito eletrônico tam-
bém responsável por fornecer uma saída em tensão contínua, proporcional à posi-
ção da armadura no interior do LVDT, Fig. 3.8.
135DESLOCAMENTO
Fig. 3.8 - Circuito eletrônico do LVDT.
 Uma variedade de condicionadores eletrônicos de sinais para LVDT pode ser 
encontrada no mercado, incluindo módulos para laboratórios e sistemas integrados. 
O circuito eletrônico de condicionamento de sinal também pode ser integrado ao 
LVDT, resultando no DCDT. Estes sensores de deslocamento de fácil uso oferecem 
praticamente todas as vantagens dos LVDT com a simplicidade de operação com 
alimentação e saída em corrente contínua.
 A saída deste circuito é a apresentada na Fig. 3.9. Note a excelente linearida-
de apresentada pelo LVDT dentro de sua faixa de operação.
Fig. 3.9 - Saída de circuito eletrônico DCDT.
 Outras vantagens do uso do LVDT também podem ser citadas, tais como: 
operação livre de atrito, resolução infinita, vida útil ilimitada, robustez física, sensi-
bilidade em um único eixo (evitando problemascomo mau alinhamento), compati-
bilidade com ambientes agressivos, repetitividade, rápida resposta dinâmica e saída 
absoluta, ou seja, ao contrário de sistemas incrementais, a saída independe de um 
estado anterior.
136 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Na Fig. 3.10 são apresentados tipos de aplicação deste sensor de desloca-
mento linear.
Fig. 3. 10 - Tipos de aplicação de sensor de deslocamento linear LVDT.
3.2.2. Sensores Magnetos-Sônicos
 O transdutor magneto-sônico emprega uma tecnologia onde a interação en-
tre um pulso de corrente e um campo magnético gera uma onda ultra-sônica que 
viaja ao longo de um guia de onda. O elemento condutor e a guia de onda percorrem 
o comprimento do transdutor. 
 O cursor magnético, quando acoplado ao transdutor, produz um campo 
magnético. Um pulso de corrente, gerado pelo circuito eletrônico posicionado no 
final do transdutor, é enviado, produzindo uma onda ultra-sônica resultante da inte-
ração do campo do cursor magnético e esta corrente. O mesmo circuito eletrônico se 
encarrega de detectar este pulso acústico resultante.
 O intervalo de tempo entre os pulsos é proporcional à posição do cursor 
magnético. Um circuito eletrônico processa o dado de saída de deslocamento em 
várias formas. A Fig. 3.11a ilustra este princípio de funcionamento, enquanto a Fig. 
3.11b mostra, em detalhes, a interação dos campos magnéticos produzidos pelo anel 
magnético e pela corrente elétrica.
137DESLOCAMENTO
Fig. 3. 11 - Características dos sensores magnetos-sônicos.
138 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 O princípio de operação deste sensor permite detectar a distância entre o 
transdutor (usualmente fixado) e a posição do cursor magnético (normalmente soli-
dário à peça em movimento). Não há nenhum invólucro, nenhum efeito de qualquer 
sujeira não ferrosa, poeira ou líquidos no espaço entre o transdutor e o cursor.
 Existem vários tipos de perfis da haste e do cursor magnético visando aplica-
ções específicas. Para a haste perfilada podem-se usar cursores do tipo ferradura ou 
de engate, enquanto a haste cilíndrica usa um cursor do tipo anel, normalmente ins-
talado em um cilindro. A Fig. 3.12 apresenta estes modelos de hastes e de cursores.
Fig. 3.12 - Modelos de hastes e cursores de sensores magnetos-sônicos.
3.2.3. Sensores Resistivos
 Os sensores resistivos de deslocamento linear nada mais são do que potenciô-
metros industriais. O potenciômetro consiste de um elemento resistivo distribuído ao 
longo de uma pista percorrida por um cursor, Fig. 3.13. Fixando-se uma tensão de ali-
mentação, V1, entre os pontos 1 e 3, o potencial no ponto 2, V2, será uma função da posi-
ção do cursor sobre a pista do potenciômetro, segundo a regra do divisor de tensão.
139DESLOCAMENTO
Fig. 3.13 - Princípio de funcionamento dos sensores resistivos.
 Os sensores resistivos de deslocamento linear apresentam a grande vantagem 
de serem instrumentos de ordem zero, não impondo qualquer constante de tempo 
sobre o sinal medido. No entanto, com o passar do tempo de uso, podem começar a 
apresentar problemas em função do desgaste mecânico do contato entre o cursor e a 
pista resistiva. Sensores resistivos comerciais são apresentados na Fig. 3.14.
Fig. 3.14 - Sensores resistivos comerciais.
3.3. SENSORES DE DESLOCAMENTO ANGULAR
3.3.1. Sensor Resistivo
 Da mesma forma que no sensor de deslocamento linear, um potenciômetro 
pode ser utilizado para prover informações sobre posição angular. O princípio do 
140 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
divisor de tensão também é aqui aplicado. A Fig. 3.15 apresenta o aspecto físico de 
um potenciômetro 
Fig. 3.15 - Potenciômetro resistivo para medida angular.
 Aplicando-se uma tensão V1 entre os terminais 1 e 3, poderá se ter uma ten-
são proporcional à posição angular do cursor, V2, segundo a seguinte expressão:
 
21
2
12 RR
R
VV
+
⋅= (3.1)
 Não se recomenda a utilização de potenciômetros comuns, de ¾ de volta, 
por possuírem faixa e exatidão limitadas, dando-se preferência aos potenciômetros 
multivoltas, com 5 a 20 voltas, que podem ser encontrados com exatidão e linea-
ridade de 0,1 (%). Na maioria dos casos estes valores são suficientes para diversas 
aplicações a um custo muito reduzido. 
3.3.2. Encoder Óptico Incremental
 Um encoder óptico incremental consiste de uma fonte de luz, uma máscara 
reticulada, um disco codificado, e um conjunto de sensores ópticos, como mostrado 
na Fig. 3.16.
 As estruturas gradeadas são obtidas através de uma cuidadosa deposição de 
material opaco sobre uma superfície plana de vidro.
141DESLOCAMENTO
Fig. 3.16 - Encoder óptico incremental.
 O número de seções claras e escuras dispostas sobre o perímetro do disco ro-
tativo, assim como na máscara estacionária, define o número de ciclos que o encoder 
irá gerar a cada volta completa.
 Quando a luz é projetada na direção da máscara e disco, a quantidade de luz 
que atravessa as duas estruturas irá variar em função do movimento do disco em re-
lação à máscara fixaQuando uma seção opaca do disco fica alinhada com uma seção 
clara da máscara, praticamente nenhuma luz atravessa o conjunto. Por outro lado, 
quando duas seções transparentes estão alinhadas, haverá o máximo fluxo luminoso. 
 Este sistema é conhecido por gradeamento em amplitude, e é diferente do 
sistema de gradeamento por difração, no qual a luz é modulada empregando prin-
cípios de interferência, usualmente construídos para usar luz refletida ao invés de 
luz transmitida. Em qualquer dos sistemas, no entanto, o sinal luminoso resultante 
define a resolução do dispositivo em pulsos por revolução (ppr), que pode chegar à 
ordem de 10000 (ppr).
 Uma vez que o movimento do disco gera apenas pulsos, nada se conhecen-
do sobre a posição absoluta, estes encoders são conhecidos como encoders incre-
mentais.
 A luz transmitida através da grade/disco terá uma intensidade quase senoi-
142 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
dal. Alguns fabricantes amplificam estes sinais senoidais e os transmitem diretamen-
te para o controlador. Estes encoders são comumente conhecidos como encoders 
de saída senoidal. 
 Um sistema alternativo apresenta saída como sinais TTL, através da compara-
ção do sinal de saída com uma referência. Isto resulta na geração de um sinal digital 
com período igual à flutuação cíclica da luz incidente, obtendo-se dois sinais de saída 
defasados de 90o. Usando um flip-flop do tipo D, pode-se analisar estes sinais para 
determinar-se o sentido de rotação do disco. A Fig. 3.17 mostra o exposto.
 Os encoders ópticos são usados em uma variedade de aplicações, desde im-
pressoras até máquinas industriais. Geralmente são usados como um dispositivo de 
realimentação em sistema de controle, exigindo alto grau de exatidão, ou simples-
mente, escolhido pelo seu baixo custo.
Fig. 3.17 - Sistema alternativo com sinais TTL.
 Em função do tempo de varredura de controladores, muitas vezes é neces-
sário conhecer a rotação mesmo antes de se completar um ciclo de giro do encoder. 
Para tanto, lança-se mão de técnicas de interpolação. Os métodos de interpolação 
podem variar desde o mais simples até os mais complexos. O mais simples consiste 
basicamente em aproveitar dois sinais que estejam em quadratura para gerar quatro 
saídas em quadrantes distintos.
 Multiplicando o número de pulsos obtidos por quatro, obtém-se o número 
de pulsos total antes mesmo de se completar um ciclo.
143DESLOCAMENTO
 Usando um encoder com saída senoidal obtém-se uma interpolação mais 
próxima da real, tomando-se saídas senoidais em quadratura e usando-se relações 
trigonométricas simples. Uma vez que cadaciclo corresponde a 360o elétricos, duas 
saídas em quadratura permitem obter o seno e coseno, de modo que uma função 
arco-tangente pode ser usada para obter a posição angular do encoder em qualquer 
ponto do ciclo.
3.3.3. Encoder Absoluto
 O encoder absoluto possui vários padrões de marcas circulares que podem 
ser relacionadas unicamente ao ângulo absoluto ou posição, o que não acontece com 
o encoder incremental, que perde a referência de sua posição depois de uma perda 
de alimentação. Nos primórdios, os encoders absolutos eram construídos usando 
padrões de regiões condutivas e regiões isolantes. As regiões condutivas eram de-
tectadas por contados elétricos usando escovas. Estes sistemas traziam problemas 
graves de leitura com o acúmulo de sujeira, óleo e oxidação, que levavam à perda de 
contato com a superfície condutora. 
 As tecnologias mais recentes empregam encoders com regiões claras e escu-
ras detectadas opticamente usando diodos emissores de luz e fotodiodos, Fig. 3.18.
 Se o padrão é colocado em um código binário, como mostrado na Fig. 3.19a, 
e se uma seqüência de diodos emissores de luz e de foto diodos são dispostos em 
lados opostos, à posição angular poderá ser expressa por meio de “zeros” e “uns”, de-
pendendo apenas se a luz pode ultrapassar ou não os segmentos do padrão. 
 Entretanto, uma vez que vários bits podem se alterar em uma única transi-
ção, tal como de 01111 para 10000, e que não há garantia de que todos os bits irão se 
alterar exatamente no mesmo instante é possível que se possa ler um código incor-
reto durante uma transição. 
 Este problema poderá ser evitado se for adicionado um bit de informação de 
habilitação da entrada dos dados em um buffer, por exemplo. 
 Uma solução mais interessante, mostrada na Fig.3.19b é o uso de um padrão 
em código Gray, onde apenas um bit se altera em uma transição.
144 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 3.18 - Esquema de encord absoluto.
Fig. 3.19 - Sistema com padrão em código binário.
 Dessa forma, todos os bits estarão sempre válidos para leitura em qualquer 
tempo e uma conversão de código Gray para binário poderá ser providenciada.
 Em ambos os casos, a numeração 00000 está à direita e a contagem avança 
no sentido anti-horário. Embora as figuras anteriores apresentem apenas quatro bits, 
encoders comerciais podem ser encontrados com mais de 20 bits. Um exemplo de 
conversor de código Gray para código binário, empregando apenas portas or-exclu-
sive, é mostrado na Fig. 3.20.
145DESLOCAMENTO
Fig. 3.20 - Conversor de código Gray para código binário, com portas or-exclusive.
 Mesmo sendo mais caros que sensores potenciométricos, os encoders en-
contram larga aplicação quando se deseja alta exatidão nas aplicações.
 No encoder, o número de pistas é igual ao número de bits, N, e o número de 
setores será, então, 2N. A resolução disponível, Rd (º), será dada por:
 
N2
063
dR = (3.2)
147NÍVEL
Capítulo 4
NÍVEL
E ste Capítulo aborda, de uma maneira geral, instrumentos que permitem detectar as superfícies que separam sistemas materiais diferentes, aqui de-nominadas simplesmente de superfícies de medidas. No caso particular dos sistemas líquidos de diferentes massas específicas e dos líquido-gaso-
sos, sendo estas superfícies planas horizontais, serão denominados superfícies 
de nível.
 Nos sistemas sólido/sólido, sólido/líquido, sólido/gasoso ou líquido/gasoso 
as superfícies de medidas, geralmente são superfícies espaciais que abrangem limi-
tes, máximo, mínimo ou médio das interferências entre os sistemas materiais. Tais 
superfícies de medidas, em última análise, são definidas, como será visto, por con-
juntos de pontos determinados por medidas diretas ou indiretas, de modo contínuo 
ou discreto. Explicitamente, estas superfícies de medidas e os métodos, sistemas e 
instrumentação utilizados para sua caracterização poderão ser mencionados desde 
que, em princípio, também sejam utilizados para determinação das superfícies de 
nível. Para estas, o Capítulo procurará ter abrangência adequada no que se refere às 
técnicas e práticas disponíveis e as atualmente mais em uso.
148 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
4.1. CONSIDERAÇÕES - SUPERFÍCIES DE MEDIDAS - MÉTODOS
4.1.1. Considerações
 As superfícies de medida que separam sistemas materiais diferentes necessi-
tam serem conhecidas para atender os seguintes objetivos: 
• limitar a superfície de um sistema material em relação ao outro, como é o caso, 
por exemplo, no barramento em rios, da área inundada máxima e mínima do re-
servatório e dos níveis dos escoamentos em componentes do circuito hidráulico, 
nos casos das Centrais Hidrelétricas e de Bombeamento. Por outro lado, no caso 
de armazenamento e transporte de grãos as superfícies limitam, por exemplo, 
carga na base armazenadora ou folga necessária para que o transporte ocorra 
sem perdas. O sistema de medição, neste caso, é denominado sistema de detec-
ção de nível e o captor correspondente de detector de nível.
• controlar, quando é permitido o deslocamento das superfícies de medidas den-
tro de faixa previamente estabelecida, como é o caso, por exemplo, dos limites 
de variação das superfícies de reservatórios para água, os quais estão vinculados 
às possibilidades dos sistemas de carga e descarga dos reservatórios. O mesmo 
acontece com os níveis das superfícies líquido/vapor saturado das caldeiras. 
Neste caso, são usados os sistemas de detecção de níveis com captores de 
detecção. 
• medir, quando o posicionamento das superfícies de medida está relacionado a 
um plano de referência, como é o caso das alturas dos níveis de um rio em uma 
seção transversal de interesse onde é conhecida a curva cota x vazão, isto é, a 
denominada curva chave, que permitirá, com as alturas de níveis medidas na 
seção, determinarem as respectivas vazões.
• limitar e controlar; limitar e medir; controlar e medir ou limitar, controlar e 
medir, quando o interesse assim estabelecer.
 Para tanto, atualmente existe uma grande variedade de métodos, sistemas e 
instrumentos que permitem atender tais objetivos com precisão, exatidão e incerte-
zas preestabelecidas, sejam estas normalizadas ou não. Os métodos podem usar os 
seguintes sistemas:
• Sistema direto, quando as superfícies de medida de interesse são visíveis no 
decorrer das medições, seja diretamente ou através, por exemplo, de vasos co-
municantes.
149NÍVEL
• Sistema indireto, quando as superfícies de interesse não podem ou não preci-
sam ser diretamente visualizadas, como ocorre, por exemplo, no método ultra-
som. 
 No que se refere a operacionalidade dos sistemas de medição, tem-se:
• Contínua, quando o sistema de medição fornece sempre, saída contínua no 
tempo, proporcional às flutuações do nível de interesse do sistema material 
considerado. Nestes casos, quando as superfícies de medidas de interesse não 
mantêm estados de equilíbrio temporal, além da medição continua do compor-
tamento das superfícies de medida, há necessidade do conhecimento temporal 
das características que provocam desequilíbrio, seja do sistema material, seja do 
meio onde o sistema de medida opera.
• Discreta ou descontínua, quando o sistema de medição fornece, em interva-
los de tempo e estados preestabelecidos, um conjunto de indicações ou leituras 
que, posteriormente trabalhadas, fornecerão elementos discretos das superfí-
cies de medidas de interesse.
4.1.2 Caracterização das Superfícies de Medida
Sistema material sólido
 A caracterização da superfície de medida quando um dos sistemas materiais 
está no estado sólido apresenta várias dificuldades devido a:
• descontinuidade, mesmo macroscópica, em sua massa, considerandobasica-
mente, a variação da massa específica;
• granulometria de seus componentes que podem ter variações de alguns mi-
cros até centímetros cúbicos;
• higroscopia, maior ou menor conteúdo de água em sua formação, representada 
pela umidade que pode variar entre valores próximos de zero até de 100 (%);
• ângulo de talude, variável para cada sistema sólido. Por exemplo, em silagem 
de grãos, Fig. 4.1, os cones oriundos do enchimento e do esvaziamento não se 
posicionam fixamente, o que provoca mudança nos taludes, consequentemente 
nas superfícies de medida;
• escoamento, característico para cada sistema sólido, dos recipientes que os con-
têm e, também, dos sistemas de alimentação, retirada e de conservação;
150 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
• ataque aos captores, oriunda da composição do meio onde estão inseridos, 
particularmente gases e poeira desprendidos pelo sólido;
• choques e vibrações, oriundos dos sistemas de alimentação e de retirada do 
produto
 Fig. 4.1-Superfície de medida na silagem de grãos.
Sistema material líquido
 O conhecimento das superfícies de nível que separam líquidos de gases ou 
de vapores depende se os sistemas materiais, sob aspecto macroscópico, estão em 
equilíbrio estático ou em movimento, mesmo que somente um deles. Assim, por 
exemplo, em reservatórios oriundos de barramentos em rios as variações locais dos 
ventos provocam sensíveis variações nas superfícies de nível, o que, dependendo do 
sistema de medição empregado, pode ser detectado. Tanto no caso estático como 
no de movimento, sempre que possível, o sistema de medição deve ser instalado em 
local que apresente maior estabilidade para as superfícies de nível, ou pelo menos 
variações previstas.
 Para tanto, muitas vezes, há necessidade da instalação de sistema estabili-
151NÍVEL
zador, seja no próprio local da superfície de nível ou usando o princípio dos vasos 
comunicantes, conforme é mostrado na Fig. 4.2.
 
 Fig. 4.2 - Sistema estabilizador de vasos comunicantes. 
4.1.3. Métodos
 Os métodos usados nos sistemas de medição de nível podem ser classifica-
dos pelo princípio físico ou físico-químico que caracterizam seus respectivos siste-
mas operativos. A Tab. 4.1 apresenta um resumo desta classificação.
4.2. PRINCÍPIO DA GRAVIDADE
 Os métodos que utilizam o princípio da gravidade, aplicados para sistemas 
materiais sólidos ou líquidos podem ser sempre utilizado quando são conhecidas as 
funções:
 Ge)G(fh ±= ou Ve)V(fh ±= com γ±γ
= Ge
G
V (4.1) 
 
h (m), (cm) - altura do sólido ou líquido dentro do recipiente que contém o produto 
cujo nível deseja-se conhecer; G (tf), (kgf) - peso do produto; V (m3) - volume do 
produto; γ (kgf/m3) - peso específico do produto. 
 O uso destes métodos esta limitado pela capacidade dos recipientes, sejam 
eles fixos ou móveis, e, também, pelos respectivos sistemas de pesagem, balanças 
mecânicas convencionais ou por strain gauges, colocados estrategicamente nos 
elementos de suporte do reservatório, sendo que sua exatidão depende, diretamen-
te, da determinação dos erros contidos nas expressões (4.1). 
152 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Tab. 4.1 - Classificação dos Métodos de Medição de Nível
Princípio Método Sistema de Medição Sistema Material
Gravidade
da pesagem gravimétrico
sólido ou líquido
do volume volumétrico
Hidrostático
direto na super-
fície
régua sólido ou líquido
limnímetro
líquidobóia
flutuador
direto na super-
fície de vasos co-
municantes
régua
líquido
limnímetro
bóia
flutuador
sobre pressão
manômetro
transdutor
injeção de ar
Elétrico
capacitivo
placas metálicas e 
placas metálicas revesti-
das c/isolante
sólido ou líquido
condutivo eletrodos líquido
Onda Sonora 
e Eletromág-
nética
ultra-som 
extrusivo
sólido ou líquido
intrusivo
microondas 
emissor e receptor sepa-
rados
radar
Ótico
reflexão reflexão na superfície sólido ou líquido
refração 
desvio
líquido
prisma cônico 
fibra ótica condução por fibra ótica
sólido ou líquido
laser feixe laser
Radiação radioisótopo nuclear sólido ou líquido
Vibração
lâminas lâminas simétricas
sólido ou líquido
haste haste vibrante
Térmico termodinâmico térmico líquido
Toque contato
contato direto
sólido ou líquidomembrana
pá rotativa
153NÍVEL
 A calibração e a determinação das funções se iniciam com a determinação 
do peso do recipiente e da fixação da origem para medição da altura h. Em seguida é 
feita a calibração utilizando, sempre que possível, pesos padrões ou um outro méto-
do com erros conhecidos. No caso de sólidos, as questões dos cones e do talude, Fig. 
4.1, devem ser considerados no estabelecimento dos valores da altura h quando da 
calibração.
4.3. PRINCÍPIO HIDROSTÁTICO
4.3.1. Fundamentos
 Os métodos que utilizam o Princípio Hidrostático tem como fundamentos:
• As pressões são escalares que atuam sempre na direção normal às superfícies 
dos corpos mergulhados nos fluídos.
• As pressões são constantes e iguais em um mesmo plano horizontal esteja ele na 
superfície, no interior do fluido ou em sistema de vasos comunicantes.
• A pressão sobre as paredes dos reservatórios que contêm o fluido cresce linear-
mente com a profundidade, sendo este crescimento proporcional ao peso es-
pecífico do fluido. Na Fig. 4.3, praticamente mostra-se como este fundamento é 
usado para determinar a diferença entre os níveis de dois reservatórios - a - em 
função da leitura - h -, conforme segue: 
 0pgfehdcbp 2gagHgHragHgHga1 =−⋅γ−⋅γ−⋅γ+⋅γ+⋅γ−⋅γ+⋅γ+ ou
 ( ) ( ) 0phhafcp 2ragHgagagH1 =−⋅γ+⋅γ−⋅γ+−⋅γ−γ+ logo,
 
( ) hfc1ppa
ga
ra
ga
gH
ga
gH
ga
12 ⋅







γ
γ
−
γ
γ
+−⋅







−
γ
γ
−
γ
−
=
154 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 4.3 - Medida de nível com uso de pressões.
 Para o caso em que p1 = p2, γHg = γag considerando γar/ γag = 0, resulta: h = a
• Líquidos não miscíveis se separam por ordem crescente das densidades, sendo 
as superfícies de separação planos horizontais.
• Um corpo mergulhado em um fluido está submetido a um conjunto de pressões 
equivalentes a uma força única, igual e oposta ao peso do fluido deslocado, cuja 
linha de ação é a vertical que passa pelo centro de carena1 do volume desloca-
do - princípio de Arquimédes. Este princípio é à base da maioria dos métodos 
hidrostáticos.
 A tensão superficial provoca a formação de meniscos junto às paredes do 
recipiente que contém o fluido, cujas elevações ou depressões médias podem ser 
avaliadas pela fórmula de Jurin, Fig. 4.4. Este menisco é de elevação quando o fluido, 
por exemplo, é água, álcool, óleo e de depressão, quando o fluido é um metal no 
estado líquido, caso do mercúrio.
1 Carena: parte do corpo flutuante mergulhado no fluido.
155NÍVEL
• Este fundamento sempre deve ser considerado quando se medem níveis, já que 
é uma das principais causas de erros, particularmente quando o captor é uma 
haste, caso dos limnímetros.
Fig.4.4 - Menisco provocado pela tensão superficial.
4.3.2. Método Direto com Régua na Superfície 
 Este método, usado diretamente ou em vaso comunicante, tem suas maiores 
aplicações na medição de níveis em rios nas estações fluviométricas, principalmente 
para obtenção de pontos da curva chave da estação fluviométrica, Fig. 4.5. 
 
Fig. 4.5 - Método hidrostático direto na superfície usado em fluviometria
 Na Fig. 4.6 é mostrada uma fotografia da régua instalada no canal de fuga 
de uma das turbinashidráulicas da Central Hidrelétrica São Simão da Cia. Energética 
de Minas Gerais - CEMIG -, implantada no norte do Estado de Minas Gerais, no Brasil, 
a qual contém um nônio na região do nível de jusante nominal, permitindo leituras 
156 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
de 1,0 em 1,0 (cm), dependendo, evidentemente, da amplitude das oscilações do 
nível d’água, as quais dependem, fundamentalmente, das cargas impostas ao grupo 
gerador respectivo.
 A Fig. 4.7 mostra uma medição direta do nível em reservatório usando o prin-
cípio dos vasos comunicantes, no caso, um sistema composto de conexões, tubo de 
vidro endurecido, tipo Pirex, régua graduada de 1 em 1 (mm) e um cursor com lupa 
para melhorar a leitura e diminuir a sua incerteza. Tais leituras devem ser feitas sem-
pre na parte inferior, isto é, mínima dos meniscos. 
 Em qualquer caso, o erro pode ser calculado a partir, de no mínimo seis leitu-
ras, feitas em intervalo de tempo prefixado para cada um dos níveis estabelecidos.
 
Fig. 4. 6 - Régua instalada no canal de fuga da 
CH São Simão - CEMIG - MG - BR.
Fig. 4.7 - Sistema de medição direta de 
nível de reservatório. 
 Na Fig. 4.8 apresentam-se fotografias de alguns sistemas de medição indus-
triais diretos, no caso, fabricados pela CONAUT. Estes sistemas são robustos, de baixo 
custo, confiáveis e de fácil manuseio e manutenção. Na montagem de peças externas 
são incluídas válvulas de bloqueio, suspiro e dreno, aplicados em tanques e caldeiras, 
o que permitirá a manutenção ou substituição.
157NÍVEL
4.3.3. Método Direto na Superfície com Limnímetro
 Os limnímetros, aplicados diretamente ou em vasos comunicantes, são apa-
relhos que permitem medir níveis com grande exatidão, já que são possíveis leituras 
com intervalos de 1/20 (mm). São aparelhos muito usados em laboratório e mesmo 
na indústria desde que a superfície livre do líquido esteja, praticamente, isenta de 
qualquer ondulação, podendo, portanto, ser considerada um plano horizontal.
Fig. 4.8 - Fotografias de sistemas de medição direta fabricados pela CONAUT - SP - BR
 Na Fig. 4.9, está esquematizado um limnímetro com captação por dois fios 
condutores que fecham um circuito anunciador em um sinalizador local, no caso, 
um filamento. As leituras, para terem menor erro, devem ser feitas sempre com des-
locamento da régua graduada de cima para baixo. A Fig. 4.10 mostra uma fotografia 
deste tipo, sendo usado, em vaso comunicante, para determinação dos níveis d’água 
acima da crista de um vertedor triangular. 
 Na Fig. 4.11 é mostrado como as normas CEI/IEC 41 recomendam o uso de 
limnímetro com captor de ponta em gancho para transferir cotas, no caso, o da crista 
do vertedor para o local onde está instalado o leitor das alturas sobre a crista.
158 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
4.3.4. Método Direto na Superfície com Bóia
 As bóias são captores aplicados diretamente ou em vasos comunicantes, 
sendo largamente usadas no controle de níveis máximo e mínimo de líquidos, por-
tanto, não são medidores de níveis, mas sim limitadores ou chaves de nível, confor-
me pode ser visto na Fig. 4.12. Neste caso, dentro da faixa, no enchimento do reser-
vatório a vazão fornecida pelo sistema de alimentação é decrescente, enquanto que 
no esvaziamento é crescente.
 
Fig. 4.9 - Limnímetro de ponta reta. Fig. 4.10 - Uso de limnímetro 
em laboratório.
159NÍVEL
Fig. 4.11 - Recomendações da norma CEI/IEC 41 para transferência de cotas usando limnímetro.
 
Fig. 4.12 - Reservatório com limitações por bóia. 
160 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Abaixo do limite inferior do fun- cionamento da bóia, normalmente, os reser-
vatórios possuem um volume útil inferior - Vui - o qual pode ser utilizado mesmo 
com o sistema de alimentação sem funcionar. Caso, quando a bóia alcança seu 
nível máximo, e o sistema de alimentação continua operando, o nível máximo é pro-
tegido por um sistema de descarga de emergência, conhe- cido por ladrão.
 O volume útil do reservatório, uma das características para o projeto do 
sistema de alimentação da bóia e de sua faixa de operação é determinada por:
 biuu VVV += (4.2) 
 Na Fig. 4.13 estão representados alguns limitadores de níveis industriais de 
bóia, denominados chaves de nível.
 As bóias são fabricadas em série, nas mais diferentes formas, destacando-
se a esférica e a oval. No que se refere ao material, os mais comuns são compostos 
químicos de polietileno (plásticos), teflon e também ligas metálicas de latão, cobre, 
alumínio e aço.
4.3.5. Método Direto na Superfície com Flutuador
 Os flutuadores, aplicados diretamente ou em vasos comunicantes, são um dos 
captores mais utilizados na determinação de níveis de líquidos, já que apresentam bai-
xo custo, robustez, facilidade de fabricação, instalação, operação e manutenção.
 Os sistemas de medida que utilizam este tipo de captores resultam ter boa 
confiabilidade operacional e permitirem obter resultados exatos e precisos sejam em 
medições locais ou à distância.
 Os flutuadores operam observando o princípio de Archimedes, logo:
 GVgF
c
di ⋅ρ
ρ
=⋅⋅ρ= (4.3)
Fi (N) - força de empuxo de baixo para cima sobre o corpo mergulhado; 
ρ - (kg/m3) - massa específica do líquido onde o corpo está mergulhado;
g (m/s2) - aceleração local da gravidade;
Vd (m
3) - volume de líquido deslocado pela parte do corpo mergulhada;
ρc (kg/m
3) - massa específica do material do corpo mergulhado;
G (N) - peso do corpo mergulhado.
161NÍVEL
Fig. 4. 13 - Limitadores ou chaves de nível ( CONAUT/KROHNE) e outros.
 As formas geométricas mais utilizadas para os flutuadores e suas respectivas 
expressões para o cálculo do volume armazenado estão esquematizadas na Fig. 4.14.
( )22d hR3h5236,0V +⋅⋅⋅= ; 
( )
( )












⋅⋅−−
⋅⋅−⋅⋅
++⋅
⋅=
1
222
1
1
2
22
1
d
RR6RR
hRR32
RRh5
5236,0V ; ( )Rh3R0472,1V 2d −⋅⋅⋅=
Fig. 4.14 - Geometrias usadas em captores de nível flutuadores.
162 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Na Fig. 4.15a está esquematizado o tipo clássico do sistema de medição com 
flutuador com transmissão por cabo, roldanas e contrapeso, muito usado e que per-
mite medir nível com erros de ± 1,0 (mm), dependendo das flutuações não contro-
ladas no nível do fluido no tanque e do amortecimento obtido com o tubo amorte-
cedor. Já a Fig. 4.15b esquematiza um tipo para altas pressões, usado, por exemplo, 
em caldeiras, com circuito de medida com flutuador imantado. A Fig. 4.15c mostra 
uma variante do sistema visor de nível utilizando bóia magnética, também, conhe-
cido como nível magnético, sendo particularmente adequado onde se têm gases 
ou líquidos tóxicos e perigosos, proibindo o acesso à atmosfera e, também, quando 
o perigo de falha em materiais comumente empregados em visores de nível tradi-
cionais, devido à fadiga e à corrosão, não puder ser tolerado. Neste medidor o fluido 
a ser medido fica confinado em uma câmara selada de aço inoxidável, onde uma 
bóia de aço ou de titânio, firmemente solidária a um ímã permanente, se movimenta 
livremente, atuando sobre as pastilhas magnéticas do indicador montado fora da 
câmara. Com uma movimentação da bóia, cada pastilha gira de 180o apresentando 
uma cor contrastante. Neste exemplo, as bandeiras acima da bóia irão mostrar a cor 
branca, enquanto as que estão abaixo irão mostrar a cor vermelha. Sendo assim, o 
mostrador apresenta uma indicação precisa e claramentedefinida do nível dentro da 
câmara. Outras cores também podem ser usadas a fim de indicar a ultrapassagem de 
limites. As fotos da Fig. 4.15d mostram indicadores comerciais deste tipo.
 As fotografias de Fig. 4.16 são de sistemas de medição com bóias em mode-
los comerciais bastante usados na indústria.
163NÍVEL
Fig. 4.15 - Esquemas de sistemas de medição com flutuador.
164 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 4.16 - Sistemas de medição com bóia, modelos comerciais.
165NÍVEL
 Três das muitas possibilidades para medição a distancia com captor flutuador 
está esquematizada na Fig. 4.17, no caso por tele transmissão. Igualmente, sistemas 
de transmissão por correntes portadoras e usando satélite podem ser utilizados.
Fig. 4.17 - Sistema de transmissão para leitura à distância
4.3.6. Método Direto de Sobre Pressão 
 Considerando o fundamento estabelecido em 4.3.1, que as pressões nos flui-
dos crescem linearmente com a profundidade, sendo este crescimento proporcional 
ao peso específico do fluido, com aplicação mostrada na Fig. 4.3 e os tipos de manô-
metros que serão descritos e analisados no Capítulo 4, pode-se, com eles referenciar 
e medir níveis. A Fig. 4.18 mostra a utilização deste princípio, sendo que a posição 
do nível, - h -, em qualquer caso é uma função linear de - p/γ ou ∆p/γ. Na Fig. 4.18a 
é usado um manômetro tipo Bourdon, com mostrador contendo escala que permita 
ler, no local, diretamente as posições do nível no reservatório, uma vez determinada 
a constante a. Na Fig. 4.18b é usado um transdutor diferencial de pressão, que permi-
te medir ippp −=∆ . O esquema da Fig. 4.18c é do sistema de medição utilizado para 
medir a posição do nível de sucção das turbinas hidráulicas da PCH Antas II do Depto. 
Municipal de Eletricidade de Poços de Caldas, no sul do estado de Minas Gerais. 
166 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 4.18 - Nível com manômetro Bourdon e com transdutor de pressão.
 No caso de tanques abertos, ou ainda quando existem tampas providas de 
janelas, o nível pode ser medido através de um medidor de pressão apropriado mon-
tado na parte inferior do tanque ou suspenso, como mostra a Fig. 4.19. 
 Também aqui, o nível - h -, é função linear de - p -, caso da parte superior da 
Fig. 4.19b ou da diferença - ∆p - para o caso da parte inferior, quando o tanque for 
pressurizado.
167NÍVEL
Fig. 4.19 - Sistema de medição de sobre pressão em tanques.
 As fotografias que compõem a Fig. 4.20 apresentam alguns modelos de me-
didores de nível comerciais disponíveis no mercado.
 Outro uso da sobre pressão é o manômetro hidrostático com injeção de ar, 
Fig. 4.21, o qual se fundamenta em ser a pressão de injeção de ar a uma certa profun-
didade de um liquido igual à pressão nesta profundidade, menos as perdas de carga 
desde o ponto de medida até a saída da bolha de ar injetada na superfície de nível 
de interesse mais o peso da coluna de ar correspondente. Assim, a posição do nível 
- h -, pode ser determinada pela expressão:
 bh
ap
h
ra
p 21 ⋅γ
γ
+−
γ
+
γ
= (4.4)
168 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Para que a perda de carga - hp12 - seja mínima, o volume de ar injetado deve ser 
muito pequeno, em torno de uma bolha a cada segundo. O termo b100,0b
ra
⋅≅⋅
γ
γ
 
poderá ser compensado, em parte ou no todo, pela perda de carga, dependendo do 
valor de b. 
Fig. 4.20 - Sistema de medição de sobre pressão, modelos comerciais. 
Fig. 4.21 - Esquema de medidor de nível por sobre pressão com injeção de ar, mostrando 
fotografias da purga.
169NÍVEL
 As características da instalação determinarão o que deverá ser considerado. 
Não havendo energia disponível para acionamento do compressor, poderá ser 
utilizando um gás comprimido não miscível com a água, por exemplo, nitrogênio 
engarrafado. Neste caso, um tubo de 46 (litros), uma pressão de 150 (bar), que 
corresponde, aproximadamente a 7 (m3) na pressão atmosférica, permitirá alimen-
tar um ponto de medida por 20 (dias) com uma vazão de 15 (l/h).
 Freqüentemente o sistema pode, automaticamente, liberar uma pressão 
maior que a necessária para vencer a coluna d’água, a fim de fazer uma limpeza da 
tubulação. Este processo se chama purga. As fotografias da Fig. 4.21 mostram o bor-
bulhamento em condições normais de medição a e durante a purga b.
4.4. PRINCÍPIO ELÉTRICO
4.4.1. Fundamentos
 Sensores que se baseiam em princípios elétricos lançam mão de arranjos que 
permitem variar elementos elétricos passivos, tais como resistores, capacitores e in-
dutores, em função da grandeza física que se deseja determinar ou monitorar.
 Atualmente, para a medição de nível, as tecnologias mais utilizadas se ba-
seiam na variação de resistência (condutividade) e de capacitância. Tais sistemas são 
descritos a seguir:
4.4.2. Método Capacitivo
 Se dois eletrodos condutores unidos forem mergulhados em meio isolante 
e submetidos a uma fonte de corrente alternada, eles se comportam como um ca-
pacitor onde a impedância, para uma freqüência dada, determina a intensidade da 
corrente. 
 Na sua forma mais simples, em um capacitor de placas planas, a capacitância 
depende da área das placas, da distância entre elas e da constante dielétrica do ma-
terial entre as placas. Se este capacitor for, parcialmente, mergulhado em um meio, a 
variação do nível irá provocar uma variação da capacitância. Sendo assim, um circui-
to eletrônico condicionador de sinais poderá transformar a variação de capacitância 
em variação de tensão ou corrente, facilitando as medições.
 Atualmente os sensores capacitivos têm sido largamente empregados para 
medição de nível em líquidos e sólidos na forma granular ou de pó, sendo bastante 
170 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
adequados para medição em condições extremas, tais como em metais líquidos (alta 
temperatura), gases líquidos (baixas temperaturas), líquidos corrosivos (ácidos, etc.) 
e processos de alta pressão.
 Duas versões destes medidores são usadas em função das características elé-
tricas da substância em questão. Para substâncias não condutoras, ou seja, conduti-
vidade elétrica menor que 0,1 (µS/cm3), duas placas de metal em formato cilíndrico e 
concêntrico são imersas na substância. A substância se comporta como um dielétri-
co entre as placas à medida que penetram na substância.
 Para as placas cilíndricas concêntricas da Fig. 4.22 de raios a e b, com b > a 
e altura total L, a profundidade da substância h está relacionada à capacitância pela 
seguinte expressão.
 
)1(2
2)a/b(nlC
h
o
o
−ε⋅ε⋅π⋅
ε⋅π⋅−⋅
= (4.5)
 C ( F ) - capacitância; εo (C/V.m) - permissividade ou constante dielétrica 
no vácuo; ε ( pu ) - permissividade relativa, ε > 1.
 No caso de substâncias condutoras, a mesma técnica é empregada, sendo 
a única diferença é que as placas do capacitor são revestidas por material 
isolante. A relação entre C e h na expressão (4.5) deve, desta forma, ser modificada a 
fim de considerar o efeito dielétrico do isolante.
Fig. 4. 22 - Sensor capacitivo de placas cilíndricas.
171NÍVEL
 Os sensores capacitivos encontram as mais variadas aplicações, contudo, po-
dem vir a ser imprecisos se a substância a ser medida for contaminada com outros 
agentes que venham a modificar a sua constante dielétrica. As fotos da Fig. 4.23 mos-
tram alguns instrumentos capacitivos comerciais utilizados na indústria.
Fig. 4.23 - Instrumentos elétricos capacitivos industriais
4.4.3. Método Condutivo
 Este tipo de sensor é particularmente aplicável à medição de nível em fluídos 
condutivos(condutância igual ou maior que 50 (S)), não corrosivos e sem partículas 
em suspensão.
 A sonda é formada por dois eletrodos cilíndricos, ou apenas um, quando a 
parede do reservatório for metálica. O sistema é alimentado por uma tensão alterna-
da de baixo valor em torno de ~10 (V), a fim de evitar a polarização dos eletrodos. 
Em medições contínuas, a sonda é colocada verticalmente e é tão profunda quanto 
se deseja monitorar a variação de nível. A corrente elétrica circulante é proporcional 
à parcela do eletrodo imersa no fluído condutivo.
172 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Em aplicações de medições pontuais, operação como chave e detecção de 
nível, posiciona-se a sonda horizontalmente em relação à superfície do fluído, resul-
tando em uma corrente elétrica de amplitude constante e estável, tão logo o nível 
atinja a sonda. Na fig. 4.24 estão representadas fotografias de instrumentos comer-
ciais desta linha.
Fig. 4. 24 - Instrumentos comerciais condutivos para medições pontuais.
4.5. PRINCÍPIO DA ONDA SONORA E ELETROMAGNÉTICA2
4.5.1. Fundamentos
 Os métodos que utilizam este princípio para medir níveis se fundamentam 
na reflexão da onda sonora, de freqüência entre 15 e 20 (kHz), ou ultra-sônica quan-
do esta freqüência é maior que 20 (kHz), na interface entre os dois meios.
2 Parte baseada na bibliografia Techinique de L’Ingenier – Meseures et Controle.
173NÍVEL
 Nos gases as ondas sonoras se propagam segundo a lei:
 
M
TRk
v
⋅⋅
= (4.6)
 v (m/s) - velocidade de propagação da frente da onda sonora ou celeridade;
 
v
p
c
c
k = - relação entre os calores específicos do gás a pressão e a volume 
constante, normalmente: 1,3 < k < 1,66;
R=8,314 (J/mol.K) - constante universal molar dos gases;
M (kg/mol) - massa molecular do gás.
 Aplicando esta expressão obtém-se, por exemplo, para velocidade do som 
no ar a 0 (oC), 331 (m/s); no hidrogênio, 1284 (m/s) e no hélio, 985 (m/s).
 Nos líquidos, por exemplo, na água a celeridade é da ordem de 1500 (m/s).
 Nos sólidos a celeridade varia bastante, por exemplo: no ferro e no alumínio, 
6000 (m/s); na prata e no ouro, 3500 (m/s); no chumbo e nos plásticos, 2000 (m/s) e 
na borracha, 1500 (m/s).
 Nos gases, a transformação da energia oriunda das vibrações sonoras em 
energia calorífica depende de sua intensidade. Assim, 1 (m) de ar vibrando a 45 (kHz) 
absorve o mesmo que 50 (m) de ar vibrando a 10 (kHz). A presença de CO2 e outras 
partículas em suspensão contribuem para aumentar a absorção.
 Relativamente à distância da fonte ao nível de interesse, em meio isotrópico, a 
intensidade de uma emissão sonora é decrescente, medindo, na grande maioria dos ins-
trumentos, o tempo de transito - t (s) -, entre a emissão e o retorno do som, também 
denominado eco. Conhecida a velocidade de propagação da frente da onda sonora, v 
(m/s), à distância - d (m) - entre o emissor e o nível de interesse pode ser calculada por:
 tv5,0d ⋅⋅= (4.7)
 Neste caso deve ser tomado um cuidado especial em se considerar à varia-
ção da velocidade do som no ar em função da temperatura, cuja derivada é da ordem 
de 0,607 (m/s/ºC).
 Os fenômenos da reflexão da onda sonora, base da medida, devem ser cuida-
dosamente analisados, já que a onda sonora ao encontrar a interface de dois meios 
de propriedades acústicas diferentes, reflete-se numa porcentagem que depende 
174 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
dessas propriedades. No caso, por exemplo, do ar e na água, somente, cerca de 90 
(%) da onda sonora incidente é refletida. Se as propriedades dos meios são próximas, 
caso do gelo e água ou hidrogênio e água, a porcentagem refletida e muito pequena 
o que torna bastante difícil a sua medida. Também, a estrutura da interface tem um 
papel acentuado na reflexão, já que o comprimento de onda - λ - é inversamente 
proporcional a sua freqüência - f:
 
f
v
=λ (4.8) 
 Assim, se as irregularidades na interface são de pequena monta, como é o 
caso da interface ar-líquido em equilíbrio estático, Fig. 4.25a, esta se comporta como 
um espelho, logo com alta porcentagem de reflexão. Já no caso da Fig. 4.25b os dois 
meios possuem propriedades acústicas próximas com interface não bem definida, a 
qual contem elementos dos dois meios não homogeneamente distribuídos, o feixe 
sonoro é fortemente absorvido, apresentando o feixe refletido, mesmo direcionado, 
com maiores dificuldades de ser medido.
Fig. 4.25 - Fenômenos da reflexão de feixe sonoro.
 No caso da Fig. 4.25c, a interface apresenta distribuição homogênea, porém 
a granel, o feixe sonoro se comporta como um difusor, de espectro esférico, qualquer 
que seja o ângulo de incidência, sendo pequena a parte que retorna, tornando muito 
difícil sua medida. O conhecimento destes fenômenos na escolha do sistema de me-
dida mais adequado ao caso de interesse é fundamental.
175NÍVEL
 Para reduzir estes efeitos perturbadores, normalmente os sistemas de me-
dição de nível que usam o princípio sonoro combinam o emissor e o receptor em 
uma só sonda, onde o órgão sensível é projetado para executar as duas funções.
 A Fig. 4.26 mostra, esquematicamente, a faixa de detecção que deve ser uti-
lizada para as medidas.
 A Fig. 4.27 esquematiza o comportamento do feixe sonoro sem e com a pre-
sença de ruído oriundo de partículas em suspensão ou interface não bem definida, 
mostrando a redução da amplitude, resultando em maiores dificuldades e precisão 
na medida.
 
Fig. 4.26 - Distâncias entre emissão e 
recepção.
Fig. 4.27 - Comportamento de feixe sonoro.
4.5.2. Métodos Usando Ultra-som Extrusivo ou Intrusivo
 Tanto no método extrusivo, quando a sonda não tem contato direto com o 
meio ou como no intrusivo, quando este contato existe, o emissor é constituído 
por um cristal ou uma cerâmica piezoelétrica vibrante com um eixo que coincide 
com a direção de medida, Fig. 4.28.
176 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 4.28 - Tipos de emissores acústicos.
 Para evitar corrosão o cristal não deve estar em contato direto com o meio de 
medida, motivo pelo qual deve ser protegido por um material não absorvente sepa-
rado do cristal por uma lâmina líquida de espessura correspondente a um quarto da 
onda que realiza o acoplamento acústico.
 Vários materiais podem ser utilizados, sendo os aços inoxidáveis os de maior uso.
4.5.3. Método Usando Ultra-som com Emissor e Receptor Separados
 Este método é usado em controle para detecção de nível, estando o emissor 
e o receptor separados, conforme é mostrado nos esquemas que compõem a Fig. 
4.29, onde a reflexão do feixe sonoro emitido e captado pelo receptor até que encon-
tra o nível de interesse, quando deixa de ser captado.
Fig. 4.29 - Sistemas de controle de nível com emissor e receptor separados
 
177NÍVEL
 A grande vantagem deste método é que não há qualquer contato do emis-
sor e do receptor com o meio, porém as paredes que contêm o meio devem ser de 
materiais de baixa permissividade, tais como vidro, madeira, papelão e outros que 
são atravessados pelo feixe sonoro com baixo amortecimento.
 Assim, por exemplo, uma placa de vidro com pouco chumbo, de 7 (mm) de 
espessura reduz a intensidade do feixe à metade, o mesmo acontecendo com uma 
de madeira seca de 200 (mm) de espessura.
 Uma outra filosofia de sensor ultra-sônico de nível de operação como chave, 
monitora a velocidade do som em um pequeno gap. A presença de fluído altera o 
tempode trânsito da onda sonora neste gap, indicando que o nível foi atingido. A 
Fig. 4.30 mostra chaves de nível ultra-sônicas.
Fig. 4.30 - Chaves de nível ultra-sônicas.
4.5.4. Instrumentação Comercial
 A Fig. 4.31 apresenta esquemas de instalação em campo e medição de nível 
de diversos elementos. 
 Um outro método lança mão da variação das freqüências enviada e recebida 
para se obter o nível.
178 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 4. 31 - Esquemas de instalação em campo e medição de nível de diversos elementos.
 Neste caso, a influência da temperatura fica praticamente anulada. A Fig. 4.32 
ilustra este método e mostra os instrumentos correspondentes.
Fig. 4.32 - Método sonoro com freqüência variável.
 Em sistemas alternativos, a fonte ultra-sônica é colocada no fundo do tanque 
e o tempo de trânsito entre a emissão e reflexão da superfície do líquido e retorno 
ao fundo é medida. Tal técnica é particularmente interessante quando se deseja de-
terminar a interface (transição) entre líquidos imiscíveis ou líquido-precipitados. No 
mercado são encontrados vários modelos de medidores de nível por ultra-som. A 
Fig. 4.33 apresenta alguns destes modelos.
179NÍVEL
Fig. 4.33 - Sistemas alternativos comerciais.
4.5.5. Método Usando Microondas com Emissor e Receptor Combinados 
–Radar
4.5.5.1. Sem Guia de Onda
 O esquema, superior à esquerda, da Fig. 4.34 apresenta uma solução que 
oferece grande estabilidade de medida, não estando a velocidade de propagação 
das microondas sensíveis nem à temperatura nem à composição química da atmos-
fera atravessada. Para obtenção de uma resolução da ordem de 1 (mm), a freqüência 
deve ser superior a 100 (GHz).
Fig. 4.34 - Radar sem guia de onda, esquema e fotografias.
180 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Além disso, sua implantação é fácil e a transmissão dos dados pode ser 
feita, por exemplo, por telemetria ou por satélite. Este sistema tem sido muito usado 
para determinação de níveis de reservatórios, permitindo uma resolução de 1,0 (mm) 
com erro de linearidade em torno de ± 2,0 (mm), entre 40 a 70 (oC).
4.5.5.2. Com Guia de Onda
 Os medidores de nível baseados em radares com guia de onda são projeta-
dos para medição contínua de nível de sólidos, granulados ou pó. A tecnologia de 
onda guiada garante uma medição confiável em ambientes hostis a outras tecnolo-
gias, Fig. 4.35.
Fig. 4.35 - Medição de nível utilizando radar com guia de onda.
 O princípio operativo se baseia em um pulso de microonda que percorre o 
comprimento de um cabo de aço inoxidável. Esta onda viaja em um campo de apro-
ximadamente 50 (cm) de diâmetro em torno do cabo. Quando o pulso alcança o 
material, há uma reflexão e o pulso retorna pelo cabo do sensor.
 Uma vez que esta é uma medida de contato, o pulso é refletido em conta-
to com qualquer material. A densidade, condutividade e a constante dielétrica do 
material irão determinar a proporção com que à energia da microonda é refletida 
de volta ao cursor. O tempo de trânsito do pulso é medido e usado para calcular a 
181NÍVEL
distância do produto à superfície. Este tempo não é alterado pela presença de poeira, 
mudanças na temperatura, pressão ou dimensão das partículas.
 Tal sistema tem sido aplicado com sucesso em indústrias de processamento 
de cimento, areia, plásticos, grãos, detergentes e produtos em pó em geral. Grandes 
quantidades de poeira, formação de vapor e turbulência são totalmente insensíveis 
ao medidor.
 Como não há partes móveis, não há necessidade de manutenção freqüente 
ou de calibração durante a sua vida útil. A Fig. 4.36 apresenta alguns modelos comer-
ciais deste medidor.
Fig. 4.36 - Fotografias de medidores comerciais que utilizam radar com guia de onda.
4.6. PRINCÍPIO ÓPTICO
4.6.1. Fundamentos
 Os fundamentos dos métodos de medição que utilizam o princípio óptico 
são as leis da óptica, a seguir:
182 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
• Os raios incidente, refletido e refratado em um meio estão contidos em um mes-
mo plano vertical.
• Os ângulos de incidência e de reflexão são iguais em relação à perpendicular à 
superfície de separação dos meios contida no plano vertical.
• Os ângulos de incidência e de refração obedecem a seguinte igualdade:
 
1
2
r
i
i
i
sen
sen
=
θ
θ (4.9)
θi - ângulo de incidência; θr - ângulo de refração; i1 - índice de refração do meio da 
incidência; i2 - índice de refração do meio da refração.
 Assim, um feixe luminoso de comprimento de onda entre o infravermelho, 
e o ultravioleta, quando encontra um meio diferente do meio da emissão, podendo 
ser interrompido, desviado, refletido, refratado, atenuado ou difundido, poderá, ob-
servado as leis da óptica, ser usado para determinar níveis de líquidos ou de sólidos 
a granel. Considerando que o portador é um feixe luminoso, a claridade do local, por 
exemplo, a luz do dia de largo espectro é um fator a ser considerado, motivo pelo 
qual a fonte emissora deve ser modulada a uma freqüência fixa diferente da freqü-
ência da rede e o receptor estarem munidos de filtro em que a banda passante esta 
centrada nesta freqüência.
 As fontes emissivas mais utilizadas para pequenas distâncias são os diodos 
emissores de energia - LED - que cobrem toda a faixa entre a visível e o infraverme-
lho, são de manuseio simples, confiáveis, de baixo custo, porém de baixa potência. 
Como detectores, são bastante usadas as fotos resistências, os fotos diodos e os fotos 
transistores devido à simplicidade, confiabilidade operacional e elevadas sensibili-
dades apresentadas. No caso de ser necessário maior potência, podem ser utilizadas 
como fonte emissiva às lâmpadas de deutério, de mercúrio, de mercúrio e fósforo 
(ultravioleta), halógenas, de tungstênio (infravermelho) e laser. 
4.6.2. Método da Reflexão
 O método da reflexão pode ser utilizado para determinar o posicionamento 
de níveis de líquidos e sólidos. A Fig. 4.37a, mostra, esquematicamente, como pode 
ser utilizado este fundamento para determinar o posicionamento de níveis de um 
líquido. Considerando o esquema à direita da Fig. 4.37b, fixado o ângulo - θo -, obtido 
por calibração os valores de: a; b; θ; h0, determina-se a posição - h - do nível em fun-
ção da medida - x -, conforme segue:
183NÍVEL
 ( )
hanesx
socxgthhb5,0
FD
BD
ha
b5,0 0
0 ++θ⋅
θ⋅−θ⋅−+⋅
==
+
⋅ , o que resulta:
 
( ) ( )
( )
( )
( ) xgthab5,0
senb5,0cosha
gthab5,0
ab5,0gtb5,0ha
h
0
0
0
0 ⋅
θ⋅++⋅
θ⋅⋅+θ⋅+
−
θ⋅++⋅
⋅⋅−θ+⋅⋅+
= ou
 xBAh ⋅−= (4.10) 
Fig. 4.37 - Medição de nível por reflexão.
4.6.3. Método da Refração
 Entre os métodos que usam a refração, o do prisma cônico reto é um sistema 
de detecção de nível tecnologicamente desenvolvido e muito usado na indústria. 
 A Fig. 4.38, em esquema, mostra o princípio em que o raio emitido pela fonte 
E é refletido no interior do prisma alcançando o receptor R, no caso do prisma estar 
no meio i1, Fig. 4.38a. 
Fig. 4.38 - Método refração com captor de prisma cônico reto.
184 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Penetrando o prisma no meio i2, o raio emitido por E deixa de ser captado 
por R quando alcançar o nível de referência, Fig. 4.38b, determinando sua posição. 
A Fig. 4.38c mostra montagem de detectores de nível com captor cônico reto e os 
ângulos máximos possíveis de inclinação. Este método, desde que adequadamente 
calibrado e instalado permite exatidão da ordem de 0,1 (mm).
4.6.4. Método da Fibra Ótica
 As fibras óticas podem, simplesmente,ser utilizadas como condutoras de 
energia luminosa entre uma fonte e um receptor de um sistema óptico clássico para 
detecção ou medição de nível operando em um meio agressivo ou para resolver 
problemas de alinhamento, já que a luz confinada não se dissipa.
 Podem, também, associadas com microprismas fazer parte de um sistema 
de medição de níveis, com resolução da ordem de 0,1 (mm), conforme mostra os 
esquemas da Fig. 4.39.
 Fig. 4.39 - Captores de nível utilizando fibra ótica. 
4.6.5. Método Laser
 O laser é um feixe óptico cujo comprimento de onda se situa na faixa da luz 
visível ou do infravermelho, direcionado, potente, de luminosidade coerente, pola-
rizado e de comprimento de onda preciso que pode, dentro de certos limites, ser 
utilizado para detectar ou medir níveis de líquidos e sólidos a granel, mesmo sendo 
o meio corrosivo. 
 A Fig. 4.40a mostra a possibilidade de utilização de laser para medição com gran-
de exatidão, em torno de 0,01 (mm), desde que as alturas não ultrapassem 10 (cm). 
185NÍVEL
Fig. 4.40 - Sistemas de medida ou detecção de nível usando laser.
 Para medição, por exemplo, de nível de metal fundido, onde o contato não é 
possível, pode ser utilizado o sistema esquematizado na Fig. 4.40b. Já para sólidos, o 
esquema da Fig. 4.40c pode ser utilizado com vantagem, já que apresenta exatidão 
da ordem de centímetro, sendo o sinal de saída continuo. Assim, pode ser utilizado 
em qualquer altitude, o que é muito indicado para levantamentos topográficos utili-
zando aeronaves. Sua maior desvantagem é custo elevado de aquisição.
 4.7. PRINCÍPIO DE RADIAÇÃO3
4.7.1. Fundamentos - Comentários
 Os sistemas à radiação para medição de níveis de sólidos a granel e líquidos 
utilizam os raios γ emitidos por fontes radioativas, normalmente de Cobalto 60, Cé-
sio 137, e menos freqüentemente, Amerício 241. 
 Estas fontes radioativas são constituídas por um par de elementos de massas 
suscetíveis de se desintegrar gerando raios γ que nada mais são do que fótons de 
elevada energia. Cada um destes N núcleos radioativos possui uma probabilidade 
λ.dt de se desintegrar no intervalo de tempo dt, sendo - λ (s-1) - a constante de de-
sintegração do rádio elemento, que corresponde à probabilidade de desintegração, 
por unidade de tempo, de um radio isótopo dado.
 Estatisticamente, λ.N.dt núcleos se desintegram no tempo dt. Ao produto 
λ.N denomina-se atividade e exprime em Curie (Ci) o correspondente a 37.109 de-
sintegrações por segundo, sendo que em unidade legal, uma desintegração por 
segundo é igual a um Becquerel (Bq).
3 Parte baseada na bibliografia Techinique de L’Ingenier – Mesure et Controle.
186 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 A massa, em gramas, de uma fonte radioativa não é indicativo de sua ati-
vidade em Ci, já que esta é proporcional, em cada instante - t (s) -, ao número de 
núcleos radioativos restantes capazes de se desintegrar.
 tdNNd ⋅⋅λ−= (4.11)
 Uma lei decrescente exponencial exprime a radioatividade residual decorri-
dos o tempo - t (s).
 )t(pxeNN 0 ⋅λ−⋅= (4.12)
N (fótons/s) - número de núcleos radiativos residual, número de fótons emergentes 
ou intensidade do fluxo de fótons emergentes;
N0 (fótons/s) - número inicial de núcleos radioativos na fonte no instante t0, número 
de fótons incidentes ou intensidade do fluxo de fótons incidentes.
 No intervalo de tempo - t1/2 (s) - além do qual o número de núcleos radio-
ativos fica reduzido à metade, denomina-se período ou vida média, podendo ser 
expresso por:
 
λ
=
396,0
t 2/1 (4.13)
 Outra maneira de calcular a atividade residual de uma fonte é em função 
do número de meses - tx=tm - para o Cobalto 60 ou anos - tx=ta - para o Césio 137, 
escoados desde o inicio, logo:
 xt0 ANN ⋅= (4.14)
 A Tab. 4.2 contem características destes elementos radioativos.
Tab. 4.2 - Características de Radioisótopos 
Elemento
A λ t1/2 Energia
meses anos s-1 anos MeV
Cobalto 60 0,99 0,87 4,1⋅109 5,36 1,332 ou 1,173
Césio 137 - 0.98 7,32 30 0,662
187NÍVEL
 Conforme apresentado na Tab. 4.2, o Cobalto 60, elemento radioativo muito 
utilizado para medição de níveis, possuí um período em torno de 5 anos, o que obri-
ga ter em conta o decréscimo radioativo nos equipamentos, impondo troca da fonte 
neste intervalo. Já o Césio 137, neste aspecto, apresenta vantagem de ter um período 
de 30 anos, enquanto que o Amerício, pouco utilizado, tem período de 433 anos.
 Sob aspecto energético, os fótons oriundos da desintegração, não possuem, 
necessariamente, a mesma energia, sendo denominados os mais penetrantes de fó-
tons duros e o menos de fótons moles. 
 A energia dos fótons é expressa em eletrovolts - eV -, ou mais freqüente-
mente, no campo das medidas de níveis, em mega eletrovolts - MeV. Assim, a ener-
gia de uma fonte de Cobalto 60, por exemplo, é de 1,33 (MeV), radiação relativamen-
te penetrante, porém como produz radiação induzida, em alguns casos não pode 
ser utilizada, como ocorre com produtos alimentares. Se a fonte for de Césio 137 a 
energia é bem menor, em torno de 0,66 (MeV), logo menor penetração, porém com 
mais contraste, o que é bastante importante em certas aplicações. 
 O contraste é um fator importante a ser considerado no dimensionamen-
to das fontes e na escolha do radioisótopo, já que relaciona o fluxo de fótons que 
chegam ao detector antes da interposição do meio de controle com os que chegam 
depois. Tal relação, o contraste, deve estar em torno de 2 para o detector do tipo 
Geiger- Müller, isto é aproximadamente metade da espessura do meio. Assim, se a 
espessura do meio for reduzida o contraste diminui, o que obriga a aumentar a sen-
sibilidade do detector.
 Ainda, com relação à energia, o Amerício 241, com somente 0,06 (MeV), tem 
seu emprego limitado à medida de níveis onde a camada a ser atravessada é de pe-
quena espessura.
 A Fig. 4.41, mostra, esquematicamente, como um feixe de fótons γ se com-
porta quando encontra um corpo de espessura L (cm).
 O número de fótons emergentes pode ser obtido em função do coeficiente 
de atenuação - µ (cm-1) -, conforme segue:
 )L(pxeNNxdNNd 0 ⋅µ−⋅=⇒⋅⋅µ−= (4.15) 
188 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 4.41 - Comportamento de feixe de fótons.
 O coeficiente de atenuação µ, que depende da densidade do corpo, logo 
considera os fenômenos de absorção e difusão inerentes ao mesmo, exprimindo a 
probabilidade de interação dos fótons com o corpo a ser atravessado, sendo, em 
princípio, proporcional ao seu volume específico, o qual depende da natureza do 
radioisótopo que constitui a fonte. 
 A denominada meia espessura do corpo - L1/2 -, pode ser determinada pela 
expressão:
 
µ
=
396,0
L 2/1 (4.16)
 A Tab. 4.3. fornece meia espessura de materiais de corpos mais utilizados 
quando recebem radiação oriunda de Cobalto 60 e de Césio 137.
 Com os valores desta tabela pode-se calcular a radiação emergente de uma 
seqüência de anteparos através da seguinte expressão:
 
...
AE
AE
ECh
ECh
0
005,0NN
++
⋅= (4.17)
ECh - espessura efetiva de chumbo; ECh0 - espessura de chumbo submetido a uma 
radiação de cobalto;EA e EA0 - idem, idem de aço e assim por diante.
 Em meio homogêneo, a emissão de uma sonda é isentrópica, abrangendo a 
totalidade das direções um ângulo sólido de 4π esferorradianos (sr)4.
4 Ângulo sólido que tem seu vértice no centro de uma esfera, estabelecendo na superfície desta, uma 
área igual à de um quadrado de lado igual ao raio da esfera.
189NÍVEL
 As fontes utilizam somente um ângulo sólido útil - Ω -, Fig. 4.42, estabelecido por:
 
2d
S
=Ω e )Acos1(2 −⋅π⋅=Ω (4.18)
 S (cm2) - superfície útil do detector; d (cm) - distância até a fonte ao detector 
A (o) - ângulo médio.
Tab. 4.3 - Meia espessura de Materiais
Material
ρ L1/2 Cobalto 60 L1/2 Césio 137
kg/m3 mm mm
Ácido clorídrico 25 % 1120 115 85
Aço 7890 15 12
Água 1000 120 90
Alcatrão 1200 95 70
Alvenaria comum 1500 a 1700 80 a 75 60
Alumínio 2700 45 35
Amianto 1070 a 1460 120 a 85 90 a 62
Amoníaco 900 140 100
Cal 2300 a 3200 55 a 35 40 a 25
Carvão bruto 1300 a 1500 95 a 80 70 a 60
Carvão em pó 780 150 110
Chumbo 11340 12 9
Cimento moído 1100 a 1400 110 a 90 80 a 65
Cimento em pelota 1800 70 50
Cobre 8900 14 10
Concreto 2400 55 40
Ferro fundido 7200 17 13
Fuligem 80 1600 1200
Gás liqüefeito - propano 1560 80 60
Isopor 20 6000 4400
Lã de rocha 80 1600 1200
Lã de vidro 50 2500 1800
Látex 970 120 90
Madeira em tora seca 150 a 270 80 a 460 500 a 335
Madeira beneficiada seca 50 a 150 2500 a 850 1825 a 620
Plástico granulado 400 300 220
PVC granulado 750 165 120
Saibro úmido 1900 a 2100 65 a 60 50 a 45
Saibro seco 1400 a 1600 90 a 76 65 a 55
Teflon 2200 60 45
Vidro 2500 50 35
190 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 4.42 - Ângulo sólido
 Duas são as limitações práticas do feixe radiante:
• Compatibilidade entre a fonte e a superfície de nível de interesse com o feixe 
colimador.
• Tamanho da superfície eficaz do refletor de radiação.
 Em geral o feixe é muito estreito e só uma pequena parte da potência da 
fonte é utilizada.
 No que se refere à precisão estatística de uma emissão de fótons γ. dentro de 
um ângulo sólido estabelecido, esta segue a lei das probabilidades, isto é; o número 
de fótons emitidos em um intervalo de tempo fixado está sujeito a flutuações, logo 
aumentando o número de fótons que o detector é capaz de receber, a média esta-
tística apresentará uma regularidade crescente, uma vez que a precisão estatística é 
dada por:
 
N
1
N
N
N
e
p === (4.19)
 Assim, se o detector pode receber 100 fótons, a precisão será da ordem de 
0,1 enquanto se puder registrar 106 fótons a precisão aumentará para 0,001.
4.7.2. Fontes
 Salvo a pouca instrumentação já industrializada que usa a radiação, em prin-
cípio, para cada aplicação deve ser estudada, calculada, projetada e construída uma 
fonte, a qual deve observar a seguinte equação:
191NÍVEL
 t5,05,0
d
S
NN o00
x ME
ME
...
AE
AE
ECh
ECh
t
20
⋅⋅⋅=
+++
 (4.20)
• N - número de impulsos que chegam ao contador no tempo - t (s) -, número este 
que deve ser elevado para que se tenha uma boa precisão estatística e que possa 
ser obtido decorrido muitos segundos, isto é ter o contador um bom tempo de 
resposta.
• N0 (Bq) - atividade inicial da fonte, cujo valor deve ser fixado em cada caso.
• 
2d
S (sr) - valor do ângulo sólido, sendo S a superfície efetiva do contador e d à 
distância fonte - detector.
• O terceiro termo representa a atenuação devida ao decréscimo da atividade da 
fonte tx em meses ou anos, pela absorção nos diversos filtros intercalados no 
percurso do feixe, ECh; ECh0; EA; EA0; ..., que são a espessura real e a metade da 
espessura dos filtros.
 Estes três primeiros termos e o tempo de integração são constantes, inde-
pendentes do nível a ser medido.
 O quarto termo calcula a absorção nos meios líquidos ou sólidos a granel de 
interesse, sendo EM e EM0, respectivamente, a espessura e a metade da espessura do 
meio a ser controlado. É importante constatar que este termo é paramétrico, depen-
dente do nível de interesse e da taxa de impulsos que chega ao detector.
 Para aumentar a precisão, os fabricantes deste tipo de instrumento têm pro-
curado desenvolver tecnologias que permitam: 
• Aumentar a potência da fonte até os limites radioativos permitidos pela legisla-
ção, encapsulando-a com uma liga de aço e chumbo de uma dezena de centíme-
tros, de massa específica 11300 (kg/m3) e geometria esférica conforme mostra o 
esquema da Fig. 4.43. 
• Aumentar o tempo de resposta da contagem dos fótons que chegam a detec-
tor.
• Por questões de segurança fisiológica, colocar a fonte em envoltório cilíndrico de 
aço inoxidável, o qual é fixado ao reservatório, sendo suas paredes mais um filtro 
para as radiações, Fig. 4.44. 
192 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 4.43 - Fonte com envoltório esférico. Fig.4.44 - Instalação da sonda em tanque
4.7.3. Detectores
 No que se refere aos detectores, são utilizados os seguintes tipos:
• Contador de Geiger-Müller, constituído por um tubo de vidro, hermeticamen-
te fechado, cheio de um gás raro, contendo um cátodo de fio metálico espiralado 
e um ânodo de fio metálico distendido. Entre estes dois elementos mantém-se 
uma tensão de algumas centenas de volts. Se um fóton γ entra em interação com 
os átomos do gás, surge, localmente um par de íons capazes de serem atraídos 
cada um na direção de um dos eletrodos, provocando uma diferença de poten-
cial e uma nuvem de elétrons secundários. Assim, decorridos alguns segundos, 
aparece um impulso elétrico, imagem do fóton incidente. Os impulsos amplifi-
cados são levados a um contador que emite um sinal proporcional à freqüência 
recebida. Este tipo de detector, de grande robustez, é o detector mais utilizado 
para medidas discretas e algumas vezes em medidas contínuas 
• Câmara de ionização, identicamente ao contador Geiger-Müller, este detector 
possui dois eletrodos, um central e outro que é o próprio invólucro, responsável 
pela capacidade de medição. O gás utilizado é o Argônio a pressões de até 150 
(bar). Estas características objetivam aumentar a probabilidade de encontrar os 
fótons contidos nos átomos de gás, resultando maior sensibilidade e precisão. A 
dificuldade está em ser construída à câmara perfeitamente estanque a tão altas 
pressões do gás, devendo a mesma ser traspassada pelo eletrodo, originando 
uma região de difícil vedação. 
• Detector à cintilação, constituído por sólido transparente, por exemplo, liga de 
193NÍVEL
iodeto de sódio e titânio, no qual os fótons γ penetram e são absorvidos dan-
do origem a fótons luminosos, a cintilação. A medida desta fraca luminosidade 
é feita por um fotomultiplicador e os impulsos de alguns nano segundos, 1,0 
(nano segundo = 10-9 segundos), por sistema eletrônico adequado. A grande 
vantagem dos cintiladores está nas suas geometrias e dimensões que podem 
ser as mais diversas. De maneira geral, o detector à cintilação é muito sensível e 
permite operar em medidas contínuas, com uma melhor precisão geométrica, já 
que é possível alinhar o feixe de fótons direncionando-os para uma fresta bas-
tante estreita. Sua principal desvantagem está em ser seu custo bem maior que 
os demais. 
 Um detector deve atender às características determinantes:
• Taxas de impulsão - impulsos/segundo - admissíveis em serviço normal;
• Taxa de saturação do instrumento - impulsos/segundo;
• Sensibilidade à energia da radiação - (radianos/segundo);
• Dimensão eficaz do detector que atenda a geometria do feixe de medida;
• Constante de tempo - segundos - adequada.
4.7.4. Sistemade Controle de Nível
 Quando o problema é controlar um determinado nível isto pode ser feito 
com segurança por:
• Ocultação do feixe de fótons, em parte ou no todo, conforme esquematizado 
na Fig. 4.45, o que provoca uma variação , ainda possível de ser captada pelo 
detector, normalmente, contador Geiger-Müller. 
 
 Fig. 4.45 - Ocultação do feixe de fótons.
194 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Pode, também, o fluxo de fótons serem interceptado por uma interface en-
tre dois líquidos de densidades diferentes, devendo o cálculo do contraste ser efetu-
ado com cuidado. A precisão, neste caso, é da ordem de alguns centímetros, 
podendo ser aumentada empregando-se um sintetizador com fendas horizontais 
muito próximas.
• Radiodifusão, quando o controle do nível é feito com espalhamento do feixe de 
fótons, o que exige a utilização de um detector de alta sensibilidade de cintila-
ção o qual vai atuar em área de interesse que contém o nível.
4.7.5. Medição Contínua de Níveis
 Para medidas contínuas de níveis os sistemas mais utilizados são:
• Uma fonte e uma série de tubos Geiger-Müller, sistema que permite medidas 
quase contínuas e fundamentalmente não lineares dos níveis, já que à distância 
d da equação (4.20) vária com o nível a ser medido do material oculto pela série 
de contadores. O ângulo de abertura α, Fig. 4.46, da fenda do detector está limi-
tado, praticamente, a 45o, o que não permite boa precisão na medida. O sistema 
pode ser linearizado eletronicamente, de modo que o decréscimo da atividade 
da fonte se traduz por uma elevação artificial do nível. Caso um dos tubos Gei-
ger-Müller não atue, fato que pode ocorrer naturalmente, o nível medido é maior 
que o real. Para melhorar a linearidade ou obter melhor relação distância/altura, 
pode-se utilizar várias fontes.
 Fig. 4.46 - Medição quase contínua de níveis
195NÍVEL
• Fonte pontual ou linear e um contador de câmara de ionização linear, que 
constitui um aperfeiçoamento do sistema anterior, já que a câmara de ionização 
melhora as características de linearidade e de sensibilidade, Fig. 4.47. O uso de 
várias sondas dispostas em altura ou série de sondas pode melhorar sensivel-
mente a linearização. A variação de nível possível de ser controlada pode chegar 
a 6,0 (m). 
• Fonte linear pontual e contador a cintilização pontual. O sistema está esque-
matizado na Fig. 4.48, sendo a fonte constituída por um fio de cobalto radioativo 
enrolado em um núcleo de aço inoxidável. A técnica consiste em reduzir o passo 
do enrolamento na parte mais baixa, de modo a compensar a não linearidade, 
podendo assim, ser aumentado o ângulo da radiação e com isto usar um só con-
tador com bons resultados. Também aqui, o nível pode ter uma variação de até 
6,0 (m).
 Fig. 4.47 - Medida contínua com fonte 
pontual e contador de câmara de ioniza-
ção linear
Fig. 4.48 - Medida contínua com fonte pon-
tual e contador à cintilação pontual
• Fonte pontual ou linear e um contador à cintilação linear. Neste caso, em 
condições perfeitamente lineares, o cintilador pode medir até 6 (m), constituin-
do uma das melhores soluções possíveis, Fig. 4.49
196 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 
Fig. 4.49 - Esquemas para medições continuas com uma fonte e um detector à cintilação linear.
• Fonte pontual ou linear e contador que recebe feixe vertical, conforme é 
mostrado no esquema da Fig. 4.50 para medição pela espessura H das camadas. 
A extensão da medida está, praticamente limitada pela meia espessura do meio 
a ser controlado. A resposta é expontânea, necessitando de linearização. Este 
método é pouco empregado, apesar de poder apresentar grande precisão 
para pequenas alturas.
Fig. 4.50 - Esquema para medida com camada.
• Sensores radiométricos, baseados na diminuição da penetração dos raios gama 
em uma camada de líquido ou de sólido, à medida que esta camada aumenta, 
sendo, o sistema, constituído, Fig. 4.51, de um emissor radio-ativo a e de um 
receptor de radiação b, denominado célula de ionização. 
4.7.6 Sistemas Comerciais
Os sistemas de controle e medição de níveis 
utilizando a radiação, já descritos, são desenvol-
vi- dos observando características e necessidades 
de cada caso, entretanto alguns componentes já se 
encontram industrializados, podendo ser utilizados 
diretamente ou adaptados ao sistema de interesse, 
como é o caso dos contadores de Geiger-Müller e 
entre outros os seguintes:
197NÍVEL
Fig. 4.51 - Fotografia dos componentes de sistema radiométrico
 Uma das principais vantagens deste tipo de medidor é que tanto o emissor 
como o recep- tor não precisam entrar em contato com o material a ser medido, 
podendo serem insta- lados fora do tanque, tornan- do possível a medição de ní- 
vel em condições adversas ou extremas, tais como: altas temperaturas, líquidos 
infla- máveis, recipientes fechados e outros. Nesta concepção o emissor é instalado 
na parte superior do tanque e o receptor na parte inferior, externamente ao tanque.
 Na Fig. 4.52 estão representados exemplos de instalações para líquidos 
e sólidos. A fonte emite raios gama, empregando, normalmente, o Cobalto 60 ou o 
Césio 137. Além da medição contínua de nível, Fig. 4.52a, uma outra configuração 
consiste na instalação de ambos, emissor e receptor, no nível mínimo ou nível máxi-
mo, quando o sistema começa a operar como chave de nível, Fig. 4.52b.
Fig. 4.52 - Exemplo de instalações para líquido e sólido
198 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 É importante ressaltar que a comercialização deste sistema implica na obser-
vância da regulamentação de segurança quanto ao uso de elementos radioativos.
4.8. PRINCÍPIO DA VIBRAÇÃO
4.8.1. Fundamentos - Comentários
 Uma haste ou duas laminas metálicas engastadas formando um diapasão, 
quando excitadas piezoeletricamente podem vibrar com freqüência de ressonância 
de centenas de Hertz. Tais sistemas vibrantes, quando encontram um meio de carac-
terísticas físicas ou químicas diferentes têm sua freqüência alterada, servindo, por-
tanto, para controlar níveis de líquidos e sólidos a granel. Na Fig. 4.53 são apresenta-
dos esquemas dos dois tipos, industrializados, os quais, normalmente, são utilizados 
em meios com temperatura na faixa de -20 a + 80 (oC), pressão máxima de 6,0 (bar), 
resultando tempos de respostas, em torno de 2 segundos.
Fig. 4.53 - Sistemas vibratórios.
 No caso de líquidos, sistemas de lâminas simétricas especiais podem ser pro-
jetados e construídos para atuarem em meios na faixa de temperatura de 40 a 
+200 (oC), pressão máxima de 25 (bar), viscosidade cinemática até 1,0 (m2/s) e massa 
específica mínima de 700 (kg/m3).
199NÍVEL
4.8.2. Sistemas Comerciais
 Na Fig. 4.54 são apresentados alguns modelos comerciais deste tipo detector 
e/ou controlador de nível.
Fig. 4.54 - Modelos comerciais de detectores de nível vibratórios.
4.9. PRINCÍPIO TÉRMICO
4.9.1. Fundamentos
 Os sensores de nível por dispersão térmica baseiam-se nos princípios da Ter-
modinâmica e da Transferência de Calor. 
 Assim, seja na Fig. 4.55, uma cápsula de superfície S, contendo em seu inte-
rior uma resistência R, submetida a uma corrente elétrica I, posicionada, verticalmen-
te no interior de um fluido de temperatura Tm, a qual transmite ao fluido com nível 
em a, através da superfície, S, da sonda de coeficiente de transmissão de calor, k, a 
energia calorífica Qa, calculada por:
200 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
)TT(SkIRQ mS
2 −⋅⋅=⋅= ou: 
Sk
IR
Sk
Q
T)TT(
2
mSmS ⋅
⋅
=
⋅
=∆=− (4.21)
 As variáveis com a posição do nível são Q, I e 
S. Para o nível em a, a resistência transmiteQa, através 
de toda a superfície da sonda, S=Sa, sendo a corrente 
elétrica Ia. Para o nível na posição b tem-se: Qb, Sa e Ia, 
logo, pode ser estabelecida uma correspondência entre 
as posições do nível e a corrente elétrica I. Para que este 
fundamento possa ser utilizado para detectar, controlar 
ou medir níveis com exatidão controlada, deve ser ob-
servado:
• Baixa energia térmica, para que pequena variação 
de nível provoque dissipação térmica possível de 
ser medida pela corrente elétrica. 
• Utilizar materiais bons condutores, que tenham elevado coeficiente de transmis-
são de calor k, tais como a platina e o níquel.
• Aumentar a superfície de transmissão S, utilizando, por exemplo, aletas.
 Na Fig. 4.56 os fundamentos são aplicados em uma sonda de dois resistores 
termosensíveis - RTD. 
Fig. 4.56 - Esquemas de sondas térmicas para níveis.
 Um RTD é tomado como referência e mede a temperatura do ambiente onde 
a sonda está imersa, enquanto o segundo é semi-aquecido a uma potência constan-
te. Sendo assim, em um ambiente seco, existirá uma diferença de temperatura entre 
os dois sensores.
 Este sensor pode ser usado como chave de nível ou como chave de fluxo. Na 
operação como chave, quando a sonda estiver em contato com o fluído, haverá uma 
absorção de calor do RTD aquecido, resultando em um efeito refrigerante fazendo 
com que a diferença de temperatura entre os dois RTDs diminua fornecendo uma in-
dicação de nível. Na operação como chave de fluxo a sonda estará permanentemen-
te imersa no fluído. A diferença é que, a troca de calor com o fluído, é maior quando 
este está em movimento. Sendo assim, a mesma sonda poderá ser empregada, 
desde que o valor de seu set-point seja ajustado, controlando-se a sensibilidade 
do RTD que mede a temperatura ambiente.
 Na Fig. 4.57 os fundamentos foram utilizados com duas resistências forman-
do uma espécie de termopar, uma para aquecimento e outra para medida, sistema, 
este, que permite medições em poucos segundos com exatidão da ordem de 1 (%).
 Fig. 4.57 - Sistema térmico com resistências formando termopar.
4.9.2. Sistemas Comerciais
 Fotografias de alguns tipos de sistemas comerciais que utilizam o princípio 
térmico estão apresentadas na Fig. 4.58.
Fig. 4.55 - Princípio térmico.
201NÍVEL
 Este sensor pode ser usado como chave de nível ou como chave de fluxo. Na 
operação como chave, quando a sonda estiver em contato com o fluído, haverá uma 
absorção de calor do RTD aquecido, resultando em um efeito refrigerante fazendo 
com que a diferença de temperatura entre os dois RTDs diminua fornecendo uma in-
dicação de nível. Na operação como chave de fluxo a sonda estará permanentemen-
te imersa no fluído. A diferença é que, a troca de calor com o fluído, é maior quando 
este está em movimento. Sendo assim, a mesma sonda poderá ser empregada, 
desde que o valor de seu set-point seja ajustado, controlando-se a sensibilidade 
do RTD que mede a temperatura ambiente.
 Na Fig. 4.57 os fundamentos foram utilizados com duas resistências forman-
do uma espécie de termopar, uma para aquecimento e outra para medida, sistema, 
este, que permite medições em poucos segundos com exatidão da ordem de 1 (%).
 Fig. 4.57 - Sistema térmico com resistências formando termopar.
4.9.2. Sistemas Comerciais
 Fotografias de alguns tipos de sistemas comerciais que utilizam o princípio 
térmico estão apresentadas na Fig. 4.58.
202 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 4.58 - Sistemas de controle de nível térmico comerciais.
4.10. PRINCÍPIO DE TOQUE
4.10.1. Fundamentos
 O fundamento do princípio do toque é o contato direto entre sensor e o pon-
to de interesse da superfície de nível do sólido ou líquido, o que pode ocorrer de 
várias maneiras, destacando-se:
• toque direto na vertical;
• membrana, por variação da pressão quando o nível de interesse alcança o sensor 
de membrana.
• pá rotativa, através do aumento do torque das pás com o meio de interesse. 
4.10.2. Toque Direto e Membrana
 Na Fig. 4.59a esta representado o sistema mais em uso, o toque direto verti-
cal, o qual pode ter o captor com elemento sensível sendo uma célula, que transmite 
o sinal do contato ao sistema de medição.
 O sistema de detecção ou controle de nível utilizando membrana é bastante 
203NÍVEL
utilizado em silos para grãos ou material granulado. Neste caso um captor com sen-
sor de membrana, Fig. 4.59b, de diâmetro que varia entre 100 e 200 (mm) é instalado 
na parede do silo na altura desejada. Quando o nível alcança a membrana, ocorre 
uma variação de pressão que é captada pelo sistema de medição, o qual aciona o 
sistema de enchimento do silo.
4.10.3. Pá rotativa
 A pá rotativa, ou roto-bin, Fig. 4.60 é normalmente aplicada como uma cha-
ve de nível, e seu princípio de funcionamento se baseia no funcionamento continuo 
de uma ventoinha acionada por um pequeno motor elétrico.
Fig. 4.59 - Esquema de medição e/ou con-
trole por torque direto e por membrana
Fig. 4.60 - Sistema de controle de nível por 
pá rotativa
 Assim que a ventoinha é coberta por sólidos, pó ou líquidos viscosos, o tor-
que de reação faz o motor entrar em um compartimento, acionando um contato 
magnético que o faz parar. Quando o nível do material abaixa, o motor retorna à sua 
posição original voltando a girar novamente. Este sistema encontra larga aplicação 
para medição de nível de produtos em pó, granulados e meios viscosos.
205PRESSÃO
Capítulo 5
PRESSÃO
Além de sua importância intrínseca, as pressões são base para várias me-didas indiretas, tais como: níveis, velocidades, vazões e mesmo tempera-turas. Assim, as unidades e componentes que formam os sistemas para sua medição são os mais variados, cada um com especificidades próprias 
no que se refere a projeto, fabricação, instalação, operação, manutenção, exatidão/
precisão, repetitividade, reprodutibilidade, resolução, tolerância e outros. Tais con-
siderações tornam o constante neste Capítulo, além de suas características intrín-
seca, de fundamental importância, já que muito do que nele for estabelecido como 
fundamento poderá, ou será utilizado nos demais Capítulos que comporão o Livro. 
Para tanto, o Capítulo trata dos fundamentos gerais, dos conceitos de: pressão baro-
métrica, absoluta e relativa, da denominação geral dos aparelhos de medida, de suas 
caraterísticas, seus limites, usos, instalação, operação e manutenção. Como é grande 
a variedade de unidades utilizadas para quantificar as pressões, o Capítulo contem 
uma tabela que permite, de maneira simples e rápida, obter os coeficientes de trans-
formação das diversas unidades utilizadas na quantificação das pressões. 
206 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
5.1. CONCEITOS - CONSIDERAÇÕES
 Entende-se por pressão a relação instantânea entre a resultante das ações 
sobre uma superfície que lhe é normal e de área conhecida. A resultante das ações 
pode ser representada por um vetor normal, a força normal - F. Considerando que 
a superfície tem sentido, direção e módulo, a área - S -, logo também é um vetor, a 
pressão - p -, será um escalar obtido pelo quociente dos módulos respectivos:
 
S
F
S
F
p == 

 (5.1)
 Conforme sejam as unidades de F e de S, tem-se uma grande variedade de 
unidades para quantificar p. A Tab. 5.1 contém a simbologia utilizada e os respectivos 
coeficientes para transformação.
 Sendo a pressão um escalar, em um ponto material ela atua em todas as di-
reções com o mesmo módulo. 
 A Fig. 5.1 mostra, em condições ideais, o comportamento médio das pres-
sões em sistemas estacionários.
Fig. 5.1 - Pressão em sistemas gasosos liquido e sólido.
 Nesta figura, observando-se unidadescoerentes, tem-se:
µ - coeficiente de correção do gás; m - massa do sistema; R - constante do gás; V - 
volume ocupado pelo gás; T - temperatura termodinâmica ou absoluta; pa - pressão 
atmosférica ou barométrica local; γ - peso específico do líquido; γm - peso específico do 
material sólido; h - profundidade; ϕ - ângulo de atrito do material sólido.
 O γm pode ser determinado em função do γm s, peso específico do material 
seco e da porcentagem de vazios - k -, pela expressão:
 ( )k1smm −⋅γ−γ=γ (5.2)
 Para ϕ podem ser tomados os seguintes valores: 
• areias fofas: 30 < ϕo < 40
207PRESSÃO
Ta
b.
 5
.1
 - 
U
ni
da
de
s 
de
 P
re
ss
õe
s 
- C
oe
fic
ie
nt
es
 N
um
ér
ic
os
 d
e 
Tr
an
sf
or
m
aç
ão
ps
i
lb
f/
po
l2
at
m
.
“H
2O
m
m
H
2O
cm
H
2O
m
H
2O
kg
f/
cm
2
“H
g
m
m
H
g
To
rr
cm
H
g
m
ba
r
ba
r
di
na
/c
m
2
Pa N
/m
2
kP
a
M
pa
1
0,
06
81
27
,7
1
70
3,
8
70
,3
8
0,
70
38
0,
07
04
2,
03
6
51
,7
15
5,
17
68
,9
5
0,
06
89
68
95
6,
89
5
0,
00
69
14
,7
1
40
7,
2
10
,3
43
10
34
,3
10
,3
43
1,
03
3
29
,9
2
76
0
76
10
13
1,
01
3
10
13
25
10
1,
3
0,
10
13
0,
03
61
0,
00
24
6
1
25
,4
2,
54
0,
02
54
0,
00
25
4
0,
07
35
1,
86
6
0,
18
7
2,
48
8
0,
00
24
9
24
8,
8
0,
24
9
0,
00
02
5
0,
00
14
21
0,
00
00
97
0,
03
94
1
0,
1
0,
00
1
0,
00
01
0,
00
28
9
0,
07
35
0,
00
73
5
0,
09
8
0,
00
00
98
9,
8
0,
00
98
0,
00
00
1
0,
01
42
1
0,
00
09
67
0,
39
37
10
1
0,
01
0,
00
1
0,
02
89
0,
73
5
0,
07
35
0,
98
0,
00
09
8
98
0,
09
8
0,
00
01
1,
42
09
0,
09
67
39
,3
7
10
00
10
0
1
0,
1
2,
89
3
73
,4
75
7,
34
8
97
,9
43
0,
09
79
4
98
03
,9
2
9,
79
7
9,
79
7
14
,2
2
0,
96
8
39
4,
1
10
00
0
10
01
10
1
28
,9
6
73
5,
6
73
,5
6
98
0,
7
0,
98
1
98
06
7
98
.0
7
0,
09
81
0,
49
12
0,
03
34
2
13
,6
1
34
5,
7
34
,5
7
0,
34
57
0,
03
45
1
24
,4
2,
54
33
,8
6
0,
03
39
33
86
3,
38
6
0,
00
33
9
0,
01
93
4
0,
00
13
16
9,
53
6
13
,6
1
1,
36
1
0,
01
36
1
0,
00
13
6
0,
03
94
1
0,
1
1,
33
3
0,
00
13
33
13
3,
3
0,
13
33
0,
00
01
33
0,
19
34
0,
01
31
6
5,
35
8
13
6,
1
13
,6
1
0,
13
61
0,
01
36
0,
39
4
10
1
13
,3
3
0,
01
33
3
13
33
1,
33
3
0,
00
13
3
0,
01
45
0,
00
09
87
0,
40
12
10
,2
1
1,
02
1
0,
01
02
1
0,
00
10
2
0,
02
95
0,
75
0,
07
5
1
0,
00
1
10
0
0,
1
0,
00
01
14
,5
04
0,
98
7
40
1,
9
10
21
0
1,
02
1
10
,2
1
1,
02
29
,5
3
75
0
75
10
00
1
10
00
00
10
0
0,
1
0,
00
01
45
0,
00
00
1
0,
00
40
2
0,
10
2
0,
01
02
0,
00
01
02
0,
00
00
1
0,
00
02
95
0,
00
75
0,
00
07
5
0,
01
0,
00
00
1
1
0,
00
1
0,
00
00
01
0,
14
50
4
0,
00
98
7
4,
01
9
10
2,
07
10
,2
07
0,
10
20
7
0,
01
02
0,
29
5
7,
5
0,
75
10
0,
01
10
00
1
0,
00
1
14
5,
04
9,
86
9
40
19
10
2,
07
4
10
20
7
0,
10
20
7
10
,2
29
5,
3
75
00
75
0
10
00
0
10
10
00
00
0
10
00
1
1.
 
N
a 
co
lu
na
 d
a 
un
id
ad
e 
at
ua
l, 
de
sc
er
 a
té
 o
 n
úm
er
o 
1.
2.
 
D
es
lo
ca
r h
or
iz
on
ta
lm
en
te
 a
té
 a
 c
ol
un
a 
da
 u
ni
da
de
 d
es
ej
ad
a,
 re
tir
an
do
 o
 c
oe
fic
ie
nt
e 
m
ul
tip
lic
ad
or
, m
ul
tip
lic
an
do
 e
 o
bt
en
do
 a
 p
re
ss
ão
 n
a 
no
va
 u
ni
da
de
.
208 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
• areias densas: 35 < ϕo < 45
• argila: 5 < ϕo < 20
• pedregulho, silte - ϕo < 30
 A pressão barométrica ou atmosférica padrão - pb -, é a pressão exercida 
pelo peso da camada de ar que envolve o globo terrestre, devido à ação da gravida-
de. No nível do mar, nas condições atmosféricas do ar de 0 (oC) de temperatura e 
50 (%) de umidade relativa, seu valor é: pb = 760 (mmHg) = 1013 (mbar) = 101,3 
(kPa) = 10332 (mm H2O). Observadas as condições atmosféricas esta seria a pressão, 
ao nível do mar, indicada por um barômetro a mercúrio, com sua cápsula em vácuo 
absoluto, com um erro de ± 5 (%). 
 Acima do nível do mar, a pressão atmosférica diminui com a altitude, segun-
do os valores médios mostrados na Tab. 5.2.
Tab. 5.2 - Valores Médios da Pressão Atmosférica
Altitude - zb pa
(m) (mmHg) (milibar) (m H2O)
0 (nível do mar) 760 1013,2 10,332
100 751 1001,2 10,210
200 742 989,2 10,088
300 733 977,2 9,965
400 724 965,2 9,843
500 716 954,6 9,734
1000 674 898,6 9,163
1500 635 846,6 8,633
2000 598 797,3 8,130
3000 530 706,6 7,205
4000 470 626,6 6,390
5000 417 555,9 5,669
6000 370 493,3 5,030
7000 328 437,3 4,459
 
 
18979,2
3406,8366
z
exp17184,762p ba −




−⋅=
99999,0R2 =
209PRESSÃO
 Uma expressão que considera, além da altitude - zb (km) -, também a tem-
peratura média local do ar - tm (
oC) - é a fórmula de Laplace: 
 
m
b
a t760,04,81
z
23301plog
⋅−
−= (5.3)
 pa (mmH2O); log - logaritmo na base 10. 
 Denomina-se pressão relativa local - p -, à parte da pressão medida que é 
superior ou inferior (vácuo relativo), a pressão atmosférica local. 
 Ao valor, sempre positivo, da soma algébrica da pressão atmosférica local 
com a relativa, denomina-se pressão absoluta local ou simplesmente pressão ab-
soluta - pab -, determinada pela expressão:
 ppp aba ±= (5.4)
 De um modo geral, a instrumentação para pressão é calibrada para medir 
pressões relativas locais.
 Denomina-se pressão diferencial a diferença entre duas pressões medidas 
no mesmo local, em instantes os mais próximos possíveis e, em igualdade de condi-
ções físicas, químicas e biológicas. 
 Na Tab. 5.3 estão listados os nomes mais usuais dos aparelhos utilizados na 
medição de pressões com seus respectivos domínios de utilização. 
210 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Tab. 5.3 - Domínio Usual dos Aparelhos de Medida de Pressão
 O que na tabela denominou-se zero momentâneo corresponde, ao valor 
considerado da pressão atmosférica local.
 Já a Tab. 5.4, mostra características dos medidores de pressão, no caso, em 
função do tipo de medidor, seus limites de utilização, bem como a exatidão média 
em porcentagem dos respectivos limites.
211PRESSÃO
Tab. 5.4 - Características dos Medidores de Pressão
 No caso de medidas de pressões em fluidos em escoamento, Fig. 5.2, denomi-
na-se pressão total - pt - a soma algébricada pressão estática - p -, medida paralela-
mente as linhas de corrente, com a pressão dinâmica - 0,5⋅ρ⋅v2 - da linha de corrente, 
sendo v a velocidade na linha de corrente correspondente, ou em muitos casos a velo-
cidade média do escoamento na seção onde é medida a pressão estática.
 Fig. 5.2 - Pressão em escoamento
212 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 A Fig. 5.3 mostra, esquematicamente, como devem ser feitas às tomadas 
para as pressões estáticas, segundo recomendações da norma CEI/IEC 41. Para evitar 
circulação do fluido no anel, o esquema da Fig. 5.3b deve ser preferido.
Fig. 5.3 - Recomendações da norma CEI/IEC 41 para tomadas de pressões estáticas.
5.2. PRESSÕES ABSOLUTAS
 As pressões absolutas, barométricas ou atmosféricas locais são determina-
das em aparelhos compactos a mercúrio, mola ou membrana, denominados, barô-
metros, normalmente calibrados com auxilio de um padrão a mercúrio, tipo Fortin, 
esquematizado na Fig. 5.4. 
 As leituras feitas nestes barômetros, em condições diferentes das normais 
devem ser corrigidas devido a dilatações na escala de leitura e no mercúrio, devendo 
no valor lido hli (cm Hg) ser, algebricamente, somado:
 th
h
1
t1
h il
il
⋅⋅






 ε
+⋅
⋅δ+
δ−λ
=∆ (5.4)
213PRESSÃO
 ( )β−δ⋅
⋅
⋅
=ε
S3
V4 (cm Hg) (5.5)
λ (oC)-1-coeficiente de dilatação linear do invólucro, sendo 0,184⋅10-4 para o latão e 4 
a 9⋅10-6 para o vidro; δ (oC)-1-coeficiente de dilatação cúbica do mercúrio 1,818⋅10-4; 
β (oC)-1- coeficiente de dilatação cúbica do ferro 0,351⋅10-4; V (cm3)-volume de mer-
cúrio; S (cm2)-seção transversal de mercúrio no reservatório; hli, ∆h (cm Hg)-altura 
lida e correção.
O valor de ε/hli da expressão (5.4) depende, principalmente, do material do 
reservatório, sendo ao nível do mar, da ordem de 3 a 5 (%) para reservatórios de ferro, 
é menor que 1 (%) quando o material é baquelite ou similar.
Fig. 5.4 - Barômetro a mercúrio tipo Fortin.
214 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Com isto, na faixa normal de temperaturas, a expressão (5.4) pode ser simpli-
ficada para:
 th0136,1h il
4 ⋅⋅⋅−=∆ (5.6)
 Para calcular a pressão barométrica local em unidades de força por área, 
deve-se calcular o valor da aceleração da gravidade local, pela expressão:
 ( ) z013sen0053,017803,9g 62 ⋅⋅−ϕ⋅+⋅= − (5.7)
g (m/s2) - aceleração da gravidade local; ϕ (graus) - latitude local; z (m) - altitude 
local.
5.3. PRESSÕES RELATIVAS
 A determinação de pressões relativas pode ser feita de muitas maneiras, re-
cebendo os sistemas a denominação em função do elemento que se deforma ou se 
desloca com a variação da pressão, resultando os seguintes tipos de manômetros:
• hidrostáticos a coluna liquida;
• tubo Bourdon;
• pistão;
• pistão e mola;
• pistão e peso - balança manométrica;
• membrana;
• cápsula;
• fole;
• transdutor ou transmissor.
5.3.1. Manômetro Hidrostático a Coluna Líquida
 Estes manômetros determinam a diferença entre a pressão de interesse e a 
atmosférica local através do deslocamento de uma coluna líquida, o que pode ocor-
rer em tubos de igual diâmetro ou não, utilizando um ou mais fluidos não miscíveis. 
Quando a diferença a medir é pequena, recebem a denominação de micromanôme-
tro e, quando ela e negativa de vacuômetro.
215PRESSÃO
 A Tab. 5.5 contém os líquidos mais utilizados com suas respectivas características.
 A Fig. 5.5 mostra esquemas de manômetros hidrostáticos de coluna, em 
U, simples, múltiplo e em forma toroidal, utilizando ar, água e mercúrio, sendo pb a 
pressão barométrica ou atmosférica local, nas fórmulas consideradas igual a zero. 
Nos toroidais G é peso do manômetro sem o líquido manométrico.
 Os erros destes manômetros dependem diretamente da tolerância da fabri-
cação dos tubos e escalas. Os tubos devem ter sua seção transversal interna e externa 
com a mesma tolerância de fabricação em toda sua extensão. As leituras devem ser 
corrigidas considerando à dilatação do líquido e do tubo com a temperatura ambien-
te. A fotografia da Fig. 5.6 mostra um manômetro hidrostático à coluna de mercúrio 
que, devido a sua possibilidade de inclinação, permite leituras de até 0,1 (mmHg) de 
diferença de pressão. Este manômetro pode ser utilizado como padrão para calibra-
ção de outros manômetros
Tab. 5.5 - Líquidos Manométricos
Líquido ρ 20
oC
kg/m3
Fusão
pN 
oC
Vapor
pN 
oC
σv Pa
 20oC
λ10-3/oC
20oC
µ10-4Pa.s
20oC
φ
20oC
Água 998 0 100 2314 0,21 10 1,33
Álcool anidro 810 -78 138 120 0,902 40 1,410
Álcool etílico 789 -114,5 78,5 5580 1,12 11,94 1,362
Anilina 1022 -6,2 184 80 0,855 4,47 1,586
Benzeno 879 5,5 80,1 10110 1,237 6,47 1,501
Bromofôrmio 2890 7,9 149,5 798 0,907 20.21 1,598
Clorofôrmio 1490 -63,5 61,2 7980 1,273 5,63 1,446
Éter normal 714 -116,3 34,5 57450 1,656 2,45 1,35
Fosfato tricresílico 1179 -30 - ≈0 1,2 - 1,557
Mercúrio 13546 -39 357 5,32 0,18 15,8 -
Nitrobenzeno 1200 5,7 211 133 0,83 19,8 1,553
Petróleo ≈800 - 106 - ≈0.95 2,24 -
Sulfureto de carbono 1263 -112 46,3 39235 1,218 3,76 1,629
Tetrabrometo de acetileno 2964 -1 124 40 1,4 - 1,638
Tetracloreto de carbono 1595 -22,8 76,8 12770 1,236 9,9 1,463
σv - Tensão do vapor; λ - Coeficiente de dilatação; µ - Viscosidade; φ - Índice de refração
216 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 5.5 - Manômetros hidrostáticos a coluna líquida.
 As leituras podem ser feitas diretamente nas colunas ou à distância, desde 
que seja instalado em cada coluna um sistema que permita detectar a posição da 
interface entre os dois líquidos. Para tanto, pode ser usada uma célula que fornece a 
posição das interfaces e um mecanismo para deslocá-la, comandado a distância. 
 A Fig. 5.7 mostra um tipo de automatização da medida de pressão em um 
manômetro de coluna com mercúrio, usando uma ponte de Wheatstone com duas 
resistências externas conectadas por um cabo de alta resistência. 
217PRESSÃO
 
Fig. 5.6 - Manômetro hidrostático 
inclinado à coluna de mercúrio de 
alta precisão.
Fig. 5.7 - Automatização de medida de pressão.
 Assim, fazendo 
feR
W
R
R
r = , a pressão desconhecida poderá se obtida pela me-
dida da tensão de saída:
 
iV
V
r
)r1(
k
R
R
kp O
2
W
⋅
+
⋅=
∆
⋅=∆ (5.8) 
 Para aumentar a coluna ou as colunas, podes-se inclinar o manômetro em 
relação a um plano horizontal de um ângulo - θ (o) -, devendo, neste caso, a coluna 
lida ser multiplicada por sen θ para ser obter a altura correspondente à pressão real.
 As fotografias da Fig. 5.8 mostram manômetros deste tipo comerciais.
218 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 5.8 - Fotografias de manômetros hidrostáticos de coluna comerciais.
5.3.2. Manômetro a Tubo de Bourdon
 O manômetro de Bourdon é um transdutor de pressão empregando ele-
mento elástico muito comum no meio industrial. Consiste basicamente de um tubo 
curvo, flexível e de seção transversal oval, tendo uma extremidade fixa onde é feita 
a tomada de pressão enquanto que a outra é selada e livre para se movimentar em 
função da pressão. Assim, quando a pressão é aplicada, a seção do tubo, inicialmente 
oval vai se tornando circular, havendo então uma deflexão em sua extremidade livre. 
Medindo-se esta deflexão pode-se inferir sobre o valor da pressão. Isto é feito em-
pregando-se um transdutor de deslocamento, ou mais simplesmente, associando-se 
um ponteiroà extremidade móvel do tubo. A Fig. 5.9 mostra, esquematicamente, em 
corte, os componentes e a Fig. 5.10 o princípio de funcionamento dos dois tipos de 
mola Bourdon e fotografias frontais de dois mostradores utilizados comercialmente.
 O dimensionamento do tubo de Bourdon, Fig. 5.9, pode ser feito por um das 
seguintes expressões:
• H. Lorenz - 1910: )b,a(f
r
e
Ep
2
⋅⋅⋅
ϕ
ϕ∆
= (5.9)
219PRESSÃO
Fig. 5.9 - Esquemas com características do manômetro a tubo de Bourdon
Fig. 5. 10 - Esquema princípio de funcionamento, componentes e mostradores de manôme-
tros a tubo de Bourdon, comerciais.
 A função f(a,b) pode ser estabelecida pela seguinte expressão:
 
220 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 
• V. I. Feodesev - 1949: 








−⋅α





 ⋅+β
⋅
⋅
⋅
n−
⋅
ϕ
ϕ∆
=
2
2
2
2
22
a
b
1
a
er
r
eb
1
E
p (5.10)
 As deformações da extremidade do tubo tangencial, radial e total podem ser 
calculadas por:
 dtr ( )ϕ−ϕ⋅⋅
ϕ
ϕ∆
= senrd radtr ; drd ( )ϕ−⋅⋅ϕ
ϕ∆
= cos1rdrd ; 
2
rd
2
trt ddd += (5.11)
 Nestas expressões tem-se: a, b, r, dtr, drd, ϕ, p, na Fig. 5.9; e - espessura da 
parede do tubo; E - coeficiente de elasticidade longitudinal do material do tubo; n 
- modulo de Poisson para o material; α, β - coeficientes experimentais, fornecidos na 
Tab. 5.6, para as seções da Fig.5.9, para tubos de parede de espessura fina.
Tab. 5.6 - Coeficientes α e β da expressão (5.10)
Seção a/b 1 1,5 2 3 4 5 6 8 10
Elíptica
α 0,750 0,636 0,566 0,493 0,492 0,430 0,416 0,40 0,390
β 0,083 0,062 0,053 0,045 0,044 0,043 0,042 0,042 0,042
Oval 
plana
α 0,637 0,594 0,548 0,480 0,437 0,408 0,388 0,360 0,343
β 0,096 0,110 0,115 0,121 0,121 0,121 0,121 0,119 0,119
 Os materiais mais usados na fabricação dos tubos de Bourdon são as ligas de 
cobre com níquel, bronze fosforado, bronze com berílio, trabalhado a frio sem uso de 
solda ou a quente de prata ou latão. Para altas pressões são usados tubos de aços que 
uma vez trabalhados e temperados, apresentam a seção transversal praticamente 
circular.
 Muitas vezes o manômetro a tubo de Bourdon vem preenchido com um líqui-
do viscoso com a finalidade de diminuir o efeito oriundo das vibrações da máquina 
ou linha onde está instalado, bem como para manter lubrificadas as partes internas 
do mesmo. Pode-se também encontrar manômetros a tubo de Bourdon de grande 
precisão, usados como padrão. Possuem, neste caso, escalas maiores, com um maior 
número de divisões, resultando em alta resolução, como mostram as fotografias da 
Fig. 5.11.
221PRESSÃO
5.3.3. Manômetro a Pistão e Mola
 Estes manômetros são utilizados para medir pressões médias e altas, poden-
do chegar a 6000 (bar) quando utiliza pistão diferencial. Para pressões entre 0 e 30 
(bar) podem ser fabricados para operar com uma exatidão de 0,005 (bar) e terem 
regulação automática.
Fig. 5.11 - Manômetros a tubo de Bourdon com líquido viscoso e de maior precisão.
 Seu princípio de funcionamento e a equações básicas para seu dimensiona-
mento encontram-se na Fig. 5.12.
5.3.4. Manômetro a Pistão e Peso - Balança Manométrica
 Estes manômetros, são usa- dos, normalmente, para pressões maiores que 
2⋅105 (Pa), podendo ter pistão simples ou diferencial.
 Na Fig. 5.13, está esque- matizado, em corte, os compo- nentes principais 
deste tipo de manômetro. O diâmetro efetivo do pistão - de -, é calculado por:
 
2
dd
d pbe
+
= (5.12) 
222 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 5.12 - Esquema do manômetro a pistão-mola
 Esta média aritmética somente pode ser usada se:
 10,0
dd
dd
pb
pb ≤
+
− (5.13) 
 Segundo a CEI/IEC 41 estes manômetros devem satisfazer as seguintes con-
dições:
• A pressão - p - medida na extremidade inferior do pistão carregado com a mas-
sa - m - é calculada por:
 2
ed
mg4
p
⋅π
⋅⋅
= (5.14)
• Os atritos entre o pistão e o cilindro devem ser eliminados pela rotação do siste-
ma pistão-prato-massa, sendo que esta deve estar no intervalo: 
 2)rps(n52,0 ≤≤ (5.15)
223PRESSÃO
Fig. 5.13 - Esquema de balança manométrica.
• O cilindro deve estar cheio de óleo com viscosidade cinemática da ordem de 105 
(m2/s);
• O pistão e o cilindro devem ser fabricados do mesmo material para que as dila-
tações sejam iguais;
• O reservatório de óleo deve ter um volume tal que possa compensar as eventu-
ais perdas;
• Como as massas e o prato são giratórios devem ser devidamente balanceados 
para que sejam evitadas oscilações no pistão; 
• A base do manômetro deve ser robusta, sólida e perfeitamente nivelada de 
modo que o pistão fique na vertical;
• Todas as massas em movimento devem ser devidamente calibradas e seus erros 
e/ou dispersões conhecidos. 
 Para estabilizar este tipo de manômetro é recomendável, fazer a montagem 
com um dispositivo de controle, tal como um transdutor de pressão, Fig. 5.13, um 
manômetro de coluna ou mesmo um dinamômetro entre a parte inferior do prato e 
uma referência rígida fixa.
224 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 As fotografias da Fig. 5.14 mostram balanças manométricas industrializadas, 
fabricadas sob encomenda.
Fig. 5.14 - Fotografias de balanças monométricas industrializadas.
5.3.5. Manômetro a Membrana
 O princípio dos manômetros a membrana é que existe uma relação entre a 
pressão de interesse - p (kgf/cm2) -, Fig. 5.15 e a flecha - f (cm) - no centro da mem-
brana circular engastada. 
Segundo D. J. Panov e V. I. Feodoseu esta re-
lação, teoricamente, pode ser expressa pela 
seguinte equação:
( )
( )
( ) 


















⋅
n−⋅
n⋅−⋅
+
+




⋅
n−⋅
⋅






 ⋅
=
3
2
4
4
e
f
112
9322
e
f
13
61
R
eE
p
 (5.16)
E (kgf/cm2) - módulo de elasticidade longi-
tudinal do material da membrana; R (cm) 
- raio da área ativa da membrana; e (cm) 
- espessura da membrana; n - módulo de 
Poisson.Fig. 5.15 - Corte esquemático em 
manômetro a membrana.
225PRESSÃO
 Para pequenas flechas, pode ser empregada a fórmula simplificada:
 
( ) 



⋅
⋅n−⋅
⋅⋅
=
e
f
R13
eE61
p
42
4
 (5.17) 
 Os materiais utilizados na fabricação das membranas devem apresentar boa 
elasticidade e não sofrerem deformação permanente na faixa utilizada das pressões, 
como é o caso dos plásticos, das ligas de borracha e os metais utilizados na fabrica-
ção dos tubos de Bourdon.
 Na Fig. 5.16 está esquematizado, em corte, um manômetro a membrana sem 
elasticidade própria bem definida, caso de couro ou tecido emborrachado, que funcio-
na como uma mola. Neste caso, parte da membrana é fixada entre dois discos, permi-
tindo fazer proteção contra o ataque dos componentes do fluido sobre pressão. 
 Fig. 5.16 -Manômetro com membrana e mola.
 A relação teórica entre p e ∆l é a seguinte:
 
( )
l
DDd
DG2
p
2
21
3
4
∆⋅
+⋅⋅π
⋅⋅
= (5.18)
G (kgf/cm2) - Módulo de elasticidade transversal ou ao cisalhamento do material da 
membrana.
 Este tipo de manômetro a membrana normalmente é utilizado quando se 
tem p ≤ 3 (kgf/cm2), resultando ∆l ≤ 1,6 (m).226 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
5.3.6. Manômetro a Cápsula
 Estes manômetros, conforme mostra os esquemas da Fig. 5.17, são manômetros 
com duas ou mais membranas, o que permite sua utilização até pressões de 10 (bar).
Fig. 5.17 - Manômetros a cápsula.
5.3.7. Manômetro a Fole
 Esquematicamente na Fig. 5.18 estão representados em cortes os principais 
componentes deste tipo de manômetro, isto é, o fole e a mola. 
 Teoricamente, tem-se para a relação entre p e a deformação ∆l:
 (5.19)
Rc (kgf/cm
2) - rigidez da cápsula, que pode ser determinada pela medida de sua deforma-
ção quando submetida a uma pressão ou força peso; ne - número de espiras da mola. 
 A força exercida pela cápsula sobre a mola pode ser calculada por:
 ( ) lRpDD
4
F c
2
21 ∆⋅−⋅+⋅
π
= (5.20)
 O diâmetro do fio da moda pode ser calculado desde que seja conhecida a 
tensão de torção do material do fio - τto (kgf/cm
2) -, pela expressão:
 3
ot
m Fd8d
τ
⋅⋅
= (5.21)
227PRESSÃO
Fig. 5.18 - Esquema de manômetro a fole
5.3.8. Manômetro a Transdutor ou Transmissor de Pressão
5.3.8.1 Fundamentos e Características
 Os manômetros a transdutor e/ou transmissor de pressão transformam a 
pressão de interesse em uma grandeza que pode ser transmitida à distância. Se esta 
grandeza é uma corrente elétrica, normalmente de 4 a 20 (mA) com circuito de dois 
fios, o captor é denominado transmissor de pressão. Caso a grandeza seja uma ten-
são elétrica, normalmente com circuito de três ou quatro fios, o captor é um sensor 
de pressão ou um transdutor de pressão.
 Considerando o circuito elétrico, o captor pode apresentar dois princípios de 
funcionamento, a saber:
• gerador - captor remissivo ou ativo -, quando gera diretamente o sinal elétri-
co sob a forma de tensão ou corrente, logo converte diretamente a pressão em 
energia elétrica.
• modulador - captor passivo -, quando necessita de energia externa para trans-
formar a pressão em energia elétrica. Assim, sob a ação de uma pressão o corpo 
suporte se deforma provocando um deslocamento o qual modula a impedância 
do circuito de detecção que pode ser alimentado em tensão ou corrente contí-
nua ou alternada. A fonte de alimentação, os circuitos que igualam as pressões, 
o amplificador e o conjunto eletrônico de conversão podem ser integrados ao 
captor ou separados (captor + cabo de transmissão + condicionador). O elemen-
228 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
to de detecção, o corpo suporte e os circuitos eletrônicos quando embutidos no 
captor, são submetidos a condições tais que podem alterar suas características 
gerais e metrológicas.
 Na Tab. 5.7 procurou-se representar as características principais de corpos 
utilizados na fabricação de captores de pressão.
Tab. 5.7 - Corpos Suporte para Captores de Transdutores
229PRESSÃO
 A Fig.5.19a mostra o esquema de um transdutor com medida a quatro fios, 
constituído de:
• um captor, corpo suporte e um elemento de detecção, constituindo o primeiro 
elo do circuito de medida;
• uma interface que assegure a ligação entre o elemento de detecção do captor 
e a entrada do amplificador;
• um módulo eletrônico que associa os seguintes conjuntos:
• alimentação estabilizada pela fonte de ativação do captor;
• tensão de referência do amplificador;
• circuitos de realimentação;
• circuitos de linearização e
• amplificador de medida.
 A Fig. 5.19b mostra o esquema de um transdutor a dois fios muito usado em 
medida e regulação industrial. A vantagem deste tipo é que suas características são inde-
pendentes do comprimento do cabo e/ou da distância entre a captação e a medição.
Fig. 5.19 - Esquemas de transdutores: a - quatro fios. b - dois fios.
5.3.8.2. Tecnologias utilizadas
• Sensores capacitivos
 Os sensores capacitivos são encontrados em configurações típicas, normal-
mente em um encapsulamento compacto contendo duas superfícies metálicas pa-
ralelas e eletricamente isoladas, uma das quais sendo um diafragma capaz de fletir a 
230 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
uma dada pressão aplicada, Fig. 5.20. O diafragma deve ser construído com material 
de baixa histerese ou ligas de vidro e cerâmica. Estas duas superfícies, que se com-
portam como as placas do capacitor, são montadas de modo que haja uma pequena 
flexão mecânica, causada pela aplicação de uma pressão, alterando o espaço entre 
elas criando, assim, o efeito de um capacitor variável. A alteração da capacitância 
deve ser detectada por um circuito comparador bastante sensível e amplificado para 
sinais proporcionais de alto nível.
Fig. 5.20 - Sensor capacitivo.
 Sabe-se que a capacitância - C (F) - de um capacitor de placas planas e para-
lelas pode ser expressa em função da área da placa - A (m2) - e da distância - d (m) 
- que as separa por:
 
d
A
C ⋅ε= (5.22) 
ε (F/m) - constante dielétrica do meio existente entre as placas do capacitor.
 Se for considerado que pelo menos uma das placas esteja fixa e que a outra 
sofra deflexão em função da pressão submetida, resulta em uma variação da distân-
cia entre as placas e, em última análise, da capacitância do elemento.
 Sendo assim, ao submeter este sensor a uma ponte de corrente alternada, 
pode-se detectar a variação da pressão como uma função da variação da capacitância 
do sensor. As fotografias da Fig. 5.21 mostram tipos comerciais destes transdutores.
231PRESSÃO
Fig. 5.21 - Transdutores capacitivos comerciais da Smar.
• Sensores piezoresistivos
 Os sensores piezoresistivos - strain gauges - são fabricados usando técnicas 
de processamento do silício, comuns na indústria de semicondutores. Por esta razão, 
grande parte da tecnologia dos semicondutores é empregada em sua fabricação. 
 Os sensores piezoresistivos são, também, freqüentemente denominados 
sensores integrados, sensores de estado sólido, sensores monolíticos, formados de 
um único cristal de silício, ou, simplesmente, sensores de silício. Este sensor parte do 
princípio da deformação de uma estrutura quando sujeita a uma força, como mostra 
os esquemas da Fig. 5.22.
 Nesta figura tem-se uma estrutura livre de forças externas, sofrendo tração 
e compressão, respectivamente. A pressão descreve a intensidade da força – stress 
– em uma estrutura por unidade de área - p = F/A -, enquanto a tensão – strain – des-
creve a deformação como uma variação incremental no comprimento - ∆L/L.
Fig. 5.22 - Esquemas de forças nos sensores piezoresistivos.
232 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 A resistência de uma barra retangular - R (Ω) - de comprimento - L (m) - e 
área de seção - A (m2) -, com resistividade volumétrica - ρ Ω⋅m) - é dada por 
A
L
R ⋅ρ= .
 Tomando as derivadas parciais, tem-se: 
 ρ⋅
ρ∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= d
R
Ad
A
R
Ld
L
R
Rd
 ρ⋅+⋅
ρ
−⋅
ρ
= d
A
L
Ad
A
L
Ld
A
Rd
2
 (5.23)
 
ρ
ρ
⋅+⋅−⋅=
d
R
A
Ad
R
L
Ld
RRd
 Arranjando e colocando na forma de diferenças resulta:
 ρ
ρ∆
+
∆
−
∆
=
∆
A
A
L
L
R
R
 (5.24)
 Quando há uma deformação longitudinal haverá também uma deformação 
na seção do strain gauge segundo a relação de Poisson. Para pequenas tensões a 
deformação da área é o dobro da deformação radial:
 
L
Ld
2
A
Ad
⋅n⋅−= (5.25)n - módulo de Poisson. 
 A taxa de variação da resistência será:
 
ρ
ρ∆
+
∆
⋅n⋅+=
∆
L
L
)21(
R
R (5.26)
 O módulo de Poisson varia de 0,25 a 0,35 para a maioria dos metais, de modo 
que a sensibilidade do strain gauge - G - será da ordem de 1,5 a 2,5. 
 Algumas ligas podem possuir sensibilidades variando de 0,5 a 6, podendo 
ser até 150 para semicondutores.
 Sendo assim, a pressão à qual uma estrutura está sujeita poderá ser deter-
minada pela variação da resistência de um sensor. Na maioria dos sensores, quatro 
233PRESSÃO
resistores são integrados formando uma ponte de Wheatstone, de modo que dois re-
sistores aumentam sua resistência e dois diminuem com o aumento ou decréscimo 
da pressão aplicada. A Fig. 5.23 apresenta uma configuração de resistor integrado e 
o sensor.
Fig. 5.23 - Configuração de resistor integrado e sensor.
 Se a ponte for alimentada com uma tensão - V -, a saída - Vo - será:
 




 ∆⋅=





⋅
∆⋅
=





∆−+∆+
∆−
−
∆−+∆+
∆+
⋅=
L
L
G.V
R2
R2
.V
RRRR
RR
RRRR
RR
VoV (5.27)
 Para uma configuração quarto-de-ponte, tem-se:
 




 ∆⋅⋅=





⋅
∆
⋅≅





∆⋅+⋅
∆
⋅=





∆+⋅
−
⋅
∆
⋅=
L
L
4
G
V
R4
R
V
R2R4
R
V
RR2
R
R2
R
VV0
 (5.28)
 Observe que para a ponte completa a resposta é naturalmente linear e apre-
senta um ganho quatro vezes maior que na configuração em quarto-de-ponte. A 
configuração em ponte completa também traz a vantagem de ser, praticamente, 
insensível às variações de temperatura, uma vez que esta incide igualmente sobre 
todos os resistores da ponte. 
 Quando se deseja medir a intensidade de uma força, bem como a sua di-
reção, usa-se strain-gauges estrategicamente posicionados em direções diferentes 
resultando em um sensor multidirecional, Fig. 5.24.
234 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 5.24 - Strain-gauges estrategicamente posicionados.
 A direção e intensidade da força serão obtidas a partir da decomposição das 
deformações nos eixos coordenados.
 A Fig. 5.25 apresenta o aspecto construtivo de um transdutor de pressão in-
tegrado.
• Sensores baseados em cristais
 Um dos fenômenos de grande importância utilizados na construção de sen-
sores de pressão baseados em cristais é o fenômeno piezelétrico.
 Em 1880, Pierre e Jacques Courie descobriram que determinados cristais ge-
ram cargas elétricas quando submetidos à pressão. Os cristais piezelétricos (piezo 
que no grego significa espremer), como se tornaram conhecidos produz uma carga 
elétrica quando submetidos a uma mudança na tensão.
Fig. 5.25 - Aspecto construtivo de um transdutor de pressão integrado.
235PRESSÃO
 Quando cristais piezelétricos são submetidos a uma força externa, cargas 
elétricas se deslocam acumulando-se em superfícies opostas. A Fig. 5.26 ilustra o 
deslocamento destas cargas elétricas o que ocorre devido a uma alteração da estru-
tura cristalina de um elemento de quartzo natural. 
Fig. 5.26 - Esquema do deslocamento dos cristais de quartzo.
 Os círculos maiores representam átomos de silício, enquanto os menores re-
presentam os de oxigênio. O cristal de quartzo, tanto em sua forma natural como o 
processado artificialmente, é um dos materiais piezelétricos mais sensíveis e mais 
estáveis atualmente disponíveis.
 Embora pequena, a carga gerada é capaz de responder a eventos rápidos e, 
com condicionamento apropriado, a carga pode ser convertida em um sinal de ten-
são. A carga - Q (C) -, obtida é diretamente proporcional à força aplicada.
 FcQ ⋅= (5.29)
c (C/N) - constante piezelétrica, para o quartzo, c = 2,32.10-12 (C/N); F (N) - força aplicada. 
 Nestes sensores, a máxima pressão admissível é 95 (hbars) para o quartzo e 
80 (hbars) para o titânio de bário.
 Os cristais piezelétricos ganharam a aceitação em vários transdutores in-
cluindo acelerômetros, células de carga e transdutores de pressão. As vantagens de 
transdutores piezelétricos são a geração própria do sinal e sua rápida velocidade em 
resposta ao fenômeno físico.
 É fundamental observar-se que os materiais piezelétricos conseguem medir 
apenas eventos dinâmicos ou de transição, não podendo ser aplicados para medir 
peso ou pressão barométrica. Embora eventos estáticos provoquem uma saída ini-
cial, esta irá decair lentamente em função do material ou da constante de tempo 
do circuito eletrônico acoplado. Esta constante de tempo funciona como filtro passa 
baixa e determina a mínima freqüência de corte, limite de medição do dispositivo.
236 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Além dos cristais de quartzo, podem-se também utilizar elementos piezoce-
râmicos policristalinos sintéticos. Estes materiais cerâmicos, que se transformam em 
elementos piezelétricos pela aplicação de um campo elétrico de grande intensidade, 
produzem uma carga elétrica de saída extremamente elevada. Esta característica é ide-
al para o seu uso em sistemas de medida de baixo nível. A Tab. 5.8 mostra uma análise 
comparativa das características de elementos piezelétricos cristalinos e cerâmicos.
Tab. 5.8 - Características de Cristais e Cerâmica
Cristal de Quartzo Cerâmico Policristalino
Material naturalmente piezelétrico Material artificial polarizado e sintético.
Alta sensibilidade em tensão Alta sensibilidade em carga
Rigidez comparável ao aço Disponibilidade ilimitada de tamanhos e formas
Excelente estabilidade de longo termo Temperatura de operação de 540ºC
Insensível à temperatura Sensível a transientes térmicos
Baixa deriva térmica Características variam com a temperatura
 As formas e tamanhos dos elementos a serem usados dependem fundamen-
talmente da finalidade e uso do sensor. A Fig. 5.27 mostra as principais aplicações, 
onde as setas indicam o sentido de aplicação das forças.
Fig. 5.27 - Aplicações e forças.
 Apresentando rigidez da ordem de 109 (N/m2) = 15⋅106 (psi), semelhante à 
de muitos metais, os materiais piezelétricos produzem uma saída muito alta para 
uma pequena força aplicada e praticamente não apresentam deflexão significativa. 
Por esta razão, os sensores piezelétricos são robustos e apresentam excelente linea-
ridade em uma larga faixa de operação. De fato, se corretamente condicionado, um 
único acelerômetro pode medir acelerações tão baixas quanto 0,0001 (g’s)1 até tão 
altas como 100 (g’s). 
1 (g’s) - 100 vezes a aceleração da gravidade.
237PRESSÃO
 Representações típicas de um sensor de força, pressão e de aceleração são 
mostradas na Fig. 5.28. 
Fig. 5.28 - Área de aplicação da força.
 Observe que estes sistemas diferem muito pouco na configuração interna. 
No caso dos acelerômetros, que medem o movimento, uma massa sísmica - m -, é 
forçada pelos cristais a seguir o movimento da estrutura base. A força resultante nos 
cristais é calculada usando a Segunda Lei de Newton do Movimento - F=m.a. Os sen-
sores de pressão e de força são praticamente idênticos e se baseiam em uma força 
externa atuante sobre os cristais. A principal diferença é que os sensores de pressão 
se utilizam de um diafragma, sendo a força incidente aplicada sobre sua área. 
 Outros sensores se baseiam nas características de certos cristais que alteram 
a sua freqüência natural de oscilação em função da intensidade da força a que são 
expostos. 
 A compressão axial de um cristal de quartzo diminui a sua freqüência de res-
sonância de 40 (kHz), à pressão nula, para 36 (kHz), para uma pressão corresponden-
te à característica nominal do sensor. A freqüência deoscilação - f (Hz)- está ligada 
à pressão - p (N/m2) - por uma relação da forma:
 P = A⋅(fo – f ) – B⋅(fo – f )
2 (5.30) 
fo - freqüência de oscilação à pressão nula; 
A e B (N/m2⋅Hz2) - coeficientes característicos do cristal.
238 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 A Fig. 5.29, esquematicamente mostra, o princípio de funcionamento.
 
Fig. 5.29 - Esquema do princípio de funcionamento.
 Os transmissores de pressão encontram larga aplicação na indústria, com sa-
ídas em corrente, tensão, freqüência ou em barramento. Alguns incorporam recursos 
de apresentação numérica em display do valor da medida.
 Já as fotografias da Fig. 5.30 mostram transdutores comerciais.
Fig. 5.30 - Transdutores comerciais com sensores a quartzo, Siemens e Endress+Hauser.
239PRESSÃO
5.4. MEDIDAS DE PRESSÃO DIFERENCIAL
5.4.1. Geral
 A medição de pressão diferencial é de suma importância em processos indus-
triais. As suas maiores aplicações se encontram, principalmente, na medição de vazão 
onde se utilizam dispositivos do tipo placas de orifício, bocais e venturis, uma vez que 
fornecem o valor da vazão como uma função da pressão diferencial medida.
 De um modo geral, os manômetros utilizados para medição de pressões re-
lativas servem para medir pressões diferenciais desde que no local de captação da 
pressão atmosférica, sejam feitas adaptações para receber a segunda pressão de in-
teresse. 
 No caso, por exemplo, dos transdutores ou transmissores, a estrutura interna 
do sensor diferencial se assemelha muito à dos sensores convencionais consideran-
do-se apenas que, nestes últimos, um único diafragma é submetido apenas à pres-
são desconhecida. Nos sensores diferenciais, por outro lado, pode-se ter um ou dois 
diafragmas sujeitos às pressões que se deseja conhecer sua diferença.
 A fim de proteger as membranas ou diafragmas dos transdutores, normal-
mente emprega-se um conjunto de registros - manifold - que, sendo conveniente-
mente operados, limitam as sobre pressões impostas nestes elementos pelas opera-
ções rotineiras do processo científico e/ou industrial, Fig. 5.31.
Fig. 5.31 - Esquema de transdutor diferencial e modelo comercial com proteção para sobre-
pressões do fabricante Emerson-Rosemount.
240 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Diferentes modelos de manifolds são encontrados no mercado, constituí-
dos por diferentes materiais e, sobretudo, contando com diferentes números de vál-
vulas – existem modelos com até cinco válvulas de segurança ou purga. A Fig. 5.32 
apresenta algumas destas alternativas.
Fig. 5.32 - Diferentes modelos de manifolds.
5.4.2. Sensor Diferencial com Célula Capacitiva
 Um tipo especial de sensor diferencial que dispensa o uso de manifolds é 
o sensor capacitivo apresentado na Fig. 5.33. Nesta concepção, a sobre pressão é 
limitada por batentes, evitando o rompimento de diafragmas, provocando uma sa-
turação do sinal de saída.
Fig. 5.33 - Tipo de sensor diferencial que dispensa manifolds (Tecnologia Smar).
O diafragma sensor colocado no centro da célula é, na verdade, uma placa 
móvel de um capacitor. Esta deflete em função das pressões aplicadas à direita e à 
esquerda do sensor, sobre os diafragmas isoladores, transmitidas através do fluído 
de preenchimento, que é incompressível. 
241PRESSÃO
Considerando como capacitâncias - CH e CL (F) - de placas planas paralelas, 
de mesma área - A (m2) -, medida entre a placa fixa e o diafragma sensor, tem-se:
 
d)2/d(
A
HC
∆+
⋅ε
= ; 
d)2/d(
A
LC
∆−
⋅ε
= (5.31)
ε (F/m) - constante dielétrica do meio; d (m) - distância entre as placas fixas; ∆d (m) - 
deflexão sofrida pelo diafragma sensor devido à aplicação da pressão diferencial ∆p.
 Se a pressão diferencial aplicada não defletir o diafragma sensor além de d/4 
– região onde se garante que o sistema é linear – pode-se admitir a proporcionalida-
de entre ∆d e ∆p. Operando convenientemente, tem-se:
 
HCLC
HCLC
d
d2
+
−
=
∆⋅
 (5.32) 
 Como a distância, d, entre as placas fixas de CH e CL é constante, a relação (CL-
CH/CL+CH) será diretamente proporcional à pressão diferencial que se deseja medir. 
 A Fig. 5.34 ilustra um sensor de pressão diferencial com célula capacitiva.
Figura 5.34 - Sensor diferencial capacitivo - Emerson-Rosemount.
5.4.3. Sensor Diferencial com Silício Ressonante
O sensor de Silício ressonante é fabricado com tecnologia de micro usinagem 
tridimensional. O processo de fabricação, mostrado nas Figs. 5.35 e 5.36, parte de 
uma pastilha de Silício monocristalino N+, Fig. 5.35a onde, através de um processo 
de erosão fotolitográfica, é escavada uma depressão em sua superfície, Fig. 5.35b. 
242 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Em seguida são depositadas, seqüencialmente, camadas de silício com dife-
rentes dopantes, obtendo-se um crescimento epitaxial da estrutura Fig. 5.35c. No-
vamente, através de um processo de erosão, são retiradas as camadas de Silício com 
dopante P+, Fig. 5.35d.
Finalmente, é realizado o crescimento da camada de silício N+ em alto vácuo, 
Fig. 5.35e, formando uma estrutura tridimensional, Fig. 5.35f.
Fig. 5.35 - Processo de fabricação do sensor de pressão diferencial com silício ressonante.
 O sensor de pressão é formado por dois elementos ressonantes de silício, 
com a forma de uma letra H, encapsulados em alto vácuo Fig. 5.36a. Um campo mag-
nético permanente é aplicado perpendicularmente a estes elementos. A aplicação 
de uma corrente alternada faz com que os mesmos oscilem sob o campo magnético. 
A oscilação induzida em uma das pernas do H é transmitida à outra perna do H fa-
zendo o sensor entrar em ressonância. Fisicamente os elementos ressonantes ficam 
posicionados de forma que, quando submetidos à pressão do processo, o que está 
localizado próximo à extremidade sofre um esforço de tração e o outro, localizado no 
centro, sofre um esforço de compressão, Fig. 5.36b.
Fig. 5.36 - Sensor de silício de pressão diferencial com silício ressonante..
243PRESSÃO
 Sem pressão aplicada, ambos ressonantes oscilam à freqüência de 90 (kHz). 
Em operação, a pressão aplicada ao diafragma de silício faz com que o elemento sub-
metido à tração tenha sua freqüência aumentada enquanto o elemento submetido à 
compressão tenha sua freqüência diminuída. Isto produz um sinal digital linear que 
pode ser lido diretamente pelo microprocessador. A relação entre a carga e a pressão 
aplicada é linear, conforme segue. 
 p
t
a
k
2
∆⋅




⋅=ε , sendo: 




 ε⋅+⋅
ρ⋅
⋅
⋅π⋅
⋅
=
22
2
h
6632,0
1
21
E
L2
h37,4
f (5.33)
ε (mca) - carga; a (m) - raio; t (m) - espessura do diafragma; ∆p (mca) - pressão dife-
rencial aplicada; f (Hz) - freqüência de ressonância; k (1) - constante de proporciona-
lidade; h (m) - espessura do elemento ressonante; L (m) - comprimento do elemento 
ressonante; E (N/m2) - módulo de Young do silício; ρ (kg/m3) - massa específica do 
silício.
 A pressão diferencial corresponde à diferença entre as freqüências dos res-
sonantes, enquanto que a pressão estática corresponde à soma das freqüências de 
ressonância. O sensor de silício ressonante também incorpora um detector de tem-
peratura, cujo sinal de saída em freqüência é proporcional à variação de temperatura 
do sensor. O microprocessador recebe as freqüências dos dois ressonantes e do de-
tector de temperatura e realiza as seguintes operações de cálculo:
• Pressão diferencial: F1 - F2 = 2 FPD
• Pressão estática: F1 + F2 = 2 (FPE+ FTS)
• Temperatura do sensor: FTS
 Nestas expressões tem-se: F1 = FPD + FPE + FTS e F2 = - FPD + FPE + FTS, sendo F1 
e F2 a freqüência do ressonador 1 e 2, respectivamente. 
 Os índices PD, PE e TS se referem à variação de freqüência devido à pres-
são diferencial, variação de freqüência proporcional à pressão estática e freqüência 
proporcional à temperatura.
 Desta forma, um único sensor é capaz de realizar simultaneamente a medi-
ção da pressão diferencial, da pressão estática e da temperatura do sensor. 
 Além disso, no circuito amplificador, existe um outro sensor de temperatura 
que monitora a temperatura dentro do compartimento da eletrônica.
 Uma vantagem extra desta tecnologia em relação às outras existentes é a 
244 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
baixíssima histerese encontrada em células de silício. A fotografia da Fig. 5.37 a apre-
senta um instrumento comercial construído com esta tecnologia. 
Fig. 5.37 - Instrumento comercial da Yokogawa – Japão, para pressão com sensor de silício
245PRESSÃO
247VELOCIDADE - VAZÃO
Capítulo 6
VELOCIDADE - VAZÃO
E m uma seção transversal de um escoamento de fluído incompressível em regime permanente, a vazão é o resultado do produto da área da seção de interesse pela velocidade média que lhe é normal. Assim sendo, esta seção tendo sua área reduzida, a velocidade média deve crescer para manter a va-
zão constante, já que a energia específica média, nesta seção, também é constante. 
Porém, como a energia especifica média é a soma da energia de pressão e da energia 
cinética, esta crescendo, deve a de pressão diminuir, o que somente pode ocorrer 
até que seja alcançada a pressão de tensão de vapor do fluido na temperatura cor-
respondente, logo, haverá um limite superior para a velocidade e mínimo para a área 
da seção de interesse. Caso o fluido seja compressível e o escoamento ocorrer com 
variação de temperatura, haverá variação da massa específica na seção transversal 
média de interesse, logo, a massa em escoamento, denominada vazão específica, é 
que será constante em cada seção transversal do escoamento em regime permanen-
te. Tais considerações mostram a vinculação direta entre vazões e velocidades, o que 
motivou em agrupar neste Capitulo os sistemas de medição destas duas caracterís-
ticas dos escoamentos de fluídos. Um item, no final do Capítulo, apresenta algumas 
sugestões para medição expedita e controlada de volumes mensais bombeados. 
248 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
6.1. CONCEITUAÇÃO BÁSICA
 A medição de vazão direta ou indiretamente é uma das tarefas mais impor-
tantes em vários processos industriais, principalmente nos setores químico e petro-
químico – onde possuem um papel fundamental sobre a receita e a produtividade 
da empresa –, de papel e celulose, de produtos alimentícios, de água e esgoto, de 
energia e outros.
 De uma maneira geral a vazão pode ser definida como vazão volumétrica 
ou vazão mássica. 
 A vazão volumétrica trata do fluxo de um determinado volume em um in-
tervalo de tempo, enquanto a vazão mássica trabalha com o fluxo de uma massa em 
um determinado intervalo de tempo. Assim, tem-se:
• Vazão volumétrica: - 
t
V
QQV == (6.1)
• Vazão mássica: - 
t
m
mQm ==  (6.2)
 Enquanto a primeira tem como unidades mais utilizadas: (m3/s); (m3/h); (l/s); 
(l/h), para medida de vazão de líquidos a segunda resulta em: (g/s); (kg/s); (kg/h); 
(t/h), para medida de vazão de gases, vapores e sólidos. 
 As expressões (6.1) e (6.2) podem ser relacionadas à área da seção trans-
versa ao escoamento - A (mm2); (cm2); (m2), ao vetor normal, velocidade média 
- v (m/h), (m/s), (km/h), (cm/s) e a massa específica média - ρ (kg/m3); (g/cm3); 
(kg/dm3), resultando:
 vAQ ⋅= (6.3)
 vAm ⋅⋅ρ= (6.4)
 A Fig. 6.1 mostra, esquematicamente, como o perfil do vetor velocidade do 
escoamento do fluído varia ao longo da seção transversal de condutos, aqui consi-
derados como sistemas compostos da ligação de tubos e singularidades, com se-
ções transversais de geometria conhecida, pôr onde escoa o fluído, ocupando toda 
sua seção interna, com pressão diferente da pressão atmosférica local. 
249VELOCIDADE - VAZÃO
Fig. 6.1 - Distribuição do vetor velocidade em conduto. 
 Reynolds realizou experiências que permitiram classificar, nos condutos, os 
escoamentos em laminares, transitórios e turbulentos, tudo dependendo da re-
lação entre as forças de inércia e de viscosidade, a qual pode ser determinada pelo 
denominado Número de Reynolds - Re:
 
n
⋅
=
Dv
eR (6.5)
D (m) - diâmetro para conduto de seção transversal circular ou, raio hidráulico - 
U
A
Rh = (m), para seção não circular, sendo: A (m2) - área da seção transversal molha-
da e U (m) - perímetro molhado correspondente a A, sendo n (m2/s) - viscosidade 
cinemática do fluído.
 Na faixa 1000 < Re ≤ 10000 ocorre o regime transitório. 
 No caso dos escoamentos com superfície livre, os canais e rios, aqui deno-
minados simplesmente de canais, a Fig. 6.2 mostra, esquematicamente, a distribui-
ção das velocidades no plano vertical médio de uma seção transversal, sendo neste 
caso os escoamentos denominados lento ou fluvial, critico e rápido ou torrencial, 
conforme seja o valor do Número de Froude - NF -, relação entre as forças de gravi-
dade e de inércia, seja menor, igual ou maior que 1, o que resulta: 
 
hg
v
NF ⋅
= (6.6)
250 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 6.2 - Esquema da distribuição de velocidades no plano médio da seção transversal de 
um canal. 
 De um modo geral, pode-se dizer que os medidores são a referência para a 
denominação dos métodos ou sistema para determinação das velocidades, vazões 
/ volumes em escoamento ou massas em escoamento, os quais podem ser reuni-
dos em dois grandes grupos:
• Métodos Diretos - quando a medição ocorre com modificação substancial nas 
características do escoamento no trecho de medição devido ao medidor o estar 
mergulhado no mesmo. 
• Métodos Indiretos - quando a medição ocorre sem modificação substancial nas 
características do escoamento no trecho de medição, sejam pelas reduzidas di-
mensões do medidor em relação à seção transversal do escoamento de interesse 
ou pelo medidor ser instalado externamente ao escoamento.
 As singularidades citadas no item anterior, tanto para os escoamentos com 
superfície livre como para os condutos podem ser : juntas desmontáveis, de liga-
ção ou de dilatação, curvas, desvios, amplificadores e redutores de seção, válvu-
las, registros, comportas, desaeradores, portas de inspeção e outros específicos 
para cada caso, porém, indispensáveis à instalação, operação e manutenção do siste-
ma onde ocorre o escoamento.
 A Tab. 6.1 contém algumas características de medidores de velocidades e 
vazões que poderão servir para uma primeira orientação na escolha do medidor, po-
rém recomenda-se que para a deliberação final, sejam os fabricantes consultados. 
251VELOCIDADE - VAZÃO
6.2. MÉTODO DIRETO - CONDUTO - DIFERENÇA DE PRESSÃO
6.2.1. Fundamentos 
 Nestes métodos os medidores reduzem a seção interna do conduto, e devem 
ser instalados em um trecho reto do mesmo, em que o escoamento não sofra a influ-
ências de singularidades colocadas a montante e ajusante. 
 Tendo pôr base a Fig. 6.3, aplicando os princípios da conservação da massa 
e da energia e, ainda, considerando as normas brasileiras e internacionais, sendo: u 
- energia interna, p - pressão, v - velocidade, ρ - massa específica, ∆p diferença 
de pressões e ∆p12 - perda de energia entre as seções, tem-se:
Fig. 6.3 - Escoamento em um trecho do conduto onde foi reduzida sua seção transversal.
252 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Tab. 6.1 - Características para Medição de Velocidade - Vazão
MÉTODOS DIRETOS
Uso Fundamento Medidor Fluído Qmáx/Qmin
Conduto
Diferença
de Pressão
Placa de Orifício
Liquido, Gás, 
Vapor
3Bocal
Venturi
V-Cone 10
Freqüência
Vortex 20Turbilhão
Coanda Líquido <1,0 m3/s
Princípios da 
Mecânica
Rotâmetro Liquido, Gás, 
Vapor
4
Desvio 20
Hélice 35
Deslocamento Posi-
tivo Líquido 50
Golpe Aríete Gibson 10
Aceleração Coriolis Líq., Gás, Vapor
Canal
Impulsão Flutuador
Líquido
-
 Nível Vertedor 150Estrangulamento Calha
Deslocamento Cortina Móvel -
Conduto
ou
Canal
Volume/Tempo Reservatório Líquido -
Princípios da 
Mecânica
Tubo Pitot
Líquido, Gás, 
Vapor
3
Tubo Prandtl
Tubo Darcy
Tubo Darcy-Cole
Tubo Recknagel
Transonda
Sonda Venturi
Molinete 10
Radiação Iônica Sonda Iônica -
Efeito Térmico Sonda Térmica -
Químico Diluição Líquido -Allen -
MÉTODOS INDIRETOS
Conduto
Diferença de 
Pressão
Curva Líquido, Gás, 
Vapor
-
Winter-Kennedy -
Variação de seção -
Lei de Faraday Eletromagnético Líquido 10Canal Onda Sonora Correntômetro -
Conduto
ou 
Canal
Atrito Perda de Carga
Líquido, Gás, 
Vapor
-
Onda Sonora Ultra-Som Dopller 10US Tempo de Transito
Raio Luminoso Laser -
Bombeamento Campo de Funcionamento
Cronômetro Líquido -Integrador de tempo -
253VELOCIDADE - VAZÃO
Tab.6.1 - Continuação
MÉTODOS DIRETOS
Medidor
pmáx tmáx Remín ou
Viscosidade
Lmín 
Montante
Erro Perda Carga
Máximab oC Normal Calibração
Placa de Orifício - -
3⋅104
10⋅D
1,5 0,5
90⋅∆plido
Bocal - - 70⋅∆plido
Venturi - - 10⋅∆plido
V-Cone - - 50⋅∆plido
Vortex - - 15⋅D ∼1,3⋅ρ⋅v2 (Pa)
Turbilhão - - - 3⋅D - - -
Coanda - - - - - - -
Rotâmetro 450 400 25 - 2 0,75 5⋅104 (Pa)
Desvio - - 104 5⋅D 3 1 50 (mmca)
Hélice 600 500 25 10⋅D 1,5 0,1 0,5 (bar)
Desloc. Positivo 80 300 1 (cSt) - 1 0,1 -
Gibson - - - Trecho Reto 1,5 1,0 0
Coriolis 190 450 - - - 0,2 -
Flutuador - - -
Trecho 
Reto
20 - -
Vertedor - - - 1,5 1,0 -
Calha - - - 3,0 1,0 0,6 (mca)
Cortina Móvel - - - 1,0 0,3 ∼0
Reservatório/Tempo - - - - 1,0 0,1 -
Tubo Pitot - -
104
-
1,5 0,5
∼0
Tubo Prandtl - - -
Tubo Darcy - - -
Tubo Darcy-Cole - - -
Tubo Recknagel - - -
Transonda - - -
Sonda Venturi - - -
Molinete-Micro 2000 150 15 (cSt) ∼0
Sonda Iónica - - - - - - -
Sonda Térmica - - - - - - -
Diluição - - - Trecho Reto 2 a 3 - -
Allen - - - 1 a 3 - -
MÉTODOS INDIRETOS
Curva - - - - 5
1
∼0
Winter-Kennedy - - - -
3
Variação de seção - - - -
Eletromagnético 250 180 - 5⋅D 1 0,5
Correntômetro - - - - 3 -
Perda de Carga - - - - 5 1
Ultra-Som Dopller 300 200 - -
3 0,5
US Tempo de Transito - -
Laser - - - - 2 0,2
Cronômetro - - - - - - -
Integrador de tempo - - - - - - -
Integrador de Energia - - - - - - -
254 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
3
21p
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
p
2
vp
u
2
vp
u
ρ
∆
++
ρ
+=+
ρ
+ ; QQm 21 ⋅ρ=⋅ρ= ; 1
2 vD
4
Q ⋅⋅
π
= ;
2
2 vd
4
Q ⋅⋅
π
= . Fazendo: hgp 1 ∆⋅=ρ⋅∆ , D
d
=β e 
41
C
β−
=α , sendo C o coefi-
ciente de vazão e ε o coeficiente de compressibilidade, resulta: 
 hg2d
4
p2d
4
1
Q 21
2
1
∆⋅⋅⋅⋅
π
⋅ε⋅α=ρ⋅∆⋅⋅⋅
π
⋅ε⋅α⋅
ρ
= (6.7)
 Q - (m3/s); d - (m); g - (m/s2); ∆h - (m)
 p
1
1
p
2
2
p ∆⋅
β⋅α+
β⋅α−
≅∆ (6.8)
 
2
1
2
p
2
d
242
D
2422
1
Q
1
1
e
4
1
p
e
4
1
d
e
14
D
e
4
ee
Q
e






ρ
⋅+





∆
⋅+
+




⋅







α
β
+⋅+




⋅







α
β
⋅+





ε
+





α
=
⋅ρ
ρ∆
εα
⋅ρ
 (6.9)
 As citadas normas estabelecem as características C e ε para os seguintes me-
didores descritos a seguir:
6.2.2. Placa de Orifício - Venturi Clássico
 Na Fig. 6.4 estão representadas as características geométricas e suas limita-
ções para estes tipos de medidores, bem como fotografias de sistemas com de medi-
ção de vazão com placas de orifício do fabricante Emerson - Rosemount.
Fig. 6.4 - Características geométricas da placa de orifício e do venturi clássico, normalizados.
255VELOCIDADE - VAZÃO
 As placas de orifício são, também, conhecidas como medidores diafrag-
mas, podendo, quando não normalizadas apresentarem diferentes geometrias, as 
quais para serem utilizadas necessitam ser calibradas.
 Para o caso dos medidores normalizados os valores de ε e C podem ser obti-
dos pelas expressões a seguir, resultando para as vazões, erros sistemáticos médios 
de 1,5 (%) do valor calculado.
• Placa de Orifício com Captores em Anel
 ( )
1
4
pk
p
53,014,01
⋅
∆
⋅β⋅+−=ε , com: 
v
p
c
c
k = (6.10)
cp e cv - calores específicos do fluido a pressão e a volume constante. 
 Para o coeficiente de vazão, em primeira aproximação, pode ser utilizada a 
Equação de Stolz: 
 (6.11)
 L1 < 0,4333 → C0 = 0,090; L1 ≥ 0,4333 → C0⋅L1 = 0,039;
 
n⋅⋅π
⋅
=
n
⋅
=
D
Q4Dv
eR D ; ρ1 (kg/m
3) ; d, D (m).
L1 - relação entre a distância do centro da tomada de pressão de montante a face de 
montante da placa e o diâmetro D. 
L2 - relação entre a distância do centro da tomada de pressão de jusante a face de 
jusante da placa e o diâmetro D.
• Venturi Clássico 
( ) ( )
( )
5,0
k/24
4
k
1k
k/2
x11
1
x
x11
1k
k
x1










−⋅β−
β−
⋅
−−
⋅
−
⋅−=ε
−
 com 
1p
p
x
∆
= (6.12)
C=0,984-Aço fundido; C=0,995-Aço usinado; C=0,985- Aço laminado soldado.
 Na Tab. 6.2 apresentam-se características destes medidores: 
0,75
256 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Tab. 6.2 - Características
Medidor Exatidão Perda Re/104
P. de Orifício 0,7 a 2⋅α 50 a 90⋅∆p ≥3
Venturi 0,7 a 1,5⋅α 10 a 20⋅∆p 3 a 103
Qmax/Qmin = 3 para todos
6.2.3. Bocal ISA - Venturi Bocal ou Venturi Curto
 As características geométricas destes medidores normalizados, bem como 
suas limitações estão representadas na Fig. 6.5.
Fig. 6.5 - Características geométricas de bocal e venturi bocal ou curto, normalizados.
 Para estes medidores normalizados os valores de ε e C podem ser obtidos 
pelas expressões a seguir, resultando para as vazões erros sistemáticos médios de 1,5 
(%) do valor calculado.
• Bocal ISA
 ε - calculado pela expressão (6.12).
 ( )
51,1
D
6
67,41,4
eR
01
01249011252152622,099,0C 







⋅⋅β⋅+β⋅−+β⋅−= − (6.13).
257VELOCIDADE - VAZÃO
• Venturi Bocal ou Venturi Curto
 ε - calculado pela expressão (6.12).
 5,4196,09858,0C β⋅−= (6.14)
 Outras características e limitações destes medidores são:
exatidão: 0,6 a 1⋅α; perda de carga: 30 a 70⋅∆p; 3 < Re /104 < 103; Qmax/Qmin = 3.
 Também é importante salientar que para uso dos coeficientes normalizados, 
é indispensável que, além dos medidores teremsido projetados e construídos den-
tro das normas, no que se refere à geometria, operem dentro da faixa de ReD reco-
mendada e sejam instalados em trechos retos dos condutos com distâncias mínimas 
a montante e a jusante conforme determinam as normas.
6.2.4. V-Cone
 Além dos medidores diferenciais normalizados, têm sido usados para fins es-
pecíficos, outros tipos dentro desta mesma família, destacando-se: placa de orifício de 
¼ de círculo, placa de orifício excêntrico, placa de orifício de segmentos e mais recen-
temente os denominados V-Cone, esquematizado, em corte longitudinal na Fig.6.6.
Fig. 6.6 - Corte longitudinal esquemático do medidor V-Cone.
 Uma característica interessante deste equipamento é a imposição de um 
condicionamento do fluxo anterior à medida. Como resultado, este medidor pode 
258 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
ser aplicado aos mais diferentes perfis de escoamento, sem a necessidade de ser 
instalado a uma distância mínima de qualquer tipo de singularidade. Esta caracte-
rística permite que o V-Cone possa ser instalado virtualmente em qualquer posição 
no circuito. A sua exatidão é da ordem de 0,5%, repetitibilidade de 0,1% e faixa de 
medição 10:1 ou maior. Normalmente é disponível em tamanhos de ½” a 120”, sendo 
empregado para medição em óleo, gás natural, controle de processos e sistemas de 
saneamento. Como não existem partes em movimento, este equipamento apresenta 
baixos custos de manutenção e operação. Na Fig. 6.7, em perspectiva, estão repre-
sentados medidores V-Cone do fabricante McCrometer. 
Fig. 6.7 - Perspectivas mostrando V-Cone instalado em trecho de tubo. 
6.3. MÉTODO DIRETO - CONDUTO - FREQÜÊNCIA
6.3.1. Fundamentos
 Estes medidores geram perturbações no escoamento a jusante ou mesmo 
em seu interior, as quais são funções de características do escoamento, particular-
mente, da vazão. Estas perturbações podem ser medidas pela sua freqüência, a qual 
por sua vez, em processo de calibração permite determinar as vazões e seus respec-
tivos erros.
259VELOCIDADE - VAZÃO
6.3.2. Medidor Vortex
 Os medidores Vortex utilizam o efeito dinâmico que consiste na geração de 
uma esteira de vórtices a jusante de um obstáculo mergulhado no escoamento, co-
nhecido como esteira de Von Karman, cujas características começaram a ser es-
tabelecidas, em 1911, por Bérnard Von Karman e que estão mostradas na Fig.6.8 à 
direita e a esquerda fotografia do Vortex do fabricante Emerson-Resemount.
 
Fig. 6.8 - Esquema e fotografia de medidor Vortex.
 Foi verificado que a freqüência de geração de vórtices é função dos seguin-
tes números adimensionais:
• número de Strouhal: 
d
tS
vf ⋅= (6.16)
• número de Reynolds: 
d
tS
vf ⋅= (6.17)
• fator de escala: 
D
d
bf = (6.18)
• fator de bloqueio: 
D
d
bf = (6.19)
 Combinando estes números, através de análise dimensional, chega-se à função:
 )df/1,ef,eR(ftS = (6.20)
 Exaustivas experiências têm demonstrado que St é constante para Re na fai-
260 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
xa entre 2⋅104 a 2⋅106, particularmente para a seção transversal trapezoidal de 75 
graus, o que permite escrever, a partir da (6.16):
 
d
tS
vf ⋅= (6.21)
 Esta expressão mostra que, para a faixa citada, existe uma relação linear entre 
a freqüência de formação dos vórtices − f − e a velocidade média do escoamento 
− v −, independentemente do tipo de fluido, o que permite a operação deste medi-
dor para fluído no estado líquido e gasoso.
 Experimentalmente, uma vez fixada a seção transversal do obstáculo, nor-
malmente com fb = 0,25, pode-se determinar o valor de St para a faixa de Re cons-
tante. Utilizando uma técnica para determinação da freqüência de geração dos vórti-
ces, calcula-se, pela (6.21), a velocidade média do escoamento, a vazão pelo princípio 
de conservação da massa e em seguida, seu erro.
 
tS4
fdD
v
4
D
Q
22
⋅
⋅⋅⋅π
=⋅
⋅π
= (6.22)
 
2/12
tS
2
f
2
d
2
DQ
tS
e
f
e
d
e
D
e2
2
Q
e
















+




+





+




 ⋅⋅= (6.23)
 As técnicas que tem sido usadas para determinação da freqüência são as do 
anemômetro de fio quente, do ultra-som, da variação da pressão local, dos transdu-
tores de pressão piezoelétricos e outros .
 Independente da técnica utilizada deve-se ter em mente que vibrações no 
conduto ou ruídos gerados pelo próprio fluido em escoamento podem afetar de for-
ma imprevisível o sinal gerado pelos sensores, o que obriga a serem previstos meios 
de rejeição ou minimização de tais ruídos e vibrações ou ainda a implementação de 
técnicas menos afetadas por tais problemas.
 Os medidores Vortex, em fase de serem normalizados, podem ser aplicados, 
em princípio, para qualquer vazão na faixa Qmax/Qmin ≤ 10, com perda de carga 60 a 
80 (%) da correspondente à placa de orifício, devendo ser instalados em trecho reto 
do conduto distante, a montante, mais de 15⋅D. No que se refere à perda de carga 
esta, também, pode ser avaliada por:
 2vp vkh ⋅ρ⋅= com 0,90 ≤ kv ≤ 1,35 (6.24) 
261VELOCIDADE - VAZÃO
 A Fig. 6.9 mostra fotografias de medidores Vortex comerciais.
Fig. 6.9 - Medidores tipo Vortex comerciais.
6.3.3. Medidor Turbilhão
 Os medidores turbilhão medem vazões a partir da medida da freqüência da 
trança formada a jusante da inserção no escoamento de um sistema de palhetas fi-
xas, conforme mostrado na Fig. 6.10, onde também, aparece a evolução axial do 
perfil de velocidade. 
Fig. 6.10 - Características do medidor Turbilhão.
 A vantagem deste tipo de medidor é sua insensibilidade à forma do perfil 
de velocidades a montante, podendo ser instalado apenas a 3⋅D de qualquer singu-
laridade, e ser utilizado tanto para fluido no estado líquido como no gasoso, com 
limites de vazões iguais aos dos medidores Vortex.
262 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
6.3.4. Medidor Coanda 
 Os medidores Coanda são baseados no fenômeno observado por Henri Co-
anda em 1910. Mais tarde, em 1932, Coanda descobriu que quando um gás escoa 
livremente em uma tubulação, ele tenderá a se aproximar de uma superfície, ane-
xando-se a ela. Isto acontece devido a uma região de baixa pressão que se desenvol-
ve entre o escoamento e a parede do tubo. Este é o denominado efeito Coanda. A 
geometria do medidor Coanda produz correntes de recirculação, auto-induzidas em 
uma freqüência linearmente proporcional à vazão, Fig. 6.11.
Fig. 6.11 – Funcionamento do medidor Coanda.
 Passando o fluido através do medidor, unindo-se a uma das paredes, encon-
trará uma passagem desviando uma pequena corrente de recirculação. Este fluxo 
quebra a conexão entre o escoamento e a parede, deixando-o livre para se unir à 
outra parede lateral. 
 Este efeito ocorre sucessivamente estabelecendo uma oscilação auto susten-
tada. O fluxo principal oscila entre as duas paredes, enquanto as correntes de recircu-
lação oscilam entre zero e um valor máximo. Esta variação cíclica édetectada por um 
sensor localizado nos canais de recirculação.
 Sendo assim, afreqüência das oscilações das correntes de recirculação é fun-
ção das características geométricas e cinemáticas do escoamento, permitindo deter-
minar a vazão. A principal vantagem deste medidor e de operar com perda de carga 
praticamente nula, já que não provoca obstrução no escoamento. O medidor tem 
sido usado para fluido no estado liquido com vazões menores que 1,0 (m3/s).
263VELOCIDADE - VAZÃO
6.4. MÉTODO DIRETO - CONDUTO - PRINCÍPIOS DA MECÂNICA 
6.4.1. Fundamentos
 Os princípios da mecânica de conservação da massa, conservação da ener-
gia, da conservação da quantidade de movimento, da impulsão e da asa de sustenta-
ção, são os fundamentos teóricos de vários tipos de medidores de vazões, dentre os 
quais se destacam:
6.4.2`. Medidor Rotâmetro
 Os medidores de vazões de flutuador para condutos ou rotâmetros baseiam-
se nos princípios da impulsão e da conservação da massa. 
Assim, seja na Fig. 6.12 um corpo sólido em equilíbrio no interior de um es-
coamento. Dinamicamente o equilíbrio ocorre, para um corpo de revolução quando 
existe igualdade entre a força de arrasto - Fa - e a diferença entre a força oriunda do 
peso do corpo - Fp - e a do empuxo de Archimedes - FAr, logo:
 rApa FFF −= ou 







ρ
ρ
−⋅=⋅
⋅π
⋅
p
p
22
a 1F2
v
4
d
C . Com isto tem-se:
 








ρ
ρ
−⋅
ρ⋅⋅π
⋅
⋅=
pa
p 1
C
F8
d
1
v (6.25)
 d1
d
D
1
C
F8
4
Q
2
aa
p ⋅








−




⋅





ρ
ρ
−⋅
ρ⋅⋅π
⋅
⋅
π
= ou d1
d
D
C
k
Q
2
a
c ⋅








−




⋅= .
 Introduzindo o coeficiente do rotâmetro - kr (m
2/s):
 d1
d
D
kQ
2
r ⋅








−




⋅= (6.26)
264 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 6.12 - Equilíbrio de corpo sólido no interior do escoamento. 
 O coeficiente kr é função do coeficiente do corpo flutuante - kc (m
2/s) - e do 
coeficiente de arrasto - Ca (1). 
 O Ca é função da geometria do corpo e do número de Reynolds do escoa-
mento.
 Assim, fixada a geometria do corpo flutuante, sua massa específica e o fluido 
em escoamento, têm-se kc. Por ensaios determina-se, inicialmente o Ca e, para cada 
valor de h, o respectivo valor de Q, bem com seu erro. 
 Os rotâmetros têm sido utilizados dentro dos seguintes limites: Precisão 0,5 
a 5 (%) da grandeza medida. Relação entre Qmax/Qmin = 10:1. Limites de diâmetros 
0,004 a 0,12 (m). Limites de temperatura do fluido -260 a +400 (oC). Pressão máxima 
no fluido 40 a 450 (bar), Re entre 25 e 107. Perda de carga 250 à 5⋅104 (Pa). Vazões 5⋅10-6 
a 100 (m3/h) para líquidos e 3600 (m3/h) para ar a 0 (oC) e 1013 (mbar). Instalação, em 
princípio, em conduto vertical com qualquer distância a montante e a jusante. A Fig. 
6.13 ilustra alguns tipos de rotâmetros comerciais.
265VELOCIDADE - VAZÃO
Fig. 6.13 - Rotâmetros comerciais da Kobold.
 Uma concepção recente permite a sua montagem em qualquer direção, Fig. 6.14.
Fig. 6.14 - Rotâmetros comerciais para instalação vertical ou horizontal.
266 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Neste caso, o medidor se baseia no princípio da área variável. Um orifício 
de alta precisão é localizado em torno de um pistão associado a um ímã acoplado 
magneticamente a um cursor externo (indicador), que se move acompanhando o 
movimento do pistão. Uma mola calibrada se opõe ao fluxo direto. A mola diminui a 
sensibilidade com a viscosidade e permite que o instrumento trabalhe em qualquer 
posição, inclusive invertida
6.4.3. Método de Desvio
 O circuito básico assim composto, que será denominado circuito de des-
vio, estando representado na Fig. 6.15 com a geometria e componentes que serão 
utilizados tanto no equacionamento como nos cálculos e na modelagem.
I - registros de gaveta. II - cotovelos. III - medidor de qi. IV - trecho principal. V - desvio.
Fig. 6.15 - Geometrias e componentes do circuito principal e de desvio
 Em regime permanente, com os registros I fechados, escoa pelo trecho prin-
cipal a vazão Qi a ser determinada. A diferença de pressão estática entre as seções 1 
e 2 é ∆hi não havendo escoamento pelo desvio, qi = 0. Abertos os registros I e esta-
belecido o regime permanente, escoará pelo trecho principal, 
 Qi + 1 < Qi, com diferença de pressão hi + 1 < ∆hi, escoando pelo desvio qi ≠ 
0. Considerando os dois estados de regime permanente, a aplicação dos princípios, 
com densidade constante, resulta:
• Conservação da massa
 0qi ≠ → i1ii qQQ += + (6.27)
267VELOCIDADE - VAZÃO
• Conservação da energia
 qi = 0 → D
LQ8 = hg =Y 52
D
2
iD i
ii ⋅π
⋅⋅λ⋅
∆⋅∆ e 
D
Q8
+
p
=Hg=Y
42
2
ii1
i1i1 ⋅π
⋅
ρ
⋅ (6.28) 
 qi ≠ 0 → 52
D
2
1i)1i(D
1i1i
D
LQ8
hgY
⋅π
⋅⋅λ⋅
=∆⋅=∆
++
++ (6.29) 
 5de
2
iid
5
De
2
1i)1i(D d.LqDLQ
−−
++ ⋅⋅λ=⋅⋅⋅λ (6.30)
 
42
2
1i3
1i)1i(1
D
Q8p
hgY
⋅π
⋅
+
ρ
=∆⋅= +++ (6.31)
 Combinando estas equações resulta:
 qk = q1 + 
d
D
L
L
 = Q idi
5
)1+ieD(
ide
)1+(iD
id
i ⋅⋅












⋅⋅
λ
λ
 (6.32)
 O erro em (%), pode ser obtido por:
 
2
i
q
2
d
k
iQ q
e
k
e
100e id 







+







⋅= (6.33)
 Já industrializado, encontra-se o medidor de desvio mostrado na Fig. 6.16. 
Tal medidor é composto por um captor do tipo Darcy-Cole-Recknagell e um circuito 
com tubos, conexões e um hidrômetro de fabricação seriada. 
Fig. 6.16 - Parte superior, fotografia do medidor da CEAM - SP - BR e do Té. Parte inferior 
esquema deste tipo de medidor instalado em tubo.
268 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 A Tab. 6.3 mostra os resultados dos medidores CEAM calibrados nos Labora-
tórios da Universidade Federal de Itajubá - Minas Gerais - Brasil.
Tab. 6.3 - Resultados da Calibração
D kd ek Qmáx
mm - % l/s
53,5 38,33 2,29 15
68 71,90 1,68 25
81 106,50 0,48 50
106 180,07 1,87 100
150 367,59 1,21 150
200 650,00 1,03 200
6.4.4. Medidor Hélice
 Os medidores de vazão de hélice ou de turbina operam dentro do princípio da 
asa de sustentação quando possuem poucas pás, ou pela junção deste princípio com o 
do momento da quantidade de movimento quando o número de pás é grande.
 O princípio da asa de sustentação estabelece que sempre que uma asa, Fig. 
6.17, esta mergulhada em um escoamento com um ângulo de ataque - δ°- em rela-
ção à direção da velocidade do escoamento - v -, aparece sobre a asa, normalmente 
a v, uma força de sustentação - Fs -, que é proporcional ao quadrado da velocidade 
e da área da asa, sendo esta proporcionalidade dada pelo coeficiente de susten-
tação - Cs. Caso esta asa esteja fixa a um eixo, conforme mostra a Fig.6.17, Fs dará 
origem à velocidade tangencial - u -, logo à rotação - n - , existindo entre ambas a 
seguinte relação linear:
 v = a + b⋅n (6.34)
 Os medidores de hélice ou deturbina ocupam toda a seção transversal do 
escoa- mento conforme mostra a Fig. 6.18, sendo a vazão - Q - determinada, em 
função do número de rotações do rotor - n - por:
 Q = A⋅n + B (6.35)
269VELOCIDADE - VAZÃO
Fig. 6.17 - Características de asa de sustentação fixa em um eixo.
 Estes medidores têm sido utilizados dentro dos seguintes limites: Exatidão/
Precisão 0,1 a 2 (%) da grandeza medida. Relação entre Qmax/Qmin de 10:1 a 35.1. Di-
âmetros 0,005 a 1,0 (m). Temperatura do fluido -260 a +500 (oC). Pressão máxima no 
fluido 640 (bar). Velocidade dos escoamentos da água 0,05 a 10 (m/s) com Re entre 
25 e 107. Perda de carga entre 0,2 e 0,5 (bar). Vazões entre 16⋅10-3 e 5⋅103 (m3/s). 
Distancia mínima de obstáculo a montante 10⋅D com tranqüilizador aletado e a 
jusante 5⋅D.
Fig. 6.18 - Componentes principais de medidores de vazão de hélice. À esquerda com eixo 
fixo e a direita com eixo móvel.
270 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Nos cortes representados na Fig. 6.19 podem ser observados os componen-
tes comumente encontrados em um medidor hélice, tais como o alinhador de fluxo 
e os cones defletores que resultam em um melhor desempenho do medidor.
Fig. 6.19 - Corte em medidores hélice mostrando componentes.
6.4.5. Medidor de Deslocamento Positivo
 Os medidores de deslocamento positivo ou volumétricos de vazão operam 
pelo princípio de conservação da massa, transferindo intermitentemente ou conti-
nuamente uma massa em escoamento de uma região de menor pressão para outra 
de pressão maior. A contagem do número de massas, de volume conhecido, transfe-
ridas e a medida do tempo que leva esta transferência, permitem determinar a massa 
e a vazão média em escoamento.
 Considerando o tipo de movimento do componente que realiza a transferên-
cia, foram industrializados os seguintes tipos:
• Alternativos de um, dois ou quatro pistões.
• Rotativos de palhetas, de parafuso e de rodas ovais.
271VELOCIDADE - VAZÃO
• Giratórios e oscilantes a pistão rotativo.
• De precessão, medidores de disco.
 Estes medidores de vazão têm sido utilizados dentro dos seguintes limites: 
precisão 0,5 a 1 (%) da grandeza medida. Relação entre Qmax/Qmin de 20:1 a 50:1. Limi-
tes de diâmetros 0,003 a 0,3 (m). Limites de temperatura do fluido − 30 a + 300 (oC). 
Pressão máxima no fluido 400 (bar). Fluidos com viscosidade cinemática maior que 
10-5 (m2/s). Perda de carga crescente com a vazão e a viscosidade do fluido em escoa-
mento. Vazões entre 2,5⋅10-5 e 800 (m3/s), em líquidos. Distância mínima de obstáculo 
a montante e jusante 0⋅D.
 Todos operam usando divisões mecânicas para deslocarem sucessivos e de-
terminados volumes de fluído, a fim de contabilizá-los. Sendo assim, um fluido pode 
entrar na câmara de medição por um lado e sair por outro, fazendo girar os elemen-
tos de engrenagem utilizados para a medição, conforme é mostrado na seqüência da 
Fig. 6.20.
 Todas as alternativas devem oferecer baixo atrito de fricção, baixa manuten-
ção e durabilidade.
Fig. 6.20 - Seqüência operacional de medidor de deslocamento positivo.
 Na Fig. 6.21 estão representados três modelos típicos de medidores de vazão 
pelo princípio de deslocamento positivo ou volumétrico.
272 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 6.21 - Três modelos de medidores de vazão de deslocamento positivo.
6.5. MÉTODO DIRETO - CONDUTO - GOLPE DE ARÍETE
6.5.1. Fundamentos
 O transiente hidráulico que ocorre em um escoamento de fluido, sobre pres-
são, sempre que sua velocidade média é modificada por atuação de um dispositivo 
de controle da vazão, denomina-se Golpe de Aríete. Este fenômeno fundamenta-se 
no princípio da quantidade de movimento.
6.5.2. Método de Gibson
 O método foi proposto por Normam Rothwell Gibson em 1923, no Transac-
tion ASME, para medição de vazão em tubulações, tendo sido normalizado interna-
cionalmente através da norma CEI/IEC-41, utilizando em sua primeira versão o apa-
relho de Gibson com manômetro diferencial e, na versão de 1992, com transdutor 
diferencial de pressão ou transdutores simples de pressão, de modo a resultar regis-
tros pressão-tempo em diagramas separados.
273VELOCIDADE - VAZÃO
 Para o equacionamento do método, seja o escoamento permanente estacio-
nário mostrado na Fig. 6.22, com velocidade média v (m/s) e vazão Q (m3/s) no trecho 
1-2, de uma tubulação reta de comprimento L (m), diâmetro interno D (m) e área de 
seção transversal interna A (m2).
Fig. 6.22 - Características geométricas, cinemáticas e dinâmicas do método de Gibson.
 Atuando-se na válvula V durante um tempo tV (s) em que a velocidade cai de 
vi para vf (m/s) ocorre o Golpe de Aríete, representado pela elevação de energia ∆p 
(m) entre os pontos 1 e 2, a qual varia segundo (A,B,E,F). 
 A partir do princípio da quantidade de movimento, pode-se escrever:
 
td
vd
ALAp ⋅⋅⋅ρ−=⋅γ⋅∆ , logo: 
 ∫ ⋅∆⋅=− v
t
0fi
tdp
L
g
vv e qtdp
L
Ag
Q v
t
0
+⋅∆⋅
⋅
= ∫ (6.36) 
 Assim, a vazão Q (m3/s) poderá ser calculada desde que, previamente, seja 
conhecida a vazão residual, q (m3/s) e a área delimitada pelo segmento (A,B,E,F,A), a 
qual para ser determinada, exige o conhecimento da linha AF que pode ser traçada, 
considerando que as energias ∆h, perda de carga e energia cinética, variam propor-
cionalmente com o quadrado as vazões:
274 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 
22
h
i A,F,E,B,A
H,M,F,B,H
qQ
qQ
h
h





=







−
−
=
∆
∆ ∆
 ou 





=







−
−∆
d
h
A
H,M,F,B,H
qQ
qQ
 (6.37)
 Ad - (m.s) é a área total do diagrama.
 Fixando, preliminarmente uma linha AF, Fig. 6.23, pode-se dividir a área to-
tal, nas áreas: a1, a2,...,an e, por (6.36), calcula-se as relações de vazões em função das 
áreas: Com as relações de vazões, calculam-se os ∆h1, ∆h2,..., ∆hn. 
 
2
n
in qQ
qQ
hh 





−
−
⋅∆=∆ (6.38) 
 
Fig. 6.23 - Traçado da linha AF
 Com estes valores tem-se a nova linha AF, o que permite novo cálculo e as-
sim iterativamente, até que os valores correspondentes de ∆h fixados sejam pratica-
mente iguais aos recém calculados, quando se tem a linha AF definitiva e o valor da 
integral Ad (m.s).
 Para a utilização do método de Gibson deve-se medir a diferença de pressão 
que ocorre entre dois pontos da tubulação de alta pressão, durante um transitório de 
desaceleração do fluido, a qual inicialmente era feita através do aparelho de Gibson 
que, na realidade, era uma máquina que fotografava, ao longo do tempo, a variação 
da altura da coluna de mercúrio em um manômetro diferencial. Atualmente, com a 
evolução dos equipamentos eletrônicos e com os recursos avançados de instrumen-
tação, esta medição pode ser feita diretamente através de um transdutor diferencial 
de pressão ou através de dois transdutores de pressão manométrica, procedendo-se, 
via software, uma operação de subtração entre os dois sinais.
 O cálculo da vazão começa determinando-se o intervalo de integração, po-
rém, um dos aspectos mais importantes do método reside na determinação da linha 
275VELOCIDADE - VAZÃO
de recuperação de carga. Pode ser desenvolvido um programa que adota, inicial-
mente, uma linha reta que parte do limite de integração inferior, definido pelo valor 
médio da pressão antes do golpe, e vai até o limite superior de integração. A partir 
daí, calcula-se a vazão utilizando-se a expressão (6.36). Com o valor de Q obtido, cor-
rigem-se iterativamente os valores da linha de recuperação de pressão, utilizando 
(6.37) e (6.38), até que o erro relativo ao último valor de vazão calculado