Lista 10 Faraday FIS1053 2018.1

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FIS1053 - Projeto de Apoio Eletromagnetismo 
 
10ª Lista de Problemas 
Tema: Faraday 
 
 
1ª Questão: 
 
O fluxo magnético que atravessa um anel metálico quadrado de lado 
cml 10
, e 
resistência de 
5
, é dado por 𝜑(𝑡) = 30𝑡 − 5𝑡2. O campo magnético possui o vetor B 
dependente somente do tempo. 
 
a) Esboce, cuidadosamente, em um gráfico a força eletromotriz no anel entre 
0t
s e
5t
s. Faça você mesmo. 
 
b) Determine os instantes de tempo nos quais a força eletromotriz e o campo 
magnético no anel são nulos. 
 
c) Calcule a corrente elétrica no anel em 
st 2
e em 
st 4
. 
 
Respostas: 
 
a) Linear b) tfem = 3s; tb1 = 0s; tb2 = 6s c) I(2) = -2 [A]; I(4) = 2[A] 
 
 
2ª Questão: 
 
A base de um carrinho de fibra de vidro é constituída de uma 
haste metálica de resistência 
R
 dobrada e soldada formando 
um retângulo de comprimento 
a e largurab .O carrinho, com 
velocidade inicial 
0V
atravessa uma região de campo magnético 
vertical, para cima, 
)ˆ(0 k
. Durante os intervalos de tempo em 
que o carrinho está (1) entrando na região de campo magnético 
e (2) saindo desta região. Obtenha, em função da velocidade
v
 e 
dos dados do problema (não se esquecendo de explicar raciocínio e cálculos). 
 
a) A corrente elétrica que circula na base metálica, indicando o sentido, em cada 
caso (1) e (2). 
 
b) A força que atua sobre a base do carrinho, devida ao campo magnético, 
indicando sentido e ponto de aplicação, em cada caso (1) e (2). 
 
Descreva o movimento do carrinho, fazendo também um gráfico qualitativo da velocidade em função 
da posição da parte frontal da base metálica. 
 
 
 
Respostas: 
 
a) I1 = 
𝐵0𝑏𝑣
𝑅
 [A], sentido horário; I2 = 
𝐵0𝑏𝑣
𝑅
, sentido anti-horário. b) �⃗�1 = �⃗�2 = 
𝐵0
2𝑏2𝑣
𝑅
 (-𝑥) [N] 
 
c) O carrinho é freado enquanto entra na região de campo 
magnético, tem velocidade constante quando está totalmente 
dentro dessa região, e é novamente freado enquanto sai dessa 
região. 
3ª Questão: 
 
Responda esta questão na forma analítica e numérica. 
 
a) Considere uma espira quadrada simples, com lado a = 0.20m, 
colocada no plano xy. A resistência da espira é R = 4x10-3 𝛺. Um 
campo magnético B na direção z, homogêneo em todo o plano da 
espira, induz nela uma corrente I = 2.0 A. Qual é a taxa de 
variação temporal do campo magnético? 
 
b) Suponha agora que a espira gire em torno de um dos lados (na direção do eixo x) 
numa região onde o campo magnético é constante, uniforme e tem direção z (B = 
B0(�̂�), onde B0 = 1.0 [T]). A espira dá uma volta completa em seu eixo em T = π [s] e 
no instante t = 0s, a espira está no plano xy. Escreva a expressão da força 
eletromotriz induzida na espira. 
 
c) Suponha agora que seja construída uma bobina com N = 10 espiras 
iguais às dos itens anteriores (a resistência de cada espira é R = 4,0 x 10-
3 Ω) e que esta seja posta no interior de um solenóide muito comprido de 
raio 2a, coaxial com o seu eixo, como mostrado na figura ao lado. O 
campo magnético produzido pelo solenóide varia de acordo com a equação 
B(t) = B0 + bt + 
1
2
ct2 onde B0 = 1,0 T; b = 1,0 T/s e c = 0,5 T/s
2. Qual 
será a intensidade da corrente induzida na bobina quadrada em função do tempo? 
Calcule-a em t = 2,0 s. 
 
Respostas: 
 
a) 
𝑑𝐵
𝑑𝑡
= 0,2 [T/s] b) εind = 0.08sen(2t) [V] c) i(t) = 10 + 5t; i(2) = 20 [A] 
 
 
4ª Questão: 
 
Na figura um circuito de raio r está na presença de um campo 
magnético �⃗⃗�(𝑡) = 𝐵0. cos(2𝜋𝑡) (�̂�). O plano do circuito é 
perpendicular ao campo �⃗⃗�(𝑡). 
 
a) Usando a Lei de Lenz, diga, argumentando, qual é o sentido 
da corrente induzida no circuito (horário ou anti-horário) no 
intervalo de tempo t = [0,1/4]. 
 
b) Calcule a fem induzida no circuito usando a Lei de Faraday-Lenz. 
 
Suponha que o campo magnético seja �⃗⃗�(𝑡) = 𝐵0�̂�. 
 
c) Usando Lei de Faraday-Lenz diga qual é o sentido da corrente induzida no circuito. 
 
Suponha agora que o campo magnético seja �⃗⃗�(𝑡) = 𝐵1 (�̂�), com B1 constante, e que o raio do círculo 
oscile na forma 𝑟(𝑡) = [3. cos2(2𝜋𝑡)] + 1. 
 
d) Usando Lei de Faraday-Lenz calcule a fem induzida no circuito. 
 
Respostas: 
 
a) Sentido anti-horário b) 𝜀𝑖𝑛𝑑(𝑡) = 2𝐵0𝜋
2𝑟2𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡) [V] c) Não existe corrente induzida 
 
d) 𝜀(𝑡) = 2𝜋2𝐵1𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡). [36. 𝑐𝑜𝑠
3(2𝜋𝑡) + 12. 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑡)] [V] 
 
 
5ª Questão: 
 
Parte I 
A figura mostra um fio muito longo através do qual flui uma 
corrente que varia no tempo como 𝑖(𝑡) = 𝛼 − 𝛽. 𝑒−𝑡/𝜏, sendo α, 
β e τ constantes positivas com α > β. Uma espira retangular de 
base b e altura h é colocada a uma distância d do fio. O campo 
magnético de um fio infinito é: 𝐵(𝑟) =
𝜇0𝑖
2𝜋𝑟
. 
 
a) Calcule o fluxo magnético através da espira retangular, 
como função do tempo. 
 
b) Seja R a resistência da espira. Utilizando a Lei de 
Faraday-Lenz, calcule a corrente induzida que flui na espira em função do tempo. Determine seu 
sentido. 
 
Parte II 
A figura ao lado mostra uma espira quadrada de lado 0,1 m livre para 
girar em torno do eixo x no sentido horário, conforme indicado. Nessa 
região do espaço existe um campo magnético constante, uniforme e 
paralelo ao eixo z, de módulo 0,4 T. Nessa situação, pela Lei de Faraday-
Lenz, irá aparecer uma f.e.m. induzida na espira quadrada. 
 
c) Calcule a velocidade angular ω com a qual a espira deve girar de 
forma que a f.e.m. máxima tenha valor unitário (no SI). 
 
Respostas: 
 
a) 𝜙𝑀(𝑡) =
𝜇0𝑏
2𝜋
ln(
ℎ+𝑑
𝑑
). (𝛼 − 𝛽. 𝑒−
𝑡
𝜏) [Wb] b) 𝐼𝑖𝑛𝑑 =
𝛽𝜇0𝑏
2𝜋𝑅𝜏
ln(
ℎ+𝑑
𝑑
)𝑒−
𝑡
𝜏 [A]; Sentido horário. 
 
c) 𝜔 = 2,5 𝑥 102 [
𝑟𝑎𝑑
𝑠
] 
 
 
6ª Questão: 
 
Uma barra condutora de resistência desprezível, comprimento 
𝑙 = 30 𝑐𝑚 e massa 𝑚 = 0,090 𝑘𝑔, stá deslizando para baixo em movimento 
uniforme com velocidade v, sob ação apenas de sua força peso e de uma força 
magnética. Esta força é gerada pelo campo magnético externo (uniforme e 
constante) aplicado na direção entrando na folha de papel, e de módulo 𝐵 =
 0,5 𝑇. A barra faz contato com trilhos condutores de resistência também 
desprezível e o circuito é fechado pela resistência 𝑅 = 0,05 𝛺. Considere 𝑔 =
 10 𝑚/𝑠2 e que o campo magnético externo é muito intenso, de modo que o 
campo magnético devido à corrente induzida no circuito pode ser desprezado. 
 
a) Responda, justificando, qual é o sentido da corrente induzida IIND no 
circuito (horário ou anti-horário) e qual é o sentido do vetor força 
magnética �⃗� sobre a barra (para cima ou para baixo). 
 
b) Calcule o módulo da velocidade constante v com que a barra desliza para baixo na montagem 
da figura. 
 
c) Agora a barra foi fixada numa certa posição. A fem induzida ε no 
circuito como função do tempo é dada no gráfico ao lado. Faça 
um esboço qualitativo do gráfico do módulo do campo magnético 
externo B em função do tempo. Suponha que B começa em zero 
e é contínuo durante todo o intervalo, explicitando no eixo os 
instantes t1 , t2 , t3 e t4. 
Respostas: 
 
a) BIND para fora do papel, IIND no sentido anti-horário e �⃗� para cima. 
 
b) V = 2,0 m/s. c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
7ª Questão: 
 
Uma espira quadrada de lado 𝐿 = 50 𝑐𝑚 gira no sentido horário com 
velocidade angular 𝜔 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 em torno do eixo z (que contém seu 
centro), numa região do espaço onde existe um campo magnético 
�⃗⃗�(𝑡) = 𝐵0(�̂�), onde 𝐵0 = 500 𝑚𝑇. A figura ao lado mostra uma vista 
superior da espira em rotação com velocidade 𝜔. Observe que no 
instante t a espira está contida no planoyz. Num certo instante t o 
vetor da área 𝐴 faz um ângulo 𝜃 = 𝜔𝑡 com o eixo x. 
 
a) Calcule o fluxo magnético 𝜙𝑀 na espira quando 𝜃 = 0,1 𝑟𝑎𝑑. 
 
b) Sabendo que a espira tem uma resistência elétrica 𝑅 = 10 Ω, calcule o valor da corrente induzida 
na espira no instante t = 0.3 s. 
 
 
Suponha agora que o campo magnético comece a variar no tempo, de forma que �⃗⃗�(𝑡) = 𝐵0. cos (𝜔𝑡)𝑖,̂ 
onde 𝜔 = 10 𝑟𝑎𝑑/𝑠 é a velocidade angular de rotação da espira. 
 
c) Nestas condições, calcule a frequência angular da corrente induzida. [Sugestão: use a identidade 
trigonométrica 𝑠𝑒𝑛 2𝛼 = 2. 𝑠𝑒𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛼]. 
 
Respostas: 
 
a) 𝜙𝑀 = 0.124 [𝑊𝑏] b) 𝑖𝑖𝑛𝑑 = 17 [𝑚𝐴] c) 2 𝜔 = 20 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
 
8ª Questão: 
 
Uma bobina retangular com N voltas, de lados a = 0.1 e b = 0.2 e resistência total R = 
10 Ω está contida no plano xy e gira com velocidade angular ω em tomo do eixo x. Esta 
bobina é atravessada por um campo magnético com módulo B = 1.0 T dirigido ao longo 
do eixo z, como mostrado na figura 1. A rotação é iniciada de modo que o plano da 
bobina seja perpendicular à direção de B em t = 0 s. 
 
A figura 2 mostra o comportamento da tensão induzida na bobina em função do tempo. 
Utilizando a figura 2 e os outros dados do problema, encontre: 
 
a) O número de voltas N da bobina retangular. 
b) A taxa máxima de variação do fluxo magnético 
𝑑𝜑
𝑑𝑡
 através da bobina 
c) O valor da corrente induzida e seu sentido (horário ou anti-horário) na bobina 
quando t = 0.05 s. 
d) A potência média dissipada no resistor. 
 
(Sugestão: Em todos os cálculos use π = 3) 
 
Respostas: 
 
a) N = 60 b) 
𝑑𝜑𝑚
𝑑𝑡
= 0.6 [𝑉] c) I = 3.6 [A]; Anti-horário 
d) Pmédia = 64.8 [W] 
 
 
9ª Questão: 
 
Uma barra de comprimento L e resistência R move-se com 
velocidade �⃗� ao longo de trilhos horizontais condutores ideais 
(sem resistência) e sem atrito, conforme figura ao lado. 
 
a) Supondo que �⃗⃗� = B0e
-αt (�̂�) [T], com α > 0, calcule a 
corrente induzida no circuito e a sua direção se 𝑣 = 𝑣0 
(𝑥) [m/s] e em t = 0 temos x = 0 [m]. 
 
b) Existe algum instante de tempo em que a corrente induzida seja zero? Se sim, 
qual? (justifique as suas afirmações). 
 
c) Supondo que �⃗⃗� = B0 (�̂�) [T], calcule a corrente induzida no circuito indicando seu 
sentido em cada quadrante de ωt, isto é, em [0, 
𝜋
2
], [
𝜋
2
, 𝜋], [π, 
3𝜋
2
], [
3𝜋
2
, 2π] 
se a posição da barra é dada por x = L [1 - cos 𝜔𝑡] [m]. 
 
Respostas: 
 
a) Iind = 
𝐵0𝐿𝑉0
𝑅
(𝛼𝑡 − 1)𝑒−𝛼𝑡 [A]; o sentido da corrente será anti-horário quando 
𝛼𝑡 − 1 > 0 e o sentido será horário quando 𝛼𝑡 − 1 < 0. 
 
b) t = 
1
𝛼
 s c) Iind = - 
𝐵0𝐿
2𝜔
𝑅
sin(𝑤𝑡) [A] 
 
d) O sentido será horário em [0, 
𝜋
2
], [
𝜋
2
, 𝜋]; anti-horário em [π, 
3𝜋
2
], [
3𝜋
2
, 2π]