nivel 1 1 proficiencia matemática

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Professor Alexandre M. M. P. Ferreira
Curso de Aprimoramento
em Matemática
Conjuntos Numéricos
 Definir os conjuntos numéricos.
 Operar adição, subtração, multiplicação e divisão 
com números relativos.
 Operar adição, subtração, multiplicação e divisão 
com números racionais.
 Operar adição, subtração, multiplicação e divisão 
com números irracionais.
Objetivos
Conjuntos Numéricos
Definição
Frequentemente avaliamos os objetos considerando 
principalmente dois aspectos: 
 Qualidade
 Quantidade
No estacionamento existem carros.
Podemos avaliar esses carros por dois prismas, isto é:
Quantidade: Quantos carros existem no estacionamento?
Quantas marcas de carros existem no estacionamento?
Qualidade: Quais marcas de carros existem no estacionamento?
De quais cores são os carros existentes no estacionamento?
A matemática preocupa-se exclusivamente com o 
aspecto quantidade. 
A quantidade envolve a noção de contagem, expressa 
por números. Um elemento é tomado como base dessa 
contagem – a "unidade".
A contagem mais simples dos números sempre existiu, desde os povos primitivos. E era
feita baseando-se na quantidade de dedos das mãos (contagem digital). Tal contagem,
até dez, não foi suficiente para resolver os problemas que surgiam; houve necessidade
de estender a contagem além de dez.
Para representar os números, lançaram mão de sinais (ou símbolos). Cada povo tinha sua
maneira própria de escrever os números, o que acabou sendo muito importante para
efetuar os cálculos.
Conjuntos Numéricos
Definição
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Relativos
Operações com Números Relativos
Fazer operações matemáticas como adição, subtração,
multiplicação e divisão é tarefa corriqueira no nosso dia a dia,
portanto é de extrema importância entender como essas
operações são realizadas. Neste tópico veremos como se
opera com os números relativos.
Mas o que 
são números 
relativos?
Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente
variações de valores em sentidos opostos, ou seja, maiores ou menores que zero
(positivos), como as medidas de temperatura, de reais em débito ou em haver,
etc.
Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado direito
(positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números
relativos (ou inteiros).
Operações com Números Relativos
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Relativos
Quando o matemático menciona o valor absoluto de um número relativo, se refere
ao valor do número que faz parte de sua representação, sem o sinal.
Exemplos: o valor absoluto de -4 é 4; o valor absoluto de +8 é 8.
Portanto o valor absoluto de um número é sempre o valor sem o sinal.
Quando o matemático se refere ao valor simétrico (ou oposto) de um número, é o
mesmo numeral, diferindo apenas o sinal.
Exemplos: o valor simétrico (ou oposto) de -2 é 2; o simétrico (ou oposto) de +8 é
-8.
Portanto o simétrico (ou oposto) de um número é sempre o mesmo valor com o
sinal trocado.
Observações:
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Relativos
Expressão numérica com números relativos é uma sequência de números associados 
por operações, isto é, imagine que alguém tivesse anotado, em uma única linha de uma 
folha de caderno, alguns cálculos a ser efetuados.
Exemplo:
562 + 4 x 5 -2 + 7
a) Nas expressões numéricas que apresentam somente adições e subtrações, as 
operações são feitas na mesma ordem em que elas estão, ou seja, da esquerda para 
a direita.
Exemplo:
25 + 8 + 12 -33 = 
33 + 12 -33 = 
45 -33 =
12
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Relativos
b) Nas expressões numéricas que apresentam multiplicações e/ou adições e/ou
subtrações, primeiro efetuamos as multiplicações e, depois que restar apenas adição
e/ou subtração, resolvemos as operações seguindo a mesma ordem em que elas estão,
ou seja, da esquerda para a direita.
Exemplo:
21 -5 + 24 x (-3) =
21 -5 -72 =
16 -72 =
-562 
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Relativos
c) Nas expressões numéricas que apresentam divisões e/ou adições e/ou subtrações,
primeiro efetuamos as divisões e, depois que restar apenas adição e/ou subtração,
resolvemos as operações seguindo a mesma ordem em que elas estão, ou seja, da
esquerda para a direita.
Exemplo:
11 -4 -54 (-6) =
11 -4 + 9 =
7 + 9 =
16
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Relativos
d) Nas expressões numéricas que apresentam as quatro operações –multiplicação,
divisão, adições e subtrações –, primeiro efetuamos as multiplicações e divisões
seguindo a ordem que aparecem na expressão, da esquerda para direita e, depois que
restar apenas adição e subtração, resolvemos as operações seguindo a mesma ordem
em que elas estão, ou seja, da esquerda para a direita .
Exemplo:
11 - 64 ÷2 - 12 x (-3) =
11 -32 –12 x (-3) =
11 -32 + 36 =
-21 + 36 =
15
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Relativos
• Para determinarmos uma expressão numérica em que apareça potenciação, efetua-
se primeiramente a potenciação, em seguida as divisões e multiplicações, seguindo
a ordem que aparecem na expressão, da esquerda para direita e, depois que restar
apenas adição e subtração, resolvemos as operações seguindo a mesma ordem em
que elas estão, ou seja, da esquerda para a direita.
• Em expressões numéricas com sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves),
efetuam-se, primeiro, as operações dentro dos parênteses, depois as que estão
dentro dos colchetes e, por último, as interiores às chaves, respeitando-se, ainda, a
ordem das operações.
Observações:
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Relativos
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Racionais
a) Para somar e subtrair frações com mesmo denominador (frações homogêneas), 
somam-se ou subtraem-se os numeradores e conserva-se o denominador. 
Exemplos:
As três frações possuem o mesmo
denominador, portanto são homogêneas.
Para somar e subtrair frações homogêneas,
somam-se os numeradores e conserva-se o
denominador.
Adição e Subtração de Frações:
Neste exemplo, a fração resultante é 14/7.
Lembrando que a barra de fração é uma
divisão, temos: 14 ÷ 7 = 2
2
5
+
1
5
−
4
5
= −
1
5
1)
6
7
+
13
7
−
5
7
= −
14
7
= 22)
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Racionais
b) Para somar frações com denominadores diferentes (frações heterogêneas), é
necessário reduzi-las a um denominador comum. O processo para transformá-las a
um denominador comum segue os passos abaixo:
1
4
+
3
5
−
7
10
1 º passo : Determina-se o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) dos denominadores
das frações dadas. O resultado obtido é o novo denominador. Para encontrar o
M.M.C., utilizaremos o método da fatoração, isto é, colocamos os denominadores
lado a lado, separados por vírgula, e dividimos um a um por números primos
(números primos são aqueles que só se dividem por um e por ele mesmo), até que
todos os denominadores se reduzam ao valor um. Depois disso, multiplicamos
todos os números primos encontrados, e o resultado é o valor do M.M.C. Vejamos
como isso é feito:
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Racionais
Colocamos os três valores lado a lado separados por vírgula e tentamos dividir
todos os números pelo primeiro número primo, que é o 2. Vejamos que o 4 e o 10
são divisíveis por 2, portanto resultam 2 e 5, enquanto o número 5 não é divisível
por 2, logo ele apenas é copiado sem alteração.
Como o 2 ainda pode ser dividido pelo número primo 2, fazemos o mesmo
procedimento da primeira linha, isto é, dividimos o 2, que resulta 1, e copiamos os
dois números 5.
Agora que sobrou apenas o número 5 para
ser dividido, dividiremos pelo número primo
5, que resulta 1.
Para finalizar, multiplicamos todos os
números primos encontrados, isto é, 2 x 2 x
5 = 20. Logo, o M.M.C. de 4, 5 e 10 é 20.
M.M.C. 
(4,5,10)
4, 5, 10, 2
2, 5, 5, 2
1, 5, 5, 5
1, 1, 1,
2 x 2 x 5 = 20
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Racionais
2 º passo: Divide-se o M.M.C. encontrado pelos denominadores das frações dadas. A
primeira fração possui odenominador quatro, logo temos: 20 ÷ 4 = 5. A segunda
fração possui o denominador cinco, logo temos: 20 ÷ 5 = 4. A terceira fração possui
o denominador dez, logo temos: 20 ÷ 10 = 2.
3 º passo: Multiplica-se o quociente encontrado em cada divisão pelo numerador da
respectiva fração. O produto é o novo numerador. A primeira fração possui o
numerador um, logo temos: 5 x 1 = 5.
A segunda fração possui o numerador três, logo temos: 4 x 3 = 12. A terceira fração
possui o numerador sete, logo temos: 2 x 7 = 14.
4º passo: Monta-se as novas frações com o mesmo denominador e os novos 
numeradores.
1
4
transforma-se em 
5
20
.
3
5
transforma-se em 
12
20
.
7
10
transforma-se em 
14
20
.
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Racionais
5º passo: Resolve-se a nova expressão encontrada. Assim, o que tínhamos eram 
frações heterogêneas (frações com denominadores diferente):
1
4
+
3
5
−
7
10
Agora, fazendo M.M.C., temos frações homogêneas (frações com o mesmo 
denominador):
5
20
+
12
20
-
14
20
Em seguida deve-se somar e subtrair frações com o mesmo denominador. 
Somando ou subtraindo os numeradores e conservando o denominador:
5
20
+ 
12
20
-
14
20
=
3
20
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Racionais
Para multiplicar duas ou mais frações, multiplicam-se entre si os 
numeradores e os denominadores. 
Multiplicação de Frações:
No exemplo, multiplicam-se os numeradores um e
três e depois multiplicam-se os denominadores
dois e cinco, isto é, multiplica-se “em cima, em
cima” e “embaixo, embaixo”.
𝟑
𝟐
×
𝟏
𝟓
=
𝟑 × 𝟏
𝟐 × 𝟓
=
𝟑
𝟏𝟎
Divisão de Frações:
Para dividir uma fração por outra, multiplica-se a primeira pelo 
inverso da segunda. 
𝟏
𝟐
÷
𝟏
𝟒
=
𝟏 × 𝟒
𝟐 × 𝟏
=
𝟒
𝟐
= 𝟐
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Racionais
Expressão numérica é uma sequência de números associados por operações, na
qual existe uma ordem em que se deve efetuar cada uma das contas da expressão,
isto é:
Efetua-se primeiramente a potenciação, logo efetuam-se as divisões e
multiplicações, seguindo a ordem que aparecem na expressão, da esquerda para a
direita. Depois que restar apenas adição e subtração, resolvemos as operações
seguindo a mesma ordem em que elas estão, ou seja, da esquerda para a direita.
Nas expressões numéricas com sinais de associação (parênteses, colchetes e
chaves), efetuam-se primeiro as operações dentro dos parênteses, depois as que
estão dentro dos colchetes e, por último, as interiores às chaves, respeitando-se
ainda, a ordem das operações.
Expressões com Números Fracionários:
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Racionais
Exemplo:
2 [3/5 x (-1/2 + 1/4)] =
1º passo: Resolver dentro dos parênteses. (-1/2 + 1/4) = 
Adição e/ou subtração de frações com denominadores diferentes (seguir os passos 
do item Adição e Subtração de Frações).
(-1/2 + 1/4) = (-2/4 + 1/4) = -1/4
Voltando à expressão:
2 [3/5 x (-1/2 + 1/4)] =2 [3/5 x (-1/4)] 
2º passo: Resolver dentro dos colchetes. [3/5 x (-1/4)] = 
Multiplicação de frações: multiplicam-se entre si os numeradores e os 
denominadores, isto é, multiplica-se “em cima, em cima” e “embaixo, embaixo”. 
Portanto temos: [3/5 x (-1/4)] = [-3/20]
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Racionais
Voltando à expressão: 2 [3/5 x (-1/4)] =2 [-3/20] 
3º passo:
Resolver a expressão que resultou, obedecendo as ordens das operações. 
2 [-3/20] 
Divisão de frações: multiplica-se a primeira pela inversa da segunda. Portanto 
temos:
2 [-3/20] = (2/1) x [-20/3] = -40/3 
Observação: todo número inteiro 
pode ser escrito em forma de fração, 
basta colocar o denominador igual a 
um, por isso 2 = 2/1.
A resolução completa da expressão é:
2 [3/5 x (-1/2 + 1/4)] =
2 [3/5 x (-1/4)] 2 [-3/20] (2/1) x [-20/3] = 
-40/3
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Racionais
Potenciação
Dá- se o nome de potência a um produto de fatores iguais.
Exemplo: 
4 x 4 x 4 indica-se por 43.
De forma geral, indica-se a potência por an.
A operação necessária para calcular a potência denomina-se 
potenciação.
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Racionais
c) Potência elevada a uma potência; conserva-se a base e multiplicam-se os 
expoentes  (am )n = a m.n
a) Produto de potências de mesma base: conserva-se a base e somam-se os 
expoentes  am x an = am + n
b) Quociente de potência de mesma base; conserva-se a base e subtraem-se os 
expoentes  am ÷an = am - n
d) Potência de um produto  (a . b)n = a n x b n
e) Potência de um quociente (a ÷ b) n= an ÷ bn b ≠ 0
Expressões com potenciação
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Racionais
O caminho inverso das propriedades 
da potenciação também é válido
a) 35+n = 35. 3nb
b) ( 2)2n1= (2)2n. (2)1= (2)2n. ( ½)
c) 4n= (22)n= 22n
Você sabia que:
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
𝑠𝑒 𝑎 ≠ 0
𝑎−1 =
1
𝑎
𝑠𝑒 𝑎 ≠ 0
𝑎0 = 1 𝑠𝑒 𝑎 ≠ 0
𝑎1 = 𝑎
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Irracionais
Simplificação de radicais
Quando o radicando possui um fator de expoente múltiplo do índice, esse fator 
pode ser colocado fora do radical (propriedade A dos radicais).
Exemplos:
Radiciação
20 = 4 × 5 = 22 × 5 = 2 5a)
b)
3
𝑎7 × 𝑏3 =
3
𝑎6 × 𝑎 =
3
𝑏3 = 𝑎² ×
3
𝑎 × 𝑏3 = 𝑎²𝑏 3 𝑎
Para percorrer o caminho inverso, isto é, para introduzir o fator no radical, basta 
elevar ao expoente do índice e multiplicar o produto pelo radicando
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Irracionais
2
3
2 =
3
2³ × 2 =
3
16
3 5 = 3² × 5 = 45
a
4
3 =
4
𝑎4 × 3 =
4
3𝑎4
Exemplos:
a
𝑛
𝑏 =
𝑛
𝑎𝑛 × 𝑏
a)
b)
c)
Radicais semelhantes
Dois ou mais radicais que têm o mesmo índice e o mesmo radicando 
chamam-se radicais semelhantes
Radicais não semelhantes
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Irracionais
2 3 31) e
2) 5
3
2 , 3
3
2 7
3
2
e
1)
2)
2
3
2
e
3
5
Índices diferentes:
Radicandos diferentes: e
3
8
Se simplificarmos os radicais
3
24 𝑒 5
3
3 teremos: 
3
24 =
3
2³. 3 = 2
3
3
e 
3
375 =
3
5³. 3 = 5
3
3
Logo, pode-se concluir que 
2
3
3 e 5
3
3 são semelhantes
Redução de radicais ao menor índice comum
a) Determina-se o M.M.C. dos índices dos radicais dados. O M.M.C. encontrado 
é o índice comum.
b) Divide-se o M.M.C. pelo índice de cada um dos radicais dados e multiplica-se 
o resultado pelo expoente do radicando do radical correspondente. O 
resultado é o novo expoente do radicando
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Irracionais
3
2;
6
3; 541)
a) Calcule o M.M.C dos índices (3, 6, 2) =6
b) O M.M.C 6 será dividido pelos índices 3, 6 e 2; isto é: 6÷3 = 2; 6÷6 = 1; 6÷2 = 3; 
logo, 
6
21×2 ; 
6
32×1 ; 
6
54×3 ;
6
2 ; 
6
32 ; 
6
512
Operações com radicais
a ) Adição e Subtração 
Só podemos adicionar ou subtrair radicais semelhantes, ou seja, as unidades devem 
ser obrigatoriamente iguais.
Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, basta adicionar ou subtrair, 
algebricamente, os fatores externos de cada radical, conservando o radical:
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Irracionais
2 3 + 5 3 = 2 + 5 3 = 7 3
2 + 50 − 8 = 2 + 5 2 − 2 2 = 1 + 5 − 2 2 = 4 2
1)
2)
b) Multiplicação
Para multiplicar radicais de mesmo índice, basta efetuar multiplicação entre 
os radicandos:
Conjuntos Numéricos
Operação com Números Irracionais
Para multiplicar radicais de índices diferentes, primeiramente é necessário 
reduzi-los o mesmo índice e, depois, aplicar a regra abaixo:
1)
2)
2 × 3 = 2 × 3 = 6
4
5 ×
4
2 ×
4
3 =
4
5 × 2 × 3 =
4
30
2 ×
3
5 =
6
2³ ×
6
5² =
6
200
3 𝑎 ×
4
𝑏 =
12
𝑎4 × 𝑏3 =
12
𝑎4𝑏3
Conjuntos Numéricos
Bibliografia
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. & GIOVANNI JR., J. R. Matemática 
fundamental: 2º Grau. São Paulo: FTD, 1994.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos e funções. v. 
1. São Paulo: Atual, 2002.
MACHADO, Antônio dos Santos. Matemática: conjuntos e funções. 2. ed. São 
Paulo: Atual,1988.