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Sistemas de pontos materiais 
Plano de exposição da aula
1 – Forças no Plano
2 – Axiomas da Mecânica
3 – Resultante de um Sistema de forças3 – Resultante de um Sistema de forças
4 – Determinação Analítica da Resultante
5 – Determinação das componentes de uma força
6 – Determinação da resultante de um Sistema de forças6 Determinação da resultante de um Sistema de forças
coplanares concorrentes
7 – Exercício7 Exercício
8 – Bibliográfia
1 – Forças no Plano
Forças é a ação de um corpo sobre o outro
Linha de Ação
C t i d t d li ã i t id d di ã tidCaracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido
Intensidade de uma força = caracterizada por um número de unidades
Unidades usuais: N(Newton)Unidades usuais: N(Newton)
Direção de uma força = definida por sua linha de ação
Sentido de uma força = caracterizado por uma seta 
Externos: tende a modificar o estado de movimento original do corpo
Efeitos:
Internos: tensão e deformação
2 – Axiomas da Mecânica
1 Lei do Paralelograma1 – Lei do Paralelograma
2 – Duas forças estão em equílibrio somente quando tiverem a mesma
intensidade, direção e sentidos opostos
3 – Um conjunto de forças em equilíbrio pode ser acrescentado a um outro
i d f l d d i i l dsistema de forças qualquer sem que ocorra mudança no estado original de
movimento
4 – As forças de ação e reação são iguais em módulo e direção com sentidos
opostos
3– Resultante de um Sistema de forças
1 – Lei do Paralelograma
2 – Lei dos Triângulos
4 – Determinação Analítica da Resultante
1 – Lei dos senos1 – Lei dos senos
1
senR F
sen
γ
α=
1 2F F R
sen sen senα β γ= = ousen sen senα β γ
2
senR F
sen
γ
β= senβ
2 – Lei dos cossenos (Regra do paralelograma)
F
θ α β
θ
= +
1
1
cosa F
b F sen
θ
θ
=
=
( )22 2 2 2 22 2 2
2 2
2= + + = + + +R F a b F aF a b
( ) ( ) ( )2 22 22 1 2 1 12 cos cos= + + +R F F F F F senθ θ θ
2 2
2 1 2 12 cosR F FF Fθ= + + 2 22 1 1 22 cosR F F F F γ= + −Ou :
( )2 22 1 2 12 cos 180R F F F Fγ= + − +D
5 – Determinação das componentes de uma força
A) Quando as componentes procuradas estão em direções não ortogonais
entre si
OA OBF F F
sen sen sen
= =β α γsen sen senβ α γ
OA
senF F
sen
β= γ OB
senF F
sen
α= γγ γ
B) Quando as componentes procuradas estão em direções ortogonais
entre sientre si
x xF Fcos= θ y xF Fsen= θ
x yF Fsen= θ y yF Fcos= θ
6 – Determinação da resultante de um Sistema de forças coplanares
concorrentes
1 – Método Gráfico
2 – Solução Analítica
1x 1F F cos= + α
F Fsen= + α1
F
1y 1F Fsen= + α
F F β2x 2F F cos= + β
F F sen= − β2
F
2y 2F F sen= β
3 3F F cos= + γ3x 3F F cos+ γ
3y 3F F sen= − γ
3F
y
x 1x 2x 3xR F F F= + + y 1y 2y 3yR F F F= + +
x 1x 2x 3xR F F F= + + y 1y 2y 3yR F F F= + +
Solução Analítica
Método Gráfico
Exercício 1 – Determine a resultante de quatro forças coplanares
concorrentes mostradas na figura abaixog
xP Pcos60 100.cos60= + = +D D
P Psen60 100sen60= + = +D D
50kgf= +
86 6kgf= +P yP Psen60 100sen60= + = +
xQ Qcos35 200cos35= − = −D D
86,6kgf= +
163,8kgf= −Q xQ Q
yQ Qsen35 200sen35= − = −D D
, g
114,7 kgf= −Q
TT361 xT 200kgf= −yx TT361
3,61 2 3
= = x g
yT 300kgf= +
T =
FF224 xF 200kgf= +yx FF224
2,24 2 1
= = x g
yF 100kgf= −
F =
xP 50kgf= +P x
T 200kgf= −
T =
yP 86,6kgf= +
Q 163 8k f
P
yT 300kgf= +
F 200k fxQ 163,8kgf= −
yQ 114,7kgf= −Q
xF 200kgf= +
yF 100kgf= −
F =
y g
Resultante:
x x x x xR P Q T F 50 163,8 200 200= + + + = − − +
R P Q T F 86 6 300 114 7 100= + + + = + − −
113,8kgf= −
171,9kgf= +y y y y yR P Q T F 86,6 300 114,7 100= + + + = + 171,9kgf+
2 2R R R 206kgf= + =x yR R R 206kgf= + =
yR 171,9θ 56 49θ Dyx
x
171,9tg
R 113,8
θ = = x 56,49θ = D
Exercícios para casa
Livro: Estática, Mecânica para engenharia. 10a edição
R. C. Hibbeler
- Pag. 20, exercícios: 2.3 e 2.9;
- Pag. 21, exercícios: 2.13 e 2.18;Pag. 21, exercícios: 2.13 e 2.18;
- Pag. 22, exercício: 2.23
9 – Bibliográfia recomendada para estudo
[1] Hibbeler H C Estática Mecânica para engenharia 10a edição Editora[1] Hibbeler, H.C. Estática, Mecânica para engenharia. 10 edição, Editora
Pearson Prentice, 2005.
[2] Beer P F e Johnston E R Mecânica vetorial para engenheiros Estática[2] Beer P. F. e Johnston, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros, Estática.
5a edição, Editora Pearson Makron, 1994.
Momento de Força 
Plano de exposição da aula
1 – Conceito de Momento de uma força
2 – Sentido do Momento de uma força
3 – Teorema de Varignon3 – Teorema de Varignon
4 – Exercício
Momento de uma força em relação a um ponto é o produto do
módulo da força pela distância perpendicular do ponto a linha de
ação da força.
M
bF
M F b= ×
Momento = força x braço
M Momento da Força P em relação a um polo Oτ Momento da Força P em relação a um polo O
Unidades: (Sistema S.I) [ ] [ ][ ][M] Força comprimento N.mτ = = =
Sentido dado pela regra da mão direita
Apoiando-se a mão direita fechada no plano definido pela força P e o 
polo O, e abrindo-se a mão de modo que os quatro dedos indiquem o 
sentido da força P e o polegar indicará o sentido do Momentosentido da força P e o polegar indicará o sentido do Momento 
M
bF
O vetor F provoca rotação do corpo 
em torno do eixo Oem torno do eixo O
Eficácia de F aumenta quandoEficácia de F aumenta quando
aumenta o braço da força
(distândia b=OB)(distândia b=OB)
“Dê-me uma alavanca e um ponto de apoio no vácuo que 
Arquimedes (c.287-212 AC) – matemático e filosofo grego
p p q
eu moverei o mundo”
b r sen= θMas : 
r = distância do ponto de aplicação da força a 0
θ = ângulo entre r e F
Logo: M Frsen= θ
O produto vetorial entre dois vetores a e b do espaço vetorial é . 
Podemos defini lo como
3R a b×
RELEMBRANDO:
Podemos defini-lo como. 
ˆa b n a b sen× = θ
onde θ é a medida do ângulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido 
pelos dois vetores, e é o vetor unitário perpendicular a tanto a quanto b.nˆ
M r F= ×G GGO que sugere pela algebra: 
Ou seja, M é uma grandeza vetorial
Teorema de Varignon
O t d f l ã l éO momento de uma força em relação a um polo é a soma
dos momentos das suas componentes em relação a este
mesmo polo
Matematico francês 
(1654 – 1722)
( ) ( )RO 1M r R S r P Q S= × + = × + +G G GG G GG G
M r R= ×G GG
( ) ( )O 1
R
O
M r R S r P Q S
M r P r Q r S
× + × + +
= × + × + ×G GG GG G GO
R P Q S
O O O O
Q
M M M M= + +G G G G
31 2 FF F
RO O O OM M M M= + +
RO 1 1 2 2 3 3M F d F d F d= × + × + ×
Exercício 1 – A força F é aplicada nos terminais de cada suporte em ângulo
mostrado na figura a seguir. Determine o momento da força em relação ao
ponto O.
D b d f di õDesmembrando a força nas direções x e y:
( ) ( )OM 400sen30 N 0,2m 400cos30 N 0,4m= −D D( ) ( )
OM 98,6N.m= −
Exercícios para casa
Livro: Estática, Mecânica para engenharia. 10a edição
R. C. Hibbeler
‐ Pag. 111, exercícios: 4.9; 4.13 ; 4.14 e 4.15;
P 114 í i 4 32‐ Pag. 114, exercícios: 4.32