95343852 Calculo vetorial conicas e quadricas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍDA 
CAMPUS IV: LITORAL NORTE 
CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
DISCIPLINA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
 PROFESSOR JOSÉ ELIAS 
 
PRELIMINARES: VETORES, RETAS, PLANOS, CÔNICAS E QUÁDRICAS 
 
Vetores, Retas e Planos 
 
Trabalharemos nesta seção com vários exercícios resolvidos envolvendo o estudo dos 
Vetores, Retas e Planos. Deixaremos de lado os conceitos e caso sejam necessários faremos uma 
breve descrição. 
 
I- Vetores no 3R
 
Trabalharemos nesta seção com vários exercícios resolvidos envolvendo o estudo dos 
Vetores, Retas e Planos. Deixaremos de lados os conceitos e caso sejam necessários faremos uma 
breve descrição. 
 
Exercício 1: Da figura 1 abaixo, considerando os vetores u
r
, v
r
 e w
r
, temos que: 
a) },,{ wvu
rr
 é uma base do , pois são 3 vetores LI no espaço tridimensional; 3R
b) },,{ AHAFAC é uma base do , pois são 3 vetores LI no espaço tridimensional; 3R
c) },{ vu
r
 não é uma base do , pois é um conjunto com apenas 2 vetores; 3R
d) },,{ ACvu
r
 não é uma base do , pois são 3 vetores LD; 3R
e) },,,{ AGwvu
rr
 não é uma base do , pois é um conjunto com 4 vetores. 3R
 
 
Figura 1 Paralelepípedo ABCDEFGH
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2: Da figura 1 acima, considerando os vetores u
r
, v
r
 e w
r
, temos que: 
a) },,{ wvu
rr
 é uma base ortogonal do , pois seus vetores são perpendiculares dois a dois; 3R
b) 
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧
||||
,
||||
,
|||| w
w
v
v
u
u r
r
r
r
 é uma base ortonormal do 3R , pois perpendiculares dois a dois e 
unitários. 
Definição: O produto interno entre dois vetores a
r
 e b
r
 não nulos, é o número denotado por 
ba
vr ⋅ e definido pela expressão: 
),cos(.||||.|||| bababa
vrvrvr =⋅ 
 
Exercício 3: Considere os vetores unitários e ortogonais u
r
, v
r
 e w
r
 da figura 2, então: 
a) 0)90cos(.1.1),cos(.||||.|||| ===⋅ ovuvuvu rrrrrr 
b) 0)90cos(.1.1),cos(.||||.|||| ===⋅ owvwvwv rrrrrr 
c) 0)90cos(.1.1),cos(.||||.|||| ===⋅ ouwuwuw rrrrrr 
d) 1)0cos(.1.1),cos(.||||.|||| ===⋅ ouuuuuu rrrrrr 
e) 1)180cos(.1.1),cos(.||||.||||)( −==−−=⋅− ouuuuuu rrrrrr 
f) 0)90cos(.2.5)2,5cos(.||2||.||5||)2()5( ===⋅ ovuvuvu rrrrrr 
 
Figura 2 Paralelepípedo ABCDEFGH com medidas 5x2x3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 4: Supondo que 3|||| =ur , 2|||| =vr e que é medida do ângulo entre os vetores uo30 r 
e v
r
, determine e vu
rr ⋅ ||2 - u3|| vrr . 
Solução: 
• Como ),cos(.||||.|||| vuvuvu rrrrrr =⋅ , temos que: 
( ) 33.1
2
332
2
332)30cos().2.(3 =====⋅ ovu rr 
• Como )2 - u3()2 - u3(||2 - u3|| 2 vvv rrrrrr ⋅= e 
7163627||||4)u(12||u||9
||2||)2()u3(2||u3||)2 - u3()2 - u3(
22
22
=+−=+⋅−=
=+⋅−=⋅
vv
vvvv
rrrr
rrrrrrrr
 
temos que: 7||2 - u3|| =vrr 
 
 
 
 
 
Exercício 5: Demonstre o teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo qualquer (ver o 
triângulo ABC figura 3 abaixo) 
 
Figura 3 Triângulos ABC e DEF 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Considere os vetores ACc =r e CBb =r , portanto o vetor bcAB vr += , calculando a 
norma ao quadrado do vetor AB (hipotenusa ao quadrado), temos: 
2222 22)()( bbccbbbcccbcbcbcAB
vvrrvvvrrrvrvrvr +⋅+=⋅+⋅+⋅=+⋅+=+= 
como o triângulo é retângulo, os vetores c
r
 e b
r
 são perpendiculares, portanto 0=⋅bc vr , o que 
resulta em: 
222222 cbabcbc +=⇔+=+ vrvr 
Proposição: Em uma base ortonormal },,{ wvu
rr
, se wzvyuxa aaa
rrr ++= e wzvyuxb bbb rr
r ++= , 
então o produto interno entre os vetores ar e b
r
é: 
bababa zzyyxxba ++=⋅
rr
. 
 
Exercício 6: Usando a base },,{ wvu
rr
 da figura 2 , calcule CEAG ⋅ . 
Solução: Como wvuAG
rrr
325 ++= e wvuCE rrr 325 +−−= , usando a proposição acima, temos 
209425)3).(3()2).(2()5).(5( −=+−−=+−+−=⋅CEAG , como já havíamos calculado 
anteriormente. 
 
Definição: O produto vetorial entre dois vetores a
r
 e b
r
 não nulos, é o vetor denotado por ba
rr × , 
definido pelas seguintes características: 
• Direção: 
Perpendicular aos vetores a
r
 e b
r
, ou seja, aba
rrr ⊥× e bba rrr ⊥× ; 
• Norma: 
),sen(||||.|||| |||| bababa
rrrrrr =× 
• Sentido: 
É dado pela regra da mão direita que é equivalente, algebricamente a },,{ baba
rrrr × ser 
uma base positiva do R . 3
Exercício 7: Considere os vetores unitários e ortogonais u
r
, v
r
 e w
r
 da figura 2 acima, então: 
a) , pois: wvu
rrr =×
o wr é perpendicular aos vetores ur e vr ; 
o 1)90(.1.1),(||||.|||||||| === osenvusenvuw rrrrr ; 
o usando a regra da mão direita, confirmamos o resultado; 
b) , análogo ao anterior; uwv
rrr =×
c) , análogo aos anteriores; vuw
rrr =×
d) , pela definição; wuv
rrr −=×
e) , pois: wvu
rrr
623 =×
o é perpendicular aos vetores wr6 ur3 e vr2 ; 
o 6)90(.2.3)2,3(||2||.||3||||6|| === osenvusenvuw rrrrr ; 
o usando a regra da mão direita, confirmamos o resultado; 
f) 0
rrr =×uu , pois 
o 0)0(.1.1),(||||.|||||||| ===× osenuusenuuuu rrrrrr ; 
 
Proposição: Em uma base ortonormal positiva },,{ wvu
rr
 qualquer, se wzvyuxa aaa
rrr ++= e 
wzvyuxb bbb
rrr ++= , então produto vetorial entre os vetores ar e br é o “determinante”1: 
bbb
aaa
zyx
zyx
wvu
ba
rrr
rr =× 
 
Exercício 8: Usando a base },,{ wvu
rr
 da figura 2, calcule a área do paralelogramo formado pelos 
vetores AG e CE . 
Solução: Como wvuAG
rrr
325 ++= e wvuCE rrr 325 +−−= , usando a proposição acima, temos: 
wvuwvuwvu
wvu
CEAG
rrrrrrrrr
rrr
030121015610156
325
325 +−=+−+−−=
−−
=× 
 como já havíamos calculado anteriormente, e a norma do vetor CEAG × é igual á 
( ) ( ) 31,321044)0()30()12( 222 ≅=+−+=×⋅×=× CEAGCEAGCEAG , 
 logo a área do paralelogramo será igual a ..31,32 auA ≅ 2. 
 
1 O determinante está entre aspas, para enfatizar que o cálculo é igual ao de um determinante qualquer, porém a primeira linha é 
composta de vetores. 
2 A simbologia u.a. significa unidade de área, por exemplo: m2 (metro quadrado), cm2 (centímetro quadrado), etc. 
 
Definição: O produto misto entre os vetores a
r
, b
r
 e c
r
 é o número, denotado por ],,[ cba
rrr
, 
definido pela expressão: 
cbacba
rrrrrr ⋅×=],,[ 
 
Exercício 9: Considere os vetores unitários e ortogonais u
r
, v
r
 e w
r
 da figura 9, então: 
a) 1],,[ =⋅=⋅×= wwwvuwvu rrrrrrrr 
b) 1],,[ −=⋅−=⋅×= vvvwuvwu rrrrrrrr 
c) 30310],,[ =⋅=⋅×= wwAEADABAEADAB rr 
d) 132)326()03012(],,[ =++−⋅+−=⋅×= wvuwvuBHCEAGBHCEAG rrrrrr 
 
Proposição: Em uma base ortonormal positiva },,{ wvu
rr
, se wzvyuxa aaa
rrr ++= , 
wzvyuxb bbb
rrr ++= e wzvyuxc ccc rr
r ++= , então produto misto entre os vetores a , r br e cr é o 
determinante: 
ccc
bbb
aaa
zyx
zyx
zyx
cba =],,[ rr 
 
Exercício 10: Usando a base },,{ wvu
rr
 da figura 9, calcule o volume do paralelepípedo gerado 
pelos vetores AG , CE e BH . 
Solução: Como wvuAG
rrr
325 ++= , wvuCE rrr 325 +−−= , wvuBH rrr 326 ++−= e o volume é o 
módulo do produto misto, pela proposição acima, temos: 
[ ] 132
326
325
325
,, =
−
−−=BHCEAG 
 como já havíamos calculado anteriormente, logo o volume é ..132|132| vuV == 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 A simbologia u.v. significa unidade de volume, por exemplo: m3 (metro cúbico), l (litro), cm3 (centímetro cúbico), etc. 
II-O Plano 
 
Exercício 11: Determinar as equações paramétricas e a equação normal do plano π que contém 
os pontos , )1,0,3(=A )2,1,2(=B e )3,1,0( −=C , e verificar se o ponto e a origem do 
sistema pertencem ao plano. 
)1,6,1( −=D
Solução: Os vetores diretores são )1,1,1(−=AB e )2,1,3( −−=AC . Seja umponto 
qualquer do plano, então temos 
),,( zyxP =
)1,,3( −−= zyxAP , logo: 
¾ Da equação vetorial temos: 
)2,1,3()1,1,1()1,,3( 21 −−+−=−− κκzyx 
Que resulta em nas equações paramétricas do plano π : 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
−
−
+
+
−
=
=
=
2
2
2
1
1
1
2
1
3
1
1
1
1
0
3
:
κ
κ
κ
κ
κ
κ
π
z
y
x
 
¾ Do produto misto temos: 
0
213
111
13
=
−−
−
−− zyx
 
Que resulta na seguinte equação normal do plano π : 
01343: =−+− zyxπ 
¾ Para verificar que o ponto )1,6,1( −=D e a origem )0,0,0(=O , pertencem ao plano, basta 
substituir as três coordenadas dos pontos na equação do plano π . Se a igualdade for 
satisfeita, o ponto pertence ao plano, caso contrário, não pertence, logo: 
o { { { 01313)0(4)0()0(3)0,0,0( ≠−=−+−⇒=
zyx
O , logo O não pertence a π ; 
o { { { 013)1(4)6()1(3)1,6,1( =−+−−⇒−=
zyx
D , logo D pertence ao plano π . 
Observações: 
• Note que, nas equações paramétricas do exercício anterior, as coordenadas do ponto 
, estão “soltas” em uma coluna e as coordenadas dos dois vetores )1,0,3(=A )1,1,1(−=AB 
e )2,1,3( −−=AC também estão nas colunas, porém multiplicadas pelos dois parâmetros 
1κ e 2κ . 
• Nas equações paramétricas do plano π , substituindo: 
01 =κ e 02 =κ , temos o ponto A, 
11 =κ e 02 =κ , temos o ponto B e 
01 =κ e 12 =κ , temos o ponto C; 
• Para cada par de parâmetros 1κ e 2κ correspondem a um único ponto do plano e para 
cada ponto P do plano corresponde um único par de parâmetros. 
 
Exercício 12: Determinar as equações paramétricas e a equação normal do plano ϕ que contém 
o ponto e é perpendicular ao vetor )1,1,1(=S )3,1,2(=wr . 
Solução: Vamos primeiro, achar a equação geral do plano, considerando como vetor normal do 
plano o vetor )3,1,2(== wn rrϕ , portanto um ponto ),,( zyxP = para pertencer ao plano ϕ , tem que 
satisfazer à equação 0=⋅SPnϕr , logo: 
0)1,1,1()3,1,2( =−−−⋅ zyx 
0)1(3)1(1)1(2 =−+−+− zyx 
Que resulta na equação normal do plano 06312: =−++ zyxϕ 
 
II.1- Planos Paralelos 
 
Observando os dois planos paralelos e distintos α e β , na 
figura 17, concluímos que: 
 
Figura 17 Planos paralelos 
¾ Os vetores αn
r
 e βn
r
 são paralelos, logo 0
rrr =× βα nn ; 
¾ A interseção entre os dois planos é vazia; 
¾ O ponto β∉A e o ponto α∉B ; 
¾ O ângulo ),( βα entre os planos é 0o; 
¾ Os vetores u , r vr , ar e b
r
, podem, três a três, ser 
representados em um plano, logo são LD; 
¾ O vetor AB é perpendicular aos vetores αn
r
 e βn
r
; 
¾ Os vetores AB , e ur vr são LI, bem como os vetores AB , ar e b
r
; 
¾ O volume do paralelepípedo formado pelos vetores AB , ur e vr é positivo; 
¾ A distância ),( βαd entre planos é positiva. 
 
Exercício 13: Determinar a equação normal do plano φ que contenha o ponto A e seja paralelo ao 
plano β. 
 
Para determinar a equação deste plano, você terá que achar um ponto e vetor normal do 
plano ϕ , ou dois vetores diretores do plano. 
Como fazer isso? 
¾ Esboce dois planos paralelos; 
¾ Represente o ponto C e o vetor normal βn
r
 no plano β e os pontos A e P no plano ϕ ; 
¾ Observe que, para definir o plano β , só falta determinar o vetor normal; 
¾ Escolha como vetor normal do plano ϕ o mesmo do plano β , ou seja, βϕ nn rr = ; 
“Porque posso escolher esse vetor?” 
¾ Temos, portanto, que o plano ϕ é definido por )1,0,3(=A e )1,1,1(−== βϕ nn rr ; 
¾ Como rAP r⊥ , o produto interno 0=⋅ rAP r ; 
Logo a equação geral do plano é 02111: =+++− zyxϕ 
 
III- A Reta 
 
 
Definição: Qualquer vetor não nulo, que dá a direção de uma reta r , é chamado de vetor diretor 
da reta . r
 
Observação: No sistema de coordenadas, seja P ),,( zyx= um
AA z e ( BB zxB
 ponto qualquer da reta r , definida 
pelos pontos, distintos, do espaço ,( A yxA = ,B y), ), , considere os vetores =
),,(),,( uuuABABAB zyxzzyyxxABu =−−−==r e 
),,( AAA zzyyxxAP −−−= , 
Portanto, da equação vetorial, temos: 
ABAP τ= 
uAP
rτ= 
434214444 34444 21 r
u
uuu
AP
AAA zyxzzyyxx ),,(),,( τ=−−− 
Escrevendo cada coordenada como uma equação e isolando as variáveis x , y e z , 
temos o seguinte sistema de equações, chamado de sistemas de equações paramétricas da 
reta r ou simplesmente de equações paramétricas da reta: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
+
+
=
=
=
τ
τ
τ
uA
uA
uA
zz
yy
xx
z
y
x
r : 
Se nenhuma das coordenadas do vetor diretor ABu =r , for nula, podemos isolar o parâmetro τ de 
cada uma das equações acima, obtendo 
u
A
x
xx −=τ , 
u
A
y
yy −=τ e 
u
A
z
zz −=τ , ou seja, temos a 
seguinte igualdade 
u
A
u
A
u
A
y
zz
y
yy
x
xx −=−=−=τ que é é chamado sistema de equações da reta r 
na forma simétrica, ou simplesmente equações simétricas da reta r 
 
Exercício 14: Determinar as equações paramétricas e simétricas da reta r que contém os pontos 
 e , e verificar se o ponto )1,0,3(=A )2,1,2(=B )3,2,1(=E e a origem do sistema pertencem à reta. 
Solução: O vetor diretor da reta é )1,1,1(−=AB . Seja ),,( zyxP = um ponto qualquer da reta, 
então temos )1,,3( −−= zyxAP e a equação vetorial: 
)1,1,1()1,,3( −=−− τzyx 
Que resulta em nas equações paramétricas da reta . 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
+
−
=
=
=
τ
τ
τ
1
1
1
1
0
3
:
z
y
x
r
Isolando o parâmetro τ das equações acima, obtemos as equações simétricas da reta: 
1
1
1
0
1
3: −=−=−
− zyxr , ou 13: −==− zyxr . 
Para verificar que o ponto e a origem )3,2,1(=E )0,0,0(=O , pertencem à reta, basta substituir as 
três coordenadas dos pontos nas equações simétricas da reta, se as igualdades forem satisfeitas, 
o ponto pertence à reta, caso contrário, não pertence, logo: 
¾ 
{
103
1
10
1
00
1
30)0,0,0(
103
−≠≠⇒−=−=−
−⇒=
−===
321321
O , não pertence a r; 
¾ 
{ {
222
1
13
1
02
1
31)3,2,1(
222
==⇒−=−=−
−⇒=
===
321
E , pertence à reta r. 
 
Exercício 15: Determinar as equações paramétricas e simétricas da reta r dada pela interseção 
dos planos 01: =+++ zyxα e 032: =++ zyxβ . 
 
 
Figura: Reta definida por dois planos. 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
¾ Vamos primeiro determinar esta reta r, como solução do sistema , usando o 
método do escalonamento, temos: 
0
01
32 =
=+
+
+
+
+
⎩⎨
⎧
z
z
y
y
x
x
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−⇒−→⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
⇒−→⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
2110
3201
2110
1111
20132
1111 211
122
LLL
LLL
 
O que resulta no sistema equivalente , escolhendo 
2
32
−=
−=
−
+
⎩⎨
⎧
z
z
y
x τ=z e substituindo no 
sistema equivalente, obtemos as equações paramétricas da reta e destas, 
obtemos as equações simétricas 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
+
−
−
−
=
=
=
τ
τ
τ
1
1
2
0
2
3
:
z
y
x
r
11
2
2
3: zyxr =+=−
+ . 
¾ Se não gostar de escalonamento, podemos então determinar dois pontos da reta r , 
escolhendo, por exemplo, 
o 0 , reduzindo o sistema para , tendo como solução =y
0
01
2 =
=+
+
+
⎩⎨
⎧
z
z
x
x
1=x e 2−=z , ou 
seja, um primeiro ponto da reta é )2,0,1( −=A ; 
o , reduzindo o sistema para , tendo como solução e 0=z
0
01
32 =
=+
+
+
⎩⎨
⎧
y
y
x
x
3−=x 2=y , 
ou seja, um segundo ponto da reta é )0,2,3(−=B . 
Logo um vetor diretor é o vetor )2,2,4(−== ABur e, portanto, as equações paramétricas da 
reta são e, destas equações, obtemos as equações simétricas 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
+
−
−=
=
=
τ
τ
τ
2
2
4
2
0
1
:
z
y
x
r
2
2
24
1: +==−
− zyxr . 
¾ Pode-se também determinar um ponto e um vetor diretor da reta. 
o Para encontrar um ponto, fazemos como acima. Vamos utilizar, então, o ponto 
 )2,0,1( −=A .
o Para determinar um vetor diretor,basta calcular βα nnu
rrr ×= , logo 
kji
kji
nnu
rrr
rrr
rrr ++−==×= 2
132
111βα . 
Portanto as equações paramétricas da reta são e destas, obtemos as 
equações simétricas 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
+
−
−=
=
=
τ
τ
τ
1
1
2
2
0
1
:
z
y
x
r
1
2
12
1: +==−
− zyxr . 
 
Observação: Apesar das equações paramétricas e simétricas da reta r, encontradas no exercício 
acima, serem diferentes, elas representam a mesma reta r, o que as diferencia é a escolha de um 
ponto inicial e de um “novo” vetor diretor, múltiplo do vetor diretor obtido anteriormente. 
III.1- Retas Paralelas 
 
Observando as duas retas r e s paralelas distintas, na figura 
10, concluímos que: 
¾ Os vetores diretores rr e sr são paralelos, logo são LD; 
¾ O ponto e ; rS∉ sR ∉
¾ O vetor SR não é paralelo aos vetores diretores; 
¾ Não existe interseção entre as retas; 
¾ O ângulo entre as retas é 0),( sr o; 
¾ A área do paralelogramo formado pelos vetores rr e SR é positiva; 
¾ A distância entre as retas é positiva. ),( srd
III.2- Retas Concorrentes 
 
Observando as duas retas r e s concorrentes, na figura 11, 
concluímos que: 
¾ Os vetores diretores r e r sr não são paralelos, logo 
são LI; 
¾ A interseção entre as retas é o ponto I; 
¾ O ângulo entre as retas está entre 0),( sr o e 180o; 
¾ Os vetores r , r sr e SR , podem ser representados em um plano, logo são LD; 
¾ O volume do paralelepípedo formado pelos vetores rr , sr e SR é 0; 
¾ A distância entre as retas é 0. ),( srd
 
Figura 11 Retas concorrentes. 
 
Figura 12 Retas reversas. 
 
Figura 10 Retas paralelas. 
III.3- Retas Reversas 
 
Observando as duas retas r e s reversas, ou seja, as retas 
estão em planos paralelos distintos, como na figura 12, 
concluímos que: 
¾ Os vetores diretores r e r sr não são paralelos, logo 
são LI; 
¾ Não existe interseção entre as retas; 
¾ O ângulo entre as retas está entre 0),( sr o e 180o; 
¾ Os vetores r , r sr e SR , não podem ser representados em um plano, logo são LI; 
¾ O volume do paralelepípedo formado pelos vetores rr , sr e SR é positivo; 
¾ A distância entre as retas é positiva. ),( srd
Exercício 16: Determinar a reta s, que passa pelo ponto C e é paralela à reta r. 
 
Para determinar a reta s, ou seja, determinar as equações desta reta, você terá que achar 
um vetor diretor da mesma. 
 
Como fazer isso? 
¾ Esboce duas retas paralelas quaisquer; 
¾ Represente o ponto R e o vetor rr na reta r e os pontos C e P na reta s; 
¾ Observe que, para definir a reta s, só falta determinar o vetor diretor; 
¾ Escolha como vetor diretor para reta s o mesmo da reta r, ou seja, rs rr = ; 
“Porque posso escolher esse vetor?” 
¾ Temos, portanto, que a reta s é definida por )3,1,0( −=C e )1,1,1(−== rs rr ; 
¾ Como rCP r// (LD), temos a equação vetorial rCP rρ= ; 
¾ Escrevendo as equações paramétricas da reta s, temos ; 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
+
−
−
=
=
=
ρ
ρ
ρ
1
1
1
3
1
0
:
z
y
x
s
¾ Escrevendo as equações simétricas (isolando ρ nas paramétricas) obtemos: 
1
3
1
1
1
: −=+=−
zyxs ou 31: −=+=− zyxs 
Exercício 17: Determinar o plano β que passa C e é perpendicular à reta r. 
 
Para determinar o plano β , ou seja, determinar as equações deste plano, você terá que achar um 
ponto e um vetor normal do plano β . 
Como fazer isso? 
¾ Esboce um plano e uma reta perpendicular quaisquer; 
¾ Represente o ponto R e o vetor rr na reta r e os pontos C e P no plano β ; 
¾ Observe que, para definir o plano β , só falta determinar o vetor normal; 
¾ Escolha como vetor normal do plano β o mesmo da reta r, ou seja, rn rr =β ; 
“Porque posso escolher esse vetor?” 
¾ Temos, portanto que, o plano β é definido por )3,1,0( −=C e )1,1,1(−== rn rrβ ; 
¾ Como rCP r⊥ , o produto interno 0=⋅ rCP r ; 
¾ Logo a equação normal do plano é 02111: =−++− zyxβ ; 
¾ Para escrever as equações paramétricas do plano partindo da equação normal, temos pelo 
menos duas possibilidades: 
o Determinar dois vetores diretores do plano. Para tanto, acharemos outros dois 
pontos, como por exemplo, os pontos )2,0,0(1 =C e , achando os 
vetores 
)0,0,2(2 −=C
)1,1,0(1 −=CC e )3,1,2(1 −−=CC , logo: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
+
−
−
+
+
−
=
=
=
2
2
2
1
1
1
3
1
2
1
1
0
3
1
0
:
μ
μ
μ
μ
μ
μ
β
z
y
x
 
o Considere 1μ=y e 2μ=z , logo 212 μμ ++−=x , isto é: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ++
=
=
=
2
1
212
:
μ
μ
μμ
β
z
y
x
 ou 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
+
+
+
+
+−
=
=
=
2
2
2
1
1
1
1
0
00
0
2
:
μ
μ
μ
μ
μ
μ
β
z
y
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo das Cônicas 
 
1 – Circunferência 
 
 Sabemos da geometria elementar que circunferência é o conjunto de todos os pontos 
eqüidistantes de um ponto fixo denominado centro da circunferência. ( ,C a b= )
)
 
 
 
 
 
 
 
Considerando o centro da circunferência como sendo o ponto , r sendo o raio e 
 um ponto da circunferência, temos: 
( ,C a b=
( , )P x y=
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2,d C P x a y b r x a y b r= − + − = ⇒ − + − = . 
 
 Portanto, uma circunferência de centro ( ),C a b= e raio r tem equação 
( ) ( )2 2 2x a y b− + − = r , denominada Equação Reduzida da circunferência. 
 
 
2 2 4x y+ = 
Circunferência 
de centro C=(0,0) 
e raio 2. 
( ) ( )2 21 2x y
 
 
 
 1− + − = 
Circunferência 
de centro C=(1,2) 
 e raio 1. 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvendo a equação reduzida ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = temos: 
. Esta equação é chamada equação geral da circunferência. 2 2 2 2 22 2x y ax by a b r+ − − + + − = 0
 
Exercício 1: Determine o centro e o raio da circunferência 2 2 4 8 19 0x y x y+ − − + = . 
Solução: 
 Da equação geral , vamos encontrar a equação reduzida 2 2 4 8 19 0x y x y+ − − + =
( ) ( )2 2 2x a y b− + − = r . 
Vamos utilizar um processo conhecido como completamento de quadrados. Para isso, 
lembramos que ( )22 22x ax a x a− + = − e ( )22 22y bx b y b− + = − . 
Com base na equação separamos os termos que envolvam as 
variáveis x e y, da seguinte forma: 
2 2 4 8 19 0x y x y+ − − + =
I) e II) {
( )
( )
2
2
22 2
2 4 22
4
4 4 4 4 2
a xa
a
x x x x x
= −=
=
− = − + − = − −14243 4 {
( )
( )
2
2
22 2
2 8
44
16
8 8 16 16 4 16
b
yb
b
y y y y y
= −=
=
− = − + − = − −14243 
Desta maneira, de (I) e (II) temos: 
x2 + y2 – 4x – 8y + 19 = 0 => x2 – 4x + y2 – 8y + 19 = 0 => (x – 2)2 – 4 + (y – 4)2 – 16 + 19 = 0 
 
=> (x – 2)2 + (y – 4)2 = 1 
 
Logo, a equação ( ) representa uma circunferência de centro 
e raio 1. 
( )2 22 4x y− + − =1
)(2,4C =
 
Observação: No ambiente virtual da disciplina, na plataforma Moodle, você encontrará 
vários exercícios envolvendo completamento de quadrado. Aproveite para exercitar já que 
trabalharemos essa ferramenta com bastante freqüência. 
 
Exercício 2: Determine a equação da circunferência que passa pela origem e tem centro no ponto 
C = (3,4). 
Solução: A equação da circunferência é ( ) ( )2 2 2x a y b r− + − = . Como esta circunferência tem 
centro no ponto C = (3,4) então ( ) ( )2 2 23 4x y r− + − = . A origem (0,0) é um ponto da 
circunferência e assim podemos escrever: 
( ) ( )2 2 2 2 20 3 0 4 9 16 25r r r− + − = ⇒ + = ⇒ = . 
 
Portanto, é a equação da circunferência pedida. ( ) ( )2 23 4x y− + − = 25
 
Exercício 3: A circunferência representada no gráfico abaixo passa pelos pontos A e B. 
Determine sua equação reduzida. 
 
 
 
 
Solução: 
A equação reduzida da circunferência de centro C = (a,0) é ( ) ( )2 2 20x a y r− + − = . Como 
e pertencem à circunferência, temos:( )2,1A = (3,0B = )
2( ) ( )2 22 2( ) 2 1 ( ) 3 0I a r II a− + = − + = r
)a
 
De (I) e (II) temos , ou seja, ( ) (2 22 1 3a− + = − 24 4a a− + 21 9 6a a+ = − + e, portanto 
. Desta forma, a equação reduzida da circunferência é ( )2a = 2 2 22x y r− + = . 
 Vamos determinar o valor de . Para isso lembramos que o ponto B = (3,0) pertence à 
circunferência, assim: ( )
2r
2 2 2 23 2 0 1r r− + = ⇒ = . 
 Portanto ( ) é a equação reduzida da circunferência pedida. 2 22x y− + =1
2- Parábola 
 
ara cima e observando a trajetória percorrida pela água. Essa trajetória 
Podemos visualizar concretamente uma parábola, dirigindo um jato d’água de uma 
mangueira obliquamente p
é parte de uma parábola. 
Definição: Dados um ponto F e uma reta r de um plano, com F r∉ , chamamos de parábola o 
onjunto dos pontos desse plano eqüidistantes da reta r e do ponto F. 
 
parábola. O 
eixo de simetria da parábola é a reta s, que passa por F e é perpendicular à diretriz r. 
 ponto V nada mais é que o ponto médio do 
segmento 
c
 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto F é denominado foco da parábola e a reta r é denominada diretriz da 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que ( ) ( ), ,d F V d V D c= = e assim o
FD , e é denominado vértice da parábola. 
 
partir do foco F e da reta diretriz r, podemos chegar à equação da parábola que é formada por 
todos os pontos do plano tal que 
 
 
Se um satélite emite um conjunto de ondas 
eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena 
parabólica, uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que 
tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios 
exatamente para um único lugar, denominado o foco da parábola, 
onde estará um aparelho receptor que converterá as ondas 
eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar em 
ondas, que por sua vez, significarão filmes, telejornais e outros 
programas que você assiste normalmente com maior qualidade. 
Curiosidades 
 
 
Nosso objetivo é determinar uma equação que represente uma parábola. Desta forma, a 
( ),P x y= ( ) ( ), ,d P F d P r= . 
 Como ilustração, vamos determinar a equação da parábola que tem como diretriz a reta 
= − e como foco o ponto conforme figura abaixo: 
 
 
 
s que pertencem à parábola são tais que ) , onde 
. 
Assim : 
( )6,2F =: 4r x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os ponto ( ),P x y= ( ) (, ,d P F d P Q=
( )4,Q y= −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
(
( ) ( )
) ( ) ( )
2 2 2 2
2
2 22
, , 6 2 4
2 4
2 8 16 12 36 2 20 1 .
d P F d P Q x y x y y
y x
x x x x y x
= ⇒ − + − = + + − ⇒
− = +
− = + − + − ⇒ − = −
)− = −
= e reta diretriz 
 
Sabemos que o vértice da parábola é o ponto médio do segmento
2 2 2 2 2
2
6 2 4 6x y x x
y
⇒ − + ⇒ − = + − − ⇒
⇒ +
 
Portanto a equação y x é a equação da parábola que possui foco 
2 : 4r x = −
( ) (22 20 1
( )6,F . 
FAV , onde 
6,F =
 
( ) e ( )4,2A = − e assim 2 ( )6 4 2 2, 1, 2V V− +⎛ ⎞= ⇒ . 
2 2
=⎜ ⎟⎝ ⎠
 
Pela distância de V até F encontramos um valor dado por: 
 
c
( ) )( ) (2, 6 1 2 2 5c d V F= = − + − = . 
Observe agora que na equação )
2
 
( ) (22 20 1y x− = − , obtida anteriormente, aparecem as 
coordenadas do vértice e e também o valor 1vx = 2vy = 5c = : 
{ {2 20
v v
y x {
2
4.
1
y xc
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎠
 
⎟⎟⎝ ⎠ ⎝
 
artir da equação da parábola, )y xReciprocamente, a p ) (22 20 1( − = − r 
ao vértice 
, podemos chega
V e o valor de , e daí, teremos o foco F e a diretriz r. 
ada a equação ) . Obtemos 
c
 ( ) (22 20 1y x− = − ( )1,2V = e 5c = . D
 
 
 
Gen emos, a p
valor de como também a equação reduzida da parábola. Veja os 
asos possíveis. 
aso 1: A reta diretriz r é paralela ao eixo 0y; 
 
 
 
c=5 c=5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
eralizando, pod artir do foco e da reta diretriz, determinar o vértice 
( ),v vV x y= e o ( ),c d V F=
c
 
C
 
 
 
Se a concavidade é 
voltada para a direita, 
então a equação 
reduzida da parábola é: 
( ) ( )2 4 .v vy y c x x− = − 
 
Se a concavidade é 
voltada para a 
esquerda, então a 
equação reduzida da 
parábola é:
( ) (2 4 .v v
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)y y c x x− = − −
c
c
 
 
 
Observações: Note que, quando a reta diretriz é paralela ao eixo 0y, o fator da 
equação que contém a variável y ficará elevado ao quadrado. Analogamente, se a 
reta diretriz é paralela ao eixo 0x, o fator da equação que contém a variável x ficará 
elevado ao quadrado, veja nas ilustrações a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 2: A reta diretriz r é paralela ao eixo 0x. 
rcícios para que possamos assimilar e trabalhar melhor a equação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Faremos alguns exe
Se a concavidade é voltada para 
cima, então a equação reduzida 
da parábola é: 
( ) ( )2 4 . .v vx x c y y− = − 
 
Se a concavidade é voltada para 
baixo, então a equação reduzida 
da parábola é: 
( ) ( )2 4 . .v vx x c y y− = − − 
c 
c 
reduzida de uma parábola. 
Exercício 1: Se uma parábola possui equação 2 4 12 8 0x x y− − − = , determine as coordenadas 
o foco e a equação da reta diretriz. 
Soluçã
Primeiramente vamos fazer o completamento do quadrado na variável x. 
Temos: 4 4 4 4 2 4
a
x x x x x− = − + − = − − . 
Desta forma a equação pode ser escrita na forma: 
)
do vértice, d
o: 
 { { ( )
2
22 2
2
2
a
a=
2 4 12 8 0x x y− − − =
( ) ( ) ( ) (2 2 212 12 1y x+ ⇒ + . 
Portanto, da equação da parábola )
2 4 12 8 0 2 2 12x y x y− − − − = ⇒ − = − =
( ) (22 12 1x y− = + obtemos ( )2, 1V = − e 
124 12 3c c= ⇒ = = . 
Como na equação ) o termo envolvendo a variável x está elevado ao 
quadrado, então pelos casos vistos anteriormente, a reta diretriz é paralela ao eixo 
Utilizando o
4
( ) (22 12 1x y− = +
0x. 
 vértice ( )2, 1V = − e o valor )F3 ( ,c d V= = , encontraremos o foco e a reta
 gráfico no 
lano cartesiano. Observe: 
 
diretriz da parábola esboçando um
p
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, ( )2, 1V = − , ( )2,2F = e a reta diretriz é . : 4r y = − 
 
Exercício 2: a equação da parábola com eixo Determine de simetria perpendicular ao eixo 0y, 
vértice e que passa pelo ponto (2,0)V = (6, 4)P = . 
(2,0)V = , do ponto (6, 4)P =Solução: Fazendo um esboço gráfico do vértice e partindo do fato 
ue o eixo de simetria é perpendicular ao eixo 0y, a nossa parábola tem a seguinte forma: 
o, pelos casos já mostrados anteriormente, a nossa parábola possui a seguinte 
q
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Log
equação: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 24 ) 0 4 2v vy y y c x− = ⇒ − = − ⇒( 4 2 .c x x y c x− = − 
 Como o ponto pertence à parábola então: (6, 4)P
( )24 4 6c c= − 2 16 16 1.c⇒ = ⇒ = 
Portanto a equação da parábola é ( )2 4 2y x= − . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- Elipse 
 
o. A figura formada pelo refrigerante na 
teral do copo é uma ilustração concreta de uma elipse. 
 
na tábua com o auxilio de um lápis apoiado no barbante, mantendo-a o mais esticado 
possíve
 e 
Em um copo, no formato cilíndrico circular, despeje até a metade do copo um refrigerante 
de sua escolha. Depois incline o copo e mantenha-o fix
la
 
 
 
 
 
 
 
Existe outra maneira de se obter uma elipse, em uma tábua pregue dois pregos e arame 
neles as extremidades de um barbante maior que a distância entre os pregos; a seguir desenhe 
uma linha 
l. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Fixado dois pontos de um plano, tal que 1F 2F ( )1 2, 2 ,d F c ama-se 
elipse o co
0,F c= > ch
njunto dos pontos cuja soma das distâncias ( ),P x y= ( )1,d P F e ( )2,dP F é uma 
constante , com . 
 
 
Na figura acima temos: 
(I) e são focos da elipse e a distância focal 
2a 2 2a c>
 
 
 
 
 
 
 
 
1F 2F ( )1 2, 2d F F c= ; 
1 2A A(II) é o eixo maior da elipse e 
(III) 
( )1 2, 2d A A a= ; 
1 2B B é o eixo menor da elipse e ( )1 2, 2d B B b= ; 
(IV) C é o centro da elipse e é o ponto médio do segmento 1 2F F , 1 2A A e 1 2B B , e mais, 
. ( ) ( )1 2, ,d C F d C F c= =
V) O numero 
ce
a
= chama-se excentricidade da elipse. 
Dada uma elipse de centro ( )0 0,C x y= , temos os seguintes casos: 
Caso 1: O eixo maior ( 1 2A A ) paralelo ao eixo 0x; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, mostra-se que a elipse pode ser representada pela equação reduzida 
( ) ( )2 20 0
2 2 1
x x y y
a b
− −+ = , com (Teorema de Pitágoras). 2 2b a c= − 2
 
Caso 2: O eixo maior ( 1 2A A ) paralelo ao eixo 0y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso, a elipse pode ser representada pela equação reduzida 
( ) ( )2 20 0
2 2 1
x x y y
b a
− −+ = , com . 2 2b a c= − 2
)
A demonstração destas equações é conseqüência direta da definição, isto é, se 
é um ponto da elipse de centro ( ,P x y= ( )0 0,C x y= e foco ( )1 0 0,F x c y= + e 
(eixo maior paralelo ao eixo 0x), por exemplo, então desenvolvendo , 
onde , obtemos a equação 
( )2 0 0,F x c y= −
( ) ( )1 2, ,d F P d F P a+ = 2
)2( ) (1, ,c d C F d C F= = ( ) ( )
2 2
0 0
2 2 1
x x y y
a b
− −+ = , e mais b a . 2 2 2c= −
 
Teremos a oportunidade em nossas aulas de discutir o desenvolvimento da equação 
reduzida da elipse pelo desenvolvimento de ( ) ( )1 2, ,d P F d P F a+ = 2
0 6
. 
 
Exercício 1: Determinar a equação da elipse de centro na origem e eixo maior horizontal, sendo 
e 2 (distância focal). 2 1a = c =
 
Solução: Temos 2 10 5a a= ⇒ = e 2 6 3c c= ⇒ =
2c= −
. 
 
Como b a então 2 2 2 225 9 16 4b b . b= − ⇒ = ⇒ =
Se o eixo maior é horizontal e o centro é na origem, a equação é da forma 
{
2 2
2 2
eixo maior
horizontal
1x y
a b
+ = , 
assim: 
2 2
1
25 16
x y+ = . 
Exercício 2: Determinar os focos e a excentricidade da elipse de equação 
2 2
1
9 4
x y+ = . 
Solução: Observe que o centro dessa elipse é o ponto ( )0,0C , que e que 
. 
= 3
2c= −
2 9a a= ⇒ =
2 4 2b b= ⇒ =
 Como b a então 2 2 2 24 9 . 5 5c c c= − ⇒ = ⇒ =
Pela equação reduzida observamos que o eixo maior (eixo focal) é paralelo ao eixo 0x. 
Como ( )0,0C os focos pertenc= , em ao eixo 0x. 
 
5c =
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, os focos são ( )1 5,0F = − e ( )2 5,0F = , a excentricidade é 53ce . a= =
 
Exercício 3: Uma elipse tem como equação 2 225 50 4 16 59 0x x y y− + + − = . Escrever esta 
equação na forma reduzida e esboçar o gráfico. 
Solução: Primeiramente, iremos agrupar os termos em x, e os termos em y, e faremos o 
completamento de quadrado. 
(I) 25 {
( )
( )
2
2
22 2 2
2 2 11
1
50 25( 2 ) 25( 2 1 1 25 1 1
a xa
a
x x x x x x x
= −=
=
⎡ ⎤− = − = − + − = − −⎣ ⎦14243 
(II) {
( )
( )
2
2
22 2 2
2 4
22
4
4 16 4( 4 ) 4( 4 4 4) 4 2 4
a
ya
a
y y y y y y y
= +=
=
⎡ ⎤+ = + = + + − = + −⎣ ⎦14243 . 
Logo, a equação pode ser escrita na forma 2 225 50 4 16 59 0x x y y− + + − =
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
25 1 1 4 2 4 59 0 25 1 25 4 2 16 59 0
25 1 4 2 100 .
x y x y
x y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + + − − = ⇒ − − + + − − = ⇒⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⇒ − + + =
 
Dividindo por 100 ambos os membros desta equação, obtemos a forma reduzida: 
( ) ( )2 21 2 1
4 25
x y− ++ = . 
Observe que neste caso o maior denominador 2 25a = , se encontra no termo que envolve 
a variável y e assim o eixo focal (ou eixo maior) é paralelo ao eixo 0y. 
Para esboçar o gráfico da elipse 
( ) ( )2 21 2 1
4 25
x y− ++ = procedemos da seguinte forma. 
(i) O eixo focal é paralelo ao eixo 0y; 
 
(ii) e , assim 2 25a = 2 4b = 2 2 2 2 24 25 21 21 ;b a c c c c= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = 
 
(iii) O ponto ( )1, 2C − é o centro da elipse. Veja ilustração com essas três etapas; 
 
2( , ) 21c d C F= =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(iv) determinar e1 2 1 2 1, , , ,F F A A B 2B através dos valores 5, 2a b= = e , ou seja, 4c =
( )1 1, 2 4 ,F = − + ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 11, 2 4 , 1, 2 5 , 1, 2 5 , 1 2,F A A B= − − = − + = − − = − −2 = + − e B . ( )2 1 2, 2
 
 
 
 
(v) Esboçar o gráfico com: 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 21, 2 , 1, 2 , (1, 6), 1,3 , (1, 7), ( 1, 2) 3, 2 .C F F A A B e B= − = = − = = − = − − = − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 – Hipérbole 
 
Para que possamos entender bem a definição da hipérbole, iremos primeiramente 
aprender a desenhá-la. Desta forma realize a seguinte experiência. 
 
(I) em uma extremidade de uma haste (pode ser uma régua), prenda a ponta de um barbante; 
 
(II) fixe as outras extremidades da haste e do barbante em dois pontos distintos, e , de 
uma tábua (a diferença entre o comprimento da régua e o comprimento l do barbante 
deve ser menor do que a distancias , ou seja, 
1F 2F
d
1 2( , )d F F 1 2d l F F− < ); 
 
(III) com a ponta de um lápis, pressione o barbante contra a régua, deslizando o grafite sobre a 
tábua, deixando o barbante esticado e sempre junto da régua; 
 
(IV) repita a operação, invertendo os pontos de fixação na tábua, isto é, fixe a haste em e o 
barbante em . Conforme a figura abaixo. 
2F
1F
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura acima construída é denominada hipérbole. 
 
Definição: Fixados dois pontos e de um plano, tais que 1F 2F ( )1 2, 2 ,d F F c c= > 0
)
)
, chama-se 
hipérbole o conjunto dos pontos de um plano tais que a diferença, em módulo, das 
distâncias e 
( ,P x y=
( 1,d F P ( )2 ,d F P é constante 2a, com , ou 
seja,
0 2 2a< < c
( ) ( )1 2 , ,d F P d F P a− = 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura acima temos: 
(I) e são os focos da hipérbole, sendo 1F 2F ( )1 2, 2F cd F = a distância focal; 
(II) e são os dois vértices da hipérbole, sendo 1A 2A ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 1, , ,d A A d F A d F A a2= − = 
(III) C é o centro da hipérbole, sendo C o ponto médio do segmento 1 2F F ou do segmento 1 2A A , 
ou seja e ( ) ( )1 2, ,d F C d F C c= = ( ) ( )1 2, ,d A C d A C a= = ; 
(IV) O número 
ce
a
= , é a excentricidade da hipérbole (note que e , pois ) 1> c a>
Dada uma hipérbole de centro ( )0 0,C x temos os seguintes casos: y=
Caso 1: Se o eixo focal é paralelo ao eixo 0x, então a hipérbole pode ser representada pela 
equação reduzida 
( ) ( )2 20 0
2 2 1
x x y y
a b
− −− = , como b c2 2 2a= − (Teorema Pitágoras). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 2: Se o eixo focal é paralelo ao eixo 0y, então a hipérbole pode ser representada pela 
equação 
( ) ( )2 20 0
2 2 1
y y x x
a b
− −− = com 2 2b c a2= − . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim como na elipse, a demonstração dessas equações é conseqüência direta da 
definição, isto é, se é um ponto da hipérbole de centro C x e foco 
e (eixo focal paralelo ao eixo 0x), por exemplo, então 
desenvolvendo 
( ,P x y= ) )y=
)
( 0 0,
( )1 0 0,F x c y= + (2 0 0,F x c y= −
( ) ( )1 2, ,d F P d F P a2− = , onde ( ) ( )1,c d C F d C F= = 2, , obtemos a equação 
( ) ( )2 20 0
2 2 1
x x y y
a b
− −− = , com b c . 2 2 2a= −
 
 
 
Exercício 1: Obtenha a equação reduzida da hipérbole representada abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Pelo gráfico vemos que: 
i) e ( ) ( )24,6 , 7,6C A= = ( )2 9,6F = ; 
ii) Como , então ( )2 ,d A C a= ( )2 , 3d A C a= = ; 
iii) Como d F C , então ( )2 , c= ( )2 , 5d F C c= = ; 
iv) O eixo focal é paralelo ao eixo 0x e assim a equação da hipérbole é da forma 
( ) ( )2 20 0
2 2 1
x x y y
a b
− −− = . 
Como , entãoa equação reduzida da hipérbole acima é: 2 2 2 2 25 9 4b c a b b= − ⇒ = − ⇒ =
( ) ( )2 24 6 1
9 16
x y− −− = . 
 
Exercício 2: Uma hipérbole tem como equação 2 29 6 18 9x y x y 0− − − − = . Escreva-a na forma 
reduzida. 
 
Solução: Vamos fazer o completamento de quadrados: 
(I) {
( )
( )
2
2
22 2
2 6 33
9
6 6 9 9 3
a xa
a
x x x x x
= −=
=
− = − + − = − −14243 9
(II) ( ) ( ) ( )22 2 29 18 9 2 9 2 1 1 9 1 1y y y y y y y⎡ ⎤− − = − + = − + + − = − + −⎣ ⎦ . 
 Logo a equação se transforma na equação 2 29 6 18 9x y x y− − − − = 0
( ) ( )
( ) ( )
2 22 2
2 2
9 6 18 9 0 3 9 9 1 1 9 0
3 9 9 1 9
x y x y x y
x y
⎡ ⎤− − − − = ⇒ − − − + − − = ⇒⎣ ⎦
⇒ − − − + + 9− ( ) ( )2 20 3 9 1 9x y= ⇒ − − + = . 
Dividindo ambos os membros da equação acima por 9 teremos: 
( ) ( )2 23 1 1
9 1
x y− +− = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo das Quádricas 
 
 Uma superfície quádrica é o gráfico no espaço de uma equação de segundo grau em x,y e 
z. A forma mais geral é: 
0222 =+++++++++ KIzHyGxFxzEyzDxyCzByAx 
Onde A, B, C, etc. são constantes, mas a equação pode ser simplificada. Estudaremos apenas as 
equações mais simples. As superfícies quádricas são elipsóides, parabolóides, cones elípticos 
e hiperbolóides. Agora apresentaremos exemplos de cada um desses tipos. 
 
5 – Elipsóides 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação do Elipsóide centrada na origem C=(0,0,0). 
12
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CARACTERÍSTICA 
Os traços nos planos 
coordenados XY(vermelho), 
YZ(amarelo) e XZ(azul) são 
elipses, como também são 
elipses os traços em planos 
paralelos aos planos 
coordenados, qu
intersectam a superfície em 
mais de um ponto. 
Acesse a plataforma e veja 
a animação desta superfície 
em 3D. 
e 
 
 
6 – Hiperbolóides de uma Folha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação do Hiperbolóide de uma folha centrado na origem C=(0,0,0). 
12
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CARACTERÍSTICA 
Os traços no plano 
XY(vermelho) é uma elipse, 
como são os traços nos 
planos paralelos ao plano 
XY. Os traços nos planos 
YZ(amarelo) e XZ(azul) são 
hipérboles, bem como são 
os traços nos planos 
paralelos a eles que passam 
pelos cortes com os eixos x 
e y. Nesses pontos, os 
traços são pares de retas 
concorrentes. 
Acesse a plataforma e veja 
a animação desta superfície 
em 3D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 – Hiperbolóides de Duas Folhas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação do Hiperbolóide de duas folha centrado na origem C=(0,0,0). 
12
2
2
2
2
2
=−−
b
y
a
x
c
z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CARACTERÍSTICA 
Não há traços no plano 
XY(vermelho). Em planos 
paralelos ao plano XY que 
intersectam a superfície em 
mais de um ponto os traços são 
elipses. Os traços nos planos 
YZ(amarelo) e XZ(azul), bem 
como em planos paralelos a 
eles, são hipérboles. 
Acesse a plataforma e veja a 
animação desta superfície em 
3D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 – Cones Elípticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação do Cone Elíptico centrado na origem C=(0,0,0). 
2
2
2
2
2
b
y
a
xz += 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CARACTERÍSTICA 
Os traços no plano 
XY(vermelho) é um 
ponto(origem) e os traços 
em planos paralelos ao 
plano XY são elipses. Os 
traços nos planos
YZ(amarelo) e XZ(azul) 
são pares de retas que se 
intersectam na origem. Os 
traços em planos paralelos 
a esses são hipérboles. 
Acesse a plataforma e 
veja a animação desta 
superfície em 3D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 – Parabolóides Elípticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação do Parabolóide Elíptico centrado na origem C=(0,0,0). 
2
2
2
2
b
y
a
xz += 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CARACTERÍSTICA 
Os traços no plano 
XY(vermelho) é um 
ponto(origem) e os 
traços em planos 
paralelos e acima dele 
são elipses. Os traços 
nos planos YZ e XZ, 
bem como em planos 
paralelos a eles, são 
parábolas. 
Acesse a plataforma e 
veja a animação desta 
superfície em 3D. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 – Parabolóides Hiperbólicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação do Parabolóide Hiperbólico centrado na origem C=(0,0,0). 
2
2
2
2
b
y
a
xz −= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CARACTERÍSTICA 
Os traços no plano 
XY(vermelho) é um 
par de retas que se 
cruzam na origem. Os 
traços em planos 
paralelos ao plano XY 
dele são hipérboles. 
As hipérboles acima 
do plano XY abrem-se 
na direção x e as 
abaixo na direção y. 
Os traços nos planos 
YZ e XZ, bem como 
em planos paralelos a 
eles, são parábolas. 
Acesse a plataforma e 
veja a animação 
desta superfície em 
3D. 
 
 
 
 
 
TECNICAS PARA IDENTIFICAR SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 
 
 
 As equações das superfícies quádricas apresentadas, têm certas características que tornam 
possível identificar as superfícies quádricas. Essas características identificadoras, que estão 
mostradas na tabela abaixo, são baseadas em escrever a equação da superfície quádrica de tal 
forma que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo da equação e que haja um 1 ou 
um 0 no lado direito. Quando há um 1 no lado direito, a superfície é um elipsóide, um hiperbolóide 
de uma folha, ou um hiperbolóide de duas folhas, e quando há um 0 no lado direito a superfície é 
um cone elíptico, um parabolóide elíptico ou um parabolóide hiperbólico. Observe o a tabela 
abaixo: 
 
EQUAÇÃO 
12
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
 12
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x
 12
2
2
2
2
2
=−−
b
y
a
x
c
z
 
CARACTERÍSTICA Nenhum sinal de 
menos 
Um sinal de menos Dois sinais de menos 
CLASSIFICAÇÃO Elipsóide Hiperbolóide de uma 
folha 
Hiperbolóide de duas 
folhas 
GRÁFICO 
 
 
EQUAÇÃO 
02
2
2
2
2 =−−
b
y
a
xz 02
2
2
2
=−−
b
y
a
xz 02
2
2
2
=+−
b
y
a
xz 
CARACTERÍSTICA Nenhum termo 
linear 
Um termo linear; dois 
termos quadráticos com o 
mesmo sinal 
Um termo linear; dois 
termos quadráticos com 
sinais opostos 
CLASSIFICAÇÃO Cone elíptico Parabolóide elíptico Parabolóide hiperbólico 
GRÁFICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
Classificar e esboçar as quádrica dadas pelas equações abaixo: 
a) 1
2544
:
222
1 =++ zyxQ 
Solução: 
Como fazer isso? 
¾ Fazendo as interseções com os planos coordenados temos: 
o Para o plano 0:1 =xπ , a interseção 1254:
22
11 =+ zyQ πI é uma elipse com eixo focal 
paralelo ao eixo z ; 
o Para o plano 0:2 =yπ , a interseção 1254:
22
21 =+ zxQ πI é uma elipse com eixo focal 
paralelo ao eixo z ; 
o Para o plano 0:3 =zπ , a interseção 144:
22
31 =+ yxQ πI é uma circunferência de raio 
2, logo a quádrica é uma superfície de revolução em torno do eixo ; z
 
Figura: Interseções da cônica com os planos coordenados 
 
¾ O nome da cônica é elipsóide circular ou elipsóide de revolução pois, nas interseções com 
os planos, surgiram duas elipses e uma circunferência; 
1Q
 
Figura: Quádrica Q1: elipsóide circular 
 
b) 1
4254
:
222
2 =−+− zyxQ 
Solução: 
Como fazer isso? 
¾ Fazendo as interseções com os planos coordenadostemos: 
o Para o plano 0:1 =xπ , a interseção 1425:
22
12 =− zyQ πI é uma hipérbole com eixo 
focal paralelo ao eixo y ; 
o Para o plano 0:3 =zπ , a interseção 1254:
22
32 =+− yxQ πI é uma hipérbole com eixo 
focal paralelo ao eixo y ; 
o Para o plano 0:2 =yπ , a interseção 144:
22
22 =−− zxQ πI é vazia, logo devemos 
escolher um plano β paralelo ao plano 2π , de tal forma que a interseção βI2Q seja 
uma cônica conhecida, como por exemplo 25: =yβ ; 
o Para este novo plano 25: =yβ , a interseção 1
44
:
22
2 =+ zxQ βI é uma 
circunferência de raio 2. Logo, a quádrica é uma superfície de revolução em torno do 
eixo y ; 
 
Figura 15 Interseções da cônica com os planos 
 
¾ O nome da cônica é hiperbolóide circular ou hiperbolóide de revolução, pois nas 
interseções com os planos surgiram duas hipérboles, vazio e circunferências; 
2Q
 
Figura: Quádrica Q1: hiperbolóide circular de duas folhas 
 
EXERCÍCIOS DE COMPREENÇÃO 
 
1) Considere o paralelepípedo da figura 1. 
a) Verifique que existem 36 segmentos que podem ser definidos pelos pontos ABCDEFGH. 
b) São 64 segmentos orientados? 
 
 
Figura 1 Paralelepípedo ABCDEFGH 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Da figura 1 acima, considerando os vetores u
r
, v
r
 e w
r
, verifique que: 
a) BG é uma combinação linear dos vetores u
r
, v
r
 e w
r
? 
b) BG é uma combinação linear dos vetores v
r
 e w
r
? 
c) CE é uma combinação linear dos vetores u
r
, v
r
 e w
r
? 
 
3) Determine os vetores unitários que satisfaçam as condições dadas. 
a) Mesma direção e mesmo sentido que 4i j− + . 
b) Sentido oposto a 6 4 . 2i j− + k
c) Mesma direção e sentido que o vetor do ponto ( 1,0, 2)A = − até o ponto . (3,1,1)B
 
4) Determine os vetores que satisfaçam as condições dadas. 
a) Sentido oposto a 3,4v e a metade do tamanho de v. =
b) Comprimento 17 e o mesmo sentido e direção que 7,0, 6v = − . 
 
5) Sejam 1,3 , 2,1u v= = e 4, 1w = − . Determine o vetor x que satisfaça . 2 7u v x x w− + = +
 
6) Determine u e se u vv 2 3i k+ = − e 3u v i j k− = + + . 
 
7) Para cada item abaixo determine k tal que os vetores sejam ortogonais. Em seguida determine r u r
 . .v w e v w× r ur
( ) ( )) ( 1,1, ), ( 2, , ) ) ,1, , 2, ,a v k w k k b v k k w k k= − = − = = − −ur uur r ur 
 
 
8) Sejam 1,2u = , 4, 2v = − e 6,0w = . Determine: 
a) (7 )u v w⋅ +
b) ( )u v w⋅ 
9) Determine tal que o vetor do ponto r (1, 1,3)A − ao ponto seja perpendicular ao vetor 
que parte de A ao ponto . 
(3,0,5)B
( , , )P r r r
10) Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a ambos 7 3 , 2 4u i j k v i k= − + + = + 
11)Determine dois vetores unitários que sejam perpendiculares ao plano determinado pelos 
pontos e (0, 2,1), (1, 1, 2)A B= − = − − ( 1,1,0)C = − . 
12) Determine a área do triângulo PQR, se: 
a) P=(1,-1,2), Q=(0,3,-1), R=(3,-4,1) 
b) P=(4,0,0), Q=(0,5,0), R=(0,0,2) 
13) Determine o volume do paralelepípedo formado por , :PQ PR e PT
uuur uuur uuur
 
a) P=(0,0,0), Q=(1,-1,2), R=(0,3,-1), T=(3,-4,1). 
b) P=(2,1,-1) Q=(3,0,2), R=(4,-2,1), T=(5,-3,0). 
 
14) Determine a equação do plano passando pelos pontos P1=(-3,0,2), P2=(6,1,4), P3=(-5,1,0). 
 
15) Determine a equação do plano passando pelo ponto P=(3,-1,2), perpendicular à reta 
determinada por P1=(2,1,4), P2=(-3,-1,7). 
 
16) Determine o plano perpendicular à reta 1
2
2
2
+=−= zyx e passa pelo ponto P=(1,1,1). 
17) Determine a equação do plano perpendicular aos planos x+2y-7z=0 e x-y-z=5. 
18) Determine uma equação do plano que passa pelo ponto P e tem o vetor como normal. n
→
a) d) (2,6,1); (1, 4,2)P n
→ = (0,0,0); (2, 3, 4)P n→ = − − 
b) ( 1, 1,2); ( 1,7,6)P n
→− − = −
c) (1,0,0); (0,0,1)P n
→ =
 
19) Determine se os planos são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. 
a) 1 : 2 8 6 2 0x y zπ − − − = 
 2 : 4 3 5x y z 0π − + + − = 
b) 1
2
: 3 2 1
: 4 5 2 4
x y z
x y z
π
π
− + =
+ − = 
c) 1
2
: 3 2
: 2 1
x y z
x z
0π
π
− + − =
+ = 
 
20) Determine se a reta e o plano são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. 
a) 
4 2
:
1 4
: 3 2 5
x t
r y t
z t
x y zπ
= +⎧⎪ = −⎨⎪ = − −⎩
+ + =
 
b) 
: 2
3
: 2
x t
s y t
z t
x y zπ
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
− + = 5
 
21) Determine a equação do plano que satisfaça as condições enunciadas. 
a) O plano pela origem que é paralelo ao plano 4 2 7 12 0x y z− + + = . 
b) O plano que passa por e é perpendicular à reta ( 1, 4, 3)− − 2 , 3 2 ,x t y t z t− = + = = − . 
c) O plano que contém o ponto e a reta (2,0,3) 1 , , 4 2x t y t z t= − + = = − + . 
 
22) Esboce as cônicas abaixo indicando, caso existam, o foco, os vértices, a reta diretriz, os 
extremos do eixo maior: 
( )
( ) ( ) ( ) 1654)3()362914)
011829)1
425
))4(121)
2222
22
22
2
=−++=+−−
=+−++=++−=−
yxeyxd
yxyxcyxbxya
 
 
23) Identifique a intersecção das quádricas com os eixos coordenados: 
02)04
2536
)0)
3694)0)(4)3694)
222
22
222
22222222
=++−=−+=+−
=−+=+−=++
zyxxfyzxezyxd
zyxcyxzbzyxa
 
 
24) Identifique a intersecção das quádricas com os planos coordenados. Você consegue 
identificar as quádricas abaixo? 
02)04
2536
)0)
3694)0)(4)3694)
222
22
222
22222222
=++−=−+=+−
=−+=+−=++
zyxxfyzxezyxd
zyxcyxzbzyxa
 
25) Usando um recurso computacional represente as quádricas do exercício 23. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26) Identifique a superfície quádrica como um elipsóide, um hiperbolóide de uma folha, um 
hiperbolóide de duas folhas, um cone elíptico, um parabolóide elíptico ou um parabolóide 
hiperbólico. Em cada caso forneça os valores de , associando cada equação a uma das 
formas dadas na tabela fornecida na apostila. 
, ,a b c
a) 
2 2
4 9
x yz = + d) 2 2 2 0x y z+ − =
b) 
2
2
25
yz x= − e) 2 24 4z x y= +
c) f) 2 2 2 16x y z+ − = 2 2 2 1z x y− − =
 
 
27) Em cada caso abaixo, os traços das superfícies são seções cônicas. Em cada um deles, 
obtenha uma equação do traço e afirme se é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole. 
a) 2 2 24 4; 1x y z y+ + = = b) 2 2 2 14 4;
2
x y z x+ + = = 
c) d) 2 2 29 16x y z x− − = =; 2 x y z2 2 29 16− − = ; 2z = 
e) f) 2 29 4 ;z x y y= + = 2 2 29 4z x y= + ; 4z = 
 
 
 
 
	 
	UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍDA 
	CURSO
	LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
	DISCIPLINA
	CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
	PROFESSOR
	II.1- Planos Paralelos 
	 
	Exercício 13: Determinar a equação normal do plano φ que contenha o ponto A e seja paralelo ao 
	plano β. 
	III.1- Retas Paralelas 
	III.2- Retas Concorrentes 
	III.3- Retas Reversas 
	Exercício 16: Determinar a reta s, que passa pelo ponto C e é paralela à reta r. 
	Exercício 17: Determinar o plano β que passa C e é perpendicular à reta r. 
	a) 
	 
	b)