APOSTILA EAD - ANHANGUERA ESTATÍSTICA APLICADA

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Estatística Aplicada
Autor: Ivonete Melo de Carvalho
Tema 02
Introdução à Estatística e Estatística 
Descritiva. Parte II: Medidas de Tendência 
Central e Medidas de Dispersão
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ões
Tema 02
Introdução à Estatística e Estatística 
Descritiva. Parte II: Medidas de Tendência 
Central e Medidas de Dispersão
Como citar este material:
CARVALHO, Ivonete Melo de. Estatística 
Aplicada: Introdução à Estatística e Estatística 
Descritiva. Parte II: Medidas de Tendência Central 
e Medidas de Dispersão. Caderno de Atividades. 
Valinhos: Anhanguera Educacional, 2014.
SeçõesSeções
Tema 02
Introdução à Estatística e Estatística 
Descritiva. Parte II: Medidas de Tendência 
Central e Medidas de Dispersão
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Conteúdo
Nessa aula você estudará: 
•	 Medidas de tendência central: média, moda e mediana.
•	 Medidas de dispersão: amplitude total, desvio, variância, desvio padrão, coeficiente 
de variação.
•	 Em que tipo de variáveis as diferentes medidas são aplicadas.
conteúdosEhabilidades
6
conteúdosEhabilidades
leituraobrIgATórIA
Habilidades 
Ao final, você deverá ser capaz de responder as seguintes questões:
•	 O que são e para que servem as medidas de tendência central?
•	 O que são e para que servem as medidas de dispersão?
•	 Média e desvio padrão devem ser sempre calculados?
•	 Por que variáveis qualitativas não apresentam as medidas de tendência central (exceto 
moda) e as medidas de dispersão?
Introdução à Estatística e Estatística Descritiva. Parte II: 
Medidas de Tendência Central e Medidas de Dispersão
Medidas de Tendência Central
As medidas de tendência central são: 
•	 Medidas que representam um conjunto de dados relativos à observação de um 
determinado fenômeno (fato).
•	 Medidas que servem para orientar quanto à posição da distribuição dos dados no eixo 
das abscissas.
•	 Medidas que permitem a comparação de séries de dados entre si pelo confronto 
desses dados. 
As principais medidas de tendência central são: média, mediana e moda.
7
leituraobrIgATórIA
São sinônimos de média: 
•	 Esperança.
•	 Esperança matemática.
•	 Valor esperado.
•	 Expectância de uma variável aleatória.
Existem também os decis, quartis e percentis, que são chamados de separatrizes. As 
separatrizes não serão trabalhadas em detalhes neste caderno. Para tanto, consulte o 
Livro-Texto. No entanto, as suas definições serão apresentadas em seguida.
Por definição, o percentil divide uma distribuição de frequência em 100 partes iguais, ou 
seja, ( )
iP
in
iPi F
hf
P
 
100
 
*∑−+=  , em que:
iP  = limite inferior da classe Pi, em que i = 1,2,3,...,99
n = tamanho da amostra
∑ f = soma das frequências anteriores à classe Pi
h = amplitude da classe
FPi = frequência da classe Pi
Por definição, o decil divide uma distribuição de frequência em 10 partes iguais, isto é, 
( )
iD
in
iDi F
hf
D
 
0 1
 
*∑−+=  , em que:
iD  = limite inferior da classe Pi, em que i = 1,2,3,...,99
n = tamanho da amostra
∑ f = soma das frequências anteriores à classe Di
h = amplitude da classe
FDi = frequência da classe Di
8
O quartil, por definição, divide uma distribuição de frequência em 4 partes iguais. Para 
calcular os quartis, deve-se fazer: 
( )
1
1
*4 
1
Q
ni
Q F
hf
Q ∑−+=  , em que:
1Q = limite inferior da classe do primeiro quartil
n = tamanho da amostra
∑ f = soma das frequências anteriores à classe quartílica
h = amplitude da classe quartílica
FQ1 = frequência da primeira classe quartílica
Coeficiente de Curtose
Para que se determine o grau de achatamento da curva de distribuição de frequência de 
uma série de dados (coeficiente de curtose = k) é preciso determinar o terceiro e o primeiro 
quartis e o nonagésimo e o décimo percentis, por meio da seguinte fórmula:
)(*2 0 10 9
13
PP
QQK
−
−
= (K = coeficiente de curtose)
•	 Q3 e Q1 – terceiro e primeiro quartis, respectivamente.
•	 P90 e P10 – nonagésimo e décimo percentis, respectivamente.
•	 Se K = 0,263 então a curva da distribuição é mesocúrtica (achatamento normal).
•	 Se K > 0,263 então a curva da distribuição é platicúrtica (mais achatada).
•	 Se K < 0,263 então a curva da distribuição é leptocúrtica (mais alongada).
Agora que você sabe o que são e para que servem os percentis, quartis e decis, é preciso 
apresentar a você a média, a mediana e a moda.
Média:
Média aritmética simples por definição é a soma de todos os valores xi observados (dados 
isolados) dividida pelo número de observações:
n
x
x
n
1i
i∑
==
leituraobrIgATórIA
9
Exemplo: calcule a média aritmética simples do seguinte conjunto de valores: 7, 14, e 21. 
Nesse caso: 4 1
3
1 24 17
=
++
=x
Por definição, para dados agrupados, a média será dada pela soma do produto dos 
valores observados pela frequência absoluta com que estes ocorrem, dividida pela soma 
das frequências absolutas da distribuição, ou seja:
∑
∑
=
== n
1i
i
n
1i
ii
f
xf
x
Exemplo: dada a tabela de distribuição a seguir:
ix 11 8 10 12
if 1 4 3 2
Calcule a média aritmética simples:
7
1 1
7 7
1 1
4 20 32 11 1
2342
2*2 13*0 14*81*1 1
1
1 ==
+++
=
+++
+++
==
∑
∑
=
=
n
i
i
n
i
ii
f
xf
x
Por definição, para dados agrupados em intervalos de classe, deve-se considerar xi o ponto 
médio do intervalo de classe.
Propriedades da média:
1) A média de uma constante é a própria constante.
2) Multiplicando uma variável aleatória x por uma constante, sua média ficará multiplicada 
por esta constante.
3) A média da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é a soma ou a diferença 
das médias.
4) Somando ou subtraindo uma constante a uma variável aleatória, a sua média ficará 
somada ou subtraída da mesma constante.
5) A média do produto de duas variáveis aleatórias independentes é o produto das médias.
leituraobrIgATórIA
10
Mediana:
Por definição: 
1. Em uma série de n-observações ordenada de forma crescente, a mediana é o valor 
da observação que divide essa série em duas metades iguais: uma delas com valores 
inferiores e outra com valores superiores ao valor da mediana.
2. Se a série possuir um número par de termos (ou observações), não existirá um 
termo central, logo, para calcular o valor da mediana, basta dividir por dois o valor da 
soma dos termos centrais.
Moda:
Por definição, moda (ou modo) é o valor que mais aparece ou o de maior frequência simples 
(absoluta ou relativa) numa distribuição de frequência. A moda pode não existir, e, existindo, 
pode não ser única.
Uma distribuição pode ser: 
•	 Amodal (quando não existe moda).
•	 Unimodal (uma só moda).
•	 Bimodal (quando tem duas modas).
•	 Multimodal (tem várias modas).
Diferenças entre média, mediana e moda:
Medida Vantagens Desvantagens
Média
Reflete cada valor 
observado na distribuição
É influenciada por valores 
extremos
Mediana
Menos sensível a valores 
extremos se comparada à 
média
Difícil de se determinar para 
grande quantidade de dados
Moda
Maior quantidade de valores 
concentrados neste ponto
Não se adequa à análise 
matemática
leituraobrIgATórIA
11
O valor da mediana tem de estar em algum ponto localizado entre o valor da média e o valor 
da moda, podendo ser igual à moda e/ou à média. 
Essas três medidas podem definir a assimetria da curva de distribuição de frequência. Então:
Se
Média = Mediana = Moda
Então, a curva 
de distribuição é:
Simétrica
Média < Mediana < Moda Assimetria negativa
Média > Mediana > Moda Assimetria positiva
Medidas de Dispersão
Medidas de dispersão são medidas cuja função é avaliar o quanto estão afastados ou 
concentrados os valores observados numa distribuiçãode frequência ou de probabilidades. 
As principais medidas de dispersão são:
•	 Amplitude total (ou range).
•	 Desvio médio absoluto.
•	 Variância.
•	 Desvio padrão.
•	 Coeficiente de variação.
Amplitude total
Por definição, amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor observados, não 
dando a noção de quanto os valores intermediários estão afastados ou concentrados.
Observe a distribuição A: 2; 3; 4; 13; 18. 
A amplitude total de A será: AT = 18 – 2 = 16
A amplitude total diz pouco a respeito de uma série de dados; para melhor avaliá-la, outros 
conceitos precisam ser agregados ao seu estudo. O primeiro conceito a ser criado é o de 
desvio, ou seja, a distância que cada um dos valores observados apresenta em relação à 
média ( xxi − ).
leituraobrIgATórIA
12
Distribuição A
Desvio
i xi xxi −
1 2 2 - 8 = -6
2 3 3 - 8 = -5
3 4 4 - 8 = -4
4 13 13 - 8 = 5
5 18 18 - 8 = 10
Σ 40 0
Observe que o somatório dos desvios em relação à média aritmética é igual a zero. Isso 
acontecerá em toda série de observações, pois “a soma dos desvios em relação à média 
aritmética sempre será nula”. 
Você, então, deve estar se perguntando: “como avaliar a dispersão entre os valores 
observados em tal distribuição?”. 
Uma das formas de resolver este problema é calculando a variância.
Variância:
Por definição, a variância é o somatório dos quadrados dos desvios dividido pelo número 
de observações (se população) ou número de observações menos um (se amostra).
No exemplo considerado:
Distribuição A
Valores dos desvios elevados 
ao quadrado
i xi xxi −
1 2 2 - 8 = -6 = 36
2 3 3 - 8 = -5 = 25
3 4 4 - 8 = -4 = 16
4 13 13 - 8 =5 = 25
5 18 18 - 8 = 10 = 100
Σ 40 202
leituraobrIgATórIA
13
Valor obtido para a variância ( 2σ ):
4,0 4
5
202
2
12 ==
−
=
∑
=
n
xx
n
i
i
Aσ
Lembre-se sempre de que, se houver uma distribuição para dados agrupados, você terá de 
multiplicar o quadrado de cada desvio pela respectiva frequência, fazendo a seguir a divisão 
pela soma das frequências. E, se os dados se apresentarem em intervalos de classe, será 
o ponto médio do intervalo de classe. Assim, a fórmula para cálculo da variância será:
∑
∑
=
=
−
=σ n
1i
i
i
2n
1i
i
2
F
F*xx
Para dados agrupados, considera-se a frequência no cálculo da variância, e quando os 
dados se apresentarem em intervalos de classe, xi será o ponto médio do intervalo de 
classe. Logo, a fórmula será:
•	 Para a variância populacional: 
n
SQD2 =σ
•	 Para a variância amostral: 
1n
SQD2
−
=σ
Desvio Padrão
Por definição, o desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância, isto é, 2σ=σ é o 
desvio padrão para a população e 2ss = é o desvio padrão para uma amostra. 
No exemplo dado, teremos: 6 3,64,0 4 ==Aσ
Coeficiente de Variação
Por definição, coeficiente de variação é expresso como o resultado da divisão do desvio 
padrão pela média. Corresponde a uma medida relativa de dispersão, útil para a comparação 
(em termos relativos) do grau de concentração em torno da média de séries distintas. Essa 
medida serve para avaliar a homogeneidade de séries estatísticas e pode ser expressa na 
forma unitária ou percentual.
leituraobrIgATórIA
14
Retornando ao nosso exemplo:
%5,9 7
8
6 3,6 ==Avc
Utilizar-se-á como referência neste caderno a tabela para Coeficientes de Variação, de 
Jairo Simon da Fonseca e José Afonso Mazzon1.
1 Disponível na internet para consulta no seguinte site: <http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&
esrc=s&source=web&cd=4&ved=0CEUQFjAD&url=http%3A%2F%2Fwww.rausp.usp.br%2Fdownload.
asp%3Ffile%3D1201017.pdf&ei=TgYdU6nPA8SrkAfW8oGIBg&usg=AFQjCNFmRlUxGd2cG7vvNRscp
YuQ9t0whQ&sig2=oL4N-psJGAB8UloClSJBUw&bvm=bv.62578216,d.eW0>. Acesso em: 10 mar. 2014.
linksIMPorTAnTEs
Quer saber mais sobre o assunto? 
Então:
Sites
Teste os seus conhecimentos: resolva exercícios a respeito de medidas de tendência central 
e medidas de dispersão e consulte a resolução comentada.
Acesse o site “Exercícios – Brasil Escola”. 
Disponível em: <http://exercicios.brasilescola.com/matematica/exercicios-sobre-estatistica.htm>. 
Acesso em: 3 mar. 2014.
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios e consultando a resolução 
comentada.
Acesse o site “Portal Action”. 
Disponível em: <http://www.portalaction.com.br/1414-4-exerc%C3%ADcios>. Acesso em: 
3 mar. 2014.
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios dos principais vestibulares 
ainda existentes no PAÍS e consultar a resolução comentada. 
leituraobrIgATórIA
15
linksIMPorTAnTEs
Acesse o site “Exercícios – Professor Cardy”. 
Disponível em: <http://www.profcardy.com/exercicios/area.php?area=ESTAT%CDSTICA>. 
Acesso em: 3 mar. 2014.
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios apresentados pelo Enem 
e Enade em diversas edições destes exames e consultar a resolução comentada.
Acesse o site “Matematiquês”. 
Disponível em: <http://www.matematiques.com.br/download.php?tabela=documentos&id=436>. 
Acesso em: 3 mar. 2014.
Nele você poderá testar seus conhecimentos fazendo exercícios e consultando a resolução 
comentada.
Vídeos
Assista aos vídeos com exercícios comentados. 
Disponíveis em: <http://video-aulas.com/listing/Matem%C3%A1tica/Ensino_M%C3%A9dio/
Estat%C3%ADstica/estatistica--exercicios-resolvidos--media-moda-mediana-variancia-
desvio-padrao--pre-enem-abril-educacao-2013--video-aula-1217>. Acesso em: 3 mar. 2014. 
Os exercícios são bastante variados, com linguagem bem acessível uma vez que se trata 
de produção da Editora Abril Cultural voltada para o público que prestará o Enem (Exame 
Nacional do Ensino Médio).
16
Instruções: 
Chegou a hora de você exercitar seu aprendizado por meio das resoluções 
das questões deste Caderno de Atividades. Essas atividades auxiliarão 
você no preparo para a avaliação desta disciplina. Leia cuidadosamente 
os enunciados e atente-se para o que está sendo pedido e para o modo de 
resolução de cada questão. Lembre-se: você pode consultar o Livro-Texto 
e fazer outras pesquisas relacionadas ao tema.
Questão 1:
Um produto subiu de R$ 35,00 para R$ 40,00 
no primeiro mês e de R$ 40,00 para R$ 52,00 
no segundo mês. Qual o crescimento mensal 
médio, em reais, desse produto?
Questão 2:
Suponha que, numa sala com 25 pessoas, 
as idades, em anos, sejam as seguintes: 
24 - 24 - 24 - 25 - 25 - 30 - 32 - 32 - 32 - 35 
- 36 - 36 - 40 - 40 - 40 - 40 - 46 - 48 - 48 - 50 
- 54 - 54 - 60 - 60 - 65. A média das idades 
observadas, em anos, é igual a:
a) 35,18.
b) 35,12.
c) 40,00.
d) 40,13.
e) 42,15.
Questão 3:
Suponha que, numa sala com 25 pessoas, 
as idades, em anos, sejam as seguintes: 
24 - 24 - 24 - 25 - 25 - 30 - 32 - 32 - 32 - 35 
- 36 - 36 - 40 - 40 - 40 - 40 - 46 - 48 - 48 - 
50 - 54 - 54 - 60 - 60 - 65. A mediana das 
idades observadas, em anos, é igual a:
agoraéasuAvez
17
a) 36.
b) 38.
c) 40.
d) 42.
e) 44.
Questão 4:
Determinada empresa observou que seus 
funcionários gastam em média 6 horas por 
semana cuidando de seus e-mails pesso-
ais durante o dia de trabalho. O desvio pa-
drão observado foi de 4 horas semanais. 
Com base nas informações da situação 
hipotética anteriormente descrita, pode-se 
afirmar que o coeficiente de variação, de 
acordo com a classificação, é:
a) Baixo, próximo de zero.
b) Baixo, próximo de 15%.
c) Mediano, próximo de 15%.
d) Mediano, próximo de 30%.
e) Alto, acima de 50%.
Questão 5:
Num grupo de 16 alunos, as notas das pro-
vas de Estatística foram todas iguais ou 
superiores a sete pontos. A mediana das 
notas do grupo é igual a 8,0 e a média 8,2.
Afirmação I: nessas condições, pode-se 
afirmar que a maior parte das notas foi in-
feriora 8,0.
Afirmação II: nessas condições, pode-se 
afirmar que a maior parte das notas foi su-
perior a 8,0.
a) Somente a afirmação I está correta.
b) Somente a afirmação II está correta.
c) Ambas as afirmações estão corretas.
d) Ambas as afirmações estão erradas.
e) As informações se complementam.
Questão 6:
Calcule a média aritmética entre: 10, 15, 
16, 23, 49, 50 e 60.
Texto para as questões 7 a 10: 
Ao entrevistar um grupo de alunos, obtêm-
se as seguintes respostas a respeito de 
suas idades:
20 21 22 20 22
23 25 20 25 24
20 24 25 23 23
22 21 22 20 25
Com bases nesses dados, calcule o que se 
pede nos exercícios seguintes.
agoraéasuAvez
18
Questão 7:
Calcule a idade média dos alunos e a me-
diana entre as idades.
Questão 8:
Identifique a moda entre as idades dos 
alunos.
Questão 9:
Calcule a variância e o desvio padrão entre 
os dados apresentados.
Questão 10:
Calcule o coeficiente de variação e analise 
o resultado.
agoraéasuAvez
Neste tema, você aprendeu a trabalhar com medidas importantes para a estatística 
descritiva: medidas de tendência central e medidas de dispersão. Dê especial atenção ao 
cálculo da média e do desvio padrão. Observe também que essas medidas são aplicáveis 
para dados quantitativos. Dados qualitativos – expressos em categorias – não permitem tal 
cálculo; para estes, a única medida que se aplica é a observação da moda. 
Caro aluno, agora que o conteúdo dessa aula foi concluído, não se esqueça de acessar 
sua ATPS e verificar a etapa que deverá ser realizada. Bons estudos!
finalizando
19
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. 19. ed. atual. São Paulo: Saraiva, 2009.
CUNHA, M. V. Análise Multidimensional de Dados Categóricos. In: PPGA, UFRGS, 16, 
Porto Alegre, 1997. 
FONSECA, J. S, MARTINS, G. Curso de Estatística. São Paulo: Atlas, 1996.
FREITAS & CUNHA CONSULTORES LTDA. Guia do Usuário – Sphinx Léxica 2.08 for 
Windows®. Porto Alegre, 1998. 
KOTLER, P. Administração de Marketing: Análise, planejamento, implementação e contro-
le. São Paulo: Atlas, 1996. 
LABES, E. M. Questionário: do planejamento à aplicação na pesquisa. Chapecó: Grifos, 1998. 
LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística e Métodos Quantitativos. 2. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2007. Livro-Texto 136.
MATTAR, F. N. Pesquisa de Marketing. São Paulo: Atlas, 1996. 
ROSSI, C. A. V.; SLONGO, L. A. Pesquisa de satisfação de clientes: o estado-da-arte pro-
posição de um método Brasileiro. In: ENCONTRO ANUAL DA ANPAD, 21., Anais... 1997, 
Rio das Pedras, p.124.
SLACK, N. Administração da produção. São Paulo: Atlas, 1997.
referências
20
Dispersão: proximidade ou distanciamento observado em um conjunto de dados numéricos.
Homogêneo: grupo que apresenta características comuns, por exemplo, notas próximas 
no caso de uma avaliação.
Heterogêneo: grupo que apresenta características distintas, por exemplo, notas distantes 
no caso de uma avaliação.
Série: conjunto de dados.
SQD: soma dos quadrados dos desvios.
Questão 1
Resposta: Os aumentos foram de R$ 5,00 e R$ 12,00, portanto houve um aumento total de 
R$ 17,00. Dividindo R$ 17,00 por 2 (= número de aumentos) você obterá R$ 8,50.
Questão 2
Resposta: Alternativa C.
Questão 3
Resposta: Alternativa A.
glossário
gabarito
21
Questão 4
Resposta: Alternativa E.
Questão 5
Resposta: Alternativa B.
Questão 6
Resposta: Substituindo os valores na fórmula da média:
6 8,1 3
7
223
6
0 60 59 43 26 15 10 1
≅=
++++++
=x
Questão 7
Resposta: Calculando a média e a mediana:
Média: 5 3,2 2
0 2
4*5 22*4 23*3 24*2 22*1 25*0 2
=
+++++
=x
Mediana: 2 2
2
2 22 2
=
+
=med
Questão 8
Resposta: Lembrando que ela corresponde ao valor mais repetido, a moda entre as idades 
do grupo estudado é 20 anos.
Questão 9
Resposta: Para calcular o desvio padrão, é necessário, antes, calcular a variância:
ix x )xx( i − 2i )xx( −
20 22,35 -2,35 5,5225
20 22,35 -2,35 5,5225
20 22,35 -2,35 5,5225
20 22,35 -2,35 5,5225
20 22,35 -2,35 5,5225
21 22,35 -1,35 1,8225
gabarito
22
ix x )xx( i − 2i )xx( −
21 22,35 -1,35 1,8225
22 22,35 -0,35 0,1225
22 22,35 -0,35 0,1225
22 22,35 -0,35 0,1225
22 22,35 -0,35 0,1225
23 22,35 0,65 0,4225
23 22,35 0,65 0,4225
23 22,35 0,65 0,4225
24 22,35 1,65 2,7225
24 22,35 1,65 2,7225
25 22,35 2,65 7,0225
25 22,35 2,65 7,0225
25 22,35 2,65 7,0225
25 22,35 2,65 7,0225
66,55
Cálculo da variância: 0 5,3
9 1
5 2,6 62 ==σ
Cálculo do desvio padrão: 7 8,10 5,3 ==σ
Questão 10
Resposta: Calculando o desvio padrão, tem-se:
%7 3,8100*
5 3,2 2
7 8,1 ==vc
O coeficiente de variação é baixo, indicando que os dados são bem agrupados, isto é, 
próximos da média.
gabarito