Analise Dimensional e Modelagem_Julho 2010

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Universidade Federal de Pernambuco
CTG 
PPGEM
Análise Dimensional e Modelagem
Disciplina : Hidrodinâmica
Apresentação : Eduardo J.F.Rocha
Profº Dr.Alex Maurício Araújo
Recife / PE - Julho - 2010
Análise Dimensional e Modelagem Experimental.
CONTEÚDO:
	Dimensões e Unidades;
	Lei da homogeneidade dimensional;
	Adimensionalização das Equações;
	Teorema de Pi de Buckingham para obtenção de Adimensionais;
	Principais adimensionais da Mecânica dos Fluidos ;
	Modelos Físicos;
	Exemplo de aplicação de modelagem física na determinação da resistência ao avanço em uma embarcação.
Dimensões e Unidades
Dimensão é um parâmetro para descrever um fenômeno físico (sem valores numéricos), enquanto unidade é uma forma de atribuir uma medida àquela dimensão.
Existem sete dimensões primárias, também chamadas fundamentais ou básicas.
Tabela das dimensões primárias e suas unidades SI e inglesas.
Todas as dimensões não primárias podem ser formadas por alguma combinação das sete dimensões primárias. Exemplo: Dimensões de Força = Massa x Aceleração(ML/t ²)
	Dimensão	Símbolo	Unidade SI	 Unidade Inglesa
	Massa	M	kg(quilograma)	lbm(libra-massa)
	Comprimento	L	m(metro)	Pé
	Tempo	t	s(segundo)	s(segundo)
	Temperatura	T	K(kelvin)	R(rankine)
	Corrente Elétrica	I	A(ampére)	A(ampére)
	Quantidade de Luz	C	cd(candela)	cd(candela)
	Quantidade de Matéria	N	mol	mol
 Lei da Homogeneidade Dimensional
Enunciado : Todo termo aditivo de uma equação deve ter as mesmas dimensões.
Um exemplo é o da Variação da Energia Total de um Sistema, que diz :
∆E total = ∆E interna (∆U) + ∆E cinética (∆EC) + ∆E potencial (∆EP), que valem :
∆U= m(u₂ - u ₁ ) ∆EC= ½ m ( V ₂² - V ₁ ² ) ∆EP= m g (z ₂ - z ₁ ) 
Escrevendo as dimensões primárias de cada termo, tem-se :
∆E = Energia= Trabalho = Força. Comprimento → ML ² / t ²
∆U= Massa(Energia Interna/Massa)= Energia Interna→ ML ² / t ²
∆EC =Massa (Comprimento ² / Tempo ²) → ML ² / t ²
∆EP = Massa (Comprimento / Tempo ²) Comprimento → ML ² / t ²
Além da homogeneidade dimensional, os cálculos são válidos apenas quando as unidades também são homogêneas em cada termo aditivo. 
Exemplo : Homogeneidade Dimensional da Equação de Bernoulli
A forma padrão da Equação de Bernoulli para o escoamento irrotacional de um fluido incompressível é : 
 P + ½ ρ V ² + ρ g z = C 
Este é um bom exemplo de uma equação dimensionalmente homogênea (todos os termos aditivos, inclusive a constante, têm a mesma dimensão da pressão), conforme análise abaixo :
P= Pressão= Força/ Área = Massa (Comprimento/Tempo ²)(1/Comprimento ²)= M/Lt ²
½ ρ V ² = (Massa/Volume)(Comprimento/Tempo) ² = M/Lt ²
ρ g z = (Massa/ Volume)(Comprimento/Tempo ²) Comprimento = M/Lt ²
Portanto, todos os três termos aditivos têm as mesmas dimensões, e pela Lei da Homogeneidade, a constante C também terá as mesmas dimensões dos outros termos aditivos.
Adimensionalização das Equações.
A lei da homogeneidade dimensional garante que cada termo aditivo de uma equação têm as mesmas dimensões. Portanto, ao se dividir cada termo da equação por uma coleção de variáveis e constantes cujo produto tem aquelas mesmas dimensões, a equação se transforma em uma equação adimensional. 
Se, além disso, os termos adimensionais da equação forem da ordem de unidade, a equação é chamada normalizada.
A normalização é portanto, mais restritiva do que a adimensionalização, embora os dois termos, às vezes, sejam usados (incorretamente) com o mesmo significado.
No processo de adimensionalização de uma equação de movimento, os parâmetros adimensionais quase sempre aparecem – o nome da maioria deles é uma homenagem a um cientista ou engenheiro notável - Exs : nº de Reynolds ou o nº de Froude.
Uma forma adimensionalizada da equação de Bernoulli é obtida pela divisão de cada termo aditivo por uma pressão (aqui usa-se P∞). Cada termo resultante é adimensional :
P/ P∞ + ( ½ ρ V ²) / P∞ + (ρ g z ) / P∞ = C / P∞
 
Objetivo da Adimensionalização
Reduzir o número de variáveis que controlam determinado fenômeno físico, sem que haja perda de informações nessa transformação, particularmente quando se desconhece a função que relaciona as grandezas (futuras variáveis) envolvidas.
Como:
Fazendo uso de monômios adimensionais. Para tal, será necessário encontrar um dividendo que deixe todos os termos da equação adimensionalizados.
Exemplo 1: Adimensionalização da equação do Movimento
Da Física clássica tem-se : S -S₀= V₀ t + ½ at² . Dividindo a expressão por Vt :
 
 
 
 
estando portanto, todos os itens desta equação adimensionalizados, gerando novos números 
Exemplo : Adimensionalização da Equação de Movimento (Lançamento Vertical)
Considere a equação do movimento que descreve a elevação z de um objeto que cai pela ação da gravidade através do vácuo ( lançamento vertical para cima).
Equação Dimensional do Movimento : d²z/dt ² = - g 
Onde : z₀ = posição inicial do objeto ; w₀ =velocidade vertical inicial positiva na direção para cima, portanto w < 0 para um objeto em queda ; g = constante gravitacional; t = tempo.
Passos para adimensionalização de uma equação dimensional : 
1)Listar as dimensões primárias dos parâmetros da equação .
Neste estudo existem 2 dim. primárias( L e t) , nos parâmetros : 
 z e z₀ = L ; t = t . 
Obs : g = L / t² , w₀ = L/t , são parâmetros de dimensões não primárias,
formadas de combinação das dimensões primárias.
2)Utilizar os parâmetros de escala (com base nas dimensões primárias 
 contidas na equação original) selecionados. 
Neste caso existem duas dimensões primárias – comprimento e tempo – e portanto, limitados à seleção de apenas dois parâmetros de escala.
Obs1 : Poderia ter sido escolhido outros parâmetros de escala, uma vez que existem 3 constantes dimensionais : g, z₀ e w₀.
Obs2 : Nos problemas de escoamento de fluidos, geralmente existem pelo menos 03(três) parâmetros de escala , ex: L, V e P, uma vez que há pelo menos três dimensões primárias ( ex : massa, comprimento e tempo). 
Utilizando os parâmetros de escala z₀ e t₀ para adimensionalizar as variáveis dimensionais z e t da equação em estudo, tem-se :
Variáveis adimensionalizadas : z*=z/z ₀ e t*= t / t ₀ = (w₀ t / z₀ ) → 
Obs: Será trabalhada a equação t* nesta forma (envolvendo a velocidade) para achar-se adiante, o adimensional denominado Nº de Froude, demonstrando que Froude se relaciona com as velocidades(do bólido e das ondas) envolvidas no sistema hidrodinâmico.
Da equação dimensional do movimento(slide anterior) tem-se:
 , que é a eq. adim. desejada.
Extraindo a raiz quadrada da expressão final acima , tem-se o parâmetro adimensional denominado Nºde Froude = ( Forças Inerciais> veloc do bólido )
		 (Forças de Gravidade> veloc propagação da onda)
A equação do movimento adimensionalizada ficará : 
 
A figura ao lado mostra como o Nºde Froud 
é importante nos escoamentos com superfície livre,
como o escoamento em canais abertos ou através 
de uma comporta basculante. Fr a montante da comporta é :
 e a jusante da comporta é 
 
Exemplo : Encontrar a Força F, que o escoamento com velocidade V, de um fluido com massa específica ρ e viscosidade μ , aplica na esfera de diâmetro D.
Experimentalmente, coloca-se diversas esferas com diâmetro e velocidades variáveis, tendo a viscosidade e densidade constantes, para então verificar-se a Força F medida no dinamômetro ( instalado com um barbante , tracionandoa esfera). 
 
Neste experimento obtém-se que se o diâmetro da esfera é aumentada, as resistências contra o fluido aumentarão, por consequência a velocidade v de escoamento irá diminuir e a Força F (leitura no dinamômetro) aumentará.
A uma determinada velocidade v, teremos um F e um diâmetro correspondentes.
Se uma nova velocidade ou um novo diâmetro for inserido, implica num novo resultado de Força.
*
Ocorre que a gama de fluidos existentes simplesmente não permite tanta flexibilidade e portanto, é experimentalmente impossível gerar uma matriz completa da força de arrasto F, sobre uma esfera de diâmetro D , num escoamento com velocidade V, de fluido com massa específica e densidade (considerando-se todas as grandezas como variáveis).
Será encontrada a solução da função F = f por alternativa, determinando experimentalmente , onde são monômios adimensionais , formados pelas grandezas envolvidas na determinação da força de arrasto na esfera.
Postulando , tem-se os números de :
Euler : (Força de arrasto) ; Reynolds : (Força de inércia)
 (Força de inércia) (Força viscosa)
Obs: Perceba que as grandezas que envolvem este fenômeno, aparecem em pelo menos um dos adimensionais.
Para se estabelecer a função (Euler função de Reynolds, ou ainda, a determinação da relação entre Euler e Reynolds), deve-se tentar experimentalmente utilizando-se uma única esfera D e um único fluido de massa específica e viscosidade 
 . 
 
Procedimento para o experimento : Dispor a esfera na seção de testes do túnel de vento, medindo-se a força de arrasto na esfera (dinamômetro) para “n” diferentes velocidades (só varia a velocidade V, e por consequência , varia F). Obtém-se resultados que proverão os dados para a formatação do gráfico abaixo:
Esta curva é conhecida como curva universal deste fenômeno, pois resolve qualquer problema de determinação da força de arrasto numa esfera lisa de qualquer diâmetro, imersa no escoamento de um fluido qualquer e escoando em qualquer velocidade.
Exemplo : determinação da força de arrasto de uma esfera imersa em óleo.
Dados :
D = 6 cm = 0,06 m ; V = 0,1 m/s ; = 900 kg/m³ ; Viscosidade cinemática= 
Solução : 
 
Da Curva Universal (slide anterior) obtém-se Eu = 0,2. Portanto tem-se :
Teorema de Pi de Buckingham para obtenção de Adimensionais:
*Será aplicado Pi de Buckingham na confirmação da obtenção dos adimensionais do exemplo anterior.
	Listar e contar as “n” grandezas físicas que controlam o fenômeno, considerando as dependentes e independentes. 
No exemplo tem-se n=5, pois f
2)Escrever a base dimensional fundamental “m” completa que permite expressar as unidades de todas as grandezas. Exemplos:
	Mecânica dos Fluidos =Massa, Comprimento, Tempo (m = 3)
	Cinemática = Comprimento, Tempo ( m=2)
	Termo fluido = Massa, Comprimento, Tempo, Temperatura(m=4)
Pelo teorema teremos o “nº de adimensionais que será gerado = n – m ” = 5 - 3 = 2 
3- Escolha dos elementos da “nova base”.
	Escolhe-se entre as grandezas listadas, aquelas que possam servir como uma nova base dimensional. Precisa-se escolher entre as grandezas listadas(etapa 1), uma delas para servir de base dimensional de massa, uma outra grandeza para servir de base dimensional de comprimento , e uma terceira grandeza para servir de base dimensional de tempo.
	A base dimensional de escolha em Mecânica dos Fluidos por apresentarem resultados usuais é (M/L³= base dimensional de massa), V ( L/t= base dimensional de tempo) e D ( D ou L , por serem base dimensional de comprimento).
Obs: (ML/t) poderia ser escolhida como base dimensional de tempo, uma vez que “t” faz parte das unidades de viscosidade; entretanto, é menos usual.
4-Construção dos adimensionais .
	Da 2ª etapa, para o exemplo analisado , serão gerados dois adimensionais : 
> Nº adimensionais = nº de grandezas –base dimensional Mec Fluidos = 5 – 3 = 2 ( ) 
Forma-se os adimensionais com os elementos da nova base , todos eles afetados por expoentes a serem determinados, além de incluir em cada um dos adimensionais uma das grandezas que não fizeram parte da nova base.
Assim será construído inserindo a força F e inserindo a viscosidade . 
Os adimensionais serão :
 
sendo a,b,c,d,e,f expoentes a serem determinados.
Solução:
Exemplo : Obter a fórmula universal de perda de carga , distribuída num duto
 circular de diâmetro D, comprimento L, onde um fluido de massa específica , e viscosidade , escoa com velocidade média V .
 =perda de carga distribuída ; g= gravidade ; f= coef de perda de carga.
 
 
1)Listar e contar as n grandezas que controlam o fenômeno:
Com o intuito de utilizar-se de grandezas usuais, será lançado mão de artifício matemático para a substituição da perda de carga pela queda de pressão entre duas seções de escoamento num duto horizontal, conforme descrito a seguir:
De Bernoulli tem-se :
 . Dividindo-se pelo peso específico , ficará :
 . Tem-se : , então
 . Este resultado mostra que em dutos horizontais de seção 
uniforme, a queda de pressão entre duas seções de escoamento se deve integralmente à perda de carga no trecho. Feitas estas considerações, estamos agora em condições de listar as grandezas que controlam a perda de carga distribuída em dutos. 
2- Escolha da base dimensional fundamental completa
Utilizando-se da base dimensional fundamental da Mecânica (M,L,T), temos m=3, e portanto, o número de adimensionais a serem construídos serão quatro ( n - m= 7 - 3 = 4 )
3- Escolha dos elementos da nova base
Como a base preferencial da Mecânica dos Fluidos está presente no problema, esta é portanto a escolha natural, sendo .
4-Construção dos adimensionais
As grandezas que ficaram fora da nova base são : . Pela simples inspeção das dimensões dessas grandezas, aliado ao exemplo anterior, reconhece-se que os adimensionais serão os seguintes:
Pela figura 5.8, parece óbvio que a queda de pressão ao longo da tubulação cresça com o comprimento L, permitindo reescrever :
Portanto o coeficiente de perda de carga distribuída é uma função da forma 
Isso permite escrever a fórmula universal da perda de carga distribuída na forma pedida no enunciado que é . A função para escoamento turbulento, obter-se-á experimentalmente. Para o escoamento laminar, f é independente da rugosidade relativa , sendo possível obter uma expressão analítica para f na forma 
 .
Principais adimensionais da Mecânica dos Fluidos :
Os adimensionais não são simplesmente números sem dimensões. Todos eles têm uma interpretação física, que nos auxilia julgar a relação entre as forças dominantes em determinado escoamento. Esses adimensionais surgem quando uma determinada grandeza é listada juntamente com a base preferencial(completa ou incompleta) da Mecânica dos Fluidos . 
A figura ao lado, exemplifica ouso de alguns destes adimensionais.
Número de Reynolds (Re): Aparece quando a viscosidade dinâmica , ou a viscosidade
Cinemática (lê-se Ni) é listada. Aplicado quando só existe fluido envolvido no problema.
Representa a relação entre as forças inerciais e as forças viscosas.
Obs: Na análise dimensional, D ou L, possuem a mesma dimensão característica.
*Escoamentos Laminares : Re muito baixo, pois (as forças viscosas são mais eminentes)
*Escoamentos Turbulentos : Re muito elevado, pois (as forças inerciais são mais eminentes)
Número de Euler (Eu):
Aparece quando uma força F é originada de uma pressão P. Esse adimensional expressa a relação entre a força F que atua no corpo (P=F/A) e as forças de inércia.
 
Obs:O coeficiente ½ foi introduzido pois , representa a pressão dinâmica do sistema.
Para escoamentos ao redor de perfis aero/hidrodinâmicos, Eu recebe o nome de Ca (coeficiente de arrasto, quando está envolvida a força de Arrasto) ou ainda, recebe o nome de Cs (coeficiente de sustentação, quando está envolvida a força de sustentação).
Tem-se que as forças de arrasto e de sustentação são medidas experimentalmente, e ainda, Sref equivale a área de referência do perfil.
Número de Froud (Fr):
Aparece quando a gravidade g (grandeza da qual deriva a força gravitacional) é listada.
Nos escoamentos que admitem superfície livre , tais como: vertedores, canais, ação de ondas em flutuadores, etc; é a gravidade que controla a posição e a geometria da superfície livre do líquido. Normalmente aparece através de planos inclinados.
Número de Weber(We):
Aparece quando a tensão superficial dos líquidos é listada ( a tensão superficial ocorre na interface líquido/gasoso, através do enrijecimento da superfície livre dos líquidos, assumindo uma forma côncava).
Os escoamentos de filmes finos e a formação de gotas de líquidos e bolhas de gás são exemplos de escoamentos em que We é importante. 
Os efeitos da tensão superficial podem aparecer nos modelos reduzidos de rios escoando em um filme fino (quando esta tensão é significativa) o que não ocorre em escala real. Medidas corretivas experimentais devem ser aplicadas, para minimizar esses efeitos no modelo, tornando a modelagem mais realista.
Número de Mach (Ma):
Aparece quando a velocidade do som ¨c¨ é listada.
A velocidade do som “c“ é uma propriedade do fluido , sendo função de sua massa específica e de sua compressibilidade. c é igual a onde é o módulo de elasticidade volumétrico e a massa específica. c é muito mais alto nos líquidos do que nos gases, e portanto depende do material (meio) de propagação. À temperatura ambiente c no ar vale 340 m/s, enquanto na água c vale 1.480 m/s.
Escoamentos de ar com Ma < 0,3 são considerados incompressíveis e impõe uma velocidade limite no escoamento de gases de 100 m/s ou 360 km/h, permitindo englobar os escoamentos de interesse prático .
A medida que Ma cresce acima de 0,3, os efeitos de compressibilidade tornam-se mais expressivos, controlando as características do escoamento.
Escoamentos de fluidos incompressíveis como o da água, com Ma em torno de 0,3, impõe velocidade de 440 m/s ou 1580 km/h. Desconhece-se escoamentos de água com velocidades tão elevadas, e portanto, Ma é um adimensional não considerado em escoamentos líquidos
Modelos Físicos :
A técnica de modelagem física consiste em construir um “modelo reduzido” , que será submetido a testes, e que este esteja capacitado a fornecer informações relativas ao desempenho da estrutura real, também chamada de protótipo.
Para que estas informações de interesse sejam viabilizadas do modelo para o protótipo, e vice-versa, usa-se um processo denominado escalonamento.
A teoria que valida a modelagem física e que estabelece as regras de escalonamento é chamada de teoria da semelhança, que exprime duas condições essenciais: uma para a construção do modelo e outra, para escalonar informações do modelo para o protótipo.
Na construção do modelo, utilizar-se-á da semelhança geométrica ao protótipo, onde confere que todas as dimensões do modelo devem estar relacionadas com as do protótipo, através do uso da mesma escala de semelhança de comprimento .Note ainda, que os ângulos do modelo serão os mesmos respectivos do protótipo.
Quanto ao escalonamento de informações, o mesmo só ocorrerá quando houver semelhança dinâmica entre modelo e protótipo, que ocorre quando o valor numérico de cada adimensional que controla o fenômeno for igual no modelo e no protótipo.
Quando na modelagem física existe semelhança geométrica e semelhança dinâmica, diz-se que o modelo e o protótipo estão em semelhança completa.
Obs: alguns autores não consideram a semelhança cinemática (relacionado com a velocidade relativa do bólido), em virtude da mesma ser consequência da semelhança dinâmica (relacionado com as forças>>aceleração envolvidas). A figura ao lado exemplifica este estudo.
A necessidade de se trabalhar com semelhança incompleta em modelo físicos é quase sempre uma regra. O problema é que nem sempre conseguimos igualar os adimensionais do modelo com os correspondentes no protótipo (mesmo estando, ou não, em semelhança geométrica). 
Podemos citar o caso de um rio em modelo reduzido, pois, se as dimensões verticais estivessem em escala, a profundidade seria tão pequena que os efeitos da tensão superficial (We) seriam importantes (no protótipo este adimensional é desprezível).
Nos casos de semelhança incompleta, sempre haverá a necessidade de antecipar os efeitos de escala, a fim de compensá-los no próprio experimento do modelo ou dos resultados obtidos. Isso requer um bom entendimento dos fenômenos físicos envolvidos no problema, experiência e engenhosidade.
Exemplo de aplicação de modelagem física na determinação da resistência ao avanço em uma embarcação :
Um armador deseja construir um cargueiro marítimo e, preocupado com os custos, vai contratar o pré- projeto da embarcação junto a um estaleiro. O armador fornece ao estaleiro o tamanho e a velocidade de cruzeiro para o cargueiro. O estaleiro, por sua vez, contrata um laboratório especializado para realizar um teste em modelo reduzido, a fim de saber qual será a resistência ao avanço da embarcação quando esta se desloca na velocidade de cruzeiro. Com esta informação, o estaleiro vai dimensionar e estimar o custo dos componentes do sistema de propulsão mecânica do cargueiro tais como: eixos, hélices, redutores de velocidades e motores de acionamento.
Solução:
Desejamos conhecer a Força de Resistência ao Avanço, na velocidade de cruzeiro da embarcação. 
A geração de ondas representa a maior parcela de resistência ao avanço e afeta embarcações, refletindo a energia requerida para
que o casco abra caminho na água, 
resultando em ondas ao redor da 
mesma. Por se tratar de problema 
de determinação de força devido a
ação de ondas em um flutuador, 
deve-se incluir a gravidade “g”
como grandeza representativa na
influência da geração de ondas.
É conhecido o tamanho da embarcação Lp e precisa-se encontrar Lm. Segundo o propósito da semelhança geométrica, tem-se : .Para se conhecer o Lm, precisa-se conhecer os adimensionais que controlam a resistência ao avanço R na Vcruzeiro .
Aplicando o Teorema Pi de Buckingham :
	 (Incluem-se as grandezas dependentes-R e independentes);
	Nova base = Base preferencial Mec Fluidos =
	Número de adimensionais = m – n = 6 – 3 = 3 adimensionais
	Construção dos adimensionais que ficaram fora da nova base. Nestes, deverão estar inclusas as 3 grandezas , não presentes na nova base. Pelo exercício anterior, bem como, analisando as grandezas listadas tem-se :
 
A semelhança dinâmica requer que : Eum= Eup; Rem=Rep e Frm=Frp
5) Determinar V de teste do modelo. Estaincógnita V, aparece em todos os adimensionais, entretanto Eu definirá R, e assim V poderá vir de : Re ou Fr.
Ou seja, a velocidade de testes será obtida das relações Rem=Rep e Frm=Frp fornecendo:
Onde os K’s são as escalas de semelhança respectivas. 
Temos : Kg =1 pois a gravidade é sempre a da Terra, e ainda, as propriedades do fluido pouco diferem (mesmo que os testes do modelo sejam realizados em água doce e sabendo-se que o protótipo deslizará em água salgada) e assim :
 
 >> Sistema possível para KL=1.
KL=1 implica em Lm=Lp , que é inviável. Assim sendo, a “semelhança completa” não será possível. Trabalha-se com a “semelhança incompleta”, o qual produzirá um desvio com relação a realidade, chamada de “efeito escala”.
Será necessário avaliar quais destes adimensionais (Re ou Fr) estará melhor adaptado ao problema, qual seja, a determinação da resistência na geração de ondas. Tem-se :
 
 (Re definirá se o escoamento é do tipo Laminar(forças viscosas eminentes) 
 ou do tipo Turbulento (forças inerciais mais eminentes).
 (O denominador de Fr representa a força gravitacional determinante
 da posição e da geometria das ondas geradas pela embarcação , que 
 coincide com o foco central deste problema (determinação da resistência
 na geração de ondas). Fr portanto, é o adimensional escolhido. 
Tem-se então , Vm proveniente da escala de semelhança da equação de Fr =(eq. 2) > Kv=Kl1/2 .
Tendo sido medida Rm(resistência ao avanço no modelo)através do ensaio em laboratório, escalonaremos o Rp através da semelhança de Euler, ou seja :
Exemplificando: Se o modelo fosse construído na escala geométrica 1:50, tem-se Kl =0,02, e a resistência ao avanço no protótipo será de Rp=1,25x 105 Rm.
Assim, a embarcação deslocando-se a Vcruz planejada, sofrerá uma resistência ao avanço 125.000 vezes maior que a resistência ao avanço, medida no modelo 1:50.
O engenheiro pode corrigir os efeitos da escala nestes resultados, aplicando fórmulas semi-empíricas de Rm e Rp, e assim, considerando indiretamente os efeitos do número de Re.
Mediante ensaio em laboratório obtém-se Rm e escalonando encontra-se Rp, e portanto, o estaleiro poderá projetar todo o sistema mecânico de propulsão da embarcação, estimando o preço de fornecimento para o armador.
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2
1
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c
b
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V
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F
D
V
F
base
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D
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D
V
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e
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e
d
d
d
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b
c
c
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a
a
De
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2
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1
3
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1
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1
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2
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1
1
1
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2
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1
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1
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Û
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V
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P
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V
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g
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12
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r
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V
V
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1
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D
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V
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D
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D
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Re
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L
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m
m
r
r
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n
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t
m
r
r
r
n
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m
r
m
r
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F
F
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cinemática
idade
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V
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F
V
L
L
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L
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V
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F
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s
s
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u
E
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K
K
K
K
K
K
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K
K
temos
Froude
de
semelhança
Da
K
temos
K
K
K
K
L
L
V
V
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Farrasto
Eu
L
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p
m
p
p
p
p
m
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m
m
p
m
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r
r
r
r