Lógica AULA 10_respostas

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FACULDADES DOCTUM

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Luan do Carmo Fonseca

03/11/2014

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Lógica para Computação

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25
AULA 10 - RESPOSTAS 
 
DEMONSTRAR A VALIDADE DOS SEGUINTES ARGUMENTOS 
1) p → ~ q, q, ~ p → r ∧ s | r ∧ s 
1. p → ~q 
2. q 
3. ~p → r ∧ s 
4. ~p 1,2: MT 
5. r ∧ s 3,4: MP 
 
2) p → q, ~ p → ~ ~ r, ~q | r 
 
1. p → q 
2. ~ p → ~ ~ r 
3. ~ q . 
4. ~p 1,2: MT 
5. ~ ~ r 2,4: MP 
6. r 5: Dupla Negação 
 
3) p → ~r, q → r, q | ~p 
 
1. p → ~r 
2. q → r 
3. q . 
4. r 2,3: MP 
5. ~ p 4,4: MT 
 
4) ~p → ~q, ~q → ~r, r | p 
 
1. ~ p → ~ q 
2. ~ q → ~ r 
3. r . 
4. q 2,3: MT 
5. p 1,4: MT 
 26
5) ~p ˅ q, ~ p → r, ~ r | q 
 
1. ~ p ˅ q 
2. ~ p → r 
3. ~ r . 
4. p 2,3: MT 
5. p 1,4: SD 
 
6) r → p ˅ q, ~ ~ r, ~ q | p 
 
1. r → p ˅ q 
2. ~ ~ r 
3. ~ q . 
4. r 2: Dupla Negação 
5. p ˅ q 1,4: MP 
6. p 3,5: SD 
 
7) ~p ˅ q, ~ q, ~ (q ∧ r) → p | r 
 
1. ~ p ˅ q 
2. ~ q 
3. ~ (q ∧ r) → p 
4. ~ p 1,2: SD 
5. q ∧ r 3,4: MT 
6. r 5: Simp. 
 
 
8) p, ~ q → ~ p | q ˅ ~ s 
 
1. p 
2. ~ q → ~ p 
3. q 1,2: MT 
4. q ˅ ~s 3: Adição 
 
 
 27
9) ~ p → q, q → r, ~ r | p 
 
1. ~ p → q 
2. q → r 
3. ~ r . 
4. ~ q 2,3: MT 
5. p 1,4: MT 
 
10) p → q, ~q, ~ p → r | ~~r 
 
1. p → q 
2. ~ q 
3. ~ p → r 
4. ~ p 1,2: MT 
5. r 3,4: MP 
6. ~ ~ r 5: Dupla Negação 
 
 
11) ~p → ~q, q | p 
 
1. ~ p → ~ q 
2. q . 
3. p 1,2: MP 
 
12) p ˅ q, ~ q, p → r ∧ s | s ∧ r 
 
1. p ˅ q 
2. ~ q 
3. p → r ∧ s 
4. p 1,2: SD 
5. r ∧ s 3,4: MP 
6. s ∧ r 5: Comutativa 
 
 
 
 28
13) (r ∧ ~t) → ~s, p → s, p ∧ q | ~(~t ∧ r) 
 
1. (r ∧ ~t) → ~s 
2. p → s 
3. p ∧ q . 
4. p 3: Simp. 
5. s 2,4: MP 
6. ~ (r ∧ ~ t) 1,5: MT 
7. ~ (~ t ∧ r) 6: Comutativa 
 
14) (r ∧ s) ˅ p, q → ~p, t → ~p, q ˅ t | s ∧ r 
 
1. (r ∧ s) ˅ p 
2. q → ~ p 
3. t → ~ p 
4. q ˅ t . 
5. ~ p ˅ ~ p 2,3,4: DC 
6. ~ p 5: Idempotência 
7. r ∧ s 1,6: SD 
8. s ∧ r 7: Comutativa 
 
15) ~ p ˅ ~ q, ~ r → p, r → ~ s, s | ~ q 
 
1. ~ p ˅ ~ q 
2. ~ r → p 
3. r → ~ s 
4. s . 
5. ~ r 3,4: MT 
6. p 2,5: MP 
7. ~ q 1,6: SD 
 
 
 29
16) p → q ˅ r, ~ ~ p, ~ r | q 
 
1. p → q ˅ r 
2. ~ ~ p 
3. ~ r . 
4. p 2: Dupla Negação 
5. q ˅ r 1,4: MP 
6. q 3,5: SD 
 
17) r → p ∧ ~ q, r ˅ ~ s, s | ~ q ∧ p 
 
1. r → p ∧ ~ q 
2. r ˅ ~ s 
3. s . 
4. r 2,3: SD 
5. p ∧ ~ q 1,4: MP 
6. ~ q ∧ p 5: Comutativa 
 
18) ~(p ∧ q), ~ q → r, ~ p → r, s → ~ r | ~s 
 
1. ~ (p ∧ q) 
2. ~ q → r 
3. ~ p → r 
4. s → ~ r . 
5. ~ p ˅ ~ q 1,2: De Morgan 
6. r ˅ r 2,3,5: DC 
7. r 6: Idempotência 
8. ~s 4,7: MT 
 
 
 
 
 
 
 
 30
19) p ∧ ~ q, p → ~ r, q ˅ ~s | ~(r v s) 
 
1. p ∧ ~ q 
2. p → ~ r 
3. q ˅ ~s . 
4. p 1: Simp. 
5. ~ q 1: Simp. 
6. ~ r 2,4: MP 
7. ~s 3,5: SD 
8. ~ r ∧ ~ s 6,7: Conjunção 
9. ~ (r ˅ s) 8: De Morgan 
 
20) ~ s → ~ (p ˅ ~ t), t → q ∧ r, ~ s | r ∧ q 
 
1. ~s → ~ (p ˅ ~t) 
2. t → q ∧ r 
3. ~ s . 
4. ~ (p ˅ ~ t) 1,3: MP 
5. ~ p ∧ t 4: De Morgan 
6. t 5: Simp. 
7. q ∧ r 2,6: MP 
8. r ∧ q 7: Comutativa 
 
 
21) ~ p → q, r → q, r ˅ ~ p, ~ q ˅ s | s 
 
1. ~ p → q 
2. r → q 
3. r ˅ ~p 
4. ~ q ˅ s . 
5. q ˅ q 1,2,3: DC 
6. q 5: Idempotência 
7. s 4,6: SD 
 
 31
22) t → p ∧ s, q → ~p, r → ~s, r ˅ q | ~t 
 
1. t → p ∧ s 
2. q → ~p 
3. r → ~s 
4. r ˅ q . 
5. ~ p ˅ ~ s 2,3,4: DC 
6. ~ (p ∧ s) 5: De Morgan 
7. ~ t 1,6: MT 
 
23) r → ~p, (r ∧ s) v t, t → q v u, ~q ∧ ~u | ~p 
 
1. r → ~p 
2. (r ∧ s) ˅ t 
3. t → q ˅ u 
4. ~ q ∧ ~ u . 
5. ~ (q ˅ u) 4: De Morgan 
6. ~ t 3,5: MT 
7. r ∧ s 6,2: SD 
8. r 7: Simp. 
9. ~ p 1,8: MP 
 
24) p ˅ q, s → q ∧ r, p → s, q → s | r ∧ q 
 
1. p ˅ q 
2. s → q ∧ r 
3. p → s 
4. q → s . 
5. s ˅ s 1,3,4: DC 
6. s 5: Idempotência 
7. q ∧ r 2,6: MP 
8. r ∧ q 7: Comutativa 
 
 
 32
25) ~(p ˅ ~r), p ˅ q, r → s, q ∧ s → t ∧ s | s ∧ t 
 
1. ~ (p ˅ ~r) 
2. p ˅ q 
3. r → s 
4. q ∧ s → t ∧ s 
5. ~ p ∧ r 1: De Morgan 
6. ~ p 5: Simp. 
7. r 5: Simp. 
8. q 2,6: SD 
9. s 3,7: MP 
10. q ∧ s 8,9: Conjunção 
11. t ∧ s 4,10: MP 
12. s ∧ t 11: Comutativa 
 
26) p → q, q → r | ~ p ˅ r 
 
1. p → q 
2. q → r . 
3. p → r 1,2: SH 
4. ~ p ˅ r 3: Condicional 
 
 
27) r → p ∧ q, ~ p ˅ ~ q, r ˅ s | s 
 
1. r → p ∧ q 
2. ~ p ˅ ~ q 
3. r ˅ s . 
4. ~ (p ∧ q) 2: De Morgan 
5. ~ r 1,4: MT 
6. s 3,5: SD 
 
 
 
 33
28) p v q → r, ~r, ~p → s | s 
 
1. p ˅ q → r 
2. ~ r 
3. ~ p → s . 
4. ~ (p ˅ q) 1,2: MT 
5. ~ p ∧ ~ q 4: De Morgan 
6. ~ p 5: Simp. 
7. s 3,6: MP 
 
 
29) (p → q) → r, ~r, (~p v q) v s | s 
 
1. (p → q) → r 
2. ~r 
3. (~p ˅ q) ˅ s . 
4. ~ (p → q) 1,2: MT 
5. ~p ∧ ~q 4: Condicional 
6. s 3,5: SD 
 
 
30) ~(p ∧ q) → (r → s), r ∧ ~s, q → t | t 
 
1. ~ (p ∧ q) → (r → s) 
2. r ∧ ~s 
3. q → t . 
4. ~(~r ˅ s) 2: De Morgan 
5. ~(r → s) 4: Condicional 
6. p ∧ q 1,5: MT 
7. q 6: Simp. 
8. t 7,3: MP 
 
 
 
 34
31) p ˅ ~(q ˅ ~r), ~p, r → s ˅ t | s ˅ t 
 
1. p ˅ ~ (q ˅ ~ r) 
2. ~ p 
3. r → s ˅ t . 
4. ~(~q ˅ ~r) 1,2: SD 
5. ~q ∧ r 4: De Morgan 
6. r 5: Simp. 
7. s ˅ t 3,6: MP 
 
32) p ˅ q → r, ~ r, q ˅ (~ s ˅ t) | s → t 
 
1. p ˅ q → r 
2. ~ r 
3. q ˅ (~ s ˅ t) . 
4. ~ (p ˅ q) 1,2: SD 
5. ~ q ∧ r 4: De Morgan 
6. r 5: Simp. 
7. s ˅ t 3,6: MP 
 
33) p ˅ (~ q → r), ~ (p ˅ s) ∧ ~r | q 
 
1. p ˅ (~ q → r) 
2. ~ (p ˅ s) ∧ ~ r . 
3. ~ p ∧ ~ s ∧ ~ r 2: De Morgan 
4. ~ p 3: Simp. 
5. ~ r 3: Simp. 
6. ~ q → r 1,4: SD 
7. q 5,6: MT 
 
 
 
 35
34) (p → q) → r, ~ r ˅ s, ~(p ∧ ~q), s ˅ t → u | u 
1. (p → q) → r 
2. ~ r ˅ s 
3. ~ (p ∧ ~ q) 
4. s ˅ t → u . 
5. ~ p ˅ q 3: De Morgan 
6. p → q 5: Condicional 
7. r 1,6: MP 
8. s 2,7: SD 
9. s ˅ t 8: Adição 
10. u 9,4: MP 
 
35) ~ p ˅ q, ~ s → ~ r, p ˅ (r ∧ t) | q ˅ s 
1. ~ p ˅ q 
2. ~ s → ~r 
3. p ˅ (r ∧ t) . 
4. (p ˅ r) ∧ (p ˅ t) 3: Distributiva 
5. p ˅ r 4: Simp. 
6. ~ p → r 5: Condicional 
7. ~ r → p 6: Contrapositiva 
8. ~ s → p 2,7: SH 
9. p → q 1: Condicional 
10. ~ s → q 8,9: SH 
11. s ˅ q 10: Condicional 
 
36) p → ~q, p v (r ∧ s) | q → s 
1. p → ~q 
2. p ˅ (r ∧ s) . 
3. (p ˅ r) ∧ (p ˅ s) 2: Distributiva 
4. p ˅ s 3: Simp. 
5. ~ p → s 4: Condicional 
6. ~ s → p 5: Contraposição 
7. ~ s → ~ q 1,6: SH 
8. q → s 7: Contraposição 
 
 36
37) p → q ˅ r, ~r | p → q 
 
1. p → q ˅ r 
2. ~ r . 
3. ~ p ˅ q ˅ r 1: Condicional 
4. ~ p ˅ q 2,3: SD 
5. p → q 4: Condicional 
 
 
38) ~p ˅ ~q → r, r → s | ~s → p 
 
1. ~ p ˅ ~ q → r 
2. r → s . 
3. ~ p ˅ ~ q → s 1,2: SH 
4. (p ∧ q) ˅ s 3: Condicional 
5. (p ˅ s) ∧ (p ˅ q) 4: Distributiva 
6. p ˅ s 5: Simp. 
7. ~ p → s 6: Condicional 
8. ~ s → p 7: Contrapositiva 
 
 
39) p ˅ q, q → r, ~r | s → p 
 
1. p ˅ q 
2. q → r 
3. ~ r . 
4. ~ q 2,3: MT 
5. p 1,4: SD 
6. ~ s ˅ p 5: Adição 
7. s → p 6: Condicional37
40) p → q, q ˅ r → s, ~ s | ~ p 
 
1. p → q 
2. q ˅ r → s 
3. ~ s . 
4. ~ (q ˅ r) 2,3: MT 
5. ~ q ∧ ~ r 4: De Morgan 
6. ~ q 5: Simp. 
7. ~ p 1,6: MT 
 
 
41) p ˅ (q ∧ r), p ˅ r → s ∧ t | s 
 
1. p ˅ (q ∧ r) 
2. p ˅ r → s ∧ t . 
3. (p ˅ q) ∧ (p ˅ r) 1: Distributiva 
4. p ˅ r 3: Simp. 
5. s ∧ t 2,4: MP 
6. s 5: Simp. 
 
 
42) (p → q) ˅ ( r ∧ s), ~ q | ~ p ˅ s 
 
1. (p → q) ˅ ( r ∧ s) 
2. ~ q 
3. ~ p ˅ q ˅ (r ∧ s) 1: Condicional 
4. ~ p ˅ (r ∧ s) 2,3: SD 
5. (~ p ˅ r) ∧ (~ p ˅ s) 4: Distributiva 
6. ~ p ˅ s 5: Simp. 
 
 
 38
43) p → q, p ∧ q → r v s, r v s → ~t, (p → ~t) → u | u 
 
1. p → q 
2. p ∧ q → r ˅ s 
3. r ˅ s → ~t 
4. (p → ~t) → u . 
5. p → (p ∧ q) 1: ABS 
6. p → r ˅ s 5,2: SH 
7. p → ~ t 3,6: SH 
8. u 4,7: MP 
 
 
 
44) p ˅ q → r ∧ s, ~ r | ~ p 
 
1. p ˅ q → r ∧ s 
2. ~ r . 
3. ~ r ˅ ~ s 2: Adição 
4. ~ (r ∧ s) 3: De Morgan 
5. ~ (p ˅ q) 1,4: MT 
6. ~ p ∧ ~ q 5: De Morgan 
7. ~ p 6: Simp.