Trabalho de Turbinas Hidráulicas

Prévia do material em texto

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ 
INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS E ENGENHARIAS 
CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
 
 
 
DEDUÇÃO DOS COEFICIENTES DE CARGA, DE POTÊNCIA E 
DE VAZÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Marabá-PA 
22/02/2018 
 
2 
 
Vinícius dos Santos Gonçalves - 201440608028 
 
 
DEDUÇÃO DOS COEFICIENTES DE CARGA, DE POTÊNCIA E 
DE VAZÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Marabá-PA 
22/02/2018 
 
Trabalho avaliativo para obtenção 
parcial de nota da disciplina de 
Turbinas Hidráulicas sob 
orientação do Prof. Me. Dimitri 
Oliveira e Silva. 
3 
 
 
Deduzir os coeficientes de carga, de potência e de vazão, apresentados em sala de 
aula, através da aplicação das leis de semelhança, análise dimensional e modelos. 
Realizando comentários sobre cada termo dimensional e adimensional utilizado na 
dedução. 
 
1. LEIS DE SEMELHANÇA 
Existem duas leis de semelhança comumente empregadas nas análises de operações 
de bombas. A primeira lei de semelhança é conhecida como Semelhança Geométrica 
empregada nos casos onde deseja-se conhecer o efeito da mudança de diâmetro do rotor, 
D, de uma família de bombas geometricamente semelhantes que operam a uma 
determinada rotação, no comportamento da bomba. A Eq. 14, à frente, indicará que para 
um mesmo coeficiente de vazão e rotações iguais 
3
1 1
3
2 2
Q D
Q D

 
Analogamente, 
2
1 1
2
2 2
r
r
h D
h D

 
5
1 1
5
2 2
eixo
eixo
W D
W D

 
É muito comum os fabricantes colocarem rotores com diâmetros diferentes numa 
mesma carcaça. Neste caso não há manutenção de uma similaridade geométrica completa 
e as relações de escala não são totalmente válidas. Entretanto, a experiência mostra que 
estas leis de escala podem ser ainda utilizadas para estimar o efeito da mudança de 
diâmetro do rotor se a mudança de diâmetro não for muito ampla. 
A Segunda lei de semelhança é usada quando se deseja variar a velocidade de 
operação da bomba. A Eq. 14, mais adiante, mostrará que para iguais vazões (mesma 
eficiência) e para os mesmos diâmetros 
1 1
2 2
Q n
Q n

 
Tratando-se de duas bombas idênticas, mas que operam com rotações diferentes e 
apresentam o mesmo coeficiente de vazão, as Eqs. 15 e 16, adiante, mostrarão que 
Eq. 03 
Eq. 01 
Eq. 02 
Eq. 04 
4 
 
2
1 1
2
2 2
r
r
h n
h n

 
3
1 1
3
2 2
eixo
eixo
W n
W n

 
Portanto, segundo [2] é cabível a análise de que a vazão varia diretamente com a 
rotação, a carga varia com o quadrado da rotação e a potência varia com o cubo da rotação. 
Esta lei de semelhança é muito útil para estimar o efeito da mudança da rotação sobre o 
comportamento da bomba. 
2. ANÁLISE DIMENSIONAL 
A análise dimensional só tem sentido quando o número de variáveis adimensionais 
necessárias para descrever o fenômeno físico for menor que o número de variáveis físicas 
dimensionais envolvidas no fenômeno. 
Com a finalidade de expor graficamente a relação entre as variáveis envolvidas, é 
necessária uma função. Para determiná-la, pode-se utilizar o Teorema Pi (π) de 
Buckingham e achar o número de grupos, além de seus valores dimensionais que 
equacionados tornam-se adimensionais. 
O teorema de Buckingham é um teorema fundamental na análise dimensional. Tal 
teorema estabelece que, se uma equação envolvendo k variáveis for dimensionalmente 
homogênea, ela pode ser reduzida a uma relação entre k - r, onde r é o número mínimo 
de dimensões básicas necessárias para descrever as variáveis. 
Tratando-se de um teorema, o conjunto lógico que faz o ser indica os seguintes 
passos: 
1. Listar todas as variáveis envolvidas; 
2. Representar cada variável em termos de duas dimensões básicas; 
3. Determinar o número necessário de termos π (k - r); 
4. Escolher as variáveis de repetição, onde o número necessário é igual ao número de 
dimensões básicas do passo 2; 
5. Formar um termo π multiplicando uma das variáveis não repetidas pelo produto das 
variáveis de repetição, cada uma delas elevada a um expoente que torne a combinação 
adimensional; 
Eq. 05 
Eq. 06 
5 
 
6. Repetir o passo 5 para cada uma das variáveis não repetidas remanescentes; 
7. Verificar se todos os termos π são adimensionais; 
8. Representar a forma final como uma relação entre os termos π. Habitualmente: 
π 1 = f (π2; π3; ... ; πk -r ) 
O funcionamento de uma turbina hidráulica é acompanhado de grandezas que 
mantém uma certa dependência entre si. Estas grandezas, denominadas grandezas 
características do funcionamento, são: 
1) Grandezas geométricas: 
D = dimensão geométrica característica; 
Li = dimensões geométricas lineares, i =1, 2, 3, ..., n; 
αi = ângulos das pás do estator; 
βi = ângulos das pás do rotor. 
2) Propriedades do fluido: 
ρ = massa específica 
μ = viscosidade dinâmica 
3) Grandezas de controle: 
Q = vazão; 
n = rotação 
4) Grandezas de funcionamento dependentes: 
Y = energia específica; 
Ph = potência hidráulica; 
Pe = potência de eixo; 
η= rendimento global; 
Me = Momento de eixo ou torque. 
Assim, fica claro que um amplo número de variáveis está envolvido no estudo das 
máquinas de fluxo. Uma análise dimensional entra como ferramenta para reduzir esse 
número de variáveis. 
6 
 
Para a análise dimensional de uma turbina hidráulica, definindo-se a potência de 
saída para uma dada abertura das pás do distribuidor e um determinado ângulos das pás 
do rotor, têm-se, seguindo os passos do teorema de Buckingham: 
Pe = f (Q, n, D, Y, ρ, μ) 
ou 
Pe = const Q
a nb Dc Yd ρe μf 
Se cada variável é demonstrada em termo de suas dimensões fundamentais, massa 
(M), comprimento (L) e tempo (T), então, colocando em termos das dimensões básicas 
ML2 / T 3 = const (L3 / T)a (1/ T)b (L)c (L2 / T 2) (M / L3)e (M / LT )f 
 
Igualando os índices; 
 
M 1 = e + f 
L 2 = 3a + c + 2d - 3e - f 
T - 3 = -a - b - 2d - f 
 
Como se tem seis incógnitas e apenas três equações, pode-se resolver para três delas 
em função das outras três. Assim resolvendo para b, c e e em termos de a, d e f: 
b = 3 – a – 2d - f 
c = 5 – 3a – 2d - 2f 
e = 1 – f 
Substituindo b, c e e: 
Pe = const Q 
a n3 – a – 2d - f D5 – 3a – 2d - 2f Yd ρ1 – f μf 
Reescrevendo a equação acima; 
3 5 3 2 2 2
fa a
eP Q Yconst
n D nD n D nD

 
    
      
     
 
Cada grupo na eq. acima é adimensional e são conhecidos como: 
3
Q
nD
 
 coeficiente de vazão 
2 2
Y
n D
 
 coeficiente de carga 
Eq. 10 
Eq. 07 
Eq. 08 
Eq. 09 
Eq. 11 
7 
 
2
e
nD
R



 número de Reynolds 
3 5
eP
n D



 coeficiente de potência 
Estas equações fornecem as relações de semelhança desejadas para uma família de 
bombas geometricamente semelhantes. Se duas bombas de uma mesma família são 
operadas em pontos que apresentam o mesmo coeficiente de vazão 
3
Q
nD

 
 
 
, têm-se; 
3 3
1 2
Q Q
nD nD
   
   
   
 
2 2 2 2
1 2
Y Y
n D n D
   
   
   
 
3 5 3 5
1 2
e eP P
n D n D 
   
   
   
 
Onde indicam duas bombas quaisquer de uma mesma família geometricamente 
semelhante. 
 
Eq. 14 
Eq. 12 
Eq. 13 
Eq. 15 
Eq. 16 
8 
 
3. Referências bibliográficas 
[1] FOX. R.W.; MCDONALD. A.T.; PRITCHARD.P.J. Introduçãoa Mecânica dos 
Fluidos; 8ª Ed. LTC. 2014 
[2] FREITAS,G.H.S.; MICHELS,F.S.; PASSOS.W.E.; Análise Dimensional e Aplicação 
Hidráulica da Teorema de Pi de Buckingham. Rio Grande, 2015. 
[3] Mecânica dos Fluidos. Análise Dimensional e Semelhança Dinâmica. Disponível em: 
wwwmecanicadosfluidos.blogspot.com.br/2010/11/analise-dimensional-e-