apostila series temporais

Prévia do material em texto

Matemática Financeira
Moderna
Capítulo 1
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
Regime de Capitalização: Juros
P: principal, valor aplicado ou valor presente;
J: juros ou remuneração do dinheiro; e
S: montante, valor acumulado, valor capitalizado ou 
valor futuro.
P=20
J=20
S=P+J=100+20
P = 100
Juros
100%
principal
juros
P
J i 
P
Ji
iPS 1
Juros
Taxa de juros é de 20% por período de
tempo.
Há várias formas e convenções utilizadas
para expressar a taxa de juros. Ex.: Um ano
pode ser de 360 dias (comercial) ou 365 dias
(exato) ou 252 dias úteis.
Juros
Um capital de R$ 10.000,00 rendeu, após um
ano de aplicação, o montante de R$
25.000,00. Qual a taxa de juros anual
recebida nessa aplicação?
Juros
Um capital de R$ 10.000,00 rendeu, após um
ano de aplicação, o montante de R$
25.000,00. Qual a taxa de juros anual
recebida nessa aplicação?
000.25$
000.10$
?
RS
RP
i
5,11
000.10
000.251
P
Si aa%150
Juros
Na HP 12C) Um capital de R$ 10.000,00 rendeu, após
um ano de aplicação, o montante de R$ 25.000,00.
Qual a taxa de juros anual recebida nessa aplicação?
Juros
Na HP 12C) Um capital de R$ 10.000,00 rendeu, após
um ano de aplicação, o montante de R$ 25.000,00.
Qual a taxa de juros anual recebida nessa aplicação?
Juros
Na HP 12C) Um capital de R$ 10.000,00 rendeu, após
um ano de aplicação, o montante de R$ 25.000,00.
Qual a taxa de juros anual recebida nessa aplicação?
Juros
Na HP 12C) Um capital de R$ 10.000,00 rendeu, após
um ano de aplicação, o montante de R$ 25.000,00.
Qual a taxa de juros anual recebida nessa aplicação?
CAPITALIZAÇÃO PERIÓDICA
Juro simples: a taxa de juros incide sobre o
valor do principal
Juros compostos: o juros é incorporado ao
principal sobre o qual incide novamente a
taxa de juros. Portanto, os juros devidos
também rendem juros, ou seja, os juros são
capitalizados.
Juros contínuos: juros compostos
capitalizados de forma instantânea.
Juros Simples
PinPiPiPiJ
n
n
 vezes
niPPinPS 1
P
S=P+(iP+...+iP)
iP iP iP iP
1 2 3 ... n
iP
Juros Simples
Uma aplicação rendeu, após 3 anos, o
montante de US$ 250.000,00 a uma taxa de
juros simples anual de 25%. Calcular o valor
aplicado.
Juros Simples
Uma aplicação rendeu, após 3 anos, o
montante de US$ 250.000,00 a uma taxa de
juros simples anual de 25%. Calcular o valor
aplicado.
142.857,14
30,251
250.000
ni1
SP
Proporcionalidade de taxas a juros
Situações possíveis a serem consideradas:
O período da taxa de juros coincide com o período
de capitalização.
O período da taxa de juros é menor do que o
período de capitalização. Capitalização é de 1 ano
e a taxa de juros é cotada mensalmente.
O período da taxa de juros é maior do que o
período de capitalização. A taxa de juros é cotada
anualmente e o período de capitalização é mensal.
Proporcionalidade de taxas a juros
: taxa de juros referente a um determinado
período de tempo ;
k: número de períodos de capitalização
contidos no período de tempo t;
: taxa de juros referente a cada período de
capitalização.
ktkt ikiiki 11
ti
ki
Proporcionalidade de taxas a juros
Calcular a taxa de juros mensal, bimestral e
semestral sabendo-se que a taxa de juros
anual é 10%.
Proporcionalidade de taxas a juros
Calcular a taxa de juros mensal, bimestral e
semestral sabendo-se que a taxa de juros
anual é 10%.
%83,0
12
10,0
ami %67,1
6
10,0
abi
%5
2
10,0
asi
Juros Compostos
JPS
iPPiPS 11
2
2 111 iPiPiiPS
n
n iPSS 1
P
S=P+[iP+i(P+iP)+...]
iP i(P+iP)
1 2 3 ... n
iP
Juros Compostos
Taxa de juros maior, preço menor.
ni
SP
1
Juros Compostos
P
i0.20.1
 60
40
20
0.3
 juros simples
 juros compostos.
Valor Presente Capitalizado a Juros Simples e Compostos:
Equivalência de taxas a juros 
compostos 
11 
 11 11
1k
k
kt
k
tkkt
ii
iiii
Suponha que R$ 100,00 tenham sido
aplicados por um período de 7 meses com
uma taxa de juros compostos de 12% ao
ano, com capitalização mensal. Calcular o
montante ao final do sétimo mês de
aplicação.
Equivalência de taxas a juros 
compostos 
Suponha que R$ 100,00 tenham sido
aplicados por um período de 7 meses com
uma taxa de juros compostos de 12% ao ano,
com capitalização mensal. Calcular o
montante ao final do sétimo mês de
aplicação.
1211 amaa ii %949,0112,01 12
1
ami
83,10612,01100 12
7
S 83,10600949,01100 7Sou
Juros Contínuos
rei1
rtt PeiPS 1
Juros contínuos: juros compostos 
capitalizados de forma instantânea.
r= juros contínuos
Juros Contínuos
Um capital de R$ 15.000,00 é aplicado
durante 2 anos e meio a uma taxa de juros
contínuos de 1,5% a.m. Calcular o montante
acumulado nesse período.
Juros Contínuos
Um capital de R$ 15.000,00 é aplicado
durante 2 anos e meio a uma taxa de juros
contínuos 1,5% a.m. Calcular o montante
acumulado nesse período.
68,524.23
000.15 30015,0
S
eS
Juros Contínuos
Calcular a taxa de juros contínua mensal que
aplicada a um capital de R$ 100.000,00
produz um montante de R$ 350.000,00 após
3 anos.
Juros Contínuos
Calcular a taxa de juros contínuos mensal
contínua que aplicada a um capital de R$
100.000,00 produz um montante de R$
350.000,00 após 3 anos.
mês ao %48,3
000.100
000.350ln
36
1r
ertP
S t
P
Sr
1
ln P
S
t
r ln1
Juros Contínuos
 60
 40
 20
0.1 0.2 0.3
P
i
 capitalização contínua
 capitalização discreta.
Valor Presente Capitalizado em Períodos Discreto e Contínuo
Juros Contínuos
Calcular o tempo de aplicação de um capital
de R$ 150.000,00 que aplicado a uma taxa
contínua de 2% ao mês com capitalização
contínua produz um montante de R$
600.000,00.
Juros Contínuos
Calcular o tempo de aplicação de um capital
de R$ 150.000,00 que aplicado a uma taxa
contínua de 2% ao mês com capitalização
contínua produz um montante de R$
600.000,00.
meses 31,69
000.150
000.600ln
02,0
1t
P
S
r
t ln1
Proporcionalidade de taxas a juros 
contínuos
Calcular a taxa de juros contínuos bimestral,
semestral e anual sabendo-se que a taxa
mensal é 1,5%.
k
rrrkr tkkt 
Calcular a taxa de juros contínuos bimestral,
semestral e anual sabendo-se que a taxa
mensal é 1,5%.
%32015,0abr %96015,0asr
%1812015,0aar
Juros Variáveis 
Juros Simples
Juros Compostos
Juros Contínuos
n
t
tn iPiiiPS
1
21 11
n
t
tn iPiiiPS
1
21 1111
n
t
t
n
r
rrr ePePS 121
INCONSISTÊNCIA DO REGIME 
DE JUROS SIMPLES
Em juros compostos, é sempre válida a seguinte 
igualdade:
O mesmo não ocorre em regime de juros 
simples, por causa da seguinte diferença:
2121 )1()1()1()1( nnnnn iiPiPiPS
)1)(1()(1)1( 2121 ininPnniPinPS
INCONSISTÊNCIA DO REGIME 
DE JUROS SIMPLES
Ou seja, se aplicarmos $ 100,00, por exemplo, a 
uma taxa de juros mensal de 2%, obteremos, 
após um ano, o montante de $ 124,00. Se 
aplicarmos a mesma quantia por um período de 
6 meses, à mesma taxa de juros e, 
posteriormente, voltarmos a aplicar esse 
montante por mais 6 meses, obteremos, ao final 
de um ano, um montante que é maior do que o 
que seria obtido caso tivéssemos aplicado os $ 
100,00 pelo prazo de um ano.
INCONSISTÊNCIA DO REGIME 
DE JUROS SIMPLES
Em regime de juros simples não se pode
fracionar o prazo da aplicação, ou seja, o prazo
não é cindível.
O capital aplicado e resgatado ao final de 6
meses não incorpora os juros da aplicação.
Podemos determinar a discrepância, D, entre
essa duas estratégias de investimento como
sendo:
)](1[)1)(1( 2121 nniPininPD
INCONSISTÊNCIA DO REGIME 
DE JUROS SIMPLES
Desenvolvendo, obtemos:
Podemosobservar que é o juro obtido no 1º
período da aplicação que, multiplicado por , dá-
nos o quanto de juros renderam no 2º período os
juros obtidos na primeiro período. Logo, a
discrepância se deve à incidência de juros sobre
juros.
2121
2 )( inPinnnPiD
1Pin
2in
INCONSISTÊNCIA DO REGIME 
DE JUROS SIMPLES
Assim, no regime de juros simples, o conceito
de equivalência de capitais fica prejudicado,
dependendo do prazo definido da aplicação.
No limite, o regime de juros simples é
inconsistente, pois o investidor fugiria de
prazos mais longos para prazos mais curtos.
INCONSISTÊNCIA DO REGIME 
DE JUROS SIMPLES
Suponha que a quantia de $ 200,00 seja aplicada por
um período de 5 meses, à taxa de juros simples de
10% ao mês. Qual o montante acumulado após 5
meses? Suponha, no entanto, que, ao final do 3º
mês, a quantia aplicada seja resgatada. Qual o
montante acumulado nesse período? Qual o valor
atual, ao final do 3º mês, da quantia que seria
resgatada após 5 meses de aplicação?
INCONSISTÊNCIA DO REGIME 
DE JUROS SIMPLES
Suponha que a quantia de $ 200,00 seja aplicada por um
período de 5 meses, à taxa de juros simples de 10% ao
mês. Qual o montante acumulado após 5 meses?
Suponha, no entanto, que, ao final do 3º mês, a quantia
aplicada seja resgatada. Qual o montante acumulado
nesse período? Qual o valor atual, ao final do 3º mês, da
quantia que seria resgatada após 5 meses de aplicação?
5 meses
3 meses
reaplicação
300)510,01(200 xS
250)310,01(200 xS
250
)210,01(
300
x
P
Como se pode observar, as 
quantias são diferentes.