utf-8''11 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA

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Se uma dada variável aleatória X for contínua, 
haverá infinitos valores da variável. Assim, a 
probabilidade para um dado valor Xi tenderá a 
zero.
Segue-se, então, que será impossível termos 
um histograma de variável aleatória contínua.
Como a probabilidade de ocorrência de 
um dado valor de X é zero, trabalha-se 
agora com a probabilidade de X estar em 
um intervalo dado.
Essa probabilidade é dada pela área A, 
como ilustrado na figura a seguir.
𝐴 = 𝑃(𝑋𝑖 ≤ 𝑋 ≤ 𝑋𝑗)
Veremos a seguir algumas das distribuições 
de probabilidade mais importantes e que 
serão úteis, ao longo de nosso estudo. São 
elas:
• A distribuição normal
• A distribuição exponencial
A distribuição chamada de normal ou distribuição de 
Gauss é uma das mais importantes da Estatística.
O aspecto da distribuição é representado na figura a 
seguir onde a curva resultante é chamada de curva 
normal ou apenas normal.
São propriedades da curva normal:
• é em forma de sino;
• é simétrica em relação à média (𝜇);
• é assintótica ao eixo da variável.
Na prática, muitas variáveis possuem distribuições que se
assemelham estreitamente às propriedades da distribuição
normal.
Os dados da tabela 1 apresentam a quantidade de
refrigerante contida em 10.000 garrafas de 1 litro,
abastecidas em um dia recente. A variável contínua de
interesse, a quantidade de refrigerante abastecida, pode ser
aproximada por intermédio da distribuição normal. As
medições da quantidade de refrigerante nas 10.000 garrafas
de 1 litro se concentram no intervalo compreendido entre
1,05 até 1,055 litro e se distribuem simetricamente em
torno desse agrupamento, formando um padrão em formato
de sino.
Com base na tabela 1, desenhe o polígono e o histograma
de frequências relativas para a distribuição da quantidade de
refrigerante abastecida em 10.000 garrafas.
Tabela 1
Quantidade abastecida (litros) Frequência relativa
<1,025 48/10.000=0,0048
1,025-1,030 122/10.000=0,0122
1,030-1,035 325/10.000=0,0325
1,035-1,040 695/10.000=0,0695
1,040-1,045 1.198/10.000=0,1198
1,045-1,050 1.664/10.000=0,1664
1,050-1,055 1.896/10.000=0,1896
1,055-1,060 1.664/10.000=0,1664
1,060-1,065 1.198/10.000=0,1198
1,065-1,070 695/10.000=0,0695
1,070-1,075 325/10.000=0,0325
1,075-1,080 122/10.000=0,0122
1,080 ou mais 48/10.000=0,0048
Total 1,000
Quanto maior o desvio padrão 𝝈 de uma curva 
normal, mais os seus ramos se afastarão do eixo 
vertical que passa pela média, como mostra a figura 
a seguir.
Ou seja, como a área abaixo de uma curva de 
probabilidade deve ser igual a 1, quanto mais 
variável for o conjunto de observações, mais 
baixa e larga será a curva correspondente.
Em princípio, para calcularmos 𝑷(𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃)
precisaríamos fazer cálculos complicados, como 
podemos ver pela fórmula a seguir:
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝟐𝝅𝝈𝟐
𝒆
−
(𝒙−𝝁)𝟐
𝟐𝝈𝟐
Uma maneira muito mais simples de fazer 
esse cálculo e, por extensão, muitos 
outros é por meio da chamada curva 
normal reduzida ou padronizada, 
apresentada na figura a seguir:
A curva normal inferior é a normal padronizada, assim, qualquer 
ponto X da curva normal regular corresponde a um ponto z da 
curva normal padronizada, sendo que a relação entre X e z é:
𝑧 =
𝑋 − 𝜇
𝜎
Essa transformação simples dá à normal 
padronizada algumas propriedades notáveis. 
Vejamos:
• Se X for igual à média da normal, ou seja, 𝑋 =
𝜇, então
𝑧 =
𝜇 − 𝜇
𝜎
= 0
• Se X for distante 1 desvio padrão da média, 
ou seja, 𝑋 = 𝜇 ± 1𝜎, então
𝑧 =
𝜇−𝜇±1𝜎
𝜎
= ±1
A normal reduzida tem média 0 e desvio 
padrão igual a 1, ou seja, o valor de z mede o 
número de desvios padrão que o X 
correspondente está distante da média.
Em teoria, o valor de z vai de −∞ a +∞, na 
prática, um valor máximo de z=4 costuma ser 
usado, dado que, para tal valor, a curva normal 
aproxima-se muito do eixo X (ou do eixo z, na 
normal padronizada).
Assim, para saber qual é o valor de 𝑷(𝒂 ≤ 𝑿 ≤
𝒃), ou seja, da área A, reduzimos esses 
pontos a valores 𝑧1 e 𝑧2 da curva normal 
padronizada e usamos os valores já 
tabelados. 
1. Determinar o valor da área entre z=0 e
z=0,40.
Solução: Diretamente da tabela, vamos até a
linha em que z=0,4 e a coluna em que se
marca 0,00; o valor da área procurada está no
cruzamento, é 0,1554.
2. Determinar o valor da área entre z=0 e
z=1,57.
Solução: diretamente da tabela, vamos até a
linha em que z=1,5 e a coluna em que se
marca 0,07; o valor da área procurada está no
cruzamento, é 0,4418.
3. Determinar o valor da área entre z=0 e
z=-2,33.
Solução: como a curva é simétrica em relação
ao zero, temos que a área procurada é idêntica
à área entre z=0 e z=2,33, que é 0,4901.
Exemplo
4. Determinar o valor da área para valores de z
acima de 1,82.
Solução: a tabela nos indica que a área entre
z=0 e z=1,82 é de 0,4656; como a área total
sob cada metade da curva é igual a 0,5, temos:
𝑃 𝑧 > 1,82 = 0,5 − 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 1,82 = 0,5 − 0,4656
= 0,0344.
Exemplo
5. Uma grandeza X comporta-se de acordo
com uma distribuição normal com média 10 e
desvio padrão 2. Encontrar a probabilidade de
que um dado valor da variável:
a) esteja entre 10 e 12,5;
b) esteja entre 9 e 10;
c) seja maior que 11,5;
d) seja menor que 7;
e) esteja entre 7,5 e 11,5.
Exemplo
Cada um dos cálculos exige que haja a transformação para a normal
padronizada.
a) esteja entre 10 e 12,5;
Deseja-se 𝑷 𝟏𝟎 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏𝟐, 𝟓 .
Usando a transformação para a normal padronizada, temos:
𝑧1 =
𝑋1 − 𝜇
𝜎
=
10 − 10
2
= 0
𝑧2 =
𝑋2 − 𝜇
𝜎
=
12,5 − 10
2
= 1,25
Ou seja,
𝑷 𝟏𝟎 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏𝟐, 𝟓 =𝑷 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟏, 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟗𝟒𝟒
Solução
b) esteja entre 9 e 10;
Deseja-se 𝑷 𝟗 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏𝟎 .
Usando a transformação para a normal padronizada, temos:
𝑧1 =
𝑋1 − 𝜇
𝜎
=
9 − 10
2
= −0,5
𝑧2 =
𝑋2 − 𝜇
𝜎
=
10 − 10
2
= 0
Ou seja,
𝑷 𝟗 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏𝟎 =𝑷 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟎, 𝟓 = 𝟎, 𝟏𝟗𝟏𝟓
Solução
c) seja maior que 11,5;
Deseja-se 𝑷 𝑿 > 𝟏𝟏, 𝟓 .
Usando a transformação para a normal padronizada, temos:
𝑧 =
𝑋 − 𝜇
𝜎
=
11,5 − 10
2
= 0,75
Ou seja,
𝑷 𝑿 > 𝟏𝟏, 𝟓 = 𝑷 𝒛 > 𝟎, 𝟕𝟓 = 𝟎, 𝟓 − 𝑷 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟎, 𝟕𝟓 = 𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟐𝟕𝟑𝟒 =
𝟎, 𝟐𝟐𝟔𝟔
Solução
d) seja menor que 7;
Deseja-se 𝑷 𝑿 < 𝟕 .
Usando a transformação para a normal padronizada, temos:
𝑧 =
𝑋 − 𝜇
𝜎
=
7 − 10
2
= −1,5
Ou seja,
𝑷 𝑿 < 𝟕 = 𝑷 𝒛 < −𝟏, 𝟓 = 𝟎, 𝟓 − 𝑷 −𝟏, 𝟓 ≤ 𝒛 ≤ 𝟎 = 𝟎, 𝟓 − 𝑷 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟏, 𝟓 =
𝟎, 𝟓 − 𝟎, 𝟒𝟑𝟑𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟔𝟖.
Solução
e) esteja entre 7,5 e 11,5.
Deseja-se 𝑷 𝟕, 𝟓 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏𝟏, 𝟓 .
Usando a transformação para a normal padronizada, temos:
𝑧1 =
𝑋1 − 𝜇
𝜎
=
7 − 10
2
= −1,25
𝑧2 =
𝑋2 − 𝜇
𝜎
=
11,5 − 10
2
= 0,75
Ou seja,
𝑷 𝟕 ≤ 𝑿 ≤ 𝟏𝟏, 𝟓 = 𝑷 −𝟏, 𝟐𝟓 ≤ 𝒛 ≤ 𝟎, 𝟕𝟓 = 𝑷 −𝟏, 𝟐𝟓 ≤ 𝑿 ≤ 𝟎 +𝑷(𝟎 ≤ 𝒛 ≤
Solução
6. Uma indústria elétrica fabrica lâmpadas que
têm vida útil antes de queimarem,
normalmente distribuída com média igual a
800 horas e desvio-padrão de 40 horas.
Encontre a probabilidade de que a lâmpada
queime entre 778 e 934 horas.
Solução: Deseja-se 𝑷 𝟕𝟕𝟖 ≤ 𝑿 ≤ 𝟖𝟑𝟒 .
Usando a transformação para a normal
padronizada, temos:
𝑧1 =
𝑋1 − 𝜇
𝜎
=
778 − 800
40
= −0,55
𝑧2 =
𝑋2 − 𝜇
𝜎
=
834 − 800
40
= 0,85
Ou seja,
𝑷 𝟕𝟕𝟖 ≤ 𝑿 ≤ 𝟖𝟑𝟒 = 𝑷 −𝟎, 𝟓𝟓 ≤ 𝒛 ≤ 𝟎, 𝟖𝟓 =
𝟎, 𝟑𝟎𝟐𝟑 + 𝟎, 𝟐𝟎𝟖𝟖 = 𝟎, 𝟓𝟏𝟏𝟏.
7. Em um processo industrial, o diâmetro de
um rolamento é uma parte importante do
processo. O comprador determina que as
especificações para o diâmetro sejam 3,0 ± 0,01
cm. A consequência é que nenhuma peça foradessas especificações será aceita. Sabe-se que,
no processo, o diâmetro do rolamento tem
distribuição normal com média 𝜇 = 3,0 e desvio
padrão 𝜎 = 0,005 . Em média, quantos
rolamentos fabricados serão inutilizados?
Solução: Os valores correspondentes aos limites
das especificações são 𝑥1 = 2,99 e 𝑥2 = 3,01 . Os
valores de z correspondentes são
𝑧1 =
2,99 − 3,0
0,005
= −2
e
𝑧2 =
3,01 − 3,0
0,005
= 2
Assim, 𝑷 𝟐, 𝟗𝟗 ≤ 𝑿 ≤ 𝟑, 𝟎𝟏 = 𝑷 −𝟐 ≤ 𝒛 ≤ 𝟐 = 𝟎, 𝟒𝟕𝟕𝟐 +
𝟎, 𝟒𝟕𝟕𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟓𝟒𝟒.
Assim, em média 1-0,9544=0,0456 ou seja, 4,54% dos
rolamentos serão inutilizados.
 Barbetta, P. A.; Reis, M. M.; Bornia, A. C. Estatística 
para cursos de engenharia e informática. 3 ed. São 
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 Fonseca, J. S.; Martins, G. A. Curso de Estatística. 6 
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 Levine, D. M. [et al.]. Estatística: teoria e aplicações: 
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