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Matemática Aplicada na Geografia Aula 3: Conjuntos Numéricos Conjuntos numéricos Números Reais Equação do Primeiro Grau Inequações do Primeiro Grau Equações do Segundo Grau Intervalos Módulo ou valor Absoluto Conjuntos dos números reais - R Chama-se conjunto dos números reais R – aquele formado por todos os números com representação decimal, isto é, as decimais exatas ou periódicos (que são números racionais) e as decimais não exatas e não periódicas (chamadas de números irracionais). Assim, todo racional é um número real. Q R e, além dos racionais, estão em R números como: , 2, 3, 7, etc. chamados de irracionais. Conjuntos dos números reais - r Além de Q, destacamos em R três outros subconjuntos. R+=conjunto dos reais não negativos R-=conjunto dos reais não positivos R*=conjunto dos reais não nulos As operações de adição e multiplicação em R gozam das mesmas propriedades vistas para o conjunto Q. Conjuntos dos números reais - r Em R é também definida a operação de subtração e em R* é definida a divisão. Com a introdução dos números irracionais, a radiciação é uma operação em R+ , isto é, R para todo a R+. Representação na reta real ou reta numérica: -3 -2 -1 0 1 2 3 Números inteiros Números racionais Números irracionais Conclusão Designemos por I o conjunto de todos os números irracionais. A união do conjunto dos racionais com o dos irracionais dá origem a um conjunto chamado de conjunto dos números reais, indicada por R. Assim R=QI. Exercícios Quais das preposições abaixo são verdadeiras? 3 R ( ) N R ( ) z R ( ) 12 R – Q ( ) 4R – Q ( ) Equação do Primeiro Grau Chamamos de equação do primeiro grau na incógnita x, no universo real, toda equação redutível à forma. em que a e b são números reais quaisquer com a0. Resolução: Dividirmos ambos os membros por a: Esse valor encontrado é chamado de raiz da equação Exemplo Resolva a equação: 4x - 12 = 8 - 6x Transpondo os termos com x para o 1º membro, e os números para o 2º membro, obtemos 4x+6x=8+12 Agrupando os termos semelhantes, 10x=20 x=2 Conjunto solução: S={2} Exercício proposto Resolva as equações: a) b) 0,3(y-1)+0,4(y-2)=7 Inequações do Primeiro Grau Inequações do Primeiro Grau na incógnita x são aquelas redutíveis a uma das formas: a.x<b ou a.xb ou a.x>b ou a.x b, em que a e b são números reais quaisquer com a0. Resolva a inequação 3(x-4)>x+2. Solução: 3(x-4)>x+2 3x-12>x+2 3x-x>2+12 2x>14x>7, portanto, o conjunto solução é S=xRx7 Exercício Proposto Resolva as inequações 2(x-1)<5x+3 2x+1x-5 Equações do Segundo Grau Uma equação do segundo grau, na incógnita x, é toda equação redutível à forma ax²+bx+c=0, em que a, b, e c são constantes reais quaisquer com a0. As raízes desse tipo de equação podem ser obtidas por meio da seguinte formula resolutiva: Na qual o valor de b²-4ac, indicado usualmente como (delta), é chamado discriminante da equação. É fácil nota que: Se >0, a equação terá duas raízes reais e distintas, Se =0, a equação terá uma única raiz real. Se <0, a equação não terá raízes reais. Exercício Resolva a equação X²-4x+3=0 Solução: Como a=1, b=-4 e c=3, então: X=3 ou x=1 Portanto, o conjunto solução é S={1,3} Exercício proposto A) x²-3x=0 B) x²-9=0 Intervalos Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos: Intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto ]a,b[ = {x R|a < x < b} que também pode indicar a b. Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto [a,b] = {x R|a x b} que também pode indicar a b. Intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos a e b é o conjunto [a,b[ = {x R|a x < b} que também pode indicar a b. Continuando... Intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos a e b é o conjunto ]a,b] = {x R|a < x b} que também pode indicar a b. Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo. exemplo ]2,5[ = {x R|2 < x < 5} é intervalo aberto [-1,4] = [2/5,7[= ]-1/3,2] = ]-,a[ = {x R|x < a} que podemos indicar - a. ]- ,a] = [a, + [ = ]- , + [ = R Exemplo Os intervalos têm representação geométrica sobre a reta real como segue: ]a,b[ [a,b] [a,b[ ]a,b] ]- ,a] ]a,+ [ a b Módulo ou Valor Absoluto Dado um número real x, chamamos de valor absoluto, ou módulo de x, ao número indicado pelo símbolo |x| e dado por Por exemplo: |7|=7 |-4|=-(-4)=4 Propriedades do módulo 1) Se |x| = k, então x=k ou x=-k em que k é um número positivo. 2) Se |x| < k, então –k< x<k ou x=-k em que k é uma constante positiva. 3) Se |x| > k, então x>k ou x<-k em que k é uma constante positiva. Exemplo: A) |x|=3x=3 ou x=-3 B) |x|<5 -5<x<5 C) |x|>7 x>7 ou x<-7 BIBLIOGRAFIA Iezzi G. e Murakami C. Fundamentos de Matemática Elementar 1. São Paulo. Atual, 1985. Dante, Luiz Roberto. Matemática, contexto e aplicações. V. 3. São Paulo: Ática, 2000.