apostila engrenagens

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Apostila Engrenagens e Juntas – Prof. Patric Daniel Neis 
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APOSTILA DE ENGRENAGENS, CARDAN E 
HOMOCINÉTICA 
 
 
 
 
Apostila da disciplina mecanismos ministrada pelo Prof. Patric 
Daniel Neis no curso de Engenharia Mecânica 
 
Disponível em: http://www.ebah.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
Porto Alegre, 2012 
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Engrenagens são elementos de máquinas que transmitem o movimento por meio de 
sucessivos engates de dentes, onde os dentes atuam como pequenas alavancas. Um par de 
engrenagens é, essencialmente, um dispositivo de troca de torque por velocidade e vice-versa. 
Historicamente, rodas de atrito são a forma mais comum e simples de transferir movimento 
entre eixos. Mas pode haver escorregamento à medida que o torque começa a se tornar mais 
elevado. Atualmente, engrenagens são padronizadas pela AGMA (American Gears 
Manufacturer Association). 
A Figura 1 exemplifica um par de engrenamento (dentes retos ou spur gears) (a) externo e (b) 
um par de engrenagens interna. 
 
Figura 1- Pares de engrenagens: (a) externo e (b) interno. 
Observações importantes: 
 Duas engrenagens acopladas são chamadas de par de engrenagens. A maior delas 
chama-se coroa e a menor pinhão. 
 Quando se tem mais de duas engrenagens acopladas, o sistema é chamado de trem 
de engrenagens. 
 Polias Versus engrenagens: a diferença é que em engrenagens o próprio elemento faz 
o engrenamento (um par de elementos –engrenamento direto). Em polias, existe um 
terceiro elemento, que é a correia. 
 Elementos ligados por corrente (no caso da bicicleta, por exemplo) são considerados 
rodas dentadas. 
 
Atenção especial deve ser dada a nomenclatura dos diferentes componentes 
mecânicos utilizados na engenharia, conforme destaca a Figura 2. 
 
 
Figura 2 – Diversidade de componentes mecânicos empregados em engenharia. 
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Lei fundamental do engrenamento: a razão entre as velocidades angulares das engrenagens 
deve permanecer constante durante o engrenamento. Para isso, o ponto primitivo deve 
permanecer estacionário , o que significa que a linha de ação para cada novo ponto de contato 
instantâneo precisa sempre passar pelo ponto primitivo estacionário. 
As primeiras engrenagens eram feitas de madeira e não possuíam um engrenamento suave. 
Portanto, não obedeciam a lei fundamental do engrenamento. Atualmente, engrenagens 
possuem geometria específica de dente, sendo os 2 perfis mais empregados o evolvental 
(perfil de dente evolvente) e o perfil cicloidal. Ambos garantem a mesma relação de velocidade 
durante o engrenamento das engrenagens. Um par de engrenagens nestas circunstâncias é 
dito, portanto, par conjugado (mesma relação de velocidade angular entre os eixos). As curvas 
involutas de duas engrenagens são ditos perfis conjugados. Esse é o perfil mais usado 
atualmente. O perfil de dentes cicloidal é utilizado principalmente em alguns relógios de pulso 
e de parede. A reta normal em qualquer ponto de uma evolvente é tangente à circunferência 
base (Fig. 3). O perfil evolvente é vantajoso, pois mantém a relação de velocidade mesmo se a 
distância entre centros é alterada. O custo de fabricação de dentes com esse perfil é 
relativamente baixo. O perfil cicloidal não possui essa propriedade. Em outras palavras, nas 
engrenagens cujo perfil de dente é evolvente, a distância entre centros pode ser alterada sem 
violar a lei fundamental do engrenamento, ou seja, a velocidade de saída permanecerá 
constante para uma velocidade de entrada também constante. 
 
Figura 3- Perfil envolvente: curva involuta. 
O esquema da Figura 4 ilustra a mudança de distância entre centros em engrenagens com 
perfil evolvente. 
 
Figura 4 – Ilustração da mudança da distância entre centros de duas engrenagens com perfil 
de dente envolvente [Adaptado: Norton, 2004]. 
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O esquema da Figura 4 pode ser explicado por meio da Equação 1, que descreve a relação 
entre o diâmetro primitivo (D) e o diâmetro de base (Db) de uma engrenagem. Como D 
aumenta com o aumento da distância entre centros e dado que Db é um parâmetro imutável de 
uma engrenagem, o ângulo de pressão aumenta. 
 (1) 
Relações matemáticas e conceitos importantes de engrenagens 
Em um par de engrenagens a velocidade linear da engrenagem 2 é igual a da engrenagem 1, 
conforme definido pelas equações 2 e 3: 
 (2) 
 (3) 
 
A razão da velocidade angular ou relação de transmissão é a razão entre as 
velocidades. Também pode ser definido como a razão de qualquer medida geométrica (raio r, 
diâmetro d, número de dentes Z), desde que o par de engrenagens possua o mesmo módulo 
(relação entre o diâmetro primitivo e o número de dentes). A Equação 4 define a razão da 
velocidade angular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (4) 
 
A razão de torque ou ganho mecânico é o inverso da relação de transmissão. É também 
conhecido como a vantagem mecânica das engrenagens: 
 
 
 
 (5) 
A razão de engrenamento é entendida como a razão de velocidade ou de torques, qualquer 
deles que seja maior do que 1. Pode ser entendida como a relação de velocidades da coroa 
sobre o pinhão. 
Módulo de uma engrenagem é a relação entre o diâmetro primitivo D e o número de dentes Z, 
conforme a equação (5). O módulo é medido em mm. 
 
 
 
 (6) 
Passo diametral é o oposto ao módulo, ou seja, 1/m. É uma medida padrão americano. 
Passo circular ou frontal ou passo de referência (Figura 5) é a distância de um dente até o 
dente adjacente, medido sobre o diâmetro ou círculo primitivo. 
 
 
 (7) 
O espaço ou vão mais a espessura do dente é igual ao passo circular. 
)cos(DDb 
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Figura 5 – Nomenclaturas de engrenagens 1 [Fonte: Shiegley, 2005]. 
 
Razão de contato: número de pares de dentes simultaneamente em contato. Em caso igual a 
1 o contato ocorre na ponta do dente, onde tem-se o maior momento fletor. Em razões de 
engrenamento maiores do que 1, ainda assim haverá momentos em que apenas 2 dentes 
estarão em contato. Porém, isso acontecerá em uma região abaixo da ponta do dente. Para um 
engrenamento suave, o número mínimo de dentes em contato é de 1,2. A maior parte dos 
engrenamentos possui razão de contato entre 1,4 e 2,0. Pares de engrenagens podem até ter 
sido projetados para alta razão de contato. Mas se a qualidade de fabricação for baixa, a razão 
de contato verdadeira pode ser baixa devido às folgas. Uma razão de contato de 1,35 significa 
que sempre haverá pelo menos 1 dente (ou par de dentes) em contato e que há 2 pares de 
dentes em contato por 35% do tempo. 
Pontoprimitivo: é o ponto de tangência entre duas circunferências primitivas e está sobre a 
linha de centro entre os eixos. 
Linha de ação: é a linha imaginária que passa pela tangente das duas circunferências de base 
e pelo ponto primitivo. O contato desloca-se por essa linha. Supondo ausência de atrito, é o 
linha por onde a força resultante aponta. A distância entre os pontos de entrada e saída do 
contato ao longo da linha de ação da origem ao comprimento de ação. É normal ao perfil da 
curva involuta dos dentes em contato. 
Ângulo de pressão: formado entre a linha de ação e a direção da velocidade no ponto 
primitivo. Engrenagens empregam ângulos de pressão padronizados (14,5°; 20°, 22,5° e 25°). 
Uma engrenagem possui 4 diferentes circunferências (Figura 6): 
i) Circunferência de cabeça ou circunferência de adendo: circunferência que passa pela 
cabeça da engrenagem. É uma medida física, que pode ser medida com um paquímetro. Em 
outras palavras, é a circunferência que coincide com o topo do dente. É também igual ao 
diâmetro externo. 
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ii) Circunferência de pé ou circunferência dedendo ou circunferência de raiz: 
circunferência que passa pela pelo pé da engrenagem. Em outras palavras é a circunferência 
que coincide com o fundo do dente. 
iii) Circunferência primitiva ou de referência: círculo imaginário que passa pelo ponto 
primitivo. É um círculo teórico sobre qual os cálculos são feitos. De acordo com a teoria, esse 
círculo representa o diâmetro sobre o qual o par de engrenagens gira sem escorregamento 
(substitui por roda de atrito). Para uma velocidade constante, o ponto primitivo P deve ser 
imutável. Trata-se de uma circunferência “virtual” e que não pode ser medida por instrumento. 
iv) Circunferência de base: Da mesma forma que a circunferência de referência, trata-se de 
uma circunferência “virtual” e que não pode ser medida por instrumento. A circunferência de 
base está relacionada ao diâmetro de base pelo ângulo de pressão. É necessariamente menor 
que a circunferência primitiva. 
 
Figura 6 – Ilustração de duas engrenagens, mostrando suas circunferências. 
Folga: é a distância excedente da circunferência de dedendo de uma engrenagem em relação 
a circunferência de adendo do seu par de engrenagem. Existe ainda a folga de engrenamento, 
essa na direção circular. Ocorre devido as tolerâncias entre a largura e vão dos dentes sob 
engrenamento. Passa a ser um problema quando ocorre a reversão do torque durante um 
engrenamento, produzindo barulho e desgaste prematuro das engrenagens. 
Altura de adendo (ou altura de cabeça ou saliência): é a altura correspondente à distância 
radial entre a circunferência primitiva e a circunferência de adendo ou o topo de cada dente. 
Adendo = “adicionar a “ 
Altura de dedendo (ou altura de pé ou altura de raiz ou reentrância): é a distância radial 
entre a circunferência primitiva e a circunferência de dedendo, raiz ou pé ou o fundo do dente. 
Dedendo = ” subtrair de” 
A Figura 7 ilustra algumas das nomenclaturas mencionadas acima. 
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Figura 7 –Nomenclaturas de engrenagens 2 (Norton, 2004). 
Passo frontal (p): como já explicado na eq. (7), o comprimento de um dente e um espaço 
medido na circunferência primitiva. A literatura também chama de passo circular de referência e 
é calculado como: 
 
 
 
 (8) 
Espessura do dente: Shigley chama de largura do dente. Portanto espessura e largura são 
confusos. 
Espaço ou largura do vão: é ligeiramente diferente da espessura do dente para permitir o 
encaixe. Essa pequena folga é problema com reversão (ruído, desgaste, vibração). Sem 
reversão, não há problema. A Figura 8 ilustra algumas das nomenclaturas mencionadas acima, 
incluindo o espaço. 
 
 
Figura 8 – Ilustração 3D da nomenclatura de engrenagens. 
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Critério para não ocorrer adelgaçamento: Rb<(R-d)  raio de base deve ser menor do que 
o raio primitivo menos o tamanho do dedendo. Abaixo do círculo de base não há curva 
evolvente do dente. 
Tabela de tamanhos padrões de dentes (adendo e dedendo) 
 
Tamanhos de módulo padrão: 0,3; 0,4; 0,8; 1; 1,25; 1,5; 2,3; 4,5; 6; 8; 10; 12; 16; 20; 25 
Tamanhos de passo diametral P padrão: 1; 1,25; 1,5; 1,75; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 14; 
16;18;20;24;32;48;64;72;80;96;120;150;200. 
Critério de número de dentes: relação número mínimo e máximo de dentes (ângulo de 
pressão de 20): 
Min=13 – Max=16 
Min=14 – Max=26 
Min=15 – Max=45 
Min=16 – Max=101 
Min=17 – Max=1309 
Procedimento de projeto: escolha o módulo e ângulo de pressão e diâmetros primitivos (este 
último dentro dos critérios de espaço e relação de transmissão). Calcule Z e Rb, a partir de 
Z=D/M e verifique se Rb<Rp-(dedendo). Verifique se os resultados satisfazem os critérios de 
número de dentes e adelgaçamento. 
Exemplo de projeto de engrenagem: 
Projete um par de engrenagens de relação de transmissão igual a 0,4. Critério é distância entre 
centros menor do que 60mm, sem ocorrer adelgaçamento. 
Pelo SI: 
I=0,4 
Começamos chutando um diâmetro de pinhão = 10mm. Logo, coroa é de 25mm. 
Como módulo é m=D/Z, para um mesmo diâmetro, quanto maior m, menos dentes na 
engrenagem. Quanto menos dentes, maior é o tamanho dos mesmos. Módulo deve ser 
pequeno para termos grande número de dentes. 
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Escolhemos módulo pequeno para que altura do dente seja pequena, m=0,3: 
Z1=D/m = 10/0,3= 33,3 dentes (número quebrado de dentes, logo vamos aumentar um pouco o 
diâmetro de forma a termos um número inteiro. 
D1=34dentes*0,3mm/dentes = 10,2mm 
D2=10,2/0,4 = 25,5mm 
Z2=25,5*0,3= número não inteiro de dentes 
Logo, como temos que ter número de dentes inteiro, precisamos usar um módulo que 
proporcione números inteiros. Tentaremos m=1: 
m=1 
Z1=1*10mm =10mm (temos que usar número de dentes de 12, logo aumentamos D1 para 
12mm ) 
D1=12mm 
Z1=12*1=12 dentes 
Z2=30mm*1=30dentes (excede o número máximo para 12 dentes) 
 
Usaremos D1=16mm e D2 = 40mm. 
Z1=16dentes e Z2=40dentes 
R1=8mm e R2=20mm 
a=1mm e d=1,25mm 
Logo, raios de base precisam ser: Rb1<6,75mm e Rb2<18,75mm 
Para ângulo de pressão de 20graus,temos: 
Rb1=8*cos(20) = 7,51mm (não atende critério) 
Rb2=20*cos(20)=18,79mm (atende critério) 
Aumentando o ângulo de pressão: 
Rb1=8*cos(25) = 7,25mm (não atende critério) 
Rb2=20*cos(25)=18,12mm (atende critério) 
Como já diminuímos o módulo e tb aumentamos o ângulo de pressão, resta-nos mexer nos 
diâmetros. Começamos pelo maior possível, que é 34mm e 85mm. 
M=1 
R1=17mm e R2=42,5mm 
Z1=34dentes e Z2=85dentes 
Critério: Rb1<17-1,25 = 15,75mm 
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Critério Rb2<42,5-1,25 = 41,25mm 
Rb1=17*cos(20)=15,97mm (não atende) 
Rb2=42,5*cos(20)=39,94mm (atende) 
Vamos tentar ângulo de pressão de 25: 
Rb1=17*cos(25)=15,40mm (atende) 
Rb2=42,5*cos(25)=38,52mm (atende) 
 
A título de curiosidade, vamos ver o que ocorre com módulo grande, m= 25: 
Z1=m*D1 = 25*25 = 625 dentes 
Z2 = m*D= 25*10 = 250 dentes 
Raios de referência ou primitivo = 5mm e 12,50mm 
Escolhendo ang. de pressão de 25: a=1m e d=1,25m  a=25mm e d=31,25mm 
O adendo e dedendo ficaram muito grandes. Iremos escolher um módulo pequeno, m=1: 
Raio de base = Rb1= 5*cos(25)=4,53mm 
Rb2=12,5*cos(25)=11,32mm 
 
Engrenagem helicoidal: possui ângulo de hélice, que é o ângulo dos seus dentes em relação 
ao eixo, um passo circularPc (também chamado de passo circular), passo normal (Pn), Mn e 
Mf são os módulos normal e frontal, respectivamente. A relação entre os passos circular e 
normal é: Pn=Pc*cos(β). 
 
Figura 9 – Definição do passo numa engrenagem helicoidal. 
Cálculo de engrenagens de dentes retos e helicoidais: 
Comprimento primitivo: Cp, Número de dentes: Z, Diâmetro primitivo: Dp, Módulo: m 
Passo circular: Pc 
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Como calcular o diâmetro primitivo a partir do módulo e número de dentes: 
Pc=Mf* π 
Pn=Mn* π 
Cosβ = Pn/Pc = Mn* π/ Mf* π = Mn/Mf 
Cp = Z.Pc 
Dp = Cp/π 
Dp = Z.Pc/ π 
Mf = Dp/Z 
Pc = Mf. π 
Dp = Z.Mf 
Como calcular o módulo a partir da distância entre duas engrenagens e diâmetros externos: 
Distância entre os eixos: d, Diâmetro externo: De 
d=(Dp1+Dp1)/2 (a distância entre centros é no ponto de contato – primitivo- e por isso que é 
igual a soma dos diâmetros primitivos) 
De=Dp+2Mn (como módulo normal é a altura de adendo, logo deve ser somada para termos o 
diâmetro externo) 
d=[(De1 – 2Mn) + (De2 – 2Mn)]/2 
Agora é só isolar o Mn. 
Exemplo 1: Um par de engrenagens cilíndricas helicoidais tem De1=125,26mm, De2=206,54 e 
distância entre centros de 160,4mm e Z1=28. Calcule o módulo normal, o diâmetro primitivo 
Dp1 e ângulo da hélice. 
Resp. Mn=2,76, Dp1=119,76mm, Cosβ=0,6429, 
 Cálculo de engrenagens cônicas de dentes retos: 
Ângulo primitivo ou ângulo do cone de referência: δ, Usar subíndice “c” ou “pin” para designar, 
respectivamente, coroa ou pinhão. R é o raio, ω é a velocidade angular. 
A Fig. 10 mostra o conceito do ângulo do cone de referência δ. 
 
Figura 10 – Ângulo do cone de referência. 
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Aqui não faz distinção entre módulo frontal e normal. 
De=Dp +2*M*cos δ 
Dp = M.Z 
De = M.Z + 2*M*cos δ 
tan δc =rc/rpin = Dc/Dpin = ωpin/ωc = Zc/Zpin 
tan δp =rpin/rc = Dpin/Dc = ωc/ωpin = Zpin/Zc 
Exemplo: Calcule o módulo para um par de engrenagens cônicas com Zp=30, Zc=120, 
Dep=63,88. Resp.: M=2 
 
Figura 11 – Definição do ângulo do cone de referência para pinhão e coroa. 
tan δp = Dpin/Dc = Zpin/Zc = 30/120 = 0,25 
δp=14,03° 
Dp=M.Z 
Dep = Dp +2M cos(δp) 
63,88 = M.30 + 2M. cos(14,03) M=2 
Condições para engrenamento: mesmo módulo e ângulo de pressão!! 
Classificação das Engrenagens 
 As engrenagens podem ser classificadas de acordo com a posição relativa dos eixos 
de revolução. Esses eixos podem estar: 
• Paralelos; 
• Intersecionados ou concorrentes; 
• Nem paralelo nem intersecionados. 
Dpin
δpin
δc
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Eixos paralelos 
I) Engrenagens cilíndricas de dentes retos: é sempre classificada como eixos paralelos. Pode 
ser de engrenamento interno (mesmo sentido de rotação) ou externo (mudança no sentido de 
rotação). Esse tipo de engrenagens tem como vantagens baixo custo,montagem e 
dimensionamento mais fácil, baixo escorregamento e elevado rendimento (em torno de 95 a 
99%). Além disso, não transmitem cargas axiais, o que leva a uma baixa solicitação dos 
mancais. Supondo ausência de atrito, a força ocorre sobre a linha de ação. Neste caso, 
ocorrem 2 tipos de forças: força radial e tangencial. Como desvantagem esse tipo de 
engrenagem possui o contato em linha, o qual ocorre bruscamente, gerando ruído e vibração. 
A Figura 9 apresenta algumas engrenagens cilíndricas de dentes retos. 
 
 
Figura 12 – Exemplos de engrenagens cilíndricas de dentes retos, as quais pertencem sempre 
a classificação de eixos paralelos. 
II) Engrenagens cilíndricas helicoidais: podem ser configuradas em eixos paralelos, embora 
também podem ser usadas como eixos nem paralelos e nem interseccionados (engrenamentos 
cruzados). Essas engrenagens possuem um ângulo de hélice do dente em relação ao eixo. 
Caso o comprimento do eixo fosse grande suficiente, o dente daria uma volta completa (360º). 
Apresentam as seguintes vantagens em relação às engrenagens de dentes retos: maior 
capacidade de transmitir torque devido a maior área de contato e também porque o dente é 
mais grosso na direção da carga. Ocorre engrenamento deslizante (suave), sem choques entre 
os dentes, sendo, portanto, um engrenamento mais silencioso e suave do que engrenagens de 
dentes retos. O contato vai aumentando aos poucos durante o engrenamento, conforme 
ilustração da Figura 10. 
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Figura 13 – Caminho do contato sobre o dente de uma engrenagem helicoidal [Fonte: AGMA, 
1990]. 
Como desvantagens, as engrenagens helicoidais tem um dimensionamento, fabricação e 
montagem mais difícil, além de rendimento um pouco menor devido ao maior escorregamento. 
 Engrenagens cilíndricas helicoidais exigem mancais mais robustos, uma vez que transmitem 
cargas axiais (além da tangencial e radial), que tendem a separar os eixos (Figura 14). 
Esse problema pode ser contornado usando o engrenamento por um par de engrenagens 
cilíndricas helicoidais duplas ou em V. Esse tipo de engrenagem nada mais é do que uma 
engrenagem de mão esquerda e mão direita acopladas em um mesmo cilindro (disco). 
 
Figura 14 – Engrenagens helicoidais: (a) esforços em um par de engrenagens simples e (b) 
par de engrenagens de duplo V. 
Uma aplicação típica de engrenagens cilíndricas helicoidais é em caixa de câmbio de veículos 
(Figura 15). A exceção é a marcha ré do carro, que usa engrenagens de dentes retos 
(observem o ruído característico). 
 
Figura 15 –Transmissão (caixa de câmbio) de um veículo. 
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iii) Pinhão e cremalheira de dentes retos: é outra possibilidade de engrenamento por eixos 
paralelos. O par pinhão e cremalheira (Figura 16) converte o movimento rotacional em retilíneo 
e vice-versa. O raio de base da cremalheira é infinito. Os dentes de uma cremalheira também 
possuem uma curva involuta, que é uma linha reta. 
 
Figura 16 –Ilustração do par cremalheira e pinhão. 
Aplicações típicas de cremalheira e pinhão são em sistema da barra de direção de veículos de 
direção não hidráulica (Figura 17-a) e posicionadores manuais de máquinas ferramenta (Figura 
17-b). Pinhão e cremalheira também pode ser encontrado em mecanismos de abertura elétrica 
de portões residenciais. 
 
 
Figura 17 – Aplicações de cremalheira e pinhão: barra de direção e posicionadores manuais. 
Eixos interseccionados ou concorrentes 
i) Engrenagens cônicas: são empregadas quando se deseja modificar o ângulo do eixo de 
saída em relação ao eixo de entrada. Para eixos interseccionados, são empregadas as 
engrenagens cônica espiral e a engrenagem cônica zerol (ambas são análogos a engrenagens 
helicoidais) ou ainda a engrenagem cônica de dentes retos (Figura 18). As vantagens das 
primeiras em relação as segundas são as mesmas em relação as engrenagens cilíndricas 
helicoidais com as cilíndricas de dentes retos. São elas: engrenamento suave e maior 
capacidade de transmitir torque. 
 
Figura 18 – Ilustração de engrenagens cônicas de dentes retos. 
(a) (b) 
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De acordo com a distância offset (distância entre o eixo da coroa com relação à linha de centro 
do pinhão), as engrenagens podem ser: a) espiral, zerol ou cônica de dentes retos: quando o 
offset é igual a zero. Reparem que nesse caso temos eixos interseccionados. b) hipóide: 
quando há um offset pequeno. Neste caso, o par de engrenagens é classificado segundo seus 
eixos como nem paralelos e nem interseccionados. c) espiróide:quando o offset passa a ser de 
médio a grande. O par de engrenagens continua classificado, segundo seus eixos, como nem 
paralelos e nem interseccionados. Sem-fim: possui o maior offset entre todas os pares de 
engrenagens. Também é classificado, segundo a disposição de seu eixo, como nem paralelo e 
nem interseccionado. 
A distância de fronteira que separa o offset da engrenagem hipóide da engrenagem espiróide 
não é bem definida. A Figura 19 ilustra as diferentes distâncias offset que podem ocorrer entre 
pinhão e coroa. 
 
Figura 19 – Ilustração de diferentes distâncias de offset entre pinhão e coroa. 
As engrenagens espirais e zerol possuem a maior capacidade de velocidade entre as 
engrenagens cônicas. A Figura 20 ilustra alguns exemplos de engrenagens cônicas, as quais 
possuem um offset de zero. 
 
Figura 20 – Exemplos de par coroa e pinhão cujos eixos são interseccionados: da esquerda 
para direita cônica de dentes retos, cônica espiral e cônica zerol. 
 
Eixos nem paralelos e nem interseccionados 
Engrenagens hipóides, espiróides, sem fim e engrenagens cilíndricas helicoidais reversas são 
exemplos típicos de engrenagens cujos eixos estão dispostos de maneira nem paralela e nem 
interseccionados (Figura 21). 
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Figura 21 – Exemplos pares de engrenagens cujos eixos são nem paralelos e nem 
interseccionados: da esquerda para direita engrenagens hipóide, espiróide, cilíndricas 
helicoidais cruzadas e sem fim [Adaptado: AGMA, 1990). 
As engrenagens hipóides são muito empregadas para conexão do eixo motriz do motor dos 
veículos (geralmente um cardan duplo) ao diferencial. Com isso, pode-se baixar a altura do 
cardan, contribuindo para a diminuição ou eliminando o túnel dos veículos. A Figura 22 mostra 
uma fotografia tirada de um diferencial veicular, onde é possível visualizar a engrenagem 
hipóide e a coroa. 
 
Figura 22 – Diferencial veicular, onde são empregadas engrenagens hipóides. 
 
Nas engrenagens cilíndricas helicoidais cruzadas ocorre deslizamento puro e contato pontual. 
Possuem baixa capacidade de torque comparadas as engrenagens helicoidais montadas sobre 
eixos paralelos. 
Com relação aos sem fins, existe uma ação de deslizamento muito pronunciada entre os 
dentes do parafuso sem fim e da coroa, ação que tende a remover película produzida por 
lubrificante que não seja suficientemente resistente, do que resulta a tendência de tais 
engrenagens funcionarem a temperaturas elevadas e de sofrerem considerável desgaste. As 
velocidades dominantes são de deslizamento entre os dentes. É, por isso, dentre os sistemas 
de engrenagens, o menos eficiente. Consegue-se grandes reduções, como de 360:1. Pode ou 
não possuir autotravamento da coroa, condição importante em elevadores de carro. Parafusos 
sem fim podem possuir 1 rosca única ou entrada de múltiplas roscas ou múltiplas entradas. 
Quanto à coroa usada conjuntamente com o parafuso sem fim, essa pode ser do tipo não 
envelopada e envelopada (Figura 23). O último tipo possui maior capacidade de torque. 
 
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Figura 23 – Diferentes tipos de coroas empregadas com parafusos sem fim [Fonte: AGMA, 
1990]. 
Engrenagens sem-fim possuem princípios igualmente aplicáveis a parafusos de potência. Um 
parafuso sem fim será dito autotravante quando o torque aplicado à coroa não é capaz de 
rodar o sem fim. Nessa aplicação um par coroa e sem-fim pode ser usado como elevador de 
carro. Isso ocorre quando o ângulo de avanço do sem-fim for suficientemente pequeno (<6º). 
Mãos em engrenagens 
Mão em engrenagens refere-se ao sentido do perfil do dente. Mão esquerda: olhando no 
sentido axial, giro do perfil dente no sentido ANTI-HORÁRIO.Mão direita: olhando no sentido 
axial, giro do perfil do dente no sentido horário. 
Engrenagens cilíndricas e cônicas de dentes retos: não possuem mão. 
Engrenagem helicoidal externa em eixos paralelos: possuem mãos opostas (Figura 24). 
 
Figura 24 –Engrenamento entre engrenagens cilíndricas helicoidais com eixos paralelos: mãos 
opostas. 
 
O engrenamento entre engrenagens cilíndricas helicoidais externas em eixos cruzados possui 
a mesma mão (Figura 25). 
 
Figura 25 – Engrenamento entre engrenagens cilíndricas helicoidais externas com eixos 
cruzados: mesma mão [Adaptado: AGMA, 1990]. 
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O engrenamento entre engrenagens cilíndricas helicoidais internas possui a mesma mão 
(Figura 26). 
 
Figura 26 – Engrenamento entre engrenagens cilíndricas helicoidais internas: mesma mão. 
Engrenagem espiral, zerol, hipóide, espiróide: engrenam SEMPRE em mãos opostas entre o 
pinhão e a coroa. 
Na Figura 27, a mão da engrenagem de uma engrenagem cilíndrica e de uma cônica está 
representada. 
 
Figura 27 – Engrenagens cilíndricas helicoidais: representação da mão. 
 
Quando engrenadas, a representação fica conforme mostra a Figura 28. 
 
Figura 28 – Engrenagens cilíndricas helicoidais engrenadas: engrenamento pelo diâmetro 
primitivo. 
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Trens de engrenagens 
Os trens de enngrenagens pode ser de 2 tipos: simples ou compostos (Figura 29). Nos trens 
simples há apenas uma engrenagem por eixo. Trens compostos possuem 2 engrenagens 
conectadas em um mesmo eixo. 
 
Figura 29 – Trens de engrenagens: (a) trens simples e (b) trens compostos. 
 
No caso do trem simples da Figura 29-a, tem-se a seguinte relação de transmissão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (9) 
Um sinal negativo signifca que o eixo da engrenagem de saída vai girar em sentido contrário ao 
da entrada. Um sinal positivo significa que ambos os eixos de entrada e de saída giram no 
mesmo sentido. 
No caso do trem composto da Figura 29-b, tem-se a seguinte relação de transmissão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (10) 
Note que, primeiramente, a relação de transmissão é colocada em função da velocidade 
angular e depois colocada em função de parâmetros geométricos, que podem ser Z, D ou R. 
Onde se tem as engrenagens ligadas sob o mesmo eixo, a relação de transmissão vale 1. 
Trem de engrenagens epicíclico ou planetário 
Consiste de uma ou mais planetas orbitando em torno de uma engrenagem solar. Pode ainda 
existir uma barra, haste ou braço para manter a engrenagem planeta em órbita. É comum 
também o emprego de uma engrenagem anel como o quarto elemento. Existem catalogadas 
12 diferentes configurações de engrenagens planetárias. 
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21 
 
 
Figura 30 – Trem de engrenagens epicicloidal. 
A equação que descreve o movimento de uma engrenagem epicicloidal é mostrada a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde D e ω são diâmetros e velocidade angular e os subíndices “e” e “s” correspondem a 
entrada ou saída, respectivamente. O sinal é usado da seguinte forma: negativo para 
engrenamentos externos e positivo para internos. A relação de diâmetros também pode ser 
substituída pela relação de raios ou número de dentes (engrenagens de mesmo módulo). 
Exemplo 1: No conjunto planetário abaixo, são dados: 
Z2=36 dentes Z4=18 dentes ω2=0 ω4=30rpm. Qual a velocidade da barra? 
 
Figura 31 – Esquema engrenagens planetárias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 =10rpmExemplo 2: Considere o sistema planetário abaixo, no qual a engrenagem h é travada e a 
entrada do movimento ocorre pelo braço. As dimensões do anel h, planeta j, sol k e braço A 
valem Rh=200mm, Rj=50mm, Rk=100mm e RA=150mm, respectivamente. Se a entrada 
angular de velocidade vale ωA=10rad/s, determine as velocidades angulares do planeta j e do 
sol k. 
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Figura 32 – Esquema engrenagem planetária do exemplo 2. 
Primeiramente, calculamos ωk, fazendo a relação da primeira a última engrenagem (do sol ao 
anel): 
 
 
 
 
 
 
 (o sinal é negativo pois (-).(+) = (-), onde (-) é sol com planeta e (+) é planeta com 
anel. 
 
 
 
 
 
 
  -0,5 (ωk-10)=-10  =-0,5ωk + 5=-10  ωk=30rad/s (sinal positivo, então a 
engrenagem solar gira no mesmo sentido do braço) 
Agora para calcular ωj, faz-se a relação da primeira a última engrenagem considerada (do sol 
ao planeta): 
 
 
 
 
 
 
 (o sinal é negativo, pois é engrenamento externo do sol com planeta). 
 
 
 
 
 
 
  -2 (20)= ωj - 10  =-40 = ωj - 10 ωj=-30rad/s (sinal negativo, então a 
engrenagem planeta gira em sentido contrário ao braço, que é a entrada) 
 Rendimento de engrenagens: relação entre a potência de saída e a potência de entrada. A 
seguir alguns dados de rendimento de engrenagens. 
Cilíndricas de dentes retos e helicoidais: η = 98% 
Cônica zerol: η=98% 
Cônica hipóide: η=92 a 95% 
Cônica Espiróide: η=86 a 94% 
Par coroa e sem-fim: η=80% 
Falha de Engrenagens 
Engrenagens podem apresentar 2 tipos de falha (Figura 33): falha superficial (crateração) da 
superfície do dente e falha por fadiga devido as flexões cíclicas na raiz do dente. Não existe um 
limite de vida infinito para as falhas por fadiga superficial. A crateração é o modo de falha 
superficial mais comum, especialmente se não lubrificadas em serviço. Esse é um tipo de falha 
por fadiga superficial entre superfícies que rolam. Mas como também há deslizamento entre os 
dentes (na verdade em engrenagens há uma combinação de deslizamento e rolamento), pode 
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23 
 
também ocorrer a falha por desgaste abrasivo e adesivo. A falha superficial é a preferida e 
esperada em uma engrenagem, pois ela avisa por meio de ruído. A falha por fadiga ocorre de 
maneira repentina. 
 
(a) (b) 
Figura 33 – Falha em engrenagens: (a) crateração ou pitting e (b) desgaste adesivo. 
A falha por tensão de flexão é a mais catastrófica, até porque a quebra do dente promove a 
parada da máquina. A falha por crateração vem gradualmente e dá aviso audível e visível. As 
engrenagens podem funcionar por um tempo depois que o processo de crateração se iniciar. 
Ambos são tipos de falha por fadiga. 
O adelgaçamento ocorre quando a circunferência de base está muito próxima à circunferência 
primitiva. Acontece que na região abaixo da circunferência de base, o perfil de dente não é 
uma curva involuta. Se for assim, a porção do dente abaixo da circunferência de base 
interferirá com a ponta do dente da engrenagem acoplada. Em ouras palavras, o contato entre 
os dentes ocorre antes de das curvas serem involutas (antes da circunferência de base), que é 
onde os perfis dos dentes não são tangentes. A interferência ocorre antes da linha de ação 
projetada para o engrenamento. A interferência leva ao adelgaçamento, que enfraquece o 
dente pela remoção de material em sua raiz. Isso poderá levar a falha prematura do dente. 
Esse problema pode ser evitado aumentando o número de dentes de uma engrenagem. Por 
isso, existe um número mínimo de dentes para se evitar o problema de adelgaçamento, que é 
aconselhável ser de 12 dentes o número mínimo. Outra solução para o adelgaçamento é 
transladar o perfil das engrenagens, fazendo o adendo mais longo no pinhão e mais curto na 
coroa. Uicker et al, 2011, expõem uma simples solução: tornar os dentes menores. Porém, os 
autores mencionam que essa solução dificulta a reposição, uma vez que torna a engrenagem 
fora dos padrões. Um benefício secundário da técnica de transladar é que o pinhão fica mais 
grosso em sua base, e dessa forma mais forte. Uma terceira solução simples é empregar um 
ângulo de pressão maior. Com isso, a circunferência de base fica menor, pois Db=D*cos(ɸ). 
A Figura 34 apresenta as tensões que ocorrem em dentes de engrenagens. 
 
Figura 34 – Tensões em dentes de engrenagens. 
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24 
 
Qualidade da engrenagem 
AGMA define índices de qualidade de 3 a 16, os quais são função do processo de fabricação. 
Obviamente, maior a qualidade, cresce o custo. Imprecisões no espaçamento dos dentes 
causarão impactos entre os dentes e as forças de impacto aumentam com o aumento da 
velocidade. Por isso, o índice de qualidade aumenta com a velocidade da aplicação do par de 
engrenamento. A razão de engrenamento pode ser afetada pelas tolerâncias de fabricação 
também. Quando uma alta qualidade é requerida, operações de acabamento podem ser 
realizadas, tais como polimento, retificação, lapidação, entre outros. 
Materiais para uso em engrenagens 
Ferros fundidos: possuem fácil usinabilidade, possuem amortecimento interno devido às 
inclusões de grafite e são, portanto, mais silenciosos do que aço. Possuem alta resistência ao 
desgaste. A desvantagem fica por conta da menor resistência à tração, o que requer dentes 
maiores. 
Aços: possuem resistência à tração maior do que ferro fundido e competem em custo. Porém, 
necessitam de tratamento térmico para aumentar a resistência superficial ao desgaste (Figura 
35). Em aplicações de baixa solicitação ou quando a longevidade não é um fator importante, 
não é feito o tratamento térmico. 
Engrenagens não-metálicas: tem baixo ruído, mas são limitadas em sua capacidade de torque 
devido a baixa resistência do material. 
 
Figura 35 – Macrografia de uma engrenagem, mostrando tratamento superficial. 
 
Junta universal 
 
 Embora possua aparência simples, a junta 4 pontos, também chamada junta cardan 
(Figura 36), junta U, junta de Hooke, junta hardy-spier, é mais complexa do que aparenta. O 
primeiro a registrá-la em 1545 (desenhos apenas) foi Gerolamo Cardano, posteriormente foi 
equacionada e construída por Robert Hooke em 1676. 
 A complexidade do mecanismo ocorre devido à variação de velocidade de saída 
quando esse é acionado em ângulo de inclinação. 
 
 
 
Como a cruzeta é presa a 4 pontos, a junta 
também é chamada de junta de 4 pontas. 
 
 
Figura 36 – Esquema de uma junta 
universal. 
 
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 A variação no ângulo do plano da cruzeta é que causa a variação na velocidade de 
saída. 
 Considerando o desenho, onde a ligação 1 é o motor, a 3 é a movida e a 2 é a cruzeta 
que conecta os cabeçotes (garfos), apesar de ambos os eixos completarem uma volta no 
mesmo tempo, a velocidade angular do eixo de saída não é constante durante a revolução. 
Esta varia em função do ângulo de rotação θ e do ângulo . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Graficamente 
(Figura 37): 
 
 
 
 
 
 Figura 37 – Velocidade dos eixos de entrada e saída de um cardan. 
 
 
Este efeito causa vibração e deve-se cuidar para que a frequência de vibração de W2 não seja 
igual a Wn, o que pode levar a ressonância e quebra do mecanismo. 
Para não ocorrer vibrações, deve-se ter duas juntas universais de mesmo (Figura 38). 
 
 
Figura 38 – Esquemado cardan duplo. 
 
 
 
 
 
Nesta condição, a junta cardan passa também a 
ser considerada como homocinética. 
Exercício: 
 Uma junta universal conecta dois eixos 
com . Se , calcule . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tipicamente, diferenças de até 5° são aceitáveis entre e caso rotação seja básica 
(<500rpm). Em altas rotações, essa diferença é limitada a 1,5°. 
 O máximo ângulo de deflexão de um cardan duplo está limitado a 44° por junta. Essa 
variável depende da velocidade de rotação (Figura 40) e do comprimento L da barra 
intermediária (Figura 41). Se for cardan simples e for admitida vibração, pode-se empregar 
ângulos próximos a 90° em baixíssimas rotações. 
 
 
 
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Figura 40 – Relação entre ângulo de deflexão e velocidade. 
 
 
 
 
Especificações fora destas faixas 
podem diminuir a vida útil do 
mecanismo devido a vibrações e 
calor. 
 
 
 
 
Figura 41 – Relação entre a velocidade e o comprimento da barra intermediária. 
Aplicações do cardan: Trem, guindastes, brinquedos de parques de diversões, navios, 
veículos, máquinas em geral, barra de direção. Inglês: Cardan shaft, U-joint. 
 
 
Junta homocinética 
 
 A primeira homocinética foi desenvolvida por Alfred H. Rzeppa em 1927. É uma junta 
de 6 esferas e permite ângulos máximos de ~45° e em condições especiais de 52°. 
 Tipos: 
I) Rzeppa: Possui 6 esferas, posicionadas com auxílio de uma gaiola. 
II) Bendix-Wein: Movimento transmitido por 4 esferasmais uma esfera central. 
III) Tripóide ou Trizeta: Emprega rolamentos no lugar de esferas 
Dentre os tipos aqui apresentados, Rzeppa permite a maior deflexão. As demais 
permitem ângulos por volta de 20° e o cardan duplo em 44°. 
Aplicações: Tração dianteira de praticamente todos veículos, nas suspensões traseiras 
independentes de certos carros, maquinas de usinagem. Inglês: CV joints, constant velocity 
joints. 
 
Quadro comparativo com cardan (Quadro 1): 
 
 
 
 
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Quadro 1 – Comparativo entre homocinética e Cardan. 
 Homocin. I, 
II, III 
Cardan duplo Cardan simples 
Custo Alto Média Baixo 
Capacidade de Carga Média Alta Alta 
Deflexção 
Média (max 
52°) 
Alta (max 44x2=88°) Alta (~90°) 
Capacidade de rotação Alta 
Menor que 
homocinética 
Menor que 
homocinética 
Resist. a ambientes hostis Média Alta Alta 
Espaço (dimens.) 
requerido 
Pequeno 
Grande. Requer eixo 
intermed. 
Pequenos 
 
 
Exercício: 
O que você indicaria para um implemento agrícola (roçadeira) que trabalha sob 
rotações <500rpm, torques baixos e deflexões de no máx 30°. Embase bem sua resposta 
considerando custos, simplicidade, vida útil, etc. 
 
Lista de exercícios de engrenagens, cardan e homocinética 
1. Como podem ser classificadas as engrenagens? Cite 2 exemplos para cada um dos três 
casos. 
2. Deseja-se projetar um redutor com relação de 10 (entrada) para 1 (saída),utilizando apenas 
4 engrenagens e acoplando duas delas solidariamente no mesmo eixo. Dimensione pelo 
número de dentes o conjunto. O usuário deseja utilizar engrenagens com número de dentes 
maior do que 12. 
3.Do trem de engrenagens mostrado na figura, determine a velocidade angular da 
engrenagem 7. Dados: 1 = 3.600 r.p.m.; Z1 = 12; Z2 = 41; Z3 = 28; Z4 = 79; Z5 = 23; Z6 = 32; Z7 
= 11; Z8 = 50; 
 
4.Considere os seguintes dados de uma engrenagem epicicloidal: 
Engrenagem solar: 20 dentes 
Engrenagem planeta: 10 dentes 
Engrenagem anelar: 40 dentes 
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Entrada pelo braço: 200 rpm, anti-horário 
Entrada pela engrenagem solar: 100 rpm, anti-horário 
Calcule a velocidade angular absoluta de saída da engrenagem anelar: 
5. Um cardan simples é conectado a um ângulo β=30°. A máxima velocidade medida no eixo 
de saída é de 200 rpm. Qual a velocidade do eixo de entrada? 
 
 
 
 
 
 
 
6.Dados um par de engrenagens, com pinhão 16 dentes e coroa 40 dentes, ângulo de pressão 
20° e módulo 10 mm, calcule: a) a distância entre centros; b) o novo ângulo de pressão caso a 
distância entre centros seja aumentada em 4 mm. 
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REFERÊNCIAS 
American National Standard Gear Nomenclature (AGMA) 1012-F90. Definitions of Terms with 
Symbols, Estados Unidos, 1990. 
SHIEGLEY, J.; Mischke, E.; Budynas, C.R. Projeto de Engenharia Mecânica, Bookman, 7ª 
edição, 2005. 
Uicker, J.J.; Pennock, G. R.;J.; Shigley, J. E. Theory of Machines and Mechanisms, Oxford 
University Press. 
Norton, R. L.; Projeto de Máquinas – uma abordagem integrada, Bookman, 2ª edição, 
2004.