ESTRUTURAS DE CONCRETO - SOLICITAÇÕES NORMAIS - FUSCO

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ESTRUTURAS 
DE CONCRETO 
Solicitações Normais 
Estados Limites Últimos 
Teoria e Aplicações 
PÉRICLES BRASILIENSE FUSCO 
Professor Adjunto da Escola Politécnica 
da Universidade de São Paulo 
CUANABARA 
DOIS 
Direitos exclusivos para a língua portuguesa 
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EDITORA GUANABARA DOIS S.A. 
Rio de Janeiro - RJ 
Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação 
ou reprodução deste volume, ou de partes do mesmo, 
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sem permissão expressa da Editora. 
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- 
O presente volume cuida do dimensionamento das peças de concreto armado 
submetidas a solicitações normais, tendo-se em vista a segurança contra os possíveis 
estados limites últimos. 
Entendem-se por solicitações normais os esforços solicitantes que produzem 
tensões normais no plano das seções transversais das peças da estrutura. As solicita- 
ções normais englobam, portanto, os momentos fletores e as forças normais. 
As peças de concreto protendido submetidas a solicitações normais serão estu- 
dadas em volume a parte. 
O desenvolvimento dos temas aqui considerados foi orientado pela experiência 
didática acumulada nas disciplinas de graduação e de pós-graduação do Departa- 
mento de Estruturas e Fundações da Escola Politécnica da Universidade de 
São Paulo, e pela experiência profissional associada a elaboração e a aplicação da 
NB- 1/78. 
O volume foi dividido em três partes. 
Na primeira parte é considerado o estado limite último de ruptura ou de alonga- 
mento plástico excessivo, na flexão simples ou composta, normal ou oblíqua. A 
experiência já acumulada neste campo mostrou que sempre devem ser empregados 
ábacos e tabelas organizados exclusivamente em função dos valores de cálculo, 
evitando-se qualquer tipo de dimensionamento feito diretamente em função dos 
valores característicos. 
A segunda parte trata do estado limite último de instabilidade naflexão composta, 
normal ou obl(qua. 
Na terceira parte é considerado o dimensionamento dos pilares, das paredes e das 
estruturas de contraventamento, procurando-se esclarecer e comentar as prescrições 
da NB-1/78 pertinentes a estes temas. 
Nestes comentários são feitas algumas sugestões para eventuais modificações a 
serem introduzidas em futuras versões da NB-I, tendo-se em vista a necessidade de 
calibragem do novo modelo de segurança incluído na NB-1/78. Esta calibragem é 
parte essencial dos trabalhos de implantação de um novo modelo de segurança. 
Em anexo é apresentado um conjunto de tabelas e de gráficos de dimensiona- 
mento. 
Tendo em vista a atual legislação metrológica brasileira, nos exemplos e tabelas 
foi empregado o Sistema Internacional de Unidades, tomando-se o cuidado de facili- 
tar, em cada caso particular, a imediata transformação dos valores para unidades 
técnicas ainda transitoriamente em uso. 
PARTE I ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RUPTURA OU DE ALONGAMENTO 
PLÁSTICO EXCESSIVO 
1 FLEXAO SIhlPLES E FLEX.iO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 
1.1 DEFINIÇOES 
1 .I .1 Solicitações normais, 2 
1.1.2 Estados últimos, 2 
1.1.3 Estado limite último, 3 
7 HIP~TESES BÁSICAS 
1.2.1 Manutençáo da seçáo plana, 4 
1.2.2 Solidariedade dos materiais, 5 
1.2.3 Encurtamentos últimos do concreto, 5 
1.2.4 Alongamentos últimos das armaduras, 5 
1.2.5 Diagrama de tensões parábola-retângulo, 5 
1.2.6 Diagrama retangular de tensões, 6 
1.3 CASOS DE SOLICITAÇAO 
1.3.1 Domínios de deformação, 6 
1.3.2 Domínio 1, 7 
1.3.3 Domínio 2, 8 
1.3.4 Domínio 3, 9 
1.3.5 Domínio 4, 10 
1.3.6 Domínio 4a, 10 
1.3.7 Dominio 5, 10 
1.4 DIAGRAMAS DE CALCULO DOS AÇOS 
1.4.1 Propriedades gerais, 10 
1.4.2 Aços Classe A, 11 
1.4.3 Aços Classe B, 11 
1.5 VALORES DE CÁLCULO 
1.5.1 Aços Classe A, 13 
1.5.2 Aços Classe B, 14 
1.5.3 Valores limites, 15 
1.6 EXERCÍCIOS 
2 SEÇÕES RETANGULARES 
2.1 TRAÇAO SIMPLES E TRAÇAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE (DO. 
M ~ N I O i) 
2.1.1 Condições de equilíbrio, 17 
2.1.2 Cálculo de verificação. Exemplo, 19 
2.1.3 Cálculo de dimensionamento. Exemplo, 20 
2.2 FLEXÃO SIMPLES. CÁLCULO PRÁTICO 
2.2.1 Variáveis adimensionais. Armadura simples, 22 
2.2.2 Tabelas adimensionais, 24 
2.2.3 Variáveis adimensionais. Armadura dupla, 24 
2.2.4 Exemplos, 26 
2.2.5 Variáveis dimensionais. Tabelas tipo k, 28 
2.2.6 Organização das tabelas dimensionais. Formulário, 31 
2.2.7 Exemplos de dimensionamento, 36 
2.2.8 Exemplos de verificação, 39 
2.2.9 Seção submetida a momentos de sentidos contrários. Exemplo, 42 
2.3 FLEXÃO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICI- 
DADE (DOMNIOS 2-3-4-4a) 
2.3.1 Condições de equilíbrio, 45 
2.3.2 Propriedades básicas das seções retangulares, 46 
2.3.3 Equações adimensionais de equilíbrio, 49 
2.3.4 Equações adimensionais de compatibilidade, 51 
2.3.5 Resolução dos problemas de flexão simples e de flexão composta, 53 
2.4 FLEXAO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE. CÁLCULO 
~ ~ Á n c o 
2.4.1 Variáveis adimensionais. Emprego de tabelas universais, 55 
2.4.2 Exemplos, 57 
2.4.3 Variáveis dimensionais. Emprego de tabelas tipo k, 60 
2.4.4 Exemplos, 62 
2.4.5 Diagrama retangular de tensões, 63 
2.5 FLEXO-COMPRESSAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE (DoM~NIO 5) 
2.5.1 Condições de equilíbrio, 64 
2.5.2 Condições de compatibilidade de deformações, 65 , 
2.5.3 Propriedades básicas das seções retangulares, 66 
2.5.4 Equações adimensionais de equilíbrio, 67 
2.5.5 Resolução geral dos problemas de flexo-compressão com pequena ex- 
centricidade, 68 
2.6 FLEXO-COMPRESSAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE. CÁLCULO 
~ ~ Á n c o 
2.6.1 Momento limite de separação entre os dois casos básicos, 69 
2.6.2 Armadura unilateral, 70 
2.6.3 Armadura unilateral. Exemplos, 72 
2.6.4 Compressão uniforme, 75 
2.6.5 Compressão uniforme. Exemplos, 77 
2.6.6 Diagrama retangular de tensões, 79 
2.7 EXERC~CIOS 
3 SEÇÓES T 
3.1 FLEXÃO SIMPLES E FLEXÁO COMPOSTA 
3.1.1 As vigas de seção T das estnituras de concreto, 82 
3.1.2 A largura da mesa de compressão de acordo com a NB-1,85 
3.1.3 O processo de dimensionamento das seções T, 86 
3.2 CALCULO PRÁTICO DAS SEÇÓES T 
3.2.1 Variáveis adimensionais. Emprego de tabelas universais, 89 
3.2.2 Exemplos, 90 
3.2.3 Variáveis dimensionais. Emprego de tabelas tipo k , 95 
3.2.4 Exemplos, 96 
3.3 EXERCICIOS, 100 
4 FLEXÁO OBLÍQUA 
4.1 MÉTODOS GERAIS DE CÁLCUW 
4.1.1 Cálculo exato, 101 
4.1.2 Superfícies de interação e diagramas de interação, 104 
4.1.3 Exemplo, 108 
4.1.4 Cálculo por tentativas, 110 
4.1.5 Excentricidades acidentais, 11 1 
4.2 MÉTODOS SIMPLIFICADOSDE CÁLCULO 
4.2.1 Linearização dos diagramas de interação, 112 
4.2.2 Exemplo, 114 
4.2.3 Um processo empirico tradicional, 116 
4.3 MÉTODO DA TRANSFORMAÇAO AFIM DAS SEÇÓES 
4.3.1 Transformação afim das seções retangulares, 117 
4.3.2 Fundamentos do método de cálculo, 121 
4.3.3 Roteiro de cálculo, 126 
4.3.4 Flexão diagonal da seção quadrada. Grande excentricidade, 129 
4.3.5 Exemplo, 131 
4.3.6 Flexão diagonal da seção quadrada. Pequena excentricidade, 136 
4.3.7 Exemplo e advertência, 140 
4.3.8 Outras formas de seção transversal, 146 
4.3.9 Exemplo, 146 
4.4 EXERCÍCIOS, 152 
PARTE 11 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE INSTABILIDADE 
5 INSTABILIDADE 
5.1 FUNDAME&TOS 
5.1.1 Instabilidade na compressão axial. Flambagem, 154 
5.1.2 Estabilidade da configuração fletida de equilíbrio, 158 
5.1.3 Flexáo c9mposta de barras esbeltas no regime elástico, 161 
5.1.4 Instabilidade na flexão composta, 163 
5.2 DEFORMAÇÕES NA FLEXO-COMPRESSÁO 
5.2.1 Diagrama momento fletor - curvatura (M, 1/r), 167 
5.2.2 Cálculo de flechas com não-linearidade física, 168 
5.2.3 Diagrama momento fletor-força normal- curvatura (M, N, l/r), 170 
5.2.4 Cargas de longa duração, 172 
5.3 CÁLCULO DA CARGA CRÍTICA PELO &TODOGERAL 
5.3.1 Fundamentos do método geral, 177 
5.3.2 Processo do carregamento progressivo proporcional, 178 
5.3.3 Processo das excentricidades progressivas, 179 
5.3.4 Pilar padrão, 181 
5.3.5 Processo do pilar padrão (com o método geral), 182 
5.3.6 Exemplos, 188 
5.4 CÁLCULO DA CARGA CRÍTICA PELO &TODO DO EQUILIBRIO 
5.4.1 O método do equilíbrio, 189 
5.4.2 Método do equilíbrio. Processo do deslocamento de referéncia, 190 
5.4.3 Método do equilíbrio. Processo do pilar padrão, 192 
5.4.4 Processo simplificado do equilíbrio, 195 
5.4.5 Processo simplificado da NB-1, 197 
5.4.6 Exemplo, 198 
5.5 EXERCICIOS 
6 INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 
6.1 DEFORMAÇOES NA FLEXÃO COMPOSTA OBLIQUA 
6.1.1 Deformações do eixo da barra, 200 
6.1.2 Curvaturas, 202 
6.1.3 Cálculo das curvaturas, 204 
6.2 CÁLCULO DA CARGA CR~TICA PELO MÉTODO GERAL 
6.2.1 Processos exatos de cálculo, 207 
6.2.2 Pilar padrão, 210 
6.3 CALCULO DA CARGA CR~TICA POR PROCESSOS SIMPLIFICADOS 
6.3.1 Linearização dos diagramas de interação, 215 
6.3.2 Processo simplificado do equilíbrio. Diagrama linearizado, 216 
6.3.3 Redução da flexão oblíqua a duas flexões normais, 218 
6.4 EXERCÍCIOS 
PARTE n I PILARES, PAREDES E ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO 
7 PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIF~cIOS 
7.1 VERIFICAÇAO DA SEGURANÇA DAS PEÇAS ESTRUTURAIS 
7.1.1 Condiçoes gerais, 222 
7.1.2 Tração simples. Tirantes, 222 
7.1.3 Flexão simples. Vigas, 223 
7.1.4 Peças comprimidas, 223 
7.1.5 Flexão composta, 224 
7.2 COMPRESSAO SIMPLES DE PILARES 
7.2.1 Pilares não-cintados, 225 
7.2.2 índice de esbeltez, 228 
7.2.3 Pilares cintados, 230 
7.3 PILARES DE EDIF~CIOS 
7.3.1 Ação do vento, 233 
7.3.2 Contraventamento das estruturas, 235 
7.3.3 Situações básicas de projeto, 236 
7.3.4 Solicitações iniciais dos pilares intermediários, 238 
7.3.5 Solicitações iniciais dos pilares de extremidade, 239 
7.3.6 Solicitações iniciais dos pilares de canto, 240 
7.4 PILARES CURTOS 
~7.4.1 Situações de projeto e situações de cálculo, 241 
7.4.2 Caso particular de simplificação das situações de cálculo, 242 
7.4.3 Exemplos, 244 
7.4.4 Processos simplificados de cálculo de flexão composta oblíqua, 245 
7.4.5 Caso particular de simplificação, 248 
7.4.6 Exemplo, 250 
7.5 PILARES ESBELTOS 
7.5.1 Consideração dos efeitos de 2.= ordem, 251 
7.5.2 Consideração da fluência, 252 
7.5.3 Situações de projeto e situações de cálculo, 253 
7.5.4 Superposição dos momentos fletores de I.= e de 2.a ordem, 256 
7.6 PROCESSOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO 
7.6.1 Critério básico de simplificação, 258 
7.6.2 Pilares curtos sob carga centrada, 259 
7.6.3 Exemplos, 260 
7.6.4 Pilares medianamente esbeltos sob carga centrada, 261 
7.6.5 Processo aproximado de pré-dimensionamento e de dimensionamento 
expedito, 262 
7.7 PAREDES ESTRUTURAIS 
7.7.1 Conceitos básicos, 263 
7.7.2 Excentricidade do carregamento, 264 
7.7.3 Momentos fletores de 2.a ordem, 265 
7.8 DISPOSIÇ~ES CONSTRUTIVAS 
7.8.1 Resistência ao fogo, 266 
7.8.2 Dimensões externas mínimas, 267 
7.8.3 Cobrimentos mínimos, 268 
7.8.4 Armaduras longitudinais, 268 
7.8.5 Espaçamento das barras longitudinais, 269 
7.8.6 Armaduras transversais, 269 
7.9 EXERC~CIOS, 271 
8 PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 
8.1 DADOS BÁSICOS DE PROJETO 
8.1.1 Cargas de projeto, 272 
8.1.2 Arranjo geral e carregamento das lajes, 273 
8.1.3 Cálculo das vigas, 275 
8.1.4 Carregamento dos pilares, 278 
8.2 PILARES INTERNOS 
8.2.1 Pilar curto, 279 
8.2.2 Pilar medianamente esbelto, 281 
8.2.3 Pilar esbelto sem consideração da fluência, 283 
8.2.4 Pilar esbelto. Solução alternativa por meio de diagramas de interação, 
286 
8.2.5 Pilaresbelto. Solução alternativapor meiodediagramas(M, N, 110,288 
8.2.6 Pilar esbelto. Consideração da fluência, 290 
8.2.7 Pilar cintado, 292 
8.3 PILARES DE EXTREMIDADE 
8.3.1 Pilar curto, 297 
8.3.2 Pilar medianamente esbelto. 1 . O Exemplo, 304 
8.3.3 Pilar medianamente esbelto. 2." Exemplo, 311 
8.3.4 O estudo dos pilares esbeltos, 313 
8.4 PILARES DE CANTO 
8.4.1 Pilar curto. Dimensionamento rigoroso, 313 
8.4.2 Pilar curto. Dimensionamento simplificado, 319 
8.4.3 Pilar medianamente esbelto, 321 
8.4.4 O estudo dos pilares esbeltos, 327 
9 PROBLEMAS ESPECIAiS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRÍTICA 
9.1 CARGAS DE LONGA DURAÇÃO 
9.1.1 Consideração da fluência, 328 
9.1.2 Carga parcialmente de longa duração, 329 
9.1.3 Método de função equivalente de fluência, 330 
9.1.4 Método da excentricidade equivalente, 331 
9.1.5 Justificativa do método da excentricidade equivalente, 332 
9.2 PILAR PADRÃO MELHORADO 
9.2.1 Modos de emprego do pilar padrão. 336 
9.2.2 Fundamentos do processo do pilar padrão melhorado, 338 
9.2.3 Processo do pilar padrão melhorado, 339 
9.2.4 Coeficientes de correção. Casos particulares, 343 
9.2.5 Exemplo, 344 
9.3 ESTUDO GERAL DOS PILARES ESBELTOS 
9.3.1 Pilares esbeltos de seção constante, 347 
9.3.2 Pilares muito esbeltos de seção constante, 348 
9.3.3 Pilares com seção transversal variável ou força normal variável, 348 
9.3.4 Exemplo preliminar, 349 
9.3.5 A rigidez do concreto a ser considerada, 352 
9.3.6 Exemplo definitivo, 353 
9.4 ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO 
9.4.1 A estabilidade global das estruturas, 354 
9.4.2 Rigidez mínima das estruturas de contraventamento, 356 
9.4.3 Exemplo. Paredes isoladas de contraventamento, 358 
9.4.4 Solicitaçóes devidas ao efeito de contraventamento, 360 
9.4.5 Paredes e pilares de contraventamento. Cálculo rigoroso, 362 
9.4.6 Paredes e pilares de contraventamento. Cálculo simplificado, 363 
9.4.7 Exemplo. Parede isolada de contraventamento, 364 
9.5 ESTRUTURAS ESBELTAS NAO-CONTRAVENTADAS 
9.5.1 A esbeltez das estruturas deslocáveis, 365 
9.5.2 Exemplo. Esbeltez de um pórtico deslocável, 367 
9.5.3 Pórticos hiperestáticos. Cálculo rigoroso, 369 
9.5.4 Pórticos hiperestáticos. Cálculo simplificado, 371 
9.5.5 Influência da deformabilidade da fundação, 372 
9.5.6 Exemplo. Parede isolada de contraventamento, 374 
Apêndice 1 Tabelas e diagramas de dimensionamento, 377 
Apêndice 2 Diagramas, 417 
Referências bibliográficas, 462 
índice alfabético, 463 
PARTE i 
ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
DE RUPTURA OU DE 
ALONGAMENTO 
PLÁSTICO EXCESSIVO 
Flexão Simples e Flexão Composta. 
Fundamentos 
1.1.1 SOLICITAÇOES Designam-se por solicitaçóes normais os esforços solicitantes que produzem 
NORMAIS tensões normais nas seções transversais das peças estmturais. As solicitaçóes no 
mais englobam o momento fletor e a força normal. 
De acordo com os princípios da Resistência dos Materiais, os esforços solicita 
tes são entes mecânicos referidos ao centro de gravidade da seção transversal. Nas 
peças de concreto estrutural, armado ou protendido, os esforços solicitantes atuantes 
são calculados tomando-se, como pólo de redução dos esforços, o centro de gravidade 
da seçiío geométrica da peça, sem consideração da armadura.' 
1.1.2 ESTADOS ÚLTIMOS De modo tradicional, a ruptura das peças de concreto estmtural é caracterizada 
pela ruptura do concreto, quer tenha havido ou não o escoamento prévio de suas 
armaduras. Com a ruptura do concreto, atinge-se um estado último de ruptura. 
Até alguns anos atrás, no cálculo das seções transversais em regime de ruptura, 
tomava-se a defiiiição de ruptura acima indicada, não se cogitando de qualquer 
limitação do alongamento das armaduras. Isso era feito, por exemplo, pela NB-1/60 
para o cálculo no estádio III.% 
Constatou-se posteriormente que havia a necessidade de limitação do alonga- 
mento da armadura tracionada das peças submetidas a solicitações normais. O alon- 
gamento excessivo da armadura tracionada acarreta uma fissuração exagerada, 
atingindo-se um estado último, sem que necessariamente tenha ocorrido a mpturado 
concreto do banzo comprimido da peça. 
Por essarazão, presentemente, a verificação da segurança é feita admitindo-se 
que o esgotamento da capacidade resistente tanto possa ocorrer pela ruptura do 
concreto comprimido, quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada. 
Consideram-se, portanto, estados últimos de ruptura do concreto do banzo cornpri- 
mido ou de alongamento plástico excessivo da armadura tracionada das peças subme- 
tidas a solicitações normais. 
No entanto, como o início do fenômeno físico de ruptura do concreto é de difícil 
identificação experimental, convencionou-se aceitar que o concreto atinge a mptura 
quando o seu encurtamento alcança determinados valores experimentalmente justifi- 
cados. 
Deste modo, os estados últimos de mpturado concreto passam a ser substituídos 
por estados de encurtamento último do concreto. 
FLEXÃO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 3 
1.1.3 ESTADO LIMITE Tendo em vista as dificuldades de caracterização do esgotamento da capacidade 
ÚLTIMO resistente das peças submetidas a solicitações normais, considera-se um estado limite 
último convencional, designado por estado limite último de ruptura ou de deformação 
plástica excessiva. 
Este estado limite último é alcançado 'quando na fibra mais comprimida de 
concreto o encurtamento é igual a um valor último convencional E ~ ~ . , O U quando na 
armadura tracionada a barra de aço mais deformada tem o alongamento igual ao valor 
último convencional E.. = ]O%,,. 
Observe-se que para ser alcançado o estado limite último, necessariamente 
deverá estar satisfeita pelo menos uma das duas condições últimas 
- E., m o s . - Esu = 10%' 
Deste modo, todos os diagramas de deformação das Figs. 1.1.3-1 a 1.1.3-3 
correspondem ao estado limite último considerado. Observe-se que nesses diagramas 
já está incluída a hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o 
estado limite último. 
Na Fig. 1.1.3-1, a ruína ocorre por ruptura do concreto comprimido. Este ca- 
so corresponde a existência na peça de um banzo tracionado e outro comprirni- 
do, ocorrendo a ruptura convencional do concreto com uma deformação última cons- 
L = c.. = V A R I A V E I 
Fig. 1.1.3-1 Ruptura d o concreto 
Fig. 1.1.3-2 Ruptura do concreta. 
E, = E,,' loO/, L 
I Fig. 1.1.3-3 Alongamento excessivo da armadura. Fig. 1.1.3-4 Náo há ruina 
tante e igual a 3,5%0, qualquer que seja o alongamento E, da armadura, admitindo-se 
E,, ,,,, s E, = 1Wo. 
Na Fig. 1.1.3-2, a mína também ocorre por mptura do concreto comprimido. 
Entretanto, neste outro caso, em que se admite a peça totalmente comprimida, o 
encurtamento convencional último do concreto é variável. Admite-se que seja 
estando agora a situação últimacaracterizada pela passagem do diagrama de deforma- 
ções pelo ponto C, de abscissa 2%, e ordenada 3 h/7, Fig. 1.1.3-2. 
O caso de mina caracterizada pelo alongamento plástico excessivo da armadura 
está indicado na Fig. 1.1.3-3. Qualquer que seja a deformação da fibra extrema da 
borda comprimida da seção transversal, mesmo que seja E,,, ,,, S E,,, = 3,5%0, o 
estado limite último é caracterizado pela ocorrência de deformaçáo E, = 10%0. 
O valor E, = I a o foi arbitrado com a consideração de que, desprezando-se o 
alongamento do concreto tracionado, essa deformaçáo corresponde a uma fissuração 
de 10%0, ou seja, corresponde a uma físsura de 1 mm de abertura para cada 10 cm de 
comprimento da peça. Com essa fissuração, é dada por esgotada a capacidade resis- 
tente da peça. 
Conforme está mostrado na Fig. 1.1.3-4. não ocorrerá a mína, ou seja, não será 
atingido o estado limite último de ruptura ou de alongamento plástico excessivo 
quando forem simultaneamente E, < E,, e E , , ,,, < E ,,,. Deste modo, para que um 
diagrama de deformações corresponda a uma situação última, ele deverá necessaria- 
mentepassarporumdostrêspontos,A,B ouC,indicadosnas Figs. 1.1.3-1 a 1.1.3-3. 
Com isso, as possíveis configurações últimas do diagrama de deformações espe- 
cificas ao longo da seção transversal da peçadefinem os seisdomínios apresentados na 
Fig. 1.1.3-5. Os domínios 1 e 2 são fixados pelo ponto A , os domínios 3 , 4 e 4a pelo 
ponto B e o domínio 5 pelo ponto C. Os diagramas de deformaçóes referentes aos 
diferentes domínios variam desde a reta a , correspondente a tração uniforme, até a 
reta 6 , correspondente a compressão uniforme. 
Fig. 1.1.3-5 Domínios de deformação. 
1.2 HIPÓTESES No estado limite último, o estudo da capacidade resistente das peças submetidas 
BÁSICAS a solicitaçóes normais é feito com as seguintes hipóteses básicas: 
1.2.1 MANUTENÇÃO DA Nas peças de concreto estrutural submetidas a solicitações normais, é admitida a 
SEÇÃO PLANA validade da hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o estado 
FLEXAO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 
limite último, desde que se tenha uma relação 
1.2.2 SOLIDARIEDADE 
DOS MATERIAIS 
1.2.3 ENCURTAMENTOS 
ÚLTIMOS DO CONCRETO 
1.2.4 ALONGAMENTOS 
ÚLTIMOS DAS 
ARMADURAS 
1.2.5 DIAGRAMA DE 
TENSOES 
PARÁBOLA-RETÂNGULO 
sendo to a distância entre as seções de momento fletor nulo, e d a altura útil da seção 
transversal. 
Com esta hipótese, as deformações normais específicas são, em cada ponto, 
proporcionais a sua distância a linha neutra da seção, inclusive quando a peça alcança 
o estado limite último. 
Admite-se a solidariedade perfeita entre as barras da armadura e o concreto que 
as envolve. 
Com esta hipótese, a deformação específica de uma barra da armadura é igual a 
deformação específica do concreto que lhe é adjacente. 
Qualquer que seja a sua resistência, no estado limite último o encurtamento 
específico de ruptura do concreto vale: 
3,5 x 10-3 na flexão pura 
2,O x 10-3 na compressão axial 
variando na compressão excêntrica conforme indicado na Fig. 1.1.3-2 
Nas peças de concreto armado, o alongamento específico último da armadura 
tracionada é tomado com o valor convencional de 10%0. 
Nas peças de concreto protendido, o alongamento específico máximo é limitado 
ao valor de Imo, contados a partir do estado de neutralização da seção transversal. O 
estado de neutralização é obtido anulando-se, em todaa seção transversal, as tensões 
no concreto decorrentes da aplicação isolada dos esforços de protensão. 
Admite-se que, no estado limite último, as tensões de compressão na seção 
transversal das peças submetidas a solicitações normais tenham uma distribuição de 
acordo com o diagrama parábola-retângulo indicado na figura seguinte: 
Fig. 1.2.5-1 Diagrama parábola-reténgulo. 
' GRAU 
O diagrama parábola-retângulo é composto por uma parábola do 2." grau, com 
vértice na fibra correspondente a deformação de compressão de 2%0, prolongada por 
um segmento reto limitado na fibra correspondente a deformação de compressão de 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS 
3,5%0. A ordenada máxima do diagrama corresponde a uma tensão igual a 
1.2.6 DIAGRAMA De modo geral é possível admitir-se para as tensões de compressão a distribuição 
RETANGULAR DE retangular simplificada indicada na Fig. 1.2.6-1. É importante saber-se que os resuita- 
T E N S ~ E S dos obtidos com este diagrama simplificado são praticamente iguais aos resultados 
obtidos com o diagrama parábola-retãngulo, As possíveis divergências de resultados 
ocorrem apenas no domínio 5. 
DEFORMA ÓES 
I 1 LARGURA DECRESCENTE 
O U CRESCENTE PARA PARA A BORDA CDMPRIMIDA 
A BORDA COMPRIMIDA 
Fig. 1.2.6-1 Diagrama retangular. 
No trecho de altura 0,2x, a partir da linha neutra, são desprezadas as tensões de 
compressão. No trecho restante de altura 0 . 8 ~ . admite-se distribuição uniforme de 
tensões. 
Nas zonas comprimidas de largura constante, ou crescente no sentido das fibras 
mais comprimidas, admite-se uma tensão constante e igual a 0,85 f,,. 
Nas zonas comprimidas de largura decrescenteno sentido das fibras mais com- 
primidas, admite-se uma tensão constante igual a 0.80 f,,. Este caso ocorre, por 
exemplo, nas.seções circulares, nas seções triangulares ou trapezoidais com vértice 
do lado mais comprimido e nas seçóes retangulares submetidas a flexão oblíqua. 
1.3 CASOS DE 
SOLICITAÇÃO 
1.3.1 DOM~NIOS O estado limite último de ruptura ou deformação plástica excessiva é caracteri- 
DE DEFORMAÇAO zado convencionalmente na situação de cálculo pelas deformações específicas de 
cálculo e E~, , respectivamente, do concreto e da armadura tracionada. 
Para a determinação da resistência de cálculo de uma dada seção transversal, é 
necessário considerar em qual dos domínios definidos pela Fig. I. 1.3-5 está situado o 
diagrama de deformações específicas de cálculo da seção analisada. 
Na Fig. 1.3.1-1 estão novamente representados os domínios de deformação, 
explicitando-se aposição da linha neutra paracada um dos domínios considerados. A 
posição da linha neutra é definida pela sua distância x a fibra extrema mais compri- 
mida. A posição da linha neutra também pode ser fixada, de forma adimensional, pelo 
coeficiente 
Na Fig. 1.3.1-2 estão mostrados os casos de solicitação possíveis para cada um 
dos domínios de deformação. variando-se a posição da linha neutra de -ma +m, ou 
FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 7 
seja, variando-se as solicitações desde a tração uniforme até a compressão uniforme. 
A análise das Figs. 1.3.1-1 e 1.3.1-2 permite as seguintes observações: 
1.3.2 D O M ~ N I O 1 O estado limite último é caracterizado pela deformação E,, = 10%0. A linha neutra 
é externa a seção transversal, a qual está inteiramente tracionada. 
Neste domínio estão incluídos os casos de traçãoaxial e de tração excêntricacom 
pequena excentricidade. 
A seção resistente é composta pelas duas armaduras de aço, não havendo partici- 
pação resistente do concreto, o qual é admitido como inteiramente fissurado. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS 
1 =-" 
Fig. 1.3.1-2 Casos de solicitação - Domínios de deformação. Diagramas de deformacão corresponden- 
tes aos extremos dos domínios. 
1.3.3 D O M ~ N I O 2 O estado limite último é caracterizadopeladeformaçáoe,, = IO%o. A linha neutra 
corta a seção transversal, havendo na peça um banzo tracionado e um banzo compri- 
mido. 
Neste domínio estão incluídos os casos de tração excêntrica com grande excen- 
FLEXAO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 9 
tricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentricidade. 
Na peça existe um banzo tracionado. mas o concreto da zona comprimida não 
atinge a ruptura, pois esta somente poderá ocorrer na posição limite do fim do domínio 
2, quando então E ~ , , = 3,5%0. 
Observe-se que da Fig. 1.3.1-1 resulta a relação 
3,5%0 - - 1 Wo 
X,, iim d - X2, iim 
ou seja 
donde 
Na Fig. 1.3.1-1, o domínio 2 está subdividido em dois outros, indicados, respecti- 
vamente, por 2a e por 2b. A separação entre estes dois subdominios é dada pela 
condição E,,, = 2%0, à qual corresponde a condição 
obtendo-se para a posição limite da linha neutra o valor 
A subdivisão do domínio 2 é aqui considerada tão-somente com afinalidade de ser 
determinado um valor limite da profundidade da linha neutra, a partir da qual as 
armaduras de compressáo podem ser realmente eficientes. Deste modo, somente no 
subdomínio 2b deverão ser levadas em conta as eventuais armaduras de compressão. 
No subdominio 2a, tais armaduras, mesmo quando existentes, deverão ser ignoradas, 
pois a deformação última das mesmas é muito pequena e incerta. 
1.3.4 DOMINIO 3 O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha 
neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. 
Na situação última, a deformação da armadura tracionada é pelo menos igual a 
deformação de inicio de escoamento. Assim, a ruptura do concreto ocorre simulta- 
neamente com o escoamento da armadura. Esta é a situação desejável para projeto, 
pois os dois materiais são aproveitados inteiramente e, além disso, não há risco de 
ruínanão-avisada. As peças quechegamaoestado último nodomínio 3 sãoditas peças 
srtbarmadas (na verdade deveriam ser chamadas de peças normalmente armadas). 
Neste domínio também estão incluídos os casos de tração excêntncacom grande 
excentricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentnci- 
dade. 
O domínio 3 é limitado pela condição 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
resultando na posição limite da linha neutra 
que é variável com o tipo de aço empregado 
1.3.5 DOMÍNIO 4 O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha 
neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado. 
No estado último, adeformação da armadura é inferior a deformação de início de 
escoamento. A ruptura da peça ocorre, portanto, de formafrágil, não-avisada, pois o 
concreto se rompe sem que a armadura tracionada possa provocar umafissuração que 
sirva de advertência. As peças que chegam ao estado último no domínio 4 são ditas 
superarmadas, devendo ser evitadas tanto quanto possível. 
No domínio 4 estão incluídos apenas os casos de compressão excêntrica com 
grande excentricidade. Existe predominância do efeito de compressão, embora a 
excentricidade não possa ser chamada de pequena, pois a peça ainda apresenta um 
banzo tracionado. 
O domínio 4 é limitado pela condição 
sendo nula a deformação da chamada armadurade tração, a qual na situação limite não 
é solicitada. 
1.3.6 DOMíNIO 4a O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha 
neutra ainda corta a seçáo transversal, mas na região de cobrimento da armadura 
menos comprimida. 
No domínio 4a, ambas as armaduras estão comprimidas, embora sejam usual- 
mente desprezíveis as tensões na armadura menos comprimida. 
O domínio 4.2 é um simples domínio de transição conceitual, estando limitado por 
uma posiçáo da linha neutra tangente a fibra extrema da seção, sendo'pois 
1.3.7 D O M ~ N I O 5 No domínio 5 estão incluídos os casos deflexo-compressão com pequena excen- 
tricidade e o caso limite da compressão centrada. A linha neutra não corta a seção 
transversal, a qual está inteiramente comprimida. 
Admite-se que neste domínio seja variável a deformação última do concreto, 
sendo igual a 2%0 na compressão uniforme e 3,5%0 na flexo-compressão com a linha 
neutra tangente à seção. 
Os diagramas de deformação dos dois casos limites citados cruzam-se no ponto 
C, afastado de 3 h/7 da borda mais comprimida da seção, como decorrência da 
hipótese de que o estado limite último seja caracterizado peladeformação ced = 2%0 na 
fibra que passa ppr esse ponto C , estando E,, compreendido entre os limites de 2%0 e 
3,5%0. 
1.4 DIAGRAMAS DE 
CÁLCULO DOS AÇOS 
1.4.1 PROPRIEDADES O diagrama tensáo-deformação de cálculo dos aços é obtido do diagrama caracte- 
GERAIS rístico, dividindo-se por y, as ordenadas oblíquas, paralelas a reta de Hooke. 
Para os aços das armaduras passivas, tanto da ClasseA quanto da Classe E , a 
NB-1 adota o modulo de deformação i 
FLEXÁO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 11 
E, = 210 000 MPa (1 MPa = 10 kgf/cmz) 
Para esses aços, mesmo para os da ClasseB, nos quais o efeito Bauschinger pode não 
ser desprezível, admite-se um comportamento na compressão simétrico ao cornpor- 
tamento na traçáo. Além disso, em virtude de o concreto solidário as armaduras sofrer 
ruptura com encurtamentos não superiores a3,5%a, do lado das tensóes de compressão 
o diagrama tensão-deformaçáo dos aços já é truncado em função desse encurtamento 
de ruptura do concreto. 
Para estes mesmos aços, o CEB3 adota o valor E, = 200 GPa. 
1.4.2 AÇOS CLASSE A Para os aços da Classe A , caracterizados pelalinearidade do diagramaaté o limite 
de escoamento e pela presença do patamar de escoamento, adota-se o diagrama 
indicado na Fig. 1.4.2-1. 
Fig. f.4.2-1 A ~ o s classe A. Diagrama tensão-deformafio. 
1.4.3 AÇOS CLASSE B Para os aços Classe B, obtidos por encruamento a frio, adota-se o diagrama 
apresentado na Fig. 1.4.3-1 quando se dispõe de dados experimentais que permitam o 
traçado do diagrama característico tensão-deformação. 
Quando não existe informação experimental suficiente, permite a NB-1 a adoção 
do diagrama simplificado apresentado na Fig. 1.4.3-2. 
I N = 0 , 1 k g f I MPa = I MN/m' = I0 kgflcm' 
I k N = l W k g f = O . l t f 1 kNlm = IW kgflrn = O,I tflm 
I kN.m = IW k8f.m = 0.1 I f m I kNim* = 1W kgflmz = 0.1 f i m 2 
I k N c m = !W kgf.cm = 0.1 tf.cm I k N l m a = 100 kgflm3 = 0.1 fim3 
I MPa = 0.1 kNicm' = 100 N/crn2 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
Fig. 1.4.3-1 Aços classe B. Diagrama tensáo-defomaçáo 
( '0, - o,7 )2 
ycd 
Fig. 1.4.3-2 Aços classe B. Diagrama simplificado tensão-deformação. 
~ 
Na figura da Tabela 10 estão desenhados em escala os trechos curvos dos 
diagramas correspondentes aos aços CA-40B, CA-SOB e CA-6OB. 
É oportuno salientar que o trecho curvo do diagrama simplificado adotado pela 
NB-I é uma parábola do 2.O grau, enquanto que, para essa simplificaçáo, o CEB 
, 
admite uma parábola do 5.O grau. 
Na Fig. 1.4.3-3 estão apresentados resultados experimentais obtidos com aços 
produzidos pela indústna brasileira.* 
'Resultados obtidos em diversos laboratonos 
FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMEhTOS 
Note-se que a parábola do 5 . O grau adotada pelo CEB adapta-se com maior 
segurança aos resultados da fase de encruamento que aos valores anteriores ao 
escoamento. A parábola adotada pela NB-I, além de ser numericamente mais sim- 
ples, pode garantir com maior segurança a região anterior ao escoamento, pois a NB-1 
não considera a fase de encruamento. 
. 
, . . 
, 
. 
1.5 VALORES DE (y, = 1,15, E, = 210.000 MPa) 
CÁLCULO 
1.5.1 AÇOS CLASSE A f"* = k 
Ys 
< : . 
. ... 
. . 
. . . . 
. . . .. 
. . . . 
. .. 
. . 
. 
.I . 
I N = O , I k g f I MPa = I MN/m2 = IOkgflcm' 
I k N = I W k g f = O , l t f I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm 
1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 t t m I k N / m 2 = 100kgilmz=O,I rf/m' 
1 k N . c m = 100 kgi.cm = 0.1 t f c m I k N / m S = IWkgf/rna =O,I tf/m3 
o 
I MPa = 0.1 kN/cmz = 1 W Nlcm' 
- 
0.001 0002 0003 
.:.. 
. 
. 
.. 
' . 
. 
.: ' : 
5 bs 
€ o b s - - 
Fig. 1.4.3-3 Aços classe B - Resultados experinicntais. E s 
, 
, 
. , 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS 
Fig. 1.5.1-1 Diagrama de cálculo. 
1.5.2 AÇOS CLASSE B fud = 3% 
Y. 
cyd = 2%0 + Azyd Ng. 1.5.2-1 Diagrama de cálculo 
CA-40B 400 348 1,66 3,66 
CA-SOB 500 435 2 8 7 4.07 
CA-60B 600 522 2.48 4,48 
I N - 0 , l k g f I MPa = I MN/m2 = I0 kgf/cmZ 
I k N = I W k g f = 0 , l d I kN/m = 100 kgflm = 0,I tflm 
I kN.m = 100 kg fm s 0.1 tf.m 1 kNim2= 1W kgfim2 s 0.1 tfIm2 
I kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 tf.cm I kN/mg= 103 kgflm" 0.1 U/m' 
I MPa = 0.1 kN/cm2 = IW Nlcm2 
FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 
1.5.3 VALORES LIMITES 
Para os aços Classe B c a b e a inda considerar o limite d e proporcionalidade fad e a 
cor respondente deformação específica E,,, dados por 
fod = 0,7 f,d 
CA-40B 400 348 243 1,16 
C A-SOB 500 435 304 1,45 
CA-6OB 600 522 365 1,74 
Como é fisicamente definido o esgotamento da capacidade resistente das seções de 
concreto armado submetidas a solicitaçóes normais? Quais os estados últimos corres- 
pondentes? 
Como é definido o estado limite último da ruptura ou de deformação plástica excessiva? 
O que significa a circunstância desse estado ser considerado como um estado limite? 
Qual a diferençaentre o estado limite último de ruptura ou deformação plásticaexcessiva 
e o conceito de estádio III? 
Por que o estado limite de ruptura é caracterizado por um encurtamento último do 
concreto? Quanto vale esse encurtamento? 
Se o encurlamentomáximo~~, doconcreto éinferiorao valor Último, pode aindaassim ter 
sido atingido o estado limite último? 
Que interpretação física deve ser dada ao limite adotado para a deformação última da 
armadura? 
Quais as hipóteses básicas da teoria de flexão no estado limite último? 
Como são definidos os diagramas parábola-retângulo e retangular de tensões de com- 
pressão nas seçóes transversais? 
Desenhar os diagramas de deformações da seção transversal no estado limite último de 
ruptura ou deformação plástica excessiva de peças submetidas à flexo-tração. à flexão 
I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlm' = 10 k$/crnz 
I kN = IW kgf = 0.1 tf I k N i m = IW k d i m = 0.1 t f i m 
I k N . m = 1W kgf.rn = 0.1 1f.m I kNlm' = I W kgf!m2 = 0.1 tfirn' 
I kN.crn = 100 kgf.cm = 0.1 r f c m I kNim,; = I W kgfim3 = 0.1 tfirn" 
I MPa = 0.1 kNicrn2 = 100 N/crn2 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÓES NORMAIS 
simples e à flexo-compressão com pequena excentricidade. Justificar. 
Nas mesmas três situaçóes da questão anterior, desenhar diagramas de deformações 
correspondentes a estados que ainda não sejam estados últimos. Justificar. 
Que estado Último caracteriza os domínios 1 e 2 de deformaçóes? 
Que estado último caracteriza os demais domínios de defonnaçóes? 
Na determinação da ruptura do concreto, que diferenças existem entre os domínios 3.4, 
4a e S? 
Que relaçóes obrigatórias existem entre a posição da linha neutra e o tipo de solicitação 
normal que age na seção considerada? 
Em que domínios de deformação podem estar situados os casos de flexão simples? 
O que se entende por peças subarmadas e por peças superarmadas? Em que domínios 
elas ocorrem? 
Calcular a posição relativa da linha neutra no fim dos domínios 2 e 3 . Por que um destes 
valores é constante e o outro variável? 
Em que parte do domínio 2 não se pode usar armadura de compressão? Justificar. 
Por que no domínio 5 o ponto fixo dos diagramas de deformação está a distância de 3 h17 
da borda mais comprimida? 
Caracterizar os diagramas tensão-deformação dos aços ClasseA e dos aços ClasseB. 
Definir o limite de escoamento para ambas as classes de aço. 
Como se determina o diagrama de cálculo tensãodeformação, a partir do diagrama 
característico dos aços? 
Que forma simplificada do diagrama tensão-deformação dos aços Classe B é permitida 
pela NB-I? 
Quanto vale o módulo de deformação E, dos aços Classe A e dos aços Classe B? 
Calcular a deformação de início de escoamento dos aços CA-SOA e CA-SOB. 
2 
Seções Retangulares 
2.1 TRAÇÁO SIMPLES 
E TRAÇAO COM 
PEQUENA 
EXCENTRICIDADE. 
2.1.1 CONDICOES DE As peças de concreto armado submetidas à tração simples ou à tração com pequena 
EQUILÍBRIO excentricidade devem ser admitidas com suas seções transversais inteiramente fissu- 
radas. No domínio 1, a seção resistente é formada apenas pelas duas seções metálicas 
A , e k s , Fig.2.1.1-1. 
Neste caso, o estado limite último é caracterizado pelo fato de a deformação 
específica da armadura mais tracionada, de área A,, ter atingido o valor E* = 10%0. 
Embora se saiba que a outra armadura, de área A',, também está tracionada, não 
w 
Kg. 2.1.1-1 Flexo-tração no domínio I 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
se conhece a priori a tensão rid que age na mesma, pois não se conhece a posição da 
linha neutra, podendo ser E,, < E;,. 
Em princípio, as forças R: e R, que agem nas armaduras podem ser estudadas em 
função da ação última F, e da geometria do sistema, impondo-se as condições de 
equilíbrio de esforços e de compatibilidade de deformações. 
No entanto, torna-se mais simples proceder a uma duplaverificação, como é feito 
a seguir, Fig. 2.1.1-2. 
Fig. 2.l.l-2 tquilibi-io de forças. 
a. Condiçõesde equilíbrio 
Das condições de equilíbrio, têm-se: 
sendo 
RSd = A: 
b. Cálculo de verificaçáo (incógnita: F,) 
O valor de cálculo Fd da ação é dado pelo menor dos dois valores 
d - d' F,, =S A', - fvd (2.1.1-5) 
e, 
com 
SEÇÕES RETANGULARES 19 
Observe-se que será F,, = F., quando a distância 1 x 1 da linha neutra for 
suficientemente grande paraque E; 2 eyd, logo quando aLd = fUd. 
c. Cálculo de dimensionamento (incógnitas: A,, A;) 
Impõe-se nas equações (2.1.1-1) a (2.1.1-4) a condição 
obtendo-se então as áreas A, e A; 
2.1.2 CÁLCULO DE 
VERIFICAÇAO. 
EXEMPLO* 
Fig. 2.1.21 Exemplo 
Para a seção da Fig. 2.1.2-1, determinar o valor de serviço da força de tração que 
pode ser aplicada com uma excentricidade e = 10 cm. São dados: 
h = 50 cm d' = 4 cm A, = 4 4 25 (20 cm2) A: = 2 4 25 (10 cm2) 
Aço CA-SOA (f,, = 435 MPa) e = MIN = 10 cm 
Admitindo Md = M* = e = 10 Cm 
Nd Nk 
têm-se 
Das condições de equilíbrio, resultam 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
ou seja 
F. = 3,82 Ri, 
F. = 1,35 R,, 
Considerando a condição limite o;, = uad = fvd, para a qual 
sendo Rid 5 Riu e R,, s R,, obtêm-se 
resultando finalmente 
Fd = 1 175 kN 
Em condições de serviço, adotando y, = 1,4, tem-se 
2.1.3 CÁLCULO DE 
DIMENSIONAMENTO. 
EXEMPLO 
Fig. 2.1.3-1 Condições de serviço. 
Determinar as áreas A, e A8 das seções das armaduras do tirante indicado na Fig. 
2.1.3-1. 
Sendo dados M, e N,, a peça pode ser tratada como se estivesse submetida a uma 
- - 
I N = 0 , 1 w I MPa = I MNlmS= IOkgíIcm' 
I k N = I W k g f = O , I t í 1 kNlm = IW kd/m = 0.1 tflm 
I kN.m = IWkgfm = O,] t tm I kNlmZ= IWkgí lm~=O, l d/mS 
1 kN.cm = 1W kgfcm = 0.1 tf.cm I kNlm" lCü kgflm' = 0.1 tílm" 
1 MPa = 0.1 kNIcm' = ICü N/cm' 
SEÇOES RETANGULARES 
força de tração excêntrica Fk = N,, com excentricidade 
Para o dimensionamento das armaduras será considerada então, Fig. 2.1.3-2, a 
solicitação dada por 
Fig. 2.1.3-2 Condi~óes de $álculo. 
Da geometria do sistema, têm-se 
e das condições de equilíbrio, obtêm-se 
Admitindo-se o emprego de Aço CA-50A, com f,, = 435 MPa, resultam para as 
armaduras os valores: 
I N = O , l k g f I MPa = I MNlrn2 = IOkgitcrn* 
I k N = 103 kgf = 0,1 tf I kN/m = 103 kgflm = 0.1 tflm 
I k N m = IW W . m = 0.1 1f.m I k N / m L lWkgflrna = 0,l tfirn* 
1 kN.cm = IW kgf.crn = 0.1 tf.crn I kNlms = 1W kgflrn' = 0,I tfirn' 
2.2 FLEXAO SIMPLES. As expressões aqui deduzidas têm por finalidade apresentar o estudo do caso básico 
CÁLCULO PRÁTICO que permite as primeiras aplicações da teoria de flexão. 
No estudo com variáveis adimensionais é empregado o diagrama parábola- 
retângulo, enquanto que, no estudo com variáveis dimensionais, é usado o diagrama 
retangular de tensóes. 
2.2.1 VARIÁVEIS 
ADIMENSIONAIS. 
ARMADURA SIMPLES 
& b A 
Fig. 2.2.1-1 Caso básico - FlexXo simples - Armadura simples. 
Considerando-se o caso básico da flexão simples de seções retangulares com 
armadura simples, as equaçóes de equilíbrio podem ser deduzidas diretamente a partir 
da Fig. (2.2.1-1). De fato, sendo 
,.\ 
R, = a bx.0,85 fcd 
e 
R, = A, c, 
definindo-se os valores 
(taxa mecânica de armadura) 
(momento fletor reduzido) 
as equações de equilíbrio 
R, = R, 
R, z = M, 
podem ser escritas 
donde 
Nestas expressões, o coeficiente a mede a relação entre a tensão média de 
compressão e o valor extremo 0,85 f,,; o coeficiente 5' fixa a posição da resultante das 
tensões de compressão no concreto e, portanto, define o braço de alavanca dos 
esforços internos. 
Conforme será visto em 5 2.3.4, as condiçóes de compatibilidade de deformações 
fornecem as seguintes funções da variável f : 
a = a(f) (permite a determinação da tensão média de compressão em função da 
posição da linha neutra) 
f' = C(5) (permite a determinação do braço de alavancados esforços internos em 
função da posição da linha neutra) 
uSd = usd(f) (tensão na armadura de tração em função da posição da linha neutra) 
Desse modo, a expressão (2.2.1-2) pode ser posta sob a forma de uma equação a 
uma incógnita: 
I p, = função (01 
a qual, uma vez resolvida, fornece a função inversa 
Uma vez conhecida a posição da linha neutra em função do momento fletor, a 
equação (2.2.1-1) permite a determinação da taxa mecânica da armadura de tração, 
obtendo-se 
w = 0 3 5 a - (2.2.14) 
Nos casos de dimensionamento, usualmente faz-se o., = fy,, resultando então 
Em lugar da expressão anterior, a armadura também pode ser determinada pela 
expressão 
onde 
z = d - 5 ' x = d ( l - 5 > 6 ) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS 
Nos casos usuais de dimensionamento, adora-se uSd = f,,, resultando 
2.2.2 TABELAS Tendo em vista as aplicações práticas, foram tabelados os valores das variáveis que 
ADIMENSIONAIS intervêm no estudo das seções retangulares, estando os resultados apresentados na 
Tabela 1 do Anexo desta publicação. 
Observe-se que as tabelas são apresentadas sempre em função dos valores de 
cálculo. Desse modo, para o seu emprego deverá sempre ser utilizado o valor do 
momento fletor majorado 
Como será visto posteriormente, a tabela correspondente ao caso básico de 
flexão simples de seções com armadura unilateral poderá ser empregada para todos 
os casos de flexão, simples ou composta, de seçóes com armadura simples ou 
armadura dupla. Como essas tabelas são válidas para qualquer tipo de aço e para 
qualquer resistência do concreto, elas são chamadas de tabelas universais. 
2.2.3 VARIÁVEIS 
ADIMENSIONAIS. 
A R M A D U R A DUPLA' 
-1 )Md = v,- + I-- 
(d-d') 
A s . A s I As2 , I 
L---- 1 
Fig. 2.2.51 Redugão ao caso básico 
A armadura de compressão será usada quando a armadura simples conduzir a 
5 > f n m , isto é, quando a armadura unilateral corresponder ao domínio 4. Com esta 
precaução são evitadas as peças frágeis. Todavia, com os aços ClasseB, para os quais 
a deformação E,, é convencional, admite-se que hajaumazona utilizável do domínio4, 
co&espondente a deformações E,, maiores do que a deformação de início de escoa- 
SEÇOES RETANGULARES 25 
mento do aço da mesma categoria, mas da Classe A. 
Para a consideração da armadura dupla, o momento fletor é decomposto em duas 
partes 
das quais M,, . é a parcela resistida pela seção com armadura simples e AM, é a 
parcela resistida por uma seção metálica. 
Dessa maneira, conforme é ilustrado pela Fig. 2.2.3-1, têm-se: 
armadura de tração 
armadura de compressão 
/;7 
De modo geral, faz-se 
correspondente a 8 = [ l i , . Nesse caso, obtêm-se 
armadura de tração 
1 M, ,I7"+=) A, = - (. 
Ud Z d - d ' 
armadura de compressão 
\ 
É importante salientar-se que a decomposição considerada é válida porque foi 
admitido o mesmo diagrama de deformações tanto para a seção simplesmente armada, 
com armadura de área A,,, quanto para a seção metálica formada pelas armaduras de 
áreas A: e A,, Fig. 2.2.3-1. 
Note-se que os valores correspondem a 5 = 5irrn Em 
também com os aços Classe B 
adotado pela NB-I. 
os valores 
vezes é tolerada a solução com armadura simples paravalores def algo maiores do que 
511rn, desde que não se chegue a peças de ruptura francamente frágil. 
Admite-se, em geral, como ainda utilizável a parte do domínio 4 onde 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇ~ES NORMAIS 
2.2.4 EXEMPLOS a. Armadura simples 
Fig. 2.2.41 Exemplo. 
Calcular a armadura da viga indicada na Fig. 2.3.4-1. Solicitação: 
q, = 20 kN/m 
Me = Yr Mx, mus. = 1,4 X 90 = 126 kN.m = 12 600 kN.cm 
f,, = 18 MPa = 1,X kN,!cm2 
h = 50 cm b = 25 cm 
d' = 4 cm (valor estimado) 
d = h - d ' = 5 0 - 4 = 4 6 c m 
Pela Tabela 1 (para @, = pgd = 0,186) 
5 = 0,31 < c,im (domínio 3, pode ser usada armadura simples) 
5 = 0,867 logoz = b = 0,867 x 46 = 39,9 cm 
E, = 7,49%0 (a,d = f,,) 
Sendo Aço CA-SOA, têm-se 
f,, = 500 MPa = 50 kN/cmZ 
1 N = 0.1 kgf I MPa = I MN/m2 = 10 kgf/cmS 
I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kNIm = 1W kgflm = 0.1 dlm 
I kN.m = 1W M m = 0.1 t f m I kNlm2 = 1M kgflrn2 = 0.1 dlmz 
I kN.crn = 1M kgi.cm = 0.1 1f.m I kNlmL 100 kgf/ma = 0.1 tf/d 
SEÇOES RETANGULARES 
logo 
ou seja 
A, = 7,26 cmZ - 4 6 16 
sendo A, > A,, ,i, . pois para o Aço CA-50 
p,,,, = A,, ,,,/bd 3 0,15%, logo 
A , ,,,. = 0,15 x 25 x 461100 = 1,73 cm2 
b. Armadura dupla 
Determinar a armadura da viga do caso anterior, reduzindo-se a largura para 12 
cm. 
Neste caso, obtém-se 
Adotando pd = pd, lim = 0,319, têm-se 
5 = (rim = 0.6283 
5 = 0,739 logo z = < d = 0,739 x 46 = 34,O cm 
Ecl = 3,5%0 
d' donde, sendo 8' = - = 4 0,09, 
d 46 
5 - '' - - = 3,00%0 > tem-se E'* = eCl - - 3,5 
5 0,628 
ou seja a', = f',, = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ 
Desse modo, sendo 
Md, ii, = pd, fim.bdZ fcd = 0,319 X 12 x 462 x 1,28 = 10 368 kN.cm 
1 N = 0.1 kgf I MPa = 1 MNlmP= 10l;gficmz 
I k = 100 kgf = 0.1 f f I kNlm = 100 W i m = 0.1 tflm 
1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 1f.m I kNlm2 = 100 kgfim" = 0.1 (fim' 
I k N . c m = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kN/mS= la)kgf /m3=0.1 tflms 
I MPa =O,! kNlcmz = 100 Nicm' 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
resultam, com d - d' = 46 - 4 = 42 cm, 
logo 
2.2.5 VARIÁVEIS Tradicionalmente entre nós o cálculo rotineiro das peças de concreto armado 
DIMENSIONAIS. TABELAS submetidas à flexão normal era feito com o auxílio de tabelas que genericamente 
TIPO k podem ser chamadas de tabelas tipo k . 
Essas tabelas tiveram o seu formato estabelecido originariamente por Loeser4 
para o cálculo no estádio 11. 
Quando se introduziu entre nós o cálculo no estádio 111, como conseqüência dos 
trabalhos de Langendonck2, já eram utilizadas tanto tabelas com variáveis adimensio- 
nais quanto tabelas com variáveis dimensionais. 
A apresentação de tabelas tipo k para o cálculo no estádio 111, com o formato e a 
notação originalmente empregados para o cálculo no estádio 11, foi feita por Burkes e. 
posteriormente, por Burke e Gertsenchtein.Tomo essas tabelas* foram empregadas 
durante muitos anos, tanto na formação dos nossos engenheiros quanto no trabalho 
profissional em nosso meio técnico, tabelas do tipo k são novamente aqui apresenta- 
das, mantendo-se de modo aproximado o formato tradicional, empregando-se porém 
os valores de calculo dos momentos fletores.** 
Tendo em vista a notação internacional estabelecida pelo CEB e adotada pela 
NB-1, as tabelas tipo k aqui apresentadas tiveram a sua notação adaptada, definindo- 
se os seguintes coeficientes:* 
*As tabelas citadarr eram empregadas com os momentos caracte"sticos M,. 
'.Obseivpse que todos os momentos fletores sáo tomados sempre com seus valores de cálculo 
1 N = O . ! @ i MPa = 1 MNlm' = I0 kgf/cmz 
I k N = I W k g f = O , l t f i kNlm = 100 kgfim = 0,I tilm 
I kN.m = 1 0 0 W m = 0.1 tf.m I kNlmS= 100kgflm2=0,1 tiimz 
I kN.cm = 100 kgfem = 0.1 tf.crn I kN/mZ= i00 kgflm" 0.1 tflm3 
SEÇOES RETANGULARES 
Com armadura simples: 
Com armadura dupla, sendo A, = A,, + A,,, 
AMd A', = k:- 
d - d' 
onde 
O momento Md. e é a parcela resistida pela seção com armadura simples de área 
A,,, e o momento A M d é a parcela resistida pelas seções metálicas de áreas A,, 
tracionada e A: comprimida. 
Usualmente é adotado o valor 
Md, C = Md, lim (2.2.5-8) 
correspondente a 5 = eiim. 
Em todas as expressóes, Mdi Md, Md, lim e A M d são valores de cálculo. 
Das expressóes anteriores pode ser mostrada a equivalência entre os coeficientes 
k e os coeficientes empregados no cálculo com variáveis adimensionais. 
Assim, por suas próprias definições, têm-se 
O coeficiente k, faz o papel do momento fletor reduzido P,, pois 
logo 
1 k, = - 
p d fed 
Considerando seçóes com armadura simples, tem-se 
onde 
De modo análogo, para as seções com armadura dupla, sendo 
I AM, A,$ = - - 
vid d - d ' 
podem ser escritas as expressões 
resultando 
-- 
A Md AMd = kn- 
u8d d - d' d - d' 
e 
1 AMd =kgl- 
-- 
AM, 
uid d - d ' d - d ' 
logo 
I k,, = - (2.2.5-1 1) 
08, 
As tabelas apresentadas no Anexo desta publicação, para os aços CA-25, CA-32, 
CA-40A, CA-40B, CA-SOA, CA-SOB e CA-6OB e para concretos de resistência fck 
iguais a 9; 13,5; 15; 18; 21; 25 e 30 MPa, fornecem os valoresdos coefícientesk,, k,, k,, 
e k: em função da posição da linha neutra dada por .$ = x/d. 
Além disso, para o cálculo de verificação, que é ilustrado pelos Exemplos 4 e 5 do 
§ 2.2.7, as tabelas fornecem os valores dos coeficientes 
100 A,, 100p, = - 
bd 
(2.2.5-13) 
2.2.6 ORGANIZAÇAO DAS 
TABELAS DIMENSIONAIS. 
FORMULÁRIO 
estando os valores de k, dados em função de a, e os valores de ki em função de 6. 
As tabelas foram constmídas com os coeficientes básicos de ponderação adota- 
dos pela NB-1, isto é, 
Quando forem adotados coeficientes y, f 1,4, as mesmas tabelas poderão ser 
empregadas, entrando-se com o valor corrigido h, em lugar do valor real h, sendo 
FLEXÃO SIMPLES - A R M A D U R A SIMPLES 
Fig. 2.2.6-1 Caso básico - Diagrama retangular de tensóes. 
i. VERIFICAÇAO DO CONCRETO EM FUNÇÃO DO MOMENTO ATUANTE 
Sendo 
pode ser calculado o momento 
Md = 0,85 fcd.0,8 x.b (d - 0,4 x) 
logo 
Md = 0,68 fcd.bdz 5 (1 - 0,4 4) 
obtendo-se então a relação 
Sendo por definição 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
resulta 
1 . k, = - 1 Depende da resistência do concreto e da posição 
f,d 0,68 5- (1 - 0,4 f ) da linha neutra, mas não depende do tipo de aço. 
Para um dado concreto, a cada valor de 5 corresponde um único valor de k,. 
Reciprocamente, a cada k, corresponde um único 5. Quando 6 s f,,,, a seçáo de 
concreto é satisfatóna, não havendo necessidade de armadura de compressão. 
2 . VERIFICAÇAO DO CONCRETO EM FUNÇAO DA ARMADURA EXISTENTE 
Considerando-se apenas o caso deflexáo simples, tem-se 
Nd = O (flexão simples) 
Admitindo-se que haja armadura simples, tem-se 
A', = O A, = A,, (armadura simples) 
logo 
Do equilíbrio de forças, resulta 
A, u,d = 0 3 5 f,d . b 0,8 x 
logo 
A, 
- - 
f C d 
- 0,68 f - 
bd u s d 
donde 
Para 8 &im. tem-se u.d = fud. Para f > &,,, no domínio 4, tem-se 
logo, em qualquer caso, a cada valor de f corresponde um único valor de p,. Recipro- 
camente, dado p, tem-se f e, em função deste, obtém-se k,; ou seja, tem-se o máximo 
valor de Md compatível com a armadura A,,. 
3 . CÁLCULO DA ARMADURA SIMPLES 
Para um dado 
tem-se 
z = d - 0 , 4 x = [ d 
logo 
A seção transversal da armadura é dada então por 
ou seja 
Nos domínios 2 e 3: 
logo 
Fazendo 
pode-se escrever 
k, = 1 
( 1 - 0,4f)fVd 
No domínio 4 
Depende do tipo de aço e da posiçáo da linha neutra, mas 
não depende da resistência do concreto. 
logo 
As peças que chegam ao estado último no domínio 4 são, em princípio, peças 
superarmadas e portanto devem, no caso de flexão simples, ser evitadas por conduzi- 
rem a rupturas frágeis. Por essa razão, para osaços Classe A , os valores de k, são 
fornecidos até o valor de c,,,. 
Para os aços Classe B , cujas deformações e,, são muito maiores que para os 
correspondentes aços Classe A da mesma categoria, admite-se que ainda seja utilizá- 
vel a faixa de deformações 
k, = 1 
( I - 0 4 ) u d 
conforme é mostrado na Fig. 2.2.6-2 
Depende do tipo de aço e da posição da linha neutra, mas 
náo depende da resistência do concreto. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS 
L 
Fig. 2.2.6-2 Diagramas tensão-deformação dos aços. 
Em função de c, foram tabelados os valores de k,. Para os aços ClasseA, o último 
valor apresentado corresponde a 5,,,. Para os aços ClasseE , o último valor apresen- 
tado corresponde ao Ça, do aço da mesma categoria, mas da Classe A . Para os aços 
Classe B, os valores de k., correspondentes a zona utilizável do domínio 4, estão 
abaixo do traço indicado na tabela. 
Para o cálculo da tensão crsd dos aços Classe B, no domínio 4, tem-se 
Ec,, =35°/w 3,5%0 - Esd md-x x d - x logo d 1 - t eed = 0,0075 - 5 
obtendo-se a tensão usd a partir da expressão adotada pela NB-1 
E d 
esd = (Tad + (5 - 0,7)2 
Fig. 2.2.6-3 Armadura simples - E, 45 fvd 
Deformações I B . ARMADURA DUPLA 
I . SEÇÃO COM ARMADURA DUPLA. ARMADURA DE TRAÇAO 
Fig. 2.2.64 Flexão simples - Armadura dupla. 
SEÇOES RETANGZTLARES 
Dado o momento 
tem-se 
Sendo 
1 AM, A,, = - - 
a,, d - d' 
resulta 
Quando se admite 5 C f,,, (domínios 2 e 3), resulta uad = fyd, logo 
I k, = - 
a, 
Depende do tipo de aço, mas não depende da resistência do 
concreto. 
Quando se considera 5 > f r r m (domínio 41, tem-se 
1 k, = - = k,, I,, 
f vd 
podendo ser feito 
Válido para f C [I,,, não dependendo da posição da linha 
neutra. Para cada tipo de aço, este é o único valor apre- 
sentado nas tabelas resumidas. 
2 . SEÇAO COM ARMADURA DUPLA. ARMADURA DE COMPRESSAO 
ud a=- 
fud 
sendo 
Medida da eficiência da armadura de tração. Depende do tipo de aço 
e da posição da linha neutra. 
I AM, A:=, - 
U*d d - d' 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
resulta 
De modo geral, tem-se 
1 k, = - 
r, , 
Ecld = ~ i d = &ad 
x x - d ' d - x 
Depende do tipo de aço, mas não depende da resistência do 
concreto. .~ 
Domínio 3 ( E ~ , ~ = 3,5%0) 
'eid 
d'= ~ ' d z suT &id = 0,0035 - 5 - 8 ' f 
Domínio 2 (ead = 10%0) 
u 
Para f = tem-se 
Fig. 2.2.6-5 Armadura dupla - Defor- 
mações. &id = 0,0035 fllm - " 
t i i m 
resultando 
c',, = função (8') 
logo 
No caso geral, pode-se escrever 
1 ki, li, = (r'sd) f =&im 
I - 
1 - 1 f"d = f;d k i = - - - 
UM fld crid p 
Válido para 5 = c,,,. Para cada tipo de aço são estes os 
valores apresentados nas tabelas resumidas em função de 6'. 
2.2.7 EXEMPLOS DE a. Exemplo I . Armadura simples 
DIMENSIONAMENTO 
Recalcular o exemplo do 8 2.2.4-a, empregando as tabelas tipo k. 
o:, 
= f:, 
Medida da eficiência da armadura de compressao. Depende do tipo 
de aço, da posição da linha neutra e da profundidade relativa da 
armadura de compressão. 
SEÇÕES RETANGULARES 
Dados conhecidos: 
Md = yfMr = 1,4 X 90 = 126 kN.m = 12 600 kN.cm 
h = 50 cm Aço CA-50A 
b = 25 cm fCk = 18 MPa 
d ' = 4 c m 
d = 46 cm 
Calcula-se 
De acordo com a Tabela6 do Anexo, para o Aço CA-SOA, k, = 4,2 > k,, ,,,, logo 
o diagrama de deformações está no domínio 3, donde a peça poderá ter armadura 
simples, sendo 
A, = k,% = 0,026 . - 12'* - - 7 ,12cm2(40 16) 
d 46 
b. Exemplo 2 
Recalcular o exemplo do § 2.2.4-b, empregando as tabelas tipo k. 
Dados conhecidos: 
Md = 12 600 kN.cm 
d = 46 cm Aço 50-CA 
b = 12cm f,, = 18 MPa 
Calculando 
bd2 - 12 x 462 k , = - - 
= 2,0 < k,, li, M, 12600 
(Tabela 6) 
conclui-se que, com armadura simples, a peça seria superarmada, pois o diagrama de 
deformações estaria no domínio 4. 
Desse modo, sendo 
tem-se 
I N -0 .1kgf I MPa = I MN/m2 = I0 kgflcm' 
I kN - IM) kgf = 0,l tf I kNlm = I W k8«m = 0,I tflm 
I kN.m = IW kgf.m 5 0.1 1f.m I kN/rn2 = IW kgf/rnP = O,! tf/rn2 
I kN.crn= 1Wkgf.cm = 0.1 t f c m I kN/m'= IWkgf/mim'=O,I n/mz 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
resultando, com d - d' = 42 cm, 
10 580 2 020 A. = 0,031- + 0,023- = 7,13 + 1,11 = 8,24cmZ (3020) 46 42 
c. Exemplo 3 
Recalcular o exemplo anterior, item b, empregando o Aço CA-SOB. 
De acordo com os dados do problema, têm-se 
Md = 12 600 kN.cm fcx = 18 MPa 
d = 46 cm Aço CA-50B 
b = 12cm 
Sendo 
(Tabela 7) 
k , = - - bd2 - l2 46z = 2 8 < kc. ,o,, "til,,, ,e1 Md 12600 
é necessário empregar armadura dupla. 
Adotando-se 
k, = k , ,,, = 3,O correspondente a 6 = c,,, = 0,4623 
resultam, sendo 
a = 1,00 logo k, = - - - 0,023 
a 
donde 
- - 
1 N = 0 , 1 k g f I MPa = i MN/m2 = IOkBflcm2 
I k N = I W k g f = O , l t f i kNIm = 1W k8fim = 0.1 tflm 
I kN.m = I W kgf.m = 0,l 1f.m I k N / m Z = tWkgf /m'= O,! tf/m' 
I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tf.cm 1 kNlma= I W kgflm' = 0.1 tflmx 
SEÇOES RETANGULARES 
Sendo 
isto é 
obtêm-se 
2.2.8 EXEMPLOS DE a. Exemplo 4. Problema de venfícaçáo* 
VERIFICAÇAO 
Determinar o máximo momento Md que pode ser aplicado à seçáo dimensionada 
no Exemplo 2 (caso b dos exemplos de dimensionamento). 
Dados: 
d = 46 cm Aço CA-50A 
b = 12 cm f,, = 18 MPa (Tabela 6) 
Tentativa. Admite-se o escoamento das duas armaduras. 
Sendo 
a hipótese de que as duas armaduras estejam em escoamento corresponde a 
k; = k,, 
logo 
AP2 = A i = 1,60 cmZ 
-0 cáicula de veririca$áo é feito aqui por tentativas, evitandrrre o emprego de diagamas de inteniqão 
I N =O,lkgf I MPa = I MN/m3 = 10 kgf/cmz 
I k N = I W k ~ = O , I l f i kNlm = 100 kgf/m = 0.1 tflm 
I kN.m = 100 kd .m = 0.1 1f.m I kNlm' = 100 kgi/m2 = 0.1 tf/mZ 
I kN.cm = I00 kgf.cm = 0.1 tf.cm I k N / m L I00 kgí/ma = 0,I tflm* 
I MPa = 0.1 kNIcm" - I W N/cm9 
donde 
A,, = A, - A,, = 9,45 - 1,60 = 7,85 cm2 
Desse modo, pode ser calculada a porcentagem de armadura 
resultando 
2.a Tentativa. Como no entorno de 100 p, = 1,26 o valor procurado de k, é pouco 
sensível a variações e a = 1,00, adota-se k, = 2,4 resultando 
tem-se para Md o valor máximo admissível de 
resultando o valor 
b. Exemplo S . 
Determinar o momento máximo M, que pode ser aplicado a seção do Exemplo3 
(caso c dos exemplos de dimensionamento), usando-se Aço CA-SOB. 
Dados: 
d = 46 cm Aço CA-SOB 
b = 12 cm f,, = 18 MPa 
A, = 3 4 20 = 9.45 cm2 
A: = 2 c$ 12,5 = 2,50 cm2 
(Tabela 7). 
1.O Tentativa. Analisando a tabela referente ao Aço CA-SOB, verifica-se que nas 
proximidades de .&, têm-se 
a - 1,O logo kS2 - 0,023 
e, para S ' = df /d = 4/46 = 0,09 - 0,10, 
p - 0,W logo k; - - - - 0,026 
0 3 
Desse modo, sendo 
da condição 
As* AMd = - (d - d') = -c (d - d') 
ks2 ks 
obtém-se 
logo 
A 82 = k,, A; = !!8?2,50 = 2,21 cmZ 
k', 0,026 
resultando 
- 
As, = As - A,, = 9,45 - 2,21 = 7,24 cm2 
O valor 100 p, = 1,31% corresponde a 
0,56 < f< 0,60 
para o qual a 0.90, concluindo-se que há a necessidade de uma segunda tentativa, 
pois nesta primeira tentativa foi adotado o valor a I 1 ,O. 
2 .O Tentativa. Admitindo-se a - ,B = 0,9, tem-se 
A,, = A6 = 2,50 cm2 
donde 
A,, = A, - AQ = 9,45 - 2,50 = 6,90 cm2 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOÍ?S NORMAIS 
correspondente a 
k, = 2,6 
a = 0,90 
Nessas condições, têm-se 
logo 
Observação Seria espontâneo que a condição A,, = A, tivesse sido adotada logo na 
I .a Tentativa. Essa hipótese foi intencionalmente evitada apenas-para se 
mostrar que o problema é sempre resolvido no máximo com duas tenta- 
tivas. 
2.2.9 SECAOSUBMETIDA A Dadaa seçãoda Fig. 2.2.9-1, calcular os momentos limites que podem ser aplicados, 
MOMENTOS DE SENTIDOS considerando-se sucessivamente cada uma das armaduras como sendo a de tração. 
CONTRÁRIOS. EXEMPLO 
Fíg. 2.2.9-1 Exemplo. 
Caso A . Armadura A , tracionada 
Sendo 
A: = 9,45 cmZ 
A, = 18,90 cmZ 
1 N = O , l k g f 1 MPa = I MNlm9= IOkgfIcm' 
1 kN = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm = 0, l tflm 
l k N m = 100 kgtm = 0.1 tf.m I kN/mn = 100 kgflm' = 0.1 tflm' 
I kN.cm = IW kgf.em = 0.1 tf.cm I kN/mS = 100 kBf/mS =0.1 Um' 
procede-se da seguinte forma: 
Tentativa. Admitindo o escoamento de ambas as armaduras, têm-se 
A, = A,, + AgZ = 18,90 cmZ 
resultando 
Calculando o valor de 
pela Tabela 6 (CA-SOA), para f,, = 13,5MPa e 8' = 0,10, obtêm-se 
ficando confirmada a validade da hipótese de que ambas as armaduras estejam em 
escoamento. 
Desse modo, resulta 
bd2 r (d - d') Md = Md. c + AMd = - + As 
k, k,' 
ou seja 
Caso B . Armadura A,, tracionada 
Neste caso, têm-se 
I N =O,Ikgf I MPa = I MN/m2= I0 kgflcm' 
I k N = 100 kgf = 0.1 tf I kNlm = 100 W l m = 0.1 d/m 
I kN.m = I W kgf.m = 0.1 1f.m I kN/rn9= 1WWlm' = 0,I d/m' 
I kN.cm = I W kgfcm = 0.1 tfcm I kNIm3 = I W kgflm" 0.1 ffim" 
i MPa = 0.1 kNlcm2 = I W N/crn2 
Sendo A: > A,, é evidente que deverá ser P < 1 ,O, pois este coeficiente mede a 
relação ~ : ~ / f , ~ . 
Neste exemplo particular, sendo A: = 2A,, necessariamente deverá ser P < 0,5. 
Consultando a Tabela 6, verifica-se que, para 6' = 0,10, o valor de P cai rapida- 
mente, para valores de 5 no entorno de 5 = 0,16. 
Tentativa. Admite-se o valor P = 0,34 correspondente a 
resultando então 
As, = A, - A,, = 9,45 - 3,24 = 6,21 
A solução será verdadeira se for satisfeita a condição 
Com os valores admitidos. têm-se 
estando portanto satisfeita a condição de validade do valor P escolhido. 
Desse modo, de 
bd2 Md = Md, c + AMe = - + A: (d - d') 
k c k: 
obtém-se, com k', = 0,23/0,34, 
logo 
'ri 
M, = 5 841 + 1 1 315 = 1 1 156 kN.cm 
I N =0,1kgf I MPa = 1 MNlm" 10 kgflcm' 
I k N = I W k g f = O , I t f 1 kN/m = 1W kgflm = 0,1 tflm 
1 kN.m = IW kptm = 0.1 t fm I kNlm3= IWl<gflm*=0,l tflm2 
I kN.cm = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kNlrn' = 1W kgflm" 0,1 tflrn' 
I MPa = 0.1 kN/cmz c 100 Nlcm" 
SEÇÓES RETANGULARES 45 
2.3 FLEXÃO SIMPLES Flexáo simples é a flexão não acompanhada de força normal. 
3 FLEXÃO COMPOSTA Flexáo composta com grande excentricidade é a flexão acompanhada de força nor- 
COM GRANDE mal, havendo na peça um banzo comprimido e outro tracionado. 
EXCENTRICIDADE 
(DOMINIOS 2-3-4-4a) 
2.3.1 CONDIÇÕES DE Redução a um caso básico único. (M e N em valores absolutos.) 
EQUILIBRIO 
d l 1% ll R' F, = R, - R, - R; F, e, = R,(d - c x ) + R:(d - d') 
e 6 
-- 
F u ( tração) 
FLEXO-TRAÇAO 
FLEXAO SIMPLES 
F, = R, - R, - R; = O 
N, e, = M, = R,(d - c x ) + R:(d - d') 
rrTl 
FLEXO-COMPRESSÁO 
=, 
d F . = R, + R; - R, 
M F, e, = R,(d - Cx) + R;(d - d') 
A $ 
R* 
FLEXO-WMPRESSAO 
Fig. 2.3.1-1 Condiçóes de equilibrio 
46 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
Comparando-se as equações de equilíbrio daflexo-tração, da flexão simples e da 
flexo-compressão, verifica-se que elas podem tomar-se idênticas desde que na flexo- 
tração seja feita F c: O. 
Desse modo, os três problemas ficam reduzidos a um único, tomando-se o caso 
da flexo-compressão como caso básico. 
As equações de equilíbrio, tanto na flexo-compressão quanto na flexão simples e 
na flexo-tração, podem pois ser escritas sob a forma 
F, e, = R,(d - ['x) + R: (d - d') (2.3.1-2) 
com F, > O de compressão e F, < O de tração, sendo 
Nu = F, (2.3.1-3) 
No caso de flexão simples, tem-se Nu = 0, sendo 
Observe-se que a equação de equilíbrio de momentos será sempre referida ao 
centro de gravidade da "armadura de traçáo" (armadura mais tracionada ou menos 
comprimida). 
2.3.2 PROPRIEDADES Consideram-se a seguir as propriedades básicas das seções retangulares, tendo em 
BÁSICAS DAS SEÇOES vista a forma do diagrama de tensões de compressão e a posição da linha neutra, nos 
RETANGULARES domínios 2, 3 , 4 e 4a. 
Os elementos básicos de notação estão indicados na Fig. 2.3.2-1. 
Ag. 2.3.2-1 Seçóes relangulares - 
Notação usual 
a. Domínio 2 
Conforme já foi visto anteriormente, o domínio 2 pode ser dividido em dois 
subdomínios, indicados respectivamente por 2a e 2b. A diferença essencial entre esses 
subdomínios reside no fato de que, embora em ambos não se possa falar em ruptura do 
concreto, no subdominio 2b já háuma franca pseudoplastificação por microfissuração 
do concreto comprimido, enquanto em 2a esse fenômeno praticamente ainda não se 
iniciou. 
Conforme é mostrado na Fig. 2.3.2-2, no domínio 2a existe um encurtamento 
máximo do concreto eCld < 2%0, chegando-se, portanto, ao estado limite último com 
c,,, i a,, = 0 3 5 fedi OU seja, chega-se ao estado limite último com a hipótese de que o 
concreto ainda não se tenha rompido. Observe-se que no domínio 2a não existe 
possibilidade de emprego eficiente de armaduras de compressão, pois E: - 0. 
No domínio 2b, o encurtamento máximo E,,, do concreto já supera o valor de 2%0, 
que é o limite para o qual se admite o início dapseuGoplastificação do concreto. Desse 
modo, no trecho em que 2%0< eCld s 3,5%0, a tensão no concreto é constante e igual a 
Conforme foi visto em 5 1.3, têm-se I 
SEÇOES RETANGULARES 47 
Fig. 2.3.2-2 Segão retangular - Domínio 2. 
De modo geral, a resultante das tensões de compressão no concreto pode ser 
escrita 
ou então 
R, = 0,85 a bx fcd 
onde o coeficiente de bloco a dá o valor da tensão média de compressão r:,, definida 
- por 
ou seja 
o:, = 0,85 a fcd (2.3.2-4) 
conforme está mostrado na Fig. 2.3.2-3 para o domíni- 2 e na Fig. 2.3.2-4 para os 
domínios 3, 4 e 4a. -2 
A Fig. 2.3.2-3 mostra os valores dos coeficientes a e 5' em função da posição da 
linha neutra dada por 5, sendo 
b. Domínios 3-44a 
Nos domínios 3 , 4 e 4a, embora a profundidade x da linha neutra possa ser uma 
fraçáo variável da altura útil d, as proporções do diagrama de tensões de compressão 
são sempre as mesmas, conforme se vê na Fig. 2.3.2-4. 
CEB - Boletim 82 
I rCm 4 var iável 
Fig. 2.3.2-3 Domínio 2 - Resultante de compressão. 
SECOES RETANGULARES 
PARABOLA 
D O ~ " R A U 
Fig. 2.3.2-5 Posi~ão do centro de gra. 
vidade. 
2.3.3 EQUAÇÕES 
ADIMENSIONAIS DE 
EQUII IBRIO 
1 @c- i DOM~NIOS 3 - 4 - 4 0 
Fig. 2.3.2-4 Domínios 3-4-4a - Resultante de compressão 
De fato, embora x possa ter qualquer valor para o qual 
C a 52, um = 0,2593 
a resultante das tensões de compressão pode ser escrita 
3 2 4 R, = 0,85 fcd . b - x + - . 0,85 fcd . b- x 
7 3 7 
logo 
3 2 4 R, = 0,85 f ( + - . -) bx C d 7 3 7 
Desse modo, para os domínios 3, 4 e 4a, obtém-se o valor constante 
De maneira análoga, conhecendo-se a posição do centro de gravidade de um 
segmento de parábola do 2.O grau, Fig. 2.3.2-5, tem-se 
donde resulta, com R, = 0,8095.0,85 fCdbx, o valor constante 
De acordo com o que foi visto 8 2.3.1, todos os casos de flexão com grande excentnci- 
dade podem ser tratados globalmente, tomando-se as expressóes (2.3.1-1) e (2.3.1-2) 
como equações gerais de equilíbrio, as quais, segundo a Fig. 2.3.1-1, podem ser 
escritas 
F, e, = RJd - c x ) + R:(d - d') (2.3.3-2) 
I 50 ESTRUTWAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
com F. > O na compressão e F, C O na tração, sendo 
N, = F" 
No caso de flexão simples, tem-se N. = 0, sendo 
F, e, = M, (2.3.3-3) 
FLEXO- COMPRESSÃO Para o estabelecimento das equações adimensionais de equilíbrio definem-se os símbolos 
Fig. 2.3.3-1 Flexo-compressão. x (2.3.3-4) 
FLEXÁO SIMPLES t - A', f:d o -- - (2.3.3-7) bd fCd 
Fig. 2.3.3-2 Flexão simples. N, vu = - 
bd fCd 
Msu - Nu e, psu=---- (2.3.3-9) 
bd2 f,d bd2 f,d 
Considerando sempre o momento M, em relação ao centro de gravidade da 
armadura de tração e lembrando que 
R, = 0,85 a bx fCd (2.3.3-10) 
FLEXO-TRAÇ~O F~ O as equações de equilíbrio podem ser escritas sob a forma adimensional 
Fig. 2.3.3-3 Flexo-tração. 
Nd e, - 035 a bx fcd(d - c'x) + A', aid(d - d') 
,Ld=- - 
bd2 f,d bd2 fCd bd2 f,d 
logo 
onde todos os termos são tomados em valor absoluto, exceto o valor de v < O quando 
Nd é de tração. 
SECOES RETANGULARES 51 
2.3.4 EQUAÇÕES Considerando os domínios 2, 3 e 4, nos quais há uma armadura comprimida e outra 
ADIMENSIONAIS DE tracionada, Fig. 2.3.4-1, têm-se as seguintes condições de compatibilidade de defor-COMPATIBILIDADE mações, já escritas na sua forma adimensional: 
- 
Fig. 2.3.4-1 Domínios 2-3-4. 
No dominio 4a, sendo x > d, ambas as armaduras estão comprimidas (Fig. 
2.3.4-2), e as condições de compatibilidade podem ser escritas 
Fig. 2.3.4-2 Domínio 4a. 
Como a deformação na armadura menos comprimida é de sentido oposto ao que 
ocorre nos domínios 2, 3 e 4, fazendo-se 
E $ = - , E * , < O 
para indicar esse fato e lembrando que 
resultam para o domínio 4a as mesmas condições de compatibilidade que nos domínios 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
2, 3 e 4, ou seja, para todos os domínios 2, 3, 4 e 4a têm-se 
com eg < O quando A, for comprimida. 
Verifica-se então que, uma vez fixado o valor de 5, ficará conhecido o domínio 
correspondente e já estarão determinados os valores das outras variáveis que compa- 
recem nas condições de compatibilidade expressas por (2.3.4-3), bem como as tensões 
que agem no concreto e nas armaduras. Esses resultados estão apresentados deforma 
sintética na tabela seguinte. 
Domínio 
2 
(f S 0,2593) 
3 
(0,2593 G f S e,) 
4 
(6<, I S I ,O) 
4á 
h 
( I x 0 2) 
Variáveis 
impostas pelo 
domínio 
E õ = 10%0 
a s d 2 fva 
ECI = 3,5%0 
v c l d = 0.85 fcd 
E<, = 3 3 0 
U C I ~ = 0,85 fcd 
= 334" 
aCls = 0,85 fcd 
Variáveis calculadas a partir 
do valor de ( 
f Ecl = - E8 = 0 , 0 1 0 1 
1 - 5 1 - I 
w, .$' Tabela da Fig. 2.3.2-3 
I - 8' 6' 
E: = - E s = 0 , 0 1 0 L 
1 - f 1 - C 
w = 0,8095 
.$' = 0,416 
E a = -- 1 - I ' - E,, = 0,0035 -- 
I I 
I - % 
E: = -- 
5 - 8' 
E=, = 0,0035 -- 
5 f 
a = 0,8095 
.$' = 0,416 
S - 
1 - 5 1 - 6 E - - eC, = 0,0035 - 
I 5 
E; = - 
f - 8' 
" srl = 0,0035 - 
5 e 
a = 0,8095 
C = 0,416 
ss = - - E", = 0.0035 1 < O 
f f 
f - 8' 6 - S' 
E: = - E", = 0.0035 - 
I f 
Variáveis 
determinadas a partir 
das anteriores 
o c i d 
- 
4 6 
- 
- 
msd 2 f"., 
- 
- 
V 9 d < fVd 
d d 
- 
- 
vOd < 0 (compressão) 
4 
J 
2.3.5 RESOLUÇAO DOS Conforme já foi visto, para a resolução dos problemas de flexão simples e de flexão 
PROBLEMAS DE FLEXÃO composta nos domínios 2, 3, 4 e 4a, dispõe-se das duas equações de equilíbrio 
SIMPLES E DE FLEXAO (2.3.3-11) e (2.3.3-12) 
COMPOSTA 
v, = 0,85 (1 6 + o' <TSd - w (iSd 
fhd f Y d 
nas 10 variáveis 
das quaisa, E>, us, e u:, são funções unívocas de 5, sendo o valor de 6' estabelecido em 
função do arranjo das armaduras. 
Nos problemas de dimensionamento, nos quais são conhecidos os valores dep,, e 
v,, consideram-se as duas equações de equilíbrio em função apenas das cinco variá- 
veis independentes 
Desse modo, para os problemas de dimensionamento, conhecidos os valores de 
psd e v,, arbitra-se o valor de 5 e calculam-se w e w'. 
Observe-se que a solução dos problemas de dimensionamento por meio das duas 
equações de equilíbrio, quando são conhecidas apenas duas das cinco variáveis 
independentes, exige que seja arbitrado o valor de uma terceira variável para que 
restem apenas duas incógnitas. Assim, na flexão composta, conhecidos u, e p,,, 
arbitra-se o valor de 5 e calculam-se o e o'. 
É importante observar que a variável 6 , que fixa a posição da linha neutra, pode 
efetivamente ser arbitrada. De fato, quando se adota o valor de 5, o que se está 
fazendo é fixar o tipo de estado limite último a ser atingido em primeiro lugar e, nesse 
estado limite último, determinar o valor da deformação extrema do material que não 
condicionou o estado limite. 
Assim, por exemplo, quando se faz 5 = 0,27, escolheu-se odominio 3, pois 0,2593 
= f2 , < 5 < C3, I (m, sendo atingido em primeiro lugar o estado limite último de 
ruptura do concreto. Nesse domínio sempre vale ced = 3,5%0, logo a escolha de 5 = 
0,27 corresponde à fixação de um certo valor para E,,, que no caso é de E,, = 9,45%0. 
Nos problemas de verificação, -.S.- o melhor caminho ;ser seguido é o do emprego de 
/,_ ~ .... diagrãmãs de interação, Fig. 2.3.5-p-- 
- . .. . ---- .- 
~ ~ à f e c 3 i ~ a ~ e ~ s e s diagramas são apresentados com diferentes particula- 
r idade~, ' .~ as quais deverão ser devidamente consideradas para a sua correta aplica- 
ção. 
Nos problemas de verificação, nos quais são conhecidos os valores de w e o', não 
se pode arbitrar o valor de 6 , pois existem infinitos pares de valores psd e v, que 
satisfazem as equações de equilíbrio, correspondendo um par para cada valor dife- 
rente de 5. 
Para o emprego dos diagramas de interação procede-se como é indicado na Fig. 
2.3.5-2. 
Conhecidas as solicitações de serviço M, e N, e escolhida a direção da verifica- 
ção da segurança, determina-se o ponto correspondente a situação de cálculo M, e N,, 
a qual deve estar situada na região de segurança delimitada pelo diagrama de interação 
das condições últimas M, e N,. 
*Nos problemasde vetifica~ãode segóesretangulares submetidasàflexão simples, a processode tentativasilustradopeloi 
exemplos dos itens 2.2.8 e 2.2.9 é recomendável. 
~- ~ ~ 
1 , diagrama de interoção 
'>u, +ração simples Ju,compressáo simples 
Fig. 2.3.5.2 Ventícação da segurança 
COMPOSTA COM 
GRANDE 
EXCENTRICIDADE. 
CÁLCULO PRÁTICO 
2.4.1 VARIÁVEIS -A-c.~sideracão. nos problemas de flexão composta, do momento M, referi&= 
ADIMENSIONAIS. centro de gravidade da armadura de tração em lugar do momento M, referido ao 
EMPREGO DE TABELAS centro de gravidade da seção transversal da peça tem avantagem principal de permitir 
UNIVERSAIS a r e s o l u ç á o _ d ~ ~ e ~ g b l q p a s como"-se fossem vrobLemas de fl_ã_mplzs, 
empregando-se as mesmaa&las iá anteriormente analisada^. 
A Fig. 2.4.1-1 ilustra a redução dos problemas de flexão composta a problemas 
tratados como se fossem de ilexão simples. 
A demonstração formal da validade dos raciocínios ilustrados pela Fig. 2.4.1-1 
pode ser feita a partir das equaçóes de equilíbrio (2.3.1-1) e (2.3.1-2) do § 2.3.1 ou a 
partir das equaçóes adimensionais de equilíbrio (2.3.3-1 1) e (2.3.3-12) do § 2.3.3. 
Qualquer que seja o caminho escolhido, quando se admite armadura simples, a 
equação de equilíbrio de momentos, a qual determina a posição da linha neutra, é 
exatamente a mesma, quer se trate de flexáo simples quer de flexão composta. Esse 
fato decorre de se admitir o momento Mgd e não O momento M,. 
Ainda considerando armadura unilateral, a armadura de tração A, é determinada 1 1 
pela equação de equilíbrio de forças, a qual exige que a resultante-R. das tens.Õg-na 
srnvadui'a de tr:iyGo equilibre ir resultante K,. da, irn\Oes de comprrss,;iu .. . - na . - ;on<rt.io, . . . . . . . . . . . 
devendo R, scr .icre*ciJ:~ Jd forl;,i normal N. qiinndo ile i r ~ i l i o , ou siihB«_da.dafùrça 
. . . . 
normal N , quando de compressao. 
Desse modo, da equaçáo de momentos resulta aposição dalinha neutra e, quando 1 
5,s 5iim. pode ser empregada a armadura simples, sendo 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
ARMADURA SIMPLES 
Flex6o simples Nd =O R, = R, 
I I I 
Flexo - compressáo Nd> O R < = R ~ - nd 1 = R s , ~ - Nd 1 
I I 
Flexo- tracáo 
ARMADURA W P L A 
A', = o 
Fig. 2.4.1-1 Flexáo composta com grande excentncidade 
onde, tanto para a tração quanto para a compressãa, é feito N > 0. 
Por outro lado, quando a armadura simples levar a peças superarmadas, o 
problema é novamente resolvido pela adoção de armadura dupla. 
Fazendo-se novamente, como no caso da flexão simples, 
Msd = Msd, e + AMsd (2.4.1-3) 
onde M , , .é a parcela resistida por uma seção com armadura simples e AM,aparcela 
resistida por uma seção metálica, tem-se 
, 
SEÇÓES RETANGULARES 57 
onde o sinal (+) vale para N de tração e o sinal (-) para N de compressão, e 
Nos casos usuais, a decomposiçãodo momento é feita tomando 6 = tlim e 
determinando-se o valor 
resultando então 
tomando-se o sinal (+) para tração e (-) para compressão, e 
Observe-se que tanto o valor de M,, ,,, quanto os valores de z, os, e o:d 
correspondem a condição imposta de 6 = &,. 
2.4.2 Exemplos 
Considere-se o dimensionamento da peça indicada na Fig. 2.4.2-1, sendo admiti- 
dos os seguintes dados: 
e = 80 cm yr = 1,4 
Yc = 1,4 
f,, = 25 MPa 
a. Exemplo I 
Fig. 2.4.2-1 Exemplo 
Aço CA-SOA 
b =25cm 
h = 7 0 c m 
I N =O,Ikgf I MPa = 1 MNlrnz = 10 kgflcrn' 
I k N = I M k g f = O , I t f I kNlm = IW kgfim = 0.1 tflm 
I kN.m = 1W kgfm = 0.1 t tm I kNlmP = 100 kgflrnP = 0.1 tflrn' 
I kN.crn = IW kgf.cm = 0.1 d.cm I kN/mS = IW kgflmJ = 0.1 tfimJ 
I MPa = 0.1 kN/cm2 = 1W Nlcm' 
ESTRUTURAS DE COFWETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS 
Sendo 
Fd = yf Fk = 1,4 x 500 = 700 kN (compressão) 
e, = 110 cm 
M, = Fd e, = 700 x 110 = 77 x 103 kN.cm 
fcd = fck = 2 = 17,8 MPa = 1,78 kN/cm2 
Y C 14 
obtém-se 
Empregando o Aço CA-SOA, tem-se 
p.., = 0,410 > psd, lim = 0,315 
havendo, portanto, necessidade de armadura dupla, a fim de ser evitada a peça 
superarmada. 
Adotando-se então 
Psd = Psd, hm = 0,315 
têm-se 
5 = t i l m " 0,615 fVd) 
x = 5d = 0,615 x 65 = 40,0 cm 
= 0,744 
z = cd = 0,744 x 65 = 48,4 cm 
= 3,5%0 
E$ = 2,8%0 
uSd = fvd = - - - 435 MPa = 4 3 3 kN/cmZ 
1,15 
I N =O,Ikgf I MPa = I MNlm' = I0 kgficmz 
I k N = l W k g f = O , l t f i kN/m = IW kgfim = 0.1 fim 
i kN.m = IW kgf.m = 0,I tf.m I kN/m8 = 100 kgf/m2 = 0.1 fim' 
I kN.cm= IW kgfcm = 0.1 tf.cm I kNlm3= IWkgfim3= 0.1 d/m8 
I MPa = 0.1 kNicmP = IW N/cmz 
SEÇOES RETANGULARES 
resultando 
1 AMSd= A ; = - - - I -- l7 ''O - 6 3 2 cm2 (4 0 16) 
ukd d - d' 43,5 65 - 5 
b. Exemplo 2 
Resolver o mesmo problema anterior, empregando o Aço CA-50B. 
De acordo com os resultados obtidos no exercício 1 , tem-se 
Para o Aço CA-SOB, psd, = 0,255, logo para psd = pSd, = 0,255 
obtêm-se 
5 = 5,,,,, = 0,457 
x = <d = 0,457 x 65 = 29,7 cm 
6 = 0,809 
z = cd = 0,809 x 65 = 52,6 cm 
EC1 = 3,5%o 
eg = 4,14%0 
- 435 MPa = 4 3 3 kN/cm2 a,,, = f,,,, = - - 
1,15 
x - d ' 
e; = eel - = 0,0035 29'7 - = 0,00291 < e,, = 4,07%0 
x 29,7 
I N =O. lkg i I MPa = I MNlm' = 10 k8ficm' 
I k N = I W k g f = O , l f f I kNim = 100 kgilm = 0,l Ulm 
I kN.m = 100 kgfm = 0.1 t f m I kN/mP = 1W kgilm' = 0,l tflrn' 
I kN.cm = 1W kgfcm = 0.1 U.cm I kN/rn8 = 1W kgflrns = 0.1 Ulm' 
1 MPa = 0.1 kNlcrn2 = 100 Nlcrn' 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
Msd, um = PS~ , um bd2 fcd = 0,255 X 25 X 65' X 1,78 = 47 940 kN.cm 
AM,, = 77 000 - 47 940 = 29 060 kN.cm 
resultando 
2.4.3 VARIÁVEIS De acordo com o que já foi visto anteriormente, qualquer problema de flexão com- 
DIMENSIONAIS. posta pode ser tratado como se fosse um problema de flexão simples, Fig. 2.4.3-1. 
EMPREGO DE TABELPS 
TIPO k 
As 
( As = AS? AS; ARMADURA DUPLA 
ARMADURA SIMPLES 
Fig. 2.4.51 Reduçáo ao caso básico de flexáo simples 
Lembrando as definições dos coeficientes k, dadas em § 2.2.5, a posição da linha 
neutra é definida pelo coeficiente k,, sendo 
Nos casos de armadura simples, válidos para k , 2 k,,ll,, sendo 
1 k,, =- 
U8d 
tem-se 
MSd A, = k, -- + k,, Na (2.4.3-1) 
d 
com o sinal (+) para N de tração e o sinal (-) para N de compressão. I I 
No caso de armadura dupla, adota-se k , = k,, ,,,, determinando-se o valor de I 
I 
bd2 
Mad, lim = -- 
kc, li", 
sendo 
têm-se 
com o sinal (+) para tração e (-) para compressão, e I 
M,d A', = k', . - 
d - d' 
Desse modo, as tabelas tipo k apresentadas no Anexo desta publicação podem ~ 
ser usadas para o cálculo das seções retangulares submetidas a flexão composta. 
Essas tabelas empregam as unidades kN e cm e foram calculadas para y, = 1,4 e 
y, = 1,15. Para valores de y, # 1,4, deve-se empregar a largura fictícia 
I N = 0.1 kgf I MPa = 1 MNlmP = 10 kgflcmP 
I k N = 1 0 0 k g f = O , I l f I kNlm = 1W kgflm = 0, l Ulm 
I kN.m = IW kgfm = 0.1 t tm I kNlm2= 1WW/m2 =O,I U/ml 
I kN.cm = IW kgf cm = 0.1 U.cm I kNlma = 1W kgflm3 = 0.1 Ulm3 
62 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
2.4.4 EXEMPLOS Resolver os problemas apresentados em 5 2.4.2, empregando as tabelas tipo k, sendo 
Y C = 1 9 y, = 1,15 
f, = 25 MPa 
a. Exemplo 1. Aço CA-SOA (Tabela 6) 
Sendo d = h - d' = 70 - 5 = 65 cm 
têm-se 
d - d ' 65 - 5 % = e + - = 8 0 + = 2 2 l l o c m 
resultando 
Sendo k, i k,, ,,, = 1 3 , é adotado k, = k,, ,,,, obtendo-se 
Msd, iim = bd2 = 25 = 58 680 kN.cm 
kc, ,i, 1 3 
logo 
Nessas condições, têm-se 
onde o sinal (-) diante de Nd decorre do fato de N, ser de compressão, logo 
58 680 18 320 A, = 0,031 - + 0,023 (- - 700) = 28,O - 9.1 = 18,9 cm2(4025) 
65 65 - 5 
1 N =O,lkgf I MPa = I MN/mZ = I0 kgflcm' 
I k N = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNlm = I W W l m = 0,l tflm 
i kN.m = 1W kgf.m = 0,l t fm 1 kNlm2= 1Wkgf/mZ= 0,l tflm' 
I kN.cm = 100 k&cm = 0.1 tfsm 1 kN/ms= 100 kgfim' = 0.1 ü/m3 
2.4.5 DIAGRAMA 
RETANGULAR DE 
TENSOES 
SEÇÓES RETANGULARES 
e com 
dr/d = 5/65 = 0,08 - 0,l 
b. Exemplo 2. Aço CA-50B (Tabela 7) 
Neste caso, sendo k,, ,i, = 2,2, têm-se 
AMsd = Msd - MJd, = 77 000 - 48 000 = 29 000 kN.cm 
donde 
I .?,.I.,. . 
Fig. 2.4.5-1 Diagrama retangular de tensões. 
I 
I 
Conforme já foi visto, as equações adimensionais do equilíbrio para os casos de 
flexão simples e de flexão composta com grande excentricidade são 
1 N = O , I k d I MPa = I MNlm2 = I0 kdlcm' 
1 k N = L W k g í = O , I t f I kN/m = IW kgfim = 0.1 lfim 
I kN.m = 100 kgfm = 0.1 t f m I kNlm' = 1W kdlm' = 0.1 tf/m2 
I kN.cm = IW kgf.cm = 0.1 t fcm I kN/mS = IM kgfim' = 0.1 tf/mJ 
I MPa = 0.1 kNlcmX = IW N/cm2 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORNIAIS 
Quando se emprega o diagrama retangular de tensões, Fig. 2.4.5-1, têm-se 
resultando as expressões simplificadas 
A experiência mostra que nos domínios 2, 3, 4 e 4a são obtidos resultados 
praticamente iguais, quer se use o diagrama parábola retângulo, quer se use o dia- 
grama retangular de tensões. Por isso, as tabelas tipo k do Anexo foram calculadas 
com o diagrama retangular de tensões. 
2.5 FLEXO- 
COMPRESSAO COM 
PEQUENA 
EXCENTRICIDADE 
(DOMINIO 5) 
2.5.1 CONDIÇOES DE 
EQUIL~BRIO 
No domínio 5, a seção transversal está inteiramente comprimida, sendo então mais 
conveniente considerar-se como p610 de redução dos momentos o centro de gravidade 
da armadura mais comprimida. 
i t - 
Fig. 2.5.1-1 Pequena excentricidade 
Considerando a notação indicada na Fig. 2.5.1-1 e tratando todos os elementos 
em valor absoluto, obtêm-se 
SEÇOES RETANGULARES 65 
h g o as equações de equilíbrio podem ser escritas 
Nd = R, + R; + Rs 
e 
Nd e; = R, (a - d') + R, (d - d') 
2.5.2 CONDIÇOES DE A Fig. 2.5.2-1 indica as condições de deformação no domínio 5, para o qual são 
COMPATIBILIDADE DE definidos os seguintes coeficientes: 
DEFORMAÇOES 
X 
51= - h (2.5.2-1) 
Fig. 2.5.2-1 Deformações no domínio 5 
Da condição de manutenção da forma plana da seçáo transversal, têm-se 
E c l = EQ - E: 
- -- 
x x - h x - d x - d ' (2.5.2-4) 
e, da definição de domínio 5: resulta 
obtendo-se as seguintes equações adimensionais de compatibilidade: 
2.5.3 PROPRIEDADES Como foi mostrado na Fig. 2.5.2-1, no domínio 5, para qualquer posição da linha 
BÁSICAS DAS SEÇÓES neutra, a deformação do concreto ao longo da espessura 3 h17 a partir da borda mais 
RETANGULARES comprimida supera o valor 2%0. Portanto, nessa parte da seção, a tensão é igual a 
No restante da seção transversal, as tensões ficam univocamente determinadas 
desde que se estabeleça o valor de 5,. 
Desse modo, definindo-se os coeficientesa, e 5; através das expressões 
onde R, é a resultante das tensões de compressão no concreto e a é a distância dessa 
resultante à borda mais comprimida da seção, Fig. 2.5.3-1, como R, e a são funções 
unívocas de C,, também são univocamente determinadas as funções 
I conforme está mostrado na tabela seguinte (CEB - Boletim 82) 
I 
Fig. 2.5.3.1 Resultante de compressáo - Domínio 5 . 
SEÇOES RETANGULARES 67 
Domínio 5 - CEB (Boletim 82) 
Observe-se que, no domínio 5 , tanto o coeficiente de bloco do diagrama de 
tensões 
quanto o coeficiente 6; que determina a posição da resultante R, são definidos em 
função da altura h da seção e não mais, como no caso de flexão com grande excentrici- 
dade, em função da profundidade da linha neutra. Fara assinalar esse fato, todos os 
coeficientes adimensionais definidos em função da altura total h são assinalados com o 
índice 1. 
2.5.4 EQUAÇÕES Conforme foi visto em 5 2.5.1, tomando-se como pólo de redução dos momentos o 
ADIMENSIONAIS DE centro degravidade daarmaduramais comprimida, asequações (2.5.1-3) e (2.5.1-4) de 
E Q U I L ~ B R I O equilíbrio podem ser escritas 
Nd = R, + R; + R, 
N, e:. = R, (a - d') + R, (d - d') 
onde todos os termos são tomados em valor absoluto. 
Por outro lado, sendo 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
têm-se 
Nd = 0,85 ai bh fCd + & r i d + As uSd 
Nd e; = 0,85 a , bhz fcd (5; - 8;) + A, uXd (d - dr) 
Definindo-se os esforços solicitantes relativos adimensionais 
e as taxas mecânicas de armadura 
obtêm-se as equações adimensionais de equilíbrio 
2.5.5 RESOLUÇAO GERAL Os problemas deflexo-compressão com pequena excentricidade devem ser resolvidos 
DOS PROBLEMAS DE por meio de duas equações adimensionais de equilíbrio, nas quais comparecem as 11 
FLEXO-COMPRESSÃO variáveis: 
COM PEQUENA 
EXCENTRICIDADE V d r tii w ' , W , a,, C:, a J d , usdr 81, 8; 
Analogamente ao que acontece com os problemas de flexão composta com 
grande excentricidade, correspondentes aos domínios 2 , 3 e4, também nos problemas 
de flexo-compressão com pequena excentricidade, correspondentes ao domínio 5, o 
cálculo de verificação tem como solução ideal o emprego dos diagramas de interaçáo. 
De maneira análoga, também nos casos de flexo-compressão o cálculo prático de 
dimensionamento é feito através da fixação da posição da linha neutra. 
De fato, estabelecendo-se o arranjo geral da armadura dentro da seção transver- 
sal da peça, ficam fixados os valores de 8 , e S ' , e, arbitrando-se o valor de (,, ficam 
determinados os valores de a,, t i , vid e ea, restando portanto no problema apenas 
as cinco variáveis independentes: 
Desse modo, arbitrando-se o valor de C,, as incógnitas w e w' podem ser calcula- 
das em função dos esforços vd e &. 
Nos casos de flexão composta com grande excentricidade, todos os problemas 
eram reduzidos ao problema básico da flexão simples de uma seção com armadura 
simples, isto é, com armadura unilateral. De forma análoga, nos casos de flexo- 
compressão com pequena excentficidade, todos os problemas serão reduzidos a um 
dos problemas básicos seguintes: armadura unilateral (A, = 0) ou compressão uni- 
forme ((, = m). 
2.6 F L E X O - 
C O M P R E S S Ã O C O M 
P E Q U E N A 
2.6.1 MOMENTO LIMITE Para os problemas de flexo-compressão com pequena excentricidade, as duas equa- 
DE SEPARAÇAO ENTRE OS çóes gerais de equilíbrio são as seguintes: 
DOIS CASOS BÁSICOS 
U.d vd = 0,85 a, + o' * + w - (2.6.1-1) 
fid f V d 
Conforme se observa pela segunda dessas equações, a presença da armadura 
menos comprimida, de taxa mecânica w , contribui de fato para o equilíbrio do mo- 
mento &. 
Desse modo, a condição o = 0, correspondente a armadura unilateral, somente 
poderá ser aceita enquanto pid não ultrapassar o máximo valor possível de ser atingido 
pela parcela 035 a,((; - 8;). 
De acordo com a Fig. 2.6.1:1, o máximo valor de 0,85 a, (5; - 8;) ocorre na 
compressão uniforme, pois, nesse caso particular, a, e 5; tomam simultaneamente 
seus valores máximos: 
- a:,, = 1 0 
a,, m o i . - 035 fcd 
- a . - 1 5;. mas. - -- - - 
h 2 +-r i=k 
A s 
Eig. 2.6.1-1 Compressão unlfome 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
Observe-se que o valor de p d cresce a medida que aforça Fd se aproxima do eixo 
da peça, pois MQd cresce com a excentricidade e;. Quando o valor de& supera o valor 
pid, limr a diferença pkd - pLd, somente poderá ser equilibrada se existir a força R,, 
uma vez que R, já deu a máxima contribuição possível. No caso da compressão 
uniforme existem duas armaduras, de taxas o e o', diferentes entre si, com as quais 
podem ser equilibrados os momentos fletores Md atuantes na seção transversal. 
Verifica-se portanto que a armadura unilateral, para a qual o = 0, somente pode 
ser empregada para valores de pkd inferiores a 
Esse valor limite também pode ser escrito 
ou seja, sendo 
logo 
h - 2 d 1 = d - d ' 
donde 
tem-se 
Dessa maneira, todos os problemas de flexo-compressão com pequena excentri- 
cidade podem ser reduzidos a um dos seguintes casos básicos: 
a. Armadura unilateral - quando pkò pQd, lini 
b. Compressão uniforme - quando pCgd > p'gd,~,m. 
2.6.2 ARMADURA 
UNILATERAL ( /L;, G /I:,, I,,) 
Fig. 2.6.2-1 Armadura unilateral 
SEÇOES RETANGULARES 71 
Neste caso básico, A, = 0, logo as equações de equilíbrio podem ser escritas, Fig. 
2.6.2-1, 
Nd = R c + R: 
Nd e,; = MBd = R, (a - d') 
e sendo 
R: = As crid = Al, fid 
fld 
logo 
Nd =0,85 a , + ASfha u J d 
fCd bh f i d bb fbd 
têm-se 
As expressões (2.6.2-1) e (2.6.2-2), que foram deduzidas diretamente, também 
poderiam ser obtidas a partir das equações gerais (2.5.4-5) e (2.5.4-6), fazendo-se 
simplesmente w = 0. 
( DOMI'NIO 5 I 
C' = 0,002 
sd $ 1 - 7 
\ I 
Fig. 2.6.2-2 Deforma~Ão da armadura mais comprimida 
72 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
Parao cálculo deo ' , pelaexpressão (2.6.2-I), é preciso que se conheça0 valor de 
a&. Para isso, emprega-se a equação de equilíbrio de momentos, de onde resultou a 
expressão (2.6.2-2). pela qual fica da linha neutra, pois a, e 5; 
dependem apenas de e,. Uma linha neutra, fica determi- 
A partir dessa defor- 
tabelados os 
Desse modo, dados os valores de v, e p;,, em função de p;, é determinado o valor 
de C,, logo podem ser calculados os valores de a, e cri* Com isso, sendo 
têm-se 
2.6.3 ARMADURA 
UNILATERAL. EXEMPLOS 
Fig. 2.6.3-1 Exemplo. 
I Exemplo I 1 
Dirnensionar a peça apresentada na Fig. 2.6.3-1, sendo dados: 
Fk = 2 000 kN yf = 1,4 
I N = 0.1 l<gf I MPa = 1 MNim' = I0 kgf/cm2 
I k N = IW kgf = 0.1 t f I kNim = I W kgflm = O, I tfim 
I kN.m = IW kgfm = 0.1 t t m I kN/m2= I W kgf/m2 = 0.1 tflm' 
I kN.cm = I W kgfcm = 0.1 tf.cm I kNim3= I W kgfims = 0.1 tflm3 
I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 N/cmZ 
SEÇOES RETANGULARES 13 
Aço CA-SOA y, = 1,15 fvd = --- - - 435 MPa = 43,s kN/cm2 
1,15 
fcK = 25 MPa y, = 1,4 fed = -- 25 - - 17,8 MPa = 1,78 kN/cmZ 
1,4 
Sendo 
N, = yf Nk = 1,4 X 2 000 = 2 800 kN 
têm-se 
Por outro lado, sendo 
ou seja 
comprova-se então a possibilidade de armar a seção com armadura unilateral, pois 
Nessas condições, sendo 
de acordo com a Tabela 9 do Anexo, tem-se a seção no domínio 5, com 
5, - 1,12 e 035 a, - 0,74 
I N = O , I k g f I MPa = I MNlm' = I O k ~ / c m 2 
I k N = 100 kgi = 0.1 tf I kNlm = IW kgilm = 0.1 S im 
I kN.m = IW kgf.m = 0.1 1f.m I kN/mP = 100 $gf/m' = 0.1 tf/m' 
I k N c m = 100 kgfcm = 0.1 d . c m I k N l m L I00 kgflm* = 0.1 tf/rng 
I MPa = 0.1 kN/cms = 100 N/cmS 
logo 
e sendo 
E;< = 3,04%0 1 E : ~ (Aço CA-50A) = 2,07%c 
resulta 
u;, = fia = 435 MPa 
donde 
o = 0 
Desse modo, sendo I 
,, = A: f;, 
bh fCd 
têm-se 
Exemplo2 I 
Dimensionar a seção do exemplo anterior, adotando-se o aço CA-SOB. 
Como a qualidade do açs empregado somente afeta a tensão r;,,, tem-se, neste 
caso, 
~ 
De acordo com a NB-I, sendo 1 
SECOES RETANGULARES 75 
obtém-se (com E, = 210 000 MPa) 
6 
logo 
= 402 MPa 
Esse valor também pode ser determinado pela Tabela 10 do Anexo, resultando 
ou seja 
Com o Aço CA-SOB, resultam 
A, = O 
2.6.4 COMPRESSÃO Quando a força de compressão está aplicada em posição próxima do centro de 
UNIFORME gravidade da seção transversal da peça, torna-se conveniente o dimensionamento com 
a hipótese de compressão uniforme. 
De acordo com o que já foi visto, a condição de compressão uniforme pode ser 
imposta desde, que seja 
Nesse caso, admite-se toda a seção com a mesma deformação de 2%0, ou seja, 
&cld = EC2d = = Bsd = 2%0 
donde 
v 
I N = 0.1 kgf 1 MPa = I MNlmt = I 0 kgficm' 
I k N = 100 kgf = 0.1 tf I kNim = 100 kgflm = 0.1 tfim 
I kN.m = I00 kgf.m = 0.1 t t m 1 kNimS= 100kgf/m2=0,1 tf/rn2 
1 kN.cm= IWkgfcrn = 0.1 tf.cm 1 kNirnS= 100kgf/m'=OO,I fim3 
1 MPa = 0.1 kNicmZ = 100 N/cm2 
i 
Considerando-se as condições gerais de equilíbrio na flexo-compressão com 
pequena excentricidade, expressas pelas equações (2.5.4-5) e (2.5.4-6), 
têm-se no caso da compressão uniforme, admitindo f,, = fh,, 
Por outro lado, conforme jáfoi visto na dedução do momento limite, dado pela 
expressão (2.6.1-I), tem-se 
e sendo 
obtêm-se as equações 
e em virtude das relações 
resultam finalmente 
onde uSd corresponde a deformação E, = 2%,. 
Para os aços Classe A , as expressões dadas podem ser simplificadas, pois para 
esses aços pode-se admitir E , E,, logo 
porquanto até para o Aço CA-SOA, para o qual = 2,07%0, pode ser aceita a 
condição 
Desse modo, resultam: 
AÇO CLASSE A 
AÇO CLASSE B 
2.6.5 COMPRESSAO Dimensionar a seçáo apresentada na Fig. 2.6.5-1, sendo dados: 
UNIFORME. EXEMPLOS 
F 1 , = 3 0 0 0 k N yf= 1,4 
e = 10cm b = 25 cm h = 7 0 c m d ' = 5 c m 
f,, = 25 MPa y, = 1,4 
Fig. 2.6.5-1 Compressão uniforme - Exemplo. 
Exemplo I . Aço CA-SOA (fVd = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ) 
I N = 0 , 1 k g f I MPa = t MN/m2 = Iokgflcm' 
I kN = 100 kgf = 0,l tf I kNim = 1W kgflm = 0.1 Iilm 
I kN.m = 1W kgf.m = 0.1 t t m I kN/m2= IWkgfIrn'=O,i d/ms 
I kN.cm- 100 kg t cm - 0.1 t f c m I kN/ma = I W k@1m3 = 0,1 Sim3 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS 
fcd=fCL=-- 25 - 17,8 MPa = 1,78 kN/cmZ 
r, 1,4 
Sendo ,L;, > pbd, I,mr é impossível armar-se unilateralmente a seção, sendo conve- 
niente adotar a hipótese de compressão uniforme. Nesse caso, tratando-se de aço 
Classe A , têm-se 
Exemplo 2. Aço CA-SOB (f,, = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ) 
(cUd = 4,07%a) 
Neste caso, tem-se 
u s d = r*, 2s1= 356 MPa = 35,6 kN/cm2 
logo 
o = (v, - 43 5 
- 0,425) f"d = 0,024 = 0,029 d - d' Usd 35,6 
*(Vide comentátio no final do 5 2.6.4, referente ao valor de f,,) 
1 N =O,IkBf I MPa = I MNlm2= 10kBf!cmz 
I kN = IW kgf = 0.1 tf I kN!rn = I W kgf!rn = 0.1 tflm 
1 kN.m = IW k&.m = 0.1 1f.m I kN!mP = IWkgfim*=O,I tf!m2 
I kN.cm = IW kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNlm" I W k8flms = 0.1 d!ma 
I MPa = 0.1 kNicm2 = 100 NlcmP 
2.6.6 DIAGRAMA 
RETANGULAR D E 
TENSOES 
Fig. 2.6.6-1 Diagrama retangular de tensóes. 
As equações de equilíbrio para os casos de flexo-compressão com pequena 
excentricidade são, Fig. 2.6.6-1, 
MJd = Fd e, = R, (a - d') + R, (d - d') 
onde 
Nd = Fd 
Sob a forma adimensional, essas equações são escritas: 
M:d P J ~ = -- = 0.85 a, (5; - 8;) + w 2 (8, - O;) bh2 fcd fud 
onde, conforme foi visto. 
logo 
R, = 0,85 a, bh fcd (2.6.6-1) 
Quando é adotado o diagrama retangular de tensões para a condição 
x S 1,25 h (2.6.6-2) 
tem-se 
0,8 x s h 
havendo compressão apenas em uma parte da seção transversal 
Nesse caso, sendo 
R, = 0,85 fCd .b.0,8 x 
onde 
x = 5, h 
tem-se 
R, = 035 X 0,8 5, bh fcd 
com 
a = 5; h = 0,4 x 
logo 
Comparando as expressões (2.6.6-1) e (2.6.6-3), conclui-se que neste caso 
Desse modo, as equações de equilíbrio podem ser postas sob a forma seguinte: 
Os resultados numéricos mostram que não há diferenças significativas quando 
são empregados os diagramas parábola-retângulo ou retangular de tensões, desde que 
a linha neutra não se afaste muito da borda menos comprimida da seção transversal. 
Todavia, quando x > 1,25 h, as diferenças podem ser significativas. 
De fato, empregando-se o diagrama retangular de tensões, quando x > 1,25, 
haverá compressão uniforme da seção transversal, com 
SEÇOES RETANGULARES 81 
valores sensivelmente diferentes dos obtidos com o diagrama parábola-retângulo, 
conforme se pode ve r por comparação com os dados d a Tabela incluída e m 5 2.5.3. 
2.7 EXERCICIOS 2.1 Por que os casos deflexo-tração com pequenaexcentricidadecorrespondem ao domipio 1 
de deformações? 
2.2 Escrever as equaçóes de equilíbrio de uma seção retangular submetida 2 flexo-tração com 
pequena excentricidade. 
2.3 O que caracteriza uma flexão composta com grande excentricidade? Quais os casos de 
solicitação correspondentes? 
2.4 Escrever as equaçóes de equilíbrio de uma seção retangular para todos os casos deflexão 
com grande excentricidade. 
2.5 Sendo R, = 0.85 a bx f,, e 5' = alx, determinar as expressões de a e de 5' em função de ( 
para os domínios 2, 3 , 4 e 4a, quando é adotado o diagrama retangiilar de tensões. 
2.6 Para uma seção retangular com armadura simples, escrever a expressão de p,, em função 
de 5. quando é adotado o diagrama retangular de tensões. 
2.7 Escrever as condiçóes de compatibilidade de deformações de uma seção transversal 
retangular. Quais as variáveis conhecidas e quais as variáveis incógnitas, respectiva- 
mente, nos domínios 2, 3, 4 e 4a? 
2.8 Escrever as equações adimensionaisde equilíbrio de seções transversais retangulares para 
os casos de flexão composta com grande excentricidade. 
2.9 Considerando a questão anterior, explicitar o número de variáveis do problema. Em 
principio, como são resolvidos os problemas de dimensionamento e os de verificação? 
2.10 Quando deve ser empregada armadura dupla numa seção retangular submetida à flexão 
simples? Como é ela calculada? 
2.11 Justificar a validade da decomposição do momentofletor em duas partes paraocálculo das 
seções duplamente armadas. 
simples. 
2.13 Como são calculadas as seçóes transversais duplamente armadas submetidas à flexão 
composta com grande excentricidade? Justificar o processo adotado. 
2.14 Definir os coeficientes empregados nas tabelas tipo k. 
2.15 Qual a relação entre k, e p,,? 
2.16 Qual o significado de k, e de k:? Definir os coeficientesa e p apresentados nas Tabelas 5 a 
8. 
2.17 Como devem ser empregadas as tabelas tipo k para coeficientes y, e y,diferentes de 1,4? 
2.18 No domínio 4, o que se entende por zona utilizável dos aços ClasseB? Nas Tabelas 7 e 8, 
quais os valores de k, correspondentes a essas zonas? 
2.19 Como se emprega o coeficiente 100 p , apresentado nas Tabelas 5 a 8? 
2.20 Do ponto de vista prático, como sejustificao cálculo de verificação de seçóes duplamente 
armadas por meio de tentativas? Como são feitas essas tentativas? 
2.21 Escrever as equações de equilíbrio para os casos de flexo-compressão com pequena 
excentricidade de seçóes retangulares. 
2.22 Estabelecer as condições de compatibilidade de deformações no domínio 5. 
2.23 Que condição deve ser satisfeita para que uma seção retangular submetida à flexo- 
compressão com pequena excentricidade possa ter armadura unilateral? Justificar. 
2.24 Nas mesmas condiçóes anteriores, quando é recomendável considerar a seçáo uniforme- 
mente comprimida? Justificar. 
2.25 Determinar o valor p:,, ,,, que separa os casos básicos daflexo-compressáo com pequena 
excentricidadede seções retangulares. 
3.1 FLEXAO SIMPLES Nas estruturas de concreto, as vigas de seção T são de uso corrente, pois, de 
E FLEXÁO COMPOSTA modo geral, as nervuras dasvigas estãoligadasaslajes, asquaisfornecem a necessária 
mesa de compressão, Fig. 3.1.1-1. De acordo com os princípios de notação, as 
3 . 1 . 1 AS "IGAS DE SECÃo dimensõesda mesasáo indicada~porb~e hf(flange), e alarguradaalmaporb,(web). 
T DAS ESTRUTURAS DE A Fig. 3.1.1-2 mostra seções transversais com diferentes arranjos, cujo cálculo 
CONCRETO recai na consideração de uma seçáo T. 
Fig. 3.1.1-1 Notação usual. 
É preciso salientar-se que uma viga de concreto composta por uma nervura e por abas 
salientes apenas será considerada como de seçáo T quando a mesa estiver compri- 
mida. Caso contrário, quando as abas estiverem tracionadas, a viga será considerada 
como de seção retangular. 
A Fig. 3.1.1-3 mostra o caso usual das vigas contínuas de edifícios. 
L A J E S N E R V U R A D A S 
VIGAS DE SEÇÃO CELULAR 
Fig. 3.1.1-2 Diferentes seções transversais. 
t e 60 reta ulor seçóo retangulo 4 
loja comprimido l a j e tracionodo 
sação T seçáo retanqulor 
Fig. 3.1.1-3 Vigas continuas de edifícios 
Nos trechos de momentos negativos junto aos apoios tem-se uma viga de seçáo 
retangular, pois as abas estão tracionadas. Observe-se que no balanço da direita, junto 
ao apoio C , a viga também deve ser considerada de seção retangular, em virtude da 
descontinuidade aí existente na posição da laje. 
Fig. 3.1.1-4 Largura colaborante. 
Fig. 3.1.1-5 Efeitos das cargas con- 
centradas. 
-------- 
Fig. 3.1.1-6 .Carga na extremidade. - 
Nas vigas em que a mesa de compressão temlargura real sensivelmente maior que 
a largura b, da alma, as tensões de compressão não têm distribuição uniforme, Fig. 
3.1.1-4. Por esse motivo, em lugar da largura real, admite-se que a mesa tenha uma 
certa largura b,, usualmente menor que a largura verdadeira. Pretende-se que dessa 
forma fiquem corrigidos os efeitos da variação das tensões na mesa de compressão. 
A determinação dalargura bf apresenta dificuldades de ordem prática. Assim, em 
princípio, o valor bf será diferente conforme se considere a estrutura em regime 
elástico ou em um estado último. De maneira análoga, bf terá valores diferentes 
conforme se considere o problema de resistência ou o problema de rigidez da peça. 
Além disso, a largura bf varia com as condições de apoio da viga e com o tipo de 
carregamento. 
Na Fig. 3.1.1-5 está ilustrado ofatode que, em regime elástico, a largura bftende a 
diminuir na região de aplicação de cargas concentradas. A Fig. 3.1.1-6 mostra o 
crescimento de bf a partir das extremidades onde se aplicam cargas concentradas. 
Em virtude das múltiplas dificuldades existentes na determinação de b , adotam- 
se soluções simplistas a favor da segurança, como a que se indica no item seguinte. 
3.1.2 A LARGURA DA Para as ações diretas, a largura bf é determinada de acordo com a NB-I da 
MESA DE COMPRESSÃO seguinte maneira, Fig. 3.1.2-1: 
DE ACORDO COM A NB-1 
VIGA DE EXTREMIDADE VIGA INTERNA VIGA ISOLADA 
Fig. 3.1.2-1 Largura colabarante conforme a NB-I. 
sendo 
b, = largura real da nervura 
b. = largura da nervura fictícia 
(b, = b, + soma dos menores catetos dos triângulos 
das mísulas correspondentes) 
b, = distância entre as faces das nervuras fictícias sucessivas 
tanto para o cálculo de resistência quanto para o cálculo de deformações, adotam-se 
os valores 
0,10 a 0,10 a 
b,. ( 8 hf 
0,s b2 6 h, 
onde: 
viga simplesmente apoiada a = ( 
tramo com momento em uma só extremidade 3 a = - e 
4 
I tramo com momentos na. duas extremidades 
3 
a = - e 
5 I viga em balanço a = 2 ! 
3.1.3 O PROCESSO DE O dimensionamento das seções T é feito de acordo com os mesmos critérios 
DIMENSIONAMENTO DAS gerais adotados paraas seções retangulares, considerando-se aqui apenas os casos de 
SEÇÕES T flexão simples e de flexão composta com grande excentricidade. 
FLEXO - FLEXÁO 
COMPRESSÃO SIMPLES 
FLEXO - 
Fd 
Fig. 3.1.3-1 Casos de dimensionamento 
Embora os problemas de flexo-compressão com pequenaexcentricidade também 
pudessem ser tratados pelos mesmos critérios, isso não será feito, pois nessas peças 
usualmente existem armaduras distribuídas ao longo de todaa seção, e não apenas um 
par de armaduras concentradas junto as bordas da mesma. 
Dada a seção transversal, Fig. 3.1.3-1, no caso da flexão composta determinam- 
se os esforços solicitantes 
e no caso de flexão simples calcula-se 
O processo usual de dirnensionamento considera a transformação da seção T 
numa seção retangular equivalente, conforme é indicado a seguir. 
1. A linha neutra corta a mesa de compressão (x < h,) 
i Conforme é ilustrado pela Fig. 3.1.3-2, quando a linha neutra corta a mesa de 
Fig. 3.1.3-2 Linha neutra cortando a mesa. 
compressão, não importa a formado restante da seção transversal, podendo a seção T 
ser tratada como uma seção retangular de dimensões bf.d. 
2 . A linha neutra corta a alma da seção ( x > h,) 
Considerando-se o diagrama parábola-retãngulo de tensóes, a determinação da 
resultante das tensões de compressão na mesa da seção apresenta dificuldades numé- 
ricas. Nesse caso, o dimensionamento da seção exige a construção de tabelas ou de 
ábacos especiais, como o que é apresentado pelo CEB (Boletim 82, Tabela 26 - 
página 90). 
O problema pode, porém, ser resolvido de maneira bastante fácil, quando se 
admite o diagrama retangular de tensões. Neste caso, consideram-se as seguintes 
situações básicas: 
a. A zona comprimida estd contida na mesa (x < 1,25 h,) 
Admitindo-se o diagrama retangular de tensóes, Fig. 3.1.3-3, enquanto 
x < 1,25 h,, aprofundidade da zonacomprimida efetiva, de 0,8 x, aindaestará restrita 
a mesa da seção. Desse modo, a seção T ainda poderá ser tratada como uma seção 
retangular de dimensões bf.d. 
Fig. 3.1.3-3 Linha neutra cortando a nervura próximo à mesa. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS 
b. A zona comprimida atinge a alma da seção (x 3 1,25 h,) 
Admite-se a decomposição da seção, conforme é ilustrado pela Fig. 3.1.3-4parao 
caso de armadura simples e pela Fig. 3.1.3-5 para o de armadura dupla. 
A seção formada pelas abas salientes, de largura b, - b,, e pela armadura &,tem 
braço de alavanca interno igual a d - hJ2. Essa seção resiste à parcela de momento 
indicada por M,,, ,. 
A seção formada pelo concreto comprimido da nervura e pela armadura A,, 
absorve a parcela de momento M,, ,. Se esta seção puder resistir ao momento Msd, >L. 
com C S &,, a peça poderá ter armadura simples. 
Quando a armadura simples levar a um valor E > desdobra-se o momento 
M,,, ,em duas outras parcelas, como no caso da seção retangular. A parcela M,,, .é 
o valor resistido pela seção retangular com armadura simples A,,, e a diferença AM,,, 
é resistida por uma seção metálica composta pelas armaduras de áreas A,, e A',. 
Usualmente, M,,,, . será feito igual a M,,,, ,i, correspondente a c = cii,. No caso dos 
aços Classe B , admite-se que a zona utilizável de deformações seja aceitável para a 
decomposição do momento Msdw. 
É oportuno observar-se que, em geral, não é recomendável o emprego de seções 
T com armadura dupla. A necessidade de ser empregada uma armadura de compres- 
são frequentemente indica uma deficiência de altura da viga, a qual pode acarretar 
problemas de flechas excessivas. 
ARMADURA SIMPLES 
Fig. 3.1.3-4 Linha neutra cortando a nervura 
ARMADURA DUPLA 
Fig. 3.1.3-5 Linha neutra cortando a nervura 
3.2 CÁLCULO Verifica-se inicialmente se a seção pode ser tratada como retangular de dimen- 
IIÁTICO DAS SEÇOES sões bl.d. Calcula-se 
rp I 
ADIMENSIONAIS. I 
EMPREGO DE TABELAS com o qual é determinado o valor de 5 por meio das tabelas universais. 
UNIVERSAISUsando-se tabelas constmídas com o diagrama parábola-retângulo, quando se 
tiver 
o problema será resolvido como o de uma seção retangular. 
Quando resultar 
a manutenção da hipótese do diagrama parábola-retângulo exigirá tabelas especiais. 
Nesse caso, é preferível admitir-se o diagrama retangular de tensões. 
Desse modo, para 5 3 1,25 Sf, fa2ase 
onde o momento MPd, I resistido pelas abas é dado por 
h 
Msd, = (ht - b,) h,.0,85 fCd (d - 2) 2 (3.2.1-3) 
Observe-se que o momento Msd, também poderia ser calculado pela expressão 
seguinte 
Para o emprego dessa expressão seria necessário dispor-se de uma tabela universal 
constmída com o diagrama retangular de tensões. 
Esse caminho não será aqui\ seguido, preferindo-se o emprego da expressão 
(3.2.1-3); a fim de evitar a duplicidade de tabelas universais. Um caminho dessa 
naturezaé seguido no cálculo com variáveis dimensionais, pois as tabelas tipo k foram 
construídas com o diagrama retangular de tensões. 
O momento resistido pela nervura M,, é então calculado por 
Considerando agora a seção retangular de dimensões b;d, calcula-se o valor de 
e a partir dele, por meio das tabelas universais, são determinados os valores de 5, a, e 
de v',caso seja empregada a armadura dupla. 
Note-se que, por coerência teórica, aqui também deveria ser empregada uma 
tabela constmída com o diagrama retangular de tensões. No entanto, como as diferen- 
ças de resultados são desprezíveis, emprega-se a Tabela 1 constmida com o diagrama I parábola-retângulo. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
Desse modo, são determinadas as armaduras nos seguintes casos: 
a. Armadura simples (A, = A# + A,,) 
com sinal (+) para tração e (-) para compressão. 
b. Armadura dupla (A, = A, + A,, + A,; A',) 
1 [ Ma,. f + & A,=- - + -- AMSdiu t N, 
r s d d - hf 
- 
z d - d ' I 
- 
com sinal (+) para tração e (-) para compressão 
1 . AMsau A:=- - 
r, d - d ' 
sendo 
onde usualmente é feito 
3.2.2 EXEMPLOS a. Exemplo I. Dimensionar a armadura de uma viga simplesmente apoiada de edifí- 
cio, indicada na Fig. 3.2.2-1. São dados: 
fck = 15 MPa Y C = 1,4 h 4 i T 
Aço CA-50B 
b, = 12 cm 
h f = 7 c m 
h = 45 cm 
M, = 60 kN.m Y f = 1,4 Fig. 3.2.2-1 Exemplo 
De acordo com as expressóes (3.1.3-11, a largura disponível de mesa vale 
bf = b, + 2 b, 
I N =O. lkg f I MPa = I MNlmZ = 10 kgficm* 
I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgfim = 0.1 tflm 
I k N m = 100 kgfm = 0.1 t t m I kN/mP = 100 kgi/m8 = 0.1 tfimS 
I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 t t c m 1 kN/m3 = 100 kgf/m3 = 0.1 tfim3 
onde 
0,10 a = 0,10 x 500 = 50 cm 
b , h [ 8 h l = S x 7 = 5 6 c m 
0,5 h, = (admite-se que não seja condicionante) 
logo 
15 fCd = - = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 
1,4 
500 - 435 MPa = 43,5 kN/cm2 fUd = - - 
1,15 
Verificação inicial: seção retangular b,.d 
Da Tabela 1, para wSd = 0,044, têm-se 
5 - 0.11 x = 0,11 x 40 = 4,4 cm < h, = 7 cm 
Esd = 10%0, logo (Tsd = f#d 
resultando, para o Aço CA-50B, 
h. Exemplo 2. Dimensionar a armadura de uma viga continua de ponte, indicada na 
Fig. 3.2.2-2. São dados: 
f,, = 18 MPa Y C = 1,4 
Aço CA-50A y, = 1,15 
e = 20 m (tramo de extremidade) 
1 N = O , l k g f I MPa = I MNlm' = 10 kgf/cm2 
I kN = IW kgf = 0.1 d I kNlm = 100 kgflm = 0,l tflm 
I kN.m = 1W kgf.m = 0.1 !í.m I kNlmX = 100 kgf/mP = 0.1 If/mP 
I kN.cm = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kNlmJ = I00 kgf/mJ = 0.1 tfim' 
I MPa = 0.1 kNlcmZ = 100 Nlcm' 
Fig. 3.2.2-2 Exemplo 
De acordo com a NB-1 (vide Fig. 3.1.2-1) 
bf = b, + h, + b, = h, + 2 x 20 + b, + h, (viga de borda) 
I 3 3 0 , 1 0 a = 0 , 1 0 x - Ç = l 5 O c m ( a = - e ) 4 4 h, C 8 h, = 8 x 12 = 96 cm 0,5 h, = (admite-se que náo seja condicionante) 
Verificação inicial: seção retangular h,. d 
18 
fcd = - = 12,8 MPa = 1,28 kN/cmZ 
1,4 
De acordo com a Tabela 1 , constmída com o diagrama parábola-retângulo, para 
pSd = 0,093, têm-se 
5 =0,17 logo x = 0,17 x 155 = 26,4 cm > h, 
O problema deve então ser tratado como seção T e não como seção retangular, 
pois a zona comprimida atinge a alma da seção. 
Fazendo-se 
onde 
M ~ , , = (b, - b,) hf . 0 3 5 fcd . id - -I* 2 
'Vide comentário em $3.21 
I N = O , l k g f I MPa = 1 MNlmZ = 10 kgf/cmP 
I k N = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm =O,] tfim 
I kN.m = I00 kgfm = 0.1 t f m I kN/m8 = I00 kgf/mZ = 0.1 tf/mz 
I k ~ c m = 100 kgfcm = 0.1 t fcm I kN/mS= IW kgfimJ = 0.1 tf/ma 
I MPa = 0.1 kN/cmZ = IW N/cmX 
SEÇOES T 
tem-se 
M , , = (238 - 30) 12 x 0,85 x 1,28 (155 - 6) = 404 600 kN.cm 
logo 
M , , = M d - Md, , = 680 000 - 404 600 = 275 400 kN.cm 
Considerando agora a seçáo retangular b;d, têm-se 
z - 0,76d- 118cm 
sendo possível empregar armadura simples, resultando: 
ou seja 
c. Exemplo 3. Armar a mesma vigado Exemplo 2, empregando-se o Aço CA-50B. 
Neste caso, os resultados seguintes são os mesmos para qualquer dos dois aços 
considerados: 
No entanto, para o Aço CA-SOB, de acordo com a Tabela 1, 
Fazendo-se 
com 
M d , , c = Mdw, t ~ r n 
resultam 
Mdw, lim = pd, ,<, b, d2 fcd = 0,257 x 30 x 155% x 1,28 P 237 000 kN.cm 
I N = 0.1 kgf 1 MPa = I MNlm* = 10 kgflcmz 
I kN = 100 kgf = 0.1 lf I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm 
1 k ~ . m = 100 kgf.m = 0.1 I k ~ i m * = IW kgf(mz = 0.1 tfimP 
I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 t fcm I kN/mJ = 100 kgflm" 0.1 !fim3 
1 MPa = 0.1 kN/cms = 100 N/cmZ 
e 
= Mdw - Mdw, lim = 275 400 - 237 000 = 38 400 kN.cm 
Por outro lado, sendo 
com 
logo, de acordo com a Tabela 2, 
dSd= 405,2 MPa = 40,52 kN/cm2 
obtêm-se: 
logo 
A, = 62,4 + 43,6 + 6,O = 112 cm" (23 0 25) 
e 
I N = O , I k g f I MPa = 1 MNlm' = 10 kgflcms 
I kN = IW k g f = 0.1 tf 1 kNlm = IW kpfim = 0,I tflm 
I k N m = 100 kgfm = 0,I tf.m I kNlm' = 100 kgflm2 = 0,I tflm' 
I kN.cm = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kNlms= 100 kgf/m3 = 0.1 tf/m3 
3.2.3 VARIÁVEIS De acordo com o que jáfoivistoanteriormente, em primeiro lugar deve ser feita a 
DIMENSIONAIS. tentativa de consideração de uma seçáo retangular de dimensóes bfd. 
EMPREGO DE TABELAS Dados os esforços 
TIPO k 
Nd = FK.Y~ (3.2.3-1) 
calcula-se o valor de 
e a partir dele, pelas Tabelas 3 a 8, fica conhecido o valor de 
sendo válida a hipótese desde que 
resultando 
com o sinal (+) para tração e (-) para a compressão. 
Quando resultar c > 1,25 h , deve ser feita a decomposição 
onde 
(b, - b,)d2 
Msd, I. = 
kc , = 1,25 w 
devendo o momento 
Msd. w = Msd - Msa. I 
ser resistido pela seçáo retangular de dimensóes b, x d 
Calculando-se o valor 
quando 
ke , to kc, ~ i m (3.2.3-9) 
pode ser empregada a armadura simples, e, no caso contrário, quando 
kc, w > kc, iim (3.2.3-10) 
95 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
é preciso fazer-se a decomposição 
MadW = Msdw, c + AMsd 
sendo aparcela M,,, ,resistida pela nervuracom aarmadura simples A,, e adiferença 
AM,,, resistida pela seçáo metálica composta pelas armaduras A, e A',. 
Observando-se que a real posição da linha neutra é condicionada pelo momento 
M,,,, do qual decorrem os coeficientes k,,, k,, k,, e k',,resultam as armaduras 
seguintes: 
a. Armadura simples (A, = A* + A,,) 
com k, e k, determinados em função de k,, ,, sendo o sinal (+) para N, de tração e (-) 
para Nd de compressão. 
I b. Armadura dupla (A, = A, + A,, + A,,; A(,) 
com k,, k', e k,, determinados em função de k,, ,, sendo o sinal (+) para N, de tração e 
(-) para N, de compressão. 
3.2.4 EXEMPLOS a. Exemplo 4. Resolver o Exemplo 1 (53.2.2), empregando as tabelas tipo k. 
Dados: 
f,, = 15 MPa Y C = 1,4 
Aço CA-SOB 
Calculando-se 
I N = O , l k g f 1 MPa = I MNlm* = 10 kgficm' 
I k N = IW kgf = 0.1 if I kNim = 100 kgfim = 0.1 [fim 
I k N . m = IW kgf.m = O,? t f m I kN/m2 = 100 kgfimZ = 0.1 ff/m2I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 ff.cm I kNlmJ = I00 kgfim3 = 0,1 fVm3 
SEÇOES T 
da Tabela 7 resultam, a favor da segurança, 
6 - 0,07, logo x = 0,07 x 40 = 2,8 cm < h, 
e 
8 400 k, = 0,024, logo A, = 0,024 - = 5,M cm2 
40 (4 0 1 2 3 
b. Exemplo 5. Resolver o Exemplo 2 ( 5 3.2.2), empregando as tabelas tipo k. 
Dados: 
M, = 6 800 kN.m = 680 000 kN.cm ? r = 1,4 
f,, = 18 MPa YC = 1,4 
Aço CA-SOA (Tabela 6) 
b, = 30 cm 
d = 155 cm 
h, = 12 cm 
b, = 238 cm 
Verificação inicial 
Calculando-se 
da Tabela 6 resulta 6 - 0,15, logo 
não sendo possível tratar a seçáo como retangular. 
Determinando-se o momento 
sendo 
logo 
5 = 1,25 6, = 1,25 x 0,077 = 0,097 
I N = O , l k g f I MPa = I MNlm2 = 10 kgficm2 
I k N = 1W kgf = 0.1 tf I kNim = IW kgflm = O. I !fim 
i k N . m = 100 kgtm = 0.1 r fm I kNim' = 1W kgflm' = 0.1 rfima 
I k N c m = IW kgfcm = 0.1 t f c m I k N 1 d = 100 kgfim" 0.1 tf/m3 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
resulta da Tabela 6 
k,, ,- 11,9 
donde 
Md, = Md - Md, = 680 000 - 419 930 = 260 070 kN.cm 
Nessas condições, sendo 
têm-se 
5 = 0,52 logo x = 0,52 x 155 = 80,6 cm 
resultando de 
Mdf MdW A, = k,, - + k, - 
h d - 2 d 
2 
o valor 
C. Exemplo 6. Resolver o problema anterior usando Aço CA-50B (Tabela 7) 
Neste caso, valem os seguintes resultados: 
M, = 419 930 kN.cm 
M,, = 260 070 kN.cm 
com 
k,, = 2,s i k,, ,,, = 3,0, embora o valor de k, = 2,8 
ainda esteja dentro da chamada zona utilizável. Todavia, a fim de comparar os 
I N =0 ,1kg f I MPa = I MNlmz = 10 kgf/cmS 
I'kN = l W k g f = O , I d I kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm 
I kN.m = 1W kgfm = 0.1 d.m I kN1m2 = IW kgflm* = 0.1 dlm2 
I kN.cm = 100 kgtcm = 0.1 ü.cm 1 kN/m3 = I00 kgf/m3 = 0.1 tf/m3 
I MPa = 0,I kN/cm2 = 100 Nicm' 
resultados deste problema com os resultados do problema 3, será adotada armadura 
dupla. 
Fazendo 
com k,, li, = 3,0, tem-se 
logo 
AMdw = Mdw - Mdw, = 260 070 - 240 250 = 19 820 kN.cm 
As armaduras são determinadas pelas expressões 
onde, para 5 = tiim = 0,4623 e 8' = 71155 = 0,05, têm-se 
k, = 0,029 
a = 1 ,O0 logo k, = 0,023 
0 023 p = 0,93 logo k: = L = 0,025 0,93 
resultando 
isto é 
A, = 64,U + 3,l + 44,9 = 112,U cmZ (23 0 25) 
e 
, ~ ~ ~ - . ~~~~, 
1 k N = I W k g f = O , I t f I kNim = 100 k d m = 0.1 ifim 
1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 t f m I kNimS = 100 kgfim' = 0.1 tfim' 
I k N c m = IM) kgf.cm = 0.1 t f cm I kN/m3 = IW kgfim3 = 0.1 tf/mJ 
3.1 Nas vigas de edifício, quais as que devem ser consideradas de seçáo retangulare quais as 
de segáo T? Exemplificar, considerando lajes naface superior da viga e lajes rebaixadasde 
um e dos dois lados da nervura. 
3.2 Que variáveis devem ser considei-adas nadeterminaçáo da largura bf da mesa de compres- 
sâo? 
3.3 Quando a seção T pode ser tratada como uma seção retangular? 
3.4 Admitindo-se o diagrama retangular de tensões, qual aposição limite dalinha neutra para 
que a seçáo T seja tratada como retangular? Justificar. 
3.5 Justificar a decomposição do momento M, nas parcelas M,[, e M,: ,.. para as seções T 
com armadura simples. 
3.6 Por que a parcela Md, , náo depende da real posição da linha neutra? Discutir. 
3.7 Por que a posição da linha neutra só depende da parcela M,, ,? 
3.8 Qual a relação existente entre os momentos M,, e M,, i> 
3.9 Por que o cálculo de M,, ,com o diagrama parábola-retângulo apresenta maiores diticul- 
dades do que com o diagrama retangular de tensões? Justificar. 
3.10 Comparar os exercícios I e 4. Comentar os resultados. 
3.1 1 Comparar os exercícios 2 e 5. Comentar os resultados. 
3.12 Comparar os exercícios 3 e 6. Comentar os resultados. 
4 
F1exã.o Oblíqua 
4.1 MÉTODOS GERAIS 
DE CÁLCULO 
4.1.1 CÁLCULO EXATO Considerando o caso geral daflexáo oblíquacomposta, Fig. 4.1.1-1, têm-se os seguin- 
tes elementos para a solução exata do problema. 
Fig. 4.1.1-1 Flexão composta oblíqua. i 
102 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
a. Condições de equilíbrio 
M ~ , = F, e, = J J ued x . d ~ d ~ + A, c ~ d d X, 
A.. i = l 
M = F e = ucd Y . ~ X ~ Y + i A, uw Y* 
A,, i = l 
h. Condições de compatibilidade 
As condições de compatibilidade são decorrentes da manutenção da forma plana 
da seção transversal. 
Dada a posição da linha neutra e imposta a deformação específica de um ponto 
particular da seção transversal, ficam determinadas as deformações específicas de 
todos os outros pontos da seção e, conseqüentemente, as respectivas tensões. 
Assim, por exemplo, Fig. 4.1.1-1, uma vez fvtada a posição da linha neutra e 
imposta a deformação eeld = 3,S%o no ponto mais comprimido, ficam determinados o 
diagrama de tensões no concreto bem como as tensões que agem em cada uma das 
barras da armadura. 
c. Solução do problema 
Para umadada seçáo transversal, escolhidas inclinação <r dalinha neutrae fixada 
a profundidade x da zona comprimida., impondo-se o valor de E,, = 10% no domínio 2, 
o valor de E,,, = 3,5%0 nos domínios 3, 4 e 4a e o valor de E,,, = 2%0 no domínio 5, 
podem ser calculadas todas as tensões. 
As equações de equilíbrio (4.1.1-1) fornecem então os valores dos esforços 
solicitantes correspondentes Ndr Msd e M,,. 
d. A p s e n t a ç ã o dos resultados 
-\ Variando a profundidade x da zona comprimida e, para cada x, variando a 
inclinação a dalinha neutra, obtêm-se todos os possíveis ternos de valores Nd, Mrde 
M,, que conduzem uma dada seção ao estado limite último de ruptura ou de alònga- 
mento plástico excessivo. 
Confoiine se mostra em § 4.1.3, esses ternos de valores podem ser representados 
por meio de superfícies ou de diagramas de interação. 
I Cabe, no entanto, salientar que o traçado sistemático dos diagramas de interação 
somente pode ser feito, do ponto de vista prático, da maneira indicada a seguir. 
e. Traçado dos diagramas de interação 
Para o traçado sistemático dos diagramas de interação, ao invés do sistema de 
coordenadas indicado na Fig. 4.1.1-1, adota-se o sistema indicado na Fig. 4.1.1-2. 
Com o sistema de coordenadas mostrado nessa figura, as equações de equilíbrio 
podem ser escritas da seguinte forma, onde as integrais seguem um sentido de 
circuitação preestabelecido: 
O traçado sistemático dos diagramas de interação é feito para valores constantes 
de N,. 
Nessas condições, adotado um valor de N,, ou seja, admitido um valor de 
fixa-se uma inclinação a para a linha neutra e calculam-se os valores de Nd para 
valores crescentes da profundidade x,, da zona comprimida. 
Quando se obtém o valor preestabelecido para N,, nessa posição são calculados 
os momentos M, e MWd e, a partir deles, os momentos Mzd e M,,, obtendo-se então 
valores de 
com os quais fica determinado um ponto do diagrama de interação, Fig. 4.1.1-3. 
Observe-se que, na Fig. 4.1.1-2, M, é o momento que age no plano que contém o eixo 
M, atua no plano que contém Gy. 
dotam-se a seguir novas inclinações a para a linha neutra e repete-se para cada 
elas o processo descrito anteriormente, obtendo-se desse modo, por pontos, o 
aiagrama de interação (/L=, pyd, vd = const.) 
104 ESTRU-rURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇóES NOHXAIS 
P y d 
( J d = valor prefixado ) 
J'(yd, cai ----- I r I i%d N x d , ca lculado 
Fig. 4.1.1-3 Traçado ,do diagrama de intelacão 
4.1.2 SUPERFICIES DE Conforme jáfoi visto, dando-se a forma da seçáo transversal, definindo a armadura e 
INTERAÇAO E especificando as resistências de cálculo dos materiais, podem ser determinados os 
DIAGRAMAS DE ternos de valores N,, M,, e M,,que levam a seção transversal ao estado limite último 
INTERAÇAO de ruptura ou alongamento plástico excessivo. 
A Fig. 4.1.2-1 mostra de forma genérica a superfície de interaçáo dos valores 
últimos Nu, M,, e M,,. 
1 u , compressão" " , " 
( E L E M E N T O F U N D A M E N T A L p/ 
A S A P L I C A Ç ~ E S ) 
__C 
M~ u 
o 5'0 
OP'O 
OE'O 
02'0 
01'0 
00'0 
O 
01'0 -I 
3 
C3 
Z 
02'0 <a + 
hrl 
lx 
0£'0 1 
-x 
-I 
O 
o*"' 3 
CC 
'$ 
Oi'O 
u 
5 
a OC'O E 
w 
a 
Oi,O, 
. . 
O 
""t 
a 
O 
01'0 Z 
O 
O 
00 'o 
01'0, 
* 
02'0 '1 
0 
- 
O 
O£'O ; 
4 
OC'O, 
OS'O 
OS'O 
OE'O 
I 
a 
OE'O -I 
m 
.a 
o * , ,u 
a 
O S ' O 
a 
OE'O .. 
C 
W 
02'0 5 
Z 
0 1 ' 0 O 
m 
OE'O a 
O 
2i o : 219 
I.. a 
O 
2i 
I rp 
Ob'O 
OE'O 
- 
- 
OE'O a- 
108 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
A propriedade mais importante dessas superfícies de interação (Nu, MA, M,,)éa 
sua convexidade, conforme está mostrado nos cortes correspondentes a N, = 0, 
M,, = O, M,,, = O e Nu = constante # 0, respectivamente, Fig. 4.1.2-1. 
Essa propriedade de convexidade permite, como será visto posteriormente. o I 
estabelecimento de processos aproximados de cálculo, a favor da segurança. Na I 
verdade, a convexidade dos diagramas de interação (M,,,, M,,) para N, = constan- 
te # Oparece não ser rigorosamente perfeita. Todavia, Eomo é aparente nos diagramas 
aqui apresentados, para todos os efeitos práticos pode ser admitida a convexidade 
perfeita da superfície de interaçáo. 
A apresentação das superfícies de interação é feita por meio de ábacos. por vezes 
chamados de ábacos em roseta, correspondentes a cortes da superfície de interação, 
definidos por diferentes valores de v,. 
Para as seçóes com dupla simetria. os diagramas de interação são frequentemente 
apresentados em octantes.', V a r a o emprego rotineiro, esse tipo de representrição 
não é o mais cômodo. 
Nas figuras seguintes," Figs. 4.1.2-2 a4.1.2-4, estão apresentados ábacos calcu- , 
lados de acordo com as especificações da NB-1/78. 
Em qualquer caso, para as aplicaçóes é importante observar quais as coordenadas 
adotadas para os diagramas de interaçáo, pois alguns são apresentados em função das 
excentricidades relativas e,lh, e e,/h, e outros em função dos momentos relativos 
w, = ve,/h, e w~ = vedh". 
De forma análoga. deve-se prestar atenção nas definições adotadas para as 
grandezas adimensionais. pois pode haver pequenas diferenças de uma apresentação 
para outra. 
4.1.3 EXEMPLO Para exemplitlcar a utilizaçao dos diagramas de interação, considere-se a seção 
transversal mostrada na Fig. 4.1.3-1. 
Sao dados os seguintes valores: 
I 
'Marcos Antonio Marino, Sesó- ~ r a n ~ ~ e r ~ a i ~ de c < I ~ c ~ P ~ < > armado sujeitos a solicitacoes normais. Dissertaçáo de 
Mestrado elaborada sob a otientaqáo do Autor. Escola Politécnica USP, Sáo Paulo, 1978. 
I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlrnZ = 10kgficm2 
I kN = 100 kgf = 0.1 t i I kNlm = 100 kgflrn = 0.1 tflm 
I kN.m = 1W kgf.m = 0.1 t f m I kN/m2 = 100 kgf/mz = 0.1 tf/m2 
i k N c m = 100 kgf.cm = 0.1 I fcm I kN/mS = 100 kgf/ma = 0.1 tf/rn3 
fck = 15 MPa = 1,s kN/cm2 ?c = 1,4 f,., = - - - 1.07 k ~ / c m ~ 
1,4 
Aço CA-SOB y, = 1,15 fyd = 43.5 kN/cinY 
Ábucos du Fiz. 4.1.2-2 
Para a utilização destes ábacos, calculam-se os valores: 
De acordo com a Fig. 4.1 .?-2, tem-se 
e para 
Interpelando linearmente, para u = 0.62, obtém-se 
resultando 
ou seja, pode ser adotada a soluçáo 
8 1 = u , l k g f I MPa = I M N l m 2 = 10ksficmZ 
I k N = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm 
I kN.m = 100 kgf.m = 0.1 r t m 1 kN/m2 = 100 k8fim2 = 0.1 tflm* ' 
I kN.cm = 100 k b i c m = 0.1 S.cm I kN/rnS = 100 kgf/ms = 0.1 tf/m3 
110 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS I 
4.1.4 CÁLCULO POR Quando não existem os diagramas de interação paraa seção transversal consideradae 
TENTATIVAS nem são aplicáveis outros processos de cálculo, o dimensionamento da seçãopode ser 
feito por tentativas, conforme é indicado na Fig. 4.1.4-1. 
Dada a seção transversal e a posição da força Fd, escolhe-se o arranjo da 
armadura de traçáo de forma tão concentrada quanto possível, a fim de facilitar a 
solução do problema. 
P A posição da linha neutra deverá ser determinada por tentativas, sabendo-se que 
a força Fd aplicada, a resultante R, das tensões na armadura de tração e a resultante 
R,, das tensões de compressão no concreto deverão estar contidas num mesmo plano. 
FLEXAO OBL~QUA 111 
Desse modo, conhecendo-se as posições de Fd e de R,,, Fig. 4.1.4-1, e sabendo- 
se que 
sendo 
Nd = Fd (4.1.4-2) 
determina-se, por tentativas, a posição da linha neutra que satisfaz as condições 
(4.1.4-1) a (4.1.4-3). 
Uma vez determinada a posição da linha neutra, calcula-se a armadura de tração 
pela condição 
com o sinal (+) para N, de traçáo e o sinal (-)para compressão, controlando-se as 
deformações para verificar se realmente é satisfeita a condição 
4.1.5 EXCENTRICIDADES De modo tradicional, na presença de força normal de compressão, os casos de 
ACIDENTAIS solicitações normais são classificados em: compressüo centradu,flexüo normal com- 
posta eflexüo oblíqua composta. Todavia, de acordo com os novos princípios de 
verificação da segurança, no caso de força normal de compressão, passou-se a 
considerar explicitamente a incerteza na localização do ponto de aplicação da resul- 
tante dos esforços normais. Foi assim criado o conceito de excentricidade adicional, 
que na nova NB-1 é designada por excentricidade acidental. 
A excentricidade acidental foi fixada convencionalmente com o maior dos dois 
valores seguintes: 
onde h é a maior dimensão da seção na direção considerada. 
Desse modo, em princípio, todos os problemas de compressão passaram a ser 
problemas de flexão oblíqua composta. 
Evidentemente, por razões de ordem prática, nem todos os problemas serão 
tratados com o mesmo grau de rigor. Assim, na Fig. 7.3.1-1 do B 7.3.1 estão indicadas 
as excentricidades a serem admitidas no cálculo, em função das situações teóricas de 
projeto, deacordo com a NB-I. Quando a situação suposta no projeto for de compres- 
são centrada ou de flexo-compressão normal, a obliquidade decorrente das excentri- 
cidades adicionais será tratada de forma simplista. Pelo contrário, quando a situação 
teórica de projeto já for de flexão oblíqua composta, o problema será tratado com 
maior rigor, conforme será discutido posteriormente no Cap. 7. 
Observe-se que no caso de peças esbeltas, além das excentricidadesjá considera- 
das, ainda deverão ser levados em conta os efeitos de segunda ordem, decorrentes da 
deformação das peças. 
4.2 MÉTODOS 
SIMPLIFICADOS DE 
CÁLCULO 
4.2.1 LINEARIZAÇÃO DOS Este critério conduz a soluçóes necessariamente a favor da segurança, em virtude da 
DIAGRAMAS DE convexidade da superfície de interação, Fig. 4.2.1-1. 
INTERACAO Emprega-se um diagrama linearizado de interação para o dimensiona- 
R e s u l t a d o s s i s t e m a t i c a m e n t e 
0 f o v o r do segurança 
D I A G R A M A R E A L 
DIAGRAMA 
LINEARIZADO 
I 
xd, cal 
Fig. 4.2.1-1 Mérodos simplificados de cálculo. 
mento de seçóes submetidas à flexáo oblíqua composta, obtendo-se a expressão 
I M v d + M z d = 1 
- - 
Muo, u Ma, u 
válida para Nu, ,, = Nd. 
A critica a ser feita a esse processo simplificado é a de conduzir, por vezes, a 
soluções sensivelmente antieconômicas. A sua defesa é a de conduzir sempre a 
soluções a favor da segurança e de permitir o dimensionamento da armadura por 
tentativas, e não a simples verificação da carga que pode ser aplicada numa dada 
posição de uma seçáo conhecida. 
Observe-se que a linearidade dos diagramas de interaçáo pode ser interpretada 
tanto nas coordenadas M,, e M,, quanto em e,, e e,,, bem como em e,,/h,e e,,/h,. 
conforme mostra a Fig. 4.2.1-2 e de acordo com o que já havia sido mostrado nas 
figuras do § 4.1.2.Para o emprego do método, dado o pontoA (psd , pyd , vd) , escolhe-se uma reta 
que passe por esse ponto, cortando os eixos coordenados nos pontos B GyO, d , vd) e 
C ( w ~ , , ~ , vd) . Fig. 4.2.1-1. 
Dimensiona-se a seção sob a ação de uma das flexões normais definidas pelos 
pontos A e B e verifica-se, a seguir, para a outra flexáo normal. 
Caso esta última verificação dê resultado satisfatório, a seçáo terá segurança 
superabundante para a flexão oblíqua original. 
Fig. 4.2.1-2 Linea"zaç80 dos diagramas de interacão 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÕES NORMAIS 
No caso de seções retangulares com armaduras iguais nas quatro faces, os 
diagramas de interação linearizados terão uma inclinação de 45O com os eixos coorde- 
nados, bastando então um único cálculo de dimensionamento numa das direções 
principais. 
4.2.2 EXEMPLO Considere-se o dimensionamento aproximado doexemplo resolvido de modo rigoroso 
em § 4.1.3. 
São dados os seguintes valores: 
N, = 1000 kN y, = 1,4 Nd = 1,4 x 1000 = 1400 kN 
f,, = 15 MPa = 1,s kN/cm2 y, = 1,4 f,, = 1,07 kN/cm2 
Aço CA-SOB y, = 1,15 f,d = 43,5 kN/cm2 
h, = b = 30 cm e, = 6 cm - - - - 
- - 0,20 
b 30 
Y Plano de My IJ 
ey : 28 
e~ 
r 3, - 
Plano de M, h Y 
Fig. 4.2.2-1 Exemplo. 
1 N =O, lkg f I MPa = I MNlm* = 10kgf/cm* 
I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kN/m = I W kgfim = 0,I tflm 
1 kN.m = 100 kg fm = 0.1 1f.m 1 kN/m2 = I W kgfim2 = 0.1 tflrn2 
I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 tf.cm 1 kN/rn3 = 1 0 0 k g f / ~ = = 0.1 
I MPa = 0.1 kN/crnn = 100 
Admitindo-se diagramas de interação linearizados e mantendo-se o mesmo ar- 
ranjo da armadura, isto é, colocando-se armadura igual nos quatro cantos, o dimen- 
sionamento mais econômico deflexáonormal compostacorresponde ao que se mostra 
na Fig. 4.2.2-1. 
Quando se empregam diagramas de interaçáo nas coordenadas e,/h, e e,/h,, 
como é o caso apresentado na Fig. 4.2.1-1, o dimensionamento mais econômico 
corresponde a 
Quando se empregam diagramas de interação nas coordenadas pZd e pVdi como 
aqueles apresentados nas Figs. 4.1.2-2 a 4.1.2-4, a condição econômica é obtida com 
Ambas as condições decorrem do fato de a armadura estar igualmente concen- 
trada nos quatro cantos, pois, nesse caso, o diagrama linearizado mais econômico 
corresponde a uma reta igualmente inclinada em relação aos eixos coordenados. De 
fato, com esse arranjo de armadura, para um mesmo valor de v,, deve ser obtida a 
mesma taxa de armadura quer se considere uma flexáo normal composta segundo o 
eixo Gx, quer segundo o eixo Gy. 
Nessas condições, empregando, por exemplo, os ábacos de flexão normalcom- 
posta de Montoya,* para 
obtêm-se: 
d' para 6' = - = 0,10 o = 0,86 
h 
d' para 6' = - = 0,05 o = 0,76 
h 
Interpolando-se para 8' = 0,07, tem-se 
resultando 
logo 
A,, ,,C, L= 4 x 10,3 cm2 
Sabendo que este resultado é sempre a favor da segurança, seria aceitável a 
mesma solução obtida anteriormente 
A,, ,,,,L = 4 X 3 c$ 20 = 4 x 9,45 cmZ 
Note-se que a aproximação do cálculo simplificado foi muito boa neste caso 
particular em que os diagramas reais de interação são praticamente lineares, Figs. 
4.1.2-2 a 4.1.2-4. 
Observe-se novamente que, pelo fato de a armadura estar igualmente concen- 
trada nos cantos, bastou o cálculo de flexão normal composta em uma só direção. 
4.2.3 UM PROCESSO Em face das dificuldades existentes no cálculo das seções submetidas a flexáo com- 
EMPIRICO TRADICIONAL posta oblíqua, muitos processos empíricos foram sugeridos pelaliteratura técnica. Na 
Fig. 4.2.3-1 está ilustrado o chamado processo da Norma Russa, que teve larga 
aceitação durante muito tempo. 
I Fig. 4.2.3-1 Um método antiga de cálculo. 
Por esse processo, sendo 
N,,, = força normal última na compressão centrada 
N,, = força normal última na flexão normal composta com o momento último M,, 
N,, = força normal última na flexão normal composta com o momento último M,, 
admite-se que, na flexão oblíqua composta, a força normal última Nu, acompanhada 
dos momentos M,, e M,,, seja dada por 
1 - 
- 
1 I I 
- + - - - 
Nu N,, N, No, 
Alguns autores tentaram justificar teoricamente essa expressão, mas conforme se 
ilustra na Fig. 4.2.3-1, ela deve ser entendida como uma expressâo empirica. 
De acordo com estudos realizados por Moran," a chamada fórmula da Norma 
Russa pode conduzir a erros contra a segurança de importância bastante significativa, 
não existindo estimativa do máximo erro possível. Os resultados indicados na Fig. 
4.2.3-1 são válidos apenas para a seção particular aí indicada. Por esse motivo, a 
chamada fórmula d a Norma Russa deve ser definitivamente abandonada. 
4.3 MÉTODO DA 
TRANSFORMAÇAO 
AFIM DAS SEÇOES* 
4.3.1 TRANSFORMAÇAO O método d a transformação das seções é baseado na possibilidade de realizar uma 
AFIM DAS SEÇOES transformação d a seção, mantendo constantes os valores dos parimetros adimensio- 
RETANGULARES nais que intervêm no dimensionamento d a mesma sob a ação de solicitações nor- 
mais,Iu Fig. 4.3.1-1. 
Fig. 4.3.1-1 Sesões ntins 
'Telèmaco van Langendonck, Fierio comportu ubiíouo no con<iciu ormodo. A.B.C.P. . São Paulo. 1977 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAB 
Considerem-se duas seções retangulares de lados paralelos aos eixos coordena- 
dos Ox e Oy, armadas em cada uma dessas duas direções com duas camadas de barras 
de aço. Admita-se que as duas seções estejam submetidas àflexão composta oblíqua. 
Os parâmetros de cada uma das seções estão indicados, respectivamente, pelos 
índices 1 e 2. 
Para a manutençáo dos parâmetros adimensionais são possíveis dois caminhos 
diferentes: num deles altera-se a intensidade da forçalongitudinal F na mesmapropor- 
ção que a razão A de afinidade e mantêm-se as resistências dos materiais; no outro, 
alteram-se as resistências dos materiais na proporção l i1 e mantém-se a intensidade 
da força F. 
Considerando então as duas seçóes, a original e a transformada, a cada uma delas 
correspondem as seguintes grandezas: 
a. Dimensóes: h,,, h,,, A,,, A,,, A ,$,,, A,,, 
b. Materiais: fcdlr fydl = fidl 
c. Taxas mecânicas de armadura: 
os, = 
As,, fvdl wu, = as#^ fudl 
hz1 hu, fCdl h,, h,, fCd, 
= A'8Zl f ~ d l o;l = K8U1 f U d l 
h91 fcdl hzl hyl fcdl 
d. Esforços: Ndl = Fd 
MZdi = Fd.e,, (atuante no plano que contém o eixo Ox) 
M,,,, = F,.e,, (atuante no plano que contém o eixo Oy) 
e. Esforços relativos: 
Fd . e,, Pzdl = 
h,, hZ,, fCd1 
b. Materiais: f ,,,, fvd2 = fid2 
c. Taxas mecânicas de armaduras: 
r - AS,, f'vdz 
W,z2 - 
,y, - ASa flud2 
h52 hy2 fcd2 fcd2 
d. Esforços: 
N d z = F d (por hipótese) 
M,, = Fd . e,, (atuante no plano que contém o eixo Ox) 
MVd2 = Fd . eVz (atuante no plano que contém o eixo Oy) 
e. Esforços relativos: 
Admita-se que aSeção 2 sejaobtidaapartir daSeção 1 por meio de umaafinidade 
paralela ao eixo Oy, de razão h igual a 
Como a afinidade é paralela ao eixo Oy. são alteradas apenas as dimensões 
paralelas a essa direção, mantendo-se as dimensões paralelas ao eixo Ox. 
Desse modo, resultam as relações seguintes: 
h,* = h h,, 
e,, = h e,, 
h,* = h,, 
er2 = e,, 
1 ." Alternutiva 
Admita-se ainda que existam as seguintes relações entre as resistências dos 
materiais das duas seções consideradas: 
f',dl f,,, = - 
A 
Com todas as hipóteses formuladas anteriormente, obtêm-se então 
Vp = - Fd - F d = V, 
h,, h,, fcd, h,, Ah,, f,,, 
Conforme já foi assinalado, há uma outra forma alternativa de transformar a 
seção, mantendo-se também os valores dos parâmetros adimensionais. 
De fato, basta manter os valores das tensoes e alterar a intensidade da força 
longitudinal, fazendo-se 
Neste caso, têm-se 
F P ~ ey2 = AF,d . Ae,, - Py~d = - Puid 
h,, h;z fCd h,, A2 h:, fCd 
A,,, fvd = AA,,, .fvd - 
o 5 2 = - os, 
h,, h,, f,, h,, . h,, fCd 
0 1 2 = A,,, fuL = h A3,1 . fv, = o:, 
hzz h,, fcd h,, . A hyl fcd 
4.3.2 FUNDAMENTOS DO 
MÉTODO DE CÁLCULO 
Considere-se uma seção transversal retangular de lados h, = b e h, submetida à 
flexão composta oblíqua em virtude daaplicação da forçalongitudinal Fdr que age com 
as excentricidades e, e e,, Fig. 4.3.2-1. 1 
Fig. 4.3.2-1 Transforrna~io afim 
Admitindo-se a transformação da seção por uma afinidade paralela ao lado maior 
h,, com razão 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÕES NORMAIS 
obtém-se uma seção quadrada de lados 
hxQ = h,, = b (4.3.2-2) 
Com essa afinidade tamhém ficam alteradas as áreas das seções transversais das 
armaduras, sendo 
(4.3.2-3) 
A,,u = A As, 
Aszu = h 
De forma análoga, admite-se que a afinidade também afete as excentricidades da 
força F,, resultando 
ezy = e , (4.3.2-4) 
e 
Admitindo ainda a hipótese suplementar de que também seja alterada a intensi- 
dade da força axial, sendo 
sabe-se, de acordo com o que foi visto no item anterior, que permanecem invariantes 
os valores das seguintes grandezas adimensionais: 
Observe-se que, em virtude dà alteração da força axial, conforme (4.3.2-6), n6o 1 haverá alteração das resistências dos materiais empregados. 
b. Condições de dimensionamento 
De acordo com o que foi visto em § 4.1.1, as condições gerais de equilíbrio da5 
seções retangulares, Fig. 4.3.2-2, podem ser escritas: 
N.=,=// % d X d Y + i Astu.. 
A,, 1 
Fig. 4.3.2-2 Flexão composta oblíqua. I 
Introduzindo as condições de compatibilidade de deformações nas expressões de 
equilíbrio, elas podem ser reduzidas as suas formas adimensionais, resultando num 
sistema de equações nas variáveis seguintes: 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
11. Armaduras: 
111. Cobrimentos: 
d!, d',, ss = - . , 8' 3, = - 
hz hu 
IV. Posição da linha neutra: 
X 5 = - ; a, (Fig. 4.3.2-2) 
h,,,é,ccia 
V. Resultante das tensões no concreto: 
a = R" ; tt, ; E ' ~ 
A," 'J"ld 
([L e 5: coordenadas adimensionais da posição de R,,) 
VI. Tensões nas armaduras: 
VII. Deformaçáo de referência: (juntamente com 5 e a, definem o 
(no ponto mais comprimido da seçáo) domínio de deformações da seçáo) 
Tendo em vista que a transformação afim de razão h juntamente com a trarisfor- 
mação da força longitudinal para FQd = A F, não alteram as variáveis V,, pzd, pyd, ws. 
I 
a',, w,, o:, s:, s:, e que as demais variáveis a , C,, t:, usa/f,,~, 'Jss/fvd? 'Jsc/fUd3 
uSD/fi,, são funções unívocas de 5, o, e E , . , ~ , conclui-se que o dimensionamento pode 
ser feito com a seçáo transformada em lugar de ser realizado com a seção original. 
De fato, impondo-se os mesmos valores de 5, a, e E,,, para as duas seções, a 
original e a transformada, são iguais os correspondentes valores de todas as demais 
variáveis adimensionais que regem o equilíbrio e a compatibilidade do sistema. 
Desse modo, dimensionando-se a seção transformada, é obtido o dimensiona- 
mento da seção original. 
Para a realização desse dimensionamento, um dos caminhos possíveis é o do 
traçado dos diagramas de interaçáo V,. psd. pyd. 
Com essa finalidade, dada a seção transversal e admitidos os valores de w,, w',, 
w, e o',, para cada terno de valores E ~ , ~ , 5 e a,, resultam nos valores dos esforços vd, 
psd e pUdr que podem ser aplicados. 
Pelo exposto conclui-se que, se existissem os diagramas de interação da seção 
transformada, o dimensionamento poderia ser efetivamente realizado, de forma rigo- 
rosa, com a própria seção transformada. 
O dimensionamento aproximado, considerado a seguir, tem por finalidade elimi- 
nar a necessidade do emprego dos diagramas de interação da seção transformada. 
c. Dimensionamento aproximado 
O dimensionamento aproximado das seções submetidas a flexão composta obli- 
qua pode ser feito, em princípio, pela decomposição dos esforços solicitantes. 
Várias soluções dessa natureza são encontradas na literatura referente ao as- 
sunto. 
Em todas elas, em lugar de uma flexão composta oblíqua, são consideradas duas 
flexões normais. Algumas soluçóes consideram duas flexões normais compostas, 
enquanto outras consideram uma flexão normal composta e uma flexáo normal sim- 
ples. 
Para seçóes retangulares, a decomposição tem sido tradicionalmente feita 
considerando-se duas flexóes atuantes em planos paralelos aos lados da seção, Fig. 
4.3.2-3. 
Em cada uma dessas flexões esgota-se uma parceladaresistênciaf,, do concreto. 
As armaduras calculadas em cada caso são somadas para a obtenção da solu~ão 
completa. Todavia, a distribuição das armaduras calculadas não é a que melhor se 
adapta a resistência aos esforços decorrentes de uma flexão oblíqua. 
Fig. 4.3.2-3 Decomposição tradicional de esforços 
O dimensionamento aproximado a seguir considerado,* que requer a transforma- 
ção preliminar da seção retangular em uma seção quadrada, decompõe os esforços 
aplicados em duas flexões normais compostas, agindo uma delas num plano paralelo a 
um dos ladosdaseção e a outra segundouma das diagonais do quadrado, Fig. 4.3.2-4. 
Fig. 4.3.2-4 Decornposiçào dos esforços na seção transformada 
Também neste caso, a resistência do concreto é esgotada parcialmente em cada 
uma das solicitações. 
Na solicitação que age segundo o plano que contém o eixo Oy, admite-se uma 
'Telêmaco van Langendonck. Flexriu composro oblíqua no concreto ormudu. A.B.C.P.. Sáo Paulo, 1977 
resistência 0,85 feda e, na solicitação segundo o plano que contém a diagonal Z, 
considera-se a resistência 0,85 f,,, sendo 
As armaduras calculadas para cada uma das flexões consideradas são somadas 
para a obtenção da solução final. 
Note-se que, com a decomposição agora adotada, é obtida uma distribuição de 
armaduras mais adequadapara aresistênciaaflexão oblíqua. Essa melhor distribuição 
pode ser obtida em virtude de se considerar uma das flexóes no plano diagonal. Para 
isso é necessário transformar a seção retangular original numa seção quadrada, pois só 
então o plano diagonal passa a ser um plano principal da seção. 
4.3.3 ROTEIRO DE Dada uma seção retangular submetida a flexão composta oblíqua, transforma-se a 
CÁLCULO seção num quadrado, por meio de uma afinidade paralela ao lado naior, alterando-se 
também na mesma proporção A a força aplicada, sendo A a razão de afinidade, Fig. 
4.3.3-1. A seguir, desdobra-se a flexão composta oblíqua em duas flexões compostas 
normais, conforme está mostrado na Fig. 4.3.3-2. 
Fig. 4.3.3-1 Transformacão da seçáo. 
A força longitudinal FQ é decomposta em duas outras, F,, e F,,, que lhe são 
estaticamente equivalentes. A força F,, age no pontoA sobre o eixo Oy paralelo ao 
lado, e a força F,, atua no ponto B sobre a diagonal Oz, sendo 
Como as duas forças F,, e F,, estão sobre a mesma paralela ao eixo Ox, não se 
altera o momento fletor M,,, pois 
M,Q = FQ eu, = (FUQ + FN) eu, (4.3.3-2) 
Para que não se altere o momento M,,, Fig. 4.3.3-2, deve ser 
~ i g . 4.3.3-2 Seção transformada. I 
e, como a seção é quadrada, tem-se 
I 
I 
KB = ÓA = e,, I 
logo 
ou ainda 
FXg = FQ. tg a 
pois 
-- e= - tg a 
~ V Q 
com (tg a s 1 ,O), resultando também 
FVQ = F, (1 - tg a) 
Uma vez decomposta a força longitudinal 
Fg = A F d 
nas componentes 
F,y = FQ ( I - tg a) = h Fd ( I - tg a) 
de excentricidade 
de excentricidade 
e . ~ = fl ~ V Q 
é feito o dimensionamento das armaduras para cada uma das solicitações separada- 
mente, Fig. 4.3.3-3. Admite-se que a re~istênciaf ,~ sejadecomposta nas duas parcelas 
seguintes: 
flexão paralela ao lado 
fcdY = fcd (1 - tg a) 
flexáo diagonal 
sendo, portanto, respeitada a condição 
fcdv + fcdx = fcd 
Y 
F y Q = X F d ( i - t 9 o < ) 
e = Xe 
YQ Y 
-f c d y = fcd ( 1 - t9 a) d5YQ 
.:'w b 
FLEXÁO PARALELA FLEXÃO DIACONAL 
AO LADO 
Fig. 4.3.3-3 Esforços atuantes 
Uma vez calculadas as armaduras da seçáo quadrada, obtêm-se as armaduras da 
seçáo original pelas expressões 
~ E X A O OBL~QUA 
1 AS, = - A',,, 
A 
Com as armaduras assim calculadas, os parâmetros adimensionais da seção 
original e da seçâo quadrada obtida pela transformação afim de razão A são iguais. 
4.3.4 FLEXAO DIAGONAL Analogamenteao que se fez na seçáo retangular, tambémno estudo daflexâodiagonal 
DA SEÇÃO QUADRADA. da seção quadrada, o momento fletor será sempre tomado em relação ao centro de 
GRANDE gravidade da armadura de traçáo, Fig. 4.3.4-1. 
EXCENTRICIDADE AR A SIMpLE 
Fig. 4.3.4-1 Flexiio diagonal da seção quadrada 
Pelas mesmas razões já discutidas no estudo da seção retangular, como situação 
básica de estudo será considerada a seçâo com armadura simples. 
Neste caso, têm-se: 
Flexáo simples Nxd = O RE = R, R, = R,, M 
Flexo-compressão NZd > O R* = R< - Nzd Rs = RI. M - Nzd 
Flexo-tração Nzd > O R, = R, + N.d R, = R,, M + Nid 
Desse modo, a seção pode sempre ser dimensionada com o emprego de tabelas 
universais preparadas para o caso básico daflexão simples, obtendo-se a armadura de 
tração pelas expressões 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS 
Como no caso da seção retangular, a armadura simples poderá ser empregada 
desde que o momento MS2, aplicado seja compatível com uma posição da linha neutra 
tal que 5 < tlim, isto é, sempre que isso não resultar numa seção superarmada. 
Quando a tentativa de empregar armadura simples conduzir a 5 > deverá ser 
empregada armadura dupla. 
I 
Para o cálculo da seção com armadura dupla, a seção resistente é desdobrada em 
duas partes, Fig. 4.3.4-2. 
I 
I 
ARMADURA DUPLA 1 
Fig. 4.3.4-2 Flexão diagonal da se+ quadrada. 
A seção com a armadura simples, de área A,,,,, resiste ã força normal NZd e a 
parcela M,,,, , do momento fletor. Para esta parcela admite-se a situação 5 = &,. 
A parcela restante AM,, = M,,,, - M,,,, . do momento fletor é resistida por uma 
seção metálica. 
Desse modo, têm-se 
Analogamente ao que foi visto para a seção retangular e de acordo com o que se 
mostra na Fig. 4.3.4-3, o problema de dimensionamento fica inteiramente resolvido 
quando se impóe a posição da linha neutra. Na Fig. 4.3.4-3 está mostrada a notação 
empregada para a organizaçáo das tabelas de cálculo. 
De fato, seiido 
onde 
Fig. 4.3.4-3 Flexjo diagonal com grande excentricidade 
e 
z , = d - a = d - ( ' x 
dado o valor de 
ficam univocamente determinados os valores de 
Na Tabela 1 I do Anexo estão apresentados os elementos necessários ao dimen- 
sionamento. Essa tabelafoi organizada empregando-se odiagrama parábola-retângulo 
de tensões no concreto, nos termos da NB-1178. 
A I .a Parte da Tabela 1 1 corresponde a valores de 5 -S 0,50, para os quais não há 
influência do valor de 6' = d'ld. Na?.a Parte, correspondente a ( > 0,50, a influência 
de 6' é explicitada. 
4.3.5 EXEMPLO Considere-se o dimensionamento da seção retangular já estudada em § 4.1.3. 
As diferentes fases do cálculoestão ilustradas pelos desenhos das Figs. 4.3.5-1 a 
4.3.5-4. 
a. SEÇÃO ORIGINAL (Fig. 4.3.5-1) 
1 N =0 , lkgf I MPa = I MNim' = I 0 kgficmz 
I kN = 1W kgf = 0.1 t i I kNlm = 100 kgfim = 0.1 tflm 
I kN.m = 100 kgfm = 0.1 1i.m I kN/m2 = 100 kgflrn* = 0.1 àimP 
I k N c m = 100 kgfcrn = 0.1 rtcm I kN/rn3 = 1W kgfim3 = 0.1 tilrn3 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
f,, = 15 MPa = 1,s kN/cm2 y, = 1,4 1 5 f,, = 1 = 1 ,07 kN/cmZ 
1,4 
Aço CA-50B y, = 1,15 fyd = 435 MPa = 43,s kN/cmZ 
I 
I 
b. SEÇAO TRANSFORMADA (Fig. 4.3.5-2) I 
e,, = e, = 6 cm 
3 
e,, = Ae, = - x 28 = 12 cm 
7 
e,, = fle, , = f l x 12 = 16,97 cm 
6 tga =e, = - = 0,s 
~ V Q 12 
F,, = F, (1 - tg a) = 600 ( I - 05) = 300 kN 
F,, = F, tg a = 600 x 0,5 = 300 kN 
fcdu =fcd (1 -tg a) = 1,07 (1 - 0,5) = 0,535 kN/cm2 
f,,, = f,,.tg a = 1,07 x 0,5 = 0,535 kN/cmZ 
c. FLEXAO PARALELA AO LADO (Fig. 4.3.5-3) 
F,, = 300 kN 
e,, = 12 cm 
fcdu = 0,535 kN/cm2 
hyp = 30 cm 
Fig. 4.3.5-1 Seção original. Fig. 4.3.5-2 Seção transformada. 
F = F ( I - t g u ) = 3 0 0 k N 
YQ Q 
2 fcdy = f c d ( I - t q a1 = 0,535 kN/cm 
rig. 4.3.5-3 Flexáa paralela ao lado. Fig. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS I 
r 
d,, = h,, - d' = 30 - 2 = 28 cm i 
Fue . esu = 
Psud = 
300 25 
= 0,596 
b,, dZ,u fcdu 30 x 28% x 0,535 
Admitindo-se o emprego do Aço CA-50B, de acordo com a Tabela I correspon- 
dente a flexão com grande excentricidade, têm-se 
logo 
I 
Para a seção real, obtêm-se os valores 
A,, = 0 I 
7 
,T,,o = - x 3,8 = 8,9 cm2 + 3 + 2 0 = 9,45 cm2 A:, = - A 
A 3 
d. FLEXAO DIAGONAL DO QUADRADO (Fig. 4.3.5-4) 
FZa = 300 kN 
e,, = 16,97 cm 
f,.di = 0,535 kN/cm2 
1 N = 0.1 kgf 1 MPa = I MNlm* = IOkgf/cm2 
I k N = I W kgf = 0.1 r f I kNim = 1W kgflm = 0.1 tflm 
I kN.m = 100 k g t m = 0.1 t f m I kN/mZ= 100 kgfimn = 0.1 tflmx 
I k N c m = 100 kgfcrn = 0.1 tf.cm 1 kNim3 = 100 kgfim" 0 , l tflmx 
I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 N/cmS 
h 
e,, = e , ~ + (1 - dtZ) = I6,97 + (21,21 - 4) = 34,18 cm 2 
M,,, = F,,.e, = 300 x 34,18 = 10254 kN.cm 
Empregando-se Aço CA-SOB, de acordo com a I .a Parte da Tabela 1 I , têm-se 
paz,, = 0,090 
5 = 0,738 
z, = 0,738 x 38,43 = 28,36 cm 
M,,,,, =pai,, limd3i fcdr = 0,090 X 38,433 x 0,535 
donde 
Msrd, c = 2732 kN.cm 
AM,,, = M,,, - M,,,, c = 10254 - 2732 = 7522 kN.cm 
1 2732 7522 A,,, = -- -- + -- - 300 = 
43,s [ 28.93 34.43 1 
Para a seção real, obtêm-se os valores 
A,, = O 
1 7 A;, = - A',,, = - x 5,02 = 11,72 cm2+ 4 $ 20 (12,60 cm2) 
h 3 
A Fig. 4.3.5-5 mostra a solução final do problema 
w 
Fig. 4.3.5-5 Arranja da armadura. 
I N = O . l k g f I M = I MNim" = 10k&cm2 
I k~ = 1W kgf = 0.1 rf 1 kNim = 100 kgfim = 0.1 iflm 
I kN.m = IW kgf.m = 0.1 1f.m I kN/m2 = IiKl kgfim' = 0.1 [fimz 
I k N c m = 100 kgfcm = 0.1 t f c m I kN/m3 = I00 kgf/m3 = 0.1 tfimJ 
4.3.6 FLEXAO DIAGONAL O dimensionamento da seção quadrada sob flexo-compressão com pequena excentri- 
DA SEÇAO QUADRADA. cidade será feito de modo semelhante ao que foi considerado no estudo geral da seção 
PEQUENA retangular. 
EXCENTRICIDADE Em virtude de a excentricidade ser pequena, a seção estará inteiramente compri- 
mida. O diagrama de deformações está no domínio 5, caracterizado pela deformação 
= 2%0 na fibra situada ã distância 3 h17 da borda mais comprimida. O diagrama de 
tensões no concreto terá a forma da parábola-retângulo admitida na teoria geral. 
Também para este tipo de seção, serão considerados dois casos básicos: seção 
com armadura unilateral e compressão uniforme. 
a. Armadura unilateral 
Neste caso, a seção possui armadura apenas do lado mais comprimido, Fig. 
4.3.6-1. Os momentosfletores M',,, são sempre considerados em relação ao centro de 
gravidade da seção desta armadura de compressão, de área A',,,. 
Fig. 4.3.6-1 Fiexáo diagonal com pequena excentriiidade. 
Estando a seção totalmente comprimida, a resultante das tensões de compressão 
vale 
onde a, é função exclusiva de 
O momento em relação ao centro de gravidade da armadura de compressão vale 
MVSpd = Fid. e;, (4.3.6-3) 
sendo igual a 
onde (; também é função exclusiva de x. 
Na Tabela 12, em função da posição dalinha neutra, dada por(, = xlh > 1 ,O, para 
diferentes cobrimentos relativos 
são apresentados os valores de 0,85 a,, que permitem a determinação de R,, e os 
valores do momento fletor relativo 
determinado pela expressão 
ou seja, por meio da equação 
Desse modo, dado o valor de w',,,, obtêm-se de forma unívoca os valores de c,, 
5'1 e a,. 
A solução do problema de flexo-compressão por meio do emprego de armadura 
unilateral somenteserá possível enquanto for válida a equação (4.3.6-4) de equilíbrio 
de momentos. 
O máximo valor que pode ser tomado pelo segundo membro de(4.3.6-4) corres- 
ponde a um diagrama uniforme de tensóes de compressão, obtendo-se assim 
logo 
Quando se tiver a situação 
IL:.~ > K r d , [im 
em princípio será obrigatório o emprego de armadura do lado menos comprimido, pois 
somente assim poderá ser satisfeita a condição (4.3.6-4) de equilíbrio. Nesse caso, 
será preferível o emprego da solução seguinte, de compressão centrada. 
No caso presente, a armadura de compressão é obtida a partir da condição de 
equilíbrio de forças. 
Sendo 
com 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS 
tem-se 
I 
Fzd = 035 ai A, fcdl + Asa, uQd 
logo 
1 A,,, = -- (Fzd - 0,85 01 . Ac fcdJ (4.3.6-9) 
d d 
onde 
A expressão de equilíbrio de forças também pode ser escrita 
Fad - 0,85 a, + ASI~ ' d d 
-- 
Ac fcdz Ac fcdz 
e fazendo 
- &.a f l d = KgZe fid 6JLQ - 
A, fCd, 1 
- hZ fC& 
2 
resulta 
donde 
Na Tabela 12, em função de 5: = xih e de 8: = d'ih, estão indicados os valores de i gd. Para os aços definidos pela EB-3, a Tabela 10 permite a determinação do 
correspondente valor de uld, de acordo com os diagramas tensão-deformação admiti- 
dos pela NB-I. 
b. Compressão uniforme 
Quando o momento pLZd ultrapassar o valor limite 
~ : , d , . ~ i ~ = (i - 8;) 2 
o equilíbrio somente poderá ser mantido com o emprego de duas armaduras, Fig. 
4.3.6-2. 
Para que acondição de compressão uniforme possa ser mantida, é necessário que \ 
as armaduras KS, e A,, sejam diferentes, a fim de que os momentos possam ser 
Fig. 4.3.6-2 Compressáo uniforme 
equilibrados. 
Neste caso, sendo as deformações de todas as fibras da seção iguais, tem-se 
Sendo u:, a tensão nas duas armaduras e 0,85 f,, a tensão no concreto ao longo de 
toda a seção, têm-se 
F,, = R, + R', + R, (4.3.6-14) 
onde 
RQ = A',,, ujd 
R, = Ama c& 
Da condição de equilíbrio de forças, obtém-se 
resultando 
onde 
A condição de equilíbrio de forças também pode ser escrita 
resultando 
ou ainda 
Da condição de equilíbrio de momentos (4.3.6-15) em relação ao centro de 
gravidade da armadura indicada por A:,, Fig. 4.3.6-2 tem-se 
resultando 
onde 
A condição de equilíbrio de momentos também pode ser escrita 
ou seja 
uzd '- = 0,425 (1 - 26') + w,, (1 - 2Srl) (4.3.6-19) 
h fvd 
donde 
4.3.7 EXEMPLO E 
ADVERTÊNCIA 
A. Exemplo 
Como exemplo de aplicação considere-se a seção indicadana Fig. 4.3.7-1, sendo 
fed = = ??- = 1,42 MPa = 1,42 kN/cmZ 
Y c 124 
500 = 435 MPa = 433 kN/cm2 (Aço CA-SOA) fUd = - 
1,15 
B. Seção Transformada (Fig. 4.3.7-2) 
h, - 40 2 h = - - - = - 
h, 60 3 
e,, = e, = 3 cm 
C . Flexúo Paralela ao lado (Fig. 4.3.7-3) 
FyQ = FQ (I - tg a) = 2667 (1 - 0,75) = 667 kN 
fCdY = fcd (1 - tg a) = 1,42 (1 - 0,75) = 0,36 kN/cm2 
40 
- d~ - evQ = - - 4 - 4 = 12 cm e',, = -- 
2 2 
De acordo com a Tabela 9, pam 6; = 0,10, resulta 
não sendo possível o emprego de armadura unilateral. 
Admitindo-se a situação de compressão uniforme, têm-se 
1 N =O,Ikgf I MPa = I MNlm* = I0 kgflcm' 
I kN = I W kgf = 0.1 tf I kNim = 100 kgfim = 0,I tf im 
1 kN.m = IW kgf.m = 0.1 1f.m 1 kNimZ= 1W kgfim* = 0.1 fim' 
I kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 d c m 1 kNimg = IW kgfim5 = 0.1 tflm3 
I MPa = O,1 kNicm' = IW Nicrn" 
FQ = Fd = 2.667 k N 
e x Q = ex = 3 cm 
eyO= Xey = 4 cm 
t g a = ex, / e = 0,75 
Y Q 
Fig. 4.3.7-1 Seção original. 
Fig. 4.3.7-3 Flexão paralela ao lado. Fig. 4.3.7-4 Flexão diagonal 
Com vid = 42 kN/cm2 correspondente a = 2%0 obtêm-se 1 
D. Flexão Diagonal (Fig. 4.3.7-4) 
F,, = F,.tg a = 2667 x 0,75 = 2000 kN 
f,,, = fcd.tg a = 1,40 x 0,75 = 1,06 kN/cm2 
h 56,6 e ' , , = ? - d > - e , , = - - 6 - 5 , 7 = 1 6 , 6 c m 
2 2 
De acordo com a Tabela 12 Parte), para 6' = 6 0,11, resulta, por 
56,6 
interpolaçáo, 
não sendo possível o emprego de armadura unilateral. 
Admitindo-se a situação de compressão uniforme, têm-se 
donde, sendo uQld = 42 kN/cm2 (Aço CA-50A), resultam 
e 
1 A',,, = - (2 000 - 0,85 x 1 600 x 1,06) - 0,56 = 12,74 cm2 
42 
I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlmz = 10 kgflcm' 
1 k N = IW kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm = 0,) Ulm 
I kN.m = IW kgfm = 0.1 t fm I kN/m2= IW kgflm' = 0.1 tf/m2 
I kN.cm = 10 kgtcm = 0.1 tfcm 1 kNlms = 100 kgf/ma = 0.1 U/m3 
I MPa = 0,I kN/cmP = IW N/cms 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS 
E. Solução Final (Fig. 4.3.7-5) 
Admitindo-se o arranjo mostrado na Fig. 4.3.7-5, de acordo com os resultados 
anteriores, a armadura da seçáo transformada é composta por 
resultando para a seçáo verdadeira, Fig. 4.3.7-5, 
1 3 A, = - A,, = - x 0,69 = 1,04 cm2 
h 2 
= O,! I cmz = 0,45 % A to1 
A =%I9 cm2 =89,04 % A 
3 
A = 1,58 cm' ' 6,3 4 % 
4 A to1 
Alo+= 2492cm' 
Fig. 4.3.7-5 Arranjo da amadura. 
F. Advertência 
O emprego de seções transversais com armaduras muito assimétricas pode con- 
duzir a superfícies de interaçáo h,, pyd, ud) do tipo indicado na Fig. 4.3.7-6. 
Fig. 4.3.7-6 Caso particular da superfície de interaçáo. 
Note-se que, para forças normais relativas v, muito altas, o diagramade interação 
(pzd, pua) é uma curva fechada que não envolve a origem do sistema, Fig. 4.3.7-7. 
Essa circunstância decorre da grande assimetria das armaduras e do fato de ter 
sido admitidaa hipótese de compressão uniforme. Com isso, o eixo mecânico da peça 
é excêntrico em relação ao seu eixo geométrico, e a seção transversal não tem 
AÇO CA- S O A 
3, = 1,20 
A 3 = 8 0 % . A,,, 
A 4 = 1 0 % . A,,, 
Fig. 4.3.7-7 Advenència 
146 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS 
condições de resistir a força longitudinal Fd dada, quando esta se aplica na posição do 
eixo geométrico. 
Em situações dessa natureza é necessário cautela para que se considerem ade- 
quadamente as excentricidades acidentais de projeto, levando-se em conta as reais 
posições mais desfavoráveis da força longitudinal. 
4.3.8 OUTRAS FORMAS DE Em principio, o método da transformação das seções pode ser aplicado a seçóes com 
SEÇAO TRANSVERSAL outras formas que não a retangular. 
Para que a aplicação seja possível, é preciso que a seção transformada seja 
simétrica em relação à diagonal do quadrado circunscrito, além de o ser também em 
I relação aos eixos paralelos aos lados do mesmo. Fig. 4.3.8-1. 
(a, =b,) (a, =b, ) 
Fig. 4.3.8-1 Transformasão de outras seçóes transversais. 
Observe-se que nos casos de seçóes cruciformes e de seções retangulares vaza- 
das, mostradas na Fig. 4.3 2-1, as dimensões a, e b, devem estar na mesma proporção 
que os lados h,, e h,,. Desse modo, ao transformar-se a seção por uma afinidade 
paralela ao lado maior, obtém-se uma figura simétrica em relação a diagonal do 
quadrado circunscrito. 
Para o cálculo destas seçóes transversais emprega-se o diagrama retangular de 
tensões, com tensão máxima igual a 0,80 f,,, atuando na profundidade 0,s x. 
4.3.9 EXEMPLO 
a. Dados 
Considere-se o dimensionamento da seção retangul; xr vazada mostrada na Fig 
FLEXAO OBLÍQUA 147 
4.3.9-1, sendo 
Fd = yf Fk = 3300 kN 
15 fcd = & = - = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 
Y C 1,4 
0 3 0 fcd = 0,80 X 1,07 - 0,86 kN/cmZ 
500 fyd = - = 435 MPa = 4 3 3 kN/cmZ '(Aço CA-SOA) 
1,15 
b. Seçáo transformada 
Sendo 
h,, - 80 - 2 A = - - - - - 
h,, 120 3 
têm-se 
2 F, = AFd = - X 3 300 = 2 200 kN 
3 
e,, = e, = 30 cm 
2 
e,, = Ae, = - X 75 = 50 cm 
3 
C. Flexão paralela ao lado 
F,, = (1 - tg a) FQ = (1 - 0,6) x 2200 = 880 kN 
e,, = 50 cm 
eSv. = e.. + (d. - %) = 50 + (72 - 40) = 82 cm 
M,,, = F,,.e,,, = 880 x 82 = 72160 kN.cm 
0,80 f,,, = 0 3 0 (1 - tg a) fcd = 0,80 x 0,4 x 1,07 =0,34 kN/cm2 
De acordo com a Fig.4.3.9-2, têm-se 
Aço CA-50A 
&.,I = 2,07%0 (uud = fud = 4 3 3 kN/cmZ) 
I N = 0 , 1 k g f I MPa = I MNlm' = I0 kgf/cmZ 
I k N = IW kgf = 0.1 tf I kNim = 100 kgi/rn = 0,1 tfirn 
I k N m = 100 kgfm = 0.1 1f.m I kN/mZ= 1Wkgf!m2 = 0.1 tf/m2 
I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 tf.cm I kNim3 = 100 k g f i m b 0.1 fim' 
14s ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
Fig. 4.3.9-1 Exemplo. 
;,,=(I- t g a ) F Q 
Fig. 4.3.9-2 Flexão paralela ao lado. 
A resultante das tensões no concreto comprimido vale 
R, = R,, + ReZ = (2 x 16 x 36,2+ 48 x 16)cmZ x 0,34 kN/cmZ = 393,9+ 261,1= 
655,O kN 
logo, a seçáo com armadura simples pode resistir até o momento 
havendo portanto necessidade de armadura dupla. 
Sendo 
1 ( Mld, c + "M*- - .-) ASUQ = - - 
f f ~ d d, - d', 
onde 
= fld = 43,5 kN/cm2 
d - d ' = 7 2 - 8 = 6 4 c m 
resultam 
I N =O, ikgf I MPa = 1 MNlm2 = 10 kgficm2 
I k N = IW kgf = 0.1 t i I kNlm = 1W kgfim = 0.1 tflm 
I kN.m = IM) kg tm = O,l tf.m 1 kN/m2= I W kgfim2 = 0.1 tflm' 
1 kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNima = I W kgfima = 0.1 tfim' 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLlClTAÇÓES NORMAIS 
Voltando a seção retangular original, obtêm-se 
1 3 A , , = - A s u Q = - x 7,l = 10,7cmZ 
h 2 
1 3 A',, = - A',,, = - x 12,3 = 18,s cmZ 
h 2 
d. Flexão diagonal 
F,, = tg a.FQ = 0,6 x 2200 = 1320 kN 
e,, = g e , , = fl x 50 = 70,7 cm 
h r,,, = e, + (d, - 2) = 70,7 + (101,~ 
2 , 
M,,, = F,,.e,,, = 1320 x 116 = 153120 kN.cm 
0,80 fcd, = 0 3 0 tg a . f c d = 0,80 X 0,6 X 1,07 = 0,51 kN/cm2 
De acordo com a Fig. 4.3.9-3. tem-se 
I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlrn2 = 10kgficm* 
I k N = I W k g f = O , l t f 1 kNim = 100 kgfim = 0.1 fflm 
1 k N m = 1W kg tm = 0.1 t t m I k ~ i m 2 = I W kgfim* = O,I tfimn 
I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 t t c m I k ~ / m = = I W kgflrn3 = 0.1 
A resultante das tensões no concreto comprimido vale 
102,4 X 51,2 R . = ( - 57,2 2836) cm2 x 0,51 k ~ / c r n ~ = 2 
= 1337 - 417 = 920 kN 
O momento limite resistido pela seção com armadura simples é 
51 2 28 6 + L 3 ) - 417 (50,6 + L)= 3 
No caso, sendo c,, = <r& = f,, = 43,s kN/cm2, as armaduras são dadas pelas 
expressões 
valendo, respectivamente, 
Voltando a seção retangular original, resultam 
1 3 A',, = AQZQ = - x 22,3 = 33,s cm2 
A 2 
1 N = 0.1 kgf 1 MPa = I MNlmZ = 10 kdlcm' 
I kN = IW kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm = O,! tflm 
I kN.m = IW kgfm = 0.1 1f.m I kN/mP = 1W kgflm' = 0.1 tf/mZ 
I k N c m = 1W kgf.cm = 0.1 1f.cm I kN/m8= 100 kgflmg = 0.1 lf/rn3 
I MPa = 0.1 kNlcm* = IW N/cm2 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
A título d e controle dos valores calculados, determina-se a seguir a resultante das 
forças internas na seção retangular original: 
ZR, = [(As, + &d - (A,, + Asz)l fu, = 
= [(18,5 + 33,s) - (10,7 + 19,7)] X 43,5 = 940 kN 
1 3 ZR,= - (R,, + R,,) = - (655 + 920) = 2363 kN 
A 2 
Desse modo, resulta 
4.4 EXERCICIOS 4.1 Como são usualmente apresentados os diagramas de interação para o.cálculo da flexão 
oblíqua composta? 
4.2 Qual a diferença que existe na representação correspondente às seções com simetria 
simples e com simetria dupla? 
4.3 O que se entende por superfície de interação naflexão oblíqua composta? Qual aprincipal 
propriedade dessas superfícies? 
4.4 Como se faz o cálculo por tentativas? Justificar. 
4.5 O que são excentricidades acidentais? Quanto valem? 
4.6 O que se entende por linearizaçáo dos diagramas de interação? Justificar o seu emprego. 
4.7 Como são determinados os esforços para a transformação da flexão oblíqua em duas 
flexóes normais? 
4.8 Que simplificação de cálculo das seções retangulares acarreta o emprego de armaduras 
iguais nas quatro faces? Justificar. 
4.9 Quais os fundamentos do método de transformação afim das seções transversais? 
4.10 Qual a vantagem em transformar a seção retangular numa seção quadrada, conforme o 
método da transformaçáo afim das seçóes? 
I N =O,Ikgf I MPa = I MNlma = 10 kdlcm* 
l kN = 100 kgf = 0.1 lf i kN/m = 1W kgfim =O,] tf/m 
1 kN.m = 100 kgtm = 0,l 1f.m 1 kNlm' = IW kgflm' = 0.1 lf/m2 
1 k N . c m = 1M)kgf.cm = 0.1 tfcm 1 kNima= lWl<gfIm*=O,l tflms 
I MPa = 0.1 k N I c m k I00 N/cmz 
PARTE 2 
ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
DE INSTABILIDADE 
5 
Instabilidade 
5.1. FUNDAMENTOS 
5.1.1 INSTABILIDADE NA Considerando as barras retas axialmente comprimidas, verifica-se experimental- 
COMPRESSAO AXIAL. mente que sob aaçáo de carregamentos crescentes pode ser atingido um estado limite, 
FLAMBAGEM a partir do qual a forma reta de equilíbrio é instável. A carga correspondente a esse 
estado limite é dita carga crítica Feri,, ou carga de flambagem. No regime elástico,* 
para cargas F > F,,,, a forma estável de equilíbrio passa a ser a configuração fletida, 
Fig. 5.1.1-1. 
Nesse caso, diz-se que a mudança da forma de equilíbrio corresponde a um 
comportamento simétrico estável. O comportamento é simétrico porque não importa 
para que lado ocorrem os deslocamentos da barra, e é dito estável porque a configura- 
ção secundária de equilíbrio é estável. 
'FORMA RETA I N S T ~ V E I 
'PONTO DE, BIFURCASÁO 
DO E Q U I L I B R I O 
Fig. 5.1.1-1 in\iiibilidadr n a cornprçbsio aniai. 
O fenômeno de instabilidade das barras retas axialmente comprimidas pode ser 
caracterizado pela presença do ponto de bifurcação do equilíbrio, no diagrama que 
relaciona a carga F aplicada com o máximo deslocamento transversal a da barra. 
IDefine~se o regime el6rliro como sendo aquele em que existe o <umporramrnto elasrico lineor dos mater 
INSTABILIDADE 155 
Mantendo-se o regime elástico, no entorno desse ponto são possíveis duas diferentes 
configuraçóes estáveis de equilíbrio. Fig. 5.1.1-1. 
Para os materiais estruturais, como o concreto e o aço, o estado limite de 
flambagem é um estado limite último. De fato, conforme se mostra na Fig. 5.1.1-1, 
para cargas pouco superiores à carga crítica, a flecha máxima já é igual a uma fração 
apreciável do comprimento da barra, a qual se rompe entáo por flexao composta. 
Em certos materiais, principalmente nas chamadas mutériasplásricas, como, por 
exemplo, o celulóide e o acrílico, a barra pode resistir a cargas sensivelmente superio- 
res a carga de flambagem, pelo que o estado limite de flambagem deixa de ser um 
estado limite último. 
Em princípio, a determinação das flechas da barra para cargas superiores à carga 
crítica exige que se empregue a expressão exata da equação diferencial da linha 
elástica, ou seja, 
1 
onde - é a curvatura da barra, E1 o produto de inércia correspondente ao plano de 
r 
flexão e 
o momento fletor. 
Se, em lugar da equação exata (5.1.1-I), for empregada a equaçáo aproximada 
ainda assim podem ser determinados os valores da carga critica, embora fiquem 
indeterminadas as flechas da configuraçáo fletida, Fig. 5.1.1-2. 
Fig. 5.1.1-2 Emprego da equafáo aproximada da curvatura 
Desse modo, para a simples determinação da carga critica, basta empregar a 
equação aproximada (5.1.1-2), obtendo-se, de acordo com a Fig. 5.1.1-3: 
y = C , sen k x + C, cos k x 
com 
y = O para x = O, logo C, = O 
e 
dy 
- - O para x = e, logo 
dx 
I X 
C, k k e = o 
Fig. 5.1.1-3 Integraçáo d a equação 
aproximada da curvatura. resultando para a configuração fletida, com C , # O, o valor cos k = 0, logo 
Para diferentes condições de contorno, obtém-se a expressão geral da fórmula de 
Euler 
onde o comprimento de flambagem e,* é dado pela Fig. 5.1.1-4 para os casos mais 
usuais. 
Fig. 5.1.1-4 Comprimentos de flambagem 
As expressões anteriormente consideradas admitem implicitamente a existência 
de um comportamento elástico linear do material da barra. Isso será verdade enquanto 
a tensão critica de compressão uc,, for inferior ao limite de proporcionalidadef, do 
material, ou seja, enquanto for 
*Esta é a atual n o t ~ ã o adotada pelo CEB. A NB-i reteve a notagáo anterior e, 
INSTABILIDADE 1 
15' I 
onde 
i = = raio de giraçiio 
t e A = - = índice de esbeltez 
1 
Quando ucfir = f,,, tem-se 
A = A,,, = gE 
Conforme se mostra na Fig. 5.1.1-5, afórmula de Euler é válida para h 3 h,,,, pois 
nesse caso a flambagem se dá dentro do regime elástico. 
Quando h < h,,,, a barra é menos esbelta, e ucnl > fo. hova-se que nesse caso a 
expressão (5.1.1-4) ainda pode ser empregada desde que se substitua o módulo de 
elasticidade E pelo módulo tangente 
GCdl i- TANGENTE 
f c 
GCdl 
~ 6 0 ~ ~ 0 TANGENTE 
f c . 
)i :- 
I 
Xl ,m 
Fig. 5.1.1-5 Curva de flambagem 
O que se quer salientar é que o fenômeno de instabilidade das barras retas P 
comprimidas axialmente pode ocorrer tanto com tensões menores quanto com tensões 
maiores do que o limite de proporcionalidade, sem que se altere a natureza do 
fenômeno, que é o da mudança da forma de equilíbrio. 
Todavia, quando não mais existe a elasticidade linear do material, é possível 
provar-se que a mudança da forma de equilíbrio pode corresponder a um comporta- 
mento simétrico instável,l3 Fig. 5.1.1-6. 
o = flecha de r e f e r ê n c l o 
1 
Fig. 5.1.1- 6 Flambage m além do limite F, dé proporcionalidade. I 
158 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
Neste caso, para F > F,,, a forma reta de equilíbrio é instável e a forma fletidaé 
impossível. 
Quando se pretende aplicar uma carga F > F,,,,, por menor que seja o acréscimo 
em relação a F,,,, será efetivamente atingido um estado limite último, pois a barra 
passará à forma curva de equilíbrio impossível. 
5.1.2 ESTABILIDADE DA A fim de ser ilustrada a possibilidade de a existência de uma configuração de equilí- 
CONFIGURAÇAO brio, fletida e estável, para as barras originalmente retas e que foram comprimidas 
FLETIDA DE EQUIL~BRIO axialmente, admita-se que após a flambagem exista uma linha elástica senoidal, Fig. 
5.1.2-1. 
Ix Com a hipótese adotada, têm-se: 
/ F 
a. linha elástica 
Fig. 5.1.2-1 Linha elástica senoidal. C. curvatura exata 
I i 
71 y = a s e n - x (5.1.2-1) 
e 
3 
-a (+I2 sen 71 x 
1 - 
- - 
dx2 - 
- (5.1.2-5) 
r [1+(:)1"' [1+az(+)'cos2-x e 
P 
~ 
donde 
b. curvatura aproximada 
y = a . s e n C x 1 = d2y = rr 
t a ($1 sen-x (5.1.2-2) 
r dx2 A 
logo 
1 E d2y = - (5) )1 (5.1.2-3) r dx2 
Observe-se que o emprego da equação aproximada da curvatura permite estabe- 
lecer, para cada seção, a relação 
Considere-se agora o carregamento progressivo da barra, após a ocorrência do 
fenômeno de flambagem. 
A um aumento da força F corresponde um aumento das deformações da barra, 
aumentando conseqüentemente os momentos fletores atuantes, dados por 
,,----+. 
Y 1 y = k - 
r 
(5.1.2-4) 
INSTABILIDADE 
cujo valor máximo vale 
Os momentos fletores atuantes F.y são consideradosmomentos externos, porque 
são determinados pelas ações externas F e pelos correspondentes braços de alavanca, 
que no caso presente são definidos pelos deslocamentos y da barra. 
A cada configuração da linha elástica corresponde uma certa distribuição de 
momentos fletores da barra. Em cada seção atua o momento 
Neste caso o valor máximo age na seção a meio comprimento, sendo dado, com a 
hipótese de elasticidade l i n s p e l a expressão 
. 
- ,-- 
- -". 
I Estes momentos - . E1 são considerados momento., internos, porque são de- 
!' 
I 
1 terminados pela rigidez E1 da barra e pela curvatura - da seção considerada. 
r 
Em princípio, o equilíbrio da barra será estável se a um aumento do momento 
externo corresponder um aumento do momento interno, de tal forma que fique 
satisfeita a condição de equilíbrio 
~ - - ~ -\ 
L-.__d 
Nas figuras seguintes está ilustrada a possibilidade de existência da configuraçáo 
fletida estável. 
Para que o equilíbrio possa realmente ocorrer, as funções M,,, e Me,, devem 
necessariamente se cruzar, sem que com isso sobrevenha a ruptura do material. 
a. COMPRESSAO CENTRADA - REGIME ELÁSTICO - EQUAÇAO SIMPLI- 
FICADA 
A necessidade de cruzamentodas funções M,,,e M,,,mostraaimpossibilidadede 
se justificar a estabilidade da forma fletida de equilíbrio quando se usa a equação 
diferencial sim~lificada da linha elástica, Fir. 5.1.2-2. 
- 
Pela equação (5.1.2-3), tem-se 
/-, 
'\ r 
M,,, = F.y 
da condição de equilíbrio 
Me,, = M,,, 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLlCITAÇOES NORMAIS 
obtendo-se assim o valor da carga crítica 
embora fiquem indeterminadas as flechas para cargas maiores que a carga de flamba- 
gem, conforme se mostra na Fig. 5.1.2-2. 
b. COMPRESSÃO CENTRADA -REGIME ELÁSTICO - EQUAÇAO EXATA 
Quando se usa a expressão exata da curvatura, têm-se as expressões: 
a) COMPRESSAO CENTRADA - REGIME ELÁSTI C0 - E quaçáo simplificada 
Fig. 5.1.2-2 Estabilidade das formas de equilibrio 
/ 
RUPTURA DO MATERIAL 
Fig. 5.1.2-3 Estabilidade das formas de equilíbrio 
INSTABILIDADE 161 
C) COMPRESSÃO CENTRADA - ( GCrl+>fo) - EOUAÇÃO COMPLETA 
L;;- F U N T K ~ O - L ; N É A R PARA 
I 
I 
I ( rm,z f. 
E s T i v I L M e x t = t,tint 
f o = limite de proporcimali 
A"* 
Fig. 5.1.2-4 Estabilidade das formas de equilibrio. I 
'.-"-.! 
i 1 onde y pode, em princípio, ser calculado a partir da curvatura - dada pela expres- r 
são (5.1.2-6). 
Conforme se mostra na Fig. 5.1.2-3, enquanto subsiste o regime elástico as 
funções Me,, e Min, cruzam-se obrigatoriamente num ponto, o qual corresponde a 
configufação estável de equilíbrio. A estabilidade do equilíbrio é garantida pelo 
andamento retilíneo da função Mi,,, a qual sempre interceptará a curva de M,,, para 
<I 
valores de F > FCtit 
Note-se porém que o equilíbrio somente poderá existir de fato se não ocorrer a 
ruptura física do material. 
c. COMPRESSAO CENTRADA - REGIME ANELÁSTICO I 
I No regime anelástico a função M., deixa de ter um andamento retilíneo, Fig. i 5.1.2-4. 
Desse modo, se a curva de M,,, tiver um andamento convergente com a curva de 
Me,, correspondente a um certo valor F > F,,,, então será possível o equilíbrio estável 
da configuração fletida de equilíbrio, desde que antes não ocorra a niptura material. 
Neste caso a mudança de equilíbrio corresponde a um comportamento simétrico 
estável. 
Pelo contrário, se as curvas de M,,, e Me,, tiverem um andamento divergente, elas 
não se cruzarão, não existindo equilíbrio estável para F > F,,,. Neste caso, tem-se um 
comportamento simétrico instável. 
5.1.3 FLEXAO COMPOSTA Considerando-se a flexo-compressão de barras esbeltas em regime elástico, Fig 
DE BARRAS ESBELTAS NO 5.1.3-1, as suas flechas podem ser determinadas pela equação diferencial 
REGIME ELÁSTICO ." . . 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
e,: O 
FC,,I, EULER 
1.0 
Fig. 5.1.3-1 Flexáo composta de barras esbeltas no regime elástico. 
onde 
que pode ser escrita 
sendo 
A equação diferencial (5.1.3-3), por ter segundo membro, permite o cálculo das 
flechas mesmo com o emprego da expressão aproximada da curvatura. No entanto, 
conforme mostra a Fig. 5. 1.3-1, a equação simplificada da curvatura leva à falsa idéia 
de que a carga crítica de Euler, correspondente a compressão axial, tenha algum 
significado físico na flexáo composta. 
O resultado obtido com a curvatura aproximada -! = dZy 
r dx2' 
lim a = m 
F - F,,, 
não tem significado físico real, como se comprova pelo emprego da expressão 
c u r v a t u r a 3 g J J,3=l, / C!nclui-se, desse modá que enquanto o m>al permanecerno reg^ e l á s t i c a 
I nao existe problema de instabilidade na flexáo composta. Chegaremos novamente a 
essa mesma conclusão no item seguinte ao analisar a estabilidade da configuração / 
fletida das barrassubmetidas a flexão composta. / 
-- 
INSTABILIDADE 163 
5.1.4 INSTABILIDADE NA Considere-se agora o problema da estabilidade da configuração deformada das barras 
FLEXÃO COMPOSTA submetidas ã flexo-compressão. 
Para isso, admita-se inicialmente que a barra tenha uma linha elástica senoidal, 
Fig. 5.1.4-1. 
Fig. 5.1.4-1 Barra de eixo senoidal, 
A hipótese de que a linha elástica seja senoidal é admitida, de inicio, como mera 
simplifícação. 
Esta simplificação, mais o emprego da expressão aproximada da curvatura levam 
a uma expressão linear do momento externo Me,, em função da curvatura llr. 
Com a hipótese adotada, têm-se: 
, 
,- 
y = a sen- x 
i 
b. curvatura aproximada 
Para a justificação do aparecimento do fenômeno de instabilidade na flexão 
composta, pode-se admitir a expressão aproximada da curvatura. Na continuação 
deste item esta restrição será eliminada, juntamente com a hipótese de ser senoidal a 
linha elástica. 
Admitindo-se então a expressão aproximada 
resulta 
ou seja, em valor absoluto, 
Enquanto perdurar a validade da equação diferencial aproximada (as rotações 
dy/dx deverão ser desprezíveis em face da unidade), o momento externo Me,, será 
uma função linear da curvatura da seção. 
De fato, sendo e, a excentricidade inicial de I.a ordem, tem-se 
= F (e, + y) = F.e, + F - - (3 : 
1 
obtém-se para Me,, a função acima, que é linear da curvatura- , conforme se mostra 
na Fig. 5.1.4-2. r 
RUPTURA DO MATERIAL 
r E o u a C Ã o aPROxiMAOA o a 
C U R V A T U R A 1 ~ a u ~ ~ í s ~ i o E S T Á V E L 
E L A S T I C A NAO-SENOIOAL 
FLEXO- WMPRESSÁO NO REGINIE ELÁSTQ 
NXO HÁ PROBLEMA DE ESTABILIDAPT 
RUPTURA DO M4TERIAL 
EQUIL~BRIO I N S T ~ V E L 
E O ~ ~ L ~ B R I O ESTÁVEL 
FLE x o -CDMPRESS;O 
com r m o x . 7 f e 
INSTABILIWDE NA FLEXO- W M P R E S ~ Q 
Fig. 5.1.4-2 Instabilidade na f l e x o - c o m p r e s s ã o , 
Para ser verificada a estabilidade das formas de equilíbrio, considere-se a possibi- 
lidade de ser mantido o equilíbrio, dado pela condição 
quando é dado um acréscimo a M,,. 
Enquanto a barra permanecer no regime elástico, sempre haverá uma configura- 
ção de equilíbrio estável, pois M,,, também será uma função linear das curvaturas. 
Nesse caso, uma situação de mína somente poderá ser alcançada por ruptura do 
material, Fig. 5.1.4-2. Pelo coneário, se for ultrapassado o regime de proporcionali-I \ 
dade, o diagrama de M,,, passará a ser curvo, surgindo então um novo fenômeno de \ 
instabilidade. 
Na Fig. 5.1.4-2, esse fenômeno de instabilidade na flexão composta é caracteri- 
zado pela existência de uma carga F,,, para a qual a reta Me,, é tangente a curva M,,,. 
Para F < F,,,épossível o equilíbrio estável, e para F > F,,,, o equilíbrio é impossível. 
~ - 
Observe-se agora que o emprego da expressão exata dacurvatura ou a considera- 
ção de uma lei não-senoidal para a linha elástica não altera os resultados anteriores. 
De fato, abandonando-se as hipóteses simplificadoras a expressáp Me, deixa de ser 1 linear em funcão de - . Esse fato não altera a circunstância de sempre existir o 
r 1 
equilíbrio estável enquanto M,,, for uma função linear de - . 
Somente a não-linearidade da função M,, permitirá o aparecimento do ponto de 
tangência entre as funções Me, e M,,,, seja Me,, uma funçáo linear ou não, como se 
pode observar na Fig. 5.1.4-2. 
Na Fig. 5.1.4-3 estão reunidas todas as conclusóes tiradas sobre os diferentes 
fenômenos que podem ocorrer com as barras comprimidas. 
a COMPRESSÁO CENTRADA - REGIME E L / ~ S T I C O - EOUAJO SIMPLIFICADA 
@ COMPRESS~O CENTRADA - REGIME ELASTICO - EOUAGLO COMPLETA 
FLEXO- COMPRESSÁO - REGIME E L Á S T I C O - E Q U A Ç ~ O SIMPLIFICADA 
F L E X O - ~ M P R E S S ~ D - REGIME E L A S T I C O - EQUACÁO COMPLETA 
COMPRESSAO CENTRAOA - REGIME ANELÁSTICO 
@ FLEXO-COMPRESSÁO - REGIME ANELÁSTICO 
Fig. 5.1.4.3 Estabilidade das formas de equillbno 
Observe-se, Fig. 5.1.4-3, que no caso de flexo-compressão o equilíbrio é impossí- 
vel para F > F,,. O ponto B não corresponde a uma mudança da configuração de 
equilíbrio estável, mas sim a uma reversão do andamento das deformações. Antes de c 
se atingir o ponto B, isto é, para F < F,,,, a um aumento de F corresponde um 
aumento da flecha a. Pelo contrário, após ser atingido o ponto B, não somente é 
impossível aumentar a carga, como a própria manutenção do equilíbrio somente será 
possível com um sistema de deformaçáo controlada, pois o aumento das flechas 
corresponde a uma diminuição das cargas. 
Conforme se mostra na Fig. 5.1.4-2, o fenômeno de instabilidade na flexáo 
composta é caracterizado pelo fato de que, para uma dada excentricidade inicial de l.a 
ordem e, , existe um valor máximo daforçaaxial além doqual o equilíbrio é impossível. 
Conseqüentemente, para uma dada força axial F = F, = constante, existe uma 
excentricidade máxima de l.a ordem, além da qual o equilíbrio é impossível. Essa é a 
excentricidade e,, .dt indicada na Fig. 5.1.4-4: com F = F,, para e, > e,, .,, não há 
equilíbrio, e para e, < e,, ,,, o equilíbrio é estável. 
-1 ext 
E q u l l i b r l o eat8ve1 
I 
y = k r 
Fig. 5.1.4-4 Valor crítico da excentricidade de I . a ordem. 
Na Fig. 5.1.4-5 está ilustrado o aparecimento do fenômeno de instabilidade em ' 
função do momento fletor de I .a ordem M, = F e,. 
M, 'MOMENTO FLETOR DE 
I I g ORDEM 
RU~NA POR 
RUPTURA 
DESLOCAMENTOS + 
ESTADO LIMITE Ú L T I M O D E 
R U P T U R A 
M , =MOMENTO FLETOR DE 
I I! ORDEM / RU~NA POR INSTABILIDADE 
ESTADO L I M I T E ULTIMO DE 
I N S T A B I L I D A D E . 
Rig. 5.1.45 Estados Ilmltes últlmos na flexo-compressão 
INSTABILIDADE 167 
A presença do ponto de máximo relativo no diagrama da Fig. 5.1.4-5 indica que o 
equilíbrio é impossível para o momento de l .a ordem M, > M,, ..,, e que o aumento das 
flechas além do valor correspondente a M,, ,,, somente seria possível em condições de 
deformações controladas, para as quais haveria redução automática do valor de M,. 
Para uma dada força normal F = F,, a segurança contra o estado limite último de 
instabilidade na flexão composta é garantida impondo-se a condição de que, na 
situação de cálculo, 
M,, d Mi, .,t a 
De forma prática, conforme serávisto adiante, isso é feito levando-se em conta os 
momentos de 2.a ordem no dimensionamento das seções transversais das peças 
submetidas a flexo-compressão. 
5.2 DEFORMAÇ ÕES Nota: A presente seção apresentaapenas os conceitos essenciais referentes ao cálculo 
NA das deformações das peças fletidas que são necessários ao entendimento dos métodos 
FLEXO-COMPRESSÁO de cálculo da carga crítica relativa a instabilidade na flexão composta. O estudo geral da deformabilidade das peças de concreto estmtural será feito 
posteriormente, ao se estudar a segurança contra os estados limites de utilização. 
5.2.1 DIAGRAMA Considere-se a deformação de uma barra submetidaàflexão simples. Da Fig. 5.2.1-1, 
MOMENTO FLETOR- com as convenções de sinais nela indicadas, têm-se: 
Por outro lado, considerando o alongamento da fibra T D , tem-se: 
resultando então 
logo 
Aplicando a expressão acima as fibras extremas, têm-se: 
pois c , < O e y, < 0, bem como E, > O e y, > O. Desse modo, resulta 
No caso de uma viga de concreto armado, com deformações extremas E , no 
concreto comprimido e E, na armadura de tração, resulta a (5.2.1-3) 
onde e E, sáo considerados em valor absoluto. 
7 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES ~ORMAIS 
6 O ALONGAMENTO FLEXÁO SIMPLES 
Fig. 5.2.1-1 Curvatura na flexão simples 
Admitindo a linearidade física do material, têm-se I 
que é a equação diferencial da linha elástica das barras fletidas. 
Dentro do regime de elasticidade linear o cálculo das flechas pode ser feito, seja 
por integração diretada linha elástica, seja pela aplicação da analogia de Mohr. 
5.2.2 CÁLCULO DE A Fig. 5.2.2-1 mostra o diagrama tensáo-deformação de um material que apresenta 
FLECHAS COM escoamento bem definido e o diagrama momento fletor-curvatura correspondente a 
NÁO-LINEARIDADE um dada seçáo transversal retangular. Para tensóes acima do limite de proporcionali- 
FíSICA dade, o diagrama é determinado por pontos, impondo-se o diagrama de 
deformações na seçáo transversal e calculando-se o correspondente valor do mo- 
mento fletor. 
O momento fletor Mo correspondente ao inicio do escoamento vale 
e a respectiva curvatura é dada por I 
O momento fletor último vale 
ou seja 
sendo 
I 
1 O 
RUPTURA 
E I 
I 
I 
I I 
I I I 
I I - 
I r 
I L : 2 - I 
r. r" r. 
Fig. 5.2.2-1 Diagrama momento-curvatura. I I 
L/ Para o cálculo das flechas de uma dada viga, Fig. 5.2.2-2, a partir do diagrama 
r de momentos M, conhecendo-se o diagrama correspondente a seção consi- 
derada, determina-se o diagrama de curvaturas 
.. p 
r 
obtém-se a flecha por meio da analogia de Mohr. /' 
/" 
Fig. 5.2.2-2 Determinação do eixo deformado no regime anelástico. 
5.2.3 DIAGRAMA Conforme se mostrana Fig. 5.2.3-1, naflexo-compressãoacurvaturadabarranãovai 
MOMENTO FLETOR - depender da deformação total E de suas fibras, mas tão somente da diferença E - 80 
FORCA NORMAL - entre a deformação total e a deformação da fibra situada no nível do centro de 
, 
CURVATURA ou seja, tem-se 
Fig. 5.2.3-1 Curvatura na flexo-campressáo. i 
I 
Desse modo, resultam as seguintes condições de compatibilidade de deforma- 
ções em função da curvatura: i 
no concreto 
1 - 8 - E 
- - eu logo 
r YC 
na armadura 
1 - &ai - E0 
- - - logo 
r Ysi 
INSTABILIDADE 171 
e uma vez conhecidos os diagramas tensão-deformação, tanto do concreto quanto do 
aço, ficam determinadas as tensões 
Por outro lado, das condições de equilíbrio na flexo-compressão, têm-se: 
N = 1 o, d A, + 2 o, A,, 
Desse modo, os esforços solicitantes M e N podem ser escritos 
~~~. 
~~ - ~~~ 
~~~ ~ ~~~ \ 
\. _-------A- __--/ / _ ,' 
. _ / As expressóes acima permitem a determinação de M e de N em função de -, 
P . 2 i -~ - , - ~- 
tomando-se E~ C mo parâmetro a ser determinado por condições limitès; .~ .. 
O parâmetró E, é determinado a partir das condições 
_ _ _ 
. 
T~.-~-~- - Yc1 
i Ec, m a r . = 80, m o s . + - s E c d . tim = (3,5%0 S EC,~ S 2%0) L 
-~./~-.: r . . . J 
-~ ~~~ OU -. -~ Ysi 2 < 
&si, mas. = &O, mo*. + - - E*& li", = '7 10%o 
, 
r 
~. 
. . 
. -- 
1' 
onde y , , e y,, , , são as ordenadas extremas referentes, respectivamente, ao concreto 
mais com~rimido e a armadura mais tracionada. 
Com as expressóes acima podem ser determinados os diagramas 
para uma seção transversal conhecida, pelo processo iterativo seguinte: 
4 
(1) 1 Adota-se um valor de, 
i 
(2) Adota-se um valor de E,, 
i 
(3) 1 Calculam-se M e N (para o valor T- escolhido) 
h 
(e, , = e,,, ,,..I 
r - - - - - - - - - - - - - - - - - 
(5) I Adota-se um novo valor de f 
- - - - - - - - - - - - 
1 
(4) Adota-se um novo c,>(até se chegar a e ,,,,,) 
( E , , < E,>. ma. 
C E B B o l e t i m 103 ( v i d e a notacão n o ) FIG 5 . 2 . 3 - 3 
TAáLE 2:::-1 I;Ci:'.::T-:3tiil':i.,:i:SsE FGR 4 = O and 4 r 2 , RECTANGULAR 
SECTION,COXNER REINFORCEMENT c 6 = 0.2 % d'/h = 0.1 
) 
" 
. . . . . . . . . . . O . . . e . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . , . 
. ,"&%C.N " m o o * "-.-4..- .-.-_IA,". . , l " -Ci - C ? - . - . * *" . - r ' . C . , r i " 
C - ~ r i e o - - o r n e . R - - * - *-.,=C - c < - * . L - , % - - a - : o < w . 
.- - --r" .. N ?v -.--,N . - - w . . --h?, .. N?..., 
- . . . . . S . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . 
. C - O * C r i O.,*IDn ir*<.,,-, . , r * < - o . c . . . > ? . r . ' - ir.-.,?... 
. - * - O U 0 m - O o v , o .,=r,un < - * N u r . n o n - n a o r o u n r . L n m*,v,u.. 
- - 7 - . - - A , - - - A , -.--,., -A,-." .. .. - N - m .. - 
a. e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . e . . . . . . . . 
. O C O a n .,e.--o n a & " - h.Od".* D . " . > N C L I 0 C . T . c-.-.... h C F . C I I 
N " - L < O - . . - N " c 3 - " C . - - E r n ' L . * " o " . - F . " - C - > ) - N E - - r C * - " - - O 
- - - N -.--,v .-L-- C N N C I - -h - - C - 5 v . m ..-.,,-. 
. . . S . . . . . . a , . . . e . . . . . . . . . . . . S . . . . . . . . . . . 
. *"-"L., . , . ,C"* U I \ . C N N -C+.,- * " V N Y 0 m . r ) r . U .-..C.*" ","".-.,, 
,.?.-,O *e..,-o e . -,,.o.., .-N?"- c*..-.-- "C,,. ... 4-.".n 
- .--N - - N N . -ZN,? C-- . - ._ -L-,.,- ---.C. C-...". 
. . . . . . . . . a . . . . . a , . . . . . . . . . . . . . a , . . . I C . O L " Y . " *-..r.- <.,r-- * - - - a C L C O W . * e . . - r - n . 0 C I I U l . P C . . - . - - 
/ " C - % " ,.O.,*- V " V . 4 9 1 , . - . - - C ..-">r,.. ".*.-"r. " *,..--o 
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. C Q m O - ,.-.,,,r " O r o - ---.,o 
- - c-.-," - - * N " --.v.." 
O - 0 a ~ a 4 a o - - - n N O - * - 
n c n - o m r - m o m a n - o 
- .--.wm -*nn : : ............... . . e . . 
. e . . . . i . * . 0'. r( .. n e 
Fig. 5.2.3-2 Diagrama momento fletor-força normal-curvatura 
INSTABILIDADE 173 
Fig. 5.2.3-3 Diagrama momento fletor-for$= normal-curvatura. 
Fig. 5.2.3-4 Diagrama momento fletor-força normal-curvatura 
Fig. 5.2.3-5 Diagrama momento fletor-força normal-curva! 
INSTABILIDADE 175 
IA1 Na Fig. 5.2.3-2 estão reproduzidos os dados correspondentes aos diagramas .\ 
(M - N - - de seções retangulares com armaduras iguais concentradas nos qua- 
l) r 
tro cantos da secão. 
Algumas das funções tabeladas na figura anterior sáo apresentadas na Fig. 
5.2.3-3. 
Observe-se que, de início, para valores baixos da força normal, para uma dada 
curvatura, a um acréscimo de N corresponde um aumento de M. Todavia, para 
valores de v > 0,5, esta tendência se inverte. A um aumento da força normal 
corresponde um abaixamento do diagrama , diminuindo também a rotação 
última que pode ser atingida pela seçáo transversal. 
As Figs. 5.2.3-4 e 5.2.3-5 mostram os diagramas correspondentes 
a seções retangulares com armadura simétrica, nos casos, respectivamente, de aços 
CA-50A e CA-SOB, para uma taxa mecânica o = 0,2.* 
5.2.4 CARGAS DE LONGA Na presença de cargas de longa duração o concreto sofre aumento de deformações ao 
DURAÇAO longo do tempo. Com isso, são aumentados os momentos fletores de 2.a ordem e, 
conseqüentemente, fica diminuído o valor critico dos momentos de I . a ordem, Fig. 
5.2.4-1. 
e, = EXCENTRICIDADE DE I ORDEM. 
er = EXCENTRICIDADE DE 29 ORDEM. IOEFORMAFXO INSTANT~NEA i 
e = EXCENTRIC IDADE DE 29 ORDEM (FLUÊNCIA) 
\ 
CARGA OE LONGA 
.. 
e,+% * a + et+ e*,, 
Fig. 5.2.41 Cargas de longa duração. 
No caso da Fig. 5.2.4-1, a parcela F, da carga age em caráter permanente, 
reduzindo a parcela F, da carga variável que posteriormente poderá ser aplicada. Para 
a determinação da influência da deformaçáo lenta admite-se a teoria da deformaçáo 
'Diagramas elaborados pelo Eng. Roberto Buchain nodesenvolvimentode sua Disserta~áode Mestrado na EPUSP. soba 
0"e"tagào do Autor 'O 
JBTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
lenta linear, onde 
E,, = 'P E, 
sendo <p o coeficiente de deformação lenta. 
Para a determinação da carga criticapelo método geral, pode-se proceder da 
- mesma maneira que no caso de deformações instantâneas, admitindo porém o dia- 
grama tensão-deformação do concreto, conforme se indica na Fig. 5.2.4-2. Esse 
diagrama é obtido a partir do diagrama parábola-retângulo por meio de uma afini- 
nidade paralela ao eixo das deformaçõesLNa_Fig. 5.2.3-2 já foi apresentada uma 
tabela (M - N - .!) comespondente a p = 
\ 
\ Fig. 5.1.4-1 Diagramas tensão-defurma$ão. c ri r lp 3 SQ 
a Observe-se que, embora seja adotada a teoria linear da fluência, essa linearidade 
é apenas referente a deformabilidade do material. Não existe a linearidade física do 
sistema e, além disso, não é válido o princípio da superposição dos efeitos, pois não 
existe a linearidade geométrica, a qual não pode existir quando são considerados 
efeitos de 2.a ordem. Por esse motivo, sendo e, a excentricidade instantânea de 2.a 
ordem, essa deformação ao longo do tempo não será obtida multiplicando-se o valor e2 
por (1 + v), pois a fluência afeta apenas uma das parcelas das deformações que 
definem a curvatura, sendo genericamente 
Tendo em vista a simplificação do cálculo, o CEB* apresenta dois métodos 
aproximados para a consideração da fluência. Num deles transforma-se o efeito da 
fluência numa excentricidade suplementar equivalente. No outro admite-se a expres- 
são acima, tomando-se porém em lugar de (1 + (P)E< O valor-(i + apV)&,; onde a é a 
fração da força normal que produz fluência e é a fração do momento fletor que 
também produz fluência.** 
5.3 CÁLCULO DA 
CARGA CRÍTICA 
PELO MÉTODO 
GERAL 
5 3.1 FUNDAMENTOS DO A determinação da carga crítica pelo método geral é feita através do cálculo de 
METODO GERAL deformações da estrutura, considerando-se tanto a não-linearidade física do material 
quanto a não-linearidade geométrica do sistema. 
O método geral é aplicável a qualquer tipo de estrutura, podendo portanto ser 
empregado para a determinação da carga crítica de barras de seção variável com 
qualquer tipo de carregamento, Fig. 5.3.1-1. 
Observe-se todavia que o trabalho material necessário a aplicação do método 
geral é muito grande. Por esse motivo, no caso de pilares de seção variável, é 
recomendavel o emprego do método doguilíbrio_pm o processo do deslocamento de 
referência, conforme está m"oSfi"d~ no item 5.5.1. 
Fig. 5.3.1-1 Casos de aplicação do método geral I 
-cro - c6digo Modelo. 
* *A aplicação sistemática desses m é t d o r aproximados será feita na 3.a pane deste volume. ao se tratar do dimensiona- 
mento de pilares não-contraventados e de estruturas de contraventarnento. 
Em princípio deve ser determinado o diagrama carga-deslocamento, adotando-se 
para isso um parâmetro a que represente o carregamento aplicado e escolhendo um 
deslocamento y que sirva de referência para aaferição daestabilidade daconfiguração 
de equilíbrio, Fig. 5.3 .1-2 . Este é o fundamento do processo de carregamento progres- 
sivo adiante considerado. 
Fig. 5.3.1-2 Processo de carregamento progressivo. 
A presença de um ponto de máximo relativo nesse diagramacaracteriza ainstabi- 
lidade do sistema, podendo assim ser determinada a carga crítica correspondente. 
a determinaçáo da carga crítica pelo método geral, em alguns casos é conveniente 
do carregamentoprogressivo proporcional, adiante descrito, Fig. 5.3.2-1. 
exato e deve ser empregado em peças de grande esbeltez ou que 
variável ao longo do seu comprimento. O processo é 
a. O carregamento da estrutura é aplicado por incrementos progressivos AF,, par- 
tindo de zero e aumentando-se todas as açóes proporcionalmente ao mesmo 
coeficiente a , tomando como carregamento de referência, por exemplo, as cargas 
F de serviço. 4 
b. Para cada etapa de carregamento a F , calcula-se o deslocamento y,,de uma seção 
de referência. Para o cálculo da flecha y,, correspondente ao carregamento 
a,.F = AF, + AF, + . . . .AF,, além dos efeitos de I .a ordem devidos a cargaa,.F 
são considerados os momentos de 2.a ordem decorrentes das deformaçóes devidas 
ao carregamento a,-,.F da etapa anterior. 
amento crítico é obtido através do valor a,,,.F para o qual tend 
diagrama carga-deslocamento. 
do método exato, basta ter-se a disposição meios para o cálculo 
.$ do deslocamento y de referência. é suficiente o conhecimento da analogia 
apenas da grandeza dos incrementos .i 
de carga aplicados. Quanto menor o valor desses incrementos, maior será a precisão 
conseguida. 
Nas estruturas hiperestáticas, em cada etapa de carregamento deve sei resolvida 
a estrutura, considerando-se simultaneamente a não-linearidade geométrica do sis- 
tema e a náo-linearidade física do material. 
INSTABILIDADE 179 1 
I? ETAPA 
Fl 
F, . e , 
no ETAPA 
AF, +.. AFn 
CARREGAMENTO APLICADQ 
~ i g . 5.3.2.1 Processo das excentricidades progressivas 
No processo de carregamento progressivo proporcional, as excentricidades das car- 
gas são mantidas constantes, com seus valores verdadeiros, variando-se apenas o 
PROGRESSIVAS módulo das forças aplicadas. 
Em princípio o carregamento critico também pode ser determinado mantendo as 
cargas constantes, com seus valores de cálculo, variando-se progressivamente as 
excentricidades de ordem, até serem atingidos os seus valores cnticos e,, ,,, 
Esta outra formulação do método geral é aqui apresentada com a finalidade de se 
ilustrar a determinação do carregamento critico quando se faz constante o valor da 
força normal, variando-se apenas a excentricidade de ordem. 
A Fig. 5.3.3-1 mostra um exemplo de aplicação. 
Como no processo anterior, o cálculo é feito por etapas. Na primeira etapa 
aplica-se a excentricidade e,, , = Ae, e calcula-se a flecha y,, de uma seção de 
referência, desprezando os efeitos de 2.a ordem. Nas etapas seguintes, considera-se a 
CARREGAMENTO APLICADO 
no ETAPA 
LF K-- 
F~" . , Ee, ," 
CARREGAMENTO APLICADO 
DESLOCAMENTO 
CALCULADO 
~ig.5.3.3-1 Etapas do processo do carregamento progressivo. 
INSTABILIDADE 1% 
deformação da estrutura provocada pela excentricidade da etapa anterior. 
O valor crítico da excentricidade é obtido como o valor assintótico e,, ,,, do 
diagrama (e,, ., Y,). 
É importante assinalar que, uma vez conhecido o diagrama (e,, y), também pode 
ser construido o diagrama (M, y), Fig. 5.3.3-2, onde 
pois 
Mi = F.y 
Rg. 5.3.3-2 Determinaçáo do valor cntlco do momento de 1 " ordem 
Reciprocamente, se puder ser traçado o diagrama (M, y), pela subtração do 
momento de 2.a ordem M, = F.y, pode ser obtido ovalor crítico M,, ,,,. Esse caminho 
.,.., será seguido no processo do pilar padrão, examinado a seguir. 
a 
Obseri 
h,,. -:I 
da seç 
Conforme foi visto anteriormente, a aplicação do método geral de cálculo com o 
i processo exato de carregamento progressivo proporcional exige, em cada etapa de 
carregamento, o cálculo das deformações da barra por meio da integração do diagrama 
de curvaturas. O trabalho material resultante é em geral excessivo para o cálculo 
manual. 
Tendo em vista uma simplificação do método geral, criou-se o conceito depilar 
padrão, aplicável a barras de seção transversal constante, inclusive a armadura, ao 
longo de todo o seu comprimento. 
,*r a_~e&ítZ": 
Pilar padrão é um pilar em balanço com uma distribuição de curvaturas que 
P provoque na sua extremidade livre, Fig. 5.3.4-1, uma flecha a dada por p . 2 ,- ' -" 2 ez e: I. 
. -a = 0.4 (T) = - (-) (5.3.4-1) 
base 10 r .se 
.% ---~.~~ , 
~ação: 
i v u piar padrão admite-se que a flecha máximaa seja uma função linear da curvatura 
Fig. 5.3.4-1 Pilar pidráo. ão da base. 
182 ESTRUTURAS DE CONÇRFTO. SOLICITAÇÕES NORMAIS 
b. Fundamento do conceito: 
Frequentemente a linha elástica na flexão composta pode ser substituída de forma 
satisfatória por uma função senoidal, Fig. 5.3.4-2. 
Desse modo, sendotêm-se: 
?T '7r y' = -a - cos - x 
e e 
y" = a - sen - x (3 * 
I e fazendo 
obtém-se a curvatura da seção média 
Nessas condições, a flecha máxima a pode ser escrita sob a forma \'xz-l- 
1 -----..- _L 
Considerando-se agora a viga em balanço, sendo 
resulta ,+ ,- 
/ . +fl- 
.h-+' eZ 
a = L ($1 
10 nose 
.O\>. 
" i 
~ o n A i - s e , pÓrtanto, que o pilar padrão é um pilar em balanço, com uma linha 
elástica senoidal. A flecha máxima, que depende apenas do seu comprimento e da 
curvatura da seção de engastamento, é uma função linear dessa curvatura na seção da 
base do pilar. 
5.3.5 PROCESSO DO PILAR O processo do pilar padrão segue o caminho delineado anteriormente com o processo 
PADRÃO (COM O MÉTODO das excentricidades progressivas. A possibilidade de ser seguido esse caminho de- 
GERAL) corre da propriedade básica do pilar padrão, a saber: 
- Yestremidade l iure = (5.3.5-1) 
/ 
.*' 
- , .~ *,- 
. /" Desse modo, pode se; construido o diagrama da Fig. 5.3.5-1, diretamente a 
partir do diagrama da seção transversal da base do pilar padrão, sem 
a necessidade de integração das curvaturas ao longo do comprimento do pil, 
INSTABILIDADE 183 
Fig. 5.3.5-1 Método geral com o processo do pilar padrio. 
Para uma dada seção transversal, sendo conhecido o diagrama 
mitindo-se um certo valor d a força normal N, pode ser traçada a curva do mo- 
mento interno resistente 
Mj,, = função - 
O momento externo solicitante vale 
Mmt = M I + MZ 
onde 
M, = momento de I .a ordem 
M, = momento de 2.a ordem 
Na seção da base, tem-se 
i/ L,' 
lembrando que se admite que a força normal N = F não fique alterada por efeitos de 
2.a ordem. 
Admitindo-que se tenha um pilar padrão, será 
logo . . ~. .. C- ^ 
.- ~:, 
%-. e: 
?+? M2, .a* = N - (+) :. 
" n s r . . 
C_<%j.. .. 
1 o 
. . 
Desse modo, Fig. 5.3.5-1, na seção da base, do momento interno disponível Mjnt, 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. sOLICITAÇOES NORMAIS 
restará para as solicitaçóes de 1 .a ordem a parcela 
M1. bme = M i l - Mz, base 
- 
cujo valor máximo M,, C,, corresponde ao estado limite último de instabilidade. Com 
esse cálculo foi obtido 1 ponto do diagrama de interação (N, M,),,,,, para um certo 
valor de e,, Fig. 513.5-2. 
Fig. 5.3.5-2 Diagramas de interaçao. 
Repetindo o cálculo para diferentes valores de N, tem-se o diagrama de interação 
da seção considerada, parateconhecido, Fig. 5.3.5-2. Nocaso de seçóes transversais 
que difiram apenas pela taxa de armadura o, podem ser traçados diagramas adimen- 
sionais de interaçã-o (P,, vcrit)r + e m p ~ e w : p ? ~ ~ - ~ _ d a d o 0 ~ ~ ! ~ ~ , ~ ~ o m p ~ e n t o .. . ~. de 
f l a e a g e m . %---- daj-eça, -~. Fig__3.5,2,-. .- 
. Para a apresentação dos resultados, em lugar dos diagramas de interação sugeri- 
dos pela Fig. 5.3 5 2 , podem ser adotadas tabelas de interaçáo, como a que é mostrada 
na Fig. 5.3.5-3, a qual foi realmente calculada com o processo do pilar padrão."j~17 
As Figs. 5.3.5-4 e 5.3.5-5 mostram diagramas de interaçáo calculados apartir dos 
diagramas (momento fletor-força normal curvatura) calculados para os aços nacio- 
1i nais, conforme indicado em B 5.2.3.18 
3 Note-se, finalmente, que o processo do pilar padrão com o método geral condu- 
zirá ao resultado exato se a linha elástica for realmente senoidal. Isso acontecerá 
quando a barra for de seçáo transversal constante e náo houver cargas transversais. 
No caso de existirem cargas transversais, o processo pode ser melhorado, chegando- 
se ao chamado "processo do pilar padráo corrigidoM.* 
'CEB - Manual de Flarnbagern.'" '' 
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C. C W O 
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..... . . e . 
~ . ~ N Y o . a a ~ n - 
. , - m i l - O * O Q N 
O d - N n o o i i - N 
..... , ..... 
. . e . . . - L . ~ . .. 
Fig. 5.3.5-5 Diagramas de interação (M,,, N,) para pilares esbeltos. 
- ,.. .. 
188 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
5.3.6 EXEMPLOS Apresentam-se a seguir exemplos de cálculo, nos quais são empregadas as tabelas da 
Fig. 5.3.5-3, que foram preparadas empregando-se o processo do pilar padrão com o 
método geral. 
, -' I /EXEMPLO NQI. 
Fig. 5.3.6-1 Exemplos. 
fck = I5 MPa = 1,5 kN/cm2 y, = 1,4 f,, = 1,07 kN/cm2 
, 
0,85 fcd = 0,91 kN/cm2 
I ACO CA-SOA (fUd = 435 MPa = 43,5 kN/cm2) 1 
Considerando a excentricidade adicional e,, sendo 1 
J tem-se: e, = e, + e, = 13 + 2 = 15 cm. 
Calculando-se os valores reduzidos: 
I N = 0 , 1 k d 1 MPa = I MNlm" IOkgflcm' 
I k N = I W k g f = O , l t f I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm 
I kN.m = 100kgf.m = 0.1 tf.m I kNlmZ= 100Wlm" =0.1 tflm2 
I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tf.cm I k N l m h 11M kgflm5 = 0.1 tflm' 
I MPa = 0.1 kN1cm2 = 100 Nlcm' 
I 
INSTABILIDADE 
Da tabela da Fig. 5.3.5-3, por interpolaçáo entre os valores apresentados, 
obtêm-se: 
8,lh = 600160 = 10 
v. = 035 (entre v, = 0,80 e v, = 0,901 o, - 0,29 / 
A,, ,O,,, = 2134 cm2 = 4 x 5,46 cmZ = 4 x 3 + 16 (4 x 6,0 cm2) v 
- 
/ 
b. Exemplo n." 2 . e, = e,, = 5 cm 
- 
A excentricidade de I .a ordem vale: 
;Y g , 6 6 ~ 
= - = 
e , = e i + e , = 5 + 2 = 7 c m / 
6 2 logo 
( - v , = 035 v' 
J A,, ,,,, , = 2 A, = 2 x 14.69 = 29,37 cmZ 
Da tabela da Fig. 5.3.5-3, por interpolação entre os valores apresentados, 
obtêm-se: 
A,, ,O,,, = 29.37 cm2 = 4 x 7,34 cm2 = 4 x 3 4 20 (4 x 9,45 cmz) 
8,lh, = 600130 = 20 
v. = 035 
p o = 0,198 
5.4 CÁLCULO DA 
CARGA CRITICA 
PELO MÉTODO DO 
EQUILIBRIO 
o, = 0.39 / 
5.4.1 O MÉTODO DO Conforme foi visto no item anterior, adeterminaçáodacarga crítica pelo métodogeral 
EQUILIBRIO exige sempre o traçado completo de um diagrama esforço-deslocamento. 
"- fato. com o processo exato do carregamento progressivo deve ser traçado o 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
diagrama completo (F, y). Com o processo exato das excentricidades progressivas 
deve ser traçado o diagrama completo (M,, y). Com o processo do pilar padrão, que é 
suficientemente preciso apenas quando a barra é de seção transversal constante, 
inclusive a armadura, e não existem cargas transversais aplicadas, também deve ser 
*' 
traçado o diagrama completo . A vantagem do processo do pilar padrão 
reside no fato de que a obtenção do diagrama M,, - é muito menos trabalhosa ( :) 
que a do diagrama (M, y) ou do diagrama (F, y). 
A idéia central do método do equilíbrio é proceder à verificação da segurança 
contra o estado limite de instabilidade sem o traçado de um diagrama completo 
esforço-deslocamento. O método do equilíbrio faz a verificação, calculando apenas 1 
ponto desse diagrama. 
1 5.4.2 MÉTODO DO Conforme já se sabe, a carga crítica pode ser calculada pelo método geral, 
!, EQUILIBRIO. PROCESSO empregando-se o processo do carregamento progressivo ou o processo das excentri- 
',.DO DESLOCAMENTO DE cidades progressivas, conforme se ilustra na Fig. 5.4.2-1, a qual resume as idéias já 
REFERÊNCIA discutidas anteriormente. 
,~ 
'*. 
Com ambos os processos a carga crítica é determinada quando a flecha y , da 
seção de referência tende a uma assíntota paralela ao eixo das abscissas. 
O método do equilíbrio com o processo dodeslocamento de referência consiste 
em se garantir a segurança contra o estado limite de instabilidade através da verifica- 
ção de que, sob a ação do carregamento de cálculo F,, ou da excentricidade de cálculo 
e,,, a flecha y,,, , da seção de referência corresponde a uma configuração estável de 
equilíbrio. 
Fig. 5.4.2-1 Processa do deslocamento de referência 
INSTABILIDADE 191 
Com isso, calcula-se apenas um ponto do diagrama esforço-deslocamento, con- 
forme mostra a Fig. 5.4.2-2. 
Para a constataçáo da estabilidade da configuraçáo de equilíbrio, procede-se por 
etapas como indicado na Fig. 5.4.2-3. 
Fig. 5.4.2-2 Modos de aplicação da processo 
desconhecida 
f F d YFd YFd 
colculo de y , cálculo d e y 
2 
cálculo d e y 
n 
I* E T A P A Z " E T A P A n 9 E T A P A 
rig. 5.4.2-3 Etapas do processo do deslocamento de referência. 
Na primeira etapa calcula-se o deslocamento y, considerando apenas os efeitos 
de l .a ordem. Qualquer que seja o tipo de carregamento ou de variação de seçüo 
transversal, dispondo-se dos diagramas M N, - podem ser calculadas as fle- ( , i) 
chas y,. 
Na segunda etapa já se considera a configuração da barra com as deformações 
calculadas na etapa anterior e assim sucessivamente. 
As flechas calculadas y,, y,, ... , y ,_,, y, constituem-se numa sequência que, 
quando convergente, comprova a estabilidade da configuração de equilíbrio. 
Observe-se que pelo fato de. a sequência ser construída a partir da flecha y, 
decorrente apenas dos efeitos de l.a ordem, quando ela for convergente o equilíbrio 
será estável, pois ele corresponderá necessariamente ao ramo ascendente da curva 
(F, yve,). 
A convergência da sequência pode ser constatada numericamente. Quando ela 
ocorre, sabe-se que o ponto Fd estáabaixo do ponto F,,,. Nesse caso fica provado que 
a estrutura tem segurança superabundante, embora náo se saiba quanto de exagero 
,~- - :..- está sendo cometido. 
1,' 
5.4.3 MÉTODO DO métododo equilíbrio, com o processo do pilarpadrão, a verificaçáo dasegurança 
i EQUIL~BRIO. PROCESSO arbitrando-se deformações 8, e E, tais que nüo ocorra o estado limite último de 
1, DO PILAR PADRÃO ou de alongamento plástico excessivo na seçáo mais solicitada da peça. Com 
.. 
1 
-. 
/essas deformações são calculados os valores de: -, N,., e M,,,. 
I r 
A peça será considerada segura contra o estado limite último de instabilidade na 
flexão composta se forem simultaneamente satisfeitas as condições, Fig. 5.4.3-1: 
onde 
(5.4.3-4) 
10 arbitrado 
Fig. 5.4.3-1 Método d o equ~librio com o processo do pilar padrão. 
1 
C " A L 0 , ARBITRADO 
'int ÚNICO PONTO CALCULADO 
/#L-- 
// 
M,"+ 
= c, 
orbllrodo 
I 
- 
, r 
/ /' 
/' 
/ 
I (TI repão mais witcitodo 
mo.. 
0' 
/ /0 
/ 
I 0 ,0 
- 
e : 2 P 2 I-) I 
2 10 r 
INSTABILIDADE 193 
O método do equilíbrio com o processo do pilar padrão é baseado nas seguintes 
considerações: 
1. Arbitrando-se as deformações específicas E , e E , das fibras extremas de uma seção 
transversal, ficam conhecidos os valores de: 
1 - E* + E, a. curvatura - - - 
r d 
b. força normal resistente .Nint = R,, + R; - R, 
c. momentojletor resistente M,, = S (dos momentos de R,,, Ri e R,) 
As deformações arbitradas náo devem superar os valores correspondentes ao 
estado de ruptura ou de deformações plásticas excessivas. 
Em lugar de E, e E, poderiam ter sido arbitrados diretamente os valores de E,, 
1 deformação da fibra no nível do centro de gravidade, e de -, curvatura na seção 
r 
considerada. 
Observe-se, na Fig. 5.4.3-2, que à medida que aumenta a força normal resis- 
tente N,,,, diminui o valor da excentricidade interna e,., correspondente à mesma 
1 
curvatura -. Isso pode ser constatado, por exemplo, pelos resultados mostrados 
r 
anteriormente na Fig. 5.2.3-3, sendo, em geral, verdade pelo menos para v a 0,s. 
, 
i Y&LOR FIXADO 
/--- 
.R .--r- 
AUMENTbNOO-SE O VALOR 
Kg. 5.4.3-2 Influência da intensidade da forca normal 
2. Admitindo-se que a flecha máxima a seja uma função conhecida da curvatura da 
seção mais solicitada, os momentos de 2." ordem podem ser calculados em função 
das deformações específicas arbitradas para essa seção. 
Adotando o conceito de pilar padrão, tem-se 
3. A peça será considerada segura contra o estado limite de instabilidade se forem 
satisfeitas simultaneamente as condiçóes seguintes, Fig. 5.4.3-3: 
Observe-se que a condição ei,,, a e, + a não pode ser substituída pela condição 
Mi,,, a M, + N,a, pelo fato de ser N,,, a N,. Essa substituição somente seria lícita se 
fosse Ni,,, = N,. De fato, da condição 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS i 
JIL~BRIO ESTÍVEL SE 
FOSSE N,", : Na., 
e2=a 
F M ~ O ((ti 
Nint 5 VALOR 
I 
Fig. 5.4.3-3 Verificação da estabilidade com N,,, = Nd, 
sendo N,,, 2 N, e M,/N, = e,, obtém-se 
I 
I 
ou seja, dessa condição resulta 1 
e,,, (um número desconhecido menor do que e, + a) I 
concluindo-se que ela não se constitui numa condição de segurança. 
Desse modo, a condição de segurança relativa aos momentos fletores obrigato- , 
riamente deve ser feita em função das excentricidades, pois N,,, 3 Nd. Com essa 
1 
verificação, a partir do valor arbitrado de -, obtém-se o valor limite de e,, Fig. 
r 
5.4.3-4. 
Fig. 5.4.3-4 Verificaçáo da estabilidade com N,, > N,. 
INSTABILIDADE 195 
4. Com o método do equilíbrio, a verificação de segurança contra o estado limite de 
instabilidade é feita através da constatação da existência de um estado possível de 
equilíbrio com N,,, 2 N,. O método garante a segurança mas não dá a solução 
ótima, pois não fica determinado o grau de superdimensionamento existente. 
5.4.4 PROCESSO O processo simplificado do equilíbrio corresponde à aplicação do método do equilí- 
SIMPLIFICADO DO brio com a restrição suplementar de que a curvatura da seção mais solicitada é 
EQUIL~BRIO arbitrada com um valor convencional. 
$ O processo simplificado do equilíbrio decorre da observação de que, para 
_ * 1 
muitas formas de seção transversal, a curva de h.Z,, em função de -, para um da- 
r 
do valor de N,,,, tem andamento próximo de um diagrama bilinear, Fig. 5.4.4-1 
I I (r),, convencioml 
Fig. 5.4.4-1 Processo simplificado do equilibrio. 
Esse fato pode ser constatado de modo muito claro nos diagramas das Figs. 
5.2.3-3 a 5.2.3-5. 
Nessas condições, para barras não excessivamente esbeltas, o ponto de tangên- 
cia correspondente à situação crítica está muito próximo do ponto correspondente à 
capacidade última relativa a barras de esbeltez nula. 
Surgiu assim o processo simplificado do equilíbrio, que engloba a verificação da 
segurança contra a instabilidade na flexão composta dentro do próprio processo de 
dirnensionamento da seção transversal. 
Para isso, a capacidade última da peça é calculada, como se a esbeltez fosse nula, 
com os esforços 
onde Mjd engloba todos os efeitos de 1 ."ordem, inclusive os decorrentes da excentri- 
cidade adicional e,, sendo 
Observe-se que neste caso a segurançapode ser medidaem função dos momentos 
M,, não sendo necessário recorrer-se as excentricidades, pois no dimensionamento é 
imposta a condição Ninr = N,. 
O valor adotado para a curvatura última - é um valor convencional, ajus. (:),, 
tado em face de verificações feitas para diferentes seções transversais. 
Para cálculos rápidos o Código Modelo do CEB recomenda o valor 
-L 
/ 5 ( ) = x (5.4.4-4) 
P 
.- 
.. 
I j ^ 
Anteriormente a este valor único, o CEB* recomendava os valores 
0,0035 + -d 
para v, .s 0,5 (5.4.4-5) 
I 
I 
0,0035 + !& 
para v, > 0,5 
com - I 
B Os valores adotados pela NB-I são: 
0,0035 + h 
E, ($1: (vd + 0,5) h 
a\ %"" .-.,* ,.... . - 
com 
v, + 0,s 3 1 (5.4.4-9) 
ondeFd 
I 
v,, = - (5.4.4-10) 
& fcd 
Observe-se que as expressões (5.4.4-4) a (5.4.4-10) tendem a fornecer para a 
curvatura última convencional um valor maior do que o da curvatura última efetiva 
para o estado limite último de ruptura, desde que a força normal tenha valores 
significativos. 
As conseqüências de uma condiçáo dessa natureza estáo mostrada! 
5.5.4-2. ) 
T E B - Boletim 103. 
INSTABILIDADE 197 
I PARA Nint = Nd 
Fig. 5.4.4-2 Emprego de uma curvatura úlrirna convencional 
5.4.5 PROCESSO NO caso de barras ~ o u c o esbeltas, Lom x 80, a , h ~ - l adotou o processo simplificado 
SIMPLIFICADO DA NB-I do equilíbrio. L-' 
A secão transversal mais solicitada deve ser dimensionada como se a esbeltez 
fosse nula, adotando-se os esforços 
onde M,, engloba os efeitos iniciais e os efeitos da excentricidade adicional (aciden- 
tal), ou seja 
u (e, = comprimento de flambagem) 
I 
\ isto é, quando v < 0,s toma-se v + 0,5 = 1, sendo I 
(5.4.5-6) 
equivalem as do CEB, ten- 
do havido um ajuste em função do emprego da força normal reduzida v e não de 
v 
v0 = -. 
0,85 
Observe-se finalmente que não é feita distinção entre os aços Classe A e os 
aços Classe B. Conforme se mostra nos diagramas das Figs. 5.2.3-4 e 
I 5.2.3-5, essa diferença não seria significativa. 
I 
5.4.6 EXEMPLO Considere-se novamente o mesmo exemplo n.O 2 apresentado no item 5.3.6 pelo 
método geral. Para efeito de comparação, a armadura será dimensionada pela tabela 
de interação d a Fig. 5.3.5-3, ressaltando-se que poderia ter sido empregada qualquer 
outra tabela ou ábaco de dimensionamento de seçóes submetidas à flexáo composta. 
\ Dados: 
e, = e,, + e, = 5\-f= 7 cm V' U, = 0.198 
De acordo com a expressa0 (5.4.4-6), tem-se: 
I O momento de 2.a ordem vale, conforme (5.4.4-3), 
I ou seja, 
I N = 0 , 1 k g i 1 MPa = 1 MNlrn' = I0 kgficmZ 
I k N = 100 k8f = 0.1 tf I kNlm = IW kgflm 5 0.1 tflm 
1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 r f m I kN/rn3 = 100 kgflm* = 0,I rf/m2 
I kN.cm = IW kgi.cm = 0.1 t f c m I k N / m L I 0 0 kgf/ml r 0.1 tilm' 
1 I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 Nlirn' 
INSTABILIDADE 199 
Somando os efeitos de e de 2.a ordem, obtém-se 
po = / L , < + p p d = 0,198 + 0 , l l = 0 , 3 1 
e d a tabela d a Fig. 5.3.5-3, resulta 
o, - 0,39 
valor este idêntico a o obtido pelo método geral, daí resultando a mesma armadura 
A,, r,t., = 4 x 7,34 cmZ = 4 x 3 4 20 
5.5 EXERC~CIOS 5.1 Qual é o fenômeno de instabilidade que pode ocorrer com as barras retas comprimidas 
axialmente? Como pode ser caracterizado esse caso de instabilidade? 
5.2 Que resultados podem ser obtidos quando se emprega a expressão aproximada da cur- 
1 
vatura - = d2y/dx2? 
r 
Que novos resultados podem serobtidos com o empregodaexpressão exatadacurvatura? 
5.3 Por que a segurança das peças comprimidas de concreto estmtural não é mais verificada 
em relação ao estado limite de instabilidade que pode ocorrer com as barras retas compri- 
midas axialmente? 
5.4 Por que não existe problema de instabilidade na flexáo composta dentro do regime 
elástico? 
Por que tal fenômeno somente existe quando é ultrapassado o limite de proporcionali- 
dade? 
5.5 Como é determinado o diagrama 
5.6 Qual a infiuência da deformação lenta sobre a estabilidade na flexo-compressão? Justifi- 
car. 
5.7 Definir pilar padrão. Como se emprega esse conceito com o método geral? 
5.8 Descrever o método do equilíbrio para o cálculo das solicitaçóes criticas. 
5.9 Justificar o processo simplificado do equilíbrio. 
5.10 Descrever o processo simplificado de verificação da segurança contra a instabilidade na 
flexão oblíqua composta. 
, 
Instabilidade na Flexáo 
Composta Oblíqua 
6.1 DEFORMAÇOES 
NA FLEXÁO 
COMPOSTA OBLÍQUA 
6.1.1 DEFORMAÇÕES DO Considere-se uma barra submetida a um carregamento que produza flexão composta 
EIXO DE BARRA oblíqua em suas seçóes transversais, Fig. 6.1.1-1. 
e x c e n t r i c i d a d e d e 
1 % o r d e m 
Fig. 6.1.1-1 Excentricidade do carregamento. 
e x c e n t r i c i d a d e 
t o t a l 
Sob a ação do carregamento aplicado, o eixo da barra sofre deformaçóes. P 
de barras esbeltas, os deslocamentos transversais criam as excentricidade 
segunda ordem, as quais não podem ser ignoradas no estudo do equilíbrio da 
INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBL~QUA 201 I 
/ PLANO DE FLEXÁO D A 
S E C A 0 DA BASE 
Fig. 6.1.1-2 Configuração deformada. 
Fig. 6.1.1-3 Esforços solicitantes na seção da base. 
!W LINHA NEUTRA DA BASE 
Na Fig. 6.1.1-2 ilustra-se a cod~guração deformada de um pilar submetido à 
flexão composta oblíqua. Admitem-se como desprezíveis as deformações devidas a 
uma eventual torção da peça. 
Note-se que o eixo deformado do pilar é umacurvareversa e que o plano deflexão 
é variável, de seÇão para seção, em virtude da própria deformação da barra. 
Na Fig. 6.1.1-3 estãomostrados os esforços solicitantes na seção dabase do pilar, 
onde: 
Observe-se que o plano de deslocamento do eixo do pilar, no topo, em princípio 
não é perpendicular a linha neutra da seção da base. 
Esse perpendicularismo somente poderia existir se o eixo deformado da barra 
fosse uma curva plana. Isto exigiria que a linha neutra de todas as seções tivesse 
sempre a mesma direção, fato este que não pode acontecer quando o plano de flexão 
varia de seção para seção, conforme se mostra na Fig. 6.1.1-2. 
6.1.2 CURVATURAS Na Fig. 6.1.2-1 estão mostradas as curvaturas de um pilar submetido à flexão 
composta oblíqua. 
Numa barra de seção transversal retangular, sendo E,, E,, E, e ED as deformações 
específicas dos vértices, a curvatura no plano perpendicular à linha neutra vale 
I 
onde h, é a maior dimensão da seção, medida perpendicularmente a própria linha 
, 
neutra. 
Tendo em vista que se admite a hipótese de manutenção de forma plana de seção 1 
transversal, a variação de deformação específica ao longo de qualquer fibra paralela ao 
eixo Gx é sempre a mesma, daí resultando 
I 
Fato análogo ocorre com as fibras paralelas ao eixo Gy, sendo 
1 - EA - EB ED - E c 
- - -- 
r, h, b 
Desse modo, sendo 
das condiçóes anteriores, resulta: 
Por outro lado, sendo 
h, = h, cos ol + h, sen a 
INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBL~QUA 203 
Q. 6.1.2-1 Curvaturas, 
tem-se 
h, h, h, cos a + h, sen a 
- + - - 
r, r, r, 
Para que esta condição seja satisfeita para quaisquer valores de h, e de h,, devem 
ser simultaneamente 
1 - 1 
- - - cos a (6.1.2-1) 
r, r, 
1 - 1 
-- - sen a 
r, r, 
6.1.3 CÁLCULO DAS Em princípio, também na flexão composta oblíqua podem ser determinados 
CURVATURAS diagramas (momento fletor-força normal-curvatura), análogos aos que são determina- 
dos para a flexão composta normal. 
Entretanto, como se trata de flexão composta oblíqua, devem ser considerados 
dois momentos fletores, M, e M,, bem como deve ser definida a direção da linha 
neutra. 
Teoricamente esses diagramas podem ser determinados conforme se mostra na 
Fig. 6.1.3-1. 
Na verdade, o trabalho material para essa determinação tende a ser proibitivo. O 
raciocínio teórico é aqui apresentado principalmente para o esclarecimento dos con- 
ceitos básicos referentes a instabilidade na flexão composta oblíqua. 
Para um valor constante da inclinação a da linha neutra, pode ser estabelecido o 
seguinte algoritmo de cálculo. 
1 /%2d - sCldl 
adota-se um novo valor de -= 
r, h, I 
adota-se um valor de EO I 
Nesta fase está inteiramente fixado o diagrama de deformações, logo são conhe- 
cidas as tensões na seção transversal. 
Calculam-se então os valores da resultante de compressão R, e da resultante 
INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBLÍQUA 205 
de tração R,, donde se obtêm Nd, M,, e Mvd. Obtêm-se assim 1 ponto do diagrama (A, p., v) e 1 pontodo diagrama 
1 Observe-se que não basta fixar a curvatura- = E ~ Z d - Ecid para a determina- 
r, h, 
ção dos esforços. Para essa determinação também deve ser fixado o valor de E,, 
pois só assim fica definido univocamente o diagrama de deformações. 
Note-se que a representação dos diagramas indicada na Fig. 6.1.3-1 não seria das 
mais adequadas para as aplicações. 
Para emprego prático, a representação indicada na Fig. 6.1.3-2 seria a mais 
conveniente. 
4., Adota-se um novo valor de E,, voltando à etapa 3, até ser alcançado um dos valores limites E ~ I ~ , lim OU ES%d, tlm = 10% 
1 
I E ~ I ~ I < I ~ a d , ~tml 
e 
(E.2d E82d. 14,") 
- 
11 
Ai 
l ~ c l d l = l ~ e l d , lim/ 
OU 
(Eg2d = E a d , ltm) 
1 
adota-se um novo valor de T, 
I Fig. 6.1.3-1 D i a s @r - fiy - Y - (I - I/T.) 
INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBLÍQUA 
Fig. 6.1.3-2 Alternativa dos diagramas - f iy - Y - u - l/ro), 
Paraum valor e, 1 e, = tg 0 = constante, entrando-se com as intensidades de p, e 
de forçanormal v, podem ser obtidos os valores dacurvaturae dainclinaçãoa dalinha 
neutra. 
6.2 CÁLCULO DA 
CARGA CRITICA 
PEI ;o MÉTODO 
GERAL 
.1 PROCESSOS EXATOS Em princípio, a determinação exata da carga crítica na flexão composta oblíqua pode 
DE CÁLCULO ser feita pelos mesmos métodos empregados na flexão composta normal, com as 
devidas adaptações para a consideração tanto da existênciade dois momentos fletores 
quando da variação da posição da linha neutra. 
/ 
'i / 
DEFINE O PLANO 
DE F L E X ~ O 
Fig. 6.2.1-1 Cálculo eiato da carga crítica. I 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
Na Fig. 6.2.1-1 estáilustrado como senafeitaadeterminaçáo dacargacríticapelo 
método geral com o processo do carregamento progressivo proporcional. Neste 
processo todas as ações crescem proporcionalmente ao mesmo coeficiente K . 
Na Fig. 6.2.1-2 está mostradaa 1 .a etapa de cálculo. Nesta primeira etapa devem 
ser considerados apenas os momentos fletores de 1 .a ordem. Com essa hipótese serão 
determinados os deslocamentos do eixo da barra. 
Na Fig. 6.2.1-3 estão ilustradas as etapas subsequentes docálculo. Em cadaetapa 
VALORES A D M I T I D O S V A L O R E S C A L C U L A D O S 
OS MOMENTOS DE 
I 
i / r 
O( ADMITINDO-SE PILAR DE SECAO MNSTANTE 
W 
Y l , J X 
W & 'TOPO DA BARRA 
BASE 
sen Q 
lg ETAPA DE CARREGAMENTO ( F = Fl ) 
Fig. 6.2.1-2 Método geral - Processo do carregamento progressivo proporcional 
INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA OBL~QUA 209 
ADMITE-SE A OEMIETRIA 
DETERUINAD* NA ETAPA I ANTERIOR MU A CARGA I 
/ no ETAPA DE CARREGAMENTO ( F= F, ) 
Fig. 6.2.1-3 Carregamento progressivo proporcional 
deverão ser considerados os momentos de 2.a ordem decorrentes dos deslocamentos 
calculados na etapa anterior. 
Conforme se mostra na Fig. 6.2.1-1, em função do parâmetro K , definido por 
onde F , é um carregamento adotado como referência, podem ser traçados os diagra- 
mas de flechas w, e w, de uma seçáo de referência. 
A cargacrítica serádeterminada pelo diagramade flechas w,, ou w,, que primeiro 
tender a uma assíntota paralela ao eixo dos deslocamentos. 
As figuras anteriores mostram que o trabalho material necessário à aplicação de 
um processo rigoroso de cálculo é bastante volumoso. 
O delineamento de cálculo que foi apresentado teve por objetivo principal o 
esclarecimento dos conceitos pertinentes ao problema, a fim de que possam ser 
claramente entendidos os processos simplificados de cálculo. 
210 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS 
C A R G A F = F, 
I ADMITEM-SE AS P O S I ~ E S 
.-- 1 L PLANO DE FLEX~O 
CALCULADO NA ETAW 
CAL 
DA 
.CULAOAS SOB 
CARGA Fn- l 
VALORES CALCULADOS 
A 
ANTERIOR SOB 
DE Fn-, 
Fig. 6.2.1-4 Carregamento progressivo proporcional 
6.2.2 PILAR PADRAO De acordo com o que já foi visto anteriormente, opi lar padráo é um pilar em 
balanço com linha elástica senoidal, Fig. 6.2.2-1, ou seja, 
?7 
w = -a sen -7. 
e, 
A propriedade fundamental do pilar padrão é dada pela relação 
ou seja, 
INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 
Fig. 6.2.2-1 Pilar padrão 
Com essa propriedade, pode ser calculado o momento fletor de 2.= ordem na 
seção da base do pilar, obtendo-se 
Com o emprego do pilar padrão o momento fletor de 2.a ordem é calculado como 
função exclusiva da curvatura da seção da base, não havendo a necessidade de se 
proceder à integração da equação diferencial do eixo deformado da barra ao longo de 
todo o seu comprimento. 
Todavia, conforme se mostra na Fig. 6.2.2-2, o emprego do conceito de pilar 
padrão corresponde a se admitir que o eixo da barra sejaumacurva plana contida num 
plano perpendicular à linha neutra da seção da base do pilar. 
u 
INHA NEUTRA DA SFÃO Fig. 6.2.2-2 Pilar padrão - Deformaçáes admitidas. k m BASE 
Fig. 6.2.2-3 Determinação da valor 
critico de M,. 
M 
-CALCULA-SE A 
M ln+= f u n ~ a o de [ ~ / r ) 
base 
para N = valor dado 
I 
- 
ra 
Ng. 6.2.24 Determinaç!~ do mameniv inrerno M,, 
da segão da base em funçáo de F, e a, para um dado 
valor de 111.. 
INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBL~QUA 213 
Uma vez fixada a geometria da seção transversal, paraumadada força nonnal N e 
para uma dada inclinação O , = arctg (e,Je,J do plano de flexáo da seçáo da base do 
pilar, deve ser traçada acurva do momento interno M,a,, Fig. 6.2.2-3. O máximo valor 
disponível para M, = M,,, - M, fornece o valor M,, ,,,. 
Na Fig. 6.2.2-4 está esquematizado o cálculo do diagrama 
mnr = função ($) 
Em princípio, pode ser empregado o seguinte algoritmo de cálculo: 
7 t 
Admite-se uma inclinação a da linha neutra 
I 
I Admite-se um valor para a curvatura ( ~ s 2 a O) I 
I ! I Adota-se um valor para E,, respeitadas as condições 1 E,, ( s E , , , ,i, e E82 5 10%0 t _I i 
Calcula-se o valor de Nd e compara-se com o valor fixado para F, 
I 
Calculam-se os valores de M,, ,,,, e M,, ,,, obtendo-se o valor dovetor 
momento interno 
-f + 
M,nt = Mo,, 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
I + ee2 1 M2, base = Fd. -. - 10 r, -f sendo o vetor M,, paralelo à linha neutra + 
% 
I Calcula-se o valor disponível para o momento de oidem M,, ,,,, ( 
t 
Calcula-se o momento de 2.a ordem 
sendo -+ -3 + 
M1, b ~ 8 e = MIN - M2, be8e 
I 
t 
Verifica-se se o plano de ação do momento M,, ,, tem a inclinação 
I 13 = O, sendo O, = arctg e'i e,, I 
I 
Obtém-se assim 1 ponto do diagrama 
M1, = função (llra) 
A 7 t 
Uma vez traçado o diagrama M,., = função (llra), obtém-se o valor M,, ,,., 
conforme indicado na Fig. 6.2.2-3. Este valor corresponde aos parâmetros v e O, 
adotados. 
Variando-se a seguir o valor de O,, podem ser traçados diagramas de interação 
como os que se mostram na Fig. 6.2.2-5. 
Observe-se finalmente que, mesmo se fossem determinados inicialmente os 
diagramas ( M , N, llra) conforme o delineamento teórico do item 6.1.3, ainda assim 
seria necessário o cálculo por tentativas, a fim de garantir que o momento disponível 
de 1." ordem, dado por 
-+ -f -+ 
MI, orne = Mint - Mz. base 
tivesse o plano de ação predeterminado inicialmente. 
INSTABUDADE NA n ~ x à o COMPOSTA OBL~QUA 215 
X 
420 
0,IO 
o 0,iO 0,20 
Jlx= J-- 
h , 
Fig. 6.2.2-5 Diagrama de interação (adaptado da Fig. 212-4 do Boletim 103 do CEB). 
6.3 CÁLCULO DA 
CARGA CRITICA POR 
PROCESSOS 
SIMPLIFICADOS 
6.3.1 LINEARIZAÇAO DOS O andamento dos diagramas de interação, como os que são mostrados na Fig. 6.2.2-5, 
DIAGRAMAS DE indica que, analogamente ao que acontece em relação ao estado limite último de 
INTERAÇAO ruptura ou de alongamento plástico excessivo, também no caso de instabilidade a 
superfície de interação (M,, M,, N),,, pode ser admitida como convexa.Desse modo, a verificação da segurança pode ser feita como se indica na Fig. 
6.3.1-1. A simplificação adotadaéportanto análoga à que foi proposta par a o estudo da 
flexão oblíqua composta com esbeltez nula. Os resultados obtidos são usualmente a 
favor da segurança, não havendoem geral restrição ao emprego deste processo, o qual 
pode ser qlicado para peças com qualquer índice de esbeltez. No item seguinte será 
apresentada a condição de validade da simplificação. 
Observe-se que os pontos A e B, correspondentes à instabilidade, respectiva- 
mente, nos planos Gx e Gy, podem ser determinados por qualquer dos processos de 
cálculo anteriormente estudados. 
issim, no caso de peças muito esbeltas, em princípio devem ser empregados 
:ssos rigorosos de cálculo. 
\To caso de peças mcdianarnente esbeltas, os pontos A e B podem ser determina- 
or meio de processos simplificados de cálculo. Esse é o caminho seguido no item 
seguinte. 
I 
proce 
1 
dos p 
d: VALOR 
J = VALOR 
M " ' F ~ . e, 
M : F ~ . e 
Y Y 
A. 
" 
DADO 
D A D O 
Fig. 6.3.1-1 Linearimção do diagrama de interação. 
6.3.2 PROCESSO No caso de peças medianamente esbeltas a linearização do diagrama de interação 
SIMPLIFICADO DO pode ser feita como se indica na Fig. 6.3.2-1. 
EQUILIBRIO. DIAGRAMA A validade da simplificação adotada decorre da hipótese de convexidade da 
LINEARIZADO superfície de interação (Y , +SI, , +I,, Estudos de investigação n~rnénca '~ 
mostraram que essa convexidade pode deixar de existir quando os índices de esbeltez 
A, e A, forem muito diferentes entre si, podendo provar-se15 que a lineanzação do 
diagrama é válida sob a condição 
Para a determinação dos pontos A e B que definem a região de segurança é 
adotado o conceito de pilar padrão, calculando-se: 
Nessas condições, sendo 
INSTABILIDADE NA FLEXAO COMPOSTA OBL~QUA 217 
PLANO D E A ~ Ã O M 
I T 
I 
( SOLU c80 E X A T A ) 
0 " V A L O R DADO 
$ :VALOR DADO 
M,=F e d x 
M ~ = F d e Y 
JA x 
fi 2, poro tex / h x ) 
Fig. 6.3.2-1 Processo simplificado do equilibrio. 
com 
A, = área da seção transversal geométrica, 
onde as curvaturas no plano onde atua M, e no plano onde atua M. po- 
dem, no caso de barras medianamente esbeltas, ser admitidas com os valores con- 
vencionais 
(L) = (L) = ($1 
r, , r, , =i C O ~ O ~ ~ I ~ ~ I 
Admitindo as curvaturas recomendadas pela NB-I, têm-se: 
L,,, 
com 
Observe-se que o emprego do método do equilíbrio simplificado, em função 
diretamente dos momentos críticos de I .a ordem, exige que seja imposta a condição 
N,,, = Nd. Caso contrário a verificação da segurança deveria ser feita em função das 
excentricidades. 
6.3.3 REDUÇAO DA Em muitos casos práticos é possível simplificar-se averificação da segurança contraa 
FLEXAO O B L ~ Q U A A instabilidade através da redução daflexáo composta oblíquaaduasflexões compostas 
DUAS FLEXÕES NORMAIS normais. 
Essa simplificação será aceitável nos seguintes casos básicos,* ilustrados pelas 
Figs. 6.3.3-1 e 6.3.3.-2. 
a. São diferentes as zonas mais solicitadas em cada uma dasjiexóes normais a que 
foi reduzida a jiexão oblíqua. 
Como cntério prático admite-se que esta condição seja satisfeita quando os terços 
centrais dos eixos deformados correspondentes a cada uma das flexões normais não 
ficam superpostos. Não há restrições quanto a forma da seção transversal. 
Assim, na Fig. 6.3.3-1, ao pilar P1 pode ser aplicada a simplificação porquanto 
não existe superposição dos terços centrais das linhas elásticas das duas flexões. 
Note-se que, para a flexão no plano (xz), a seção mais solicitada é a do engastarnento 
na base. Para a flexão no plano (yz), a seção mais solicitada está situada ameia altura 
do pilar. 
O pilar P2, mostrado nessa mesma figura, não pode ser calculado com a simpli- 
cação considerada. Em particular, neste caso, a seção da base é a mais solicitada para 
ambas' as flexões. 
Observe-se finalmente que não há restrições de aplicação desta simplificação em 
função da forma da seção transversal do pilar, uma vez que o cntério de aplicação 
decorre apenas da separação das zonas mais solicitadas em cada uma das flexões 
consideradas. 
b. Pilares de seçáo retangular quando for satisfeita uma das seguintes condiçóes, 
Fig. 6.3.3-2: 
onde e, e e,, são excentricidades iniciais de I .a ordem, não incluídas as excentric 
des acidentais e, ou e.,. 
ida- 
.CRB - C U g o Modelo. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
h , 
Fig. 6.3.3-2 Seçáo retangular - Redução a 2 flexoes normais. 
Conforme se vê na Fig. 6.3.3-2, admite-se a possibilidade de substituição da 
flexáo oblíqua por duas flexões normais quando a obliquidade é pequena. 
Neste caso, para cada uma das direções principais, a seção mais solicitada deve 
ser verificada separadamente para as excentricidades. 
e, = e,, + e,, + e,, (6.3.3-3) 
e 
e, = e,, + e,, + e,, (6.3.3-4) 
c. Pilares de seção retangular submetidos a solicitações iniciais daj7exão normal 
composta. 
Neste caso, no plano de flexão iniciai faz-se a verificação com a excentricidade 
total 
e, = e,, + e,, + e,, (6.3.3-5) 
e no plano transversal com a excentricidade 
e, = e,, + e,, 
Em lugar da expressão (6.3.3-6) a NB-1/78 adota uma expressão alternativa 
equivalente, a qual será considerada posteriormente no estudo do dimensionamento 
dos pilares. 
6.4 EXERCICIOS 6.1 Mostrar que, emgeral, naflexáocompostaobliquadepilaresesbeltosoeixodeformadonáo 
pode ser uma curva plana. 
6.2 Como se processaalinearizaçãodos diagramas de interaçáo para o cálculo dacargacntica, 
havendo esbeltezes diferentes segundo os dois eixos principais da seçáo transversal? 
6.3 Qual a limitação imposta à linearização dos diagramas de interação? 
6.4 Quando se pode reduzir a flexão composta oblíqua a duas flexões normais? JustU ficar 
PARTE 3 
PILARES, PAREDES E 
ESTRUTURAS DE 
CONTRAVENTAMENTO 
7 
Pilares e Paredes Usuais dos Edifícios 
7.1 VERIFICAÇÃO DA 
SEGURANÇA DAS 
PEÇAS ESTRUTURAIS 
7.1.1 CONDIÇÕES GERAIS Em princípio, a verificação da segurança contra os possíveis estados limites últimos 
das estruturas é feita através da condição geral 
onde Face representa a intensidade das ações atuantes e F,,, a intensidade das ações 
resistentes. 
As ações atuantes são aquelas que agem sobre a estrutura. As ações atuantes, 
quando ultrapassam determinados valores, levam a estrutura a estados limites. 
Entendem-se como ações resistentes aquelas ações que, se aplicadas a estrutura, 
esgotam a sua capacidade resistente. As ações resistentes são portanto os limites das 
ações atuantes correspondentes ao aparecimento de determinados estados limites. 
Para verificação da segurança, ambas as ações F,,, e F,,,, são tomadas com 
seus valores de cálculo, isto é, com seus valores determinantes. 
Na maior parte das vezes, em lugar de a condição de segurança ser expressa 
diretamente em função das ações F,,, e F,,,, empregam-se condições do tipo 
Neste caso, a segurança é verificada em função de determinados efeitos S das 
ações. Na verificação da segurança contra estados limites últimos, usualmente os 
efeitos considerados são os esforços solicitantes. 
Frequentemente os esforços solicitantes atuantes são indicados por Ss, e os 
esforços solicitantes resistentes por SR. 
7 . 1 . 2 TRAÇ AO SIMPLES. Nas peças submetidas à tração simples, a segurançaestágarantidaquandoé satisfei- 
TIRANTES a condição 
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍcIos 223 
onde 
N, é o valor de cálculo da força normal atuante 
NRd é o valor de cálculo da força normal resistente 
Nessas peças, o concreto tem o papel de simples elemento de proteção das 
armaduras. A segurança depende apenas da armadura, e a mína da peça tem caracte- 
rísticas essencialmente dúcteis, com grande capacidadede acomodação plástica. Por 
essa razão, mesmo sabendo que é pequena a probabilidade de uma peça estar efetiva- 
mente submetida à tração axial, pode-se desprezar a influência das excentricidades 
inevitáveis que ocorrem no carregamento real das estruturas. Essa mesma hipótese 
não pode, porém, ser admitida no caso de compressão simples. 
7.1.3 FLEXÃO SIMPLES. No caso de peças submetidas a flexão simples, a segurança está garantida desde 
VIGAS que em todas as seçóes transversais seja verificada a condição 
onde 
Msdé o valor de cálculo do momento fletor atuante 
MRdé o valor de cálculo do momento fletor resistente 
7.1.4 PEÇAS A verificação da segurança das seçóes submetidas a compressão simples é feita, em 
COMPRIMIDAS princípio, pela condição 
onde 
N, é o valor de cálculo da força normal de compressão atuante 
NRd é o valor de cálculo da força normal de compressão resistente 
Todavia, mesmo nas peças teoricamente submetidas à compressão centrada, 
admite-se que haja uma certaincerteza quanto à real localizaçãodo pontode aplicação 
das forças externas. Por isso, as solicitações de cálculo são determinadas 
introduzindo-se, sucessivamente segundo cada uma das direções principais da seção 
transversal, uma excentricidade mínima dada por, Fig. 7.1.4-1: 
A aplicação prática destes critérios tem mostrado que, em estruturas de edifícios 
correntes com pilares de 20 cm de largura, o valor absoluto e,,. = 2 cm frequente- 
mente conduz a dimensóes significativamente maiores que as que vinham sendo 
empregadas até agora. Por esta razão, tendo-se essidade de calibrar o 
modelo de segurança adotado pela NB-1/78 usualmente 
obtidos anteriormente, parecepossível que 
luto, respeitando-se apenas o valor 
SITUAÇÃO OE PROJETO s i~unçõ~s DE CALCULO 
I ' / i i / I Fig. 7.1.4-1 Excentricidades mínimas inevitáveis. 
Para peças comprimidas de esbeltez não muito grande, em geral é permitido 
substituir-se o cálculo exato de flexo-compressão por cálculos aproximados de com- 
pressão simples, majorando-se convenientemente o valor da força normal atuante. 
I 1 Nas peças comprimidas, além das excentricidades inevitáveis acima vistas, tam- bém devem ser considerados os momentos fletores de 2.a ordem, Fig. 7.1 .4-2 . Os momentos F.e, de l . a ordem são acrescentados aos momentos F.e, de 2.a ordem, verificando-se a segurança em função da flexo-compressão assim determi- 
nada. Em peças de esbeltez reduzida, usualmente adotam-se simplificações de cál- 
Fig. 7.1.4-2 Efeitos de 2.* ordem. C U ~ O . 
7 . 1 . 5 FLEXAO COMPOSTA O caso geral de verificaçáo da segurançadas seções transversais submetidas a flexáo 
composta possui um caráter vetorial, Fig. 7 . 1 . 5 - 1 . 
I 
O caso geral de verificaçáo da segurançadas seções transversais submetidas a flexáo 
composta possui um caráter vetorial, Fig. 7 . 1 . 5 - 1 . 
M 
diqromo de intaoç& 
ZONA DE S O U 
i l r o g 
( N ~ d , t r a ~ simples) 
Fig. 7.1.5-1 Veriiicaçáo da segurança 
Na Fig. 7.1 .5-1 , o ponto A, representa as condições características de solicitação 
e o ponto A, as condições de cálculo. A direção de verificaçáo da segurançs 
pelo vetor A,Ad, é definida pelos coeficientes de ponderação empregados na 1 
nação das solicitaçóes de cálculo. 
- ra qualquer combinação de solicitações M,, e N.,, a segurança fica garariuud 
i, fixada 
determi- 
quando o respectivo ponto representativo A, está situado dentro da zona de segurança 
delineada pelo diagrama de interação (M,,, NRd). 
Observando o andamento geral dos diagramas de interação nas proximidades do 
ponto correspondente a tração simples, verifica-se que geralmente a presença de um 
eventual momento fletor parasitário não afeta significativamente o valor da força 
normal resistente N,,. 
O mesmo fato não ocorre, porém, nas proximidades do ponto correspondente a 
compressáo simples. Neste caso, a presença de um momento fletor parasita usual- 
mente acarreta uma perda significativa no valor da força normal resistente NRò. 
Em princípio, as peças submetidas à flexão composta com força normal de 
compressão serão verificadas com a seguinte combinação de solicitações atuantes: 
onde 
Nd = força normal devida às ações consideradas no projeto 
Mid = momento fletor devido às ações inicialmente consideradas no projeto 
F,.e, = momento fletor devido a excentricidade adicional e, 
F,.e, = momento fletor de 2.a ordem 
Nas peças submetidas a flexo-compressáo, é admitida uma certa incerteza 
quanto ao ponto de aplicação da resultante das forças externas. Consideram-se por 
isso as excentricidades adicionais e,, cujos valores são os mesmos admitidos para 
as excentricidades mínimas das peças teoricamente submetidas a compressão sim- 
ples, ou seja, 
onde h é a maior dimensão da seção transversal da peça, na direçáo em que se 
considera a excentricidade. 
As expressões acima indicadas serão posteriormente reconsideradas, tendo-se 
em vista o dimensionamento prático das seções transversais dos pilares. 
7.2 COMPRESSAO 
SIMPLES DE PILARES 
7.2.1 PILARES O dimensionamento de seções submetidas a compressão simples é feito da forma a 
NÃO-CINTADOS seguir analisada. 
Admitindo que sejam conhecidos os valores de i 
I 
N, = valor de cálculo da força normal atuante 1 
f,, = valor de cálculo da resistência do concreto I 
f,, = valor decálculoda resistênciadoaço comprimido (obedecidaarestrição 
Es, e 2>0 %o) 
e sendo, Fig. 7.2.1-1: I 
d 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS *- 
A, = área da seção geométrica da peça 
A,, = área da seçáo de concreto comprimido 
A, = área da seção transversal da armadura longitudinal comprimida, 
Fig. 7.2.1-1 Pilares não-cintados. 
tem-se a condição de segurança 
fld 0 3 5 fcd . Acc + fsd 
A,, = A, - A, i 
(7.2.1-3) 
pois na compressáo centrada admite-se que o encurtamento da ruptura do concreto 
seja de 2%0. 
Da condição de segurança acima indicada, tem-se a condição de dimensiona- 
mento 
que também pode ser escrita 
Nd = 0,85 fCd A, + 
w 
Definindo a taxa geométrica de armadura longitudinal pela expressão 
onde A, é a área da seção geométrica da peça (área da seção de concreti 
desconto da parte ocupada pela armadura longitudinal), de (7.2.1-4) obtém- 
J sem o 
se 
resultando 
> 
-'w' 
< PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS 
Para o dimensionamento prático das seções comprimidas, é conveniente definir- 
se a tensão ideal de compressão u, pela expressáo 
Na verdade, conforme será visto adiante, quando se faz o cálculo a compressão 
simples, aforça normal de cálculo Nd deve ser majorada afim de ser levada em contaa 
influência das excentricidades acidentais e das excentricidades de 2.a ordem, 
tomando-se o valor 
resultando 
Substituindo as expressões acima em (7.2.1-6), tem-se finalmente 
~ i d = 0.8' fd + PS ( f r - 0%) (7.2.1-10) 
Por vezes a expressão acimaé escntada forma simplificada seguinte, que ignoraa 
devida à presença da armadura longitudinal: 
(7.2.1-11) 
s (1.2.1-9) a (7.2.1-11) permitem o dimensionamento das seções 
transversais comprimidas. 
Para os aços classe A, a resiçtência de cálculo à compressão é dada pelo menor 
dos dois valores seguintes: 
Para os aços classe B, a resistência de cálculo à compressão, de acordo com a 
NB-I, pode ser obtida a partir da expressão 
esd = 2 + - <r86 - 0,7 e- 
fazendo-se 
e8d = 2%0 
e 
E, = 210 000 MPa* I 
Na tabela seguinte apresenta-se o resumo dos valores f,, para os aços especifica- 
dos pela EB-3. 
*I MPa = 10 kgficmz 
a* 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACOES NORMAIS ,,,* *- 
f,, (compressão simples 
(MPa)* 
*I MPa = 10 kgflcm* 
Na Tabela 13 do Anexo apresentam-se valores de fa - 0,85 fcd para diferentes 
valores de f,,. 
7.2.2 INDICE DEESBELTEZ O índice de esbeltez dos pilares não-cintados é definido pela relaçãoonde 
= comprimento de flambagem 
i = raio de giração da seção geométrica da peça (seçáo transversal de concreto, 
não se considerando a presença da armadura). 
Nas estmturas de nós indeslocáveis, a NB-I permite considerar-se como com- 
primento de flambagem(,de um pilar a distância entre os eixos das vigas entre as quais 
ele se situa. 
Essa hipótese corresponde a se admitir os pilares como barras com nós articula- 
dos fixos. 
A existência de vigas, cuja rigidez inibe parcialmente arotação que existiria se as 
extremidades dos pilares fossem perfeitamente articuladas, diminui o comprimento de 
flambagem. A NB-1 não considera essadiminuiçáo, embora o CEB* permitadescon- 
tos de até 15% na determinaçáo do valor de e,. 
No caso de estruturas de nós deslocáveis, o comprimento de flambagem pode ser 
significativamente maior do que a distância entre os andares sucessivos da estrutura. 
Nesse caso, o comprimentot, somente pode ser estimado de forma adequada através 
da consideração da flambagem do conjunto da estrutura. 
No caso particular de estruturas com nós deslocáveis mas com vigas de rigidez 
muito grande, capazes de tornar desprezível a rotação dos nós da estrutura, o compri- 
mento de flambagem e, também é igual a distância entre os eixos das vigas que 
delimitam o pilar considerado. Cada pilar é entáo considerado como se tivesse nas 
suas extremidades apoios de simples escorregamento, Fig. (7.2.2-1). 
Na determinaçáo da distância entre os eixos das vigas que delimitam os pilares, é 
preciso considerar-se a eventual ixistência de vigas invertidas e de lajes rebaixadas 
em cada um dos pisos considerados. 
Conforme é ilustrado pelas Figs. 7.2.2-2 e 7.2.2-3, apresença de vigas invertidas 
ou de lajes rebaixadas pode alterar o comprimento de flambagem em relaç; 
direito usual da constmçáo. 
Fig. 7.2.2-1 Pilares deslocáveis com vigas de grande t.igider 
Fig. 7.2.22 Arranjo estrutural do nó 
230 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
1 Fig. 7.2.2-3 Vigas invertidas e lajes rebaixadas 
7.2.3 PILARES CINTADOS a. Condições de emprego 
De acordo com a NB-1 é permitido o emprego de pilares cintados por armadura 
de projeção circular desde que se tenha esbeltez A < 40, referida ao núcleo, Fig. 
7.2.3-1, admitindo-seque apresença do cintamentqseja equivalente aumaumentoda 
resistência característica do concreto de f,, para o valor 
t onde - 
e = excentricidade do carregamento, já incluída a excentricidade acidental, de- 
vendo ser 
A, = volume de armadura transversal por unidade de comprimento do pilar 
rd , . A,, (7.2.3-71 
A,, = área da seção transversal da barra de cintamento de diâmetro 6, 
A - r + t 2 
11 - - 
4 (7.2.3-4) 
k s , = espaçamento entre as espiras da armadura de cintamento 
A,, = área da seção do núcleo, definido pelo eixo da barra de cintamento 
Fig. 7.2.3-1 Pilares cintados 
Com as considerações acima, o pilar é calculado como se não fosse cintado, não 
se considerando o concreto exterior ao núcleo. A resistência total de cálculo dapeça 
cintada não poderá, porém, ser considerada com valor superior a 1,7 vezes a resistên- 
cia do pilar calculado como se não houvesse cintamento. O efeito do cintamento sobre 
aresistência do concretojáfoi analisado deformageral em outro volume deste curso.* 
b. Compressão centrada 
No caso de ser admitida uma situação de compressão centrada, sendo h < 40, 
pode-se fazer: 
logo 
*Fundamentos do Projeto Estmturd " 
- 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. sOLICITAÇOES NORMAIS 
Sendo A,,a área da seção da armadura longitudinal e n o coeficiente de majoração 
correspondente à influência das excentricidades acidentais, resulta a condição de 
segurança 
A f,, + 2 - f,, 
a N d 0,85 (A,, - + fsd As, (7.2.3-8) 
Yc 
que também pode ser escrita 
Ignorando, por simplicidade, a redução da seção efetiva de concreto devida a 
presença da armadura longitudinal, tem-se a condição simplificada: 
A f,, + 2 L f,, 
aN, < 0.85 A,; + f., A,, (7.2.3-10) 
da qual resulta 
devendo ser 
c. Prescriçóes construtivas 
As prescnçóes construtivas, impostas pela NB-I, sáo as seguintes: 
1 . esbeltez da peça 
as extremidades das barras de cintamento, sejam elas formadas por uma arma- 
dura helicoidal ou por estribos isolados, deverão estar bem ancoradas no núcleo 
de concreto 
3. , ~ t o l y inimu da barra de cintamento Y"\ 
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFICIOS 
/- 
S . valores limites da armadura de cintamenro 
L-- 
./ /' 6 . armadura ion~irudinal 
. 
(inclusive na seçáo de emenda por traspasse) 
7.3 PILARES DE 
EDI FICIOS 
7.3 .1 AÇAO DO VENTO De modo geral, exige-se a consideração da açáo do vento nas estruturas em que esta 
ação possa produzir efeitos estáticos ou dinâmicos importantes. 
Essa possibilidade existe de modo significativo nas estmturas aporticadas com 
nós deslocáveis. 
Definem-se como sendo de nós deslocáveis as estruturas cujos nós mudam de 
posiçáo em virtude da flexáo de suas barras. No estudo da deslocabilidade das 
STRUTURA DESLOCÁVEL ESTRUTURA INDESLOC~VEL 
r.* ,...i-1 Deslocabilidade das estmturas. 
234 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
estruturas são desprezadas as eventuais variações de comprimento das barras. Na 
Fig. 7.3.1-1 são mostrados exemplos de estrutura deslocável e de estrutura indeslocá- 
vel. 
De acordo com a NB-1 (item 3.1.1-3) a ação do vento deve ser considerada 
"obrigatoriamente no caso de estrutums com nós deslocáveis, nas yuais a altura sqju 
maior que quatro vezes a largura menor, ou em que. numa drida direção, o número de 
filas de pilares seja inferior a 4". 
Na Fig. 7.3.1-2 é mostrada a aplicação dessa exigência da NB-1. 
Admitindo que as estmturas mostradas nessa figura tenham nós deslocáveis, pelo 
critérios o vento deverá ser considerado apenas na direçãox, pois nesta direção Hlb 
> 4, enquanto que na direção y tem-se Hlb < 4. Pelo critério b, o vento deverá ser 
considerado em ambas as direçõesx ey, pois em ambas existem menos de quatro filas 
de pilares.* 
4 critério d e altura relativa 4 critério do número de filas de pilares 
Fig. 7.3.1-2 Consideração obrigatória da açáo do vento. 
'O símbolo H foi empregado intencionalmente para chamar a aten$áo sobre o ieru us a s iratar da altura 
c o n ~ f m ~ ã o 
total da 
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFfCIOS 235 
CONTRAVENTAMENTO Nos edifícios correntes não é recomendável que todos os pilares participem do 
DAS ESTRUTURAS sistema estrutural que se admite como responsável pela estabilidade global da estru- 
tura e pela resistência às açóes horizontais atuantes. Caso isso fosse admitido, o 
projeto seria em geral excessivamente trabalhoso, com resultados reais de precisáo 
duvidosa, em virtude da complexidade das estruturas assim consideradas. 
Usualmente os pilares dos edifícios são divididos em duas categorias, Fig. 7.3.2-1: 
pilares contraventados e pilares (elementos) de contraventamento. 
Os elementos de contraventamento sáo constituídos por pilares de grandes di- 
mensões, por paredes estruturais, por treliças ou pórticos de grande rigidez. 
De modo geral procura-* fazer com que a estrutura de contraventamento, 
composta por dois ou mais elementos de contraventamento e pelas lajes do edifício, 
tenha rigidez suficiente para que os demais pilares possam ser considerados como 
participantes de uma estrutura com 116s indeslocáveis, Fig. 7.3.2-2. Os elementos de 
contraventamento devem assegurar a va'lidade desta hipótese. 
Além disto, o sistema de contraventamento deve garantir a estabilidade da 
estrutura no seu conjunto, bem como deve resistir a açao do vento sobre toda a 
construção. 
Os elementos de contraventamento podem, em princípio, ser classificados em 
flexíveis e rígidos, Fig. 7.3.2-2. 
Consideram-se como elementos flexíveis de contraventamento os que devem sercalculados com a consideraçáo de efeitos de 2.a ordem. Este tipo de elemento de 
contraventamento, sempre que possível, deve ser evitado, pois em geral acarreta 
grandes dificuldades de cálculo. 
Consideram-se como elementos rígidos de contraventarnento os que podem ser 
calculados sem a consideração de efeitos de 2.a ordem. Para isso eles devem ter rigidez 
superior a certos mínimos preestabelecidos. De acordo com os critérios de rigidezdo 
CEB, para pilares essa rigidez mínima corresponde ao índice de esbeltez A = 25. 
Fig. 7.3.2-1 Pilares contraventados I 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
I 
CONTRAVENTADOS ELEMENTOS DE CONTRAVENTAMENTO 
7.3.3 SITUAÇÓES BÁSICAS De acordo com a NB-I os pilares de edifícios podem ser calculados de forma simplifi- 
DE PROJETO cada, desde que respeitados certos requisitos complementares adiante considerados. 
O cálculo simplificado permitido pela NB-1 pode ser aplicado as "estruturas de 
edij%ios em que stj afuem carxas previstas na NB-5 e em que não seja necessário 
considerar a açáo d o vento". 
Nocaso de estruturas submetidasaaçáo do vento, o cálculo simplificado podeser 
aplicado aqueles pilares que ,260 participem dos sistemas estruturais resistentes aaçáo 
do vento. 
Para efeito de projeto, os pilares dos edifícios podem ser classificados nos 
seguintes tipos: pilares intermediários, pilares de extremidade e pilares de canto, Figs. 
7.3.3-1 e 7.3.3-2, desde que sejam pilares adequadamente contraventados. 
A cada um desses tipos básicos de pilares corresponde uma situação de projeto 
diversa. 
Os pilares intermediários estão basicamente sujeitos a cargas axiais de compres- 
são. Como as vigas e lajes que se ap6iam nesses pilares não sofrem interrupção total 
sobre os mesmos, admitern-se como desprezíveis os momentos fletores transmitidos 
para os pilares. A situação básica de prqjeto dos pilares intermediários é, portanto, a 
de compressáo centrada. 
Os pilares de extremidade, em principiu, estão submetidos a flexão normal 
composta. A flexáo decorre da interrupção, sobre o pilar, da viga perpendicular à 
borda considerada, Fig. 7.3.3-2. 
No caso dos pilares de canto, em virtude da intermpção das vigas situadas nas 
duas bordas, existe basicamente uma situação de projeto de flexão oblíquacomposta. 
Em todos os casos considerados é importante notar que as situações de projeto 
levam em conta apenas os esforços solicitantes iniciais, que são os esforços de l.a 
ordem, decorrentes apenas das cargas atuantes sobre a estmtura. 
Para o dimensionamento dos pilares, devem ainda ser consideradas as excentri- 
cidades acidentais, que também são excentricidades de I .a ordem, bem como; no caso 
:s esbeltos, as excentricidades de 2.= ordem. 
PILAR INTERMEDIARIO 
EXTREMIDADE 
Fig. 7.3.3-1 Pilares de edifícios 
Fig. 7.3.3-2 Arranjos estmturais dos pilares de edifícios. 
7.3.4 SOLICITAÇÕES As solicitações iniciais dos pilares intermediáriospodem ser calculadas sem cocside- 
INICIAIS DOS PILARES ,ração de momentosfletores. 
INTERMEDIÁRIOS As solicitações iniciais resumem-se, neste caso, a força normal devida ao carre- 
gamento aplicado. 
A situaçáo de projeto dos pilares intermediários é portanto a de compressão 
centrada, podendo ser aplicados os processos simplificados de cálculo adiante descri- 
tos. 
Para o cálculo das cargas que atuam sobre os pilares dos edifícios, de acordo com 
o item 3.2.2.3 da NB-1, as vigas podem ser calculadas como continuas, sem ligações 
rígidas com os apoios, respeitadas certas restrições impostas pela própria NB-1. 
No caso de vigas contínuas em que os tramos tenham aproximadamente amesma 
rigidez, desde que o menor índice de rigidez I l tnão seja inferior a 80% do maior, a 
NB-1 permite que as reações das vigas sobre os pilares sejam calculadas 
considerando-se cada tramo independente dos demais e livremente apoiado. Todavia, 
se houver balanço de extremidade, o efeito de suas cargas será calculado, 
considerando-se a continuidade existente. 
De modo geral não se recomenda o emprego dessa permissao da NB- I para vigas 
com número reduzido de tramos, nem para a ava!iaçao das cargas dos pilares que 
suportam os tramos de extremidade das vigas. 
Nos exemplos de projeto apresentados no Cap. 8, essa permissão da NB- I não foi 
empregada. 
7.3.5 SOL~CITAÇOES Os pilares de extremidade sã riamente calculados a flexáo composta, Fig. 
INICIAIS DOS PILARES DE 7.3.5-1. 
EXTREMIDADE Os esforços solicitantes iniciais são constituídos pela força normal e por um 
momento fletor atuante no plano perpendicular a borda em que se situa o pilar. 
A situação de projeto dos pilares de extremidade é, portanto, a deflexão normul 
composta. 
De acordo com a NB-1, os momentos fletores dos nós dos pilares extremos 
poderão ser calculados pelas expressões seguintes: 
1 
Ma, = Me,, r,, (7.3.5-2) 
+ r,, + r,,, 
onde 
Me,, = momento de engastamento perfeito 
I . . 
r = - (indice de rigidez) 
e 
Fig. 7.3.5-1 Pilares de extremidade. Fig. 7.3.5-2 Efeito da superposiçáo de pilares. 
Observe-se que o tramo extremo da viga estará solicitado por momentos negati- 
vos, cujo valor máximo é dado por 
Conforme se mostra na Fig. 7.3.5-1, paraas extremidades opostas, tanto do pilar 
inferior quanto do pilar superior, propagam-se momentos que, em geral, podem ser 
admitidos com metade do valor do momento propagado. 
Nos edifícios de vários andares, os momentos que aparecem nos pilares são 
provenientes da superposição dos efeitos das vigas dos diferentes níveis, Fig. 7.3.5-2. 
Assim, por exemplo, no pilar situado entre os níveis (i) e (i + 1) são: 
ondeMi, ,,e Mi+ ,,i, são os momentos calculados isoladamente pelas expressóes 
(7.3.5-1) a (7.3.5-4). 
Observe-se que para o cálculo dos momentos fletores é indispensável o conheci- 
mento da seção transversal do pilar. O dimensionamento final será obtido então por 
m e i o de aproximações sucessivas. 
No caso de pilares usuais de edifícios, para efeito de pré-dimensionamento da 
seção de concreto, pode-se admitir, de início, uma excentricidade relativa ei/h entre 
0,05 e 0,10, onde e, = MIN e h é a dimensáo do pilar no plano de flexão. 
7.3.6 SOLICITAÇÕES Nos pilares de canto, em princípio existe uma situaçáo de projeto deflexao oblíqua 
INICIAIS DOS PILARES DE composta. 
CANTO Os esforços solicitantes iniciais são constituídos pela força normal e por dois 
I momentos fletores, os quais atuam nos planos verticais que contêm os eixos das vigas 
que formam o canto considerado. 
Para a determinação desses esforços repetem-se, para cada um dos planos de 
I flexáo considerados, os raciocínios feitos para o caso do pilar de extremidade, Fig. 
I 7.3.6-1. 
I Rg. 7.3.6-1 Pilares de canto 
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS 241 
7.4 PILARES CURTOS 
7.4.1 SITUAÇÓES DE Entendem-se porpilares curtos aqueles que podem ser calculados sem a consideração 
PROJETO E SITUAÇOES DE de suas deformações. 
CÁLCWLO De modo geral admitem-se como curtos os pilares que tenham índice de esbeltez 
não maior que A = 40, desde que sejam devidamente contraventados. 
No dimensionamento dos pilares curtos, além dos esforços iniciais decorrentes 
da situação de projeto em consideração, também devem ser admitidos outros esfor- 
ços, que se adicionam aos anteriores, e que têm por finalidade cobrir certos riscos 
ei =EXCENTRICIDADE I N I C I A L N~ = F M ~ = F e d d . 
e, = EXCENTRICIOAOE AOICIONAL 
( N 8 - I ACIDENTAL) M x d = F d e ~ 
Fig. 7.4.1-1 Pilares curtos. 
- 
devidos à incerteza quanto a real posição do ponto de aplicação da força de compres- 
são. 
A NB-1 considera essa incerteza acrescentando à excentricidade inicial ei outras 
excentricidades e,, ditas excentricidades acidentais, conforme se mostra na Fig. 
7.4.1-1. Observe-se que todas essas excentricidades são excentricidadesde I .a ordem. 
No caso de pilares esbeltos, deverão ainda ser consideradas as excentricidades de 2.a 
ordem. 
Em virtude da consideração das excentricidades acidentais e,, a maioria dos 
casos em que agem forças normais de compressão deveria ser tratada, em princípio, 
como se fossem problemas de flexão composta oblíqua. 
Todavia, como o cálculo rigoroso de seções submetidas a flexão composta 
oblíqua somente é exequível em termos práticos quando se dispõe de auxilio de um 
computador ou, o que é equivalente, quando já existem os diagramas de interação (v,, 
pZdr pUd) da seção considerada, diferentes simplificações são admitidas no projeto de 
pilares. No item 7.5.6 é feita uma sugestão visando a simplificaçáo das situações de 
cálculo atualmente admitidas pela NB-I . 
7.4.2 CASO PARTICULAR Conforme foi mostrado na Fig. 7.4.1-1, quando se tem uma situação de projeto de 
DE SIMPLIFICAÇAO DAS flexão normal composta, uma das situações de cálculo a ser teoricamente considerada 
SITUACOES DE CÁLCULO é a de flexao composta oblíqua. 
No entanto, como a obliquidade dessa flexão decorre apenas da excentricidade 
acidental e,,, medida na direção do eixo Gy que não contém a excentricidade inicial 
e,,, a NB-1 permite uma simplificaçáo. Em lugar da flexão composta oblíqua, 
considera-se uma outra flexão composta normal, majorando-se o valor da excentrici- 
dade e, de acordo com os critérios indicados na Fig. 7.4.2-1. 
Em princípio, majoram-se as excentricidades na proporção 
onde e é aexcentricidade daflexãooblíqua. Comisso, como se indicana Fig. 7.4.2-2, é 
considerada agora a flexão composta segundo o eixo Gy, com excentricidade 
e 
e = Z VeiZ2 + e,," 
! e,, 
uma vez qlte na direção Gx já foi considerada a flexão composta com excentricidade 
e, = e,, + e,, (7.4.2-2) 
Admite-se que, neste plano, esta última verificação já seja suficiente para a 
garantia da segurança da peça. 
Para a verificação da seção na direção Gy, em lugar da expressão (7.4.2-1) 
adotam-se os valores indicados na Fig. 7.4.2-1, os quais decorrem das aproximações 
indicadas na Fig. 7.4.2-2. 
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS 243 
Fig. 7.4.2-1 SituaçUes simplificadas de cálculo. 1 1 
Fig. 7.4.22 C i t é i o de sirnplificaçáo. 1 
244 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
7.4.3 EXEMPLOS Considere-se a situação de projeto de flexão normal composta, Fig. 7.4.3-1, com os 
seguintes dados: 
Fig. 7.4.3-1 Exemplo. 
Para esta seçáo transversal, as excentricidades acidentais valem: 
ear a e,, = 3 cm 
eou e,, = 2 cm 
1.' Exemplo: e,, = 10 cm 
Neste caso, sendo e,, > 3 e,,, tem-se e, = e,,, logo: 
I I . a situação de cálculol 
e, = e,, + e,, = 10 + 3 = 13 cm (---- e, - l3 - 0,144) 
h, 90 
12.a situaçáo de cálculo (e,, > 3 e,,)l 
e, = e,, = 2 cm 
2." Exemplo: e,, = 5 cm 
Neste caso, sendo e,, < e,, < 3 e,,, tem-se 
logo: 
e, - 8 
e, = e,, + e,, = 5 + 3 = 8 cm ( - - = 0.089) h, 90 
/ 2.a situaçáo de cálculo I 
3 . O Exemplo: ei, = 1,5 cm 
Neste caso, sendo e,, < e,,, tem-se 
logo: , 
] situaçáo de, cálculol 
e, = e,, + e,, = 1,5 + 3 = 4,5 cm 
1 2.a situaçáo de cálculo/ 
7.4.4 PROCESSOS Em muitos casos da prática é possível adotar-se um tratamento simplificado quando 
SIMPLIFICADOS DE existe uma situação de cálculo de flexão composta obliqua. As possíveis simplifica- 
CÁLCULO DE FLEXAO ções de cálculo sáode três tipos, conforme adiante indicado. Noitem 7.5.6é mostrada 
COMPOSTA O B L ~ Q U A uma possível simplificação geral do problema. 
a. Transformaçáo afim da seçáo transversal 
Para aquelas seções que, por uma transformaçáo afim paralela a uma direçio, 
possam ser reduzidas a uma figurainscrita num quadrado, com simetria emrelação aos 
eixos paralelos aos lados e também em relação a uma diagonal, pode ser aplicado o 
método de cálculo tratado na Seçáo 4.3. 
Ainda assim, o trabalho material requerido para essa aplicação náo é de todo 
desprezível, pelo que também são de interesse prático os métodos de transformação 
daflexáo composta oblíqua em umaflexáo normal composta equivalente, atuante num 
plano paralelo a um dos lados da seçáo. 
h. Transforma~áo daJlexáo oblíqua em uma flexáo normal equivalente 
Quando se conhece o andamento das curvas (pgd, pyd) dos diagramas de interação 
(pldr pud, vd), é possivel transformar-se a flexáo composta obliqua em uma flexáo 
normal composta equivalente, Fig. (7.4.4-1). Essa transformação tem por objetivo 
reduzir o trabalho de cálculo nos casos rotineiros. 
Conforme se observa na Fig. 7.4.4-1, para uma dada força normal relativa 
Fd Yd = - 
A, fCd 
deve ser empregada a mesma taxa mecânica w de armadura para ambas as combina- 
Fig. 7.4.4-1 Transformaçao da flexão oblíqua em flexão normal. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
1 
X 
= F~ .e, 
M ~ = F e d ' Y 
Ii "d = Jd - h, 
Il x d e Y pyd = 'd - h Y 
çóes de momentos a seguir consideradas: 
Flexão oblíqua real 
h d , eq 
- 
Flexão normal equivalente 
P s d , emtualente = F s d + P P y d 
P v d = 0 
A condição de equivalência 
P z d , eQ = CL,d + P P v d 
Fd 3 - - 
- A, f c d 
também pode ser escrita 
logo 
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS 247 
daí resultando a excentricidade equivalente 
aqual age no plano onde é maior a excentricidade relativa, istoé,adireção x é definida 
pela condição 
A expressão (7.4.4-2) é a adotadapela NB-I para a simplificação por ela conside- 
rada no seu 5 4.1.1.3(A). 
Os valores do coeficiente /3 podem ser determinados a partir dos diagramas de 
interação (V,, pxdr p,,,). A tabela incluída na NB- I corresponde a seções retangulares 
com armaduras iguais nas quatro faces. Para outros arranjos de armadura o raciocínio 
pode ser repetido, determinando-se o coeficiente /3 a partir dos diagramas de interação I 
da seção. 
c. Linearizaçáo do diagrama de interaçao 
Quando não se dispoe do conhecimento prévio do andamento das curvas (pd, 
pyd) dos diagramas de interação (v,, p,,, p,,), pode-se recorrer a linearização do 
diagrama de interasão, Fig. 7.4.4-2. 
Fig. 7.4.42 Linearizaçáo do diagrama de interaçáo 
Ao invés da flexão composta oblíqua de esforços (ud, prd, pyd), sáo consideradas 
duas flexóes normais compostas, respectivamente, de esforços (vdr pxd) e (V,, pvOd); ! 
24s ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
onde 
As expressões anteriores são válidas para seções transversais de forma qualquer 
Elas permitem que sejam escritas as relações 
Observe-se que com esse método a solução obtida pode ser muito antieconômica. 
A força Fd é considerada sucessivamente no ponto A, sobre o eixoGy, e no 
ponto B, sobre o eixo Gx. A essas posiçóes correspondem, respectivamente, os 
momentos relativos pyo,a e l . ~ ~ , , , ~ . O erro cometido, contra a economia, decorre do 
fato de o diagrama de interação ser curvo e não reto. 
Note-se que, quando se dimensiona a seção sob a ação dos esforços (vd; fiuo, a ) 
e (v,; pzn, d ) , impõe-se que o diagrama real (p,,, pua) para v = vd passe efetiva- 
mente pelos pontos P, e P,, Fig. 7.4.4-2. 
Todavia, se o dimensionamento fosse feito separadamente para cada uma das 
flexões normais, somando-se as armaduras assim calculadas, o erro cometido sena 
muito maior, pois entao o diagrama real @L=,, pyd) passaria pelos pontos P', e P',. Este 
último tipo de dimensionamento t eve portanto ser evitado. 
Observe-se que este tipo de erro não é cometido pelo método da traiisformação 
afim de seção, pois nesse método a força F, é decomposta em duas partes, sendo cada 
uma delas levada em cònta apenas em uma das flexões consideradas. O que não se 
deve fazer é considerar duas flexões normais com a totalidade da força normal Nd em 
ambas as flexões e,aseguir, somaras armaduras obtidas em cadaumadessasflexóes. 
O método da linearização do diagramade interação somente deverá ser usado 
quando nao se dispuser de outra alternativa válida de cálculo. 
7.4.5 CASO PARTICULAZ De acordo com a NB-1, no caso particular de seções retangulares comarmaduraigual 
DE SIMPLIFICAÇAO nos quatro lados, a situação de flexão composta oblíqua pode ser tratada da forma 
simplificada discutida no item 7.4.4(b), considerando-se uma flexão normal composta 
equivalente, Fig. 7.4.5-1. 
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFfClOS 
Fig. 7.4.5-1 ~ilar'corn armadura igual nas 4 faces 
Admite-se a excentricidade equivalente de valor 
com 
sendo o valor de p, de acordo com a NB-I, dado pela tabela seguinte 
Valores de 100 p o = A, f,d/A, f,,i 
7.4.6 EXEMPLO Considere-se como exemplo a seção indicada na Fig. 7.4.6-1, sendo: 
Fig. 7.4.61 Exemplo. 
Os esforços solicitantes reais valem, neste caso: 
vd = 0,7 
10 2 Sendo de fato 5 > 5, pois - > -, a excentricidade equivalente é defini- 
hz h, 50 20 
da por 
Admitindo o valor aproximado w = 0,5, da Tabela incluída na NB-1, tem-se: 
donde 
50 
e,, .. = 10 + 0,63 - . 2 = 13,2 cm 
20 
logo, a seção pode ser dimensionada a nexo-compressão no. 
esforços: 
rmal, sob a ação dos 
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS 
7.5 PILARES 
ESBELTOS 
7.5.1 CONSIDERAÇAO DOS Nas peças esbeltas, além dos esforços de l . a ordem, os quais abrangem os esforços 
EFEITOS DE 2.a ORDEM iniciais dexidos as cargas aplicadas a estrutura e os esforços devidos as excentricida- 
des acidentais, também devem ser considerados os momentos fletores de 2.a ordem, 
que aparecem em virtude das deformações da própria estrutura. 
Na Fig. 7.5.1-1 é mostrado um exemplo no qual são indicados os esforços de I.= 
ordem iniciais e os esforços de 2.a ordem. Nesse exemplo, não estão indicados os 
momentos fletores devidos as excentricidades acidentais. 
FORÇA NORMAL MOMENTOS FLETORES MOMENTOS FLETORES 
I NICIAIS DE 2e ORDEM 
Fig. 7.5.1-1 Solicitações dos pilares esbeltos. 
Em geral admite-se que nas peças muito robustas sejam desprezíveis os efeitos de 
2.a ordem. 
A NB-1 admite que os efeitos de 2.a ordem possam ser ignorados quando o índice 
de esbeltez da peça está abaixo do valor limite A = 40, e esta é contraventada. 
Sendo o índice de esbeltez definido pela relação 
onde[, é o comprimento deflambagem e i o raio de giração referente ao plano deflexão j / 
considerado, a limitação A s 40 corresponde nos casos práticos correntes aos seguin- 1 1 
tes valores: I i. &):\:d ll, z 33~<:,-. seção retangular de lados h, e h, i = - ee G 12 
LI. -. 4) '1) , - I 
. -.. +/' -'.., '. 
. . , I 
, , 
! 
L i 
seção circular de diâmetro d 
i i - - 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. sOLICITAÇOES NORMAIS 
As exigências feitas pela NB-I para a verificação da segurança dos pilares 
esbeltos estão resumidas no quadro mostrado na Fig. 7.5.1-2. 
Fig. 7.5.1-2 Venficaçáo da segurança dos pilares (NR-I 4.1.1.3) 
7.5.2 CONSIDERAÇAO DA Na determinação dos efeitos de 2.a ordem das peças submetidas à compressáo por 
FLUÊNCIA ações de longa duração, em princípio deve ser considerada a fluência. 
Em virtude dacomplexidade de determinação dos efeitos da fluência, usualmente 
sáo adotados métodos aproximados de cálculo. 
De acordo com o CEB será dispensável a consideração da fluência dos pilares 
isolados quando for satisfeita pelo menos uma das seguintes condições: 
a. jlexo-compressão com grande excentricidade 
(ei = excentricidade inicial de 1." ordem) 
ei/h 2 2,O (7.5.2-1) 
b. predominância de cargas de curta duração 
F o * s 0 2 F o + v , k (7.5.2-2) 
c. pilares pouco esbeltos 
A < 50 (7.5.2-3) 
2. CRITÉRIOS DA NA-I 
De acordo com a NB-I é desnecessário levar em conta o efeito da fluência nas 
seguintes alternativas: 
a. predominância de cargas de curta duração 
l o m o a NB-1 náo fornece critério quantitativo 
apenas que afluência deve ser considerada "se for o caso", parece razoável o critério 
do CEB, adotando-se a condição de dispensa de consideração. 
Fsh 0 2 Fo + c, k (7.5.2-4) 
b. pilares curtos ou mediatzanznzte esbeltos 
h S 80 (7.5.2-5) 
Subentende-se que esta restriçáo é paralelamente completada pela condição de 
existir uma armadura de compressão. Com a presença de uma armadura de compres- 
sáo, a fluência do concreto é substituída, em parte, por um processo de transferência 
das tensões de compressão do concreto para o aço. Usualmente esta condiçáo é 
satisfeita pelos pilares que dispõem de armadura simétrica. 
Nos casos em que não existe justificativa para a dispensa da consideraçáo da 
fluência, o cálculo poderá ser feito adotando-se simplificações de diversas naturezas, 
de acordo com o que está apresentado no Cap. 9 referente aos pilares não- 
contraventados e as estruturas de contraventamento. 
\ 
7.5.3 SITUAÇÕES DE No item 7.4.1 foram examinadas as situações de projeto e as correspondentes situa- 
PROJETO ESITUAÇOES DE ções de cálculo, de acordo com as exigências da NB-I. 
CÁLCULO As situações de cálculo determinam os esforços solicitantes de dimensionamento 
que agem nos pilares curtos, para os quais não são feitas considerações de deforma- 
ção, nem elástica nem viscosa, pelo fato de os pilares serem pouco esbeltos. 
Estas mesmas situações de cálculo também serão suficientes pardaverificação da 
segurança dos pilares esbeltos, desde que sejam calculados por processos rigorosos. 
De fato, embora nesses pilares existam efeitos de 2.a ordem bem como de 
fluência, o cálculo da carga crítica ou da excentricidade crítica pelo método geral com 
os processos do carregamento progressivo e da excentricidade progressiva, bem como 
pelo método de equilíbrio com o processo do deslocamentode referência,já incluem 
esses efeitos dentro dos próprios métodos de cálculo. 
rig. r.=.=-l Pilares curtos e pilares esbeltos calculados por processos rigorosos. Simplificação das situa- 
~ õ e s básicas de cálculo. 
O conceito de excentricidade e, de 2.a ordem do carregamento bem como o de 
excentricidade suplementar e, devida a fluência somente surgem na aplicação do 
método do equilíbrio, particularmente com o processo do pilar padráo. As deforma- 
ções da peça, de natureza elástica e de natureza viscosa, sáo transformadas em 
excentricidades adicionais das cargas aplicadas. 
Tendo em vista que as excentricidades acidentais e, têm por finalidade estabele- 
cer tão-somente uma segurança suplementar contra os efeitos das incertezas quanto 
ao ponto de aplicação das cargas e quanto àlinearidade e verticalidade dos pilares, as 
situações de cálculo estipuladas pela NB-I e reproduzidas na Fig. 7.4.1-1 podem ser 
Fie. 7.5.3-2 Simpliiicaçáodas situaçóes básicas de cátculo. Pilares esbeltos calculados por processos 
:ados. 
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFICIOS 255 
simplificadas conforme se mostra na Fig. 7.5.3-1. Estas simplificações são coerentes 
com o que recomenda o Código Modelo do CEB.3 Essas são as situações básicas de 
cálculo, válidas para os pilares curtos e para os pilares esbeltos calculados por 
processos rigorosos. 
No caso depilares esbeltos calculados por processos simplificados, as situações 
de cálculo são derivadas das situaçóes anteriores, considerando-se também as excen- 
tricidades e,, e e, quando houver fluência significativa. As situaçóes de cálculo assim 
resultantes estão mostradas na Fig. 7.5.3-2. 
É oportuno observar-se que as simplificações propostas são coerentes com ofato 
de que a excentricidade e, de 2.a ordem e a excentricidade suplementar e, devida a 
fluêncianão podem ser admitidas na mesma direçáo da excentricidade oblíqua e(, Fig. 
7.5.3-3, conforme já foi discutido no Cap. 6. 
Quando se emprega o método geral de cálculo com o processo do pilar padrão, 
utilizando, por exemplo, diagramas de interação (Mldr Nd) como os que são mostra- 
dos nas Figs.(5.3.5-4) e (5.3.5-5),nas situaçõesde cálculo devem ser explicitadas as 
excentricidades suplementares e, mas não as excentricidades e,, as quais são conside- 
radas pelo próprio método de cálculo. Um exemplo dessa situação é mostrado no Cap. 
8, item 8.2.6. 
NEUTRA 
Fig. 7.5.3-3 Flexáo obliqua 
Quando a fluência é considerada através de uma excentricidade equivalente de 
ordem, as excentricidades suplementares e,, e e,, serão calculadas pelas expres- 
sões gerais discutidas no Cap. 9, as quais fornecem: 
onde 
F, = carga de longa duração, a qual produz fluência. 
F, = carga de flambagem de Eul'er, calculada conforme se indica no Cap. 9. 
4 (t, , to) = função de fluência. 
e,,, . = excentricidade na direçáo Gx da carga F, 
e,,, ..= excentricidade na direção Gy da carga F, 
e,, = excentricidade acidental na direção Gx 
e,, = excentricidade acidental na direçáo Gy 
A carga de longa duração F, vale 
Fn = Y n (Fgk + $2 F ~ R ) 
I sendo i F,, = valor característico da carga permanente 
$2F-o-cela.&longa duração do valor característico da carga acidental usual 
.. 
1,110 a 1 ,25 , conforme o t ipodG& 
"--4 I 7.5.4 SUPERPOSICIO DOS A determinaião seuarada dos momentos fletores de 1," e de 2. . ordem com a sua 
MOMENTOS FLETORES DE posterior superposição somente será possível se os pilares da estrutura puderem ser 
1.a E DE 2.a ORDEM considerados isoladamente, sem a necessidade de uma análise global da estabilidade 
do conjunto. 
t Discute-se adiante, no Cap. 9, as condiçóes gerais para que os pilares de uma I estrutura possam ser tratados isoladamente. Essa possibilidade sempre existe nas 
estruturas de nós indeslocáveis, como as estruturas usuais dos edifícios correntes. 
No caso de pilares de estruturas com nós indeslocáveis, distinguem-se os dois 
casos básicos seguintes: 
a. Momentosfletores iniciais nulos ou constantes, Fig. 7.5.4-1. 
e , = const 
-- 3,- 
Fig. 7.5.4-1 Superposiçáo dos momentos de e de 2.* ordem. 
Neste caso, a seção mais solicitada do pilar é aquela onde se dá a máxima 
excentricidade e, de 2.a ordem. 
O dimensionamento será feito então para os valores 
e = e, + e, + e, (7.5.4-1) 
acrescentando-se ainda a excentricidade 
caso, resultando 
b. Momenrosfleiores iniciais variáveis, Fig. 7.5.4-2. 
Fig. 7.5.4-2 Superposi~áo dos momentos de 1." de 2." ordem 
Neste caso, não se sabe a priori se a seção mais solicitada é aquela onde ocorre 
e,, ,,, ou aquela onde existe e,, ,,, 
No caso de não existirem cargas transversais aplicadas ao longo do pilar, Fig. 
7.4.7-2. a NB-I prescreve a verificação nas seguintes seções da peça: 
io da extremidade mais solicitada (elA = e,, ,,, ; e, = 0) 1. Seçi 
1 2 . Seçáo intermediária (e, = e,, . ; e, = e,, 
Nd = Fd 
admitindo-se convencionalmente o valor 
I com 
I eic > O quando tiver o mesmo srntido que e,. 
Neste último caso, se houver fluência significativa, deverá ser considerada a 
excentricidade suplementar e,, resuitando 
e = e, + e, + e, + e, (7.5.4-6) 
7.6 PROCESSOS 
SIMPLIFICADOS DE 
CÁLCULO 
7.6.1 CRITÉRIO BÁSICO DE O critério básico de simplificaçáo decorre da análise dos diagramas de interaçáo, 
SIMPLIFICAÇÃO como o que é mostrado na Fig. 7.6.1-1. 
! 
! 
i 
d ' = 0 . 5 h 
I 
< 
-- Jd 
36 
3 d e = 3 d i i ( P d 
Fig. 7.6.1-1 Transformagáo da flexo-cornpressáa em compressáo centrada 
7.6.2 PILARES CURTOS 
SOB CARGA CENTRADA 
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFíCIOS 259 
Desde que se tenha um arranjo simétrico de armaduras e uma força normal 
relativa de compressão com valores 
a taxa mecânica w de armadura correspondente as solicitações reais (v, , ,L,) pode ser 
determinada, a favor da segurança, em função de uma compressão centrada equiva- 
lente, com uma força normal relativa equivalente (vd, eR) dada por 
que também pode ser escrita 
ud, =C = aud (7.6.1-2) 
com 
No caso da Fig. 7.6.1-1, tem-se K = 3, 
logo 
ou seja, 
1 O coeficiente K = 3 é válido para seções retangulares em que pelo menos 213 da 
armadura estejam concentrados junto as bordas perpendiculares a altura h da seção. 
Para as demais seções retangulares e para as seçóes circulares, da análise dos 
diagramas de interação resulta 
ou seja, 
No item (7.6.4) estas condições de equivalência estão ilustradas por algumas 
figuras explicativas. 
De acordo com a NB-I, quando Fd é suposta centrada e A c 40, o pilar poderá ser 
calculado à compressão, com a força normal aumentada na proporção I + 6lh, mas 
não menor que 1 , I , onde h, medido em centímetros, é o menor lado do retângulo mais 
estreito circunscrito ã seçáo transversal, Fig. 7.6.2-1. 
No caso de pilares curtos (A c 40) em situações de projeto de compressão 
centrada (ei = O), o critério adotado pela NB-1 é o mesmo admitido pelo CEB, o qual 
de à condição (7.6.1-2), ou seja, 
"7 ---- - ~ ~ - 
Fig. 7.6.2-1 Retingulo circunscrito a seção transversal. 
donde 
Neste caso, não se faz qualquer restriçáo ao valor v,, e a adoção da expressão 
única(7.6.2-1) deve ser entendidacomouma soluçáo simplistaválida paraos casos em 
que a excentricidade é pouco significativa. ' 
De fato, neste caso a única excentricidade a ser considerada é a excentricidade 
acidental e,, dela decorrendo: 
1. p a r a h s 60cm : e, = 2 c m 
2 6 
a = l i 3 - = I + - 
h h 
2. para h 3 60 cm : e, = h130 
Na Tabela 13 estão apresentados os coeficientes u de majoração da força normal, 
correspondentes a pilares curtos (A s 40). 
7.6.3 EXEMPLOS Determinar a força normal equivalente para o dimensionamento das seguintes seçóes 
transversais, admitindo-se sempre A < 40. 
a. Seçáo refungular: h, = 30 cm , h, = 70 cm 
b. Seção circular: d = 40 cm 
7.6.4 PILARES Neste caso, válido para 40 < A < 80, de acordo com a NB-l , além das excentricidades 
MEDIANAMENTE acidentais também devem ser consideradas as excentricidades de 2.a ordem. as quais 
ESBELTOS SOB CARGA podem ser determinadas da forma convencional já discutida anteriormente, ou seja: 
sendo 
onde 
1 - 0,0035 + f,,/E, 
-- com vd + 0,5 a 1 ,O 
r (v, + 0 3 h 
Como a situaçáo de projeto é de compressão centrada, a situação de cálculo 
decorre dos valores de e, e h, medidos na direção correspondente à maior esbeltez. 
Para a determinação da força normal equivalente são adotados os critérios já 
discutidos em (7.6.1), a saber: 
a. Seçbes retangulares com@, = A, a 3) Fig. 76.4-1 
3 
com 
Fig. 7.6.4-1 Seçóes retangulares com A,, 2 AJ3. 
b. Seçóes circulares e seções refangulares com 
Fig. 7.6.4-2 Seçoes circulares e seçoes retangulares com A,, , A,/3 
Nas Tabelas 14 a 19 são apresentados os valores do coeficiente c< de majoração de 
força normal, correspondentes aos aços CA-25, CA-50 e CA-60, para pilares media- 
namente esbeltos (40 < A < 80). 
Exemplos numéricos de aplicação estao apresentados no Cap. 8. 
7.6.5 PROCESSO Em princípio, o critério introduzido no item 7.6.1 para a transformaçáo de umaflexão 
i APROXIMADO DE composta normal em uma compressáo centrada, expresso pela equação 
PRÉ-DIMENSIONAMENTO 
E DE DIMENSIONAMENTO Ud,en = V d + p d i (7.6.5-1) 
EXPEDITO 
pode ser empregado mesmo quando no momento pd existir uma parcela devida a uma 
excentricidade inicial ei. 
Entretanto esta aplicação deve ser usada com cautela, pois a precisáo de seus 
resultados depdnde do andamento dos diagramas de interação nas faixas de valores 
altos de pd. 
Por esta razão, a expressão (7.6.5-1) pode ser empregada irrestritamente tão- 
somente para o pré-dimensionamento. O emprego desta expressão para dimensiona- 
mento somente é lícito após o seu controle, por meio da análise do andamento dos 
correspondentes diagramas de interação. 
Em muitos casos da prática essa aplicação é possível, com precisão numérica 
muito boa, conforme será visto nos exemplos de projeto. 
Generalizandoo critério de simplificação, pode-se resolver de forma semelhante 
o problema do pré-dimensionamento das peças sujeitas a flexão composta oblíqua. 
Através da análise dos diagramas de interação (v,, pzdi pyd), a flexáo composta 
oblíqua pode ser transformada numaflexão composta normal equivalente, para a qual 
se obtenha a mesma taxa o de armadura, conforme já foi mostrado no item 7.4.4, 
particularmente através da Fig. 7.4.4-1. 
A seguir, esta flexão composta normal é transformada numa compressão cen- 
trada equivalente, podendo-se fazer assim o dimensionamento expedito da seção 
transversal da peça. 
7.7 PAREDES 
ESTRUTURAIS 
7.7.1 CONCEITOS BÁSICOS Definem-se como paredes estruturais as estruturas laminares planas verticais apoiaz 
das de modo continuoem toda a sua base, com comprimento b maior que cinco vezes a 
espessura h, solicitadas predominantemente por cargas contidas no seu plano médio, 
Fig. 7.7.1-1. 
b > 5h b G 5h 
PAREDE P I L A R 
Fig. 7.7.1-1 Distin$ao entre paredes e pilares 
Para efeito de dimensionamento, as paredes estruturais são tratadas da mesma 
forma que os pilares, alterando-se apenas alguns detalhes particulares. 
Um problema particular que merece consideração especial é constituído pelos 
pilares de seção celular, compostos elementos que podem ser assimilados a 
paredes estruturais, Fig. 7.7.1-2. 
Particularmente em relação a armadura mínima dos pilares de seção celular, é 
importante lembrar que as exigências de um mínimo de armadura nos pilares nasceram 
do conceito de excentricidade acidental. 
No caso de seções nãu-vazadas, as exigências tradicionais parecem usualmente 
satisfatórias. 
No entanto, no caso de pilares de grandes seções transversais, como é o caso 
usual dos pilares de seção celular, essas mesmas exigências frequentemente são 
exageradas, pois nesses casos nada se melhora, em princípio, em relação a segurança 
da peça, pelo aumento da armadura além dos valores requeridos pelo cálculo. 
No caso de pilares de seção celular, cabe então garantir, através das exigências de 
armaduras mínimas, a segurança contra flexões localizadas não previstas das paredes 
que compõem o pilar. 
Em casos destanatureza, a solucão lógica será admitir-se a existência de um pilar 
- 
para o cálculo do conjunto e dar-se o tratamento de parede estmtural para a considera- 
ção das disposicoes construtivas, tais como cobrimentos mínimos, armaduras míni- I 
- . 
mas, espaçamentos miximos e exigências quanto as armaduras transversais. I 
Fig. 7.7.1-2 Pilares de seçia celular 
7.7.2 EXCENTRICIDADE De modo geral, o dimensionamentodas paredes estruturais será feito considerando-se 
DO CARREGAMENTO queacargatenhaumaexcentricidade emrelaçãoaoplano médio da peça, Fig. 7.7.2-1. 
Fig. 7.7 "cidade do carregamento das paredes 
A excentricidade a considerar será a soma das seguintes parcelas: 
a. excentricidade inicial ei correspondente a posição prevista para o ponto de aplica- 
ção das cargas; 
b. excentricidade acidental e, resultante da imprecisão de execução; 
c. excentricidade de 2.a ordem e,, correspondente as deformações de flexáo em plano 
perpendicular a parede. 
No caso de paredes estruturais, a determinaçáo da excentricidade inicial e, deve 
considerar ainteração das paredes tanto com as vigas quanto com as lajes com as quais 
elas estejam monoliticamente ligadas. 
No caso de pilares, as ligações destes com as lajes são usualmente ignoradas, 
exceto quando existirem lajes-cogumelo. Com paredes estruturais, a interação das 
mesmas com as lajes pode ser importante, mesmo quando as lajes são maciças, 
particularmente no caso de paredes de extremidade dispostas paralelamente à borda 
da construção, Fig. 7.7.2-2. 
Fig. 7.7.2-2 Interaçao laje-parede. 
De acordo com a NB-1, as excentricidades acidentais a serem adotadas para o 
cálculo de paredes estruturais deverão estar no intervalo 
dependendo a escolha do valor específico, a ser adotado no cálculo, dos cuidados 
previstos para a execução da obra. 
7.7.3 MOMENTOS No caso de paredes estruturais fixadas no topo e no pé, os momentos fletores 
FLETORES DE 2.a OR,DEM ordem poderão ser calculados da mesma forma que para os pilares, adotando-se o 
processo simplificado do equilíbrio, pelo qual 
onde a curvatura Ilr é adotada com o valor convencional 
com 
266 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
sendo h a espessura da parede e 
Para a determinação do comprimento de flambagem e,, a NB-1 admite os seguin- 
tes valores aproximados, determinados em função da altura (da parede e da relação 
I 
altura da parede P = largura da parede 
a. Topo e pé articulados fixos 
Bordas verticais livres 
b. Topo e pé articuladosfixos 
Uma borda vertical livre e outra faa (articulada ou engastada) 
c. Topo e pé articulados fixos 
Bordas verticais firas (articuladas ou engastadas) 
e e, = - para íj3 G 1) 
1 + pz (7.7.3-4) 
e e, = - para íj3 > 1) 
2 P (7.7.3-5) 1 
d. Topo e pé engastados, com P G I 
Adotam-se os valores indicados em a , b, c multiplicados por 0,85 
i 7.8 DISPOSIÇOES 
CONSTRUTIVAS 
7.8.1 RESISTÊNCIA AO Os valores máximos e mínimos relativos as disposições construtivas consideram as 
FOGO exigências das seguintes normas brasileiras: 1 
NB-1/78: Projeto e execução de obras de concveto armado I 
NB-503177: Exigências particulares das obras de concreto armado e protendido em I 
relação a resistência ao fogo 
Tendo em vista a ação do fogo sobre as estruturas, devem ser analisados os 1 
seguintes aspectos fundamentais: 
1. Classificação dos incêndios 
Para a consideração da intensidade do fogo, a NB-503 classifica os incêndios da 
seguinte forma: 
a. Admite-se para o poder calorífico da madeira o valor de 4 500 kcalJi.0 
b. Transformam-se os materiais combustíveis da e num equiv 
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS 267 
madeira, considerando o poder calorífico e a quantidade desses materiais. 
c. Admite-se a seguinte correlação entre o potencial calorifico equivalente em 
madeira e a duração do incêndio: 
Tabela 1 
Potencial calorifico 
equivalente em 
madeira (kg/mz)* 
30 
60 
90 
120 
*Para valores inrermediários do potencial calorifico adota-se a duracão imediatamente 
superior. 
2. Incêndio a ser considerado no projeto 
a. Para edifícios residenciais de altura não superior a 12 m, medida do piso 
mais baixo ao teto mais alto, pode ser adotada a duração F 60 para toda a 
estrutura. 
b. Nos edifícios em que o potencial calorífico equivalente não exceda a 60 kg/m2 
de madeira, deve o projeto considerar no mínimo as seguintes durações: 
- para elementos estruturais essenciais aresistência global da estrutura, tais 
como pilares e vigas de transição: F 120 
- para os demais elementos da estrutura: F 60 
c. Nos edifícios em que o potencial calorífico equivalente exceder a 60 kg/m2, em 
lugar da duração F 120 adotar-se-á a duração indicada na Tabela 1, e a duração 
imediatamente inferior em lugar da duração F 60 para os elementos estruturais 
classificados no caso b. 
7.8.2 DIMENSOES Valores exigidos pela NB-1 
EXTERNAS M ~ N I M A S 
Nota 1 - apoiado em toda a extensão da base e obrigatoriamente considerada a 
flexáo devidaãs ligações com lajes e com os pilares de andares adjacentes. 
e, = altura livre 
i = raio de giração mínimo 
L = distância numa certa direçao entre eixos de pilares 
di = diâmetro do núcleo cintado 
b = largura da seção 
h =. espessura da seção 
- 
Duração do 
incêndio 
(minutos) 
60 
120 
180 
240 
Representação 
simbólica 
do fogo 
F 60 
F 120 
F 180 
F 240 
268 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
Observação: Náo sáo permitidas canalizações embutidas longitudinalmente nos pi- 
lares, quer no concreto, quer em espaços vazios sem aberturas de 
drenagem. 
Valores exigidos pela NB-503 (centímetros)Peças 
1: Pilares de seção quadrada, inteiramente comprimida, e 
expostos ao fogo em duas ou mais faces. 
2. Pilares de seção quadrada, inteiramente comprimida, e 
expostos ao fogo em uma só face. 
3. Paredes de seçáo retangular com relação de lados 
blh 5, inteiramente comprimida.* 
4: Peças fletidas que não possam dilatar livremente na di- 
reçáo longitudinal. 
.Valores exigidos pela NB-503: Cobrimento c( da armadura longitudinal (cm) 
7.8.3 COBRIMENTOS Valores exigidos pela NB-I: Cobrimento c (centímetros)* 
I Peças de concreto náo-revestido (7 (**I 
'Para pilares com relagão de lados entre 1 e 5, interpela-se linearmente entre os valores dos casos 1 e 3. 
Duração do fogo 
M ~ N I M O S 
I~ilares com seção inteiramente comprimida 1 2,5 1 4.5 / 6,O / 7,s 1 
F 6 0 
20 
12 
12 
8 
'Cobnmento c medido a partir dor estribos ou das armaduras secundárias externas à armadura principal. 
Peças 
Pilares 
Paredes 
Paredes / 1,5 1 3,O / 4,s 1 - 
FIZ0 
30 
16 
16 
11.5 
F180 
36 
20 
20 
15 
Peças fletidas que não possam dilatar livremente na dire- 
ção longitudinal 
I I I I I 1 
'Permitem-se descontos de 1.0 cm do cobrimcnto c,, para cada 1,s cm de revestimento de argamassa de cal e areia. 
"Permitem-se descontos de 1.0 cm do cobrimento c,. oara cada 0.4 sm de revestimento de x s s o ou de fibras de 
F 2 4 
40 
24 
24 
18 
amianto, ou de argamassa de vermiculite 
Concreto revestido 
com argamassa de 
pelo menos 1 cm de 
espessura 
2.5 
7.8.4 ARMADURAS VALORES E X I G I D O S PELA NB-1 
LONGITUDINAIS 
a . Pilares não-cintados que tenham todas as barras comprimidas 
Interior de 
edifícios 
1,s 
1,0 
= 0.8% para teli > 30 
Concreto 
em meio 
fortemente 
agressivo 
4.0 
4,O 
Ao ar 
livre 
2,O 
1 s 
4,O 
,i, = 0,5% para t,/i s 30 
Concreto 
em contato 
com o solo 
3,O 
3 ,o 
Concreto aparente 
' lusive no trecho de emenda I 
Interior de 
edificios 
2,O 
2 8 
5,O 
sse) 
Ao ar 
livre 
2.5 
2,s 
6,O 
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS 
b. Pilares com seção efeíiva A,, ,f superior a seçáo calculada A,, ,.,l 
A , = 0 3 % A,, .., para (,/i > 30 
A,, ,i, = 0,5% A,, .., parateli s 30 
A,, ,i, = 0,5% A,, , (videcomentários, § 7.7.1, arespeito de pilares de seção 
celular). De modo geral esta condiçáo da NB-I parece 
exagerada, podendo por isso ser suprimida. 
... 
c. Paredes (b 6 h) 
p,,, = 0,4% 
d. Paredes com seçáo efetiva A,, ,superior a seçáo calculada A,., ,.,, 
A,, min = 0,4% A,, c,, 
A,, ,i, = 0 2 % A,, ,f 
e. Paredes com 5 h < b < 6 h 
Interpolar linearmente entre os valores recomendados para pilares e paredes. I 
f . Pilares cintados 
Veja-se o § 7.2.3 
7.8.5 ESPAÇAMENTO DAS VALORES EXIGIDOS PELA NB-1 
BARRAS LONGITUDINAIS 
a. Espaço livre mínimo entre barras; 2 cm; 1 4; 1,2 dogregodo 
+ = diâmetro das barras, das luvas ou dos feixes 
b. Espaço livre mínimo entre barras, na posição das emendas por traspasse: 2 $ I 
c. Espaçamento máximo, junto ao contorno dos pilares náo-cintados: 
40 cm i 
d. Espaçamento máximo, das barras da armadura principal das paredes: I 
2 h, 30 cm i I 
I 
7.8.6 ARMADURAS VALORES EXIGIDOS PELA NB-I 
TRANSVERSAIS 
a. Espaçamento máximo dos estribos dos pilares náo-cintudos 
- 30 cm 
- menor dimensão externa da seção da peça 
- 21 +,e 340 m2,1 +, para aço CA-25 e CA-32 
- 12 +, e 190 +2,/ +, para aço CAIIO, CA-50 e CA-60 
Caso f,k, esi,.o, < fuk, armadura reduzir o espaçamento proporcionalmente a 
f,k.Jf,., 
b. Arranjos básicos dos estribos 
Na Fig. 7.8.6-1 são mostrados os arranjos básicos dos estribos, de acordo com as 
exigências da NB-1. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACOES NORMAIS 
Fig. 7.8.6-1 .4rranjos básicos dos estribos das peças náo-cintadas. 
c. Diâmetro mínimu dos estribos 
De acordo com a NB-1, deve-se ter: 
d. Armaduras secundárias das paredes 
A armadura secundária, normal à armadura principal, deverá ter seção tr,.,, .,,- 
sal no mínimo 50% da principal. 
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIF'fCIOS 
e. Estribos suplementares nas paredes 
O emprego nas paredes d e estribos suplementares, como os indicados na Fig. 
7.8.6-1, é exigido pela NB-1 apenas quando ocorre pelo menos uma das seguintes 
circunstâncias: 
f. Pilares cintados 
Veja-se o § 7.2.3 
7.9 EXERC~CIOS 7. 1 Que são ações atuantes e ações resistentes? Definir solicitações atuantes e soiicitaçóes 
resistentes. 
7. 2 Qual a condição de segurança na flexão pura? 
7. 3 Definir a direçáo da verificação da segurança na flexão composta. 
7. 4 Que são excentricidades acidentais? 
7. 5 Deduzir as expressões básicas de dimensionamento dos pilares não-cintados submetidos a 
compressão centrada. 
7. 6 Qual a funçáo do coeficiente a de majoraçáo da força normal? 
7. 7 Como é determinado o índice de esbeltez dos pilares dos edifícios correntes? Quais as 
hipóteses envolvidas nessa determinação? 
7. 8 Que é pilar cintado? Qual o efeito do cintamento? 
7. 9 Como a NB-I considera quantitativamente a influência do cintamento? 
7.10 Quais as restriçóes ao emprego de pilares cintados? 
7.11 Quais as exigências da NB-I quanto a dimensões, espaçamentos e taxas de armadura dos 
pilares cintados? 
7.12 Quais as condiçóes que tornam obrigatória a consideração da açáo do vento sobre os 
edifícios? 
7.13 Que são estruturas de contraventamento? 
7.14 Como são considerados os nós dos pilares de estruturas contraventadas? 
7.15 Quais sáo as situações básicas de projeto dos pilares dos edifícios? 
7.16 Como são calculados os momentos fletores iniciais dos pilares de extremidade? 
7.17 Como sáo calculados os momentos fletores iniciais dos pilares de canto? 
7.18 Definir as situaçóes de projeto e as correspondentes situações de cálculo estipuladas pela 
NB-1. Como podem ser elas simplificadas? Justificar. 
7.19 Como se faz a transformação de uma flexáo composta oblíqua numa flexáo composta 
normal equivalente? 
7.20 O que se entende por diagrama de interação linearizado na flexáo composta oblíqua? 
Quando é lícita essa linearizaçáo? 
7.21 Quais as desvantagens do emprego do diagrama de interaçáo linearizado? 
Pilares Usuais de Edifícios. 
Exemplos de Dimensionamento 
8.1 DADOS BÁSICOS 
DE PROJETO 
8.1.1 CARGAS DE PROJETO Para a determinação das cargas de projeto, dispõe-se da Norma Brasileira NB-5/78 
(Cargas para cálculo de estruturas de edificações), a qual "fixa as condições exigíveis 
para a determinação dos valores das cargas que devem ser consideradas no projeto de 
estruturas de edificações, qualquer que seja a sua classe e destino, salvo os casos 
previstos em normas especiais". 
A NB-5 classifica as cargas em permanentes e acidentais, indicando-as, respecti- 
vamente, pelos símbolos (g) e (q). 
A carga permanente (g) da construção é constituída pelo peso próprio da estw- 
tura e pelo peso de todos os elementos constmtivos fixos e instalações permanentes. 
Para os casos em que não há determinação experimental, a NB-5 fornece os 
valores dos pesos específicos aparentes dos materiais de construção mais frequentes. 
A tabela seguinte é um extrato da Tabela 2.1.3 da NB-5178. 
1 Materiais I íkN/m3) Peso específico aparente 
Blocos 
artificiais 
e concretos 
I N =0 .1kg f I MPa = I MNlmX= 10kflcm2 
I k N = I W k g f = 0.1 tf I kN1m = I W kgfim = 0,l tfim 
I kN.m = 1W kgfm = 0.1 t t m I kNimS= I W kgfimP = 0.1 tflm' 
1 kN.cm = IW kgfcm = 0.1 tf.cm I k N i m b I W kgflm' = 0.1 tfIm3 
blocos de argamassa 
cimento amianto 
lajotas cerâmicas 
tijolos furados 
tijolos maciços 
tijolos sílico-calcários 
argamassa de cal. cimento e areia 
argamassa de cimento e areia 
argamassa de gesso 
concreto simples 
concreto armado 
22 
20 
18 
13 
18 
20 
19 
2 1 
12.5 
2425 
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 273 
De acordo com a NB-5, carga acidental é toda aquela que pode atuar sobre a 
estrutura de edificações em função de seu uso (pessoas, móveis, materiais diversos, 
veículos etc.). 
Na tabela seguinte apresenta-se um pequeno extrato da Tabela 2.2.1.2 da NB-5, 
na qual são especificados os valores mínimos das cargas verticais. 
A NB-5 fixa ainda diversos valores numéricos e formula uma série de recomen- 
dações para diferentes casos específicos de carregamento. 
No caso de edifícios para escritórios, residências e casas comerciais não destina- 
das a depósito, para o cálculo de pilares e defundações, as cargas acidentais podem ser 
reduzidas de acordo com os seguintes valores prescritos pela NB-5. 
Carga (kN/mZ) 
7.5 
Local 
Casas de máquinas 
Corredores 
Edifícios residenciais 
Escritórios 
I - Número de pisos que atuam sobre o Redução percentual das cargas acidentais elemento 
(incluindo o peso próprio das máquinas) 
a ser determinada em cada caso, porém com o 
valor mínimo de 
com acesso ao público 
sem acesso ao público 
dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro 
despensa, área de serviço e lavanderia 
salas de uso geral e banheiro 
8.1.2 ARRANJO GERAL E Na Fig. 8.1.2-1 está delineado o arranjo geral da estrutura que servirá de suporte 
CARREGAMENTO DAS para os exemplos de dimensionamento a seguir apresentados. 
LAJES Nos itens seguintes serão dimensionados os pilares P1, P4, P5, W e P8, 
admitindo-se diferentes índices de esbeltez. 
3 
2 
1.5 
2 
2 
1 . 2 e 3 
4 
5 
6 ou mais 
a. Carregamento das lajes 
0 
20 
40 
60 
g, = peso próprio = 0,12 m x 2 5 kN/m3 = 3,O kN/mZ 
g, = revestimento (taco + argamassa) = 0,8 kN/mZ 
q = carga acidental (escritórios) = 2,O kN/m2 
- 
p = carga total 5,8 kN/mZ 
C 
1 N =O, lkg f i MPa I I MNlm* = IOkgf!cm2 
I k N = IW kgf = 0,1 tf I kN1m = I W kglirn =O,! tfim 
I kN.m = I W k g f m = 0.1 tf.m I kN!mS= 100kgf/m2=0,1 tf/rnS 
I kN.cm = IW kgfcm = 0.1 õ c m I kN/rnS = l W kgflm' = 0.1 tflm" 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS 
Fig. 8.1.2-1 Arranjo geral 
b. Reações das lajes 
De acordo com o quejáfoi discutido anteriormente,* as reações de apoiadas lajes 
sobre as vigas são obtidas da seguinte forma: 
'Fundamentos do Projeto Estnitural. 
I N =O,Ikgf I MPa = I MNlmZ = 10 kgficm2 
I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNim = 100 kgf/m = 0.1 tflm 
1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 1f.m I kNlms= 100kgf/mP = 0,1 tfim2 
1 kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 t fcm I kNlm3 = 100 kgfIm3 = 0.1 tflm= 
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 275 
8.1.3 cÁLCULO DAS VIGAS I . Viga VI 
V I G A @ ( 2 0 / 5 0 + 1 2 ) 
Fig. 8.1.3-1 Cálculo da viga VI 
a. Cargas 
peso próprio + alvenaria 12,0 kN/m 
laje (L1 = L2) 7,8 kN/m 
p = 193 kN/m - 20 kN/m 
b. Reaçóes 
As reações estão indicadas na Fig. 8.1.3-1 e foram calculadas admitindo-se uma 
viga contínua (os momentos nos apoios internos foram calculados de forma aproxi- 
mada pelo valor - pt2/10). 
Não convém, em situaçóes dessa natureza, o uso indiscnminado da permissão 
dada pela NB-I em seu 5 3.2.2.3 B (d). 
c. Rigidez (de acordo com a Tabela 27) 
- 
0,i k d 1 MPa = i MN/mS = 10 kgficrnP 
I00 k d =- 0,l lf 1 kN/m = 100 kgfim = 0,l tfim 
i00 kgtm = 0.1 tf m I kNim2 = 1001<gWmP = 0.1 tWmz 
100 kgtcm = 0.1 tf.cm 1 kNim3 = 100 kgf/mg = 0,l tfima 
1 MPa = 0.1 kN/cmP = 100 N/cmz 
d. ?víomento de engastamento perfeito 
V I G A S o=@ ( 2 0 / 5 0 + 12) 
Fig. 8.1.3-2 Cálculo das vigas V2 e V3 
a. Cargas 
peso próprio = 0,20 m x 0,60 m x 25 kN/m3 = 3,O kN/m 
laje (L1 - L2) L1 = 7 , s kN/m 
laje (L3 - L4) L3 = 7,s kN/m 
p = 18,6 kN/m - 19 kN/m 
b. Reações 
Valores indicados na Fig. 8.1.3-2. 
c . Rigidez 
I N =O, lkg i I MPa = I MNlrn2= IOkgflcm' 
I kN = I W k g i = 0.1 tf I kNlm = IW kgflm = O, I tfim 
I kN.m = 1W k d m = 0.1 t fm I kN1m' = IW kgfimP = 0.1 lflm' 
I kN.cm= 1Wkgj.cm =U,I tf.cm 1 kNlmZ= 1Wkgflm8=U,1 tfirn3 
PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMF'LOS DE DIMENSIONAMENTO 
d. Momento de engastamento perfeito 
pe2 - 19 kN/m . (6mY = 57 kN,m Me, = 12 - 
12 
111. Viga V4 
Fig. 8.1.3-3 Cálculo da viga V4 
a. Cargas I 
peso próprio + alvenaria = 10 kN/m 
laje (Ll) = 5,s kN/m 
p = 15,s kN/m - 16 kN/m 
b . Reações 
O equilíbrio de rigidez dentre os pilares P1 e P4 permite que neste caso sejaválida 
uma simplificação como a do item 3.2.2.3 B (d) da NB-1. 
Os valores das reaçóes estão indicados na Fig. 8.1.3-3. h 
c. Rigidez 
b,/b, = 12/36 = 0,33 
I) = 0,51 (Tabela 27) 
hJh = 12/52 = 0,23 
I MPa = 0,l kN/cm2 = I00 N/cmP 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS 
r,,, = - I =i 21 = 0,55 dm3 
t 40 
d. Momento de engastamenro perfeito 
I V . Viga V5 
I Fig. 8.1.3-4 Cálculo da viga VS. 
1 a. Cargas 
peso próprio = 2,O kN/m 
laje L1 = 5,s kN/m 
laie L2 = 5.8 kNim 
b. Reações 
Reações calculadas de forma simplificada. Valores indicados na Fig. 8.1 5 4 . 
8.1.4 CARREGAMENTO a. Cargas devidas a 1 andar 
DOS PILARES 
Total = 82 k N Total = I l l k N Total = 181 kN 
I I I I 
'Peso próprio já incluído na consideração das alvenarias. 
"Valor estimado para o peso próprio. 
1 N =O,lkgf 1 MPa = I MNlms = I0 kgf/cm2 
1 kN = IW kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgfim = 0.1 tflm 
1 kN.m = IW kgf.m = 0,l tfm I kN/m2 = 1W k8f/mP = 0.1 rf/m2 
1 kN.cm= 100 kgf:cm = 0,l tfcm I kNIm3 = IW kgflms = 0.1 tfim" 
b. Carga de 10 andares (Valores característicos) 
P1 = 820 kN 
P4 = 1110 kN 
P5 = 1810 kN 
P7 = 1110 kN 
P8 = 1810 kN 
8.2 PILARES 
INTERNOS 
.2.1 PILAR CURTO ( h s 40) a. Problema proposto 
Considere-se o dimensionamento do pilar PS, admitindo que o comprimento de 
flambagem seja l', = 3,50 m. 
De acordo com os dados básicos, têm-se 
Admita-se o emprego dos seguintes materiais: 
Aço: CA-SOB y, = 1,15 
Na compressão simples = 2%0): fsd = 356 MPa (Tabela 20) 
Concreto: fCk = 15 MPa YC = 1,4 
15 Na compressão simples: 0,85 f,, = 0 , 8 5 = 9,l MPa 
1,4 
b. Pré-dimensionamento ' 
Admitindo-se a taxa geométrica de armadura 
p, = 1% 
a tensão ideal a,, vale (Tabela 23) 
,I I 
aia = 035 f,d + p, (fad - 0,85 f,n) = 12,5 MPa = 1,25 kN/cmZ 
resultando a estimativa 
ou seja, será adotada a seção 
A, = 35 cm x 60 cm = 2100 cm2 
1 N = O , l k g f I MPa = 1 MNlmZ = 10kgficmZ 
I k N = 1W kgf = 0.1 tf I kNim I W kgfim = O,] tfim 
1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 tf.m 1 kN/rnP = 100 kgfim* = 0.1 tfimP 
I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNim3 = I W k g f i m b 0.1 tfima 
I MPa = 0.1 kN/cmZ = 100 Nlcm' 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS 
c. Dimensionamento 
Adotando-se a seção definitiva 
têm-st 
De acordo com a NB-1 , para A < 40, a excentricidade acidental mínima pode ser 
substituída por uma majoração da força normal, devendo tomar-se 
com 
É óbvio que esta majoração será feita em função da menor dimensão da seção 
transversal, a qual já foi considerada na determinação de A,,,. 
Neste caso, as duas situações de cálculo de flexáo composta, teoricamente 
definidas pela NB-I, Fig. 7.4.1-1, ficam reduzidas a uma única situação de cálculo de 
compressão centrada. 
Desse modo, resulta 
obtendo-se a tensão ideal média 
Nld = 
. = - 
2965 kN 
l d 
kN 
= 1,41 - = 14,l MPa 
A, 2100 cmZ cmZ 
De acordo com a Tabela 23, para o Aço CA-50B e f,, = 15 MPa, a tensão 
ufd = 14,l MPa corresponde a taxa de armadura 
logo 
não havendo restrições quanto ao arranjo da armadura longitudinal além das prescn- 
ções constmtivas da NB-I. 
0 , l kgf 1 MPa = I MNlms = 10 kgflcm' 
: IW kgf = 0.1 tf 1 kNlm = IW kgfim = 0.1 tfim 
100 kgf.m = 0.1 t f m I kNlma = 1W kgf/mP = 0.1 f ims 
; IW kgf.cm = 0.1 tf.cm I k N i d = I W k g f i d = 0.1 ifim3MEDIANA 
PILARES USUAIS DE EDIF'~cIoS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 281 
8.2.2 PILAR a. Problema proposto 
MENTE ESBELTO Considere-se novamente o mesmo pilar P5, admitindo agora o novo compnmento 
(40 i A s 80) de flambagem 
e, = 5,60 m (e,, = te, por hipótese) 
e a mesma seção transversal do caso anterior, ou seja, 
Neste caso têm-se, novamente, Fig. 8.2.2-1: 1 1 
Fig. 8.2.2-1 Arranjo da armadura 
I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 N/cmz + 
sendo mantidos os mesmos materiais: Aço CA-SOB, f,, = 15 MPa 
b. Pimensionamento 
O pilar poderá ser novamente dimensionado apenas em função da esbeltez 
máxima. De acordo com a NB-I , o pilar poderá ser admitido numa situação de cálculo 
de compressão uniforme, majorando-se a força normal proporcionalmente a 
onde 
K = 3 (decisxo de projeto, válida para seçóes retangulares 
1 
com A,, 3 - A,, Tabela 16) 
3 
e, = e,, + e,, 
e,, = 2 cm faz = 2 cm > - 30 (Ver comentário feito em 7.1.4) 
tZ,, . 0,0035 + 0,0027 
eZs = - 
10 (v, + 0,s) h 
Empregando-se a Tabela 16, com f,, = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2, tem-se 
2 cm ?!E = = 0,057 
h, 35 cm 
logo 
e sendo 
I N = O , l k g f 1 MPa = I MNlm* = I0 kgficmz 
I k N = IW kgf = 0.1 tf i kNim = IW kgfim = 0.1 f i m 
I kN.m = 100 kgf.rn = 0.1 tf.m I kNimS= I W kgfimP = 0.1 @/me 
I k N c m = 1W kgfcm = 0.1 t fcm I kNima = IW kgfim3 = 0.1 tfirn3 
1 MPa = 0.1 kNicm2 = 100 Nicm' 
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 
resulta (Tabela 16) 
a2 = 0,26 
obtendo-se 
a = a , + a 2 = 1 , 1 7 + 0 , 2 6 = 1,43 
ou seja 
Nld = a Nd = l,43 X 2534 = 3624 kN 
Com a seção adotada, obtém-se 
Nld = Uid = - 3624kN kN - 1,73 - = 17,3 MPa 
A, 2100 cmZ cm2 
e da Tabela 23 resulta (CA-SOB, f,, = 15 MPa) 
p, = 2,4% 
logo 
2100 A, = 2,4 -- = 50,4 cm2 = 16 4 20 (50,4 cm2), devendo ser respeitada a con- 
1 O0 
1 dição A,, > - A,, Fig. 8.2.2-1. 
3 
8.2.3 PILAR ESBELTO SEM a . Problema urouosto 
. . 
CONSIDERAÇAO DA Considere-se mais uma vez o pilar P5, admitindo os valores: 
- 
.+Ac.= 20 cm x 150 cm = 3000 cmz 
e, = 560 I& (e,, = e,,) 
h i 7 * p a = 1,07 kNIcmZ L . ! 1 Í 
11 i 
Na direção de menor rigidez, têm-se 1 i 
I N =0 ,1kg f 1 MPa = I MNlrna = 10 kgflcrn* 
I k N = I W k g f = O , l t f 1 kN/m = 100 kgflm = 0.1 tfim 
I k N m = 100 kgfm = 0.1 t f m 1 kN/rn2= I00 kgf/rn3= 0.1 tf/m2 
I kN.cm = IlM kgfcm = 0.1 t f c m I kN/m3 = I W kgf/rn3 = 0.1 tf/mJ 
1 MPa = O,] kN/cmz = 100 N/cmz 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
e na direção de maior rigidez 
A Fig. 8.2.3-1 mostra as situações de cálculo especificadas pela NB-1, 
ignorando-se ainda as possíveis simplificações permitidas. 
Fig. 8.2.3-1 Situaçóes de cálculo 
SITUAÇÃO SUPOSTA 
N O PROJETO 
Y 
e. = 
I 
b. Situação de cálculo (Dimensionamento rigoroso pelas tabelas do Manual de 
Flambagem do CEB) 
Neste caso, o único momento de I .a ordem decorre da excentricidade acidental 
e,,, sendo 
hz - 20 e,, = 2 cm (e,, = 2 cm > - - - = 0,67 cm) 
30 30 
logo 
S I T U A Ç ~ E S DE CÁLCULO CONFORME A N B - I . 
Parao emprego das tabelas daFig. 5.3.5-3 do Cap. 5,'6~"calculam-seos valores: 
( 1" 1' i d * x 
e a x 
i,' 97 
1 N = O , l k & f I MPa = I MNim2 = I0 kgficm* 
I k N = I W k g f = O . l t f I kNim = I00 kgflm = 0,I tfim 
1 kN.m = I W k g f m = 0.1 1f.m 1 kNimZ= IWkgf im2=0 ,1 tiim' 
1 kN.cm = I W kgf.cm = 0,I ü c m I kN/ma = I00 kgfima = 0.1 tfim3 
I MPa = 0.1 kNicm2 = 100 NicmP 
( 2O 1 
~ d b a y ~ x 
X y = 13 
" 
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 
De acordo com a tabela citada, têm-se: 
para 
para 
Interpolando linearmente para <,/h = 28, resulta 
Observe-se que, de acordo com a definição adotada,'" l7 a taxa o. não fornece a 
armadura total, mas sim a armadura de cada uma das faces. 
5 fUd 
Sendo então wn = 2 
0,85 fc, A, 
0,85 x 10,7 MPa x 3000 cm2 = 25,7 cmZ tem.se 5 = 0,41 
2 435 MPa 
logo A, = 2 x 8 6 20 (2 x 25,2 cm2), conforme indicação da Fig. 8.2.3-2 
/ y h , = 20cm 
Fig. 8.2.3-2 Atnanjo da armadura. 
I N = 0 , 1 k g f I MPa = I MN/rn2 = 10kgf/cm2 
I k N = 100 kgf = 0.1 tf r kN/rn = 100 kgfim = 0.1 tf/m 
1 kN.m = I W kgf.m = 0.1 t f m I kN/m2 = 100 k8firn2 = 0.1 WmP 
1 k N . c m = 100 kgf.cm = 0.1 d c m I kN/m3 = 100 kgf/mS = 0.1 tf/rn3 
I MPa = 0.1 kN/crn2 = 100 N/cmZ 
c. 2 . O Situaçáo de cálculo (Dimensionamento simplificado) 
A 2.a situação de cálculo especificadapela NB-1 corresponde aflexáo no plano de 
maior rigidez da seção transversal do pilar, Fig. 8.2.3-1. 
Neste caso, sendo A, < 40, adinite-se o cálculo simplificado, resultando: 
Nld = 2787 kN 
U i d = - 
kN 
= 0,93 - = 9,3 MPa 
A, 3000 cm2 cmP 
1 De acordo com a Tabela 23, para CA-SOB, fek = 15 MPa e u,, = 9,3 MPa, resulta 
I um valor 
Ps, nec < Ps, dismnível = Ps, I.* sit. de esleuio 
I 
8.2.4 PILAR ESBELTO. a. Problema proposro 
SOLUÇAO ALTERNATIVA Considere-se novamente o pilar, P5, nas mesmas condiçoes do item anterior. 
POR MEIO DE O objetivo deste exemplo é mostrar o emprego de diagramas de interação de 
DIAGRAMAS DE flexão composta de barras esbeltas, como os que foram mostrados no Cap. 5 , Fig. 
INTERAÇÃO 5.3.5-5. 
Basicamente, esses diagramas de interação fornecem os mesmos dados que as 
I< tabelas apresentadas pelo Manual de Flambagem do CEB.17 
Tendo em vista o objetivo deste exemplo, será considerado apenas o dimensio- 
namento referente a I .a situação de cálculo do item anterior ( 5 8.2.4-b), Fig. 8.2.3-1. 
b. I . a Situação de cálculo (Solução alternativa - dimensionamento rigoroso por 
meio dos diagramas de interação da Fig. 5.3.5-5)* 
Dados do projeto: 
N, = 2534 k~ N < r IJ 
e,, = e,, = 2 cm 
A, = 20 cm x 150 cm = 3000 cm2 
h, = 20 cm 
*ReferSncia (18) 
I; @, 
&J 
I N = O , l k g f 1 MPa = I MNlms = 10 kgf/cmZ 
I k N = 100 kgf = 0.1 rf I kN1m = IW kdim = 0.1 tflm 
1 k N m = 1W kgf.m = 0.1 t f m I kN/ma = 1W kgf/m2 = 0.1 tflm' 
I kN.cm = IW kgfcm = 0.1 t fcm I kNim3 = l m kgfim3 = 0.1 tf/m3 i 
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 
kN 
fcd = 10,7 MPa = 1 ,O7 - 
cm2 
kN f,, = 435 MPa = 43,5 - 
cm2 
Com esses dados, obtêm-se os valores: 
Dos diagramas deinteração da Fig. 5.3.5-5, com vd = 0,79e pId = 0,08, obtêm-se: 
para 5 = 25 : w = 0,65 r / 
h 
para 5 h = 30 : o = 0,85 
Interpelando para 5 = 28, obtém-se 
h 
e sendo 
resulta 
I N = O , l k g f 1 MPa = I MNlmZ = 10kgf/crn2 ' 
I k N = 100 kgf = 0.1 tf 1 kN/m = I W kgflm = 0.1 tflm 
I kN.m = 100 k g f m = 0.1 tf.m I kN/m2 = I W kgflmz= 0.1 tflm' 
I kN.cm = I W k g f c m = 0.1 tf.cm 1 kN/mS = 100 kgfimg = 0.1 tf/mJ 
I MPa = 0.1 kN/cmP = 100 N/cms 
zss ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
ou seja 
resultado praticamente igual ao anteriormente obtido. 
8.2.5 PILAR ESBELTO. a. Problema proposto 
SOLUÇÁO ALTERNATIVA Repetir o dimensionamento feito no item anterior, mas empregando-se direta- 
POR MEIO DE mente os diagramas (moment~ fletor-força normal-curvatura). 
DIAGRAMAS (M, N, Ilr) 1 A Fig. 8.2.5-1 mostra os diagramas (M, N, -) correspondentes a d'/h = 0,05 e 
r 
d'lh = 0,15, respectivamente, ambos válidos para u = 0,80 
ACO CA 5 0 - A 
8 =orctg 0,066 e l = a r c t g 0,074 
Fig. 8.2.5-1 Solu~ão por meio de diagramas (M - N - llr). 
b. Dimensionamento 
N 
U A = d = 0,79 - 0,8 
.- - 
\ 
\ 
\ 
\ I 
PILARES USUAIS DE EDIF~cIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO \- 291 1 
sendo 
tem-se 
ou seja 
Considerando que os diagramas daFig. 8.2.5-1 têm por abscissaavanável 103d/r, 
pode-se escrever 
Desse modo, o coeficiente angular da reta que determina o momento de 2.= ordem 
p2 é dado por 
No caso presente, têm-se: 
d para- - = 0,95 : tg 8 
H 
d para - = 0,85 : tgo 
h 
Conforme se vê na Fig. 8.2.5-1 têm-se: 
d para - = 0,95 : OJ = 0,65 
h 
d para - = 0,85 : = o,90 
h 1 
I 
d resultando por interpolaçáo, para - = 0,90, 
h I 
aticamente o mesmo valor obtido no item anterior, ao qual corresponde 
= 2 x 9 C$ 20 (2 x 28,35 cm2) 
290 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
8.2.6 PILAR ESBELTO. a. Problema proposto 
CONSIDERAÇAO DA Considere-se novamente o dimensionamento do pilar P5, levando em conta o 
FLUÊNCIA efeitoda fluência. Para isso, serão admitidos os seguintes valores: 
'\ \ i, \ 
a e n a duração N ~ , + . b k ~ = o , s r N. 
-'.~- '%, 
! Fg = y, (No, + +, Nck) com y, = 1,10 ,'' 
,..~~ . . ~ 
função de fluência +(L, to) = 2 
\ 
'8 
A, = h,h, = 20 cm x 150 cm = 3000 cm2 l 
b. Cálculo da excentricidade suplementar e, --\ .- i ; 
- carga que produz fluência F- (Ngk + I)~N~,) = y,.0,95,Nk 
/-v-----------. '\-.' 
F, = 1,10 x 0,95 x 1810 = 1890 k N 
~ ~.~ ~. 
- excentricidade de I .a ordem da carga F, ~. 
e, = e, + e. 
sendo 
;ei = 0 (situaç,áo..de.projeto de compressão centrada) i-.--.- .. . - . .~ ~ -. ~ . ~. 
. ~~ 
- módulo de deformação longitudinal do concreto 
E, = 0,9 x 6600 d f c k + 3,5 (em MPaj 
f,, = 15 MPa 
kN E, = 0,9 x 6600 d m = 25550 MPa = 2555 - 
cmZ 
- momento de inércia ideal 
Admitindo-se a seção retangular da Fig. 8.2.3-2 como fruto de um pré- 
dimensionamento aproximado, têm-se 
A, = 2 x 8 4 20 = 50,4 cm2 
E, = 210000 MPa 
I N =O, Ikg f I MPa = I MNlm2 = lOkgfIcm2 
I k N = I W k g f = O , I t f I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm 
1 kN.m = 1W k g t m = 0.1 1f.m I k N / m z = IW kgflm2 = 0.1 tf/mS 
1 kN.cm= IW kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNImz= IWkgf /mS= 0,I tf/ma 
I MPa = 0.1 kN1cm2 = IW N/cm2 
PILARES USUAIS DE EDIFICIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 
- carga de flambagem de Euler 
sendo e, = 5,60 m 
- excentricidade suplementar 
L . . 
~. 
c S*.> " 
. 
2,??&890 ) V 
e, = 2 { exp ( !- I )} = 2,e-0,5z = 1,19 cm L' 9800 - 1890 , 
< 
c. Situaçóes de cálculo 
A Fig. 8.2.6-1 mostra as situaçóes de cálculo, considerando-se o efeito dafluên- 
cia. 
SITUAÇAO SUPOSTA S I T U A ~ Õ E S DE CÁLCULO CONFORME A N B - I 
NO PROJETO ( 1 " ) ( 2 % ) 
- 
e i = O x 
e,, e c x 
_I + h , = 2 0 e X = 13 Y 
Fig. 8.2.6-1 Situaçóes de cálculo. 
Observe-se aue na Fie. 8.2.6-1 
- 
Isto decorre do fato de que o pilar ; d á calculado pelo processo h E l a ~ p a d r a i $ 
mas sim por um processo rigoroso, no qual são explicitadas apenas as excentricidades 
de I .a ordem 
I N =O. lkg f I MPa = I MNlrn2 = 10 k&icrns 
I k N = l m k g f = o , l r f I kNim = I W kgfirn = 0.1 tflm 
1 kN.m = IW kgf.rn = 0.1 1f.m 1 kNimZ= 1W kgfim* = 0.1 tfim2 
I kN.crn = 1 U kgf.cm = 0.1 tf.cm I k N i r n L I W kgfim3 = 0.1 @/ma 
1 MPa = 0.1 kNicrn2 = 100 Nlcm* 
e 
292 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS .C 
d. Dimensionamento em função da situação de cálculo 
Neste caso, empregando novamente os diagramas de interação da Fig. 5.3.5-5, 
têm-se 
Nd = yf Nk = 1,4 x 1810 = 2534 kN 
e,, = e,, + e, = 2 + 1,19 =3 ,19cm 
A, = 20 em x 150 cm = 3000 cm2 
h, = 20 cm 
logo, sendo 
obtém-se: 
I para 6 = 25 : = 0,80 h 
resultando para <,/h = 28 
3 
w = 0,80 + - x 0,20 = 
5 
ou seja 
podendo fazer-se A, = 2 x 11 4 20 (2 x 34,65 cm3 
8.2.7 PILAR CINTADO a. Problema proposto 
Considere-se o dimensionamento do pilar P8, admitindo uma seção transversal 
1 N =O,lkgf 1 MPa = I MN/mP = IOksficm' 
I k N = l W k g f = O , I I f 1 kN/m = 1W kgflm = 0.1 tfim 
I kN.m = 1W kgf.m = 0,I t t m 1 kN/mz = 100 kgf/m2 = 0.1 Um' 
1 kN.cm= 1W kgi.cm = 0,1 tf.cm 1 kNlmS= lWIrBflmS=O,I Iflm" 
circular com diâmet k'-\ d = 45 cm e a 1 otando um comprimento de flambagem e, = 3,50 
m. 
s são os seguintes: 
Nk = 1810 kN 
Nd = ,Nk = ,4 x 1810 = 2534 kN 
Aço: uYY C - = l , l 5 fvk = 500 MP 
Concreto: fck = I5 MPa y, = 1,4 fcd 
b. Tentativa de dimensionamento como pilar náo-cintado 
De acordo com a NB-1, em lugar da excentricidade acidental 
pode-se admitir compressão centrada com 
Sendo (Tabela 13) 
Nld = aNd = 1,15 x 2534 
resultando 
Nld _ 2914 u i d = - -- kN = 2,32 - = 23,2 MPa 
A, 1256 crn2 
A esta tensão ideal corresponderia a taxa geométrica de armadura dada por 
1 MPa = 0.1 kN/cmz = IW N/cmP 
.A 
6 '> 
294 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
que no caso vale 
resultando a armadura longitudinal 
Admitindo-se que houvesse emendas por traspasse, estariaultrapassado o limite 
de 6% imposto pela NB-1 para a máxima armadura longitudinal de pilares não- 
cintados. 
~. . 
C . Condiçóes de dimensionamento como pilar cintado 
Admita-se a colocação da máxima armadura longitudinal 
7.3. --~ 
- 
considerada, impondo a bitola +&ara as barras da armadura longitudinal e respep- 
ando as prescrições construtivas da NB-1 e da NB-503, conforme o que foi 
n b - 
----- ~ ~ ~ - - ~ 
Prescriçóes da NB-503 
- Admitindo-se um edifício com potencial calorífico equivalente em madeira não 
superior a 60 kg/m2, deve ser considerado um incêndio F 120 para o dimensiona- 
mento dos pilares, uma vez que o prédio tem 10 andares conforme os dados básicos 
de projeto. 
- Cobrimento c, da armadura longitudinal, admitindo-se um revestimento de arga- 
massa de cal e areia com 1,5 cm de espessura: 
Prescriçóes da NB-1 - 
de edifícios: c = 2,0 cm 
por traspasse. 2 +, 
d. Determinaçüo da armadura longitudinal 
O 
Desse modo, conforme indicado na Fig. 8.2.7-1, tem-se o número máximo de 
EMENDAS P O R TRASPASSE 
d i ' 38,5cm 
d = 4 5 c m 
di 38,5 cm 
Fig. 8.2.7-1 Y L L I . . . ~ ~ ~ ~ ~ , ~ o do máximo 
número de banas longitudinais~ 
PILARES USUAIS DE EDK~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 295 
barras 
Armadura longitudinal adotada é então 
A,, = 18 4 16 = 36,O cm2 
A área do núcleo cintado vale 
resultando a taxa 
J w " 
que é aceitável, pois conduz, nas emendas, a um valor inferior a 8%, que é a taxa 
máxima permitida para pilares cintados. - 
e. Dererminação rln armadura de cinramento 
Sendo 
resulta / 
sendo possível empregar-se o pilar cintado (NB-I : h,,, = 40) 
Existindo uma situação de projeto de compressão centrada, com 
pode-se admitir a situação de cálculo de compressão centrada, pois 
h 
A força normal majorada vale então 
resultando 
NIa = 1,16 X 2534 kN = 2940 kN 
a expressão simplificada (7.2.3-1 I ) , tem-se 
1164cmZ - - 1 2 i 50 (r:Zrl 
AI = 9,85 cm2 
Por outro lado, de acordo com a definição dada por (7.2.3-3), tem-se 
nd . Atl a 
onde AI, é a área da seção transversal da barra de cintamento e sl é o espaçamen- 
to das espiras, logo 
Adotando-se sl = 5 cm, resulta 
AI, = 9,85 = 0,4l cmZ 
n x 38,5 
donde i/- 
+, = 8 mm \ (A,t = + 8 cada 5 cm) ) 
f. Verificaçãofinal 
De acordo com a NB-I, deve ser 
Calculando-se a carga limite do pilar não-cintado, tem-se 
ou seja I 
I 
1 kN kN N,,, IE<r-C,LodO - - (0,85 x 1,07 - x 1256 cmZ + 35,6 - x 36 cm2 = 2090 kN 
1,16 cm" cm2 I 2i-i I 
1 N = 0.1 kBf I MPa = I MNlmz = 10kBflcmP 
I k N = 1 0 0 k g f = 0 , l t f I kNlm = IW k8fIrn = 0,l tflm 
1 kN.m = 1W kgf.m = 0,1 1f.m 1 kNlrn2= 100 kgflm' = O,l tflm' 
1 kN.cm= I00 W . c m = 0,I tf.cm 1 k N l m k lfWkBflms = 0.1 tflma 
PILARES USUAIS DE E D ~ C I O S . EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 
estando portanto satisfeita a condição 
Na, ~intaa~ = 2543 kN < 1,7 x Na, .so.~intaao = 3552 kN J 
8.3 PILARES DE 
EXTREMIDADE 
8.3.1 PILAR CURTO a. Problema proposto 
Considere-se odimensionamento do pilar P4, mostrado em planta na Fig. 8.1.2-1. 
Esse pilar está submetido à flexão composta em virtude do seu monolitismo com as 
vigas V2 dos diferentes pisos. Como o plano de flexão contém um eixo de simetna da 
seção transversal do pilar,a flexão composta será normal. 
b. Dados de projeto 
De acordo com o que foi estabelecido em 5 8.1.4 deste capítulo, têm-se: 
Admitam-se ainda os seguintes elementos: 
C = C, = 2,80 m 
f,, = 15 MPa 
15 fcd = fCK = - = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 
Y c 134 
Aço CA-50B 
fuk = joO MPa = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ f@ = - 
Y* 1,15 
c. Pré-dimensionamento 
Para pré-dimensionamento dos pilares de extremidade dos edifícios usuais, em 
geral pode ser admitido um valor 
No caso presente, admitindo-se um valor médio e,/h = 0,07, com h = 25cm, 
resultam as excentricidades 
logo 
1 N = O , I k d I MPa = I MN/m2 = I0 kgf/crnP 
1 k N = I W k g f = O , l d 1 kNlm = 100 W / m = 0.1 tflm 
1 kN.m = 100 kBf.m = 0,l t f m I k N / m z = 100 kgflm' = 0, l tflm' 
1 kN.cm = 100 k d c m = 0.1 tf.cm 1 kNlmS = 100 kdim' = 0.1 üimS 
1 MPa = 0, l kNlcmx = 100 N/crnZ 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
donde 
De acordo com o § 7.6.5, pode-se fazer, neste caso, 
~ d , ~ ~ = v d + 3 p d = v d ( 1 + 3 ~ 0,15) = 1,45 vd 
logo 
De acordo com a Tabela 23, para p, = 1%, tem-se 
aid = 12,s MPa = 1,25 kN/cmZ 
logo 
donde 
A, = 25 cm x 70 cm = 1750 cm2 
d. Situações de projeto. Esforços solicitantes iniciais Fig. 8.3.1-1 
Sendo 
e, - 280 h = - - - = 38,8 < 40 (Pilar curto) 
i 7.22 
Calculando o índice de rigidez do pilar, têm-se: 
1 N =O, Ikg f 1 MPa = I MNlmz= 10k8ficm2 
1 k N = 100 kgf = 0.1 tf I kNim = I W kgflm = 0.1 tíim 
L kN.m = 100 kgf.m = 0.1 1f.m I kNlmP = 100 kgfim' = 0.1 tíim* 
I kN.cm = I W kg t cm = 0.1 f f c m I k N / m L ILW 1<8f/m3 = 0.1 tí/mJ 
P 4 
( k N . m i k N m ) 
X 
MOMENTOS F L E T O R E S ( Mik) 
25cm/l'__i 
( A - A ) 
Fig. 8.3.1-1 Determinação dos momentos fletores iniciais. 
Admitindo-se r,, = r,,, Fig. 8.3.1-1, a presença da viga V2 de um único andar 
acarreta os seguintes momentos fletores: 
donde 
Desse modo, considerando a propagação dos momentos através das expressóes 
(7.3.5-6) e (7.3.5-7), obtêm-se os valores 
donde 
MI,, 6 = Moose, 6 = yf Mk = l ,4 x 15,5 = 21,7 kN.m 
I N =O,Ikgf 1 MPa = I MNlm* = I0 kgficmz 
1 k N = I W k g f = O , I t f I kNlm = 100 kgflm = 0 , l dlm 
1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 t fm 1 kN/rn2 = 100 kgf/mz = 0.1 d/m2 
I k N c m = 1W kgfcm = O,l tf.cm I kN/m3 = 1W kgfim' = 0.1 Wm' 
I MPa = 0.1 kN/cm2 = IW Nlcm* 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS 
Os esforços soliciiantes iniciais têm portanto os valores indicados na Fig. 8.3.1-2. 
Observe-se que é desprezada a variação de força normal ao longo de um tramo de 
pilar, adoiando-se o valor constante 
Em arnbas as extremidades, os módulos das excentricidades máximas da força 
axial são iguais a 
FORÇAS NORMAIS MOMENTOS FLETORES ( M , ~ ) 
( N d ) M , A = 21,7 
e , ~ = 1, 4 c m 
( k N ) ( k N m ) 
ele= 1 , 4 c m 
Nd - 1 554 
Fig. 8.3.1-2 Situaçóes de projeto. Esforços solicitantes iniciais 
e. Excentricidades acidentais 
De acordo com a NB-1, deve-se fazer: 
e,, = 2 cm 
70 
e,, = !!?i = .- = 2,3 cm 
30 30 
A essas excentricidades acidentais correspondem os momentos fletores aciden- 
tais: 
f. Efeitos de 2 . O ordem 
No caso presente, por se tratar de um pilar existem momentos 
fletores de 2.= ordem a serem considerados no Por essa razão, os 
L N = O , l k g f I MPa = 1 MNlm2 = 10 kgf/crns 
I k N = I W k g f = O , l t f 1 kNim = 100 kgfim = 0,I tfim 
1 kN.m = I W kBfm = 0.1 i f m I kN/ms = 1W kgfim2 = 0.1 tiim' 
I kN.cm = 1M kgf.cm = 0, l t f c m I k N / m ' = I W kgf/m8 = 0.1 tflm' 
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 301 
momentos fletores totais são obtidos pelasimples superposiçãodos momentos iniciais 
com os momentos acidentais. 
g. Momentosfletores totais e situaçóes de cálculo 
A Fig. 8.3.1-3 mostra os diagramas de momentos fletores totais ao longo do 
comprimento do pilar. Estes momentos são de 1 .a ordem, porque o pilar é suficiente- 
mente curto para que sejam desprezados os efeitos de 2.a ordem. 
Tendo em vista o andamento dos diagramas de momentos fletores, a armadura 
será constante ao longo do comprimento do pilar e com arranjo simétrico dentro da 
seção transversal. 
Na Fig. 8.3.1-4 estão mostradas as situações de cálculo a serem consideradas no 
dimensionamento do pilar. 
E N V O L T ~ R I A D O S E N V O L T Ó R I A D O S 
VALORES DE M y d V A L O R E S D E M X d 
Fig. 8.3.1-3 Diagramas de momentos fletores totais (pilar curto). 
h. I . a Situação de cálculo (Dimensionamento rigoroso) 
Nd = 1554 kN A, = 25 cm x 70 cm = 1750 cm2 
MSd = 52,s kN.m f,, = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 
fUd = 435 MPa 
1 N = 0,l kBf 1 MPa = I MNlm* = I0 kgficm' 
I k N = 100 kgí = 0.1 tf 1 kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm 
I kN.m = 100 kgí.m = 0,l tf.m 1 k N / m X = lWkgf/ma =O,I tf/ms 
1 kN.cm = 100 kgtcm = 0.1 tf.cm 1 kN/mz = 100 kBf/ma = 0,l n/ma 
I MPa = 0.1 kNlcm' =/ 100 N/cmz 
w e = 1 , 4 crn 
y S I T U A Ç Ã ~ EQUIVALENTE ( N B - i ) 
s i ~ u n ç i o SIMPLIFICADA 4 / ( PARA e i x < e 0 Y ) 
e = e +0,4 ela' = 2,3 cm 
X I X 
e. = i ,4 cm e,, = 1 , 4 cm 
I X 
.- 
e, = 3,4 cm 
Fig. 8.3.1-4 Condl~óer de dirnen~ionarnentu 
Empregando-se os diagramas de interação (Ref. 7), resulta 
w = 0,31 (para d,' = 0,15 h) 
donde 
I N =0,1kgf I MPa = I MNlm2 = 10kgficmP 
I k N = I W kgf = 0.1 tf I kN!m = 100 kgfim = O,! tfim 
1 kN.m = 100 k8fm = 0,1 t f m I k N / m L I W kgfimP = 0.1 tfim* 
1 k N c m = 100 kgf.cm = 0,l tfcm I kN!m3= I W kgf i inL 0.1 tfimg 
PILARES USUAIS DE EDIF~cIOS. EXEWlPLOS DE DIMENSIONAMENTO 303 
A,= 12 fl 12,5 logo, Fig. 8.3.1-5, 
A,, , = 12 4 12,s (A,, , = 15,O cm2) 
1 2 5 i 
Fig. 8.3.1-5 Dimensionamento rigoroso. 
Fig. 8.3.1-6 Dimensianamenia expedito. 
i. I .a Situação de calculo (Dimensionamento expedito) 
Tendo em vista o que já foi dito sobre o andamento dos diagramas de interação, 
pode-se, em casos desta natureza, proceder da seguinte forma: 
I ! 
I 
v, ,,,,,,, = ~ ~ , ~ ~ + 3 p ~ ~ , d =0,83 + 3 X 0 , l l = 1,16 
Desse modo, sendo 
tem-se I 
uid = - N1d = vd, fed = 1 ,I6 x 10,7 MPa = 12,41 MPa 
A, 
Para f,, = 15 MPa e Aço CA-50B, pela Tabela 23 obtém-se 
p, - 1 ,O% 
logo 
A A , = 1 , 0 2 = 1750 cmz = 17,s cmz 
1 O0 1 O0 
resultando, Fig. 8.3.1-6, I 
A,, e = 14 4 12,5 (A,, ,, = 17,5 cm2) I 
j . 2 .a Situaçáo de calculo (Dimensionamento simplificado) 
De acordo com a NB-I , em lugar da situação teórica de flexão oblíqua é possível 
, 
considerar-se uma situação de flexão normal com a excentricidade 
I 
No entanto, é plenamente satisfatóna a verificação com I 
e, = e,, = 2,3 cm 
1 N = 0,l kgf I MPa = I MNlm2 = I0 kgficm' 
f k N = 100 kgf = 0,l t f 1 k N l m = 100 kgfim = 0.1 t f im 
I k N . m = 100 kgf .m = 0.1 t f m 1 k N i m Z = IW kgfirns = 0.1 dlm' 
1 k N c m = 100 kgf.cm = 0,l t f .crn 1 kN/rn3 = IW kgfirns = 0.1 tfirn' 
I MPa = 0.1 kNicrnZ = 100 Nicrn' 
304 ESTRUTüRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
conforme foi discutido em § 7.5.3 
Fazendo-se o cálculo simplificado, neste caso, resulta: 
N, = 1554 kN 
e, = e,, = 2,3 cm 
Como a armadura está disposta ao longo das bordas de maior comprimento, Fig. 
8$.1-5, têm-se 
ri, = - a Nd - - 1759 kN = 1,Ol kN/cm2 = 10,l MPa 
A, 1750 cm2 
Pela Tabela 23, para fck = 15 MPa, tem-se 
p. ' 0,5% < P , ,! c.,, 
Note-se que, se fosse feito e, = e,,+ 0,4 ei,, conforme exige a NB-1, o resultado 
obtido seria exatamente o mesmo. 
8.3.2 PILAR a. Problema proposto 
MEDIANAMENTE Considere-se o mesmo pilar P4 no item 8.3.1, admitindo porém que seu compn- 
ESBELTO. 1 .O EXEMPLO mente seja de 4,60 m. 
b. Dados de projeto 
Conforme o que foi determinado na Seção 8.1, bem como no item 8.3.1, têm-se: 
Nk = 1110 kN 
N, = yfNh = l r4 x 1140 = 1554 kN 
Me,,, =57 kN.m (V2) 
Me,,, = yfMeng,k = 1,4 x 57 = 79,s kN.m 
r,,, = 1,16 dm3 
Pilar: h, = 25 cm, h, = 70 cm 
A, = 25 x 70 = 1750 cmZ 
I Admitam-se também os seguintes elementos: 
e = e, = 4 , 6 0 m 
f,, = 15 MPa 
fck - 15 fed = - - - = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 
Yc 1,4 
'íPa = 0.1 kNlcm2 = 100 Nlcm' 
PILARES USUAIS DE EDlFfCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENT~ 305 
Aço CA-SOB 
f,,,, = 435 MPa 
c. Situaçóes de projeto. Esforços solicitantes iniciais 
Analogamente ao que foi mostrado na Fig. 8.3.1-1, têm-se agora: 
h, = 25 cm 
460 - 63,7 - 64 (pilar medianamente esbelto) Az=-- 
7,22 
~ i g . 8.3.21 Situaçóes de projeto. Esfor- 
ços solicitantes iniciais. 
Momentos devidos à viga V2 de um único andar: 
donde 
Considerando-se a propagação de momentos devidos a diversos andares, tem-se 
M ,,,, , = - M ,,,,, , = I,5 r 7,3 = 10,95 kN.m 
logo 
M ,,, = -Mo ,,,, = yfMk = 1.4 x 10,95 = 15,3 kN.m 
A Fig. 8.3.2-1 mostra os esforços solicitantes iniciais ao longo do pilar conside- 
rado. 
FORÇAS NORMAIS 
( N d ) 
MOMENTOS FLETORES 
( M i d ) 
h A 
Mia = I 5 3 
1 N = O , l k g f 1 MPa = I MN/m3 = l0kgf/cmS 
I k N = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNim = IW kgflm = 0.1 tfim 
I k N m = 100 kgf.m = 0,1 ff.m I kN/mP = 1W kgfim* = 0,I d/m2 
1 kN.cm = 1UO kgtcm = 0,1 t fcm 1 kN/m8= IWkf/m3 = O,L d/ms 
1 MPa = 0.1 kNlçms = IW Nlem' 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
d. Excentricidades acidentais 
h, = 25 cm, logo e,, = 2 cm 
h, = 70 cm, logo e,, = !?!i = ?!! = 2,3 cm 
30 30 
e . Excentricidades de 2 . O ordem 
Na direção de maior esbeltez, tem-se 
devendo ser considerados os momentos fletores de 2.a ordem cujo valor máximo, de 
acordo com a NB-I , pode ser calculado pela expressão 
com 
No caso presente, empregando Aço CA-50 (não importa para esta expressáo 
se o aço é da Classe A ou da Classe B ) , tem-se 
Esta expressão está tabelada na Tabela 25, da qual, para 
resulta 
ou seja 
e,, = 0,14 x 25 = 3,5 cm 
Na direção de menos esbeltez, têm-se 
1 N =O,lkgf I MPa = I MNlm* = 10 kgflcm2 
1 k N = I W k g f = O , l t f I kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm 
1 kN.m = 100 1<gtm = 0.1 tf.m I kNlm' = 100 kgflm' = 0.1 tflms 
I kN.cm = 100 kgfcm = 0,1 t f c m 1 kN/ms = 100kBflm2 = 0,1 tflmS 
1 MPa = 0.1 kN/cm2 = L00 N/cma 
PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 3W 
sendo portanto desprezíveis, nesta direção, os efeitos de 2.a ordem. 
f. Situaçüo de cálculo. Superposição dos esforços 
Neste caso, sendo h, > 40, no dimensionamento deverão ser levados em conta os 
momentos fletores de 2.a ordem. 
Admite-se que o pilar em consideração, por pertencer a uma esttutura de edifício 
devidamente contraventada, possua extremidades indeslocáveis. Nessas condições, 
os máximos momentos fletores iniciais agem nas extremidades do pilar e os máximos 
momentos fletores de 2.a ordem agem em sua seção intermediária. 
Por essa razão, conforme foi visto no item 7.5.4, a NB-1 especifica que sejam 
considerados os seguintes momentos fletores iniciais: 
1. Seção intermediária 
onde 
Mic < 0 quando tracionar a face oposta aquela tracionada por M ~ A 
No caso presente, tem-se 
M~A,<I = - Mim = 15,3 kN.m 
logo 
Mi,., = 0,4 MiA,d = 0,4 x 15,3 = 6,l kN.m 
donde 
2 . Seçóes das extremidades 
Mt,, d = MLA, = 15,3 kN.m 
logo 
Desse modo, resultam as seguintes situações de cálculo: 
- 
1 N = 0.1 W I MPa = I MNlm' = I0 kgflcm* 
I k N = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm 
1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 1f.m 1 kN/mP = IW Wlm ' = 0.1 tflm' 
1 kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 e.cm L kNlm" IW kgflm9 = 0,l tflm' 
I MPa = 0.1 kNlcmP = LW Nlcm2 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
.2 Situações 
PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 309 
1. Seção intermediária 
Na = 1554 kN 
1 .a Situação: e, = e , ~ + e,, + e,, = 0,4 + 2,O + 3 , 5 = 5,9 cm 
2.= Situação: e, = e,, = 2,3 cm 
2. Seçáo de extremidade 
N, = 1554 kN 
I.a Situação: e, = e. + e,, = 1,0 + 2,0 = 3,0 cm 
2.a Situação: e, = e,, = 2,3 cm 
A Fig. 8.3.2-2 mostra as situações de cálculo para as duas seções criticas do pilar, 
isto é, para a seção intermediária e para a seção de extremidade. As situações de 
cálculo foram determinadas com as simplificações expostas no item 7.5.3. 
g. l.a Condição de dimensionamenro (Cálculo rigoroso) . 
Do exame das situações de cálculo mostradas na Fig. 8.3.2-2, torna-se evidente 
que, para o pilar em consideração, a condição mais desfavorável é aprimeira condição 
de cálculo da seção intermediária.Desse modo, sendo: 
- 
Nd = 1554kN 
e, = 5,9 cm 
fCd = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 
fVd = 435 MPa (CA-SOB) 
A, = 25 cm x 70 cm = I750 cm2 
têm-se 
Dos diagramas de interaçáo, com 8' = 0,15, resulta 
o = 0,61 
logo 
A, = o A,f,, = 0,61 1750 =,26,3 cmz 
f ~ d 435 125.1 ou seja, Fig. 8.3.2-3, 
A, = 14 4 16 (A,,, = 28,0 cm2) 
Fig. 8.3.23 Cálculo rigoroso. 
I N = 0, l kgf I MPa = I MNIrn' = I0 kgficrnP 
I k N = l O O k g f = O , I t f I kNim = 100 kgflm = 0,l tWm 
L kN.m = 100 kgf.m = 0.1 t t m 1 kNlmP = 1W kgflrn' = 0.1 tWm2 
1 kN.cm= 100 kgfcrn = 0.1 tf.cm 1 kNimJ = 100 kgfim' = 0.1 tfima 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
A,= 16 $ 16 h. 1 .a Situação de dimensionamento (Cálculo expedito) 
Admitindo-se o emprego do cálculo expedito, têm-se 
logo 
e 
a = I + 3 - = 1 + 3 x 0 , 2 4 = 1 , 7 1 
h 
Nld = a N d = 1,71 x 1554 =2654kN 
Da Tabela 23, para fck = 15 MPa e 
Nld = 
uid = - 
2654 kN 
= 1,52 kN/cm2 = 15,2 MPa 
A, 1750 cm2 
Fig. 8.3.24 Cálculo expedito resulta 
p, = 1,78% 
logo 
I ou seja, Fig. 8 .3 .24 , 
i A, = 16 4 16 (A,, d = 32,O cm2) 
i . 2.a Condição de di~nensionamento (Cálculo simplificado) 
A 2.a Condição de dimensionamento é igual para as duas seções críticas do 
pilar, Fig. 8.3.2-2. 
Desse modo, sendo 
Nd = 1554 kN 
e,, = 2,3 cm 
A, = 1750 cm2 
têm-se 
PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 311 
logo 
N,,I = aNd = 1,12 x 1554 = 1740 kN 
i 
resultando então 1 I 
I Desse modo, o dimensionamento feito pela 1 .a condição é o que determina a armadura I 
do pilar. 1 
I 
8.3.3 PILAR a. Problema proposto 
MEDIANAMENTE Considere-se agora o pilar P7, mostrado em planta na Fig. 8.1.2-1. 
ESBELTO. 2.O EXEMPLO Esse pilar tem esforços iniciais equivalentes aos do pilar P4. 
Este outro exemplo de pilar de extremidade tem por finalidade salientar a impor- 
tância da excentricidade acidental e da correspondente excentricidade de 2.a ordem 
sobre o dimensionamento da peça. 
Sendo um problema de mesma natureza que o anterior, os seus resultados serão 
apresentados de forma relativamente sintética. 
b. Dados de projeto 
r = 1,16 
Pilar: h, = 70 cm, h, =-25 cm com a maior rigidez correspondendo 
ao plano de flexao da viga V3 
A, = 70 x 25 = 1750 cm2 
e, = 4,60 m 
f,, = 15 fcd = 10,7 MPa = 1 ,O7 kN/cm2 
L = 435 MPa 
c. Esforços solicirantes iniciais I 
lilar medianamente esbelto) 
1 N = 0.1 kgf I MPa = I MNlm2= IOkgflcm* 
I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNlm = 100 kgflrn = 0.1 tflm 
1 k N m = 100 kgfm = 0,1 t fm 1 kN/m2 = 100 kgflm* = 0.1 tflrna 
1 kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tfcm 1 kN/mJ = 100 kgflm' = 0.1 fimJ 
I MPa = 0,l kNIcmx = 100 Nlcms 
d. Situações de cálculo 
1 . bireçáo x (h < 40) 
Seção crítica: topo e base do pilar 
h= - 70 e,, = - - - = 2,3 cm 
30 30 
e,, E O 
2. Direçio y 
Seção crítica: seção intermediária 
Nd = 1554 kN 
ei, = O 
e,, = 2 cm 
Sendo 
da Tabela 25 resulta 
ou seja 
e,, = 0,14 X 25 = 3,5 cm 
e. Dimensionamento 
Embora o momento fletor inicial atue no plano que contém o eixo Gx, o d 
sionamento é comandado pela flexão no plano Gy, decorrente dos esforços 
1 N = 0.1 kgf I MPa = I MN/mX= lOkgf/cm2 
I kN = 100 kgf = 0,l lf I kN/m = 1m kgflrn= 0,I õ/m 
1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 t tm 1 kN/m3= IMkgi/m'= 0,I tf/mZ 
I kN.cm = 100 Wcrn = 0,l ff.cm 1 kN/m" 102 kgffma = O , l lffmS 
My, = Nd. e,, 
com 
Com estes esforços obtém-se praticamente a mesma quantidade de armadura que 
a do item 8.3.2 ( l .a condição de dimensionamento). 
Como no caso anterior, a 2.a condição de dimensionamento não afeta os resulta- 
dos já obtidos. 
Observe-se que o dimensionamento do pilar P7 dependeu da força normal N, e 
das excentricidades e,, e e,,, não tendo sido influenciado pelo momento inicial e,, ao 
contrário do que aconteceu no caso anterior do pilar P4. 
8.3.4 O ESTUDO DOS A consideração de pilares esbeltos com momentos fletores iniciais que variam ao 
PILARES ESBELTOS longo do comprimento não pode ser feita de forma adequada através dos processos já 
exemplificados. 
A dificuldade essencial que impede essa consideração é a incongruência existente 
entre um diagrama de momentos fletores de forma qualquer e o conceito de pilar 
padrão, o qual admite sempre uma linha elástica senoidal. 
A solução geral dos problemas de pilares esbeltos será estudada no Cap. 9, onde 
são considerados os processos do pilar padrão corrigido e do deslocamento de refe- 
rência. - 
8.4 PILARES DE 
CANTO 
8.4.1 PILAR CURTO. a. Problema proposto 
DIMENSIONAMENTO Considere-se o dimensionamento do pilar P1 de canto, mostrado na Fig. 8.1.2-1. , 
RIGOROSO O pilar P1 está submetido aflexão composta oblíqua, emvirtude de sua continui- 
dade estmtural com as vigas V1 na direção Ox e com as vigas V4 na direção Oy. 
d Admite-se o comprimento de flambagem e, = 2,80 m. I 
b. Dados de projeto 
De acordo com o que foi estabelecido em 8.1, os dados básicos de projeto são os 
1 
seguintes: 
I 
viga V I : Me,,,, = 60 kN.m 
rd,,, = 0,96 dm3 
viga V4: Mew,Uk = 21,3 kN.m 
r,,,,, = 0,55 dm3 
fck = 15 MPa Aço CA-SOB 
1 N = 0.1 kgf 1 MPa = 1 MNlm' = 10 kgilem2 
1 kN = 1W k$ = 0.1 tf 1 kNlm = I M kgflm = 0.1 fflm 
I kN.m = 1Wkgf.m = 0,I t t m 1 kNlm2= 1Wksflm2= 0.1 tflm* 
1 kN.cm = 1W kgi.em = 0, l tf.crn I kNlma = 100 kgflm3 = 0.1 fflm" 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
c. Pré-dimensionamenro 
Analogamente ao que foi feito em 8.3.1, admitem-se as excentricidades iniciais 
transformando-se aflexão compostaobliquanumaflexão composta normal, conforme 
foi discutido em 7.4.4. 
Desse modo, sendo 
onde 
a expressão anterior, conforme mostrado pela equação (7.4.4-2), pode ser escrita 
ou seja 
A tabela do item 7.4.5 reproduz os valores de p recomendados pela NB-1 para 
pilares de seção retangular com armadura igual nas quatro faces. Estimando-se 
vd - 0,7 
w - 0,50 
resulta 
p - 0,63 
donde 
Por outro lado, de acordo com a expressão (7.6.1-7), estaflexão normal composta 
equivalente pode ser transformada num caso de compressão uniforme, sendo 
e a = 1 + 4 - = 1 + 4 X 0 , 1 1 = 1 , 4 4 
h 
resultando 
NM = a Nd = 1,44 X 1148 = 1653 kN 
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 315 
Desse modo, admitindo-se uma taxade armadurap, da ordem de 1,2%, de acordo 
com a Tabela 23, para f,, = 15 MPa e Aço CA-SOB, tem-se 
ad = 13,2 MPa = 1,32 kN/cmZ 
resultando para a área de concreto o valor 
podendo ser adotada a seção 
A, = 25 cm x 50 cm = 1250 cm2 
onde 
Com a seção adotada, sendo 
tem-se - 
h = - = - - 280 - 38,s i 40 (Pilar curto) 
i 7,22 
d. Situações de projeto. Esforços solicitantes iniciais (Fig. 8.4.1-1) 
I Direção x 
- 
r,ila, Mtw. k = Mmp, k = Me,, ,k 
~ S U U + r,, + riw 
donde 
logo 
I N =O, lkg f I MPa = I MNlmn = 10 kgf/cms 
I k N = l W k g i = O , l l f 1 kN/m = IM) kgfim = 0.1 tfim 
1 kN.m = 1W k8f.m = 0.1 t f m I kN/m2 = 100 k8f/mz = O,l f im' 
1 kN.cm = IM) k8f.cm = 0.1 1f.cm 1 kN/ms = 1W kgf/mS = 0 , l tflm3 
1 MPa = 0.1 kN/cmz = 1W N/cmz 
resultando 
M,,., = -Maoae. d = y, MK = 1,4 X 14,58 = 20,41 kN.m 
logo 
Md - 2041 kN.cm = 1,78 cm eu, = e , , . = - - 
Nd 1148 kN 
2 Direçáo y 
hl ,~ , k = MNP, L = rpiiar Me,. k 
rgup + ~ V I Y . + rinf 
donde 
logo 
M t w o , k = -Mbose,k = 1,s X 8,22 = 12,33 kN.m 
*~- 
resultando 
logo 
e. Excentricidades acidentais 
Tendo-se em vista o que foi dito em § 7.5.3, serão consideradas apenas as 
excentricidades segundo os eixos centrais de inércia das seções transversais. 
Observando-se as exigências da NB-I e o pré-dimensionamento já feito, têm-se 
h, = 50 cm e,, = 2 cm 
I MPa = 0.1 kNlçm' = 1W Nlcm* 
* 
h, = 25cm 
SEÇÁO DO TO^ SE#O DA BASE 
Fig. 8.4.1-1 Situaçoes de3rojeto - Momentos fletores iniciais 
Fig. 8.4.1-2 Situações de cálculo. 
Y A Y 
3 (e,=ei,= 1,78 em 
c1 
e,, = i,78 cm 
e = e,y = 1,50cm 
- 
_BI f ,. B 2 
- 
'1 4 x eiy= 1,50cm x 
A1 
-. 
eay=2,0 cm 
e,, = 2,O cm I 
'L 
\e,= 3 , 7 8 c m 
-, 
c2 
J- 
A 2 
- . 
ESTRUTZTRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
f. Situações de calculo 
Como a armadura será disposta com dupla simetria, não se fará qualquer distin- 
ção entre a seçáo do topo e a seção de base. 
A. Fig. 8.4.1-2 mostra as situações de cálculo das seções transversais do pilar, 
resultando: 
I .a Situação 
2.Q Situação 
g. Dimensionamento rigoroso 
De acordo com os dados de projeto, têm-se 
Nd = 1148 kN 
A, = 25 x 50 = 1250 cm2 
fcd = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 
fud = 435 MPa = 43,s kN/cm2 
1 .a Situação de cálculo 
Nd - vd = -- - = 0,86 (compressão) 
A, f,, 1250 x 1,07 
Empregando-se o ábaco da Fig. 4.1.24, válido para o Aço CA-SOB, com o arranjo 
de oito barras, obtêm-se 
resultando, para v, = 036, 
2 . O Situação de cálculo 
De forma análoga, sendo 
vd = 0,86 
1 N = 0,l W 1 MPa = I MN/rn2 = 10kgf/cmx 
I k N = I W k g f = O , I d 1 kNlm = 100 kgfirn = 0,I d lm 
1 kN.m = 1W kgf.rn = 0.1 tf.m 1 kN/mZ= IW kgf/rnz = 0.1 tf/rnz 
I kN.cm = 1W kgf.ern = 0.1 t fcm I kN/mJ = 1W kgflm' = 0.1 WmJ 
I MPa = 0.1 kNlcm2 = IW Nlcm' 
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 
obtém-se o = 0,40 
valor determinado a favor da segurança com v, = 1,0. 
Desse modo, predomina a I.= situação de cálculo, resultando 
Como o arranjo admitido foi o de oito barras, tem-se, Fig. 8.1.4-3, 
A, = 8 4 16 (A, = 16,0 cmz) 
li Fig. 8.4.1-3 Arranjo da armadura. 
8.4.2 PILAR CURTO. a. Problema proposto 
DIMENSIONAMENTO Considere-se novamente o dimensionamento da armadura do pilar PI , 
SIMPLIFICADO empregando-se agora o processo simplificado permitido pela NB-1. Serão admitidas 
as mesmas dimensões obtidas no item anterior para a seção transversal do pilar. 
b. Dados de projeto 
De acordo com o que foi visto no item anterior, têm-se 
I .a Situação de dlculo: e, = 3,78 cm e, = 1,50 cm 
2.a Situação de cálculo: e, = 1,78 cm e, = 3,50 cm 
f,, = 1 ,O7 kN/cmZ 
fud = 43,5 kN/cm2 (Aço CA-SOB) 
I N = O , I k g i 1 MPa = I MNlm2 = I0 kgf/cm2 
I k N = I W k g f = O , l f f I kN/m = 1W kgfim = 0, l tfim 
I kN.m = IW k&m = 0.1 tf.m I kNim2 = 1W kBfim2 = 0.1 tfim* 
1 kN.cm = IW kg t cm = 0, l t f cm I kNima = 1W kgfim3 = 0.1 @/ma 
1 MPa = 0.1 kNicm' = 1W N/cm' 
ESTRUTLJRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
c. Excentricidade equivalente 
De conformidade com o que foi visto em 7.4.5, inicialmente deve ser verificado o 
setor em que se encontra a força normal, Fig. 8.4.2-1. 
% ; m = Q 0 7 
h y 50 
Fig. 8.4.21 Simplificação permitida pela NB-I. 
A excentricidade equivalente, de acordo com (7.4.5-I), tem por expressão 
onde p é dado pela NB-I em função de vd e de o. 
Considerando a situação de cálculo, tem-se 
25 
e,, ., = 3,78 + p- x 1,50 
50 
não sendo necessário, conforme já foi discutido, considerar a 2.= condição. 
Por outro lado, sendo 
cmZ 
e admitindo p - 1,2%, ou seja, tomando-se 
1 N =0 ,1k@ 1 MW = I MN/mZ = IOkgflcm2 
I k N =100kgf=O,I t fI kNlm = ICQ kgílm = 0.1 dlm 
1 kN.m = 100kgf.m = 0.1 d.m 1 kNlmZ= 100kgfImz= 0.1 tflm' 
1 kN.cm = 100 W c m = 0.1 d.cm I kNlma = I00 kgf/m3 = 0.1 UIm' 
PILARES USUAIS DE EDIFICIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 321 
da tabela do item 7.4.5, resulta 
/3 = 0,55 
logo 
25 
e,, , = 3,78 + 0,55 x - x 1,50 = 3,723 + 0,41 = 4,19 cm 
50 
d. Dimensionamento 
Admitindo-se os valores 
do diagrama de interaçáo correspondente ao arranjo de oito barras de aço encmado a 
frio, (Ref. 7, 2.O vol., p. 222), obtém-se 
o = 0,47 
resultando a mesma solução obtida no item anterior, ou seja, 
i 
A, = 0,47 1250 = 14,45 cmZ (A, = 8 qi 16) 4 3 3 
-.-/ 
i 
ME DIANAMENTE 1 dos itens anteriores, admitindo porém que o seu 
,/ 
r*,,, = 0,%.d 
,, . -\ 
viga V4: Mew,uk = 21,3 k ~ f X 
r"'sa., = 0;- 
fck = 15 MPa f,, = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2 
Aço CA-50B fvd = 435 MPa = 43,5 kN/cm2 
1 N =O,lkgf 1 MPa = I MNlma= 10 ksf/cm2 
1 k N = I W k g f = O , l d 1 kNlm = 1M ksflm = 0,l dlm 
1 kN.m = 100 kgf.m = O,I 1f.m 1 kNlm2 = 100Lgf/m2 = 0.1 dlm' 
1 kN.cm= 100 kgf.cm = 0.1 d.cm I kN/ma = IWkgflma =O,I #ma 
c . Situaçóes de projeto. Esforços solicitantes iniciais (Fig. 8.4.3-1) 
1. Direção x 
, M I ~ , k = MNP, L = M ~ W . z k 
+ + rffl 
donde 
0,14 M I ~ . k = x 60 kN.m = 6,77 kN.m 0,14 + 0,96 + 0,14 
logo 
Mt,,,k= -Mbaae,k= 1,5 x 6,77 = 
resultando 
Mtogo, d = -Mbase, 
donde 
M d = 
e,.,, = - ~ I c , = - 
Nd 1148 kN \ 
2 . Direçáo y 
u 
logo 
M,,,,k= Mbaae,k= 1,5 x7,18 = 10,78 kN.m 
resultando 
I N =O,Ikgf I MPa = 1 MNlrn2 = 10 kgflcmZ 
I k N = l W k g f = O . i t f 1 kNlm = 100 kgflm = 0,l tflm 
1 kN.m = IW kgfm = 0.1 t tm I k N l m L lWkgflm'= 0,l tflm' 
i kN.cm = 1W W e m = 0.1 Ii.cm 1 kN/ma = IW kgflma = 0.1 tfim' 
I MPa = 0.1 kNlcmz = 100 Nlcm' 
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 
Fig. 8.4.3-1 Situações de projeto. Esfovos solicitantes iniciais, 
d. Excentricidades acidentais 
h, = 25 cm, logo e,, _=_~ ~~~~~ 
h, = 50 cm, logo /e,, = 2 cm 
, 
-- 
e. Excentricidades de 2.R ordek- 
1 . Direçáo x 
h, = 25 cm 
1 N =O,Ikgf I MPa = I MN/m2 = IOkgf/cmP 
I k N = I W k g f = O , l õ 1 kNim = IW kgfirn = 0.1 f i m 
1 kN.m = 100 W . m = 0.1 t fm 1 kN/ms = 1W kgfim' = 0.1 t£lm2 
I kN.cm = 1W kgfcm = 0.1 d.cm I kNlrnS = 100 kgf/ma = 0.1 tfima 
I MPa = 0.1 kNicmP = t M N/çms 
De acordo com a NB-1, para um pilar de esbeltez média, com Aço CA-50. 
pode-se admitir o valor 
com 
O valor de 3 pode ser obtido da Tabela 25, da qual, para 
h, 
resulta 
2. Direção y u 
Sendo A, < 40, não há necessidade de ser considerada uma excentricidade de 2.a 
ordem na direção y. 
Todavia, caso fosse 
os efeitos de 2.a ordem na direção y seriam determinados pelas mesmas expressões 
PILARES USUAJS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMEiWO 325 
empregadas para a determinação de e,,. Nesse caso, seria tomado o valor 
f. Situações de cálculo. Superposição dos esforços 
A Fig. 8.4.3-2 mostra as situações de cálculo, considerando-se separadamente as 
seções de extremidade e a seção intermediária. 
e,, = 0 , 5 0 cm 
e,= 6,O cm = 2,0 crn 
SECÕES DAS EXTREMIDADES 
%.- 
,Y 
SITUAÇÃO DE i! SITUAÇÃO I 
PROJETO DE CÁLCULO 20 SITUAÇÃO 
Fig. 8.4.3-2 Situaçóes de cálculo 
DE ÇÁLCULO 
ei, =1,24 cm 
eX=1,24cm 
- 
X A 
e, = 3,24cm e y = 3 , 3 cm 
S I T U A C ~ O DE 19 S I T U A Ç ~ 
PROJETO DE CALCULO 
- 
I 2% S I T U A Ç ~ 
DE CÁLCULO 
T : ~ ~ 
-..__ 
) 1 ESTRUTURAS DE C O N C R E T B S O & l C ~ T A ~ O E S N ~ S 
/ ~ - ~ i.% P --I; 
? / r 2.a Situação 
,. e, = r 1 
l 
i d 
I . a Situação de cálculo / 
e, = 0,5 + 2,O % 3 , s = 6,O cm 
2.a Situação de cálculo 
e, = O 
.4 
. ~ 
<~ ~ g , Dimensionamento . . . . - - -...-------- 
Tendo em vista que a seção terá um arranjo de armadura com dupla simetria, 
parece evidente que a situação mais desfavorável corresponde a I .a situação de 
cálculo da seção intermediária. Caso persista qualquer dúvida, as seções de extremi- 
dade também devem ser verificadas. 
C p d e q n d o ; s e então a 1 .a situação de cálculo da seção intermediária, tem-se: 
Do diagrama de interação naflexão composta normal, correspondente ao arranjo 
de 8 b a r r a s d ~ aço encniado (Ref. 7, 2.O vol., p. 222), obtém-se 
ou seja, Fig. 8.4.3-3 
I 
A, = 8 4 20 (A, = 25,2 cm3 I 
No caso presente, o dimensionamento feito no item 8.4.2 permite dispensar-se a 1 
verificação tanto das seções de extremidade quanto da2.a situação de cálculo da seção I 
intermediária. 
Fig. 8.4.3-3 Arranjo da armadura 
8.4.4 O ESTUDO DOS Analogamente ao que já foi dito em 8.3.4 em relação aos pilares de extremidade, 
PILARES ESBELTOS também no caso de pilares de canto não se podem aplicar os processos simplificados 
aqui considerados, quando a esbeltez ultrapassa determinados limites. 
No Cap. 9 serão estudados os problemas de instabilidade na flexão composta 
oblíqua de pilares esbeltos e muito esbeltos. 
Problemas Especiais de Determinação da 
Carga Crítica 
9.1 CARGAS DE 
LONGA DURAÇÁO 
9.1.1 CONSIDERAÇÁO DA Na avaliação da segurança dos pilares com esbeltez acima de certos limites (k = 80), 
FLUÊNCI A quando houver cargas de longa duração, também deverão ser obrigatoriamente consi- 
derados os efeitosda fluência. 
. 
Como a fluência ocorre sob aação dos esforços permanentes de serviço (caracte- 
rísticos), as tensões no concreto são suficientemente baixas para que se empregue a 
teoria linear da fluência, na qual é admitidauma função 4 de fluência independente da 
tensão aplicada. Nesse caso, sendo 
CC = tensão de compressão no concreto 
Ec = módulo de deformação longitudinal do concreto 
&C = deformação imediata do concreto 
Ecc = deformação por fluência do concreto 
'0'01 = deformação total do concreto 
4 = função de fluência 
têm-se 
Com a hipótese adotada de ser 4 independente de uc, por efeito da fluência, o 
diagrama tensão-deformação do concret'sofre uma transformação afun, de razão 4, 
paralelamente ao eixo de E,, Fig. 9.1.1-1. 
Conforme j á foi mostrado na tabela da Fig. 5.2.3-2, de posse do diagrama 
tensão-deformação correspondente a um certo valor 4 da função de fluência, podem 
ser determinados os diagramas (M, N, l/r), onde as curvaturas são dadas por 
. 
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÃO DA CARGA CR~TICA 329 
Fig. 9.1.1-1 Influência da fluência sobre o diagrama c - E do concreto. 
Umavez conhecidos os diagramas (M, N, llr) correspondentes aum dado+, para 
o cálculo da carga crítica, em princípio poderiam ser aplicados os mesmos métodos já 
vistos anteriormente, se as cargas aplicadas fossem todas de longa duração. 
Todavia, como na grande maioria das constmções, nem todas as cargas são de 
natureza permanente, o problema de determinação da carga crítica precisa ser reanali- 
sado. 
9.1.2 CARGA No caso de existirem cargas de longa e cargas de curta duração, a verificação rigorosa 
PARCIALMENTE DE da segurança contra o estado limite de instabilidade fica bastante complicada. 
LONGA DURAÇÁO A dificuldade maior decorre do fato de que, para as cargas de longa duração, 
devem ser empregados diagramas (M, N, Ilr) correspondentes a + # O e, para o 
restante do carregamento, que é de curta duração, os diagramas de acréscimos (AM, 
AN, 1lAr) +=, devem ser calculados com + = 0. 
Note-se que, para a intensidade do carregamento de longa duração, deveria ser 
admitido o valor característico F,, ou, no máximo, o valor y, F,,.* Em muitos casos 
também existe uma parcela$, F, da carga variável que deveria ser consideradacomo 
de longa duração. O valor II<, Fck é a parcela de longa duração (quase permanente) da 
carga acidental F,. 
Admita-se então estabelecida uma certa história de carregamento da estrutura,constituída, por exemplo, da seguinte sequência: 
1. Açóes iniciais de longa duração: F,, 
2. Açóes suplementares de curta duração: (F, - F,,) + Fd 
Na Fig. 9.1.2-1 estão ilustradas as diferentes soluçóes associadas a esse pro- 
blema, empregando-se o método geral com o piocesso de carregamento progressivo. 
Pelo fato de não ser válido o princípio da superposição dos efeitos, a solução 
rigorosa seria teoricamente possível, desde que fossem traçados os diagramas (M, N, 
l/r) de cada seção transversal com a respectiva história de carregamento. Para o 
traçado desses diagramas, considerar-se-ia o efeito da fluência para valores de M e de 
N inferiores aos esforços provocados, na seção considerada, pelo carregamento F,, + 
Jr,F,. Para os valores de M e N superiores a esses limites, os acréscimos de esforços 
não provocariam deformação lenta, mas o cálculo dacurvatura exigiria a definição do 
diagrama (Ao, AE) correspondente a esses acréscimos de esforços. 
Em face dacomplexidade do problema são empregadas as soluçóes aproximadas 
.., 
-- 
. . 
.---. 
'Paras discussão do significadoda cargay, F,ver do Autor: Fundamentos doPi.ojetoEstrulural. O Código Modelodo 
CEB introduz esse conceito sob a forma de um coeficiente y. de comportamento, admitindo valores de 1.10 a 1.25. 
. 0 '0 ITOW O CARREGAMENTO DE 
Folt,$=o CURTA oun~çloi 
F c r i t 
.,-=-=---- 
I xiw o CARREGAMENTO DE LONGA D U R A ~ ~ , ~ ) 
- Fgk SOLUÇÃO RIGOROSA ACENAS 
T E O R I C A M E N T E POSSIVEL 
yref 
Fig. 9.1.2-1 Carga parcialmente de longa duração 
,",< -,----- 
--, a seguir analisadas. 
,s I É preciso observar desde já que essas soluções aproximadas são plenamente 
,/*' 
L satisfatórias, pois as cargas de longa duração a t u m com seus valores de serviço, não 
havendo portanto muito interesse no que se poderia chamar de solução exata. 
9.1.3 MÉTODO DE De acordo com este método aproximado, realiza-se o cálculo como se toda a carga 
FUNÇAO EQUIVALENTE fosse de longa duração, adotando-se para a função de fluência o valor equivalente i 
DE FLUÊNCIA efetivo 
(9.1.3-1) ~ 
o i 
a = fração da força normal que produz fluência 
p = fração de momento fletor de 1 .a ordem que produz fluência 
@(t,,t,) = função de fluência real do problema 
,, 
-~~ i 
.~ Para emprego prático, esta solução somente será exequível se forem conhecidos I 
os diagramas (M, N, llr) para o valor adotado. I 
Para isso, os diagramas (M, N, l/r), = ,, poderão ser calculados diretarnente ou 
obtidos porinterpolação entre os diagramas (M, N, Ilr), =, e (M, N, Ilr),, onde4 éum 
,,y+a--, i-l valor padronizado, por exemplo, 4 = 2. I 
I 
~ma;ez conhecidos os diagramas (M, N, Ilr) correspondentes a$,f, podem ser 8 
aplicados todos os processos de cálculo discutidos anteriormente. 
Deve-se observar que este método é bastante geral, podendo ser aplicado inclu- 
sive nos casos de pilares muito esbeltos ou de seção transversal variável. i 
9.1.4 MÉTODO DA Com este outro método aproximado de cálculo admite-se que todo o carregamento 
EXCENTRICIDADE seja de curta duração, introduzindo-se para todas as cargas longitudinais, tanto de 
EQUIVALENTE longa quanto de curta duração, uma excentricidade suplementar e, de l.a ordem, dada i 
por 
F, = carga de longa duração que produz fluência 
e,, = excentricidade de I.a ordem dacarga F,, na qual se inclui a excentricidade 
acidental &, ou seja, - I 
-, 
I 
= e;.. + e. I 
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA C ~ T I C A 331 
e,, = excentricidade inicial da carga F, 
F, = carga de flambagem de Euler, sendo 
n--- -\ \ F, = 10 E, 1,/ee2 ,J L- - 
E, = módulo de deformação longitudinal do concreto 
w /L r De acordo com a NB-1/78, tem-se I 
7 w 
5 I>- 2. 
I E, = 0,9 x 6600 f l f (MPa) ( 1 MPa = 10 kgf/cm2) I 
~~~~ - 
. ~ ~ ~ - ~ ~ ~ 
. . 
'\ /I, = momento de inérciada seção total A, de concreto. Tendo em vista agrande ! 
i influência da armadura na inibição da deformação lenta, será razoável ,' 
tomar-se a seção ideal no estádio Ia,* levando em conta, pelo menos de , ' 
,, 
.. ~- forma - apr~~ximada~a~presençadaarmadura~ ~~ ~~ 
e, = comprimento de flambagem 
Admite-se o valor 
F, = yn (F,k + $2 F,) 
com 
/ 
sendo $, F, a parcela de longa duração da carga acidental. 
Uma vez transformado o efeito da fluência numa excentricidade de 1." ordem, 
aplicam-se os mesmos métodos de cálculo já estudados anteriormente. 
Um exemplo de aplicação deste método já foi visto no item 8.2.6 do capítulo 
anterior. 
Tendo em vista que os efeitos de longa duração ocorrem sob tensões relativa- 
mente baixas do concreto e que, além disso, existe um efeito inibidor da fluência pela 
presença das armaduras, não há em princípio necessidade de grande rigor na conside- 
ração desse fenômeno. 
Por essa razão, no caso de peças com armadura variável, é preferível 
determinar-se a carga de flambagem de Euler ignorando a presença da armadura e 
considerando um valor atenuado da função de fluência, adotando-se a expressão 
em lugar da expressão (9.1.4-1). 
De forma análoga, no caso de pilares de seção transversal variável, é aceitável a 
determinação da carga de flambagem de Euler por processos simplificados, ou mesmo 
por processos aproximados. Nos casos usuais são muito úteis as tabelas organizadas 
por Langendon~k.~~ 
*O Código 
- 
Modelo do C1 EB sugere a adoção da se$ão de concreto simples, desprezando-se a armadura 
1 N = 0 , l k 8 f I MPa = I MNlm* = I0 kgflcm' 
I k N = l W k g f = O , I t f I kNim = 100 kgflm = 0,l tflm 
1 kN.m = 1W W m = 0.1 tf.m 1 kNlmZ = IW kgflm' = 0,1 tflm2 
i kN.cm= 1W kd.cm = 0, l d c m 1 kNlmS= IW kgflm3 = 0.1 tflma 
9.1.5 JUSTIFICATIVA DO A justificativa da validade desse método de cálculo pode ser dada da maneiradescrita 
MÉTODO DA a seguir. 
EXCENTRICIDADE 
EQUIVALENTE Consideração 
Em reeime elástico. a determinação das flechas das barras esbeltas submetidas a 
- 
flexo-compressão pode ser feita assimilando-se a excentricidade inicial e, do carrega- 
mento a uma flecha inicial w, da barra, Fig. 9.1.5-1. 
Fig. 9.1.5-1 Carga de curta duraçéa. Flexão composta de b m s esbeltas - Regime elástico. 
Desse modo, tomando uma barra articulada nas extremidades cujo eixo já tenha 
uma pequena curvatura inicial, a aplicação de uma força de compressão longitudinal 
com linha de ação segundo a reta que une as extremidades da barra acarreta a 
ampliação das flechas, as quais passamdos valores iniciais y, paraos valoresfinais y,. 
Quando a configuração inicial da barra for dada pela curva senoidal 
T X y, = wl sen - 
e 
prova-se quer9 a configuração final é expressa por 
\ 
F = força de compressão aplicada 
F, = carga de flambagem de Euler de uma barra reta de mesmo compri 
mesmo produto de rigidez E1 
A flecha máxima da barra, que originalmente tinha o valor w,, pass; i a valer 
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA CR~TICA 333 
2.a Consideração 
Nas mesmas condições do caso anterior, admita-se que o material da barra seja 
visco-elástico e que, portanto, sofra um processo de fluência. 
Esse processo se dá com tensões variáveis, pois, a medida que aumentam as 
flechas, aumentam as tensões devidas aos efeitos de 2.a ordem, Fig. 9.1.5-2. 
INSTANTE INICIAL t o INSTANTE F I N A L 1, 
Fig. 9.1.52 Barras com curvatura inicial - Fluência 
No caso de barras de eixo senoidal, prova-se que2' 
\ % 
onde 
+(t,,to) = função de fluência entre os instantes t, e to 
Sendo w, aflecha máxima da barra no instante to logo após a aplicação das forças 
F,, a flecha máxima no tempo infinito t, passa, por efeito de fluência, a valer 
b_ 
WI = w2 . exp + (t,, to) [ ' b 1 . (9.1.5-2) F, - F, 
3.a Consideração 
Conforme se mostra na Fig. 9.1.5-3, para a verificação da segurança contra o 
estado limite de instabilidade, em lugarda história real de carregamento pode ser 
admitida uma história equivalente. Esta história equivalente de carregamento admite 
s da aplicação da carga de curta duração F,, a estrutura seja descarregada da 
de longa duração e, a seguir, carregada com o valor total F, + F,. 
g. 9.1.5-4 mostra o efeito do carregamento e do descarregamento de uma 
esrrurura submetida a uma carga F, de longa duração. 
centricidade inicial e,, do carregamento F, de longa duração é assimilada à 
ixima w, de uma barra com curvatura inicial, a qual é admitida com eixo 
senoiaai. 
No ins cial h, a aplicação de F, amplia aflecha máxima para o valor w2 (to), 
que, ante 
carga F, 
A Fi 
tante ini 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÕES NORMAIS 
IF ,CARREGAMENTO T O T A L 
1 HISTÓRIA REAL DE CARREGAMENTO TOTAL 
CARREGAMENTO 
H I S T ~ R I A EQUIVALENTE DE 
CARREGAMENTO fr 
F 
Fig. 9.1.5-3 Históna de carregamento. 
I 
dado por 
9 I I ,t 
t o 
Por efeito da fluência, no tempo final t,, a flecha máxima toma o valor 
wdt,) = w2(to) . exp 4 (t-, to) F, 
FE - F g 
_*." 
w3ítoa) = elg F~ . exp +(L> to) F, 
FE - Fo FE - Fo 
........... " 
--.-.~" , . ;:. -_ 
Observe-se, Fig. 9.1.5-4, que, se a carga F, fosse aplicada no tempo t, e não no 
tempo to para que se obtivesse a mesma flecha w3(t,) dadapor (9.1.5-3), aflechainicial 
da barra deveria ser 
ou seja, por efeito da fluência, aflecha inicial w, = e,, sofreu um acréscimo e, dado por 
e, = w,. .,luale., - w, 
Desse modo, a flecha suplementar e,correspondente aos efeitos da fluênciavale ! 
...... 
...... ,.-.:*I'- .. . 
. . . . . 
~ . %~.= ..-., 
. . _ _ . - 
Observe-se então, Fig. 9.1.5-3, que essa flecha suplementar se traduz numa 
excentricidade suplementare, para todas as cargas, tanto , q u a n t o F,, que seaplicam 
~imnlfaneamente no tempo final t,, de acordo com a históna equivalente de carrega- 
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA CaTICA 335 
Fig. 9.1.5-4 Determinação da excentricidade suplementar e, devida à fluência. 
9.2. PILAR PADRÃO 
MELHORADO 
9.2.1 MODOS DE EMPREGO De acordo com o que foi visto no item 5.3.4, o conceito de pilar padrão surgiu como 
DO PILAR PADRAO sendo o de um pilar em balanço com linha elástica senoidal, Fig. 9.2.1-1. 
Com essa hipótese, sendo o eixo do pilar dado por 
onde o comprimento de flambagem e, vale 
e, = 2e 
obtém-se 
-, .... I..111. ?do r2 - 10, resulta 
3- (L) 
10 r base 
O momento fletor M, de 2.a ordem na seção da base, dado por 
Mz = F,a 
3 6 ESTRUT~RAS DE CONCRETO. SOLICITAÇ~ES NORMAIS 
9.2.1-1 Pilar 
pode então ser determinado pela expressão 
que é uma função linear da curvatura - lhas 
Surge, desse modo, o processo do pilar padrão. 
Na Fig. 9.2.1-2 é ilustrada a sua aplicação dentro do método geral de calculo. 
Deve-se notar que é dessa maneira que são usualmente determinados os diagramas de 
interação (M,, N),,,, como aqueles ilustrados pelas Figs. 5.3.5-4 e 5.3.5-5. 
A Fig. 9.2.1-3 mostra a aplicação do processo do pilar padrão dentro do método ' 
do equilíbrio: arbitra-se o valor critico de (llr),., e, com este valor arbitrado, é 
calculado o valor de M,,. Para dimensionamento impõe-se a condição de que, para 
N, = N,, seja M, não menor que M,, + M,,. 
Na prática, essa aplicação do método do equilíbrio torna-se difícil, pois elarequer 
que seja arbitrado, de forma adequada, o valor de (llr),,,. 
No caso de pilares não muito esbeltos, a dificuldade de escolha do valor (llr),, 
pode ser contornada, adotando-se curvaturas críticas próximas a curvatura última 
correspondente a peças de esbeltez nula, Fig. 9.2.1-4. 
Conforme se mostra na Fig. 9.2.1-4, essa possibilidade decorre do própi 
*c- 
mento dos diagramas (M - N - l/r). De fato, para barras não muito esbeltas, 
de tangência para a determinação de M,,, é razoavelmente próximo do pontc 
pondente a ruptura material da seção da base. 
Desse modo, a expressão (5.4.4-8), que dá as curvaturas convencionais a 
pela NB-1/78, fornece os valores 
com 
V, + 0,5 1 
l/r), relat iva à mpti ura materi, 
io anda- 
o ponto 
3 u"'.ua- 
dotadas 
os quais, na realidade, correspondem a pontos de um intervalo qut: piuvaveiiiiciiir 
contém o valor exato da curvatura ( 
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÃO DA CARGA CR~TICA 337 
Nessas condiçóes, o emprego de curvaturas críticas convencionais acarreta erros 
na determinação de M,,c,, , pois o valor de (I/r),,i,,, arwtado pode diferir do valor de 
(l/r). correspondente à mptura material. Por essa razão, o método simplificado do 
equilíbrio é restrito a barras medianamente esbeltas (h 80). Para barras de maior 
esbeltez, exige-se o emprego de processos mais rigorosos, como, por exemplo, o 
processo do pilar padrão com o método geral. 
M M 
Nu =Nd O RUFTURA MATERIAI 
D I A G R A M ( M - N - ih) 
DA SEÇAO DA BASE 
PARA UMDADO VALOR M N* 
. ,,," 
Fig. 9.2.1-4 Processo do pilar padrão aplicado ao método simplificado do equilibno. 
9.2.2 FUNDAMENTOS DO Conformejáfoi discutido, para os pilares esbeltos (h > 80) não pode ser empregado o 
PROCESSO DO PILAR processo simplificado do equilíbrio. 
PADRÁO MELHORADO A solução rigorosa do problema exigiria o emprego do método geral, por exem- 
plo, com o processo do carregamento progressivo proporcional. Todavia, cálculos 
dessa natureza somente podem ser elaborados em casos excepcionais. Como altema- 
tiva, pode ser empregado o método do equilíbrio com o processo do deslocamento de 
referência, cujos resultados estão sempre a favor da segurança. 
No caso usual de pilares de seçáo constante, uma soluçáo suficientemente precisa 
pode ser obtida através do método geral com o processo do pilarpadráo. Todavia, em 
I 
 base 
I I I (T )base. cri, ( ~ ) b o i e , u (7 )wbitrodo 
t e 2 arctg (- F, ) I0 
Fig. 9.2.1-2 Processo do pilar padrão aplicado ao método geral. Fig. 9.2:l-3 Processo do pilar padrão aplicado ao método do equilibrio. 
ÚNICO WNTO CALCULADO 1.--- 
----------- 
/ 
/ 
/ 
' 
certos casos, toma-se necessário melhorar a precisão dos resultados obtidos, uma vez 
que, paraos pilares de maior esbeltez, nem sempre pode seradmitidaumalinhaelástica 
senoidal. 
De fato, tendo em vista que a real conf~gumção do eixo deformado do pilar 
depende da verdadeira distribuição de momentos fletores totais M, + M,, em pnnci- 
pio não se pode admitir como verdadeira a expressão (9.2.1-l), sendo portanto 
Para a melhoria dos resultados surge a idéia do pilarpadrão melhorado. Nele é 
considerada a verdadeira distribuição de momentos de ordem, admitindo-se que 
apenas os momentos de 2.a ordem produzam deslocamentos transversais com dis& 
buição senoidal. A Fig. 9.2.2-1 mostra como o fato de a linha elástica total não ser 
senoidal afeta a determinação da carga crítica. 
RUPTURA MATERIAL 
m ~ L 
Fig. 9.2.21 iniiuência da forma da linha elástica na determinação da carga crítica. 
Nessa figura, os momentos de 1 .a e de 2.a ordem correspondentes ao pilar padrão 
(linha elástica senoidal) estão indicados, respectivamente, por M, e M,. No caso do 
pilar padrão melhorado, de linha elástica não-senoidal, esses mesmos valores são 
indicados por M,, e M,,, respectivamente. Observe-se que, em princípio, pode ser 
M,, 5 M,. 
7 
De acordo com o que se mostra na Fig. 9.2.2-1, o momento crítico de ordem 
poderia ser em princípio obtido através da determinação do maior valor de M,, que 
pode ser resistido pela seção dabase. A curvatura íl/r)b,,, correspondente a esse valor 
M,,, ,,, seria a curvatura crítica. 
Esse caminho teórico pode, no entanto, ser simplificado, conforme se verá 
adiante. 
9.2.3 PROCESSO DO PILAR No processo do pilar padrão melhorado admite-se que apenas a componente de 2.a 
PADRÁO MELHORADO ordem da linha elástica tenha distribuição senoidal. A componente de ordemdepende da lei de distribuição dos momentos de ordem, Fig. 9.2.3-1. Admite-se 
também que, tanto no pilar padrão quanto no pilar padrão melhorado, sejam iguais as 
curvaturas ctíticas da base e o momento total crítico. 
1 Com as hipóteses adotadas, quando se passa do pilar padrão para o pilar ---'-'- 
melhorado, uma parte de M,, ,,,, transforma-se em M , .,, , ou vice-versa, co 
seja o andamento do diagrama de momentos M, ao longo do pilar. 
Pai ninação da correção a ser introduzida do mo- ra a deten no valor c lisponível 
OS MESMOS MUX1ES DE 
COMPONENTE SENOIWL 
COMPONEKTE NAo-SENOIDAL 
rbase ait JL- 
PILAR PADRÃO PILAR PADRAO MEL HORADQ 
Fig. 9.2.3-1 Decomposiçáo dos deslocamentos. 
mento de 1." ordem, admite-se a decomposição da curvatura total da base do pilar 
padrão melhorado em duas parcelas, Fig. 9.2.3-2, fazendo 
= (l/r)crit = (l/ri)m + (1Irz)m (9.2.3-1) 
onde 
(1 ..,,,, ,, ~urvatura da seção da base devida a M,,, C,, 
(li,,,, - da curvatura da seção da base devida a M,,, .,, 
Para que es 
(M - N - llr) é 
posição seja exequível em termos práticos, o diagrama 
io, Fig. 9.2.3-2, daí resultando: 
sendo E1 o produto de rigidez secante da seção da base. 
Para a determinação das parcelas (llr,), e (Ilr,), da decomposição da curvatura 
da seção da base, admite-se que a flecha da extremidade livre do pilar padrão melho- 
rado também seja decomposta em duas parcelas, conforme já foi mostrado na Fig. 
9.2.3-1, resultane- 
onde 
alm = flech, ite dos momentos fletores de I .a ordem, a ser determinada 
diretamen~t: ciii função da lei de distribuição destes momentos, que é um 
dado inicial do problema- 
DAWMA (M-N-f I DA S E Ç ~ O DA BASE 
PARA UM 0400 VALOR DE N 
Fig. 9.2.3-2 Processa do pilar padrão melhorado. 
e: a,, = - (l/r,),, correspondente à componente senoidal da linha elástica 
10 
Observe-se que a,, é umvalor conhecido e que h, éumaincógnitadoproblema. 
De acordo com as hipóteses adotadas, tem-se 
MI, cnt + M2, c n t = Mim, cn.t + Mzm, cnt - Mmt 
que passará a ser escrita 
suprimindo-se o índice crit por simplicidade. 
Desse modo, sendo 
M,, = M - M,, 
logo 
M1m = (M1+ Mz) - Mzm 
tem-se 
M,, = M, + M, 1 < -+I 
Por outro lado, sendo 
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CR~TICA 
e: M, = a,,, = P. [alm + - (I) 10 r, 
obtém-se 
e: alm + - (1lrJm 
Mz" = a,,, = 10 
M, a 5 (!) 
10 r 
logo 
M,, = M, + M, 1 
Nessas condições, considerando a linearização expressa pelas equações 
(9.2.3-2), tem-se 
eZ [ a,, E;; L M2, 
M,, = M, + M, I - 10 
- wric 10 1 
De acordo com a analogia de Mohr, a flecha a,, é obtida como o momento 
estático do diagrama&emrelação ao topo do pilarpadrão. Desse modo, fazendo-se 
E1 
Z = a,, E1 (9.2.3-3) 
onde Z é o momento estático do diagrama de momentos M,, resulta 
z 10 - + M,, ( M,, = M, + M, 1 - 
wri1 ) 
ou seja 
Introduzindo nessa expressão a relação 
Mcv,t - Mm = M~rn 
obtém-se 
L M,, - 10 - 
e: 
Como a correção procurada é sempre moderada, no 2.O termo da expressão 
~ 
342 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
anterior admitem-se, por simplicidade, que sejam 
onde M, corresponde ao momento último relativo ao estado limite último de ruptura 
ou de alongamento plástico excessivo. 
Nessas condições, resulta finalmente 
que para maior clareza será escrita 
Uma vezcalculado o valor de Z em função do diagrama de momentos fletores de 
I .a ordem, a expressão (9.2.3-5) fornece o valor melhorado domomento critico de I.= 
ordem. 
9.2.4 COEFICIENTES DE Deacordo com o processo do pilarpadráomelhorado, o momentode I.aordemcritico 
CORREÇÃO. CASOS melhorado M,,, ,,, é dado pela expressão 
PARTICULARES -1 *..--/ J%---."--- --- 
; Mm. c,, = I + Mz, crit 10 
MI, cvit 
,e- 
Mu - z MI, ""7 ,,.i, 
Definindo-se os coeficientes '-'.y.-.'-' .._, '-\-, ' 
Mz, ctit k = - 
M" 
resulta 
MI,, ,tit = M,, ,dt (1 + k a,) 
ou sob a forma adimensi.onal,_, 
d --e--"- .~ 
i. ~ i m , ctit = /*i, crit (1 + k p m ) ~ ,\ 
-.._ 
.- 
A % ~ . ~ ~ d e c o m ~ o s i ~ ã o do diagrama de momentos fletores de I." 
ordem para o cálculo do coeficiente a,. Note-se que, na expressão (9.2.4-7) n 
momento M,, .,, é o valor que atua na base do pilar padrão. 
Considerando as diferentes componentes da diagrama de M,, têm-se: 
a. Componente retangular 
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRfTICA 343 
10 z 
Fig. 9.2.41 Determinação de a, = 1 -- - 
6, MI, base 
b. Componente triangular 
c . Componente parabólica 
2e , e e2 Z, = a1 Mt, base - - = M,, base ai 
3 2 
Na Fig. 9.2.4-2 estão apresentados alguns resultados particulares 
1 MI Ml 
Tabela básica de valores de a, 
Fig. 9.2.42 Coeficientes de cowefão. 
344 ESTRUTZTRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS 
Sendo e = P,/2, resulta 
ou seja 
, 
logo I) 
h -- 
" .,~"Z,X. 
9.2.5 EXEMPLO Considere-se a determinação da máxima força horizontal F, que pode ser aplicada ao 
pilar da Fig. 9.2.5-1. 
A S = 2 x 8 8 2 5 = 8 0 c m 2 
Aço C A - 5 0 A 
f ck = 21 MPa 
Fig. 9.2.5-1 Exemplo. 
De acordo com os dados do problema, têm-se 
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA cRÍTICA 
345 I 
fck - 21 f,d = - - - = 15 MPa = 1,50 kN/cm2 
Y C 134 
A, = 2 X 8 qí 25 = 80 cm2 
fyd = 435 MPa = 43,5 kN/cm2 
As f& = 80 43,5 = 0,36 o=- 
A, fcd 6400 x 1,s 
~ . 
,.&%C ~. . L~ . -,. , 
*. 
.' a. Processo do pilar padrüo .: 
"De acordo c o m o áBeiaco diF ig . 5.3.5-5, para !,/h = 30, o = 0,36 e v, = 0,26, 
tem-se pI, er(l = 0,11, donde 
Desse modo, obtêm-se 
e,, . = 0,42 x 80 = 33,6 cm 
e,, , = 5 cm 
logo 
Fhd = Fud (elc - e,,) - - 2520 x 28,6 = 60,O kN h 1200 
donde 
Esta seria portanto a máxima força horizontal que em serviço poderia ser aplicada 
ao topo do pilar se a componente dalinha elástica, devidaaos momentos de 1 .a ordem, 
fosse senoidal. 
e- 
4 ' b. Processo do pilar padrüo melhorado 
Admitindo-se o resultado obtido anteriormente, o diagrama de momentos de 
ordem permite o cálculo do fator de correçáo, conforme indicado na Fig. 9.2.5-2, 
resultando 
De acordo com o ábaco da Fig. 2.3.5-1, para v, = 0,26 e o = 0,36 tem-se o valor 
último pd = 0,23. 
Desse modo, sendo 
346 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
Fig. 9.2.5-2 Aplicação do pilar padrão melhorado 
obtém-se 
= /"d - /"I. erir = 023 - O,11 
= 0,52 
/"d 0,23 
Conhecidos os dois coeficientes k e a,, resulta finalmente o valor melhorado, 
dado por 
ou seja 
plm,ertt =0,11(1 + 0,52 X0,lM) =O,11 x 1,054=0,116 
donde os valores melhorados 
O 116 F,, = L x 42,9 = 45,2 kN 
0,11 
Em face da ordem de grandeza da correção obtida, não cabe a reformulação do 
diagrama de M, empregado no cálculo dos coeficientes de correção. 
\ 
9.3 ESTUDO GERAL 
DOS PILARES 
, . 
ESBELTOS 
'% ' '. . ."xi." 
9.3.1 PILARES ESBELTOS De acordo com o que foi mostrado na Fig. 7.5.1-2, no caso de pilares esbeltos, com 
DE SEÇAO CONSTANTE 80 < h e 140, a NB-1 não mais permite o emprego do processo simplificado do 
\, ( h s 140) equilíbrio, no qual são adotadas curvaturas últimas padronizadas. 
..,.J-,... ,,@.- .* No caso de pilares esbeltos com h s 140, a NB-1 ainda permite o emprego de 
processos simplificados de cálculo desde que justificados, exigindo porém que, na 
presença de cargas de longa duração, seja levada em conta a influência da flu' ' 
1 N =U, lk s f 1 MPa = 1 MNlm2 = lu kgf/cmP 
I k N = 100 k d = U,l tf 1 kNim = 1W kgfim = 0,l d lm 
I I < N . ~ = IW kgf.,,, = U,I tf.,,, I kNim2 = 100 ksflm' = 0.1 Wm' 
1 ~ N . C ~ = 100 ligtcm = 0,1 tf.cm 1 kNlms= 100ksflm8 = 0,l tflm" 
No caso de pilares de seção constante submetidos a força normal constante, 
quando 80 < A s 140, o processo de cálculo mais aconselhável é o correspondente ao 
9.3.2 PILARESMUITO 
ESBELTOS DE SEÇAO 
CONSTANTE (h > 140) 
1 9.3.3 PILARES COM SEÇAO 
TRANSVERSAL 
VARIÁVEL OU FORCA 
I NORMAL VARIÁVEL 
emprego do método geral com o pilar padrão. 
O cálculo fica bastante simplificado quando existem diagramas de interação em 
função da esbeltez, como os que são mostrados nas Figs. 1.3.5-4 e 5.3.5-5.,Caso 
contrário, é preciso lançar-se mão dos diagramas (momento fletor-força normal- 
curvatura), procedendo como foi mostrado no exemplo do item 8.2.4. 
Em qualquer dos dois casos, cabe formular a correção permitida pelo conceito de 
pilar padrão melhorado. 
Na presença de cargas de longa duração convém empregar o método da excentri- 
cidade equivalente, conforme exemplificado em (8.2.6). 
Nos casos de flexão composta oblíqua, os critérios de linearização do diagrama 
de interação podem ser empregados sem maiores dificuldades. 
Quando o pilar estiver submetido a força normal com significativa variação ao 
longo do seu comprimento, toma-se necessário recorrer a processos mais rigorosos 
como, por exemplo, o do deslocamento de referência. 
A NB-1 permite o emprego de pilares desta natureza, desde que sejam tomadas 
precauções adequadas. 
Dentre essas precauções estão a limitação de ser h < 200, a obrigatoriedade de 
consideração de eventuais fenômenos de vibração e a majoraçáo do coeficiente de 
ponderação da força normal para o valor 
y, = 1,4 + 0,Ol (h - 140) 
Além disso, no caso de pilares com A > 140, a NB-I exige que a segurança seja 
demonstrada por processo exato. Torna-se portanto obrigatório o emprego do método 
geral com o processo do carregamento progressivo proporcional ou então, afavor da 
segurança, do método do equilíbrio com o processo do deslocamento de referência, 
discutido no item 5.4.2. 
Analogamente ao que foi dito para os pilares esbeltos, a influência da fluência 
pode ser considerada pelo método da excentricidade equivalente, e aflexão composta 
oblíqua pode ser tratada a partir da idéia da linearização do diagrama de interação. 
Conforme foi mostrado no item 5.4.2, o método do equilíbrio com o processo do 
deslocamento de referência permite a verificação da estabilidade de pilares com seção 
transversal variável submetidos a qualquer tipo de carregamento. 
Observe-se, no entanto, que adeterminação exatada carga crítica somente pode 
ser feita pelo método geral. 
Q que* método do equilíbrio permite fazer é a simples verificação de se o 
equilíbrio é ou não estável sob a ação do carregamento de cálculo. 
Apresenta-se a seguir uma sistematização do método do equilíbrio aplicado a 
pilares com seção transversal variável. Note-se que a mesma sistematização é válida 
se apenas a força normal varia ao longo do pilar. 
Para isso, considere-se o pilar genérico mostrado na-Fig. 9.3.3-1. 
=&li- carregamento, admitindo todas as açôes com seus valores de cálculo 
F, = Y , FIK 
Subdivide-se o pilar em segmentos que possam ser admitidos com seção cons- 
tante e com força normal constante. 
Consideram-se na l.= etapa apenas os momentos fletores de ordem, 
incluindo-se neles aeventual infiuênciadaexcentricidade equivalente correspondente 
a fluência. 
Através dos diagramas (M, N, l/r) determinam-se as curvaturas desta etapa e, 
por meio da analogia de Mohr, calculam-se as flechas dos pontos nodais adotados na 
subdivisão do pilar em segmentos. 
Essas flechas são adotadas como ponto de partida da 2.a etapa, na qual são 
TODAS AS 
A Ç ~ E S COM 
SEUS VALORES 
DE CALCULO 
Fi = rf Fi r l 
Mi= &,I + M2,i 
Fig. 9.3.3-1 Pilares de seçáo variável. 
considerados os momentos de I.= ordem e os momentos de 2.a ordem determinados 
com as flechas da etapa anterior. 
Com esses esforços são recalculadas as flechas, prosseguindo-se o processo por 
aproximações sucessivas. 
A segurança do pilar estará demonstrada se as flechas dos diferentes pontos 
nodais tenderem para valores limites finitos, pois então terá sido atingidauma posição 
de equilíbrio estável. 
9.3.4 EXEMPLO Verificar a segurança contra o estado limite último do pilar indicado na Fig. 9.3.4-1, 
PRELIMINAR sendo dados: 
F,,d = yf FIiK = 200 kN 
fck = 14 MPa 
fcd = 10 MPa 
Aço CAJOA 
o = constante = 0,60 
Este exemplo tem caráter preliminar e serve tão-somente para que sejamostrado 
o tipo de algoritmo de cálculo empregado. As flechas calculadas neste exemplo são 
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA C ~ ~ T I C A 349 
I k N =lWkBf=O,ltf 
I kN.m = IW kgtm = 0.1 1f.m 
4 C d ' = O,O5 h Fig. 9.3.4-1 Exemplo. 
exageradas porque se admitiu, para todo o pilar, o diagrama v, - E, determinadocom 
os valores de cálculo. Nos itens seguintes, o problema do diagrama tensão- 
deformação a ser empregado será reconsiderado. 
Solução Empregam-se os diagramas (pd, vd. ]/r) do Apêndice 2. 
De acordo com os resultados adiante indicados, verifica-se que já na 3.a etapa fica 
evidenciada a convergência do processo, estando portanto já garantida em termos 
práticos a segurança do pilar considerado, conforme está mostrado na Fig. 9.3.4-1. 
I.= ETAPA 
CÁLCULO DOS ESFORÇOS 
h A, N d Na M L ~ ei 5 e Seção v6 = - h P I ~ = ~d ' 
(m) (m3 (kN) A, f<d (kN.m) (m) h 
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS 
CÁLCULO DAS FLECHAS y,., ,,,,, 
d d = 0,95 h i 103 Seção o v , pid 103 - ?i? 
r (m) r (cm) 
(m-'1 
2.a ETAPA 
CÁLCULO DOS ESFORÇOS 
Seção h YI: e, e, e, e - - - e Vd W d = U d - 
( 4 (cm) (cm) h h h h 
CÁLCULO DAS FLECHAS y,,.,,,, 
d d = 0,95 h 1 103 Seção o vd ,A* 1O3 - Y z o 
r ím) r ( 4 
(m-'1 
3.a ETAPA 
CÁLCULO DOS ESFORÇOS 
Seçáo h YZP e2 e, e , e - - - e Ud p d = V d - 
(cm) (cm) (cm) h h h h 
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRfTICA 
CÁLCULO DAS FLECHAS ys= 
d d = 0,95 h I Seção w vd p,, lo3 - Y8 
r Iml r Icml 
9.3.5 A RIGIDEZ DO 
CONCRETO A SER 
CONSIDERADA 
1 
/ 
No exemplo preiiminar do item anterior, admitiu-se que o diagrama tensão- 
deformação do concreto, empregado no cálculo dos deslocamentos transversais do 
eixo do pilar, fosse o mesmo diagrama parábola-retângulo adotado no cálculo do 
estado limite último de ruptura ou alongamento plástico excessivo. Empregou-se, 
portanto, no exemplo preliminar anterior, o diagrama A da Fig. 9.3.5-1, que é o 
diagrama apresentado no item 8.2.4 da NB-1/78. 
Este também era o diagrama recomendado pelo CEB no seu Manual de Flamba- 
gem1" (Boletim 123, 1978). Esse diagrama leva a uma estimativa exagerada da 
defoi'mabilidade da estrutura. 
0185 fck 
0,85 fcd 
Fig. 9.3.5-1 Possíveis diagramas (c, E ) para o cálculo dos deslocamentos da barra 
De acordo com o Código Modelo do CEB, no estudo da instabilidade é conve- 
niente relacionar a rigidez do concreto à sua resistência média, adotando-se para isso 
um coeficiente de comportamento y. = 0,8, daíresultando para aavaliação de f,d o valor 
y, = 1,2. 
Além disso, o Código Modelo passou a adotar uma expressão analítica mais 
realista para o diagrama uc - E,, correspondente ao diagrama B da Fig. 9.3.5-1. 
Todavia, esse diagrama B, embora menos impreciso que o diagrama parábola- 
retângulo, também é convencional, podendo ser ainda comgido em função da densi- 
dade do concreto. Além disso, como esse diagrama é variável com a resistência do 
concreto e com aforma da seção transversal, o seu emprego exige o cálculo automático 
direto do problema específico em consideração. 
i Parao emprego de diagramas (pd - vd - l/r) comoos apresentados no Apêndice% 
sugere-se a adoçáo usual do diagrama C, particularmente para os pilares esbeltos ( h > 
80) e para os não contraventados, permitindo-se o diagrama D para os pilares simulta- 
neamente contraventados e medianamente esbeltos (h < 80). 
O diagrama B poderá então ser exigido apenas no caso de pilares muito esbeltos, 
(h > 140). 
É importante observar-se que nos diagramas