PROJETO E OTIMIZAÇÃO DO SISTEMA DE ESTERÇAMENTO DO VEÍCULO BAJA RQ-3

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
UNIOESTE – CAMPUS DE FOZ DO IGUAÇU 
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO 
 
 
 
 
 
 
 
MAIKE HENRIQUE MOROGINSKI 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO E OTIMIZAÇÃO DO SISTEMA DE ESTERÇAMENTO DO VEÍCULO 
BAJA RQ-3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FOZ DO IGUAÇU 
2016
 
 
MAIKE HENRIQUE MOROGINSKI 
 
 
 
 
 
 
PROJETO E OTIMIZAÇÃO DO SISTEMA DE ESTERÇAMENTO DO VEÍCULO 
BAJA RQ-3 
 
 
 
 
 
Trabalho de conclusão de curso 
apresentado à banca examinadora do 
curso de Engenharia Mecânica da 
Universidade Estadual do Oeste do 
Paraná, como requisito parcial para a 
obtenção do grau de Engenheiro 
Mecânico. 
 
Orientador: Esp. Camilo Alexandre 
Furlanetto 
 
 
 
 
 
Foz do Iguaçu 
2016 
 
 
TERMO DE APROVAÇÃO 
 
 
MAIKE HENRIQUE MOROGINSKI 
 
 
PROJETO E OTIMIZAÇÃO DO SISTEMA DE ESTERÇAMENTO DO VEÍCULO 
BAJA RQ-3 
 
 
Trabalho de conclusão de curso, sob a orientação do Prof. Camilo Alexandre 
Furlanetto, Esp., aprovado como requisito parcial para obtenção do grau de 
Bacharel em Engenharia Mecânica da Universidade Estadual do Oeste do 
Paraná – UNIOESTE, pela seguinte banca examinadora: 
 
 
 
__________________________________________________________ 
Prof.Esp. Camilo Alexandre Furlanetto, Esp. 
(Orientador) 
UNIOESTE – Campus de Foz do Iguaçu 
 
 
 
___________________________________________________________ 
Prof. D.Sc. Gustavo Adolfo Velazquez Castillo 
UNIOESTE – Campus de Foz do Iguaçu 
 
 
 
_________________________________________________________ 
Prof. M.Sc. Marcos Akira Hatori 
UNIOESTE – Campus de Foz do Iguaçu 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Não deixe de ser você, você tem 
um grande coração. 
Isso é real ou apenas um sonho? 
Levante-se como o sol, trabalhe 
até que o trabalho esteja feito” 
Brandon Flowers 
 
 
RESUMO 
 
O objetivo principal desse trabalho é projetar e otimizar o mecanismo de 
direção tipo pinhão-cremalheira utilizado pela Equipe Cataratas Baja SAE no 
veículo RQ-3 de modo a aproximar seu comportamento da condição de 
esterçamento ideal para baixas velocidades. O sistema atual utilizado no veículo 
está fazendo com que o veículo tenha um rendimento baixo nas competições, 
ou seja, está com dimensões que não atendem ao campo de movimento 
necessário para que o veículo tenha um bom desempenho. Portanto, o propósito 
desse trabalho é analisar o mecanismo atual, sintetizar um mecanismo novo e 
otimizar para melhor atender aos requisitos do veículo. Os mecanismos serão 
comparados com o mecanismo ideal baseado na geometria de Ackermann, e 
isso é feito através do índice de erro de posição. Além disso, o novo mecanismo 
deve atender a alguns parâmetros pré-estabelecidos para atender a geometria 
e estrutura do veículo já construído. O objetivo será encontrado através de uma 
otimização de um mecanismo novo sintetizado, na qual serão variados os pontos 
de precisão de Chebyshev e gerados vinte novos mecanismos para serem 
analisados e comparados de maneira a definir qual atenderá melhor os requisitos 
de projeto. Os resultados obtidos foram satisfatórios, tendo em vista que para o 
primeiro mecanismo já houve uma redução de duas vezes em seu índice de erro 
de posição, caindo de 1.53303 para 0.761504. Já com a otimização o mecanismo 
atendeu melhor ao campo de movimento requisitado e seu índice de erro de 
posição caiu para 0.11336, praticamente sete vezes menor do que o mecanismo 
atual. Além disso as dimensões do mecanismo proposto satisfazem a geometria 
e dimensões do veículo já construído, RQ-3. 
 
Palavras-Chave: Mecanismo de direção. Condição de Ackermann. Mecanismo 
espacial. Síntese analítica. Otimização. 
 
 
 
 
 
 
ABSTRACT 
 
The main objective of this study is to design and optimize the rack and 
pinion steering mechanism used by the Cataratas Baja SAE Team in the RQ-3 
vehicle in order to approximate its ideal steer condition for low speeds. The 
current system used in the vehicle is causing the vehicle to have a low 
performance in competitions, that is, it has dimensions that do not meet the field 
of motion necessary for the vehicle to perform well. Therefore, the purpose of this 
work is to analyze the current mechanism, synthesize a new one and optimize it 
to better meet the requirements of the vehicle. The mechanisms will be compared 
to the ideal mechanism based on Ackermann's geometry, and this will be done 
through the position error index. In addition, the new mechanism must meet some 
pre-set parameters to meet the geometry and structure of the vehicle already 
built. The objective will be achieved through an optimization of a new synthesized 
mechanism in which the Chebyshev precision points will be varied and twenty 
new mechanisms will be generated to be analyzed and compared in order to 
define which will best meet the design requirements. The results obtained were 
satisfactory, considering that for the first mechanism there was already reduction 
in its structural error index by half, falling from 1.53303 to 0.761504. With the 
optimization, the mechanism was more responsive to the required motion field 
and its position error rate dropped to 0.11336, nearly seven times lower than the 
current mechanism. In addition, the dimensions of the proposed mechanism 
satisfy the geometry and dimensions of the vehicle already built, RQ-3. 
 
Key-words: Steering mechanisms. Ackermann condition. Spatial mechanisms. 
Analytical synthesis. Optimization. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 1 – Sistema de direção veicular ............................................................ 14 
Figura 2 – Caixa de direção pinhão-cremalheira .............................................. 16 
Figura 3 - Aplicação do sistema pinhão-cremalheira no baja RQ-3 ................. 16 
Figura 4 - Detalhe caixa de direção baja RQ-3 ................................................ 16 
Figura 5 - Caixa por esferas recirculantes. ....................................................... 17 
Figura 6 – Detalhe esquemático do mecanismo de esf. recirculantes. ............ 18 
Figura 7 – Mecanismo de partida central (central take-off) .............................. 18 
Figura 8 - Mecanismo de partida lateral (side take-off) .................................... 19 
Figura 9 – Caixa de direção à frente ................................................................ 19 
Figura 10 - Caixa de direção atrás. .................................................................. 19 
Figura 11 – Configuração interna do braço de esterçamento .......................... 20 
Figura 12 – Configuração externa do braço de esterçamento.......................... 20 
Figura 13 – Plataforma de elevação ................................................................. 21 
Figura 14 – Vetor (RA) que fornece a posição do ponto A. .............................. 22 
Figura 15 – Representação em número complexo do vetor posição ............... 22 
Figura 16 – Deslocamento linear de um ponto ................................................. 23 
Figura 17 – Deslocamento angular .................................................................. 24 
Figura 18 - Vetores posição em um corpo rígido .............................................. 24 
Figura 19 – Malha vetorial do mecanismo manivela-bloco deslizante.............. 25 
Figura 20 – Pontos de precisão do mecanismo ............................................... 31 
Figura 21 – Parâmetros da condição de Ackermann ....................................... 33 
Figura 22 – Determinação gráfica de espaçamento Chebyshev ...................... 36 
Figura 23 – Mecanismo espacial manivela-bloco deslizante ............................ 38 
Figura 24 – Dimensões atuais do veículo Baja RQ-3 referente a tabela 2 ....... 43 
Figura 25 - Dimensões atuais do veículo Baja RQ-3 referente a tabela 3 ........ 44 
Figura 26 – Manga de eixo Baja-RQ-3 ............................................................. 44 
Figura 27 – Relação entre os ângulos de esterçamento externo e interno (em 
graus) para o mecanismo atualmente utilizado no Baja RQ-3 .... 48 
Figura 28 – Erro de posição em função do ângulo de esterçamento externo do 
mecanismo atual ......................................................................... 49 
Figura 29 – Espaçamento de Chebyshev para 𝑦 ............................................. 52 
 
 
Figura 30 – Relação entre 𝛽 e 𝑦 ....................................................................... 53 
Figura 31 - Espaçamento de Chebyshev para 𝛽 .............................................. 54 
Figura 32 – Pontos de precisão para 𝑦 e 𝛽 ...................................................... 54 
Figura 33 – Desenho no SolidWorks® do primeiro mecanismo sintetizado ..... 55 
Figura 34 – Relação entre os ângulos de esterçamento externo e interno (em 
graus) para o mecanismo sintetizado .......................................... 58 
Figura 35 – Erro de posição em função do ângulo de esterçamento externo do 
mecanismo sintetizado ................................................................ 59 
Figura 36 – Variação dos pontos precisos de 𝛽 para o esterçamento interno . 61 
Figura 37 - Variação dos pontos precisos de 𝛽 para o esterçamento externo . 62 
Figura 38 – Detalhe da variação dos pontos precisos de 𝛽 para o esterçamento 
externo ........................................................................................ 62 
Figura 39 - Relação entre os ângulos de esterçamento externo e interno (em 
graus) para os mecanismos otimizados de 9 a 15 ...................... 66 
Figura 40 - Relação entre os ângulos de esterçamento externo e interno (em 
graus) para os mecanismos otimizados de 16 a 21 .................... 66 
Figura 41 - Erro de posição em função do ângulo de esterçamento externo dos 
mecanismos otimizados de 9 a 15 .............................................. 67 
Figura 42 - Erro de posição em função do ângulo de esterçamento externo dos 
mecanismos otimizados de 16 a 21 ............................................ 67 
Figura 43 – Gráfico de mecanismos por índice de erro de posição (IEP) ........ 68 
Figura 44 - Desenho do mecanismo 19 ........................................................... 72 
Figura 45 - Relação entre os ângulos de esterçamento externo e interno (em 
graus) para o mecanismo atual, primeiro mecanismo sintetizado, 
mecanismo otimizado e mecanismo ideal ................................... 73 
Figura 46 - Erro de posição em função do ângulo de esterçamento externo para 
o mecanismo atual, primeiro mecanismo sintetizado, mecanismo 
otimizado e mecanismo ideal ...................................................... 74 
 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 1 – Pontos de precisão ......................................................................... 30 
Tabela 2 – Dados gerais do veículo ................................................................. 43 
Tabela 3 - Dimensões atuais do veículo Baja RQ-3 ......................................... 44 
Tabela 4 – Ângulos de esterçamento máximos ideais calculados pela condição 
de Ackermann ............................................................................. 45 
Tabela 5 – Valores calculados dos ângulos de esterçamento do mec. atual ... 47 
Tabela 6 – Dados gerais do veículo ................................................................. 51 
Tabela 7 – Dados iniciais do mecanismo proposto para o Baja RQ-3 ............. 51 
Tabela 8 - Dimensões mecanismo proposto para o Baja RQ-3 ....................... 56 
Tabela 9 – Valores calculados dos ângulos de esterçamento do mec. sint. .... 57 
Tabela 10 – Variação dos pontos de precisão para o esterçamento interno e 
externo em 𝛽 e 𝑦 ......................................................................... 63 
Tabela 11 – Dimensões dos 21 mecanismos otimizados ................................. 64 
Tabela 12 - Valores calculados dos ângulos de esterçamento do mec. 19 ...... 69 
Tabela 13 - Valores calculados dos ângulos de esterçamento do mec. 20 ...... 70 
Tabela 14 - Valores calculados dos ângulos de esterçamento do mec. 21 ...... 71 
Tabela 15 - Dimensões mecanismo proposto para o Baja RQ-3 ..................... 72 
Tabela 16 - Índice de erro de posição para o mecanismo atual, primeiro 
mecanismo sintetizado, e mecanismo otimizado ........................ 74 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................... 9 
1.1 OBJETIVO GERAL .............................................................................. 11 
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS................................................................ 11 
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO ............................................................ 11 
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................... 13 
2.1 SISTEMAS DE DIREÇÃO VEICULAR ................................................ 13 
2.1.1 TIPOS DE CAIXA DE DIREÇÃO ................................................ 14 
2.1.2 CONFIGURAÇÕES DO PINHÃO-CREMALHEIRA ..................... 18 
2.2 ANÁLISE CINEMÁTICA ...................................................................... 20 
2.2.1 ANÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCAMENTO ........................... 21 
2.2.2 ANÁLISE DE POSIÇÕES DO MECANISMO PLANAR 
MANIVELA-BLOCO DESLIZANTE ............................................. 25 
2.3 SÍNTESE DE MECANISMOS .............................................................. 29 
2.3.1 PONTOS DE PRECISÃO ............................................................ 30 
2.3.2 SÍNTESE ANALÍTICA DO MECANISMO PLANAR MANIVELA-
BLOCO DESLIZANTE ................................................................. 31 
2.4 CONDIÇÃO DE ACKERMANN ............................................................ 32 
2.5 OTIMIZAÇÃO DE UM MECANISMOS DE ESTERÇAMENTO ............ 34 
2.6 ESPAÇAMENTO DOS PONTOS DE PRECISÃO DE CHEBYSHEV .. 35 
2.7 MECANISMOS ESPACIAIS ................................................................ 36 
3 EQUACIONAMENTO PARA SÍNTESE E ANÁLISE DO MECANISMO 
ESPACIAL MANIVELA-BLOCO DESLIZANTE .......................................... 38 
3.1 ANÁLISE DE POSIÇÕES DO MECANISMO ESPACIAL MANIVELA-
BLOCO DESLIZANTE ......................................................................... 39 
3.2 SÍNTESE ANALÍTICA DO MECANISMO ESPACIAL MANIVELA-
BLOCO DESLIZANTE ......................................................................... 41 
4 ANÁLISE DO MECANISMO ATUAL ........................................................... 43 
4.1 ANÁLISE DE POSIÇÕES DO MECANISMO ATUALMENTE 
UTILIZADO NO BAJA RQ-3 ................................................................ 45 
 
 
 
5 SÍNTESE E ANÁLISE DO MECANISMO PARA ATENDER AS TRÊS 
POSIÇÕES PRECISAS REQUERIDAS ...................................................... 50 
5.1 SÍNTESE DO MECANISMO PARA ATENDER AS TRÊS POSIÇÕES 
PRECISAS REQUERIDAS .................................................................. 50 
5.2 ANÁLISE DEPOSIÇÕES DO MECANISMO SINTETIZADO .............. 56 
6 OTIMIZAÇÃO DO MECANISMO SINTETIZADO ........................................ 61 
6.1 ESTRATÉGIA DE OTIMIZAÇÃO ......................................................... 61 
6.2 OTIMIZAÇÃO DO MECANISMO INICIAL SINTETIZADO ................... 64 
6.3 COMPARAÇÃO ENTRE O MECANISMO ATUAL, PRIMEIRO 
MECANISMO SINTETIZADO, MECANISMO OTIMIZADO E 
MECANISMO COM COMPORTAMENTO IDEAL ............................... 73 
7 CONCLUSÃO .............................................................................................. 75 
REFERÊNCIAS ................................................................................................ 77 
APÊNDICE ....................................................................................................... 79 
APÊNDICE A – ALGORITMO PARA ANÁLISE DO MECANISMO ATUAL 79 
APÊNDICE B – ALGORITMO PARA SÍNTESE E ANÁLISE DE UM NOVO 
MECANISMO ....................................................................................... 81 
APÊNDICE C – ALGORITMO PARA OTIMIZAÇÃO .................................. 83 
 
 
 
 
9 
 
1 INTRODUÇÃO 
O sistema de direção tem um importante papel na estabilidade e segurança, 
trazendo maior dirigibilidade aos veículos. Um sistema bem projetado pode diminuir o 
esforço necessário para o esterçamento das rodas e diminuir o arrasto dos pneus em 
curvas, evitando seu desgaste prematuro e trazendo melhor dirigibilidade ao veículo. 
Segundo Gillespie (1992), a função do sistema de direção é esterçar as rodas 
da frente em resposta aos comandos executados no volante pelo condutor com a 
finalidade de proporcionar controle direcional do veículo. 
Conforme Jazar (2008), o problema consiste em construir um mecanismo que, 
em uma curva, desse à roda interna à curva um raio de giro menor que a roda externa 
à curva. 
Segundo Norton (2009), a síntese analítica é a geração de uma ou mais 
soluções satisfatórias para atender um problema em particular, e o mais importante, 
para o qual há um algoritmo de síntese definido. Como o nome sugere, esse tipo de 
solução pode ser quantificado, já que um número definido de equações gera uma 
resposta numérica. Se a resposta é boa ou satisfatória, é uma questão de julgamento 
que vai requerer análise e iteração para otimizar o projeto. 
A condição de Ackermann diz que os ângulos de esterçamento das duas rodas 
dianteiras devem ser diferentes, pois ao girar o pneu de dentro o raio é menor do que 
o raio do pneu do lado de fora e, portanto, a roda interna deve ter um ângulo de direção 
maior para evitar o desgaste dos pneus. Em um veículo onde as rodas traseiras não 
possuem esterçamento, os centros dos raios de giro das duas rodas dianteiras devem 
interceptar o prolongamento do eixo traseiro no mesmo ponto, conseguindo então, 
fazer uma curva precisa. 
O sistema de direção mais utilizado em automóveis é o sistema pinhão-
cremalheira, devido à sua facilidade de construção e baixo custo. O esterçamento das 
rodas é obtido através do movimento de giro do volante pelo motorista, que gira um 
pinhão conectado a uma cremalheira, convertendo a rotação em um movimento linear. 
O deslocamento da cremalheira é transmitido pelo mecanismo de direção até os 
pneus, esterçando-os na direção desejada. 
 
10 
 
Entretanto, esse mecanismo, como todos os outros que existem, não é capaz 
de atender perfeitamente a condição de esterçamento ideal ao longo de todo o 
movimento. Leishman e Chase (2009) desenvolveram uma técnica que, a partir das 
dimensões de um veículo, permite sintetizar mecanismos que sejam capazes de 
trabalharem mais próximos à condição ideal, sendo exatos em três pontos. Essa 
técnica consiste em representar um sistema pinhão-cremalheira por um mecanismo 
manivela-bloco deslizante, tendo como entrada o movimento do bloco deslizante 
(cremalheira) e as saídas sendo dois deslocamentos angulares da manivela, que 
correspondem aos ângulos de esterçamento. 
A diferença entre os valores reais e ideias dos ângulos de esterçamento, nos 
pontos em que ela existe é chamada de erro de posição. Com base nesse erro, é 
possível determinar o quão próximo o mecanismo em estudo está da condição ideal 
de esterçamento, podendo então aperfeiçoar o mecanismo através de uma otimização 
com o propósito de deixá-lo mais próximo da condição de Ackermann. 
A Equipe Cataratas Baja SAE constrói veículos para competições entre 
instituições de nível superior de engenharia. Os estudantes projetam e constroem um 
veículo para tráfego em terreno acidentado. Por se tratar de um veículo fora de 
estrada, o projeto de direção deve ser projetado para garantir dirigibilidade e 
segurança em diversas situações pelas quais o veículo é submetido durante as 
competições. A competitividade faz com que o veículo necessite de um bom projeto 
de dinâmica veicular. O mecanismo de direção utilizado no veículo Baja RQ-3 é do 
tipo pinhão-cremalheira. Assim, o presente trabalho visa projetar e otimizar esse 
mecanismo em relação à geometria de Ackermann. Como resultado, o controle e a 
dirigibilidade do veículo serão melhorados, aumentando também a segurança e 
confiabilidade. 
 O objetivo geral desse trabalho é projetar e otimizar o mecanismo de direção 
tipo pinhão-cremalheira utilizado pela Equipe Cataratas Baja SAE no veículo RQ-3 de 
modo a aproximar seu comportamento de condição de esterçamento ideal para baixas 
velocidades. 
A Equipe Cataratas Baja SAE possui veículos com um sistema de direção do tipo 
pinhão cremalheira, porém, sua geometria está discrepante da geometria ideal, 
ocasionando um maior arraste dos pneus em curvas e, consequentemente, 
influenciando no controle do veículo. 
A análise e modificação desse mecanismo, fazendo-o obedecer a geometria de 
11 
 
Ackermann e otimizando-o para reduzir seu erro de posição, é essencial para as 
pretensões do grupo de ter um veículo com melhor dirigibilidade e menos sujeito a 
falhas e quebras, de maneira a obter melhores resultados nas competições. 
1.1 OBJETIVO GERAL 
 
Projetar e Otimizar o mecanismo de direção tipo pinhão-cremalheira utilizado pela 
Equipe Cataratas Baja SAE no veículo RQ3 de modo a aproximar seu comportamento de 
condição de esterçamento ideal para baixas velocidades. 
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
 
a. Analisar o sistema utilizado no veículo atual. 
b. Equacionar o mecanismo a ser estudado. 
c. Avaliar o erro de posição desse mecanismo em relação à condição ideal de 
Ackermann. 
d. Variar os parâmetros da geometria do mecanismo com a finalidade de diminuir seu 
erro de posição, de modo a otimizá-lo. 
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO 
No Capítulo 2, intitulado fundamentação teórica, são apresentados os conceitos 
teóricos necessários ao desenvolvimento do trabalho. Ao longo desse capítulo 
abordam-se conceitos referentes ao sistema de direção veicular, análise cinemática, 
síntese de mecanismos, condição de Ackermann, otimização de um mecanismo de 
esterçamento, espaçamento dos pontos de precisão de Chebyshev e mecanismos 
espaciais. 
No Capítulo 3, intitulado equacionamento para síntese e análise do mecanismo 
espacial manivela-bloco deslizante, será demonstrado o equacionamento necessário 
para fazer a síntese e análise de mecanismos espaciais. 
No Capítulo 4, intitulado análise do mecanismo atual, serão descritas as 
dimensões do mecanismo atualmente utilizado no Baja RQ-3, bem como a análise de 
seu funcionamento com as equações descritas no capítulo 3. 
No Capítulo 5, intitulado síntese e análise do mecanismo para atender as três 
12 
 
posições precisas requeridas, será sintetizado um novo mecanismo segundo os 
pontos precisos dados por Chebyshev e que atendaas condições de Ackermann. 
Também será feita uma análise desse mecanismo, de maneira a comparar com o 
mecanismo atual. 
No Capítulo 6, intitulado otimização do mecanismo sintetizado, será apresentado 
a estratégia de otimização utilizada, otimização do mecanismo inicial sintetizado e 
uma comparação entre o mecanismo atual, primeiro mecanismo sintetizado e o 
mecanismo otimizado. 
No Capítulo 7, intitulado Conclusão, são apresentadas as principais conclusões 
do trabalho. 
 
 
 
13 
 
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
Neste capítulo serão apresentados os sistemas de direção veicular, assim como 
tipos de caixa de direção e possíveis configurações para o mecanismo pinhão-
cremalheira. Também serão abordados conceitos importantes para o 
desenvolvimento do trabalho, como análise cinemática, análise de posição e 
deslocamento, síntese de mecanismos, pontos de precisão, síntese analítica, 
condição de Ackermann, otimização de um mecanismo de esterçamento, 
espaçamento dos pontos de precisão de Chebyshev e mecanismos espaciais. 
2.1 SISTEMAS DE DIREÇÃO VEICULAR 
Segundo Gillespie (1992), a função do sistema de direção é esterçar as rodas 
da frente em resposta aos comandos executados no volante pelo condutor com a 
finalidade de proporcionar controle direcional do veículo. 
De acordo com Knowles (2011), os sistemas de direção presentes nos veículos 
atuais são essenciais para garantir segurança, qualidade e controle no esterçamento 
das rodas durante a realização de curvas. O veículo baja RQ-3 necessita de um 
sistema otimizado para obter, além das características já citadas acima, um ótimo 
rendimento, de maneira a obter os melhores resultados nas competições em que 
participa. 
Conforme Figura 1, o sistema de direção começa pelo volante, que recebe o 
movimento de rotação executado pelo condutor do veículo. Esse movimento é 
transmitido pela coluna de direção para um mecanismo de direção, chamado de caixa 
de direção. O mecanismo de direção transforma o movimento de rotação do volante 
no movimento de giro nas rodas do veículo. 
14 
 
Figura 1 – Sistema de direção veicular 
 
Fonte: Adaptado de Torque Monkeys1. 
2.1.1 TIPOS DE CAIXA DE DIREÇÃO 
Gillespie (1992) diz que os sistemas de direção usados em veículos 
motorizados são diversos. Porém, os dois tipos de caixas de redução comumente 
utilizados para o movimento do volante são: pinhão-cremalheira e esferas 
recirculantes. 
Segundo Reimpell (2001), o sistema pinhão-cremalheira é usado não apenas 
em veículos pequenos e médios, mas também pode ser utilizado em veículos mais 
pesados e rápidos. 
O mecanismo começa com o comando de rotação exercido pelo motorista no 
volante, que é transformado em movimento de translação da cremalheira, que por sua 
vez transmite o movimento às barras de direção (JAZAR, 2008). 
O sistema pinhão-cremalheira consiste basicamente no engrenamento de um 
 
1 Disponível em: <http://www.torquemonkeys.com/cars/guides/tech-guide-rack-and-pinion-
steering>. Acessado em: 31/08/2016 
15 
 
pinhão a uma cremalheira, vide Figura 2, Figura 3 e Figura 4. De acordo com 
Fernandes (2005, p.3): 
 
O mecanismo de direção normalmente é fixado na carroceria ou na 
suspensão, podendo estar localizado à frente ou atrás das rodas. Através do 
engrenamento pinhão e cremalheira, o movimento de rotação do volante que 
resulta no mesmo movimento de rotação do pinhão é transformado em 
movimento de translação da cremalheira. Em cada extremidade da 
cremalheira, existem barras laterais biarticuladas que tem a função de 
promover a união da cremalheira com as mangas de eixo. Portanto o 
movimento de translação da cremalheira aciona as mangas de eixo que 
geram os ângulos de esterçamento das rodas esquerda e direita, onde as 
mangas de eixo descrevem um arco em torno do eixo de esterçamento da 
roda ou pino mestre. 
 
Segundo Reimpell (2001), as vantagens que o sistema pinhão-cremalheira 
apresenta são: 
a. Construção simples; 
b. Econômico e fácil de construir; 
c. Boa eficiência; 
d. Sistema compacto; 
e. Ângulos de esterçamento fáceis de limitar. 
Já as desvantagens que o sistema apresenta são: 
a. Grande sensibilidade a impactos; 
b. Grandes forças envolvidas em certas configurações; 
c. Transmissão de perturbações ao volante; 
d. Ângulo de esterçamento limitado pelo tamanho da cremalheira; 
e. Não pode ser utilizada em sistemas com eixo rígido. 
16 
 
Figura 2 – Caixa de direção pinhão-cremalheira 
 
Fonte: REIMPELL (2001) 
 
Figura 3 - Aplicação do sistema pinhão-cremalheira no baja RQ-3 
 
 
 
 
Figura 4 - Detalhe caixa de direção baja RQ-3 
 
17 
 
O mecanismo de direção por esferas recirculantes é composto por uma 
engrenagem sem fim, esferas recirculantes e cremalheira de esferas. A cremalheira 
de esferas é um bloco metálico que possui rosca na parte interna e dentes de 
engrenagem na parte externa, os quais se acoplam nas engrenagens que 
movimentam o braço pitman. Quando o condutor esterça o volante o movimento é 
transmitido pela coluna de direção até o sem-fim, que gira junto. Quando o sem-fim 
gira, move o bloco, o qual movimenta a engrenagem que gira as rodas. Os filetes são 
preenchidos com esferas que recirculantes através da engrenagem enquanto ela gira, 
de maneira a reduzir o desgaste e as folgas no engrenamento. 
Caixas de direção com movimento de rotação são difíceis de serem aplicados 
a carros de passeio com tração dianteira e suspensão independente, pois exigem uma 
barra adicional para conectar ao braço pitman e um braço tensor. Este tipo de sistema 
de direção é mais complicado, no geral nos automóveis de passageiros com 
suspensão independente com tração dianteira, portanto, mais caro do que sistemas 
de direção pinhão-cremalheira (REIMPELL, 2001). 
No entanto, esse sistema, representados pela Figura 5 e Figura 6 apresenta 
uma série de vantagens: 
 
a. Pode ser utilizado em eixos rígidos; 
b. Pode transferir grandes forças; 
c. Alcança grandes ângulos de esterçamento; 
d. Baixo carregamento nos membros do mecanismo. 
Figura 5 - Caixa por esferas recirculantes. 
 
Fonte: REIMPELL (2001). 
18 
 
Figura 6 – Detalhe esquemático do mecanismo de esferas recirculantes. 
 
Fonte - Adaptado de How Stuff Works2. 
2.1.2 CONFIGURAÇÕES DO PINHÃO-CREMALHEIRA 
De acordo com Leishman e Chase (2009), existem dois tipos principais de 
mecanismos de esterçamento utilizados no sistema pinhão-cremalheira. Sendo o 
mecanismo de partida central (central take-off), onde as barras de esterçamento se 
conectam no ponto central da cremalheira, conforme Figura 7. E o mecanismo de 
partida lateral (side take-off), onde as barras de esterçamento conectam-se nas 
extremidades da cremalheira, conforme Figura 8. 
Figura 7 – Mecanismo de partida central (central take-off) 
 
Fonte – Adaptado Leishman e Chase (2009) 
 
 
2 Disponível em: <http://auto.howstuffworks.com/steering3.htm>. Acessado em: 
08/09/2016 
19 
 
Figura 8 - Mecanismo de partida lateral (side take-off) 
 
Fonte – Adaptado Leishman e Chase (2009) 
A caixa de direção pode ser posicionada a frente do pino mestre (linha de centro 
dos pneus), conforme Figura 8. Ou ainda, atrás do pino mestre, conforme Figura 9. 
Figura 9 – Caixa de direção à frente 
 
Fonte - Fonte – Adaptado Leishman e Chase (2009) 
 
Figura 10 - Caixa de direção atrás. 
 
Fonte - Fonte – Adaptado Leishman e Chase (2009) 
Outra configuração pode ser dada pelo braço de esterçamento, onde ele pode 
fazerum ângulo 𝛽 com o centro de giro do pneu (pino mestre). Esse ângulo pode ser 
de maneira que o braço de esterçamento esteja na parte interna, conforme Figura 11, 
ou na parte externa, conforme Figura 12. 
 
20 
 
Figura 11 – Configuração interna do braço de esterçamento 
 
Figura 12 – Configuração externa do braço de esterçamento 
 
 
O mecanismo a ser utilizado neste trabalho será o pinhão-cremalheira de partida 
lateral com a caixa posicionada à frente do pino mestre e com ângulo 𝛽 de maneira 
que o braço de esterçamento fique interno. 
2.2 ANÁLISE CINEMÁTICA 
De acordo com Myszka, a cinemática lida com a forma como as coisas se 
movem. A análise cinemática envolve a determinação de posição, deslocamento, 
rotação, velocidade, e aceleração de um mecanismo. 
 Para ilustrar a importância de uma análise cinemática usou-se uma plataforma 
elevatória como exemplo, Figura 13. A análise cinemática fornece conhecimento 
sobre questões significativas de projeto tais como: 
21 
 
a. Qual é o significado do comprimento das pernas que suportam a 
plataforma?; 
b. É necessário para o suporte da plataforma que as pernas se cruzem e 
sejam conectadas no cetro, ou é melhor para organizar o modo como 
elas cruzam perto da plataforma?; 
c. Quanto o cilindro deve estender-se para elevar 10 centímetros da 
plataforma? 
Figura 13 – Plataforma de elevação 
 
Fonte: Myszka (2012) 
2.2.1 ANÁLISE DE POSIÇÃO E DESLOCAMENTO 
A posição de um ponto do mecanismo é a posição espacial do ponto. Esse 
ponto pode ser definido com um vetor de posição (𝑅𝐴), que seria a partir da origem de 
referência até a localização do ponto. A Figura 14 ilustra um vetor de posição, 
definindo a posição plana do ponto. Esse vetor pode ser expresso em coordenadas 
cartesianas ou polares. A forma polar fornece o módulo e o ângulo do vetor, já a forma 
cartesiana fornece as componentes em X e Y. 
22 
 
Figura 14 – Vetor (RA) que fornece a posição do ponto A. 
 
 
Fonte: NORTON (2010). 
É possível representar a direção dos componentes usando versores, ou por 
números complexos. Nesse trabalho será utilizado a notação de números complexos. 
Na qual a componente do eixo X é chamada de parte real e a componente do eixo Y 
é chamada de parte imaginária. Representado pelas equações, conforme Figura 15: 
 
Forma Polar: 
 R𝑒𝑗𝜃 (2.1) 
Forma cartesiana: 
 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑗𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 (2.2) 
Figura 15 – Representação em número complexo do vetor posição 
 
Fonte: NORTON (2010). 
23 
 
A forma polar do número complexo é obtida por meio da identidade de Euler, 
sendo: 
 𝑒±𝑗𝜃 = cosθ ± senθ (2.3) 
 Segundo Norton (2010), qualquer vetor bidimensional pode ser representado 
por uma compacta notação polar do lado esquerdo da equação (2.3). 
Deslocamento de um ponto é a mudança da sua posição e pode ser definido 
como a distância em linha reta entre a posição inicial e a final do ponto que se moveu 
no sistema de referência, conforme Figura 16, Norton (2010). Não se deve confundir 
deslocamento com trajetória. Existem dois tipos de deslocamento, linear e angular. 
O módulo do vetor de deslocamento é a distância entre os pontos final e inicial. 
Já a direção do vetor pode ser identificada através do ângulo entre o eixo de referência 
e a linha que conecta as duas posições, enquanto seu sentido vai do ponto inicial para 
o final (Myszka, 2012). 
No deslocamento linear, os vetores RA e RB definem as posições dos pontos A 
e B, respectivamente. Enquanto o vetor RBA descreve o deslocamento entre A e B, o 
qual pode ser representado pela equação (2.4): 
 𝑅𝐵𝐴 = 𝑅𝐵 − 𝑅𝐴 
(2.4) 
Figura 16 – Deslocamento linear de um ponto 
 
Fonte: Adaptação de Norton (2010). 
Já o deslocamento angular, segundo Myszka (2012), é a distância angular entre 
duas configurações de uma ligação rotativa. Ou seja, é a diferença entre as posições 
angulares inicial e final de uma ligação, tal como mostrado na Figura 17. Porém, 
apesar de possuir uma magnitude e direção, o deslocamento angular não é 
24 
 
tecnicamente um vetor, já que não atende às leis comutativas e associativas de adição 
de vetores. O deslocamento angular pode ser denotado pela Equação (2.5): 
Δ𝜃3 = 𝜃3′ − 𝜃3 (2.5) 
Figura 17 – Deslocamento angular 
 
Fonte – Myszka (2012) 
Para um corpo rígido, o deslocamento funciona de forma semelhante. Um ou 
mais vetores posição são acoplados a cada elo, dependendo da sua ordem, de forma 
que as extremidades desses vetores estejam coincidentes com os nós dos elos, como 
mostrado na Figura 18. 
 
Figura 18 - Vetores posição em um corpo rígido 
 
Fonte - Adaptado de Myszka (2012). 
25 
 
2.2.2 ANÁLISE DE POSIÇÕES DO MECANISMO PLANAR MANIVELA-BLOCO 
DESLIZANTE 
Para esse trabalho o sistema pinhão-cremalheira será representado por um 
mecanismo manivela-bloco deslizante, tendo como entrada o movimento do bloco 
deslizante (cremalheira) e as saídas sendo dois deslocamentos angulares da 
manivela, que correspondem aos ângulos de esterçamento. 
Segundo Norton (2010), considerar um eixo coordenado paralelo ao eixo de 
deslizamento simplifica a análise. Assim o vetor de comprimento variável e direção 
constante 𝑟1 representa a posição do deslocamento em relação ao eixo X. O vetor 𝑟4 
,ortogonal ao vetor 𝑟1, representa a posição constante do deslocamento em relação 
ao eixo Y, sendo ele a distância entre a cremalheira e o centro de giro do pneu. Já os 
vetores 𝑟2 e 𝑟3 completam o laço, sendo eles propriamente ditos os elos do 
mecanismo. Esse mecanismo é representado pela Figura 19: 
Figura 19 – Malha vetorial do mecanismo manivela-bloco deslizante 
 
 
O arranjo dos vetores proposto por Norton (2010, p.204) para o mecanismo da Figura 
19 forma a malha vetorial expressa na equação: 
 𝑟2⃗⃗ ⃗ − 𝑟3⃗⃗ ⃗ − 𝑟4⃗⃗⃗ − 𝑟1⃗⃗⃗ = 0 (2.6) 
 Aplica-se a notação de número complexo para cada vetor posição: 
 𝑟2𝑒
𝑗𝜃2 − 𝑟3𝑒
𝑗𝜃3 − 𝑟4𝑒
𝑗𝜃4 − 𝑟1𝑒
𝑗𝜃1 = 0 (2.7) 
26 
 
 Aplicando a identidade de Euler na equação (2.7): 
 
𝑟2(𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃2) − 𝑟3(𝑐𝑜𝑠𝜃3 + 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃3) − 𝑟4(𝑐𝑜𝑠𝜃4 + 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃4) + 
−𝑟1(𝑐𝑜𝑠𝜃1 + 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜃1) = 0 
(2.8) 
 Separa-se então a equação (2.8) em duas partes, sendo uma real e a outra 
imaginária e ambas são igualadas a zero: 
Real: 𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃2 − 𝑟3𝑐𝑜𝑠𝜃3 − 𝑟4𝑐𝑜𝑠𝜃4 − 𝑟1𝑐𝑜𝑠𝜃1 = 0 
(2.9) 
Imaginária: 𝑗𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃2 − 𝑗𝑟3𝑠𝑒𝑛𝜃3 − 𝑗𝑟4𝑠𝑒𝑛𝜃4 − 𝑗𝑟1𝑠𝑒𝑛𝜃1 = 0 (2.10) 
 
Porém, tem-se que: 
 
 cos 0º = 1 
 𝜃1 = 0º 
 𝑠𝑒𝑛 0º =0 
e, 
 cos 90º = 0 
 𝜃4 = 90º 
 𝑠𝑒𝑛 90º =1 
 
 Aplicando-se os valores de seno e cosseno e dividindo a parte imaginária por 𝑗 
temos: 
 𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃2 − 𝑟3𝑐𝑜𝑠𝜃3 − 𝑟1 = 0 (2.11) 
𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃2 − 𝑟3𝑠𝑒𝑛𝜃3 − 𝑟4 = 0 
(2.12) 
 
Resolve-se para 𝑟3, de maneira que mais para frente os termos com 𝜃3 sejam 
eliminados e a equação fique em função apenas de 𝜃2 como variável angular, que é 
responsável pelo esterçamento das rodas: 
𝑟3𝑐𝑜𝑠𝜃3 = 𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃2 − 𝑟1 (2.13) 
27 
 
𝑟3𝑠𝑒𝑛𝜃3 = 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃2 − 𝑟4 (2.14) 
Com o sistema formado pelas equações (2.13) e (2.14), eleva-se os dois 
lados da equação, de ambas equações, ao quadrado e soma-se as duas: 
 
𝑟3
2(𝑐𝑜𝑠2𝜃3 + 𝑠𝑒𝑛
2𝜃3) = (𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃2 − 𝑟1)
2 + (𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃2 − 𝑟4)
2 (2.15) 
 
 Como 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 1 conseguimos eliminar os termos 𝜃3, ficando apenas 
com os termos 𝜃2, e desenvolvendo a (2.15) e simplificando temos: 
 
𝑟2
2 = 𝑟1
2 + 𝑟3
2 + 𝑟4
2 + 2𝑟1𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 2𝑟2𝑟4𝑠𝑒𝑛𝜃2 
 
(2.16) 
 Isolando-se 2𝑟2𝑟4𝑠𝑒𝑛𝜃3 edividindo a equação por 2𝑟2𝑟4: 
 
−𝑠𝑒𝑛𝜃2 =
−𝑟3
2 + 𝑟2
2 + 𝑟4
2
2𝑟2𝑟4
+
𝑟1
2
2𝑟2𝑟4
+
𝑟1𝑐𝑜𝑠𝜃2
𝑟4
 (2.17) 
 
As constantes 𝐾1, 𝐾2 e 𝐾3 são criadas para facilitar os cálculos, sendo o 
sobrescrito 𝑃 referente ao mecanismo planar: 
 
𝐾1
𝑃 =
1
𝑟4
 (2.18) 
𝐾2
𝑃 =
1
2𝑟2𝑟4
 (2.19) 
𝐾3
𝑃 =
−𝑟3
2 + 𝑟2
2 + 𝑟4
2
2𝑟2𝑟4
 (2.20) 
 
Substituindo as constantes na equação (2.17) temos: 
 
−𝑠𝑒𝑛𝜃2 = 𝐾1
𝑃𝑟1𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝐾2
𝑃𝑟1
2 + 𝐾3
𝑃 
 
(2.21) 
 Segundo Norton (2010), a equação (2.21) é conhecida como equação de 
Freudenstein modificada, normalmente utilizada em mecanismos quatro barras, mas 
devido a algumas considerações feitas, pode-se utilizar no mecanismo manivela-bloco 
deslizante. Essa equação relaciona o comprimento dos elos com o ângulo 𝜃2. 
28 
 
 Para reduzir a equação (2.21) a uma solução de forma mais amigável, utiliza-
se a meia identidade dos ângulos: 
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃2 =
2tan (
𝜃2
2 )
1 + 𝑡𝑎𝑛2 (
𝜃2
2 )
 (2.22) 
 
𝑐𝑜𝑠 𝜃2 =
1 − 𝑡𝑎𝑛2 (
𝜃2
2 )
1 + 𝑡𝑎𝑛2 (
𝜃2
2 )
 (2.23) 
 
Substituindo as equações (2.22) e (2.23) na equação de Freudenstein 
modificada (equação (2.21)), obtém-se: 
 
−[
2tan (
𝜃2
2 )
1 + 𝑡𝑎𝑛2 (
𝜃2
2 )
] = 𝐾1
𝑃𝑟1 [
1 − 𝑡𝑎𝑛2 (
𝜃2
2 )
1 + 𝑡𝑎𝑛2 (
𝜃2
2 )
] + 𝐾2
𝑃𝑟1
2 + 𝐾3
𝑃 (2.24) 
 
Resultando em uma forma simplificada: 
 
[−𝐾1
𝑃𝑟1 + 𝐾2
𝑃𝑟1
2 + 𝐾3
𝑃]𝑡𝑎𝑛2 (
𝜃2
2
) + [2]tan (
𝜃2
2
) + [𝐾1
𝑃𝑟1 + 𝐾2
𝑃𝑟1
2 + 𝐾3
𝑃] (2.25) 
 
 Para reduzir a equação (2.25), as seguintes constantes são criadas: 
 
𝐴𝑃 = −𝐾1
𝑃𝑟1 + 𝐾2
𝑃𝑟1
2 + 𝐾3
𝑃 (2.26) 
𝐵𝑃 = 2 (2.27) 
𝐶𝑃 = 𝐾1
𝑃𝑟1 + 𝐾2
𝑃𝑟1
2 + 𝐾3
𝑃 (2.28) 
 
Substituindo as constantes na equação (2.25) tem-se: 
 
𝐴𝑃𝑡𝑎𝑛2 (
𝜃2
2
) + 𝐵𝑃 tan (
𝜃2
2
) + 𝐶𝑃 (2.29) 
 
Utiliza-se a fórmula de Bhaskara para resolver a equação (2.29): 
29 
 
tan (
𝜃2
2
) =
−𝐵𝑃 ± √𝐵𝑃
2
− 4𝐴𝑃𝐶𝑃
2𝐴𝑃
 (2.30) 
 
𝜃2 = 2𝑡𝑎𝑛
−1 (
−𝐵𝑃 ± √𝐵𝑃
2
− 4𝐴𝑃𝐶𝑃
2𝐴𝑃
) (2.31) 
 
A equação (2.31) possui duas soluções, devido à raiz quadrada, sendo uma 
com valor positivo e outra com valor negativo. Para o caso do mecanismo planar 
definiu-se por várias simulações de diversos mecanismos utilizando SolidWorks® em 
conjunto com WolframMathematica® que deve-se usar o valor negativo para 
satisfazer de maneira correta a equação. 
A resolução da equação (2.31) permite quantificar os ângulos do esterçamento 
das rodas internas e externas em função dos comprimentos dos elos e da variação de 
𝑟1. 
2.3 SÍNTESE DE MECANISMOS 
A síntese de um mecanismo pode ser feita de dois modos: gráfica ou 
analiticamente. Nesse trabalho trataremos apenas da síntese analítica. 
Segundo Myszka (2012), a síntese de mecanismos é o processo em que, dadas 
as posições que um determinado mecanismo deve atender de maneira a determinar 
sua forma e dimensões. Ou seja, as posições são a entrada do problema, tendo como 
saída a forma e as dimensões do mecanismo. 
Assim, Shigley e Uicker (1988) definem síntese cinemática como a criação de 
um mecanismo que atenda um determinado padrão de movimento desejado. 
Segundo Norton (2010), existem três tipos de síntese de mecanismo: 
a. Síntese de tipo: envolve a escolha do tipo adequado de mecanismo a 
ser usado para exercer sua função da melhor maneira possível; 
b. Síntese quantitativa ou síntese analítica: geração de uma ou mais 
soluções para o qual há um algoritmo de síntese definido; 
c. Síntese dimensional: determina a dimensão necessária de cada elo para 
obter o movimento desejado. 
30 
 
Erdman e Sandor (1984) também afirmam que a síntese dimensional é dividida 
em três tipos: 
a. Geração de função: definida como a correlação entre uma função de 
entrada e uma função de saída; 
b. Geração de trajetória: definida como o controle de um ponto no plano 
que percorre uma trajetória preestabelecida; 
c. Geração de movimento: definida como o controle de uma linha no plano, 
de modo que assuma algumas posições sequenciais preestabelecidas. 
2.3.1 PONTOS DE PRECISÃO 
 
Uma síntese analítica é obtida através de posições que os elos de um 
mecanismo devem assumir para cumprir a sua função requerida. Para a síntese de 
um mecanismo planar pode-se considerar 3 posições, vide Figura 20. Sendo uma 
posição determinada como 𝑟2 rotacionado 𝛽 graus em relação ao eixo 2 como posição 
central do mecanismo e as outras duas posições extremas dada pela condição de 
Ackermann. 
Para a posição central teremos 𝑟12 determinado pelas dimensões do veículo e 
𝜃22 = 90° + 𝛽. 
Para um esterçamento total a esquerda teremos 𝑟13 = 𝑟12 + 𝑐𝑟 , sendo cr o 
deslocamento da cremalheira, e 𝜃23 = 𝜃22 + 𝛿𝑜𝑢𝑡. 
Para um esterçamento total a direita teremos 𝑟11 = 𝑟12 − 𝑐𝑟 , sendo cr o 
deslocamento da cremalheira, e 𝜃21 = 𝜃22 − 𝛿𝑖𝑛. 
 
Tabela 1 – Pontos de precisão 
Pontos 𝒓𝟏 𝜽𝟐 
1 (direita) 𝑟11 = 𝑟12 − 𝑐𝑟 𝜃21 = 𝜃22 − 𝛿𝑖𝑛 
2 (central) 𝑟12 90° + 𝛽 
3 (esquerda) 𝑟13 = 𝑟12 + 𝑐𝑟 𝜃23 = 𝜃22 + 𝛿𝑜𝑢𝑡 
31 
 
Figura 20 – Pontos de precisão do mecanismo 
 
Sendo, 
 
1. Linha de centro do veículo; 
2. Linha de giro da roda; 
3. Linha de centro do pneu; 
2.3.2 SÍNTESE ANALÍTICA DO MECANISMO PLANAR MANIVELA-BLOCO 
DESLIZANTE 
Utilizando a equação de Freudenstein modificada (equação (2.21)) e os três 
pontos de precisão é formado um sistema com três equações, tanto para a distância 
𝑟1, que varia conforme a cremalheira se desloca, quanto para o ângulo 𝜃2: 
 
−𝑠𝑒𝑛 𝜃21 = 𝐾1
𝑃𝑟11𝑐𝑜𝑠𝜃21 + 𝐾2
𝑃𝑟11
2 + 𝐾3
𝑃 
 
(2.32) 
−𝑠𝑒𝑛 𝜃22 = 𝐾1
𝑃
1
𝑟12𝑐𝑜𝑠𝜃22 + 𝐾2
𝑃𝑟12
2 + 𝐾3
𝑃 
 
(2.33) 
−𝑠𝑒𝑛 𝜃23 = 𝐾1
𝑃𝑟13𝑐𝑜𝑠𝜃23 + 𝐾2
𝑃𝑟13
2 + 𝐾3
𝑃 
 
(2.34) 
32 
 
Podendo serem representadas na forma de matriz: 
 
[
𝑟11𝑐𝑜𝑠𝜃21 𝑟11
2 1
𝑟12𝑐𝑜𝑠𝜃22 𝑟12
2 1
𝑟13𝑐𝑜𝑠𝜃23 𝑟13
2 1
] . [
𝐾1
𝑃
𝐾2
𝑃
𝐾3
𝑃
] = [
−𝑠𝑒𝑛 𝜃21
−𝑠𝑒𝑛 𝜃22
−𝑠𝑒𝑛 𝜃23
] 
 
Resolve-se o sistema de equações lineares para determinar as incógnitas 𝐾1
𝑃, 
𝐾2
𝑃 e 𝐾3
𝑃. Então os valores de 𝑟1, 𝑟2 e 𝑟3 são encontrados resolvendo as equações das 
constantes, vistas na seção 2.2.2, sendo: 
 
𝑟4 =
1
𝐾1
𝑃 (2.35) 
𝑟2 =
𝐾1
2𝐾2
𝑃 (2.36) 
𝑟3 = √−
𝐾3
𝑃
𝐾2
𝑃 + (
𝐾1
𝑃
2𝐾2
𝑃)
2
+
1
𝐾2
𝑃2
 (2.37) 
 
2.4 CONDIÇÃO DE ACKERMANN 
A condição de Ackermann diz que os ângulos de esterçamento das duas rodas 
dianteiras devem ser diferentes, pois ao girar o pneu de dentro o raio é menor do que 
o raio do pneu do lado de fora e, portanto, deve ter um ângulo de direção maior para 
evitar o desgaste dos pneus. Em um veículo onde as rodas traseiras não possuem 
esterçamento, os centros dos raios de giro das duas rodas dianteiras devem 
interceptar o prolongamento do eixo traseiro no mesmo ponto. Conseguindo então, 
fazer uma curva precisa. 
 
33 
 
Figura 21 – Parâmetros da condição de Ackermann 
 
 
 
A distância 𝑤 é a distância entre os dois eixos de esterçamento e é chamada 
de bitola, a distância 𝑡 é a distância entre eixos, R é o raio de giro, δout é o ângulo de 
esterçamento da roda externa à curva, enquanto δin é o da roda interna à curva. 
Pelos triângulos ∆𝑂𝐵𝐶 e ∆𝑂𝐴𝐷 temos que: 
tan 𝛿𝑜𝑢𝑡 =
𝑡
𝑅 + 𝑤 2⁄
 (2.38) 
tan 𝛿𝑖𝑛 =
𝑡
𝑅 − 𝑤 2⁄
 (2.39) 
Resolvendo a equação (2.37) para R: 
𝑅 =
𝑡
tan 𝛿𝑖𝑛
+
𝑤2
 (2.40) 
 
 
34 
 
Substituindo R na equação (2.34) teremos a equação de Ackermann, ou seja, 
uma relação direta entre os ângulos 𝛿𝑖𝑛 e 𝛿𝑜𝑢𝑡. 
cot 𝛿𝑜𝑢𝑡 − cot 𝛿𝑖𝑛 =
𝑤
𝑡
 (2.41) 
Gillespie (1992) afirma que, caso a condição de Ackermann não seja satisfeita, 
os pneus dianteiros vão “brigar” entre si durante a curva, causando o deslizamento 
lateral dos mesmos. 
De acordo com Leishman e Chase (2009), a equação de Ackermann fornece 
os ângulos de direção adequados para que os pneus tenham apenas rolamento puro 
durante uma curva e não patine. 
2.5 OTIMIZAÇÃO DE UM MECANISMOS DE ESTERÇAMENTO 
A otimização de um mecanismo de esterçamento consiste em buscar que ele 
se comporte o mais próximo possível de uma determinada função. 
Segundo JAZAR (2008) essa função é a condição de Ackermann. Porém, não 
existe um mecanismo que satisfaça essa condição em todos os pontos de seu campo 
de movimento, pois para cada mudança infinitesimal de ângulo interno, teríamos outro 
ângulo externo, mudando a condição de Ackermann para aquele ponto. 
A diferença entre o comportamento real de um mecanismo e o comportamento 
desejado pode ser chamada de erro de posição (JAZAR, 2008). 
Ou seja, o erro de posição pode ser a diferença entre o ângulo de esterçamento 
da roda externa a curva (𝛿𝑜𝑢𝑡) do mecanismo projetado e o ângulo obtido pela 
equação de Ackermann (𝛿𝑎𝑐𝑘 ) para um mesmo ângulo de esterçamento da roda 
interna a curva (𝛿𝑖𝑛 ). Porém, para cada mudança de ângulo teremos um erro de 
posição diferente. Então a função de erro será definida como sendo o valor absoluto 
da diferença máxima: 
 𝑒 = max(𝛿𝑜𝑢𝑡 − 𝛿𝑎𝑐𝑘) (2.42) 
 
Porém, se é desejado descobrir um valor que represente o campo de 
movimento como um todo, é possível utilizar o valor RMS (root mean square) para 
esse campo. Esse valor é dado pela equação (2.41) (JAZAR, 2008): 
35 
 
 𝑒 = √∫(𝛿𝑜𝑢𝑡 − 𝛿𝑎𝑐𝑘)2 𝑑δ (2.43) 
A equação (2.43) é definida pelas variáveis contínuas 𝛿𝑜𝑢𝑡 e 𝛿𝑎𝑐𝑘 . Porém, 
dependendo do tipo de mecanismo a ser otimizado, nem sempre é possível encontrar 
uma equação que defina o movimento. Nesse caso, a função de erro não pode ser 
definida explicitamente, então a equação deve ser discretizada para “n” valores 
diferentes para cada ângulo de esterçamento da roda interna (𝛿𝑖𝑛), resultando em um 
somatório de erros, dado pela equação: 
 
𝐼𝐸𝑃 =
√∑ (δ𝑜𝑢𝑡𝑖 − 𝛿𝑎𝑐𝑘𝑖)²
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
(2.44) 
 
A equação (2.42) é definida como índice de erro de posição (IEP). 
2.6 ESPAÇAMENTO DOS PONTOS DE PRECISÃO DE CHEBYSHEV 
Em alguns pontos do campo de movimento o mecanismo pode apresentar 
valores nulos de erro de posição. Quanto maior o número de pontos precisos, menor 
será o valor do erro de posição em todo o movimento. 
Segundo Dukkipati (2001), o primeiro espaçamento dos pontos de precisão é 
melhor obtido pelo método de Chebyshev: 
 
𝑥𝑗 =
1
2
(𝑥𝑚𝑎𝑥 + 𝑥𝑚𝑖𝑛) −
1
2
(𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛) cos (
𝜋(2𝑗 − 1)
2𝑛
) , 𝑗 = 1,2,3… . , 𝑛 (2.45) 
 
Onde, 
 
𝑗 = número de pontos de precisão, 
𝑛 = número total de pontos de precisão. 
 
Ou seja, recomenda-se que para a síntese do primeiro mecanismo seja 
utilizado o espaçamento dos pontos de precisão dado por Chebyshev, de maneira a 
36 
 
ter um erro de posição pequeno. Posteriormente pode-se estudar pontos próximos a 
Chebyshev para diminuir mais ainda o erro de precisão. 
Figura 22 – Determinação gráfica de espaçamento Chebyshev 
 
Fonte: Adaptado de Dukkipati (2001) 
Segundo Dukkipati (2001), o método de espaçamento de Chebyshev é utilizado 
para diminuir o erro de posição. 
Os pontos de precisão também podem ser encontrados graficamente. O 
procedimento consiste em desenhar um círculo com diâmetro de ∆𝑥, em que ∆𝑥 =
𝑥𝑛+1 − 𝑥0, e então desenhar um polígono com 2𝑛 lados. Com isso, traça-se linhas 
perpendiculares de cada canto do polígono até interceptar o diâmetro ∆𝑥, os pontos 
interceptados serão os 𝑛 pontos de precisão. Isso pode ser visto na Figura 22. 
Ou seja, recomenda-se que para o primeiro mecanismo seja utilizado o 
espaçamento dos pontos de precisão dado por Chebyshev, de maneira a ter um erro 
de posição pequeno. Posteriormente pode-se estudar pontos próximos a Chebyshev 
para diminuir mais ainda o erro de precisão 
2.7 MECANISMOS ESPACIAIS 
Segundo Shigley (2011), os mecanismos espaciais não incluem restrições nos 
37 
 
movimentos relativos das partículas. A transformação de movimento não é 
necessariamente coplanar nem deve ser concêntrica. Qualquer ligação que contenha 
um par de parafusos, por exemplo, é um mecanismo espacial, porque o movimento 
relativo dentro de um par de parafusos é helicoidal. Devido ao movimento mais 
complexo característico dos mecanismos espaciais e por esses movimentos não 
poderem ser analisados graficamente são necessárias técnicas matemáticas mais 
poderosas para essa análise. As quais serão apresentadas no item 3. 
 
 
38 
 
3 EQUACIONAMENTO PARA SÍNTESE E ANÁLISE DO MECANISMO 
ESPACIAL MANIVELA-BLOCO DESLIZANTE 
O sistema de esterçamento utilizado no veículo baja trata-se de um mecanismo 
espacial, sendo ele representado pela Figura 23. O braço de esterçamento, 
representado como 𝑟2, está contido no plano XY em todo o seu campo de movimento, 
sendo 𝐴0 um ponto fixo contido na origem e 𝐴 um ponto variável no plano XY. A barra 
de esterçamento, representada como 𝑟3 , possui movimento em todos os eixos 
coordenados, sendo 𝑥0 (distância no eixo x entre o pino mestre e a cremalheira) e 𝑧0 
(altura da cremalheira em relação ao pino mestre) valores constantes em todo o 
movimento do mecanismo, onde 𝑧0 é definido previamente. Deste modo o bloco 
desliza apenas no eixo Y. 
A Figura 23 representa apenas a roda esquerda do veículo, sendo o eixo 
negativo em x a frente do veículo. Porém, o mesmo pode ser feito na roda direita do 
veículo, uma simplificação se fez necessária para que seja mais prático e fácil a 
síntese e análise. 
Figura 23 – Mecanismo espacial manivela-bloco deslizante 
 
39 
 
3.1 ANÁLISE DE POSIÇÕES DO MECANISMO ESPACIAL MANIVELA-BLOCO 
DESLIZANTE 
Segundo Dukkipati (2001) a equação para o deslocamento do mecanismo 
espacial manivela-bloco deslizante pode ser obtida através da expressão das 
coordenadas dos pontos A e B em relação à origem A0. 
Para o ponto A temos: 
 
𝑋𝐴 = 𝑟2 ∗ cos 𝛽 (3.1) 
 𝑌𝐴 = 𝑟2 ∗ sen 𝛽 (3.2) 
𝑍𝐴 = 0 (3.3) 
 
Para o ponto B temos: 
 
𝑋𝐵 = 𝑥0 (3.4) 
𝑌𝑏 = 𝑦 (3.5) 
 𝑍𝐵 = 𝑧0 (3.6) 
 
 Como os elos são rígidos o comprimento de 𝑟2 é constante sendo obtido por: 
𝑟3
2 = (𝑋𝐵 − 𝑋𝐴)
2 + (𝑌𝐵 − 𝑌𝐴)
2 + (𝑍𝐵 − 𝑍𝐴)
2 (3.7) 
 
 Substituindo as coordenadas dos pontos A e B das equações (3.2) e (3.6), 
respectivamente, na equação (3.7) obtém-se: 
 
𝑟3
2 = (𝑥0 − 𝑟2cos 𝛽)
2 + (𝑦 − 𝑟2sen 𝛽)
2 + (𝑧0 − 0)
2 (3.8) 
 
 Resolvendo os termos quadráticos tem-se: 
 
𝑟3
2 = 𝑥0
2 + 𝑟2
2cos2𝛽 − 2𝑥0𝑟2 cos 𝛽 + 𝑦
2 + 𝑟2
2sen2𝛽 − 2𝑦𝑟2𝑠𝑒𝑛 𝛽 + 𝑧0
2 (3.9) 
 
 Aplicando a identidade trigonométrica 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 1 e rearranjando a 
equação obtém-se: 
−𝑦2 = 𝑥0
2 + 𝑟2
2 + 𝑧0
2 − 𝑟3
2 − 2𝑥0𝑟2 cos 𝛽 − 2𝑦𝑟2𝑠𝑒𝑛 𝛽 (3.10) 
40 
 
 
 São criadas constantes de maneira a facilitar os cálculos, sendo o sobrescrito 
𝐸 referente ao mecanismo espacial: 
 
𝐾2
𝐸 = −2𝑟2𝑥0 (3.11) 
𝐾2
𝐸 = −2𝑟2𝑥0 (3.12) 
𝐾3
𝐸 = 𝑥0
2 + 𝑟2
2 + 𝑧0
2 − 𝑟3
2 (3.13) 
 
Então a equação (3.10) torna-se: 
 
−𝑦2 = 𝐾1
𝐸𝑦𝑠𝑒𝑛 𝛽 + 𝐾2
𝐸 cos 𝛽 + 𝐾3
𝐸 (3.14)Para reduzir a equação (3.14) a uma solução de forma mais amigável utiliza-se 
a meia identidade dos ângulos, da mesma maneira utilizada no mecanismo planar: 
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
2tan (
𝛽
2)
1 + 𝑡𝑎𝑛2 (
𝛽
2)
 (3.15) 
 
𝑐𝑜𝑠 𝛽 =
1 − 𝑡𝑎𝑛2 (
𝛽
2)
1 + 𝑡𝑎𝑛2 (
𝛽
2)
 (3.16) 
 
 Substituindo as equações (3.15) e (3.16) na equação (3.14), obtém-se: 
 
−𝑦2 = 𝐾1
𝐸𝑦 [
2tan (
𝛽
2)
1 + 𝑡𝑎𝑛2 (
𝛽
2)
] + 𝐾2
𝐸 [
1 − 𝑡𝑎𝑛2 (
𝛽
2)
1 + 𝑡𝑎𝑛2 (
𝛽
2)
] + 𝐾3
𝐸 (3.17) 
 
Resultando em uma forma simplificada: 
 
[𝐾3
𝐸 + 𝑦2 − 𝐾2
𝐸]𝑡𝑎𝑛2 (
𝛽
2
) + [2𝑦𝐾1
𝐸]tan (
𝛽
2
) + [𝑦2 + 𝐾2
𝐸 + 𝐾3
𝐸] (3.18) 
 
 
41 
 
Para reduzir a equação (3.18), as seguintes constantes são criadas: 
 
𝐴𝐸 = 𝐾3
𝐸 + 𝑦2 − 𝐾2
𝐸 (3.19) 
𝐵𝐸 = 2𝑦𝐾1
𝐸 (3.20) 
𝐶𝐸 = 𝑦2 + 𝐾2
𝐸 + 𝐾3
𝐸 (3.21) 
 
Substituindo as constantes na equação (3.18) tem-se: 
 
𝐴𝐸𝑡𝑎𝑛2 (
𝛽
2
) + 𝐵𝐸 tan (
𝛽
2
) + 𝐶𝐸 (3.22) 
 
Utiliza-se a fórmula de Bhaskara para resolver a equação (3.22): 
 
tan (
𝛽
2
) =
−𝐵𝑃 ± √𝐵𝐸
2
− 4𝐴𝐸𝐶𝐸
2𝐴𝐸
 (3.23) 
 
𝛽 = 2𝑡𝑎𝑛−1 (
−𝐵𝐸 ± √𝐵𝐸
2
− 4𝐴𝐸𝐶𝐸
2𝐴𝐸
) 
(3.24) 
 
A equação (3.24) possui duas soluções devido à raiz quadrada, sendo uma 
positiva e outra negativa. Para o caso do mecanismo espacial definiu-se por várias 
simulações de diversos mecanismos utilizando SolidWorks® em conjunto com 
WolframMathematica® que deve-se usar o valor negativo para satisfazer de maneira 
correta a equação. 
A resolução da equação (3.24) permite quantificar os ângulos do esterçamento 
das rodas internas e externas em função dos comprimentos dos elos e da variação de 
𝑦. 
3.2 SÍNTESE ANALÍTICA DO MECANISMO ESPACIAL MANIVELA-BLOCO 
DESLIZANTE 
Utilizando a equação (3.14) e três pontos de precisão é formado um sistema 
linear com três equações: 
42 
 
−𝑦1
2 = 𝐾1
𝐸𝑦1𝑠𝑒𝑛 𝛽1 + 𝐾2
𝐸 cos 𝛽1 + 𝐾3
𝐸 
(3.25) 
−𝑦2
2 = 𝐾2
𝐸𝑦2𝑠𝑒𝑛 𝛽2 + 𝐾2
𝐸 cos 𝛽2 + 𝐾3
𝐸 
(3.26) 
−𝑦3
2 = 𝐾3
𝐸𝑦3𝑠𝑒𝑛 𝛽3 + 𝐾2
𝐸 cos 𝛽3 + 𝐾3
𝐸 (3.27) 
 
Podendo ser representadas na forma de matriz: 
 
[
𝑦1𝑠𝑒𝑛 𝛽1 cos 𝛽1 1
𝑦2𝑠𝑒𝑛 𝛽2 cos 𝛽2 1
𝑦3𝑠𝑒𝑛 𝛽3 cos 𝛽3 1
] . [
𝐾1
𝐸
𝐾2
𝐸
𝐾3
𝐸
] = [
−𝑦1
2
−𝑦2
2
−𝑦3
2
] 
 
Resolve-se o sistema de equações lineares para se determinar as incógnitas 
𝐾1
𝐸, 𝐾2
𝐸 e 𝐾3
𝐸. Então os valores de 𝑟2, 𝑟3 e 𝑥0 são encontrados resolvendo as equações 
das constantes, sabendo que 𝑧0 será um valor constante e determinado previamente, 
sendo: 
 
𝑟2 =
−𝐾1
𝐸
2
 (3.28) 
𝑥0 =
−𝐾2
𝐸
2𝑟𝑟2
 (3.29) 
𝑟3 = √𝑥02 + 𝑟22 + 𝑧02 − 𝐾3
𝐸 (3.30) 
 
 Com isso obtém-se as dimensões do mecanismo espacial manivela-bloco 
deslizante. 
 
 
43 
 
4 ANÁLISE DO MECANISMO ATUAL 
Para análise do mecanismo atualmente utilizado no baja RQ-3 é necessário 
obter os comprimentos dos elos (𝑟2 e 𝑟3 ), 𝑥0 , 𝑧0 , 𝑦 , 𝛽 e o deslocamento (cr) da 
cremalheira. Assim como os valores de bitola (w), distância entre eixos (t) e raio 
mínimo de giro (𝑟𝑚𝑖𝑛). 
Alguns dados foram obtidos por meio de medições no projeto em SolidWorks® 
do veículo Baja-RQ-3, outros retirados do trabalho de conclusão de curso “Projeto do 
sistema de suspensão e direção do protótipo Baja SAE RQ-3” elaborado por Moribe 
A. (2015) e, por fim, medições foram realizadas no protótipo já construído, 
apresentados na Tabela 2 e na Tabela 3, sendo visualizados na Figura 24 e Figura 
25: 
Tabela 2 – Dados gerais do veículo 
𝑟2 (mm) 𝑟3 (mm) 𝑥0 (mm) 𝑧0 (mm) 𝑦 (mm) 𝛽 inicial (º) cr (mm) 
99.30 343.74 88.30 95.84 271.16 36.35 45 
Figura 24 – Dimensões atuais do veículo Baja RQ-3 referente a tabela 2 
 
 
44 
 
Tabela 3 - Dimensões atuais do veículo Baja RQ-3 
Bitola (𝑤) [mm] 
 Distância entre 
eixos (𝑡) [mm] 
Raio de giro 
(𝑟𝑚𝑖𝑛) [mm] 
1400 1386 3000 
 
Figura 25 - Dimensões atuais do veículo Baja RQ-3 referente a tabela 3 
 
Figura 26 – Manga de eixo Baja-RQ-3 
 
45 
 
Conforme Figura 26, pode-se obter os valores de 𝑟2 e 𝛽. A Figura 26 refere-se a 
manga de eixo atualmente utilizada no veículo. 
Segundo a Tabela 3 o raio de giro do veículo foi definido como 3000 mm, com 
isso calcula-se o esterçamento máximo com a equação (2.38) para o esterçamento 
externo e a equação (2.39) para o esterçamento interno: 
𝛿𝑜𝑢𝑡 = 𝑡𝑔
−1 [
𝑡
𝑟𝑚𝑖𝑛 +
𝑤
2⁄
] = 𝑡𝑔−1 [
1386
3000 + 1400 2⁄
]
180
𝜋
= 20.536º 
𝛿𝑖𝑛 = 𝑡𝑔
−1 [
𝑡
𝑟𝑚𝑖𝑛 −
𝑤
2⁄
] = 𝑡𝑔−1 [
1386
3000 − 1400 2⁄
]
180
𝜋
= 31.073º 
 
Os valores contidos na Tabela 4 são considerados valores de esterçamento 
máximos ideais. Ou seja, o campo de movimento será: de 0º até 20.536º para o 
ângulo de esterçamento externo e de 0º até 31.073º para o ângulo de esterçamento 
interno. 
Tabela 4 – Ângulos de esterçamento máximos ideais calculados pela condição de Ackermann 
Ângulos ideais Valor 
Esterçamento interno Máximo (𝛿𝑖𝑛) 31.073º 
Esterçamento externo Máximo (𝛿𝑜𝑢𝑡) 20.536º 
4.1 ANÁLISE DE POSIÇÕES DO MECANISMO ATUALMENTE UTILIZADO NO 
BAJA RQ-3 
A análise é feita através da equação (3.24), para isso deve-se calcular as 
constantes 𝐾. 
Sendo, 
𝐾1
𝐸 = −2𝑟2 = 198.6 
𝐾2
𝐸 = −2𝑟2𝑥0 = −17536.38 
𝐾3
𝐸 = 𝑥0
2 + 𝑟2
2 + 𝑧0
2 − 𝑟3
2 = −91314.50 
 
46 
 
Com isso, 
 
𝐴𝐸 = 𝐾3
𝐸 + 𝑦2 − 𝐾2
𝐸 = −73778.122 + 𝑦2 
𝐵𝐸 = 2𝑦𝐾1
𝐸 = 397.2𝑦 
𝐶𝐸 = 𝑦2 + 𝐾2
𝐸 + 𝐾3
𝐸 = 𝑦2 − 108851 
 
Então a equação (3.24) fica: 
 
𝛽 = 2𝑡𝑎𝑛−1 (
−397.2𝑦 + √(397.2𝑦)2 − 4(−73778.122 + 𝑦2)(𝑦2 − 108851)
2(−73778.122 + 𝑦2)
) 
 
Onde, para o esterçamento da roda interna varia-se o deslocamento da 
cremalheira de 0 à 45 mm e para o esterçamento da roda externa varia-se de -45 
à 0 mm. 
Então, gera-se uma lista de valores para 𝑦 onde para o esterçamento interno 
varia-se de 271.16 à 226.16 mm e para o esterçamento externo varia-se de 271.16 à 
316.16 mm, ambos com incremento unitário. 
Com os valores dos ângulos internos, vistos na Tabela 5, são gerados valores 
de ângulos externos ideais, contidos na mesma tabela. 
O erro de posição então pode ser calculado por: 
 
𝑒𝑟𝑟𝑜 = √(𝛿𝑜𝑢𝑡 − 𝛿𝑎𝑐𝑘)2 
 
Onde, 𝛿𝑜𝑢𝑡 é o ângulo de esterçamento externo do mecanismo atual e 𝛿𝑎𝑐𝑘 é o 
ângulo de esterçamento externo ideias. Sendo o erro de posição a diferença entre o 
mecanismo ideal e o atual. Podendo, também, serem vistos na Tabela 5. 
Então são calculados os ângulos de esterçamento interno e externo, para todo 
o campo de movimento, os quais podem ser vistos na Tabela 5: 
47 
 
Tabela 5 – Valores calculados dos ângulos de esterçamento do mecanismo atual 
Deslocamento 
Cremalheira 
(mm) 
Ângulo 
Interno 
(graus) 
𝜹𝒊𝒏 
Ângulo externo 
mecanismo atual 
(graus) 
𝜹𝒐𝒖𝒕 
Ângulo externo 
condição ideal 
(graus) 
𝜹𝒐𝒖𝒕𝒂𝒄𝒌 
Erro 
(graus) 
0 -0.0090 0.0090 -0.0090 0.0180 
1 0.6968 0.7098 0.6883 0.0215 
2 1.4076 1.4059 1.3735 0.0324 
3 2.1237 2.0974 2.0471 0.0503 
4 2.8451 2.7844 2.7093 0.0751 
5 3.5722 3.4671 3.3608 0.1063 
6 4.3049 4.1455 4.0018 0.1438 
7 5.0437 4.8199 4.6327 0.1872 
8 5.7886 5.4903 5.2540 0.2363 
9 6.5398 6.1568 5.8661 0.2907 
10 7.2976 6.8197 6.4693 0.3504 
11 8.0622 7.4789 7.0640 0.4149 
12 8.8339 8.1345 7.6506 0.4840 
13 9.6129 8.7868 8.2294 0.5574 
14 10.3994 9.4357 8.8008 0.6349 
15 11.1938 10.0815 9.3653 0.7162 
16 11.9964 10.7241 9.9230 0.801117 12.8074 11.3637 10.4744 0.8893 
18 13.6272 12.0004 11.0199 0.9804 
19 14.4562 12.6342 11.5598 1.0744 
20 15.2947 13.2652 12.0944 1.1708 
21 16.1432 13.8936 12.6241 1.2695 
22 17.0020 14.5194 12.6241 1.3701 
23 17.8716 15.1426 13.6703 1.4723 
24 18.7525 15.7635 14.1875 1.5760 
25 19.6452 16.3819 14.7013 1.6807 
26 20.5503 16.9981 15.2120 1.7862 
27 21.4684 17.6121 15.7200 1.8922 
28 22.4001 18.2240 16.2257 1.9983 
29 23.3462 18.8338 16.7296 2.1042 
30 24.3073 19.4415 17.2320 2.2095 
31 25.2844 20.0474 17.7335 2.3140 
32 26.2783 20.6514 18.2344 2.41702 
33 27.2901 21.2536 18.7353 2.51831 
34 28.3208 21.8541 19.2368 2.61736 
35 29.3717 22.453 19.7393 2.71366 
36 30.4441 23.0502 20.2435 2.80666 
Continua na próxima página 
48 
 
37 31.5394 23.6459 20.7501 2.89577 
38 32.6594 24.2401 21.2598 2.98031 
39 33.806 24.833 21.7734 3.05955 
40 34.9812 25.4244 22.2918 3.13264 
41 36.1876 26.0146 22.816 3.19865 
42 37.4279 26.6036 23.3471 3.2565 
43 38.7054 27.1914 23.8865 3.30493 
44 40.0238 27.7781 24.4356 3.34249 
45 41.3877 28.3638 24.9963 3.36746 
Continuação da Tabela 5 
 
Rearranjando a equação (2.41) para 𝛿𝑜𝑢𝑡calcula-se os valores dos ângulos 
externos ideias, segundo a condição de Ackermann: 
 
𝛿𝑜𝑢𝑡 = tg
−1 [
1
𝐶𝑜𝑡 (𝛿𝑖𝑛
𝜋
180) +
𝑤
𝑡
]
180
𝜋
 
 
Para ter uma melhor visualização dos dados são gerados gráficos de ângulo 
interno por ângulo externo, Figura 27, e de ângulo externo por erro de posição, Figura 
28. 
Figura 27 – Relação entre os ângulos de esterçamento externo e interno (em graus) para o 
mecanismo atualmente utilizado no Baja RQ-3 
 
 
49 
 
 Na Figura 27 visualiza-se que o mecanismo tem um campo de movimento 
maior do que o ideal, fazendo com que a roda interna esterce mais do que ela deveria 
esterçar (esterçamento maior do que o esterçamento máximo), consequentemente a 
roda externa também irá esterçar mais. Sendo melhor visualizado na Tabela 5, 
quando a cremalheira está com 37 mm já está aproximadamente atendendo o campo 
de movimento. Porém, a cremalheira vai até 45 mm, fazendo com que o carro tenha 
um esterçamento maior do que o projetado, ou seja, o raio de giro de 3000 mm não 
está sendo atendido. Com isso o veículo possui dificuldade em fazer curvas fechadas, 
diminuindo o rendimento nas competições. Além disso há uma discrepância entre o 
mecanismo atual e a condição ideal. 
Na Figura 28 o gráfico demonstra o erro de posição para cada ângulo externo 
dado por Ackermann. Sendo o maior erro quando está com o maior esterçamento, 
com uma diferença de 3.37º entre o mecanismo atual e o ideal. 
Para poder quantificar melhor o erro do mecanismo como um todo calcula-se o 
erro de índice de erro de posição (IEP), pela equação (2.44): 
 
𝐼𝐸𝑃 =
√∑ (δ𝑜𝑢𝑡𝑖 − 𝛿𝑎𝑐𝑘𝑖)²
𝑛
𝑖=1
𝑛
= 1.53 
 
 Onde 𝑛 é igual a 46, pois foi estudado um campo de movimento de 0 à 45 mm, 
correspondente ao deslocamento da cremalheira. Esse valor será utilizado para 
comparar o mecanismo atual com o mecanismo proposto pelo trabalho. 
Figura 28 – Erro de posição em função do ângulo de esterçamento externo do mecanismo atual 
 
50 
 
5 SÍNTESE E ANÁLISE DO MECANISMO PARA ATENDER AS TRÊS POSIÇÕES 
PRECISAS REQUERIDAS 
Tendo em vista as restrições dimensionais impostas pelo veículo Baja RQ-3 
foram definidas as seguintes faixas para os parâmetros de interesse: 
 
100 ≤ 𝑟2 ≤ 150 mm 
20º ≤ 𝛽 ≤ 60º 
10 ≤ 𝑥0 ≤ 100 mm 
 
O valor de 𝑧0 será fixado em 90 mm, ainda segundo os requisitos físicos do 
veículo. 
5.1 SÍNTESE DO MECANISMO PARA ATENDER AS TRÊS POSIÇÕES 
PRECISAS REQUERIDAS 
A síntese é feita através das equações (3.25), (3.26) e (3.27). Na forma 
matricial: 
[
𝑦1𝑠𝑒𝑛 𝛽1 cos 𝛽1 1
𝑦2𝑠𝑒𝑛 𝛽2 cos 𝛽2 1
𝑦3𝑠𝑒𝑛 𝛽3 cos 𝛽3 1
] . [
𝐾1
𝐸
𝐾2
𝐸
𝐾3
𝐸
] = [
−𝑦1
2
−𝑦2
2
−𝑦3
2
] 
 
Para sintetizar um novo mecanismo deve-se resolver o sistema de equações, 
sendo necessária a utilização de 3 pontos de precisão para a solução do mesmo. Para 
o cálculo destes pontos utilizou-se o método de espaçamento de Chebychev, 
apresentado na Equação (2.45). 
 
𝑥𝑗 =
1
2
(𝑥𝑚𝑎𝑥 + 𝑥𝑚𝑖𝑛) −
1
2
(𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛) cos (
𝜋(2𝑗 − 1)
2𝑛
) , 𝑗 = 1,2,3… . , 𝑛 
 
Com 𝑛 = 3 para resolver o sistema com três equações, 𝑥𝑚𝑎𝑥 sendo o maior 
valor possível para 𝑦, ou seja, 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝑦 + 𝑐𝑟 e 𝑥𝑚𝑖𝑛 o menor valor possível para 𝑦, 
𝑥𝑚𝑖𝑛 = 𝑦 − 𝑐𝑟. 
 
51 
 
Várias simulações foram realizadas no Wolfram Mathematica® em conjunto 
com SolidWorks®, de maneira a atender as faixas dos parâmetros definidos 
previamente acima. O algoritmo de simulação está apresentado no apêndice B. 
Tabela 6 – Dados gerais do veículo 
 Bitola (𝑤) Distância entre eixos (𝑡) Raio mínimo de giro (𝑟𝑚𝑖𝑛) 
1400 [mm] 1386 [mm] 3000 [mm] 
 Os dados gerais do veículo, apresentados na Tabela 6, são os mesmos 
utilizados para a análise do mecanismo atualmente utilizado no baja RQ-3. Contudo, 
os valores que atendem de maneira satisfatória, segundo várias simulações, os 
requisitos são apresentados na Tabela 7. O deslocamento da cremalheira foi ajustado 
para 30 mm para poder anteder a condição de Ackermann em conjunto com as 
restrições físicas impostas pelo veículo já construído. 
 
Tabela 7 – Dados iniciais do mecanismo proposto para o Baja RQ-3 
𝑧0 (mm) 𝑦 (mm) 𝛽 inicial (º) cr (mm) 
90 300 45 30 
 
 Com o valor de 𝑦 e cr, podemos calcular 𝑥𝑚𝑎𝑥 e 𝑥𝑚𝑖𝑛: 
 
𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝑦 + 𝑐𝑟 = 300 + 30 = 330 [𝑚𝑚] 
𝑥𝑚𝑖𝑛 = 𝑦 − 𝑐𝑟 = 300 − 30 = 270 [𝑚𝑚] 
 
 Pode-se então calcular os três pontos de precisão pelo método de Chebyshev: 
 
𝑦1 =
1
2
(330 + 270) −
1
2
(330 − 270) cos(
𝜋(2 ∗ 1 − 1)
2 ∗ 3
) = 274.02 [𝑚𝑚] 
𝑦2 =
1
2
(330 + 270) −
1
2
(330 − 270) cos(
𝜋(2 ∗ 2 − 1)
2 ∗ 3
) = 300 [𝑚𝑚] 
𝑦3 =
1
2
(330 + 270) −
1
2
(330 − 270) cos (
𝜋(2 ∗ 3 − 1)
2 ∗ 3
) = 325.98 [𝑚𝑚] 
52 
 
Figura 29 – Espaçamento de Chebyshev para 𝑦 
 
 
A Figura 29 ilustra graficamente os pontos utilizados no espaçamento de 
Chebyshev para três pontos de precisão de 𝑦. 
O mesmo deve ser feito para o ângulo 𝛽, 𝜃𝑚𝑎𝑥 sendo o maior valor possível 
para 𝛽, ou seja, 𝜃𝑚𝑎𝑥 = 𝛽 + 𝛿𝑖𝑛 e 𝜃𝑚𝑖𝑛 o menor valor possível para 𝛽, 𝜃𝑚𝑖𝑛 = 𝑦 − 𝛿𝑜𝑢𝑡, 
os valores de 𝛿𝑖𝑛 e 𝛿𝑜𝑢𝑡 podem ser vistos na Tabela 4: 
 
𝜃𝑚𝑎𝑥 = 𝛽 + 𝛿𝑖𝑛 = 45 + 31.0735 = 76.0735° 
𝜃𝑚𝑖𝑛 = 𝛽 − 𝛿𝑜𝑢𝑡 = 45 − 20.5357 = 24.4643° 
 
 Podemos então calcular os três pontos de precisão pelo método de Chebyshev: 
 
𝜃1 =
1
2
(76.0735 + 24.4643) −
1
2
(76.0735 − 24.4643) cos (
𝜋(2 ∗ 3 − 1)
2 ∗ 3
) =72,6164° 
𝜃2 =
1
2
(76.0735 + 24.4643) −
1
2
(76.0735 − 24.4643) cos (
𝜋(2 ∗ 2 − 1)
2 ∗ 3
) =50.2689° 
𝜃3 =
1
2
(76.0735 + 24.4643) −
1
2
(76.0735 − 24.4643) cos (
𝜋(2 ∗ 1 − 1)
2 ∗ 3
) = 27.9215° 
53 
 
Figura 30 – Relação entre 𝛽 e 𝑦 
 
 
Porém, nota-se que o ângulo 𝜃3 corresponde a 𝑛 = 1 e que o ângulo 𝜃1 
corresponde a 𝑛 = 3. Isso se dá pelo fato de que quando 𝑦 está em seu valor máximo, 
𝜃 tem seu valor mínimo. E quando 𝑦 está em seu valor mínimo, 𝜃 tem seu valor 
máximo. A Figura 30 ilustra os três pontos de precisão, sendo vermelho o 
deslocamento máximo de 𝑦 ( 𝑦 +cr), azul sem deslocamento em 𝑦 e verde o 
deslocamento mínimo de 𝑦 (𝑦-cr). 
Também podemos notar que 𝜃2 não corresponde a 45º. Isso se dá pelo 
deslocamento angular não ser simétrico como é no deslocamento linear para 𝑦. Com 
isso deve-se fazeruma correção para 𝜃2 = 45º de maneira a garantir que quando o 
veículo não estiver esterçado deve manter as rodas alinhadas. 
A Figura 31 ilustra graficamente os pontos utilizados no espaçamento de 
Chebyshev para três pontos de precisão de 𝜃. 
54 
 
Figura 31 - Espaçamento de Chebyshev para 𝛽 
 
Figura 32 – Pontos de precisão para 𝑦 e 𝛽 
Pontos de precisão 
𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝜃1 𝜃2 𝜃3 
274.02 𝑚𝑚 300 𝑚𝑚 325.98 𝑚𝑚 72.6164º 45º 27.9215º 
 
 Com os pontos de precisão definidos, conforme Figura 32, podemos substituir 
na equação na forma matricial: 
 
[
274.02𝑠𝑒𝑛 72.6164º cos 72.6164º 1
300𝑠𝑒𝑛 45º cos 45º 1
325.98𝑠𝑒𝑛 27.9215º cos 27.9215º 1
] . [
𝐾1
𝐸
𝐾2
𝐸
𝐾3
𝐸
] = [
−274.022
−3002
−325.982
] 
 
A matriz consiste em um sistema linear, o qual foi resolvido por um algoritmo 
no WolframMathematica®. O algoritmo está apresentado no apêndice B. O resultado 
do algoritmo são os valores das constantes 𝑘: 
 
𝐾1
𝐸 = 257.352
𝐾2
𝐸 = −5406.22
𝐾3
𝐸 = −140770
 
 
 
55 
 
Com as constantes encontradas pode-se então encontrar 𝑟2, 𝑥0 e 𝑟3 segundo a 
equação (3.30): 
 
𝑟2 =
−𝐾1
𝐸
2
=
−257.352
2
= −128.68 
𝑥0 =
−𝐾2
𝐸
2𝑟𝑟2
=
−5406.22
2 ∗ (−128.68)
= −21 
𝑟3 = √𝑥02 + 𝑟22 + 𝑧02 − 𝐾3
𝐸 = √212 + (−128.68)2 + 902 − (−140770) = 407.27 
Figura 33 – Desenho no SolidWorks® do primeiro mecanismo sintetizado 
 
 
Os valores negativos indicam apenas a posição do mecanismo, conforme 
Figura 33. Portanto, as dimensões do novo mecanismo são apresentadas na Tabela 
8. 
 
56 
 
Tabela 8 - Dimensões mecanismo proposto para o Baja RQ-3 
𝑟2 𝑟3 𝑥0 𝑧0 𝑦 𝛽 inicial cr 
128.68 407.27 21 90 300 45 30 
 
5.2 ANÁLISE DE POSIÇÕES DO MECANISMO SINTETIZADO 
 
A análise é a mesma feita no item 4.1, ou seja, é feita através da equação 
(3.24). 
Sendo, 
𝐾1
𝐸 = 257.352
𝐾2
𝐸 = −5406.22
𝐾3
𝐸 = −140770
 
Com isso, 
𝐴𝐸 = 𝐾3
𝐸 + 𝑦2 − 𝐾2
𝐸 = −135364 + 𝑦2 
𝐵𝐸 = 2𝑦𝐾1
𝐸 = 514.70𝑦 
𝐶𝐸 = 𝑦2 + 𝐾2
𝐸 + 𝐾3
𝐸 = 𝑦2 − 146176.11 
 
Então a equação (3.24) fica: 
 
𝛽 = 2𝑡𝑎𝑛−1 (
−514.70𝑦 + √(514.70𝑦)2 − 4(−135364 + 𝑦2)(𝑦2 − 146176.11)
2(−135364 + 𝑦2)
) 
 
Onde, para o esterçamento interno o deslocamento da cremalheira varia de 0 
a 30 mm e para o esterçamento externo varia de -30 a 0 mm. 
Então, gera-se uma lista com valores para 𝑦, onde para o esterçamento interno 
varia-se de 300 a 270 mm e para o esterçamento externo varia-se de 270 a 300 mm, 
ambos com incremento unitário. 
Com isso são calculados os ângulos de esterçamento interno e externo, para 
todo o campo de movimento, e os seus valores podem ser vistos na Tabela 9: 
57 
 
Tabela 9 – Valores calculados dos ângulos de esterçamento do mecanismo sintetizado 
Deslocamento 
Cremalheira 
(mm) 
Ângulo 
Interno 
(graus) 
𝜹𝒊𝒏 
Ângulo externo 
mecanismo atual 
(graus) 
𝜹𝒐𝒖𝒕 
Ângulo 
externo 
condição 
ideal (graus) 
𝜹𝒐𝒖𝒕𝒂𝒄𝒌 
Erro 
(graus) 
0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 
1 0.7730 0.7612 0.7626 0.0014 
2 1.5582 1.5112 1.5166 0.0054 
3 2.3565 2.2505 2.2625 0.0120 
4 3.1684 2.9796 3.0009 0.0213 
5 3.9946 3.6989 3.7322 0.0333 
6 4.8361 4.4087 4.4569 0.0482 
7 5.6937 5.1096 5.1757 0.0661 
8 6.5683 5.8018 5.8891 0.0872 
9 7.4611 6.4857 6.5976 0.1119 
10 8.3733 7.1617 7.3020 0.1404 
11 9.3061 7.8299 8.0030 0.1731 
12 10.2611 8.4906 8.7013 0.2106 
13 11.2399 9.1443 9.3976 0.2533 
14 12.2445 9.7910 10.0930 0.3020 
15 13.2769 10.4311 10.7883 0.3572 
16 14.3397 11.0647 11.4846 0.4199 
17 15.4357 11.6921 12.1832 0.4911 
18 16.5682 12.3135 12.8854 0.5719 
19 17.7411 12.9291 13.5928 0.6637 
20 18.9591 13.5390 14.3073 0.7683 
21 20.2277 14.1435 15.0311 0.8876 
22 21.5540 14.7427 15.7668 1.0242 
23 22.9464 15.3367 16.5178 1.1811 
24 24.4161 15.9258 17.2883 1.3625 
25 25.9773 16.5101 18.0836 1.5736 
26 27.6497 17.0896 18.9113 1.8217 
27 29.4611 17.6646 19.7816 2.1170 
28 31.4529 18.2353 20.7104 2.4752 
29 33.6931 18.8016 21.7232 2.9217 
30 36.3073 19.3637 22.8676 3.5039 
 
 
Rearranjando a equação (2.41) para 𝛿𝑜𝑢𝑡calcula-se os valores dos ângulos 
externos ideias segundo a condição de Ackermann: 
 
58 
 
𝛿𝑜𝑢𝑡 = tg
−1 [
1
𝐶𝑜𝑡 (𝛿𝑖𝑛
𝜋
180) +
𝑤
𝑡
]
180
𝜋
 
 
Com os valores dos ângulos internos, Tabela 9, são gerados valores de ângulos 
externos ideais, contidos na mesma tabela. 
O erro de posição então é calculado por: 
 
𝑒𝑟𝑟𝑜 = √(𝛿𝑜𝑢𝑡 − 𝛿𝑜𝑢𝑡𝑎𝑐𝑘)
2
 
 
Onde, 𝛿𝑜𝑢𝑡 são os ângulos de esterçamento externo do mecanismo atual e 
𝛿𝑜𝑢𝑡𝑎𝑐𝑘 são os ângulos de esterçamento externo ideias. Sendo o erro de posição a 
diferença entre o mecanismo ideal e o atual. Podendo, também, serem vistos na 
Tabela 9. 
Para ter uma melhor visualização dos dados foram gerados gráficos de ângulo 
interno x ângulo externo, Figura 34, e de ângulo externo x erro de posição, Figura 35. 
Figura 34 – Relação entre os ângulos de esterçamento externo e interno (em graus) para o 
mecanismo sintetizado 
 
 Com a Figura 34 pode-se observar que o novo mecanismo sintetizado continua 
tendo um campo de movimento que não atende ao ideal. Porém, dessa fez o campo 
de movimento maior no esterçamento interno e menor no esterçamento externo, ou 
59 
 
seja, a roda interna possui um ângulo de esterçamento maior do que ela deveria 
esterçar e a roda externa está esterçando um pouco menos do que deveria. Isso pode 
ser visto melhor pela Tabela 9, quando a cremalheira está com 28 mm já está 
aproximadamente atendendo o campo de movimento. Porém, a cremalheira vai até 
30 mm, fazendo com que o carro tenha um esterçamento maior do que o projetado, 
ou seja, o raio de giro de 3000 mm que a roda interna deveria fazer não está sendo 
atendido. Porém, o novo mecanismo possui um erro menor do que o atualmente 
utilizado no veículo baja RQ-3. 
Figura 35 – Erro de posição em função do ângulo de esterçamento externo do mecanismo sintetizado 
 
 Na Figura 35 o gráfico demonstra o erro de posição para cada ângulo externo de 
Ackermann. Sendo o maior erro quando está com o maior esterçamento, uma 
diferença de 3.5º entre o mecanismo sintetizado e o ideal. 
 Para poder quantificar melhor o erro do mecanismo como um todo calcula-se o 
erro de índice de erro de posição (IEP), pela equação (2.44): 
 
𝐼𝐸𝑃 =
√∑ (δ𝑜𝑢𝑡𝑖 − 𝛿𝑎𝑐𝑘𝑖)²
𝑛
𝑖=1
𝑛
= 0.76 
 
 
60 
 
Onde 𝑛 é igual a 31, pois foi estudado um campo de movimento de 0 a 30 mm, 
correspondente ao deslocamento da cremalheira. 
O mecanismo atual utilizado no baja RQ-3 possui um 𝐼𝐸𝑃 = 1.53, já o novo 
mecanismo proposto possui um 𝐼𝐸𝑃 = 0.76, ou seja, o erro foi diminuído pela metade. 
Porém, o mecanismo sintetizado ainda pode ser otimizado de maneira a atender todo 
o campo de movimento. Isso será feito no item 6. 
 Todos os procedimentos descritos acima foram implementados em um 
algoritmo no software Wolfram Mathematica®, apresentado no apêndice B. 
61 
 
6 OTIMIZAÇÃO DO MECANISMO SINTETIZADO 
Para atender melhor os requisitos do projeto veículo baja RQ-3 será feito um 
processo de otimização. Isso fará com que o mecanismo atenda melhor o campo de 
movimento necessário para o veículo e diminuirá o índice de erro de posição. 
6.1 ESTRATÉGIA DE OTIMIZAÇÃO 
A otimização consiste em variar os pontos precisos em torno do ponto preciso 
dado por Chebyshev, de maneira a estudar qual o melhor ponto, já que Chebyshev é 
apenas uma indicação de como sintetizar o primeiro mecanismo. 
Desse modo, os pontos serão