ANALISE DE ESTRUTURAS APLICADAS

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ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
43
7.0 Estruturas planas aporticadas: 
 Pórticos são estruturas reticuladas, formadas por barras em direção qualquer e conexões rígidas.
Estruturas reticulada - é aquela formada por barras que tem uma dimensão preponderante em 
relação às outras duas. 
Conexão rígida - é uma região de ligação entre duas ou mais barras, trocando força e momento 
fletor. 
Observação: Rótula é uma conexão não rígida. 
 Tipos de pórtico (ou quadro): 
 Bi-apoiado: Tri-articulado: 
 Atirantado ou Composto: 
 escorado: 
 Engastado e livre: 
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
44
8kNm 
F
1
2
,8
HF = 9,6 
4kN/m
A
4m 2m 
VA = 18,4 
VF = 18,4 
C D
3m 
2m 
2m 
9,6
16kN
B
E
 !
sen = 0,6 
cos = 0,8 
 Com barras curvas: 
Exercício: 
7.1 Bi-apoiado: 
 a) Reações: 
"
#
$
%&
%'())
*%+
kNV
V
F
F
F
y
4,18
000,648,124,18
0
"
#
$
%&
%(()()(')(
*%+
kNV
V
M
A
A
F
4,18
000,100,6400,48,1200,16,9800,4
0
"
#
$
%&
%)
*%+
kNH
H
F
F
F
x
6,9
06,9
0
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
45
F
C
D
B
E
A
(-)
-9,6
-18,4 
(-)
(-) 
(-) 
-18,4 
-5,6
F
C
D
B
E
A
-9,6
(+)
(-) 
9,6
(+)(+) 
(-)
-10,4 
5,6
8,0x
 b) DEN(kN): 
 c) DEC(kN): 
, pela esquerda
, pela direita
ou 
4,18
6,9
6,58,124,18
4,18
)%
)%
)%')%
)%
F
Cd
Bd
A
N
N
N
N
0,800,24
0,84,184,10
4,1000,446,5
6,58,124,18
6,9
%(%
%')%
)%()%
%)%
)%
Dd
Dd
De
Cd
Bd
Q
Q
Q
Q
Q
mx
QF
40,1
4
6,5
6,9
%%
%
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
46
E
F
C D
B
A
-8
(-)
(-) 
(-)(-)
-27,2
-36,8
(-)
-27,2 
-8
-28,8Mmáx 
8 28,8 
C
S2 S3
D
S4
S1 S5
, pela esquerda
, pela direita 
, pela esquerda
, pela esquerda
, pela direita
 d) DMF(kNm): 
Observações: 
1)
8
8
00,44 2
%
(
2
8
00,24 2
%
(
28,232,27
2
40,1
40,1440,16,5
8,2800,36,9
0
8,3600,36,900,100,24
8,362,2700,200,4400,46,5
2,2700,26,98
8
)%)(()(%
)%()%
%
-
-
"
-
-
#
$
)%()(()%
)%)(()(%
%%)%())%
)%
máx
Db
F
De
Dd
CCdCe
A
M
M
M
M
M
MMM
M
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
47
-27,2
-27,2 -36,8 -8 
-28,8 
10kNm 
FHF = 8 
6kN/m
A
4m 2m 
VA = 20,75 
VF = 3,25 
C
D 1,50m 
2,50m 
2,50m 
B
E
 !
sen = 0,6 
cos = 0,8 1,50m 
8kN 
2m 
 ; 
 ; 
2)
7.2 Bi-apoiado: 
kNQ
kNQ
S
S
6,5
6,9
2
1
%
)%
kNN
kNN
S
S
6,9
6,5
2
1
)%
)%
"
#
$
)%
)%
kNmM
kNmM
S
S
2,27
2,27
2
1
-
"
-
#
$
)%
)%
)%
kNmM
kNmM
kNmM
S
S
S
8,28
8
8,36
5
4
3
Em um nó com duas barras 
perpendiculares entre si, o esforço cortante 
de uma é igual ao esforço normal da outra!
O somatório de momentos em um nó é 
igual a zero!
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
48
-3,25
F
F
A
C
D
E
B (-) 
-20,75
(-)
-1,95
4,45 
(+)
A
C
D
E
B
(-)
-2,6
-7,4
(-)
F8
3,25
E
 !
8
 !
 !
(+)
20,75
x
, pela 
 direita
 a) Reações: 
 b) DEN(kN): 
 c) DEC(kN): 
"
#
$
%&
%'()
*%+
kNV
V
F
F
F
y
25,3
000,4675,20
0
"
#
$
%&
%()(())(
*%+
kNV
V
M
A
A
F
75,20
050,1800,600,461000,8
0
kNHF Fx 80 %*%+
kNN
kNN
Ee
F
95,1cos845,4
45,4sen25,3cos8
)%.)%
%.).%
 
 
mx 4583,3
6
75,20
%%
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
49
F
A
C
D
E
B
(-) -10
18,5
(+)
25 
-10
25 
Mmáx 
, pela direita
, pela direita
, pela direita
, pela direita 
 d) DMF(kNm): 
6,2sen84,7
4,7sen8cos25,3
25,300,4675,20
75,20
)%.')%
)%.).)%
)%()%
%
 
 
Ee
F
De
Cd
Q
Q
Q
Q
88,25
2
4583,3
64583,375,2010
2
%()(')%máxM
2550,1800,3800,425,3
5,1800,225,35,18
0
2500,200,4600,475,2010
%()('(%
%('(%
%
%(()(')%
Dd
E
F
De
M
M
M
M
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
50
B
HA = 0 
D
A
VA = 8,5 
2,25t/m 
4,00
 !
sen = 0,6 
cos = 0,8
2t/m 
2t/m 
9t 4t
4t
B
C
2,00 2,00
VD = 8,5 
(-) 
(+) 
 !
8,5-4 = 4,5 
4,5.sen = 2,7 
4,5.cos = 3,6 
 !
2,7
D
A
C
-2,7 
8,5-4 = 4,5 
4,5.sen = 2,7 
4,5.cos = 3,6 
7.3 Barra inclinadas: 
 Solução: 
 DEN(tf): 
00 %*%+ Ax HF
"
#
$
%&
%()('('(
*%+
tfV
V
M
D
D
A
5,8
000,800,7400,4900,14
0
"
#
$
%&
%')))
*%+
tfV
V
F
A
A
y
5,8
05,8494
0
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
51
(+) 
8,5 D
A
C
B
(+)
(-) (-)
-8,5
4,5
-4,5
3,6
-3,6
(+)
D
A
C
B
1
(+)
(+)
1
13
13
13 
13
Mmáx
normal à direção x
x = 2,00 
 DEC(tf): 
 DMF(tfm): 
CdBe MM %%()(% 1300,1425,8
-
-
-
-
-
"
--
-
-
-
#
$
%'%
(
'%
.
'%
%()('%.).'%
%(()'()'(%
5,175,413
8
00,425,2
13
8
13
5,17
2
00,2
25,200,25,413
2
5,17
2
00,2
00,225,2)00,200,1(4)00,200,2(5,8
22
22
lq
M
ou
x
qxQMM
ou
M
máx
iimáx
máx
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
52
7.4 Quadro engastado e livre: 
 Solução: 
 DEN(tf): 
MA = 1
HA = 1 
VA = 8
3t
1t/m 
1t 
1t 
C
A
B
D E
F
2,00
-7
1,00
2,00 
2,00 
tfHF Ax 10 %*%+
"
#
$
%&
%()('()('
*%+
tfmM
M
M
A
A
A
1
000,2400,2100,1100,23
0
"
#
$
%&
%)())
*%+
tfV
V
F
A
A
y
8
0100,413
0
C
A
B
D E
F
(-)
-1
-8
(-)
(-)
3,00
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
53
 DEC(tf): 
 DMF(tfm): 
C
A
B
D
E
F
(-)
1
-1
(+)
(-)
-3 
(+)
4
C
A
B
D E
F
(-)
-1
-3
(-) 
(-)
-8 
-6 
(-) 
(-) 
-2
-1
2
8
00,41 2
%
(
tfmM
tfmM
De
Bd
200,2100,1100,411
200,1100,211
)%('('())%
)%('())%
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
54
VB = 4 VA = 4 
HA = 0
4tm 
VBVA
A B
4,00m 
2,00m 
2,00m 
2t/m 
4tm 
C D
E
F
HA A B
C D
E
F
N = 2 
N = 2 
7.5 Quadro atirantado ou escorado: 
 Como a barra CD está descarregada e rotulada nas extremidades, ela tem, em todas as suas seções, 
M = Q = 0, podendo estar submetida, apenas, a um esforço normal constante (no caso de ser de tração a 
barra será denominada tirante e, no caso de ser de compressão, será dita uma escora). 
 Nada se alterará, então, sob o ponto de vista estático, se rompermos a barra CD, substituindo-a por 
um par de esforços normais N, de sentidos opostos e aplicados no quadro ABEF. 
 (pelas forças da direita) 
00 %*%+ Ax HF
"
#
$
%&
%(()(
*%+
tfV
V
M
A
A
B
4
000,200,4200,4
0
"
#
$
%&
%()'
*%+
tfV
V
F
B
B
y
4
000,424
0
0%FM
"
#
$
%&
%)(
,
tfN
N
2
0400,2
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
55
-4
A B
-2
C D
E
F
(-)
(+)
2
(-) (-)
-4 -4 
A B
C D
F
(+)
E
(-) 
(-) (+)
4
-2 2
 DEN(tf): 
 DEC(tf): 
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
56
VB = P/2A B
C D
FE
(-)(-) 
-4
-4 -4-4 
VA = P/2
A B
P
/!
/!
C
 DMF(tfm): 
7.6 Barra curva: 
4
8
00,42 2
%
(
-
-
-
"
-
-
-
#
$
.%.%
.%.%
)
.
%.).%
//
//
//
cos
2
cos
sen
2
sen
)cos1(
2
)cos(
P
VN
P
VQ
RP
RRVM
AS
AS
AS
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
57
A B/! /!
C
(+)
A B/! /!
C
(+)
(-) 
A B/! /!
C
(-) (-) 
 DMF: 
 DEC: 
 DEN: 
)cos1(
2
/)
. RP
)cos1(
2
/)
. RP
2
RP
M máx
.
%
/sen
2
.
P
/sen
2
.)
P
2
P
2
P
)
/cos
2
.)
P
/cos
2
.)
P
2
P
)
2
P
)
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
58
VB = P/2 VA = P/2 
A B
P
/!
C
M
VB = 8 VA = 4 
A B
C
D
2t/m 
3t
5t
6,00
HA = 2t 
4,00
3,00
Observação: Marcando os valores dos momentos a partir de uma reta horizontal, o diagrama será 
retilíneno, conforme figura a seguir, pois os momentos fletores crescem linearmente segundo 
o valor de AM = R . (1-cos /).
Exercício:
)cos1(
22
/)
.
%.
RP
AM
P
2
RP
M máx
.
%
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
59
44
A B
C D-8
-8
-20
-20 
(-) (-)
(-)
15-9 = 6 
C D
2t/m 
52+3 = 5 
8 20
 DMF(tfm): 
Observação: Barra CD isoladamente 
 = 
"
#
$
%&
%)'
*%+
tH
H
F
A
A
x
2
053
0
"
#
$
%&
%(()('(
*%+
tfV
V
M
A
A
B
4
000,300,6200,4300,6
0
"
#
$
%&
%'()
*%+
tfV
V
F
B
B
y
8
000,624
0
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
60
44
C D
2t/m 
5
8 20 D
5
C
C D
8
20
DC
5x3 = 15 
8
20
15-9 = 6 
 + 
 Diagramas: 
 + = 
Resumindo: Para o traçado do diagrama de momentos fletores na barra curva CD, a partir de uma reta 
horizontal CD, marcamos a partir da linha de fechamento o diagrama de viga biapoiada mais 
o diagrama devido apenas às forças horizontais. 
tfm9
8
00,62 2
%
(
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
61
HC = 3 
HC = 3 
G
HG = 3HD = 0 DA
B
C
E F
1t/m 
3t
2t
4
,0
0
 
2
,0
0
 
2
,0
0
 
8,00 5,00 3,00 
VA = 4,75 VD = 6,5 VG = 6,75 
G
HG = 3HD = 0 DA
B
C
E
F
3t
2t
VA = 4,75 
VD = 6,5 VG = 6,75 
1t/m 
1t/m 
C
VC = 3,25
VC = 3,25
1
2
7.7 Quadro composto: 
 Decomposição: 
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
62
1
2
 : 
 : 
 DEN(tf): 
(-) 
-3
(-)
-3
-4,75 (-)
-6,75-6,5-4,75
(pelas forças da esquerda) 
"
#
$
%&
%)
*%+
tH
H
F
C
C
x
3
03
0
"
#
$
%&
%(()()(
*%+
tfV
V
M
A
A
C
75,4
000,400,8100,2300,8
0
"
#
$
%&
%')
*%+
tfV
V
F
C
C
y
25,3
0875,4
0
"
#
$
%&
%)
*%+
tH
H
F
G
G
x
3
03
0
"
#
$
%&
%()()()('(
*%+
tfV
V
M
D
D
G
5,6
000,4800,3200,825,300,4300,8
0
"
#
$
%&
%')))
*%+
tfV
V
F
G
G
y
75,6
02825,35,6
0
0%CM
"
#
$
%&
%(
*
0
000,4
D
D
H
H
(-) (-) (-)
-3,25 (-)
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
63
 DEC(tf): 
 DMF(tf): 
-6 -6 -12(-)
-6
-18
-18
(-)
8
-12
-12
8
(+)
(-)
(+)
(-) 
3
(+)-3,25 
-3
(-)
(+)
-4,75
-3 (-) 
-4,75(-)
-3,25
-2
(-) 
-6
(-) 
(+)
(-)
-6
(-)
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
64
D I
2tm 
B
A 1t 
2,00m 
1t
1t
2tm C
G H
E
F
2,00m 2,00m 
2,00m 
2,00m 
2tm 
1t 1t
1t 
2tm
H
HF = 1t
HG = 2t HG = 2t 
HC = 2t HC = 2t 
HA = 3t 
VA = 2t VD = 2t 
7.8 Quadro composto: 
 Decomposição: 
2%N
2%N
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
65
-1
2
246
6
2
2
(+)
(-) 
(+)
2
(+)
3
(+)2
(+)
(-) -2
 DMF(tfm): 
 DEN(tf): 
2
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
66
BA
HA = 3 
2,00m 
HB = 3 
VA = 6 VB = 10 
2,00m 2,00m 2,00m 2,00m 
3
,0
0
m
 
3
,0
0
m
 
4t
2t
2t 
1t/m 
6tm
6tm
C D E
F H
G
J
 !
sen = 0,6 
cos = 0,8
2
2
6
3
7.9 Quadro triarticulado: 
 Solução: 
(pelas forças da esquerda) 
"
#
$
%&
%)
*%+
tfH
H
F
B
B
x
3
03
0
"
#
$
%&
%('()()()(
*%+
tfV
V
M
A
A
B
6
000,2200,2400,4800,6200,8
0
"
#
$
%&
%'))))
*%+
tfV
V
F
B
B
y
10
024826
0
0%GM
"
#
$
%&
%'(()()()(
*
tfH
H
A
A
3
0600,200,4100,2200,600,46
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
67
BA
-3
C
D E
F H
G
J
(-)
(-)-6
(-)-10
(-)
-2,4
-3,6
-4,8
(-) 
(-) -6
-6
 !
0!
(pela esquerda)!
 DEN(tf): 
Cálculos: 
 ou: 
68,036,06cossen )%()()%()()% AACd HVN
1 2-"
-
#
$
)%()())%
)%(')%((')%
8,4cos3sen26
8,46,026sen216
 
 
Je
Je
N
ou
N
1 2-"
-
#
$
)%('()())%
)%(')%
6.3sen2cos3sen26
6,3sen28,4
 
 
Jd
Jd
N
ou
N
1 2-"
-
#
$
)%()()))%
)%()%
4.2cos3sen426
4,2cos3
 
 
Ge
Ge
N
ou
N
3)%GdN
4,2cos3 )%) 
ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
68
BA
C
D E
F H
G
J
(-)
-4
(-)
-4
(-) -1,8
-0,2
(-) -3
3
3(+)
(+)
1,4
(+)
2
DEC(tf): 
 Cálculos: 
3sen3cos6 %()(% CdQ
1 2
1 2"
#
$
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ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES I
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C D E
F
G
J
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