Livro Instrumentação para sistemas energéticos e industriais

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Instrumentação
para Sistemas
Energéticos e Industriais
1a. Edição
Itajubá, outubro de 2006
Instrumentação
para Sistemas
Energéticos e Industriais
Zulcy de Souza
Edson da Costa Bortoni
Itajubá, outubro de 2006
Diagramação e Criação da capa
novosdias 
soluções gráficas
(35) 9986-3214
ISBN: XX-XXXXX-XX-X
FICHA CATALOGRÁFICA
prefácio
O ser humano é dotado de sentidos para observar o mundo. Desde o princípio ele busca 
constantemente ampliar estes dons, desenvolvendo métodos e aplicações que facilitam 
a avaliação dos fenômenos que acontecem à sua volta. Para não expor a sua integridade 
física, os sentidos são utilizados de forma indireta, imitando-se à visão, audição e toque. 
É com este objetivo que os instrumentos de medição, por mais rudimentar que possam 
ser vem sendo criados. 
Nos processos industriais é de importância capital para o sucesso tecnológico do mun-
do atual a utilização de instrumentação. Neste sentido, o domínio de geração de energia 
hidráulica merece uma especial atenção, uma vez que tanto no mercado mundial, quan-
to principalmente no mercado brasileiro, esta maneira de produzir energia tem uma 
participação significativa na matriz energética. 
É ainda notória, no meio técnica, a falta de literatura específica sobre instrumentação 
que possa ajudar os técnicos no entendimento conceitual, desenvolvimento de projeto, 
escolha e utilização de instrumentação adequada para os sistemas de geração de ener-
gia hidráulica. Nos parece então indispensável um trabalho de base que possa elucidar 
e orientar as pessoas neste domínio tão vasto da tecnologia.Não menos importante no 
campo da engenharia, a busca de aplicação objetiva e assertiva da tecnologia disponí-
vel é constante pelo fato de afetar diretamente o resultado financeiro de um projeto. ‘
No contexto acima, a idéia de apresentar um livro de instrumentação voltado para o que 
há de mais avançado para a geração de energia hidráulica e buscando o Estado da Arte 
de maneira concisa foi tomando forma. Os diversos aspectos da instrumentação são 
abordados de forma simples e direta, o que facilito sobremaneira o entendimento do 
leitor. Não se buscou neste livro apenas a catalogação e descrição detalhada dos vários 
tipos de instrumentação, mas apresentar os fenômenos físicos que atuam no processo 
das medições, conseguindo com isso uma tradução inteligível pelo ser humano. O que 
está atualmente disponível pode se considerado não somente como um documento de 
base, mas de consulta, útil para nortear a atuação dos técnicos. 
Desejando o acolhimento favorável e merecido desta obra por todos que se vivenciam 
este assunto, felicito e agradeço aos autores que trabalharam “duro” para dar esta impor-
tante contribuição. 
Luciano Teixeira dos Santos
preâmbulo
A caracterização completa instantânea ou média do estado de um sistema sólido 
ou fluido, seja líquido ou gasoso, no espaço e no tempo, dentro de um volume de 
controle pré estabelecido, somente pode ser feita através de medidas de suas pro-
priedades entre as quais se destacam:
• posicionamento e limites do volume de controle a ser caracterizado;
• regime inercial ou de escoamento;
• massa específica - densidade ;
• viscosidade, no caso de fluido;
• cor;
• textura; 
• temperatura;
• pressão, elasticidade e tensão superficial, no caso de fluido;
• velocidades e sua distribuição espacial;
• composição física-química-biológica;
Nos vários Capítulos do Livro serão apresentadas particularidades e como, pratica-
mente, algumas destas propriedades que caracterizam o sistema podem ser obtidas 
em nível de laboratório e de campo.
Para tanto, em tese, estes Capítulos contem:
Capitulo 1 - Sistema de Medição. O capítulo é iniciado com os postulados que nor-
teia a teoria dos erros, base teórica da possibilidade para determinação prática de 
qualquer propriedade, sendo encerrado com recomendações para que a medida de 
uma propriedade possa ser obtida dentro de um balizamento previamente estabe-
lecido.
Capítulos 2, 3, 4, 5, e 6. Nestes capítulos serão apresentados os fundamentos que 
norteiam o estabelecimento da instrumentação de captação, os circuitos de medi-
das com suas saídas, suas limitações e recomendações de quando e como devem 
ser instalados e operacionalizados objetivando medir temperaturas, deslocamentos, 
níveis, pressões, velocidades, vazões e volumes, sempre em volumes de controle e 
condicionantes preestabelecidas. Também, na maioria dos Capítulos apresenta-se a 
instrumentação já industrializada fabricada em série ou por encomenda. O último 
item do Capítulo 6 contem métodos expedidos e de baixo custo, que poderão ser 
utilizados para medir volumes bombeados, sejam diários, semanais ou mensais.
No final do livro, é apresentada uma Bibliografia indicativa e um Índice Remissivo. 
Devido a grande amplitude dos temas que constituem o Livro, os autores, exausti-
vamente consultaram e usaram a bibliografia apresentada, sem fazer citação dire-
tamente no texto, na maioria dos casos, pelo qual se penitenciam junto a todos os 
autores.
No que se refere às fotografias de instrumentos, as mesmas, em sua grande maioria 
foram retiradas de catálogos de fabricantes, citados na bibliografia e também, dispo-
níveis na Internet, sendo que, na maioria delas pelo menos o nome do fabricante é 
citado junto com a fotografia correspondente.
Considerando a grande variedade de simbologia utilizada nos Capítulos, bem como 
letras, números ou conjunto deles, representando uma mesma grandeza ou carac-
terística, os autores preferiram identifica-las em suas ocorrências e não em um item 
específico como usualmente é feito.
Os autores estão abertos para receberem comentários, críticas e recomendações so-
bre forma e conteúdo dos assuntos tratados, os quais poderão ser feitos pela Internet 
nos seguintes endereços: zulcy@unifei.edu.br e bortoni@unifei.edu.br.
Finalmente, os autores agradecem a todos que colaboraram direta ou indiretamente 
para que o Livro fosse escrito e editado, particularmente ao Prof. Dr. Geraldo Tiago 
Filho e a Mestre em Engenharia Gessa Tiburcio Caetano que escreveram e ilustraram 
o item 6.18, Método Direto de Medida de Vazão em Canal por Onda Sonora – Corre-
tômetro Acústico de efeito Doppler – ADCP.
Agradecimentos especiais a ALSTOM Brasil Ltda. nas pessoas do Diretor Carlos Al-
berto C. Almeida e do Manager Luciano Teixeira dos Santos por tornarem possível a 
publicação deste livro.
Os Autores
índice
PREFÁCIO
PREÂMBULO
1 SISTEMA DE MEDIÇÃO
1.1 POSTULADOS ............................................................................................................... 2
1.2 CONCEITOS .................................................................................................................... 3
1.3 FERRAMENTAL ESTATÍSTICO .................................................................................. 10
1.4 CARACTERÍSTICAS ESTATÍSTICAS DOS INSTRUMENTOS DE MEDIÇÃO .. 15
1.5 CARACTERÍSTICAS DINÂMICAS DOS INSTRUMENTOS DE MEDIÇÃO ... 21
1.5.1 Considerações ............................................................................................................... 21
1.5.2 Padrões ............................................................................................................................ 24 
1.5.3 Grandezas Base e Padrões Associados ................................................................. 24 
1.5.4 Rastreabilidade ............................................................................................................. 26
1.5.5 Calibração dos Instrumentos ................................................................................... 27
1.5.6 Algoritmos ...................................................................................................................... 301.6 FERRAMENTAS ANALÓGICAS ................................................................................ 32
1.6.1 Circuitos com Amplificadores Operacionais ...................................................... 32
1.6.2 Sistema de Aquisição de Dados ............................................................................. 36
1.7 INSTRUMENTAÇÃO VIRTUAL .................................................................................. 43
1.8 CONDICIONAMENTO DE SINAIS ............................................................................. 46
1.8.1 Detecção de Variação de Resistência ................................................................... 46
1.8.2 Detecção de Variação de Capacitância ................................................................ 52
1.9 IDENTIFICAÇÃO, SÍMBOLO E DIAGRAMA DE INSTRUMENTAÇÃO ............. 54
1.9.1 Sistema de Identificação ........................................................................................... 55
1.9.2 Símbolos e Elementos Gráficos .............................................................................. 56
1.10 CONCEITO DE SISTEMA DE MEDIÇÃO .................................................................. 65
1.11 ESCOLHA DO SISTEMA DE MEDIÇÃO ................................................................. 66
2 TEMPERATURA
2.1 CONCEITOS - CONSIDERAÇÕES - ESCALAS ......................................................... 72
2.2 TERMOMETRIA .............................................................................................................. 76
2.2.1 Classes de Termômetros ............................................................................................ 76
2.2.2 Expansão Térmica ........................................................................................................ 76
2.2.2.1 Termômetro de líquido em vidro ........................................................................... 76
2.2.2.2 Termômetro bimetálico ............................................................................................. 81
2.2.2.3 Termômetro de pressão ............................................................................................ 84
2.2.3 Efeito Termelétrico - Termopares ........................................................................... 86
2.2.3.1 Princípio .......................................................................................................................... 86
2.2.3.2 Características ............................................................................................................... 86
2.2.3.3 Fabricação ...................................................................................................................... 89
2.2.3.4 Medição ........................................................................................................................... 91
2.2.3.5 Esquemas de compensação .................................................................................... 98
2.2.3.6 Cabos de extensão ...................................................................................................... 100
2.2.4 Variação de Resistência ............................................................................................. 101
2.2.4.1 Princípio .......................................................................................................................... 101
2.2.4.2 Termômetros resistivos - RTD .................................................................................. 102
2.2.4.3 Termômetros de fio distendido .............................................................................. 110
2.2.4.4 Termistores ..................................................................................................................... 112
2.2.5 Medição por Ultra-Som ............................................................................................. 119
2.2.5.1 Fundamentos ................................................................................................................ 119
2.2.5.2 Aplicação ........................................................................................................................ 120
2.2.6 Pirometria ....................................................................................................................... 120
2.2.6.1 Fundamentos ................................................................................................................ 120
2.2.6.2 Pirômetro de Radiação .............................................................................................. 124
2.2.6.3 Pirômetro Óptico ......................................................................................................... 126
3 DESLOCAMENTO
3.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 130
3.2 SENSORES DE DESLOCAMENTO LINEAR .............................................................. 131
3.2.1 Transformador Diferencial ........................................................................................ 131
3.2.2 Sensores Magneto-Sônicos ...................................................................................... 136
3.2.3 Sensores Resistivos ..................................................................................................... 138
3.3 SENSORES DE DESLOCAMENTO ANGULAR ........................................................ 139
3.3.1 Sensor Resistivo ............................................................................................................ 139
3.3.2 Encoder Óptico Incremental .................................................................................... 140
3.3.3 Encoder Absoluto ........................................................................................................ 143
4 NÍVEL
4.1 CONSIDERAÇÕES - SUPERFÍCIES DE MEDIDA - MÉTODOS ............................ 148
4.1.1 Considerações ............................................................................................................... 148
4.1.2 Características das Superfícies de Medida ......................................................... 149
4.1.3 Métodos .......................................................................................................................... 151
4.2 PRINCÍPIO DA GRAVIDADE ....................................................................................... 151
4.3 PRINCÍPIO HIDROSTÁTICO ........................................................................................ 153
4.3.1 Fundamentos ................................................................................................................ 153
4.3.2 Método Direto com Régua na Superfície ............................................................ 155
4.3.3 Método Direto na Superfície com Limnímetro ................................................. 157
4.3.4 Método Direto na Superfície com Bóia ................................................................ 158
4.3.5 Método Direto na Superfície com Flutuador ..................................................... 160
4.3.6 Método Direto de Sobre pressão ........................................................................... 165
4.4 PRINCÍPIO ELÉTRICO ................................................................................................... 169
4.4.1 Fundamentos ................................................................................................................ 169
4.4.2 Método Capacitivo ...................................................................................................... 169
4.4.3 Método Condutivo ...................................................................................................... 171
4.5 PRINCÍPIO SONORO ....................................................................................................172
4.5.1 Fundamentos ................................................................................................................ 172
4.5.2 Método Ultra-Som Extrusivo ou Intrusivo .......................................................... 175
4.5.3 Método Ultra-Som à Microonda com Emissor e Receptor Separados ..... 176
4.5.4 Instrumentação Comercial ....................................................................................... 177
4.5.5 Método Usando Microonda com Emissor e Receptor 
 Combinados-Radar ..................................................................................................... 179
4.5.5.1 Sem Guia de Onda ....................................................................................................... 179
4.5.5.2 Com Guia de Onda ...................................................................................................... 180
4.6 PRINCÍPIO ÓPTICO ....................................................................................................... 181
4.6.1 Fundamentos ................................................................................................................ 181
4.6.2 Método da Reflexão .................................................................................................... 182
4.6.3 Método da Refração ................................................................................................... 183
4.6.4 Método da Fibra Óptica ............................................................................................. 184
4.6.5 Método Laser ................................................................................................................ 184
4.7 PRINCÍPIO DA RADIAÇÃO ......................................................................................... 185
4.7.1 Fundamentos - Comentários ................................................................................... 185
4.7.2 Fontes ............................................................................................................................... 190
4.7.3 Detetores ........................................................................................................................ 192
4.7.4 Sistema de Controle de Nível .................................................................................. 193
4.7.5 Medição Continua de Níveis .................................................................................... 194
4.8 PRINCÍPIO DA VIBRAÇÃO .......................................................................................... 198
4.8.1 Fundamentos - Comentários ................................................................................... 198
4.8.2 Sistemas Comerciais ................................................................................................... 199
4.9 PRINCÍPIO TÉRMICO .................................................................................................... 199
4.9.1 Fundamentos ................................................................................................................ 199
4.9.2 Sistemas Comerciais ................................................................................................... 201
4.10 PRINCÍPIO DO TORQUE .............................................................................................. 202
4.10.1 Fundamentos ................................................................................................................ 202
4.10.2 Torque Direto e Membrana ...................................................................................... 202 
4.10.3 Pá Rotativa ...................................................................................................................... 203
5 PRESSÃO
5.1 CONCEITOS - CONSIDERAÇÕES .............................................................................. 206
5.2 PRESSÕES ABSOLUTAS ............................................................................................... 212
5.3 PRESSÕES RELATIVAS ................................................................................................. 214
5.3.1 Manômetro Hidrostático a Coluna Líquida ........................................................ 214
5.3.2 Manômetro a Tubo de Bourdon ............................................................................. 218
5.3.3 Manômetro a Pistão e Mola ..................................................................................... 221
5.3.4 Manômetro a Pistão e Peso - Balança Manométrica ....................................... 221
5.3.5 Manômetro a Membrana .......................................................................................... 224
5.3.6 Manômetro a Cápsula ................................................................................................ 226
5.3.7 Manômetro à Fole ....................................................................................................... 226
5.3.8 Manômetro a Transdutor ou Transmissor de Pressão ..................................... 227
5.3.8.1 Fundamentos e Características ............................................................................... 227
5.3.8.2 Tecnologias Utilizadas ................................................................................................ 229
5.4 MEDIDAS DE PRESSÃO DIFERENCIAL ................................................................... 239
5.4.1 Geral ................................................................................................................................. 239
5.4.2 Sensor Diferencial com Célula Capacitiva ........................................................... 240
5.4.3 Sensor Diferencial com Silício Ressonante ......................................................... 241
6 VELOCIDADE - VAZÃO
6.1 CONCEITUAÇÃO BÁSICA ........................................................................................... 248
6.2 MÉTODO DIRETO - CONDUTO - DIFERENÇA DE PRESSÃO ............................ 251
6.2.1 Fundamentos ................................................................................................................ 251
6.2.2 Placa de Orifício - Venturi Clássico ......................................................................... 254
6.2.3 Bocal ISA - Venturi Bocal ou Venturi Curto ......................................................... 256
6.2.4 V-Cone ............................................................................................................................. 257
6.3 MÉTODO DIRETO - CONDUTO -FREQÜÊNCIA .................................................... 258
6.3.1 Fundamentos ................................................................................................................ 258
6.3.2 Medidor Vortex ............................................................................................................. 259
6.3.3 Medidor Turbilhão ....................................................................................................... 261
6.3.4 Medidor Coanda .......................................................................................................... 262
6.4 MÉTODO DIRETO - CONDUTO - PRINCÍPIOS DA MECÂNICA ....................... 263
6.4.1 Fundamentos ................................................................................................................ 263
6.4.2 Medidor Rotâmetro .................................................................................................... 263
6.4.3 Medidor Desvio ............................................................................................................ 266
6.4.4 Medidor Hélice ............................................................................................................. 268
6.4.5 Medidor de Deslocamento Positivo ...................................................................... 270
6.5 MÉTODO DIRETO - CONDUTO- GOLPE DE ARÍETE .......................................... 272
6.5.1 Fundamentos ................................................................................................................ 272
6.5.2 Método de Gibson ....................................................................................................... 272
6.6 MÉTODO DIRETO - CONDUTO - ACELERAÇÃO .................................................. 275
6.6.1 Fundamentos ................................................................................................................ 275
6.6.2 Medidor Coriolis ........................................................................................................... 275
6.7 MÉTODO DIRETO - CANAL - IMPULSÃO ............................................................... 278
6.7.1 Fundamentos ................................................................................................................ 278
6.7.2 Medidor com Flutuador ............................................................................................ 278
6.7.3 Medidor com Flutuador Integrante ...................................................................... 279
6.8 MÉTODO DIRETO - CANAL - DIFERENÇA DE NÍVEL .......................................... 280
6.8.1 Fundamentos ................................................................................................................ 280
6.8.2 Medidor Vertedor ........................................................................................................ 280
6.8.3 Medidor Calha ............................................................................................................... 283
6.9 MÉTODO DIRETO - CANAL - DESLOCAMENTO .................................................. 289
6.9.1 Fundamentos ................................................................................................................ 289
6.9.2 Medidor de Cortina Móvel ....................................................................................... 289
6.10 MÉTODO DIRETO - CONDUTO/CANAL -VOLUME/TEMPO ............................. 291
6.10.1 Fundamentos ................................................................................................................ 291
6.10.2 Método Volumétrico ................................................................................................... 291
6.1.2.1 Roteiro para calibração de reservatório por pesagem ................................... 292
6.1.2.2 Determinação do erro ................................................................................................ 295
6.1.2.3 Vazões .............................................................................................................................. 298
6.11 MÉTODO DIRETO - CONDUTO/CANAL - PRINCÍPIOS DA MECÂNICA ........ 298
6.11.1 Fundamentos ................................................................................................................ 298
6.11.1.1 Condutos - Fluído no estado gasoso .................................................................... 299
6.11.1.2 Condutos - Fluído no estado líquido .................................................................... 299
6.11.1.3 Canais ............................................................................................................................... 300
6.11.2 Tubo de Pitot e Tubo de Prandtl ............................................................................. 301
6.11.3 Tubo Annubar e de Darcy ......................................................................................... 302
6.11.4 Tubo de Darcy-Coler e Tubo de Recknagel ........................................................ 304
6.11.5 Transondas ..................................................................................................................... 304
6.11.6 Sonda Venturi ................................................................................................................ 305
6.11.7 Molinetes - Micromolinetes ..................................................................................... 306
6.12 MÉTODO DIRETO - CONDUTO/CANAL - RADIAÇÃO IÔNICA ........................ 307
6.12.1 Fundamentos ................................................................................................................ 307
6.12.2 Sonda Iônica .................................................................................................................. 307
6.13 MÉTODO DIRETO - CONDUTO/CANAL - TÉRMICO ........................................... 308
6.13.1 Fundamentos ................................................................................................................ 308
6.13.2 Sonda Térmica ............................................................................................................... 309
6.14 APLICAÇÃO DE PACOTES GRÁFICOS ..................................................................... 311
6.15 MÉTODO DIRETO - CONDUTO/CANAL - QUÍMICO ........................................... 313
6.15.1 Fundamentos ................................................................................................................ 313
6.15.2 Método da Diluição..................................................................................................... 314
6.15.3 Método da Mancha Salgada ou de Allen ............................................................ 316
6.22 MÉTODO INDIRETO - CONDUTO/CANAL - DIFERENÇA DE PRESSÃO ........ 319
6.16.1 Fundamentos ................................................................................................................ 319
6.16.2 Pressão Diferencial em Curvas ................................................................................ 319
6.16.3 Método de Winter-Kennedy .................................................................................... 320
6.16.4 Diferença de Pressão por Redução de Seção..................................................... 324
6.17 MÉTODO INDIRETO - CONDUTO - LEI DE FARADAY ......................................... 324
6.17.1 Fundamentos ................................................................................................................ 324
6.17.2 Medidor Eletromagnético ........................................................................................ 324
6.22 MÉTODO INDIRETO - CANAL - ONDA SONORA ................................................ 326
6.18.1 Fundamentos ................................................................................................................ 326
6.18.2 Correntômetro Acústico de Efeito Doppler para Grandes Rios .................. 329
6.18.2.1 Características gerais .................................................................................................. 329
6.18.2.2 Sistema ADCP ................................................................................................................ 335
6.18.2.3 Modos de operação do ADCP ................................................................................. 336
6.18.2.4 Algoritmo para processamento de vazão ........................................................... 338
6.18.2.5 Cálculo da vazão .......................................................................................................... 341
6.18.2.6 Estimativa da vazão nas partes não medidas da seção transversal........... 341
6.18.2.7 Verificação da adequação do ADCP às pequenas seções ............................. 344
6.18.2.8 Procedimento para medição de vazões com ADCP ........................................ 345
6.18.3 Correntômetro Acústico de Efeito Doppler para Pequenos Rios ............... 348
6.22 MÉTODO INDIRETO - CONDUTO/CANAL - ATRITO ........................................... 350
6.19.1 Fundamentos ................................................................................................................350
6.19.2 Perda de Carga em Condutos .................................................................................. 350
6.19.3 Perda de Carga em Canais ........................................................................................ 351
6.22 MÉTODO INDIRETO - CONDUTO/CANAL - ONDA SONORA .......................... 352
6.20.1 Fundamentos ................................................................................................................ 352
6.20.2 Medidor Ultra-Som Doppler .................................................................................... 352
6.20.3 Medidor Ultra-Som por Tempo de Transito ........................................................ 353
6.22 MÉTODO INDIRETO - CONDUTO/CANAL - RAIO LUMINOSO ....................... 360
6.21.1 Fundamentos ................................................................................................................ 360
6.21.2 Medidor a Laser ............................................................................................................ 360
6.22 MÉTODO INDIRETO - MEDIÇÃO EXPEDITA E CONTROLADA 
 DE VOLUME MENSAL BOMBEADO ......................................................................... 361
6.22.1 Fundamentos .............................................................................................................. 361
6.22.2 Bomba Acionada por Motor Elétrico .................................................................. 361
6.22.3 Bomba Acionada por Motor a Pistão .................................................................. 362
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................... 367
ÍNDICE ALFABÉTICO REMISSIVO .......................................................................................... 375
1SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Capítulo 1
SISTEMA DE MEDIÇÃO
O Capítulo faz uma síntese dos postulados da teoria dos erros, conceitua denominações e expressões mais utilizadas no contexto da medida de grandezas físicas, estabelece o que se entende por sistema de medição, caracteriza estática e dinamicamente os instrumentos de medição, des-
creve as ferramentas analógicas básicas utilizadas e roteiriza como deve ser feita a 
escolha do sistema de medição para determinação dos valores mais prováveis das 
grandezas pretendidas, bem como de seus erros, desvios, incertezas e outros. Dedica 
especial atenção para a calibração dos instrumentos de medida, estabelecendo algo-
ritmo geral para a calibração e para o uso de instrumentos a partir das características 
da calibração. 
2 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 1.1. POSTULADOS
 A teoria dos erros, devida quase que totalmente a Gauss, baseia-se em qua-
tro postulados os quais podem ser aplicados quando o número de observações ou 
medidas é grande para que se possa tomar, sem grande erro, a freqüência pela pro-
babilidade. Estes postulados podem ser assim enunciados:
• A probabilidade de se cometer um erro compreendido entre os valores x e x+dx 
é uma função de x.
• A probabilidade de ocorrência de erros de mesmo valor absoluto, mas de sinais 
contrários, são iguais.
• A probabilidade de se cometer erro entre + ∞ e ∞− é igual à unidade, isto é, 
é a certeza.
• O valor mais provável de uma grandeza medida n vezes com a mesma precisão 
é a média aritmética das n medidas efetuadas.
 Efetuando grande número de medidas da mesma grandeza, determinando 
o seu valor mais provável, de acordo com o quarto postulado, calculando o resíduo 
correspondente a cada medida e traçando um gráfico no qual as abscissas, positivas 
e negativas, sejam proporcionais ao valor absoluto dos resíduos, isto é, às diferen-
ças entre os valores medidos e o valor mais provável, e as ordenadas ao número de 
resíduos, obtém-se uma curva como a da Fig. 1.1, simétrica em relação ao eixo das 
ordenadas, denominada curva de Gauss. 
Fig. 1.1 - Curva de Gauss.
 Nesta curva o ponto A, por exemplo, de abscissa +x e ordenada j, indica que 
se achou j resíduos iguais a +x. O ponto A1, de abscissa −x e ordenada j, portanto 
3SISTEMAS DE MEDIÇÃO
simétrico a A em relação ao eixo das ordenadas, mostra que foram obtidos j resíduos 
iguais a −x. Considerando outro ponto qualquer da curva verifica-se que a ele cor-
responde um ponto de mesma ordenada e de abscissa igual em valor absoluto e de 
sinal contrario, isto é, para cada valor absoluto dos resíduos há tantos resíduos positi-
vos como negativos, o que está de acordo com o segundo postulado. A ordenada na 
origem será tanto maior quanto maior for o número de medidas cujo resultado não 
diferir do valor mais provável.
 A equação da curva de Gauss é:
 ( ) 2222 xhxh ehekxf ⋅−⋅− ⋅
π
=⋅= , logo: 
π
=
h
k (1.1)
 O valor da constante k foi obtido considerando o terceiro postulado, isto é 
que a integral da curva de Gauss entre ∞− e ∞+ corresponde a probabilidade de 
cometer-se erro é igual à unidade.
 Como o grau de achatamento da curva depende diretamente de h, e como 
este achatamento depende do número de resíduos de valor absoluto muito grande, 
Gauss chamou h de módulo de precisão.
 A curva de Gauss permite obter a probabilidade total de cometer-se erro en-
tre dois resíduos dados, por exemplo, x2 e x3, bastando para tanto realizar a integral 
de f(x) entre estes limites, o que corresponde à área marcada na Fig. 1.1.
1.2. CONCEITOS 
• Grandeza, de um modo geral, é o valor numérico que representa uma quanti-
dade física. Este valor numérico sempre deve observar, no Brasil, o constante no 
Sistema Internacional de Unidades - SIU -, ou no Sistema Técnico de Unida-
des - STU. 
• Valor de uma grandeza é o numero que quantifica, em determinado espaço 
e intervalo de tempo à grandeza, geralmente sob a forma de uma unidade de 
medida multiplicada por um número.
• Valor verdadeiro ou real de uma grandeza é o numero que quantifica de forma 
absoluta, em determinado espaço e intervalo de tempo à grandeza. Praticamen-
te este valor não pode ser determinado de modo absoluto, pois implicaria em 
amostras e instrumentação perfeitas, o que não é possível no universo físico.
4 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
• Valor verdadeiro convencional de uma grandeza, valor atribuído a uma gran-
deza específica e aceito, às vezes, por acordo entre as partes, como tendo uma 
incerteza apropriada para uma dada finalidade. Por exemplo, em 1986 foi reco-
mendada para o valor da constante de Avogadro: 6,0221367⋅1023 (mol-1). Fre-
qüentemente, um grande número de resultados de medições de uma grandeza 
é utilizado para estabelecer um valor verdadeiro convencional, normalmente, 
neste caso, denominado valor mais provável da grandeza.
• Valor médio ou mais provável de uma grandeza, valor que quantifica, em mé-
dia, uma grandeza em determinado espaço e intervalo de tempo, determinado 
pela média aritmética dos valores atribuídos à grandeza. Se uma grandeza xi as-
sume no intervalo de tempo ∆t os valores x1,...,xn, decorridos entre eles, frações 
de tempo ∆t/n, mantidas as demais condições de contorno, seu valor mais pro-
vável ou médio é dado por:
 
n
x
x
n
1i
i∑
== (1.2)
• Mediana, valor central de um conjunto numérico de grandezas ordenadas as-
cendentemente ou descendentemente.
• Moda, valor da grandeza variável x que corresponde a um máximo em uma 
distribuição de freqüência.
 )x(fmáxxx
~ = (1.3)
• Média móvel, eficiente ferramenta de análise estatística e se baseia na determi-
nação da média da moda ou da mediana para uma janela contendo um deter-minado número de pontos (tamanho da janela), sendo que esta janela se movi-
menta por todo o conjunto de pontos. O j-ésimo valor será dado por:
 
N
x
xˆ
2/Ni
2/Nij
j
j
∑
+
−== (1.4)
sendo N o tamanho da janela
5SISTEMAS DE MEDIÇÃO
• Medida ou medição, ação que tem por objetivo assinalar um número como va-
lor de uma grandeza física em uma unidade estabelecida. O resultado de uma 
medição é completo e inclui uma estimação, necessariamente em termos esta-
tísticos, do valor provável e da incerteza. O citado número deve estar no SIU 
ou no STU.
• Desvio ou resíduo de uma medida, valor da diferença entre o valor medido e 
seu valor médio.
 xxd ii −= (1.5)
• Desvio ou resíduo médio de uma série de medidas, valor médio do módulo 
dos desvios ou resíduos.
 
n
d
d
n
1i
i∑
==
 (1.6)
• Desvio ou resíduo médio relativo de uma série de medidas, valor do desvio 
médio pelo valor mais provável da medida.
 
x
d
dm = (1.7)
• Erro da medida ou erro absoluto, diferença entre o valor medido e o valor ver-
dadeiro.
 ivii xxe −= (1.8)
 Como o valor verdadeiro da medida não pode ser determinado, na prática 
é usado um valor verdadeiro convencional.
• Erro grosseiro ou espúrio, diferença entre o valor medido com enganos oriun-
dos, principalmente, de falta de atenção ou pratica do operador ou operadores, 
sejam nas leituras, transcrição de valores ou de eventuais cálculos para obtenção 
do valor final e o valor verdadeiro convencional. As medidas resultantes destes 
erros devem ser eliminadas, Fig.1.2.
6 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
Fig. 1.2 - Erros - incerteza - intervalo de confiança
• Erro sistemático, diferença do valor verdadeiro convencional da medida que 
permanece constante durante o intervalo de tempo utilizado, ou varia segundo 
uma lei definida. Estes erros são devidos às características inerentes da fabrica-
ção do instrumento, tais como tolerâncias de componentes, ou também devido 
ao uso, ou mau uso do instrumento e, também, alterações das condições am-
bientais, Fig. 1.2. 
 Tais erros podem ter sua influência minimizada através do uso de arranjos 
eficientes de medição, modificação das entradas do sistema, projeto adequado do 
instrumento, propiciando altos ganhos de realimentação e redução de ruídos através 
de filtros, dentre outros. Como exemplo, considere as seguintes situações onde para 
a medição da resistência, R, de um circuito emprega-se uma fonte, E, um voltímetro, 
V, e um amperímetro, A, que mede a intensidade da corrente gerada, I. 
 Fig. 1.3 - Exemplo de erro sistemático.
 No caso, ra, rv são resistência interna do amperímetro e do voltímetro, res-
pectivamente.
7SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 
R
aRR
i
VV
i
V
R
+
== e 
vRR
R
ii
V
i
V
R
+
== (1.9)
 Nestas duas alternativas observar-se-á sempre a presença de erros sistemáti-
cos devido à natureza real dos medidores. Nos esquemas da Fig. 1.3, para a medição 
de baixas resistências, dá-se preferência ao arranjo da direita, a fim de que a resistên-
cia interna do amperímetro não influencie no resultado da medida. Para a medição 
de altas resistências usa-se o arranjo da esquerda, o qual elimina os efeitos da resis-
tência interna do voltímetro.
• Erro aleatório ou estatístico, diferença do valor verdadeiro convencional em 
relação à medida que varia de maneira imprevisível em valor e sinal, quando é 
feita leitura de uma grandeza estabelecida nas mesmas condições, Fig. 1.2. Estes 
erros são na realidade, perturbações na medida em que podem atuar positiva-
mente ou negativamente sobre a medida em relação ao seu valor verdadeiro, de 
modo que erros positivos e erros negativos ocorram em igual número de vezes 
em uma série de medidas sobre uma mesma grandeza. Em geral estes erros são 
de pequena magnitude, podendo, aleatoriamente, atingir valores elevados. Es-
tes erros podem ocorrer, por exemplo, quando um observador humano tem que 
interpolar a medida em uma escala analógica que oscila, por influência de ruídos 
elétricos. Na maioria dos casos os erros aleatórios podem ser superados toman-
do-se a média aritmética de um grande número de leituras de uma mesma gran-
deza. Devido à natureza estatística deste erro, é comum expressar a medida em 
termos probabilísticos associando ao resultado o seu intervalo de confiança.
• Erro médio quadrático, aquele cujo quadrado é igual à média aritmética dos 
desvios ao quadrado.
 
n
d
e
n
1i
2
i
2
m
∑
== ou n
d
e
n
1i
2
i
m
∑
== (1.10)
• Erro tolerável, aquele que é, no máximo, igual a três vezes o erro médio quadrá-
tico. Toda medida com desvio maior que o erro tolerável deve ser abandonada.
• Erro médio da média, desvio padrão do valor médio, índice de precisão da 
média de uma série de medidas ou variância experimental, diferença entre o 
valor mais provável da série de medidas e seu valor verdadeiro:
 vxxE −= (1.11)
8 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
 Como ( ) ( )vivivii xxxxxxxxxxe −+−=−+−=−= , tem-se: Ede ii += . 
Com isto 0Ened
n
1i
i
n
1i
i =⋅−= ∑∑
==
 ou ∑
=
⋅=
n
1i
i Ene .
 Considerando o erro médio quadrático, tem-se:
 
( )
( ) 2
2222
n
1i
n
1i
2
i
2
i
n
1i
2
i
n
1i
2
i
2
m
E1n
n
EnEn2En
n
EneE2e
n
Ee
n
d
e
⋅−=
⋅+⋅⋅−⋅
=
=
⋅+⋅⋅−
=
−
==
∑ ∑∑∑
= ===
 Deste modo, resulta para a variância experimental:
 
1n
e
E
2
m2
−
= ou ( )1nn
d
E
n
1i
2
i
−⋅
±=
∑
= (1.12)
• Desvio padrão, desvio típico, erro médio ou índice de precisão de uma série 
de medidas, aquele cujo quadrado, sua variância, é igual à média aritmética 
dos erros da medida.
 
n
e
n
1i
2
i
2
∑
==σ (1.13)
 Como vii xxe −= , xxd ii −= , Exxde vii =−=− , logo: Ede ii += . 
 Com isto:
 
( )
2
n
1i
2
i
2
1i
n
1i
i
22
i
n
1i
2
i
2 E
n
d
n
dE2End
n
Ed
+=
⋅⋅+⋅+
=
+
=σ
∑∑ ∑∑
== == ou
 
( ) 1n
d
1nn
d
n
d
n
1i
2
i
n
1i
2
i
n
1i
2
i
2
−
=
−⋅
+=σ
∑∑∑
=== . Com isto resulta para a (1.12):
9SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 1n
d
n
1i
2
i
−
±=σ
∑
=
 (1.14)
 Se o número de medidas for menor que 10, o desvio padrão leva a uma 
sub-estimativa da contribuição da incerteza. Neste caso, o valor da variância expe-
rimental, expressão (1.12), deverá ser determinado em função da experiência, por 
exemplo, com base em medidas pretéritas, ou multiplicando-se os valores de σ pelos 
fatores da Tab.1.1.
Tab. 1.1 - Fatores de multiplicação - fσ - para o desvio padrão
n 2 3 4 5 6 7 8 9
fσ 7,0 2,3 1,7 1,4 1,3 1,3 1,2 1,2
• Incerteza ou faixa de dispersão de uma série de medidas, intervalo dentro do 
qual se espera queesteja o valor verdadeiro da grandeza dentro de uma probabi-
lidade estabelecida, Fig. 1.2. O valor numérico da incerteza é o produto do desvio 
padrão por um parâmetro numérico cujo valor depende do nível de confiança. 
Normalmente é usada a variável de Student − t − com uma probabilidade de 
acerto ou nível de confiança de 95 (%) para instrumentos calibrados e de 99 
(%), para calibração de instrumentos, Tab. 1.2.
 
n
tI
σ
⋅= (1.15)
Tab. 1.2 - Variável de Student
n t (95%) t(99%) n t(95%) t(99%)
4 2,78 4,6041 60 2,00 2,6603
5 2,57 4,0321 100 1,98 2,6259
10 2,23 3,1693 200 1,97 2,6006
15 2,13 2,9467 500 1,96 2,5857
20 2,09 2,8453 1000 1,96 2,5806
30 2,04 2,7500 ∞ 1,96 2,5700
 
48,3259 n
2,5
n
2,3
n
63,2
69,1t +++=
10 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
• Exatidão da medida, nível de aproximação entre uma medida e seu valor real 
uma vez aplicada a esta medida todas as correções conhecidas. Caso não se co-
nheça o valor verdadeiro usa-se o valor verdadeiro convencional.
• Intervalo de confiança, intervalo que incluí o valor real com uma probabilidade 
determinada e que é função das estatísticas das amostras, Fig. 1.2.
• Correção, valor que deve ser agregado ao resultado de uma medição de modo a 
levar em conta qualquer erro sistemático conhecido e, portanto, obter a melhor 
aproximação do valor verdadeiro. Pode ser uma constante ou uma função do 
próprio valor medido.
• Propagação de erros, erros de grandezas dependentes − u − calculadas atra-
vés de expressões que interligam grandezas independentes − x, y, z,...−, logo: 
u = f(x, y, z,...), das quais são conhecidos seus erros − ex, ey, ez, ...− são calcula-
dos pela seguinte expressão:
 ...e
z
u
e
y
u
e
x
u
e 2z
2
2
y
2
2
x
2
t +⋅





∂
∂
+⋅





∂
∂
+⋅





∂
∂
±= (1.16)
1.3. FERRAMENTAL ESTATÍSTICO
 Os conceitos já estabelecidos podem ser expandidos de modo a receberem 
tratamento estatístico quando deve ser manipulado grande numero de dados. Uma 
das técnicas mais extensivamente empregada é a regressão linear e ajuste de equa-
ções a conjuntos de dados, buscando os seguintes objetivos:
• Condensar dados obtendo fórmulas preditivas.
• Confirmar ou rejeitar uma relação matemática proposta.
• Modelagem matemática de sistemas.
• Comparações quantitativas de dois ou mais conjuntos de dados.
 Considerando a análise de regressão linear onde se trabalha com uma vari-
ável dependente e uma variável independente, onde a variável independente, x é, 
também, chamada variável de controle, podendo assumir um valor qualquer den-
tro das limitações físicas impostas pelo processo de análise. A variável dependente, 
Y, é uma variável aleatória caracterizada por uma distribuição onde, para cada valor 
de x, obtém-se como resposta uma realização Y, também denominada variável de 
11SISTEMAS DE MEDIÇÃO
resposta. Assumindo que um conjunto de dados com n pares de valores (xi,yi) com 
i=1,…,n, tenha sido obtido a partir do processo em questão.
 Deve-se ter sempre em mente que ao se aplicar uma regressão linear assu-
mem-se as seguintes considerações:
• As variáveis Y e x são teoricamente relacionadas uma à outra pela equação de 
uma reta:
 E(Y) = β0 + β1⋅x (1.17)
• O conjunto de dados é representativo do processo.
• Os Yi com i=1,…,n, são valores independentes um do outro (autocovariância 
nula).
• Os Yi são variáveis aleatórias que possuem uma mesma variância, σ2.
• Os erro aleatórios intrínsecos a Yi seguem uma distribuição normal.
 Do ponto de vista prático, não é muito razoável acreditar que cada xi é exata-
mente conhecido, sem erro. Entretanto, a técnica de regressão linear requer que este 
seja conhecido com razoável precisão e que qualquer incerteza associada à xi seja 
muito menor que a variabilidade inerente associada à Yi. Esta restrição proíbe a apli-
cação da regressão linear a situações nas quais tanto a variável dependente quanto a 
independente sejam aleatórias simultaneamente observadas. Uma das técnicas para 
a análise de tal situação é a convolução.
 A equação (1.17) define a relação entre x e Y, mas ainda não é um modelo 
matemático de regressão linear porque não considera a presença dos erros inevitá-
veis no processo experimental. Este modelo matemático pode ser obtido através da 
adição do erro εi.
 ii10i xY ε+⋅β+β= (1.18)
 Nesta expressão, εi representa uma variável aleatória unicamente associada 
à Yi, para cada i=1,…,n. As variáveis εi são identicamente distribuídas N(0,σ) e cada εi 
é estatisticamente independente de qualquer outro εj com j≠i (ruído branco).
 Os parâmetros β0 e β1 são constantes cujos valores verdadeiros são desconhe-
cidos e devem ser determinados a partir dos dados. Cada valor xi pode ser considerado 
como uma constante e, para cada um, tem-se uma variável independente Yi.
 O lado direito desta equação possui uma variável aleatória εi. As outras três 
12 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
são constantes. Posto que εi é distribuído N(0,σ), ambos os lados direito e esquerdo 
Yi são distribuídas como N(β0 + β1 xi,σ). A Fig. 1.4 apresenta uma interpretação gráfi-
ca do conteúdo teórico da equação (1.18). 
Fig. 1.4 - Representação gráfica da equação (1.18)
 Nota-se que o valor esperado (média) de Yi, E(Yi), varia linearmente de uma 
maneira proporcional ao valor de xi. No entanto, a variância de Yi se mantém cons-
tante, não importando o valor de xi. Do ponto de vista tridimensional, a distribuição 
de probabilidade de Yi, f(xi), forma um contorno com idênticas funções de densidade 
normal, diferindo somente nas suas médias, que seguem o lugar definido pela reta.
 Posto que o modelo tenha a forma de uma linha reta de duas di-
mensões, β0 é o intercepto de Y e β1 é a inclinação da linha. Diferentemen-
te de i
2
i2i10i xxY ε+⋅β+⋅β+β= que é de segunda ordem em xi, diferente de 
i
x
0i
i1eY ε+⋅β= ⋅β que é não linear nos parâmetros e de primeira ordem em xi. 
 Com o modelo de regressão linear em mãos, deve-se investigar a técnica que 
leva às melhores estimativas de β0 e β1 para se obter o melhor ajuste. No entanto, sur-
ge à questão: Qual é o melhor ajuste? O melhor ajuste é aquele que minimiza o erro 
total. Basta, afinal, definir a forma como se calcula este erro total. Considerando que 
o erro é dado pela diferença entre o valor medido e o valor verdadeiro, obtido pela 
regressão linear, podem-se citar três alternativas:
• Minimizar a Soma total dos erros - ( )∑ − ii yˆy
Dado três pontos distribuídos aleatoriamente no plano xy observa-se com este 
critério que mais de uma reta atinge o objetivo de minimizar a soma total dos 
erros, fato que o torna inconveniente, Fig. 1.5.
13SISTEMAS DE MEDIÇÃO
Fig. 1.5 - Caso da soma total dos erros.
• Minimizar a Soma total dos módulos dos erros - ∑ − ii yˆy
Tomando-se os mesmos pontos analisados, pode-se obter as seguintes retas 
alternativas empregando este critério, Fig. 1.6.
A soma dos módulos dos erros no primeiro caso, Fig. 1.6a é igual a 4, enquanto 
que para o segundo, Fig. 1.6b, resulta 3, ou seja, seguindo este critério a segunda 
curva seria a escolhida.
Fig. 1.6 - Caso da soma total dos módulos dos erros
 Neste exemplo, Fig. 1.6b, observa-se que o resultado seria o mesmo caso o 
ponto +3 não fosse considerado, não representando a realidade de maneira fidedig-
na. Sendo assim, este critério pode ser descartado.
• Minimizar a Soma total dos quadradosdos erros - ( )2ii yˆy∑ −
Esta alternativa tem se mostrado superior em relação às anteriores pelos seguin-
tes motivos:
• Elevando ao quadrado, todos os erros se tornam positivos e o problema do 
sinal é superado.
14 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
• Todos os dados contribuem para a identificação dos parâmetros.
• Elevando ao quadrado, são enfatizados os grandes erros e, pela natureza do 
critério, estes pontos serão evitados (filtro).
• A álgebra é simples e de fácil implementação computacional.
 Sendo assim, substituindo, na (1.18), Yi, β0 e β1 por yi, b0 e b1 e isolando o 
resíduo, ei (estimativa de εi), resulta:
 ( )i0ii xbbye ⋅+−= (1.19)
 Tal metodologia também é conhecida como mínimos quadrados.
 Os valores dos parâmetros que resultarem da minimização da soma dos qua-
drados dos resíduos, b0 e b1, são freqüentemente chamados estimativas de β0 e β1. 
Com isto tem-se:
 ∑∑
==
⋅−−==
n
1i
2
i10i
n
1i
2
i )xbby(eFmin (1.20)
 Tomando a derivada parcial de F com relação à b0 e b1, e igualando a zero, 
tem-se:
 
n
xby
b
n
1i
i1
n
1i
i
0
∑∑
==
⋅−
= ; 
∑ ∑∑
∑∑∑
= ==
===
⋅−⋅
⋅−⋅⋅
= n
1i
n
1i
i
n
1i
i
2
i
n
1i
i
n
1i
i
n
1i
ii
1
xxxn
yxyxn
b (1.21)
 Em termos de estimadores tem-se:
 i10i1100 xˆˆYˆ;bˆ;bˆ ⋅β+β==β=β (1.22)
 Para o caso particular onde yi = b1⋅xi, resulta:
 
∑
∑
=
=
⋅
= n
1i
2
i
n
1i
ii
1
x
yx
b (1.23)
 Esta expressão é a da regressão linear sem intercepto.
15SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 Certas funções curvilíneas podem ser linearizadas, e terem seus parâmetros 
determinados pelo método de mínimos quadrados, procedendo-se a apenas algu-
mas mudanças de variáveis. A Tab. 1.2 mostram algumas destas funções.
Tab. 1.2 - Linearização de funções
Função Equação original Equação linearizada
Hiperbólica
10 x
x
y
β+⋅β
=
x
1
y
1
10 ⋅β+β=
Exponencial )xexp(y 10 ⋅ββ= xlnyln 10 ⋅β+β=
Potência 1xy 0
β⋅β= xlnlnyln 10 ⋅β+β=
Logarítmica )xln(y 10 ⋅β+β= )x(lny 10 ⋅β+β=
Exponencial inversa
x
expy 10
β
β=
x
lnyln 10
β
+β=
Pseudo-exponencial x
10 e
1
y
−⋅β+β
= x10 ey
1 −⋅β+β=
 É curioso observar que a reta obtida por mínimos quadrados passa exata-
mente pela coordenada definida pelo valor médio das variáveis independentes e das 
variáveis dependentes
1.4. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DOS INSTRUMENTOS DE 
MEDIÇÃO
 As características estáticas dos instrumentos de medição referem-se a sua 
utilização quando a grandeza a medir encontra-se em estado de equilíbrio termodi-
nâmico, isto é, quando a variação no espaço e no tempo de todas suas propriedades 
controláveis físicas, químicas e térmicas são da mesma ordem que propriedades não 
controláveis correspondentes externas.
 Por exemplo, medições de pressões e temperaturas podem ser feitas desde que 
suas variações sejam da mesma ordem que as externas correspondentes. Em princípio, 
são as variações de temperatura que condicionam os estados estáticos das medidas.
 De um modo geral, para estes estados, a bibliografia, entre outras, utiliza a 
seguinte conceituação:
16 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
• Instrumento de medição, dispositivo utilizado para uma medição, sozinho ou 
em conjunto com outro(s) complementar(es).
• Medida materializada, dispositivo destinado a reproduzir ou fornecer, de maneira 
permanente durante seu uso, um ou mais valores conhecidos de uma dada grandeza.
• Transdutor de medição, dispositivo que fornece uma grandeza de saída que 
tem uma correlação determinada com a grandeza de entrada.
• Cadeia de medição ou Sistema de Medição, seqüência de elementos de um 
instrumento ou sistema de medição, que constitui o trajeto do sinal de medição 
desde o estímulo até a resposta, vide item 1.10.
• Detetor, captor ou sensor dispositivo ou substância que indica a presença de um 
fenômeno, sem necessariamente fornecer o valor de uma grandeza associada.
• Escala de um instrumento de medição, conjunto ordenado de marcas, associa-
do a qualquer numeração a qual faz parte dispositivo mostrador de um instru-
mento de medição.
• Comprimento de escala, para uma dada escala, é o comprimento da linha com-
preendida entre a primeira e a última marca, passando pelo centro de todas as 
marcas menores.
• Divisão de escala, parte de uma escala compreendida entre duas marcas suces-
sivas quaisquer.
• Comprimento de uma divisão, distância entre duas marcas sucessivas quais-
quer, medidas ao longo da linha do comprimento de escala.
• Valor de uma divisão, diferença entre os valores da escala correspondentes a 
duas marcas sucessivas.
• Ajuste de um instrumento de medição, operação destinada a fazer com que 
um instrumento de medição tenha desempenho compatível com o seu uso.
• Regulagem de um instrumento de medição, ajuste empregando somente os 
recursos disponíveis no instrumento para o usuário.
• Exatidão (Accuracy), aptidão de um instrumento de medição para dar respos-
tas próximas a um valor verdadeiro convencional. A exatidão é um conceito qua-
litativo e normalmente é dada como um valor percentual do fundo de escala do 
instrumento. Por exemplo: um voltímetro com fundo de escala 10 (V) e exatidão 
±1 (%) apresenta erro máximo esperado é de 0,1 (V). Isto quer dizer que se o ins-
trumento mede 1 (V), o possível erro é de 10 (%) deste valor ou 0,1 (V). Por esta 
razão é uma regra importante escolher instrumentos com uma faixa apropriada 
para os valores a serem medidos.
17SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 A classe de exatidão de instrumentos de medição é certas exigências me-
trológicas destinarem a conservar os erros dentro de limites específicos. Por exem-
plo, seja o caso de transformadores de potência - TPs - e, transformadores de 
corrente - TCs -, onde a classe de exatidão dependerá da aplicação do equipamento, 
que deverão possuir classe de exatidão igual ou superior. As aplicações mais comuns 
estão contidas na Tab. 1.3.
Tab. 1.3 - Classes de Exatidão
Classe Aplicação
Menor que 0,3
não padronizado
TC padrão, medições em laboratório, medições espe-
ciais.
0,3 Medidas de energia com fins de faturamento, medições em laboratórios.
0,6 a 1,2 Alimentação usual de amperímetros, voltímetros, watí-metros, medidores estatísticos, fasímetros e outros.
3 Aplicações diversas. Não deve ser usado em medição de energia e potência.
• Precisão, termo que descreve o grau de liberdade a erros aleatórios, ou seja, 
ao nível de espalhamento de várias leituras em um mesmo ponto. A precisão é 
freqüentemente confundida com a exatidão. Um aparelho preciso não implica 
que seja exato. Uma baixa exatidão em instrumentos precisos decorre normal-
mente de um desvio ou tendência nas medidas, o que poderá ser corrigido por 
uma nova calibração. A Fig. 1.7 procura ilustrar as características de exatidão e 
precisão de um instrumento ou equipamento.
Fig. 1. 7 - Exatidão e Precisão.
18 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
• Repetitividade, aproximação acertada, em presença de erros aleatórios, entre 
as medições de uma mesma grandeza, obtidas em iguais condições. Em última 
análise, a repetitividade descreve o grau de concordância entre os resultados 
de medições sucessivas de um mesmo mensurando efetuadas sob as mesmas 
condições de medição. Estas condições são denominadas condições de repe-
titividade e incluemo mesmo procedimento de medição, mesmo observador, 
mesmo instrumento de medição utilizado nas mesmas condições, mesmo local 
e repetição em curto período de tempo.
• Reprodutibilidade, proximidade acertada entre medições do mesmo valor de 
uma grandeza obtida em diferentes condições, por exemplo: diferentes obser-
vadores, instrumentos, espaços e intervalos de tempo suficientemente grandes 
para que as diferenças errôneas sejam insignificantes. Assim, a reprodutibilidade 
expressa o grau de concordância entre os resultados das medições de um mes-
mo mensurando, efetuadas sob condições variadas de medição. Para que uma 
expressão de reprodutibilidade seja válida, é necessário que sejam especificadas 
as condições alteradas, que podem incluir o princípio de medição, método de 
medição, observador, instrumento de medição, padrão de referência, local, con-
dições de utilização e condições climáticas.
 Os graus de repetitividade e de reprodutibilidade são maneiras alternativas 
de se expressar à precisão. Embora estes termos signifiquem praticamente à mesma 
coisa, eles são aplicados a contextos diferentes.
• Resolução, variação menor possível que pode ter uma variável física a qual pode 
causar uma variação na resposta do sistema de medição.
• Tolerância, termo muito próximo à exatidão e define o erro máximo que é es-
perado em um determinado valor. Embora não seja uma característica estática 
de instrumentos, é aqui mencionada porque a exatidão de alguns instrumentos 
é especificada em termos de tolerância. Quando aplicado corretamente, a to-
lerância de um componente manufaturado descreve o máximo desvio de um 
valor especificado. Por exemplo, um resistor escolhido aleatoriamente com valor 
nominal 1000 (Ω) e tolerância 5 (%) pode ter seu valor real entre 950 e 1050 (Ω).
• Faixa de indicação ou alcance (range), conjunto de valores limitados pelas in-
dicações extremas, ou seja, entre os valores máximos e mínimos possíveis de 
serem medidos com determinado instrumento. Por exemplo, um termômetro 
pode ter um range de 0 a 100 (oC).
• Amplitude da faixa nominal (span) ou varredura, diferença entre o maior e o 
menor valor de uma escala de um instrumento determinado. Assim, um instru-
19SISTEMAS DE MEDIÇÃO
mento capaz de reagir entre 20 e 200 (psi) tem um span de 180 (psi).
• Tendência de um instrumento de medição (bias), erro sistemático da indica-
ção de um instrumento que ocorre em toda a sua faixa de indicação. A tendên-
cia é normalmente estimada pela média dos erros de indicação de um número 
apropriado de medições repetidas e poderá ser removida através de nova cali-
bração ou simplesmente um ajuste de zero.
• Linearidade e não linearidade, característica, normalmente desejável, onde 
a leitura de um instrumento é linearmente proporcional à grandeza que está 
sendo medida. O gráfico da Fig. 1.8 mostra a relação entre uma grandeza 
e o resultado de medições. Nela observa-se um certo grau de linearidade que 
pode ser notado mesmo visualmente. No entanto, podem-se utilizar métodos 
estatísticos, tais como um coeficiente de correlação, para saber o quão a curva 
mostrada se aproxima de uma reta. A não linearidade, por sua vez, é definida 
como o máximo desvio de qualquer uma das leituras com relação à reta obtida, 
e é normalmente expressa como uma percentagem do fundo de escala. 
Fig. 1.8- Linearidade entre as grandezas e as leituras. 
• Sensibilidade do instrumento, resposta de um instrumento de medição divi-
dida pela correspondente variação do estímulo. A sensibilidade pode depender 
do valor do estímulo. Sendo assim, a sensibilidade pode ser contabilizada como 
a inclinação da reta que define a relação entre a leitura e a grandeza medida. Por 
exemplo, a pressão de 2 (b) produz uma deflexão de 10 (graus) em um transdu-
tor de pressão, logo, a sensibilidade do instrumento é 5 (graus/bar), desde que a 
deflexão seja zero quando se aplica 0 (b).
• Sensibilidade a distúrbios. Todas as calibrações e especificações de um instru-
mento são válidas somente sob condições controladas de temperatura, pressão, 
20 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
etc. Estas condições ambientais padrão são usualmente definidas na especifi-
cação do instrumento. Em função da variação das condições ambientais, certas 
características estáticas dos instrumentos podem se alterar lentamente. Sendo 
assim, a sensibilidade a distúrbios é uma medida da extensão destas alterações. 
Tais variações de condições ambientais podem afetar os instrumentos de duas 
maneiras, conhecidas como deriva (drift) de zero e deriva de sensibilidade.
 A deriva de zero descreve o efeito de como a leitura do zero de um instru-
mento pode ser modificada pela alteração nas condições ambientais. Em um voltí-
metro, por exemplo, a deriva de zero relacionada às variações de temperatura é dada 
em (volts/oC). Se o zero deste voltímetro é modificado em função de outras condi-
ções ambientais, outros coeficientes deverão ser determinados.
 A deriva de sensibilidade ou deriva do fator de escala define o quão a 
sensibilidade de um instrumento varia em função das condições ambientais.
 Na Fig. 1.9 exemplifica-se a existência de deriva de zero, deriva de sensibilida-
de e os casos onde ambos acontecem, respectivamente.
Fig. 1.9 - Características com deriva zero, de sensibilidade e de ambas.
 Seja, por exemplo, uma balança de mola que foi calibrada em um ambiente 
à temperatura de 20 (oC) com as seguintes características deflexão/carga, Tab. 1.4. 
Quando esta balança for usada em um ambiente à temperatura de 30 (oC) obtém-se 
as seguintes características deflexão/carga, Tab. 1.5.
Tab. 1.4 - Características da balança
Carga kg 0 1 2 3
Deflexão mm 0 20 40 60
Tab. 1.5 - Características da balança a 30 (oC)
Carga kg 0 1 2 3
Deflexão mm 5 27 49 71
21SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 A deriva de zero e de sensibilidade por (oC) de mudança na temperatura am-
biente, resulta:
 A 20 (oC) - sensibilidade 20 (mm/kg). A 30 (oC) - sensibilidade 22 (mm/kg). Ten-
dência (bias) = 5 (mm) - (deflexão a carga zero). Sensibilidade = 2 (mm/kg). Deriva de 
zero/oC = 5/10 = 0,5 (mm/oC). Deriva de sensibilidade/oC = 2/10 = 0,2 (mm/kg/oC).
• Resolução, menor diferença entre indicações de um dispositivo mostrador que 
pode ser significativamente percebida. Para um dispositivo mostrador digital, é 
a variação na indicação quando o dígito menos significativo varia de uma unida-
de. Este conceito também se aplica a um dispositivo registrador.
• Zona morta, intervalo máximo no qual um estímulo pode variar em ambos os 
sentidos, sem produzir variação na resposta de um instrumento de medição. A 
zona morta pode depender da taxa de variação e pode, muitas vezes, ser delibe-
radamente ampliada, de modo a prevenir variações na resposta para pequenas 
variações no estímulo.
• Discrição é a capacidade do instrumento de não interferir no mesurando.
1.5. CARACTERÍSTICAS DINÂMICAS DOS INSTRUMENTOS DE 
MEDIÇÃO 
1.5.1. Considerações
 As características estáticas dos instrumentos, conforme foi visto, referem-se 
somente a medidas em estados de equilíbrio. As características dinâmicas, no entan-
to, descrevem o seu comportamento durante o intervalo de tempo em que a gran-
deza medida varia até o momento em que o seu valor medido é apresentado, como é, 
por exemplo, medidas das características em escoamentos de fluidos. Como nas carac-
terísticas estáticas, as características dinâmicas se aplicam somente quando os instru-
mentos são utilizados sob condições ambientais especificadas. Fora destas condições 
de calibração podem-se esperar alterações nestas características dinâmicas.
 Qualquer sistema de medida linear e invariante no tempo respeita a seguinte 
relação entre entrada − q1 − e saída − q0 − em um tempo − t − maior que zero.
 (1.24) 
22 INSTRUMENTAÇÃOPARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
a0-, …, an, b0, …,bm são constantes.
 Se for considerado que a grandeza a ser medida permanece constante du-
rante o tempo de leitura, então esta equação fica simplificada, podendo ser chamada 
equação dinâmica.
 (1.25)
 Simplificações adicionais podem ser consideradas quando esta equação é 
aplicada a classes típicas de instrumentos.
• Instrumento de ordem zero, a menos de a0, todos os outros coeficientes da 
equação dinâmica são iguais à zero.
 i000 qbqa ⋅=⋅ ou ii000 qkqa/bq ⋅=⋅= (1.26)
k é uma constante conhecida como sensibilidade do instrumento, definida ante-
riormente.
 Qualquer instrumento que se comporte segundo esta equação é dito ser de 
ordem zero. Como exemplo, pode-se citar um potenciômetro usado para medir mo-
vimento; a tensão de saída muda instantaneamente tão logo à haste do potenciôme-
tro se movimente ao longo de seu curso.
• Instrumento de primeira ordem, a menos de a0 e a1, todos os outros coeficien-
tes da equação dinâmica são iguais à zero.
 (1.27)
 Se d/dt for substituído pelo operador D, tem-se:
 i00001 qbqaqDa ⋅=⋅+⋅ ou D)a/a(1
q)a/b(
q
01
i00
0 ⋅+
⋅
= (1.28)
 Sendo, 
0
1
a
a
=τ a constante de tempo do sistema, tem-se:
 
D1
qk
q i0 ⋅τ+
⋅
= (1.29)
23SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 Resolvendo-se analiticamente esta equação, a saída q0 em resposta a um de-
grau na entrada qi varia de maneira aproximada conforme se mostra na Fig. 1.10. 
A constante de tempo τ da resposta ao degrau é o tempo tomado quando a saída 
atinge 63(%) do seu valor final.
 O termopar é um bom exemplo de instrumento de primeira ordem. Se um 
termopar à temperatura ambiente for colocado em água fervente, a tensão de saída 
não irá instantaneamente para o nível de 100 (oC), mas irá gradativamente conforme 
mostrado na Fig.1.10 até atingir o seu valor definitivo.
Fig. 1.10 - Variação de q0 em função do tempo.
 O termopar é um bom exemplo de instrumento de primeira ordem. Se um 
termopar à temperatura ambiente for colocado em água fervente, a tensão de saída 
não irá instantaneamente para o nível de 100oC, mas irá gradativamente conforme 
mostrado na figura anterior até atingir o seu valor definitivo.
 Um grande número de instrumentos pertence à classe de instrumentos de 
primeira ordem e, na maioria destes casos, as constantes de tempo possuem valores 
reduzidos. É conveniente salientar que em se tratando de sistemas de controle, é de 
fundamental importância que esta constante de tempo seja levada em consideração. 
 Os instrumentos de primeira ordem são formados por associações de um ele-
mento que possua característica de dissipação e um elemento de armazenamento, 
sejam eles elétricos ou mecânicos. Ou seja, a energia armazenada em um elemento 
vai se dissipando em outro, resultando em uma característica exponencial. Elemen-
tos elétricos passivos que armazenam energia são os indutores (campo magnético) 
e os capacitores (campo elétrico), os quais possuem os análogos mecânicos: mola e 
amortecedor. A perda elétrica por efeito Joule sobre uma resistência tem como aná-
logo mecânico a perdas por atrito.
24 INSTRUMENTAÇÃO PARA SISTEMAS ENERGÉTICOS E INDUSTRIAIS
1.5.2. Padrões 
 Padrão é a medida materializada, o instrumento de medição, o material de 
referência ou o sistema de medição destinado a definir, realizar, conservar ou repro-
duzir uma unidade ou um ou mais valores de uma grandeza para servir como refe-
rência. Sendo assim, têm-se os seguintes tipos de padrões:
• Padrão de referência, aquele que, geralmente tendo a mais alta qualidade 
metrológica disponível em um dado local ou em uma dada organização, a partir 
do qual as medições lá executadas são derivadas.
• Padrão primário, aquele que é designado ou amplamente reconhecido como 
tendo as mais altas qualidades metrológicas e cujo valor é aceito sem referência 
a outros padrões de mesma grandeza. Este conceito é igualmente válido para 
grandezas de base e para grandezas derivadas.
• Padrão secundário, aquele cujo valor é estabelecido por comparação a um pa-
drão primário da mesma grandeza.
• Padrão internacional, aquele reconhecido por um acordo internacional para 
servir, internacionalmente, como base para estabelecer valores a outros padrões 
da grandeza a que se refere.
• Padrão nacional, aquele reconhecido por uma decisão nacional para servir, em 
um país, como base para estabelecer valores a outros padrões da grandeza a que 
se refere.
• Padrão de trabalho, aquele utilizado rotineiramente para calibrar ou contro-
lar medidas materializadas, instrumentos de medição ou materiais de trans-
ferência. Um padrão de trabalho é, geralmente, calibrado por comparação a 
um padrão de referência. O padrão de trabalho utilizado rotineiramente para 
assegurar que as medições estão sendo executadas corretamente é chamado 
padrão de controle.
• Padrão de transferência, aquele utilizado como intermediário para comparar 
padrões. O termo dispositivo de transferência deve ser utilizado quando o in-
termediário não é um padrão.
• Padrão itinerante, aquele, algumas vezes de construção especial, para ser trans-
portado entre locais diferentes, como, por exemplo, o padrão de freqüência de 
césio, portátil, operado por bateria.
1.5.3. Grandezas Base e Padrões Associados
 O sistema corrente de unidades do SIU adotado e recomendado pela Conferência 
Geral de Pesos e Medidas se baseia nas sete unidades de base caracterizadas na Tab. 1.6.
25SISTEMAS DE MEDIÇÃO
 Através destas unidades base podem-se obter as chamadas unidades derivadas.
Tab. 1.6 - Unidades fundamentais do SI1
Grandeza unidade padrão Definição
comprimento m
Comprimento do caminho percorrido pela luz em um 
intervalo de 1/299792458 segundos.
massa kg
Massa do cilindro de platino-irídio mantido no Bureau 
Internacional de Pesos e Medidas em Sévres, França.
tempo s
9192631770 períodos da radiação correspondente 
à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado 
fundamental do átomo de césio 133 (uma precisão de 
1 em 1012 ou 1 segundo em 36000 anos)
temperatura K
Fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do 
ponto tríplice da água.
corrente A
Corrente que flui em dois condutores paralelos, retilí-
neos, infinitamente longos e de seção transversal des-
prezível, imerso em vácuo, distantes um metro um do 
outro, produz a força de 2∙10-7 (N) por metro de com-
primento destes condutores.
intensidade
luminosa cd
Intensidade luminosa em uma dada direção de uma 
fonte que emite radiação monocromática à freqüência 
de 540 (THz); (Hz∙1012) com uma densidade de radia-
ção de 1,4641 (mW/esferorradiano)1.
matéria mol
Quantidade de matéria de um sistema que contém 
tantas entidades elementares quantos são os átomos 
contidos em 0,012 kg de massa do carbono 12.
 Atualmente, um novo padrão de tensão tem sido utilizado. Ele foi obtido 
através de uma junção de filmes finos (junção Josephson) a qual após ser resfriada 
até aproximadamente zero absoluto é irradiada com microondas. Isto permite de-
senvolver uma tensão - u - através da junção, a qual está diretamente relacionada 
com a freqüência de excitação da seguinte forma:
 
e2
fh
⋅
⋅
=υ (1.30)
1 Um esferorradiano é o ângulo sólido no qual, tendo o seu vértice no centro de uma esfera, corta uma 
área da superfície desta esfera igual à área de um quadrado cujos lados têm o comprimento igual ao 
raio da esfera.
26 INSTRUMENTAÇÃO