Lista 11 Circuito RL e LC FIS1053 2018.1

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FIS1053 - Projeto de Apoio Eletromagnetismo 
11ª Lista de Problemas 
Tema: Circuito RL e LC 
 
1ª Questão: 
Na figura ao lado A e B são duas bobinas e R é um resistor variável. 
Use a lei de Lenz para determinar o sentido da corrente induzida que 
passa no resistor R2 indicado na figura ao lado quando: 
a) A chave S é aberta depois de ficar fechada durante muito tempo. 
 
b) O valor da resistência R diminui enquanto a chave permanece 
fechada. 
Respostas: 
 
a) Anti-horário b) Horário 
 
2ª Questão: 
Um cabo coaxial longo de comprimento h é constituído por duas cascas cilíndricas condutoras de raios 
a e b de paredes muito finas, onde a < b. A corrente I sege em um sentido pela casca interna e 
retorna em outro pela casca externa. Sabendo que, pela Lei de Ampère, o campo magnético na região 
entre as duas cascas cilíndricas vale 𝐵 =
𝜇0𝐼
2𝜋𝑟
, e desprezando os efeitos de borda. 
a) Calcule a densidade de energia magnética na região entre as cascas cilíndricas. 
 
b) Calcule o fluxo do campo magnético através da superfície S em azul na figura. 
 
c) Calcule a autoindutância por unidade de comprimento do cabo coaxial. 
 
d) Qual a energia magnética por unidade de comprimento armazenada no cabo 
coaxial. 
Respostas: 
 
a) μb = 
μ0I
2
8π2r2
 b) ∅ = 
𝜇0𝐼
2𝜋
ℎ ln(
𝑏
𝑎
) [Wb] c) 
𝐿
ℎ
=
𝜇0
2𝜋
ln(
𝑏
𝑎
) d) 
𝑈
ℎ
=
𝜇0𝐼
2
4𝜋
ln(
𝑏
𝑎
) 
 
 
 
 
 
 2 
3ª Questão: 
 
O circuito da Figura 1 é parte de um oscilador eletrônico que deve atender as especificações abaixo: 
 
1. A frequência de oscilação é igual a 1.5 MHz. 
 
2. Amplitude da d.d.p. entre os pontos a e b igual a 10V. 
 
3. Indutor tipo solenoide (Figura 2) de comprimento 2.7 cm e raio da seção de 1 cm. 
 
4. C = 3 x 10-12 F. 
 
Com estes dados: 
a) Calcule o número de voltas (espiras) do solenoide. (considere π2 = 10 e 𝐿 = 
𝜇0𝑁
2𝐴
𝑙
). Considere 
𝜇0 = 4π x 10-7 [H/m] 
 
b) Determine a carga máxima do capacitor. 
 
c) Determine a amplitude da corrente no indutor. 
 
d) Se o dielétrico do capacitor for substituído por outro de constante dielétrica 100 vezes maior 
recalcule os itens a, b e c para que se mantenham as especificações 1, 2 e 3. 
 
e) Considerando que o indutor L possui uma resistência interna R praticamente desprezível 
desenhe o gráfico da variação da amplitude de Va - Vb em função do tempo. 
 
 
Respostas: 
 
a) N = 500 espiras b) Q = 3x10-11 [C] c) Imáx = 0.09√10 [mA] 
 
d) N = 50 espiras; Q = 3x10-9 [C]; Imáx = 9√10 [mA] 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
4ª Questão: 
 
Considere o circuito abaixo, onde 𝜀 = 100 𝑉, 𝑅1 = 20 Ω, 𝑅2 = 50 Ω,
𝐿 = 5,0 𝐻. S1 é uma chave que está inicialmente aberta. 
 
 
Responda os itens a seguir, explicitando claramente os cálculos e 
raciocínio utilizados para o desenvolvimento da questão. 
 
a) Considere a chave S1 inicialmente fechada e permaneça assim por um longo tempo. Determine 
os valores da corrente elétrica fornecida pela bateria (Iε), da corrente em cada resistor (IR1, IR2) 
e a corrente no indutor (IL). 
 
Agora a chave S1 volta a ser aberta. Tome t = 0 s como sendo esse instante. 
 
b) Qual é o valor da tensão no indutor (ΔVL) logo após a chave ser aberta? 
 
c) Escreva a expressão para a corrente no indutor em função do tempo IL (t) e mostre que ela é 
solução da lei das malhas correspondente. 
 
d) Obtenha uma expressão (em função do tempo) para a energia armazenada no indutor nesta 
fase. 
 
Respostas: 
 
a) IR2 = 0 [A]; IR1 = Iε = IL = 5,0 [A] b) ΔVL = 250 [V] c) IL = 5e-10t [A]; ΔVL + ΔVR2 = 0 
 
d) UL(t) = 62.25e
-20t [J] 
 
 
5ª Questão: 
 
Considere o circuito ao lado onde L = 2 H: 
a) Considere que a chave 
S
está fechada há um longo tempo. 
Quais os valores da corrente da bateria, da corrente no 
resistor de 100Ω, e no indutor? 
 
b) Qual a tensão no indutor assim que 
S
é aberta? 
 
c) Qual a expressão da corrente IL no indutor, em função do tempo após a chave 
S
ser 
aberta? 
 
Respostas: 
 
a) IL = I10 = Ibateria = 1.0 [A]; I100 = 0 [A] b) VL = 100 [V] c) I(t) = Ie
-50t [A] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
6ª Questão: 
 
A questão se compõe de duas partes. 
 
Parte I: 
 
Considere um circuito LC como o da figura com o capacitor inicialmente carregado. 
Transcorrido 1/8 da duração de um ciclo de oscilação, quais são, como frações de seus valores de pico: 
 
a) A carga no capacitor? 
 
b) A energia no capacitor? 
 
c) A corrente no indutor? 
 
d) A energia no indutor? 
 
 
 
Parte II: 
 
Considere agora o circuito da figura abaixo, no qual, inicialmente, o capacitor CB está carregado, o 
capacitor CA está descarregado e as chaves A e B estão abertas (CB = 4 CA). 
 
e) Descreva como você faria para transferir toda a energia de CB para CA. Inclua também, os 
tempos nos quais as chaves A e B devem ser acionadas (todos os instantes de abertura ou 
fechamento das duas chaves). Expresse, em cada caso, suas respostas em termos dos 
parâmetros fornecidos - L, CB e CA. 
 
f) Qual é a relação entre a ddp no capacitor CA na situação final e a ddp no capacitor CB na 
situação inicial? 
 
Respostas: 
 
a) 
√2
2
 b) 
1
2
 c) 
√2
2
 d) 
1
2
 
 
e) Fase 1: Chave B fechada e A aberta, 0 < t < T1; Fase 2: Chave B aberta e A fechada 0 < t < T2; 
Onde T1 = 
𝑇𝑓𝑎𝑠𝑒1
4
=
𝜋√𝐿𝐶𝐵
2
 s e T2 = 
𝑇𝑓𝑎𝑠𝑒2
4
=
𝜋√𝐿𝐶𝐴
2
. 
 
f) 
𝑉𝐴
𝑉𝐵
= 2 
 
 
7ª Questão: 
 
Um determinado indutor é formado por 50 espiras (voltas) enroladas de forma compacta. Uma 
corrente elétrica de 100 mA neste indutor gera um fluxo magnético através da seção de cada espira de 
intensidade igual a 10-4 T m2 (Wb). Com estas informações, determine: 
 
 5 
a) O valor da indutância. 
 
b) A energia armazenada no indutor. 
 
Considere agora que o indutor possui uma resistência r = 1Ω devida ao fio condutor das espiras. O 
indutor é utilizado no circuito da figura, onde ε = 6 V e C = 2x10-5 F, tendo as seguintes fases 
sucessivas: 
 
- Fase 1: chave S1 fechada e chave S2 aberta. 
 
- Fase 2: chave S1 aberta e S2 fechada durante longo tempo. 
 
Com estas informações determine: 
 
c) A d.d.p. (VP - VQ)(t) durante a Fase 2. 
 
 
 
Respostas: 
 
a) L = 0.05 [H] b) U = 2.5x10-4 [J] c) (VP - VQ)(t) = 6e
-10tcos(1000t) [V] 
 
 
 
9ª Questão: 
 
Considere o circuito da Figura 1: onde 𝜀 = 15 𝑉 , 𝑅1 = 1𝑘Ω , 𝑅2 = 2𝑘Ω , 𝐶 = 10
−6 𝐹, 
𝐿 = 10 −2𝐻 e ocorrem as seguintes fases sucessivas: 
 
- Fase 1: Chave S1 fechada e S2 aberta durante longo tempo. 
 
- Fase 2: Chave S1 aberta e S2 fechada por um longo tempo. 
 
Determine, justificando todas as respostas: 
 
a) A d.d.p. 𝑉𝑃 − 𝑉𝑄 em função do tempo durante a fase 2. 
 
b) A corrente no indutor em função do tempo durante a fase 2. 
 
c) A carga do capacitor em função do tempo durante a fase 2. 
 
d) A energia no circuito durante a fase 2. 
 
Considere agora que as posições do indutor e do capacitor são trocadas e a resistência R1 é substituída 
por outra (R3), conforme a Figura 2. Nestas novas condições, determine: 
 
e) O valor da resistência R3 tal que a energia do circuito seja igual à da Figura 1. 
 
 6 
f) Se o indutor no circuito da Figura 1 tem uma resistência interna 𝑟 = 2 Ω , após quanto tempo a 
energia inicial do circuito decai de 1/e2 , sendo “e” a base dos logaritmos naturais.Respostas: 
 
a) (𝑉𝑃 − 𝑉𝑄)(𝑡) = 10cos (10
4𝑡) [𝑉] b) 𝑖(𝑡) = −0,1 𝑠𝑒𝑛(104𝑡) [𝐴] c) 𝑞(𝑡) = 10−5 cos(104𝑡) [𝐶] 
 
d) 𝑈𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑖𝑡𝑜 = 0.05 [mJ] e) 𝑅3 = 150 Ω f) 𝑡 = 0,01 𝑠 
 
 
 
10ª Questão: 
 
Considere o circuito ao lado, onde 𝜀 = 5,0 𝑉, 𝑅1 = 4,0 Ω, 𝑅2 = 1,0 Ω,
𝐿 = 10−3 𝐻, 𝐶 = 10−3 𝐹. Neste circuito ocorrem as seguintes fases 
sucessivas: 
 
- Fase 1: Chave na posição 1 durante longo tempo. 
 
- Fase 2: Chave comutada instantaneamente da posição 1 para a 
posição 2, permanecendo nessa posição por longo tempo. 
 
Considerando que no início da Fase 1 o capacitor e o indutor não têm energia armazenada, determine: 
 
a) A intensidade e o sentido da corrente no indutor em função do tempo durante a Fase 1. 
 
b) A d.d.p. 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 em função do tempo durante a Fase 1. 
 
c) A energia armazenada no indutor no final da Fase 1. 
 
d) A corrente no indutor em função do tempo na Fase 2, indicando o sentido no início dessa fase (t 
= 0 s imediatamente após a comutação da chave da posição 1 para a posição 2). 
 
e) As d.d.p 𝑉𝑆 − 𝑉𝐴 , 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 , 𝑉𝐵 − 𝑉𝑆 no início da Fase 2. 
 
f) Quais seriam os efeitos da corrente do indutor durante a Fase 2 se os valores de R1 e R2 
foram trocados para 1,0 Ω e 4,0 Ω respectivamente? 
 
Respostas: 
 
a) i(t) = 1 − e−5000t [A], com sentido horário. b) (VA − VB)(t) = 5e
−5000t [V] 
 
c) UL = 5x10
−4[J] 
 
d) No início da Fase 2, corrente com sentido horário. Durante a Fase 2: corrente oscilante 
e de amplitude amortecida. 
i(t) = e−500t . cos(500√3. t) [A] 
 
e) Capacitor sem carga no início da Fase 2.VS − VA = 1 V ; VA − VB = −1 V ; VB − VS = 0 [V] 
 
f) γnovo =
4
2L
= 2000; 
ω0 < γnovo -> ωamort = √(ω0)2 − (γnovo)2 é imaginário → corrente decrescente sem 
oscilação. 
 
 
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Desafio: 
 
(Esta questão compõe-se de 3 itens independentes.) 
 
a) Uma bateria de fem constante ε = 10 V é conectada a um indutor La num circuito RL de malha 
simples. A resistência equivalente do circuito vale Ra. No instante t = 0 em que a bateria é 
ligada no indutor, a corrente é nula. Sabendo que a corrente que atravessa o circuito é dada 
pela função ia(t) = 5.0(1 – e-800t), calcule o valor da indutância La. 
 
b) Um capacitor Cb = 10 x 10
-6 F inicialmente (t = 0) carregado com 6,0 μC, é conectado a um 
indutor Lb = 4 x 10
-3 H pelo qual inicialmente não passa corrente. A resistência equivalente 
deste circuito RLC de malha simples vale Rb = 32 Ω. Encontre a expressão da carga no 
capacitor em função do tempo, qb(t). 
 
c) O circuito oscilante LC da figura possui resistência desprezível. O capacitor 
vale C = 10 x 10-3 F e, em t = 0, possui carga q (0) = 4,0 x 10-3 C. O 
indutor, também em t = 0, possui energia 
UL (0) = 5 x 10
-3 J e está sendo atravessado pela corrente i (0) com o 
sentido mostrado na figura. Calcule a carga máxima qmáx no capacitor. 
 
Sugestão: (Lembre-se da conservação de energia). Use √116 ≈ 11. 
 
 
 
Respostas: 
 
a) L = 2.5 [mH] 
 
b) Solução errada porém normalmente usada: qb(t) = 6e
-4000tcos(3000t) [µC]; 
 Solução 1: qb(t) = 10e
-4000tcos(3000t + cos-1(
3
5
)) [µC]; 
 Solução 2: qb(t) = e
-4000t[6cos(3000t) + sen(3000t)] [µC]; 
 
c) qmáx ≅ 11x10-3 [C]