2 - Análise cinemática e síntese dos mecanismos

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Análise cinemática
e síntese dos
mecanismos
Prof. Gustavo Simão Rodrigues
Descrição
Você irá entender sobre as velocidades lineares e angulares, os métodos
vetorial e gráfico para análise de velocidades, os centros instantâneos
de rotação de um mecanismo, as acelerações tangencial e normal e os
problemas de síntese cinemática.
Propósito
A determinação das velocidades e acelerações dos mecanismos é
essencial aos profissionais especializados para projetarem com
eficiência, não só nas indústrias, mas também no cotidiano das pessoas
nas mais diversas aplicações. O desenvolvimento do projeto de um
mecanismo para um determinado fim, a partir da síntese de
mecanismos, é de suma importância para que as tarefas sejam
executadas de formas otimizada e segura.
Objetivos
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Módulo 1
Velocidades lineares e angulares, absolutas e
relativas
Reconhecer as velocidades lineares e angulares, absolutas e
relativas.
Módulo 2
Centros instantâneos de rotação
Identificar os centros instantâneos de rotação de um mecanismo.
Módulo 3
Aceleração dos mecanismos: métodos
vetorial e grá�co
Reconhecer as acelerações tangencial e normal.
Módulo 4
Síntese cinemática e dimensional
Reconhecer a síntese cinemática e dimensional.
Introdução

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Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e compreenda os
principais conceitos sobre análise de mecanismos.
1 - Velocidades lineares e angulares, absolutas e relativas
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer as velocidades lineares e angulares,
absolutas e relativas.
Aplicação do cálculo de velocidade
em mecanismos
Confira no vídeo uma aplicação do cálculo de velocidade em
mecanismos e uma análise das velocidades lineares e angulares,
absolutas e relativas.
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De�nições das velocidades
Confira no vídeo os principais pontos da história de desenvolvimento do
estudo de mecanismo e uma análise gráfica e vetorial de velocidades.
A definição de velocidade pode ser postulada como a taxa de variação
da posição em relação ao tempo. Assim como a velocidade, a posição ,
também é uma grandeza vetorial. Além do mais, temos tanto a
velocidade linear, representada por , quanto a velocidade angular, dada
por .
O módulo da velocidade angular é representado pela taxa de variação
angular em relação ao tempo:
Já a velocidade linear é representada pela taxa de variação da posição
em relação ao tempo:
A barra representada na imagem a seguir possui rotação pura, girando
em torno de no plano xy.
→r
→v
→ω
ω =
dθ
dt
→v =
d→r
dt
O
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Rotação Pura.
Sua posição é determinada pelo vetor posição . O ponto de
interesse, , gira com velocidade angular . Representando o vetor
posição em sua forma polar como número complexo, temos:
Sendo o módulo do vetor. Derivando o vetor posição, obtém-se a
velocidade:
Comparando o vetor posição com a velocidade ,
observa-se que a velocidade está multiplicada pelo operador complexo 
, provocando uma defasagem de do vetor velocidade em relação ao
vetor posição. Além do mais, a velocidade também é multiplicada pela
velocidade angular. Dessa forma, a velocidade sempre terá uma
defasagem de em relação ao ângulo do vetor posição, sendo o
sentido determinado pelo sinal de , ou seja, a velocidade é sempre
perpendicular ao raio de giração e tangente à trajetória.
Substituindo a identidade de Euler na equação da velocidade, tem-se
que:
→rOP
P ω
→rOP
→rOP = pej θ
p
→vOP =
d→rOP
dt
= pj ej θ
dθ
dt
= pωj ej θ
(pej θ) (pωj ej θ)
j
90∘
90∘ θ
ω
→vOP = pωj ej θ = pωj (cos θ + j sin θ) = pω(j cos θ − sin θ)
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Os termos de seno e cosseno em posições trocadas indicam a
defasagem de 90° do vetor posição em relação ao vetor velocidade.
A velocidade na imagem anterior é dita velocidade absoluta, uma
vez que é referida ao ponto , que é a origem global do sistema de
coordenadas . Dessa forma, podemos denotar apenas como , que
indica que está referida ao sistema de coordenadas global.
Já a imagem a seguir apresenta uma leve distinção, uma vez que a barra
gira em torno de , que se movimenta com velocidade de translação 
.
Diferença de velocidade.
A velocidade absoluta de não será mais somente em função da
rotação. Ela deve ser derivada tanto da rotação em torno de , quanto
da translação:
Veja agora dois blocos independentes:
Blocos independentes.
Se suas velocidades independentes forem conhecidas, sua velocidade
relativa será:
→vOP
O
XY →vP
A →vA
P
A
→vP = →vA + →vAP
→vP A = →vP − →vA
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Caso esteja sendo tratados dois pontos no mesmo corpo ou dois
pontos em corpos diferentes, podemos definir:
Diferença de velocidade
Quando os dois pontos pertencem ao mesmo corpo.
Velocidade relativa
Quando dois pontos pertencem a corpos distintos.
Análise grá�ca de velocidades
Antes do advento de calculadoras programáveis e computadores, os
métodos gráficos eram a única forma viável de resolver problemas de
análise de velocidades. Apesar de ser um método em que a velocidade é
determinada apenas para um instante e no instante seguinte deve-se
repetir o processo, uma verificação rápida pode ser feita e os resultados
comparados com os obtidos por meio de computador de forma a validar
o programa.
Qualquer problema gráfico de análise de velocidades pode ser resolvido
com somente duas equações:
Como essa última equação sugere, é definido apenas o módulo da
velocidade. Entretanto, entende-se que a direção do vetor é sempre
perpendicular ao raio de rotação. Dessa maneira, basta saber onde está
o centro de rotação.
Seja o mecanismo de quatro barras adiante. Sendo que no instante
mostrado são conhecidos e , deseja-se determinar
 e pelo método gráfico apresentado nesta imagem:
→vP = →vA + →vAP
|→v| = v = ωr
θ2, θ3, θ4 ω2
ω3, ω4, →vA, →vB →vC
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Método Gráfico.
Solução
Passo 1
Como a entrada de movimento do mecanismo é em , inicia-se por
esse ponto, calculando o módulo da velocidade no ponto e
desenhando, a partir do ponto perpendicular a , um vetor
velocidade com comprimento em uma escala conveniente.
Passo 2
Outro ponto que já possuímos informação é o ponto , cuja direção da
velocidade é perpendicular a , definida pela linha .
Passo 3
Como a linha é constante (corpo rígido), a direção da velocidade
 é conhecida , perpendicular à . Veja:
O2
A
Ae O2A
–
→vA
→vA = ( O2A) ω2∣ ∣–B(→vB ) O4B–ppAB–→vBA (qq) AB–
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Método Gráfico.
Passo 4
Como a direção e o módulo de estão definidas, bem como as
direções de e , respectivamente e , pode-se determinar
também seus módulos, já que , veja:
Método Gráfico.
Passo 5
É possível determinar as velocidades angulares dos corpos 3 e 4:
→vA
→vB →vBA pp qq
→vB = →vA+ →vBA
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Passo 6
Por fim,determina-se , sendo e sendo que
, uma vez que a direção de é ao longo de 
(perpendicular a ). Obtém-se o seguinte diagrama de velocidades:
Método Gráfico.
Análise vetorial de velocidades
Na cinemática vetorial, as grandezas vetoriais como velocidade e
aceleração são definidas partindo do princípio de referencial. Definindo
inicialmente os vetores posição e em dois instantes de tempo e
, respectivamente, sendo que , temos que a diferença
desses vetores posição é o vetor deslocamento, dado por:
ω4 =
→vB
O4B
ω3 =
→vBA
AB∣ ∣–∣ ∣–→vC →vC = →vA + →vCA→vCA = cω3∣ ∣ →vCA r rAC–→r 1 →r 2 t 1t 2 t 2 − t 1 = Δ tΔ→r = →r 2 − →r 1 = →r(t + Δ t) − →r(t)
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A velocidade média, , é dada como a razão entre o vetor
deslocamento e o intervalo de tempo para entre os vetores posição
associados:
Já o vetor velocidade pode ser definido como a taxa de variação
instantânea do vetor posição, como apresentado anteriormente:
Considerando o ponto na próxima imagem com os dois sistemas de
referência, a saber: o sistema fixo e o sistema móvel que se
move em relação ao sistema fixo. O vetor posição do ponto em
reação ao sistema fixo é dado por:
Entenda melhor observando esta imagem:
Velocidade do ponto .
Considerando os vetores unitários e solidários aos eixos e ,
respectivamente, tem-se que:
–
→v(t)
→
→v(t) =
→r(t + Δ t) − →r(t)
Δ t
→v(t) =
→r(t)
dt
= lim
Δ t→0
→r(t + Δ t) − →r(t)
Δ t
P
XYZ xyz
P
→R P = →RO + →R
P
→ı,→ȷ →k x, y z
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A velocidade absoluta do ponto em relação ao sistema fixo ,
pode ser obtida derivando a equação do vetor posição :
A parcela resulta em:
A primeira parte da equação é a velocidade de 
em relação ao sistema móvel . Definiremos apelas por .
A segunda parte da equação, , pode ser analisada
a partir do seguinte fato. Considere um vetor . A velocidade do vetor 
que está solidário a um sistema de referência móvel que gira em torno
de um sistema de referência fixo com velocidade angular pode ser
expresso pelo produto vetorial . Dessa forma, temos:
→R = x→ı + y→ȷ + z→k
P XYZ,→vP
→R P
→vP =
d →R P
dt
=
d ( →RO + →R)
dt
=
d →RO
dt
+
d →R
dt
d →R
dt
d →R
dt
=
d(x→ı + y→ȷ + z→k)
dt
= (
dx
dt
→ı +
dy
dt
→ȷ +
dz
dt
→k) + ( x
d→ı
dt
+ y
d→ȷ
dt
+ z
d→k
dt
)
( dx
dt
→l + dy
dt
→j + dz
dt
→k) P
xyz →v :
→v =
dx
dt
→ı +
dy
dt
→ȷ +
dz
dt
→k
( x d→t
dt
+ y d →J
dt
+ z d→k
dt
)
→R →R
→ω
→ω× →R
→l
d→ı
dt
= →ω× →ı
→ȷ
d→ȷ
dt
= →ω× →ȷ
→k
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Em que:
 é a velocidade angular do sistema móvel em relação ao
sistema fixo .
Substituindo:
Ou seja:
Como .
Sendo assim, a velocidade é dada por:
Definindo a velocidade da origem do sistema móvel como
, finalmente chegamos a:
Em que:
 velocidade do ponto no sistema fixo.
d→k
dt
= →ω× →k
ω xyz
XYZ
x
d→ı
dt
+ y
d→ȷ
dt
+
d→k
dt
= x(→ω× →ı) + y(→ω× →ȷ) + z(→ω× →k)
x
d→ı
dt
+ y
d→ȷ
dt
+
d→k
dt
= →ω× (x→ı + y→ȷ + z→k)
→R = x→ı + y→ȷ + z→k
x
d→ı
dt
+ y
d→ȷ
dt
+
d→k
dt
= →ω× →R
→vP = d
→RO
dt
+ d →R
dt
→vP =
d →RO
dt
+ →v + →ω× →R
xyz
→vO = d
→RO
dt
→vP = →vO + →v + →ω× →R
→vP = P
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 velocidade da origem do sistema móvel em relação ao
sistema fixo.
 velocidade do ponto no sistema móvel.
 velocidade angular do sistema móvel em relação ao sistema
fixo.
 distância da origem do sistema móvel até o ponto .
Como forma de exemplificar o conceito em um mecanismo, considere o
sistema a seguir composto por um disco que gira em torno de com
velocidade angular constante de 20 . Uma barra conecta o
disco ao triângulo, o qual pode girar em torno de . Como podemos
observar, o sistema fixo possui a origem em e o sistema móvel
 possui a origem em . As distâncias necessárias e conhecidas são:
 e . Para o instante
considerado na imagem, ou seja, para os ângulos apresentados, vamos
determinar e .
Disco girando em torno de um eixo fixo.
Aplicando a equação de velocidade apresentada,
, temos que:
Em que:
: de módulo desconhecido e perpendicular a .
 de módulo e perpendicular a
.
: igual a 0 pois está fixo no sistema móvel .
→vO =
→v = P
→ω =
→R = P
O2
r ad/ s 2 AB
O4
XY O2
xy A
O2A = 10cm, AB = 16cm O4B = 16cm
→vB ωO4
( →vP = →vO + →v + →ω× →R)
→vB = →vA + →v + →ωAB × AB
−→
→vB O4B
→vA : (O2A)ω = 20 ⋅ 16 = 320cm/ s
O2A
→v B xy
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: direção perpendicular a e módulo desconhecido.
Escrevendo todos os componentes em relação ao sistema móvel ,
temos que:
Portanto:
Somando os componentes em e , temos:
Somando os componentes em :
Somando os componentes em :
→ωAB × AB
−→
AB
xy
→vB
→vB = vB (cos 5∘ i + sin 5∘ j )
→vA
→vA = vA (cos 30∘ i − sin 30∘ j ) = 320 ⋅ (cos 30∘ i − sin 30∘ j )
→ωAB × AB
−→
→ωAB × AB = (ωAB ⋅ AB)j
−→
vB (cos 5∘ i + sin 5∘ j ) = 320 ⋅ (cos 30∘ i − sin 30∘ j ) + (ωAB ⋅ AB)j
i j
i
i
vB (cos 5∘) = 320 ⋅ cos 30∘
vB = 278, 18cm/ s
j
j
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Com , também determinamos :
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A subtração (vetorial) de dois pontos que pertencem a corpos
distintos é definida por
vB (sin 5∘) = 320 ⋅ (− sin 30∘) + (ωAB ⋅ AB)
278, 18 (sin 5∘) = 320 ⋅ (− sin 30∘) + (ωAB ⋅ AB)
ωAB ⋅ AB = 184, 24cm/ s
ωAB =
184, 24
16
= 11, 51rad/ s
vB ωO4
ωO4 =
vB
O4B
=
278, 18
16
= 17, 38rad/ s
A velocidade absoluta.
B diferença de velocidade.
C velocidade relativa.
D velocidade angular.
E velocidade composta.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
A diferença entre velocidade relativa e diferença de velocidade está
no pertencimento dos pontos a um mesmo corpo ou em corpos
diferentes. Quando existe uma diferença vetorial de velocidade
entre dois pontos que pertencem ao mesmo corpo, diz-se ter uma
diferença de velocidade. Quando temos uma diferença de
velocidade entre dois pontos de corpos distintos, temos uma
velocidade relativa.
Questão 2
Grandezas como velocidade e aceleração são definidas a partir do
princípio de referencial. Essas grandezas são denominadas
grandezas vetoriais, já que deve-se levar em consideração, além de
seu módulo, a direção e
Parabéns! A alternativa B está correta.
Velocidade e aceleração são grandezas vetoriais, assim como a
força. Nas grandezas vetoriais, além do módulo (ou magnitude) da
grandeza, deve-se fornecer também a direção e o sentido para o
qual a grandeza está sendo aplicada, além do próprio ponto de
aplicação. Já grandezas escalares não possuem direção e sentido e
A a forma de aplicação.
B o sentido da grandeza.
C o tempo de aplicação.
D a temperatura de aplicação.
E o custo de aplicação.
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somente a sua magnitude define completamente a grandeza, como
tempo e temperatura.
2 - Centros instantâneos de rotação
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car os centros instantâneos de rotação de
um mecanismo.
Aplicando o conceito do centro
instantâneo de rotação
Confira no vídeo uma aplicação do conceito do centro instantâneo de
rotação na determinação de velocidades do mecanismo.
De�niçõesde centros instantâneos
de rotação
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Confira no vídeo a definição dos centros instantâneos de rotação e suas
diversas aplicações.
Centro instantâneo de rotação (CIR) pode ser definido como um ponto
que seja comum a dois corpos se movimentando em um plano que
possua a mesma velocidade instantânea em cada corpo. Já que é
preciso dois corpos para existir um centro instantâneo de rotação, o
número de CIR em um mecanismo com corpos é dado por:
Um mecanismo de quatro barras, como o exemplificado na imagem a
seguir, possui 6 CIR.
Veja:
CIR.
Alguns CIR podem facilmente serem determinados, pois as juntas entre
os elementos já definem esses Centros, que no caso foram
denominados e .
Para determinar os CIR restantes, utiliza-se a regra de Kennedy, que
postula o seguinte: “Quaisquer três corpos em movimento plano
C n
C =
n(n − 1)
2
C =
4(4 − 1)
2
= 6
I 1,2, I 2,3, I 3,4 I 1,4
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possuem precisamente três centros instantâneos de rotação, sendo eles
colineares”.
Dica
Parte da regra de Kennedy é uma aplicação da fórmula anterior para
. Observe também que essa regra não obriga os três corpos a
estarem conectados de alguma maneira.
Para facilitar, desenhamos sobre uma circunferência, um círculo com
pontos numerados que representam todos os corpos dos mecanismos.
Observe que os CIR que representam os pinos onde se localizam os CIR
já identificados são os números consecutivos e .
Traçamos em seguida uma linha tracejada entre dois corpos que ainda
não foram conectados, por exemplo, 1 e 3.
CIR.
Os triângulos formados nos pontos (1, 3; 3, 4; e 1,4), bem como (1, 3; 2,
3; e 1, 2) definem trios de CIR que, pela regra de Kennedy, devem estar
colineares. Dessa forma, no diagrama do mecanismo, traça-se uma reta
por dois dos CIR conhecidos dos triângulos formados e o ponto de
interseção será o CIR faltante, no caso , veja:
n = 3
(I 1,2, I 2,3, I 3,4 I 1,4)
I 1,3
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CIR.
Procede-se da mesma forma para determinar o último CIR desse
mecanismo. Traça-se uma linha entre outros corpos que não foi
determinado o CIR ainda, (linha tracejada 2, 4) e formam-se os
triângulos (2, 4; 1, 2; e 1,4) e (2, 4; 2, 3; e 3, 4).
CIR.
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Em cada triângulo, existem 2 CIR conhecidos. Traçando duas linhas
retas, estas se encontram no CIR que estava faltando, a saber, .
CIR.
A existência de juntas tipo deslizante, como por exemplo, no mecanismo
biela-manivela, possui uma particularidade. Nesse caso, todas as juntas
com pinos apresentam CIR permanentes. Entretanto, a junta entre os
corpos 1 e 4 é retilínea, o que equivale, cinematicamente, a um corpo
infinitamente longo, com um pino no “infinito”, como mostrado no
mecanismo biela‐manivela de quatro barras adiante.
CIR.
A imagem a seguir apresenta uma alternativa do mecanismo biela-
manivela, que é um seguidor por pinos, em que o corpo 4 é um possui
um comprimento bastante grande e o CIR balança em movimento
I 2,4
I 3,4
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de arco. Entretanto, à medida que o comprimento do corpo 4 tende ao
infinito, esse balanço do CIR tende a uma trajetória em linha reta.
CIR.
Seja o mecanismo quatro barras a seguir. Para determinar os CIR,
vamos usar o teorema de Kennedy novamente.
Mecanismo quatro barras.
No círculo a seguir, identificamos os corpos consecutivos conectados:
1-2, 2-3, 3-4 e 1-4 e colocamos na ordem no quadrado em que cada um
dos lados do quadrado representam os elos (e CIR).
I 3,4
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Identificação da conexão entre os corpos.
Veja os CIR e :
Esquema detalhado dos CIR.
Para determinar os CIR restantes, e , procede-se com as
cordas 1-3 e 2-4 no círculo seguinte:
Esquema detalhado para identificação dos CIR restantes.
A partir desses triângulos, identificamos que os e estão
alinhados com o CIR e os CIR e também estão alinhados
com o CIR . Portanto, basta determinar a interseção das retas que
passam por e para determinar . Veja:
I 1,2, I 2,3, I 3,4 I 1,4
(I 1,3 I 2,4)
CI R I 1,2 I 2,3
I 1,3 I 1,4 I 3,4
I 1,3
I 1,2 − I 2,3 I 1,4 − I 3,4 I 1,3
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Determinação de .
A partir desses triângulos, também identificamos que os e 
estão alinhados com o CIR e os CIR e também estão
alinhados com o CIR . Portanto, basta determinar a interseção das
retas que passam por e para determinar .
Determinação de .
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
I 1,3
CIR I 1,2 I 1,4
I 2,4 I 2,3 I 3,4
I 2,4
I 1,2 − I 1,4 I 2,3 − I 3,4 I 2,4
I 2,4
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Determine o número de centros instantâneos de rotação que o
mecanismo a seguir possui:
Parabéns! A alternativa E está correta.
O número de CIR, , em um mecanismo com corpos é dado por:
Como o mecanismo possui 7 corpos:
A 6
B 9
C 12
D 15
E 21
C n
C = n(n− 1)
2
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Questão 2
A obtenção de todos os centros instantâneos de rotação (CIR) de
qualquer mecanismo com movimento plano é obtida por meio
Parabéns! A alternativa C está correta.
Em qualquer mecanismo com movimento plano, obrigatoriamente
os pontos de conexão entre os corpos adjacentes são CIR. Além de
serem facilmente obtidos, os demais CIR são determinados pela
regra de Kennedy, que define em um mecanismo que possua
quaisquer três corpos se movendo no plano, terá exatamente 3 CIR
que são colineares. Dessa forma, com a regra de Kennedy, obtém-
se os demais CIR (além daqueles já existentes entre as conexões
entre os corpos).
C = 7(7− 1)
2
= 7⋅6
2
= 42
2
= 21
A
das conexões entre os corpos, já que todos os CIR
estão entre os corpos.
B
dos pontos fixos do mecanismo, pois os CIR estão
colineares com esses pontos.
C
da regra de Kennedy, que afirma que quaisquer três
corpos em movimento plano possuem exatamente
três CIR colineares.
D
da regra da mão direita, que define a direção do
movimento de rotação entre dois corpos quaisquer.
E
da regra de Cramer, que fornece a solução do
sistema de equações lineares que rege o movimento
de mecanismos com movimento plano.
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3 - Aceleração dos mecanismos: métodos vetorial e grá�co
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer as acelerações tangencial e normal.
Aplicação do cálculo de aceleração
em mecanismos
Confira no vídeo uma aplicação do cálculo de aceleração em
mecanismos (métodos vetorial e gráfico).
De�nições de aceleração dos
mecanismos
Confira os principais conceitos de aceleração dos mecanismos e as
aplicações dos métodos vetorial e gráfico.
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Aceleração
Feito a análise de velocidade, a etapa seguinte é estabelecer a
aceleração de todos os pontos de interesse do mecanismo ou máquina.
As aceleraçõessão importantes para que as forças dinâmicas possam
ser determinadas a partir de . Os métodos apresentados serão
o método vetorial e o método gráfico.
Antes, porém, definiremos a aceleração, que é a taxa de variação em
função do tempo da velocidade. Como velocidade é uma grandeza
vetorial, a aceleração também é e pode ser angular ou linear. Entenda a
diferença entre elas:
Aceleração angular
Será denotada por :
Aceleração linear
Será denotada por :
Veja agora a barra em rotação pura, girando em torno de , no
plano xy:
→F = m→a
α
α = dω
dt

→a
→a = d→v
dt
OP O
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Rotação pura.
Deseja-se determinar a aceleração do ponto , com a barra sujeita a
uma velocidade angular e a uma aceleração angular , não
necessariamente com mesmo sentido. Já vimos que ,
sendo o comprimento escalar do vetor .
Dessa forma, a aceleração no ponto é dada por:
Temos dois termos da aceleração, veja:
Primeiro termo da aceleração
Referente à componente tangencial, ligado a . É multiplicada por , ou
seja, é sempre perpendicular ao vetor posição (tangente à trajetória).
Segundo termo da aceleração
Referente à componente normal, também chamada aceleração
centrípeta, ligada a . É multiplicada por (ou ) que indica que a
componente centrípeta sempre estará em direção ao centro de rotação.
A aceleração do ponto é a soma dessas duas componentes.
Método grá�co
Qualquer problema gráfico de análise de acelerações pode ser resolvido
com somente duas equações dos módulos das acelerações tangencial
e normal, veja:
Equação do módulo da aceleração tangencial
P
ω α
→vOP = pωj ej θ
p →rOP
P
→aOP =
d→vOP
dt
=
d (pωj ej θ)
dt
→aOP = jp ( ej θ
dω
dt
+ ωj ej θ
dθ
dt
)
→aOP = pαj ej θ − pω2ej θ
→aOP = →a tOP + →a
n
OP
α j
ω2 j 2 − 1
P
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Equação do módulo da aceleração normal
Além dos conceitos das direções das componentes das acelerações.
Agora, observe o mecanismo de quatro barras a seguir. No instante
mostrado são conhecidos e e . Deseja-se determinar
 e pelo método gráfico.
Método gráfico para a aceleração.
Solução
Passo 1
Como a entrada de movimento do mecanismo é em , inicia-se por
esse ponto, calculando os módulos das acelerações tangencial e normal
no ponto e desenhando, a partir do ponto e perpendicular a ,
um vetor aceleração tangencial , e um vetor aceleração normal no
sentido de .
Passo 2
→a t = rα∣ ∣→a n = rω2 = v2r∣ ∣ θ2, θ3, θ4 ω2, ω3 ω4α 3, α 4, →aA, →aB →aC O2A A O2A–→a tA →a nAO2 →a tA = ( O2A) α 2∣ ∣–→a nA = ( O2A) ω22∣ ∣–
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Outro ponto que já temos informação é o ponto , cuja direção da
aceleração tangencial é perpendicular a definida pela linha
. Já a aceleração normal de B é na direção de , no sentido
de . Como é conhecida:
Pode-se escrever que . Escrevendo para cada
componente, temos:
Nessa equação, são conhecidos: , além das direções de 
e (perpendicular à - ao longo de qq; e ao longo de ,
respectivamente). Chega-se, então, ao diagrama de vetores:
Método gráfico para a aceleração.
Passo 3
Determinadas e , tem-se que:
B
(→a tB ) O4B
–
pp (→a nB ) O4B
–
O4 ω4
→a nB = ( O4B) ω
2
4∣ ∣–→aB = →aA + →aAB(→a tB + →a nB ) = (→a tA + →a nA) + (→a tAB + →a nAB )→a tA, →a nA, →a nB →a tAB→a nAB AB–AB–→a tB →a tAB
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Passo 4
Por fim, pode-se determinar , por meio da equação .
Podemos calcular , a partir de:
Também podemos determinar por:
Como e estão definidos, o diagrama vetorial pode ser montado,
sendo que a aceleração fecha o diagrama.
α 4 =
→a tB
O4B∣ ∣–α 3 = →a tABAB∣ ∣–→aC →aC = →aA + →aAC→a tAC →a tAC = cα 3→a nAC→a tAC = cω23→aA →aAC →aC
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Método gráfico para a aceleração.
Método vetorial
Como vimos, a velocidade do ponto é dada por:
Veja a representação do método vetorial:
P
→vP = →vO + →v + →ω× →R
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Representação gráfica do método vetorial.
A aceleração do ponto é dada pela derivada da velocidade: .
Portanto:
Analisando cada parcela, temos que:
Para determinar , lembramos que:
Logo:
P →aP = d→vPdt
→aP =
d
dt
( →vO + →v + →ω× →R) =
d
dt
(→vO) +
d
dt
(→v) +
d
dt
(→ω × →R)
→aP =
d
dt
(→vO) +
d
dt
(→v) +
d→ω
dt
× →R + →ω×
d→R
dt
→aP =
d
dt
(→vO) +
d
dt
(→v) + →α × →R + →ω×
d→R
dt
→aO =
d
dt
(→vO)
d
dt
(→v)
→v =
dx
dt
→ı +
dy
dt
→ȷ +
dz
dt
→k
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O termo é a aceleração do ponto relativo ao
sistema de coordenadas móvel .
Definimos então:
O segundo termo, , pode ser desenvolvido
por:
Entretanto, sabemos que . Concluímos, então,
que:
Finalmente:
d
dt
(→v) =
d
dt
(
dx
dt
→ı +
dy
dt
→ȷ +
dz
dt
→k)
d
dt
(→v) = (
d2x
dt 2
→ı +
d2y
dt 2
→ȷ +
d2z
dt 2
→k) + (
dx
dt
d→ı
dt
+
dy
dt
d→ȷ
dt
+
dz
dt
d→k
dt
)
( d
2x
dt 2
→ı + d
2y
dt 2
→ȷ + d
2z
dt 2
→k) P
xyz
→a = (
d2x
dt 2
→ı +
d2y
dt 2
→ȷ +
d2z
dt 2
→k)
( dx
dt
d→ı
dt
+ dy
dt
d →J
dt
+ dz
dt
d→k
dt
)
(
dx
dt
d→ı
dt
+
dy
dt
d→ȷ
dt
+
dz
dt
d→k
dt
) =
dx
dt
(→ω × →ı) +
dy
dt
(→ω × →ȷ) +
dz
dt
(→ω × →k)
(
dx
dt
d→ı
dt
+
dy
dt
d→ȷ
dt
+
dz
dt
d→k
dt
) = →ω× (
dx
dt
→ı +
dy
dt
→ȷ +
dz
dt
→k)
dx
dt
→ı + dy
dt
→ȷ + dz
dt
→k = →v
(
dx
dt
d→ı
dt
+
dy
dt
d→ȷ
dt
+
dz
dt
d→k
dt
) = →ω× →v
d
dt
(→v) = (
d2x
dt 2
→ı +
d2y
dt 2
→ȷ +
d2z
dt 2
→k) + (
dx
dt
d→ı
dt
+
dy
dt
d→ȷ
dt
+
dz
dt
d→k
dt
)
d
dt
(→v) = →a + →ω× →v
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A última parcela a ser analisada na equação da aceleração é .
Podemos escrever que:
Substituindo todas as parcelas na equação da aceleração , chegamos
a:
Cada uma dessas parcelas tem o seguinte significado:
: aceleração do ponto no sistema fixo.
: aceleração da origem do sistema móvel em relação ao sistema
fixo.
: aceleração do ponto no sistema móvel.
 componente de Coriolis da aceleração.
: distância do ponto à origem do sistema móvel.
: velocidade angular do sistema móvel em relação ao sistema fixo.
: aceleração angular do sistema móvel em relação ao sistema fixo.
Vamos considerar o mesmo exemplo utilizado para ilustrar o método
vetorial para determinação da velocidade. O objetivo é determinar a
aceleração de .
Disco girando em torno de um eixo fixo.
→ω× d →R
dt
→ω×
d→R
dt
= →ω× →v + →ω× (→ω× →R)
→aP
→aP = →aO + →a + 2→ω× →v + →α × →R + →ω× (→ω× →R)
→aP P
→aO
→a P
2→ω× →v :
→R P
→ω
→α
B
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Para determinar a aceleração de , temos:
A aceleração de (bem como todas as acelerações) pode ser
decomposta em duas componentes:
Componente normal
É representada por: , conhecida como aceleração centrípeta.
Componente tangencial
É representada por: .
Vamos analisar cada uma das parcelas:
Em que:
: direção perpendicular à e módulo desconhecido.
 e 
porque é constante.
: zero, pois é fixo no sistema móvel .
: zero, pois .
: direção perpendicular a e módulo desconhecido.
: módulo de , com direção de para
.
: obtido do exemplo do método gráfico da
velocidade.
Chegandoao seguinte resultado:
B
→aB = →aA + →a + 2→ωAB × →v + →αAB × AB + →ωAB × ( →ωAB × AB)
−→−→
B
−→a nB
−→a tB
→a nB : →a
n
B =
|vB |
2
O4B
=
278, 182
16
4836, 5cm/ s 2∣ ∣→a tB O4B→aA : →a nA = (O2A)ω2 = 16 ⋅ 202 = 6400cm/ s 2∣ ∣ →a tB = 0∣ ∣ω→a B (xyz)2→ωAB × →v →v = 0→αAB × AB−→ AB→ωAB × ( →ωAB × AB)−→ −ω2ABR BA→ωAB = 11, 51→krad/ s
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A direção de pode ser determinada pela
imagem:
Determinação da direção do produto vetorial.
A equação de é resolvida por vetores unitários, assim como a
resolução da velocidade , usando o sistema de referência móvel :
Em que:
.
.
.
.
.
.
Substituindo todos os termos na equação de :
− ω2AB ⋅ AB = − 11, 512 ⋅ 16 = − 2119, 68cm/ s 2
→ωAB × ( →ωAB × AB)
−→
→aB
→vB xy
→aB = →aA + →a + 2→ωAB × →v + →αAB × AB + →ωAB × ( →ωAB × AB)
−→−→
→a nB = a
n
B (− sin 5
∘ i + cos 5∘ j ) = 4836, 5 (− sin 5∘ i + cos 5∘ j ) = 4
→a tB = a
t
B (cos 5
∘ i + sin 5∘ j ) = a tB (0, 9961i + 8, 91 ⋅ 10
− 2j )
→aA = 6400 (− cos 60∘ i − sin 60∘ j ) = − 3200i − 5542, 5j
→a = 0
2→ωAB × →v = 0
→αAB × AB = 16αAB j
−→
→ωAB × ( →ωAB × AB) = − 2119, 68icm/ s 2
−→
→aB
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Somando os temos em :
Somando os temos em :
Podemos calcular também a aceleração do corpo triangular que gira em
torno de .
E, por fim, a aceleração :
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
421, 52i + 4818, 1j + a tB (0, 9961i + 8, 91 ⋅ 10− 2j ) =
= − 3200i − 5542, 5j + 16αAB j − 2119, 68i
i
421, 52i + a tB (0, 9961i) = − 3200i + 2119, 68i
a tB = − 1507, 7cm/ s
2
j
4818, 1j + a tB (8, 91 ⋅ 10− 2j ) = − 5542, 5j + 16αAB j
4818, 1j − 1507, 7 ⋅ (8, 91 ⋅ 10− 2j ) = − 5542, 5j + 16αAB j
αAB = 639, 1rad/ s 2
O4
αO4 =
a tB
O4B
=
− 1507, 7
16
= − 94, 2rad/ s 2
→aB
→aB = →a nB + →a
t
B = 421, 52i + 4818, 1j − 1507, 7 (0, 9961i + 8, 91 ⋅ 10− 2j )
→aB = (1080, 3i + 4818, 1j )cm/ s 2
→aB = √ 1080, 32 + 4818, 12 = 4937, 7cm/ s 2∣ ∣
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Questão 1
Uma vez feita a análise de velocidades em um mecanismo, a etapa
seguinte é estabelecer a aceleração de todos os pontos de
interesse do mecanismo ou máquina. As acelerações são
importantes para que
Parabéns! A alternativa B está correta.
No dimensionamento de um mecanismo (ou qualquer estrutura que
esteja em movimento), é fundamental a determinação das forças
dinâmicas para que o equipamento seja projetado corretamente.
Diferentemente do peso, que está sempre presente no
equipamento, as forças dinâmicas só estão presentes quando
existe um movimento que não seja constante, ou seja, essas forças
são oriundas das acelerações e devem ser levadas em
consideração para que o mecanismo ou máquina não seja
subdimensionado e consequentemente apresente falhas.
Questão 2
Sobre uma partícula se movendo segundo uma trajetória curvilínea,
podemos afirmar que a partícula
A as forças estáticas possam ser determinadas.
B as forças dinâmicas possam ser determinadas.
C as forças de atrito possam ser determinadas.
D as forças de corpo possam ser determinadas.
E as perdas por indução possam ser determinadas.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Uma partícula se movendo segundo uma trajetória curvilínea,
obrigatoriamente, terá uma aceleração centrípeta na direção do raio
de curvatura da trajetória.
4 - Síntese cinemática e dimensional
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer a síntese cinemática e dimensional.
A não pode ter aceleração tangencial nula.
B pode ter velocidade nula.
C não pode ter aceleração normal nula.
D está em repouso.
E
está se deslocando segundo a direção contrária à
aceleração da gravidade.
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Projeto analítico de um mecanismo
de quatro barras
Confira no vídeo a exemplificação de um projeto analítico de um
mecanismo de quatro barras por geração de função.
Classi�cação dos problemas de
síntese cinemática
Confira no vídeo a classificação dos problemas de síntese cinemática e
suas aplicações na geração de função, trajetória e orientação de objeto.
A experiência obtida ao longo dos anos mostrou que os problemas de
síntese cinemática podem geralmente ser classificados em três
categorias: geração de função, geração de trajetória e orientação de
objeto. Que tal conhecê-las?
Geração de função
Essa categoria, na maioria das vezes, envolve coordenar a orientação
angular de dois elos em um mecanismo. Um came com um seguidor
oscilante é um tipo de mecanismo comumente usado para geração de
função. A orientação angular do seguidor é especificada como uma
função do ângulo de rotação do came.
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Outro mecanismo comumente usado para geração de função é o
mecanismo de quatro barras, veja:
Mecanismo de quatro barras.
Nesse caso, o problema de síntese é determinar as dimensões das
barras que produzem uma relação funcional específica entre o ângulo
de entrada e o ângulo de saída .
Problemas de geração de função podem envolver tanto entradas e
saídas de translação quanto rotação. Por exemplo, os mecanismos
biela-manivela e came-seguidor são usados para geração de função
linear-para-angular e angular-para-linear.
Um exemplo de mecanismo usado para geração de função angular-para-
linear são as válvulas de admissão e escapamento em um motor de
combustão interna. O deslocamento linear da válvula deve ser
precisamente definido de acordo com o deslocamento angular do came.
Válvulas de admissão e escapamento em um motor de combustão interna.
Geração de trajetória
Nessa categoria, um mecanismo é necessário para guiar um ponto
(chamado ponto de rastreamento) ao longo de uma trajetória específica.
Veja a trajetória de determinado ponto de rastreamento:
Diagrama demonstrando o ponto de rastreamento.
Frequentemente, na geração de trajetória, o movimento do ponto de
rastreamento deve ser coordenado com o movimento do elo de entrada
do mecanismo. Em outras palavras, para valores específicos do ângulo
de entrada , é necessário que o ponto de rastreamento esteja em
locais específicos ao longo de sua trajetória. Esse tipo de problema é
denominado geração de trajetória com tempo de entrada prescrito.
φ θ
φ
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Orientação de objeto
Aqui, tanto a posição de um ponto pertencente ao corpo em movimento
quanto a orientação angular do corpo são especificadas. Mecanismos
como:
Came-seguidores
Engrenagens simples
Correias
Polias
Dispositivos similares
Não são capazes orientar um corpo, uma vez que os pontos nas
ligações desses mecanismos se movem em um arco circular ou ao
longo de uma linha reta.
Por essa mesma razão, as barras conectadas ao solo no mecanismo de
quatro barras da imagem a seguir,(barras e ), não podem ser usadas
para orientação de objeto. O elo do acoplador (barras ), no entanto,
move=se com o movimento geral de corpo rígido.
Portanto, o mecanismo de quatro barras é o dispositivo mais simples
capaz de orientar de forma geral um objeto. Veja um exemplo de um
problema de orientação de objeto típico na próxima imagem. Nesse
caso, uma caixa é carregada automaticamente de um transportador
para um carrinho. Durante o movimento, a caixa é presa com segurança
ao elemento acoplador de modo que tanto acaixa quanto o elemento
acoplador sofram as mesmas rotações e translações. Veja:
Um problema orientação de objeto.
A maioria dos problemas de síntese cinemática pode ser classificada
em três categorias. Entretanto, não se deve pensar que todos os
problemas caem diretamente nessas categorias.
Deve-se ter em mente também que, às vezes, é necessário especificar
propriedades de movimento de ordem mais alta na síntese de
mecanismos.
Exemplo
a c
b
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O projetista pode desejar realizar uma síntese em um mecanismo de
quatro barras geradora de função na qual a posição angular, a
velocidade e a aceleração do elo de saída são especificadas em termos
da posição, da velocidade e da aceleração do elo de entrada.
Espaçamento de pontos de precisão
para geração de função
Neste vídeo confira os conceitos de espaçamento de pontos de precisão
para geração de função.
Nos projetos de mecanismos para gerar uma função particular,
normalmente não é impossível produzir funções precisamente em mais
que apenas alguns pontos. Esses pontos são denominados pontos de
precisão e devem estar localizados de tal forma que minimizem o erro
gerado entre esses pontos. O erro produzido, denominado erro
estrutural, nesse caso pode ser expresso por:
Em que:
 é a função desejada.
 é a função realmente produzida.
Na próxima imagem observamos a variação do erro estrutural como
uma função que é gerada ao longo de um intervalo com o centro do
intervalo em . O erro é zero nos pontos e , que são os
pontos de precisão definidos acima.
Podemos ver que o erro máximo produzido pelo mecanismo, , indo do
ponto ao ponto , é consideravelmente menor que o erro , indo do
ponto ao ponto . O erro estrutural total será aproximadamente
minimizado quando esses dois erros são iguais. Veja:
ϵ = f (x) − g(x)
f (x)
g(x)
2h
x = a a 1, a 2 a 3
ϵ1
a 1 a 2 ϵ2
a 2 a 3
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Variação do erro estrutural.
Usando a teoria desenvolvida por Chebyshev (HARTENBERG; DENAVIT,
1964) denominada espaçamento de Chebyshev, é possível alocar os
pontos e de tal modo que seja aproximadamente igual a .
Veja esse arranjo:
Alojamento de pontos pelo método de Chebyshev.
O método de espaçamento de Chebyshev é ilustrado a seguir. Um
semicírculo é desenhado no eixo com raio e centro em . Metade de
um polígono regular é inscrito no semicírculo de forma que dois de seus
lados são perpendiculares ao eixo . Essas linhas perpendiculares
determinam os pontos de precisão e .
Desenho do semicírculo.
Agora, observe a construção para quatro pontos de precisão. Podemos
ver que para três pontos de precisão, o polígono é um hexágono e para
quatro pontos de precisão, o polígono é um octógono, ou seja, o número
de lados do polígono é o dobro do número de pontos precisão desejado.
Construção de quatro pontos no semicírculo.
De maneira geral, os pontos de Chebyshev podem ser calculados pela
seguinte equação:
Em que:
 número de pontos de precisão a serem determinados.
 pontos de Chebyshev.
 ponto central do intervalo.
 metade da largura do intervalo.
a 1, a 2 a 3 ϵ1 ϵ2
x h a
x
a 1, a 2 a 3
a j = a − h cos (
π ( j − 1
2
)
n
) , j = 1, 2,… , n
n =
a j =
a =
h =
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Projeto analítico de um mecanismo
de quatro barras
Confira no vídeo os conceitos do projeto analítico de um mecanismo de
quatro barras por geração de função.
Frequentemente, é necessário projetar um mecanismo para gerar dada
função, por exemplo, . A imagem a seguir mostra um
mecanismo de quatro barras disposto para gerar a função em
uma amplitude restrita. À medida que a barra se move entre os
limites e com entrada , a barra fornece um valor 
entre os limites e . Podemos ver no mecanismo que existem três
razões de lados independentes que definem as proporções do
mecanismo. Também deve ser considerada a amplitude de e e os
valores iniciais e . Na totalidade, existem sete variáveis que devem
ser consideradas para projetar o mecanismo que gera uma função
. A magnitude da tarefa de sintetizar essa função é
institivamente visível.
Um método desenvolvido por Freudenstein (1955) consiste em projetar
um mecanismo de quatro barras para geração de função em que um
número de pontos de precisão finito é definido. A função é gerada de
forma aproximada entre esses pontos. Em outras palavras, a função
ideal e a função gerada coincidirão apenas nesses pontos de precisão.
Entre esses pontos, a função gerada diferirá da função ideal de uma
amplitude que dependerá da distância entre os pontos e da natureza da
função ideal. Ainda sobre a próxima imagem, a função só será exata em
 e e em um número específico de pontos entre esses dois valores.
No desenvolvimento do método de Freudesntein, o primeiro passo é
determinar a relação entre e usando o mínimo número de razões
dos lados. Essa relação pode ser derivada considerando a imagem, na
qual a linha paralela à barra foi desenhada a partir do ponto e a
linha paralela à barra foi desenhada a partir do ponto , para gerar o
paralelogramo . As barras formam um circuito fechado e a soma
y = log x
y = f (x)
OA
–
ϕ1 ϕn x BC
–
y= f(x)
ψ1 ψn
ϕ ψ
ϕ1 ψ1
y = f (x)
ψ1 ψn
ϕ ψ
OA
–
B
AB–O
OABD
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dos componentes em com comprimentos e c devem ser iguais a
. Veja:
Determinação de e .
Essa equação é dada por:
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo :
E também no triângulo :
Das duas equações acima, temos que:
Juntando a equações e lembrando que :
Dividindo ambos os lados por :
Vamos definir:
É definido por:
x a, b
d
ϕ ψ
a cos(π − ϕ) + bcos α + c cos ψ = d
DOC
e2 = b2 + d2 − 2bd cos α
DBC
e2 = a 2 + c2 − 2ac cos(ϕ − ψ)
bcos α =
b2 + d2 − a 2 − c2 + 2ac cos(ϕ − ψ)
2d
cos(π − ϕ) = − cos(ϕ)
a 2 − b2 + c2 + d2 + 2ad cos(ϕ) − 2cd cos(ψ) = 2ac cos(ϕ − ψ)
2ac
a 2 − b2 + c2 + d2
2ac
+
d
c
cos(ϕ) −
d
a
cos(ψ) = cos(ϕ − ψ)
R 1
R 1 = dc
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É definido por:
É definido por:
O que nos leva a:
Em que e são três proporções independentes dos lados do
mecanismo. Essa equação fornece uma relação simples entre e .
Utilizando essa equação, o método de Freudenstein será estendido para
cobrir o projeto de mecanismos de quatro barras para geração de
função em que passará precisamente por três pontos. Para maior
precisão, uma aproximação usando quatro ou cinco pontos deve ser
desenvolvida. Entretanto, esses sistemas são muito mais complexos.
Os pares de ângulos que correspondem aos ângulos de precisão
são substituídos na equação que fornecerá três equações distintas. As
proporções dos lados do mecanismo podem ser determinadas por meio
da solução dessas equações. No mecanismo de quatro barras que
passa por e , temos que:
Resolvendo essas equações simultaneamente:
R 2
R 2 = da
R 3
R 3 = a
2− b2+ c2+ d2
2ac
R 1 cos(ϕ) − R 2 cos(ψ) + R 3 = cos(ϕ − ψ)
R 1, R 2 R 3
ϕ ψ
(ϕ, ψ)
(ϕ1, ψ1), (ϕ2, ψ2) (ϕ3, ψ3)
R 1 cos (ϕ1) − R 2 cos (ψ1) + R 3 = cos (ϕ1 − ψ1)
R 1 cos (ϕ2) − R 2 cos (ψ2) + R 3 = cos (ϕ2 − ψ2)
R 1 cos (ϕ3) − R 2 cos (ψ3) + R 3 = cos (ϕ3 − ψ3)
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Dessa forma:
.
.
.
Em que:
 ou 3
A partir dos valores e , os comprimentos das barras do
mecanismo podem ser determinados. Vale ressaltar que a partir da
cos (ϕ1) − cos (ϕ2) = w1
cos (ϕ1) − cos (ϕ3) = w2
cos(ψ1) − cos (ψ2) = w3
cos (ψ1) − cos (ψ3) = w4
cos (ϕ1 − ψ1) − cos (ϕ2 − ψ2) = w5
cos (ϕ1 − ψ1) − cos (ϕ3 − ψ3) = w6
R 1 =
w3w6 − w4w5
w2w3 − w1w4
R 1
R 2 =
w1w6 − w2w5
w2w3 − w1w4
R 2
R 3 = cos (ϕ i − ψi) + R 2 cos (ψi) − cos (ϕ i)
R 3
i = 1, 2
R 1, R 2 R 3
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determinação dos comprimentos das barras e , um sinal negativo
deve ser interpretado como um sentido vetorial ao desenhar o
mecanismo.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Os problemas de síntese cinemática podem geralmente ser
classificados nas seguintes categorias:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Diferentemente da cinemática, em que o mecanismo já está
definido e os parâmetros como posição, velocidade e aceleração
são obtidos, nos problemas de síntese, deseja-se dimensionar o
mecanismo para determinado objetivo, seja esse objetivo fazer com
que um ponto do mecanismo percorra uma função matemática
a c
A
Geração de função, geração de trajetória e
orientação de objeto.
B
Geração de pontos, geração de trajetória e
orientação de objeto.
C
Geração de variáveis, geração de pontos e
orientação de objeto.
D
Geração de variáveis, geração de trajetória e
orientação vetorial.
E
Geração de pontos, geração de trajetória e
orientação vetorial.
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(geração de função) ou uma trajetória (geração de trajetória) ou o
mecanismo faça com que determinado objeto realize um
movimento específico (orientação de objeto).
Questão 2
A metade de um polígono regular é inscrito no semicírculo e dois de
seus lados ficam perpendiculares ao eixo x. De acordo com o
método de Chebyshev, supondo que deseja-se cinco pontos de
precisão, pode-se afirmar que o polígono formado é um
Parabéns! A alternativa D está correta.
O polígono é um decágono. No método de Chebyshev, o número de
lados do polígono é o dobro do número de pontos de precisão
desejado. Logo, para cinco pontos, temos um decágono.
Considerações �nais
A triângulo.
B quadrado.
C pentágono.
D decágono.
E icoságono.
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Como vimos, as velocidades nos mecanismos podem ser determinadas
por método gráfico e por método vetorial. Além disso, verificamos que
as velocidades podem ser lineares, angulares, absolutas e relativas.
Vimos também o conceito de centro instantâneo de rotação que é um
ponto comum a dois corpos se movimentando em um plano e que
possui a mesma velocidade instantânea.
Assim como a velocidade, as acelerações nos mecanismos também
podem ser determinadas por método gráfico e por método vetorial.
Por fim, vimos as classificações dos problemas de síntese em geração
de função, geração de trajetória e orientação de objeto e também
apresentamos uma forma de projetar analiticamente um mecanismo de
quatro barras por geração de função.
Podcast
Para encerrar, ouça os principais tipos de velocidade, centros
instantâneos de rotação, tipos de aceleração e síntese cinemática.

Explore +
Para saber mais sobre a introdução à análise de mecanismos, não deixe
de ler Cinemática e dinâmica dos mecanismos, de Norton (2011),
indicado nas referências.
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Referências
FLORES, P.; CLARO, J. C. P. Cinemática de mecanismos 2: análise
descritiva de mecanismos. 2007.
FREUDENSTEIN, F. Approximate Synthesis of Four-Bar Linkages, Trans.
ASME, Journal of Engineering for Industry, 77(6), p. 853, 1955.
HUNT, K. H. Kinematic Geometry of Mechanisms. Oxford University
Press: Oxford, 1978.
MABIE, H. H.; REINHOLTZ, C. F. Mechanisms and dynamics of
machinery. New York: John Wiley & Sons, 1991.
NORTON, R. L. Cinemática e dinâmica dos mecanismos. Porto Alegre:
AMGH, 2010.
HARTENBERG, R. S.; DENAVIT, J. Kinematic Syntheiss of Linkages. New
York: McGraw-Hill, 1964.
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