concreto II

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Docente: Lucas da Silva Moraes 
DISCIPLINA: ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
CURSO: ENGENHARIA CIVIL 
 
 
FACULDADE ESTÁCIO DE NATAL 
CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL EM 
VIGAS SOB FLEXÃO NORMAL – parte02 
ÍNDICE: 
 
1. CÁLCULO DO MÁXIMO MOMENTO RESISTENTE DA SEÇÃO, 
CONHECIDA A ARMADURA LONGITUDINAL 
2. CÁLCULO DA ALTURA MÍNIMA DE UMA SEÇÃO COM 
ARMADURA SIMPLES 
3. FÓRMULAS ADIMENSIONAIS PARA DIMENSIONAMENTO DE 
SEÇÕES RETANGULARES 
4. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA – Carvalho e 
Filho (2001) 
5. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA - Tepedino 
(1980) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
Situação prática: conhecidas a largura (b) e a altura útil (d) de uma seção 
transversal retangular, a resistência do concreto à compressão (fck), o tipo de 
aço (fyk) e a área de aço (As), qual o valor do momento máximo resistido? 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
1. CÁLCULO DO MÁXIMO MOMENTO RESISTENTE DA SEÇÃO, 
CONHECIDA A ARMADURA LONGITUDINAL 
Condições: 
A seção poderá trabalhar entre o início do domínio 2 até o limite x = 0,45.d 
do domínio 3. 
 
Em qualquer destes domínios, 
o aço estará escoando, ou seja, εs ≥ εyd e fs = fyd. 
Nesse caso, conhecendo a área de aço e força resultante na armadura (Rst): 
 
𝑹𝒔𝒕 = 𝑨𝒔 ∙ 𝒇𝒚𝒅 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
1. CÁLCULO DO MÁXIMO MOMENTO RESISTENTE DA SEÇÃO, 
CONHECIDA A ARMADURA LONGITUDINAL 
Com a expressão da força no concreto pode-se obter o valor de x (L.N.) a 
partir do equilíbrio: 
 
𝑹𝒄𝒄 = 𝑹𝒔𝒕 
𝟎, 𝟖𝟓 ∙ 𝒇𝒄𝒅 ∙ 𝒃 ∙ 𝟎, 𝟖 ∙ 𝒙 = 𝑨𝒔 ∙ 𝒇𝒚𝒅 
𝒙 =
𝑨𝒔 ∙ 𝒇𝒚𝒅
𝟎, 𝟔𝟖 ∙ 𝒃 ∙ 𝒇𝒄𝒅
 Depois de determinado, é preciso verificar se 
ele é inferior ao limite ( x=0,45.d) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
1. CÁLCULO DO MÁXIMO MOMENTO RESISTENTE DA SEÇÃO, 
CONHECIDA A ARMADURA LONGITUDINAL 
Caso ocorra x ≤ 0,45.d, portanto fs = fyd, o máximo momento resistido (Md) 
pela seção é obtido pelo produto da força resultante na armadura (ou 
concreto) pelo braço de alavanca z. 
 
Se o limite x=0,45.d não for atendido, 
aumentar a altura útil da viga ou utilizar 
armadura de compressão. 
𝑴𝒅 = 𝑨𝒔 ∙ 𝒇𝒚𝒅 ∙ 𝒅 − 𝟎, 𝟒 ∙ 𝒙 
𝑴𝒅 = 𝑹𝒔𝒕 ∙ 𝒁 
EXEMPLO 01: Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular 
de concreto armado, com largura b = 12 cm e altura útil d = 17,65 cm, para as 
seguintes situações: 
 a) As = 0,5 cm²; 
 b) As = 2,0 cm². 
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
a) Armadura As = 0,5 cm² 
Profundidade da linha neutra, considerando inicialmente que a seção trabalhe 
nos domínios 2 ou 3 (Fs = Fyd), determina-se a posição da linha neutra : 
 
 
 
 
𝒙 =
𝑨𝒔 ∙ 𝒇𝒚𝒅
𝟎, 𝟔𝟖 ∙ 𝒃 ∙ 𝒇𝒄𝒅
 
𝒙 =
𝟎, 𝟓𝒄𝒎² ∙
𝟓𝟎 𝒌𝑵/𝒄𝒎²
𝟏, 𝟏𝟓
𝟎, 𝟔𝟖 ∙ 𝟎, 𝟏𝟐𝒎 ∙
𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒌𝑵/𝒎²
𝟏, 𝟒
 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟖𝟔𝒎 
EXEMPLO 01: Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular 
de concreto armado, com largura b = 12 cm e altura útil d = 17,65 cm, para as 
seguintes situações: 
 a) As = 0,5 cm²; 
 b) As = 2,0 cm². 
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
a) Armadura As = 0,5 cm² 
Verificação da posição da linha neutra (domínio) em que a viga traballia: 
Com os limites entre os domínios 2 e 3 (x23) e entre 3 e o limite x = 0,45.d, verifica-
se a posição da linha neutra para o valor encontrado de x = 0,0186 m. 
*Lembrando que entre os domínios 2 e 3 o aço tem deformação especifica de 1,0%; 
𝒙𝟐−𝟑
𝒅
=
𝜺𝒄
𝜺𝒄 + 𝜺𝒔
 𝒙𝟐−𝟑 =
𝜺𝒄
𝜺𝒄 + 𝜺𝒔
∙ 𝒅 =
𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟓
𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟓 + 𝟎, 𝟏
∙ 𝟎, 𝟏𝟕𝟔𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟓𝟕𝒎 
𝒙𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 = 𝟎, 𝟒𝟓 ∙ 𝒅 = 𝟎, 𝟒𝟓 ∙ 𝟎, 𝟏𝟕𝟔𝟓 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟗𝟒𝒎 
Como o valor encontrado x = 0,0186 m é menor que x23 = 0,0457 m, trata-se do domínio 2. 
EXEMPLO 01: Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular 
de concreto armado, com largura b = 12 cm e altura útil d = 17,65 cm, para as 
seguintes situações: 
 a) As = 0,5 cm²; 
 b) As = 2,0 cm². 
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
a) Armadura As = 0,5 cm² 
Cálculo do momento 
Como a viga trabalha no domínio 2, calcula-se o momento resistente com a 
equação: 
𝑴𝒅 = 𝑨𝒔 ∙ 𝒇𝒚𝒅 ∙ 𝒅 − 𝟎, 𝟒 ∙ 𝒙 
𝑴𝒅 = 𝟎, 𝟓𝒄𝒎² ∙
𝟓𝟎 𝒌𝑵/𝒄𝒎²
𝟏, 𝟏𝟓
∙ 𝟎, 𝟏𝟕𝟔𝟓𝒎 − 𝟎, 𝟒 ∙ 𝟎, 𝟎𝟏𝟖𝟔 = 𝟑, 𝟔𝟕𝟓𝒌𝑵𝒎 
E, portanto, o máximo momento que pode atuar na viga é: 
𝑴𝒅 = 𝑴 ∙ 𝟏, 𝟒 → 𝑴 =
𝑴𝒅
𝟏, 𝟒
=
𝟑, 𝟔𝟕𝟓
𝟏, 𝟒
= 𝟐, 𝟔𝟐𝟓𝒌𝑵𝒎 
EXEMPLO 01: Determinar o momento resistente de uma viga de seção retangular 
de concreto armado, com largura b = 12 cm e altura útil d = 17,65 cm, para as 
seguintes situações: 
 a) As = 0,5 cm²; 
 b) As = 2,0 cm². 
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
b) Armadura As = 2,0 cm² 
Se uma viga, com armadura simples, submetida a um momento fletor Md em 
uma determinada seção. A menor altura necessária (dmín) para a seção 
resistir a esse momento é aquela em que a posição da linha neutra acarreta 
o maior momento que a viga é capaz de resistir, ou seja, o momento aplicado 
será igual ao momento resistente máximo da seção. 
 
Dessa forma: 
𝒙
𝒅
= 𝟎, 𝟒𝟓 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
2. CÁLCULO DA ALTURA MÍNIMA DE UMA SEÇÃO COM 
ARMADURA SIMPLES 
A partir das equações do momento fletor e x/d: 
 
𝑴𝒅 = (𝟎, 𝟔𝟖 ∙ 𝒙 ∙ 𝒅 − 𝟎, 𝟐𝟕𝟐 ∙ 𝒙
𝟐) ∙ 𝒃 ∙ 𝒇𝒄𝒅 
 
 
 
𝛏 =
𝒙
𝒅
=
𝜺𝒄
𝜺𝒄 + 𝜺𝒔
 𝐱 = 𝛏 ∙ 𝒅 
𝑴𝒅 = (𝟎, 𝟔𝟖 ∙ 𝛏 ∙ 𝒅² − 𝟎, 𝟐𝟕𝟐 ∙ 𝛏² ∙ 𝒅²) ∙ 𝒃 ∙ 𝒇𝒄𝒅 
𝐱 = 𝛏 ∙ 𝒅 (𝒔𝒖𝒃𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒏𝒅𝒐) 
A altura útil da viga fica dada por: 
 
𝑴𝒅 = (𝟎, 𝟔𝟖 ∙ 𝛏 ∙ 𝒅² − 𝟎, 𝟐𝟕𝟐 ∙ 𝛏² ∙ 𝒅²) ∙ 𝒃 ∙ 𝒇𝒄𝒅 
 
𝒅 =
𝑴𝒅
𝒃 ∙ 𝒇𝒄𝒅 ∙ (𝟎, 𝟔𝟖 ∙ 𝛏 − 𝟎, 𝟐𝟕𝟐 ∙ 𝛏)
 
 
Como a altura mínima útil ocorre em ξ = 0,45: 
 
𝒅𝒎í𝒏 =
𝑴𝒅
𝒃 ∙ 𝒇𝒄𝒅 ∙ (𝟎, 𝟔𝟖 ∙ 𝛏 − 𝟎, 𝟐𝟕𝟐 ∙ 𝛏)
=
𝑴𝒅
𝒃 ∙ 𝒇𝒄𝒅 ∙ (𝟎, 𝟐𝟓𝟎𝟗𝟐)
 
 
𝒅𝒎í𝒏 = 𝟐, 𝟎 ∙
𝑴𝒅
𝒃 ∙ 𝒇𝒄𝒅
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
2. CÁLCULO DA ALTURA MÍNIMA DE UMA SEÇÃO COM 
ARMADURA SIMPLES 
EXEMPLO 02: Para uma seção retangular de concreto armado com b = 0,12m sob 
a ação de um momento fletor M = 12,2 kNm, determinar altura mínima (dmín) a 
quantidade de armadura longitudinal necessária (As). 
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
A altura mínima útil ocorre em ξ = 0,45: 
𝒅𝒎í𝒏 = 𝟐, 𝟎 ∙
𝑴𝒅
𝒃 ∙ 𝒇𝒄𝒅
 = 𝟐, 𝟎 ∙
(𝟏𝟐, 𝟐𝟎𝒌𝑵𝒎 ∙ 𝟏, 𝟒)
𝟎, 𝟏𝟐 ∙
𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒌𝑵/𝒎²
𝟏, 𝟒
 = 𝟎, 𝟏𝟗𝟗𝟔𝒎 
Cálculo da armadura necessária para dmín = 19,96 cm 
Nessa situação temos: 
 
𝒙 = 𝟎, 𝟒𝟓 ∙ 𝒅 = 𝟎, 𝟒𝟓 ∙ 𝟏𝟗, 𝟗𝟔
= 𝟖, 𝟗𝟖 𝒄𝒎 
 
𝒛 = 𝒅 − 𝟎, 𝟒 ∙ 𝒙 = 𝟏𝟗, 𝟗𝟔 − 𝟎, 𝟒 ∙ 𝟖, 𝟗𝟖
= 𝟏𝟔, 𝟑𝟒𝒄𝒎 
𝑨𝒔 =
𝑴𝒅
𝒇𝒚𝒅 ∙ 𝒁
 =
𝟏𝟕, 𝟎𝟖𝒌𝑵𝒎
𝟓𝟎𝒌𝑵/𝒄𝒎²
𝟏, 𝟏𝟓 ∙ 𝟎, 𝟏𝟔𝟑𝟒𝒎
 
𝑨𝒔 = 𝟐, 𝟒𝟎 𝒄𝒎² 
Sempre que possível é conveniente trabalhar com fórmulas adimensionais, 
pois facilitam o emprego de diversos sistemas de unidades e permitem o uso 
de tabelas de modo mais racional. 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
3. FÓRMULAS ADIMENSIONAIS PARA DIMENSIONAMENTO 
DE SEÇÕES RETANGULARES 
a) Equação de Md: 
 
𝑴𝒅 = (𝟎, 𝟔𝟖 ∙ 𝒙 ∙ 𝒅 − 𝟎, 𝟐𝟕𝟐 ∙ 𝒙
𝟐) ∙ 𝒃 ∙ 𝒇𝒄𝒅 
 
Dividiremos ambos os membros por “b.d².fcd”: 
 
𝑴𝒅
𝒃 ∙ 𝒅² ∙ 𝒇𝒄𝒅
=
𝟎, 𝟔𝟖 ∙ 𝒙 ∙ 𝒅 − 𝟎, 𝟐𝟕𝟐 ∙ 𝒙𝟐 ∙ 𝒃 ∙ 𝒇𝒄𝒅
𝒃 ∙ 𝒅² ∙ 𝒇𝒄𝒅
= 𝟎, 𝟔𝟖 ∙
𝒙
𝒅
− 𝟎, 𝟐𝟕𝟐 ∙
𝒙²
𝒅²
 
 
Chamando: 
𝑴𝒅
𝒃∙𝒅²∙𝒇𝒄𝒅
= 𝐊𝐌𝐃 e 
𝒙
𝒅
= 𝑲𝑿, substituindo na equação anterior: 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADOI 
a) Equação de Md: 
 
𝑲𝑴𝑫 =
𝑴𝒅
𝒃 ∙ 𝒅² ∙ 𝒇𝒄𝒅
= 𝟎, 𝟔𝟖 𝑲𝑿 − 𝟎, 𝟐𝟕𝟐(𝑲𝑿)² 
 
A equação possui apenas termos adimensionais e KX só pode variar entre 0 e 1 (x = 0 
e x = d): 
 
X = 0 (início do domínio 2): KX = x/d = 0 → KMD = 0 
X = d (fim do domínio 4): KX = x/d = 1 → KMD = 0,408 
b) Expressão para o braço de alavanca “z”: 
Dividindo os dois termos por “d” resulta 
 
𝒛
𝒅
=
𝒅 − 𝟎, 𝟒 ∙ 𝒙
𝒅
= 𝟏 − 𝟎, 𝟒 ∙
𝒙
𝒅
 
 
Chamando: 
𝒛
𝒅
= 𝐊𝐙 e lembrando que 
𝒙
𝒅
= 𝑲𝑿, substituindo na equação anterior 
 
𝑲𝒁 = 𝟏 − 𝟎, 𝟒 ∙ 𝑲𝑿 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
c) Expressão para o cálculo da armadura: 
 
𝑨𝒔 =
𝑴𝒅
𝒇𝒔∙𝒁
 , substituindo 
𝒛
𝒅
= 𝐊𝐙 
 
𝑨𝒔 =
𝑴𝒅
𝒇𝒔 ∙ 𝑲𝒁 ∙ 𝒅
 
d) Expressão que relaciona as deformações com a altura da linha neutra: 
 
𝒙
𝒅
=
𝜺𝒄
𝜺𝒄+𝜺𝒔
, substituindo 
𝒙
𝒅
= 𝐊𝐗 
 
𝐊𝐗 =
𝜺𝒄
𝜺𝒄 + 𝜺𝒔
 
* KX só pode variar entre 0 e 1 (x = 0 e x = d), contudo, só tem validade os 
valores abaixo de KX = x/d = 0,45 (KMD ~ 0,25) 
Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares para 
concretos até classe C50 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
3. FÓRMULAS ADIMENSIONAIS PARA DIMENSIONAMENTO DE 
SEÇÕES RETANGULARES 
EXEMPLO 03: Para uma seção retangular de concreto armado com b = 0,12m sob 
a ação de um momento fletor M = 12,2 kNm, admitindo primeiramente, uma 
altura útil d = 0,29m e em seguida que ela não seja conhecida. Determinar a 
quantidade de armadura longitudinal necessária (As) pelas fórmulas 
adimensionais e tabela. 
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
a) Admitindo que a altura útil seja conhecida ( d = 0,29m) 
 
Cálculo de KMD: 
 
𝑲𝑴𝑫 =
𝑴𝒅
𝒃 ∙ 𝒅² ∙ 𝒇𝒄𝒅
=
(𝟏𝟐, 𝟐𝟎 ∙ 𝟏, 𝟒)
𝟎, 𝟏𝟐 ∙ 𝟎, 𝟐𝟗²
𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏, 𝟒
= 𝟎, 𝟏𝟐 
 
 
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
a) Admitindo que a altura útil seja 
conhecida ( d = 0,29m) 
 
Para KMD = 0,12, temos: 
KX = 0,1911; 
KZ = 0,9236; 
εc = 0,23621%; 
εs = 1,00000%. 
 
Como KX = x/d ≤ 0,45, portanto abaixo do 
limite imposto pela norma, podemos 
continuar com os cálculos. 
 
Domínio em que a peça atingirá o estado 
limite último: 
εc = 0,23621% < 0,35%; 
εs = 1,00000%. 
Logo, domínio 2 
EXEMPLO 03: Para uma seção retangular de concreto armado com b = 0,12m sob 
a ação de um momento fletor M = 12,2 kNm, admitindo primeiramente, uma 
altura útil d = 0,29m e em seguida que ela não seja conhecida. Determinar a 
quantidade de armadura longitudinal necessária (As) pelas fórmulas 
adimensionais e tabela. 
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
a) Admitindo que a altura útil seja conhecida ( d = 0,29m) 
 
Cálculo de As: 
 
𝑨𝒔 =
𝑴𝒅
𝒇𝒔 ∙ 𝑲𝒁 ∙ 𝒅
=
𝟏𝟕, 𝟎𝟖𝒌𝑵𝒎
𝟓𝟎𝒌𝑵/𝒄𝒎²
𝟏, 𝟏𝟓
∙ 𝟎, 𝟗𝟐𝟑𝟔 ∙ 𝟎, 𝟐𝟗
= 𝟏, 𝟒𝟔𝒄𝒎² 
 
EXEMPLO 03: Para uma seção retangular de concreto armado com b = 0,12m sob 
a ação de um momento fletor M = 12,2 kNm, admitindo primeiramente, uma 
altura útil d = 0,29m e em seguida que ela não seja conhecida. Determinar a 
quantidade de armadura longitudinal necessária (As) pelas fórmulas 
adimensionais e tabela. 
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
b) Admitindo que a altura útil não seja conhecida 
 
Primeiro, calcula-se dmín: 
 
 
 
 
 
Cálculo do KMD (com d = dmín): 
𝑲𝑴𝑫 =
𝑴𝒅
𝒃 ∙ 𝒅² ∙ 𝒇𝒄𝒅
=
𝟏𝟕, 𝟎𝟖
𝟎, 𝟏𝟐 ∙ 𝟎, 𝟐𝟎²
𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟏, 𝟒
= 𝟎, 𝟐𝟓𝟎 
 
𝒅𝒎í𝒏 = 𝟐, 𝟎 ∙
𝑴𝒅
𝒃 ∙ 𝒇𝒄𝒅
 = 𝟐, 𝟎 ∙
(𝟏𝟐, 𝟐𝟎𝒌𝑵𝒎 ∙ 𝟏, 𝟒)
𝟎, 𝟏𝟐 ∙
𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒌𝑵/𝒎²
𝟏, 𝟒
 = 𝟎, 𝟐𝟎𝒎 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
b) Admitindo que a altura útil não seja 
conhecida 
 
Para KMD = 0,250, temos: 
KX = 0,4479; 
KZ = 0,8208; 
εc = 0,35000%; 
εs = 0,43144%. 
 
Como KX = x/d ≤ 0,45, portanto abaixo do 
limite imposto pela norma, podemos 
continuar com os cálculos. 
 
Domínio em que a peça atingirá o estado 
limite último: 
εc = 0,35% 
εs = 0,43% < 1,0% 
Logo, domínio 3 
EXEMPLO 03: Para uma seção retangular de concreto armado com b = 0,12m sob 
a ação de um momento fletor M = 12,2 kNm, admitindo primeiramente, uma 
altura útil d = 0,29m e em seguida que ela não seja conhecida. Determinar a 
quantidade de armadura longitudinal necessária (As) pelas fórmulas 
adimensionais e tabela. 
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
b) Admitindo que a altura útil não seja conhecida 
 
Cálculo de As: 
 
𝑨𝒔 =
𝑴𝒅
𝒇𝒔 ∙ 𝑲𝒁 ∙ 𝒅
=
𝟏𝟕, 𝟎𝟖𝒌𝑵𝒎
𝟓𝟎𝒌𝑵/𝒄𝒎²
𝟏, 𝟏𝟓
∙ 𝟎, 𝟖𝟐𝟎𝟖 ∙ 𝟎, 𝟐𝟎
= 𝟐, 𝟑𝟗𝒄𝒎² 
 
Podem ocorrer situações em que, por 
imposições de projeto, seja necessário utilizar 
para a viga uma altura menor que a mínima 
exigida (dmín) pelo momento fletor atuante de 
cálculo (Md). 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
4. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA 
Nesse caso, 
determinamos Mlim 
Altura real da peça (d) 
A diferença será 
chamada de M2 
Determinamos M2 = Md - Mlim 
Armadura apenas tracionada (As1) - inferior 
Trabalhando no limite x =0,45.d (domínio3) 
Armadura de compressão (As’) – superior 
Armadura tracionada (As2) – inferior 
Verificação da compressão máxima = 0,35% 
( do concreto) 
A introdução da armadura de compressão 
para garantir o atendimento de valores 
menores da posição da linha neutra (x), 
que estejam nos domínios 2 ou 3, não 
conduz a elementos estruturais com 
ruptura frágil (domínio 4 por exemplo) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
4. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA 
𝑍 = 𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥 
Determinação de Mlim – (TRAÇÃO) 
𝑍𝑙𝑖𝑚 = 𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥𝑙𝑖𝑚 
𝒙𝒍𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟒𝟓 ∙ 𝒅 
𝑴𝒍𝒊𝒎 = 𝑭𝒄 ∙ 𝒁 
 
𝑴𝒍𝒊𝒎 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏 ∙ 0,8 ∙ 𝑥𝑙𝑖𝑚 ∙ 𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥𝑙𝑖𝑚 
 
𝑴𝒍𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟏 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅 ² ∙ 𝒇𝒄𝒅 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
4. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA 
Determinação de As1 – (TRAÇÃO) 
𝑨𝒔𝟏 =
𝑴𝒅
𝒇𝒚𝒅 ∙ 𝒁
 =
𝑴𝒍𝒊𝒎
𝒇𝒚𝒅 ∙ (𝒅 − 𝟎, 𝟒 ∙ 𝒙𝒍𝒊𝒎)
 =
𝑴𝒍𝒊𝒎
𝒇𝒚𝒅 ∙ 𝒅(𝟏 − 𝟎, 𝟒 ∙ 𝑲𝑿𝒍𝒊𝒎)
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
4. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA 
Fazendo o equilíbrio com M2 (não há mais colaboração do concreto) 
Determinação de As2 (TRAÇÃO) correspondente ao momento M2. 
𝑨𝒔𝟐 =
𝑴𝟐
𝒇𝒚𝒅 ∙ (𝒅 − 𝒅′)
 =
𝑴𝒅 − 𝑴𝒍𝒊𝒎
𝒇𝒚𝒅 ∙ (𝒅 − 𝒅′)
 
𝑴𝟐 = 𝑭𝒔𝟐 ∙ (𝒅 − 𝒅
′) = 𝑨𝒔𝟐 ∙ 𝒇𝒚𝒅 ∙ (𝒅 − 𝒅
′) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
4. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA 
Chamando de As o total de armadura TRACIONADA, ou seja, As = As1 +As2, temos: 
𝑨𝒔 =
𝑴𝒍𝒊𝒎
𝒇𝒚𝒅 ∙ 𝒅(𝟏 − 𝟎, 𝟒 ∙ 𝑲𝑿𝒍𝒊𝒎)
+
𝑴𝒅 − 𝑴𝒍𝒊𝒎
𝒇𝒚𝒅 ∙ (𝒅 − 𝒅′)
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
4. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA 
Fazendo o equilíbrio dos momentos em relação ao C.G. da armadura tracionada M2 , 
obtém-se As’ (COMPRESSÃO): 
𝑨𝒔′ =
𝑴𝟐
𝒇𝒔 ∙ (𝒅 − 𝒅′)
 =
𝑴𝒅 − 𝑴𝒍𝒊𝒎
𝒇𝒔′ ∙ (𝒅 − 𝒅′)
 
𝑴𝟐 = 𝑭𝒔′ ∙ (𝒅 − 𝒅
′) = 𝑨𝒔′ ∙ 𝒇𝒔′ ∙ (𝒅 − 𝒅
′) 
𝟎, 𝟑𝟓
𝒙𝒍𝒊𝒎
=
𝜺𝒔′
(𝒙𝒍𝒊𝒎 − 𝒅′)
 
𝜺𝒔′ =
𝟎, 𝟑𝟓 ∙ (𝒙𝒍𝒊𝒎 − 𝒅
′)
𝒙𝒍𝒊𝒎
 
EXEMPLO 04: Para um momento fletor M = 45 kNm, calcular a armadura 
necessária de uma seção retangular com b = 0,12m e d = 0,29m. Considerar 
estribos de Ø6 mm, barras longitudinais de Ø10 mm e cobrimento de 2,5 cm 
(classe de agressividade I). 
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
Cálculo da altura mínima da seção para M = 45 kNm: 
𝒅𝒎í𝒏 = 𝟐,𝟎 ∙
𝑴𝒅
𝒃 ∙ 𝒇𝒄𝒅
 = 𝟐, 𝟎 ∙
(𝟒𝟓 𝒌𝑵𝒎 ∙ 𝟏, 𝟒)
𝟎, 𝟏𝟐 ∙
𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒌𝑵/𝒎²
𝟏, 𝟒
 = 𝟎, 𝟑𝟖𝟑𝒎 
Como d < dmín, usar armadura dupla 
A) Cálculo do momento limite (Mlim): 
𝑴𝒍𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟏 ∙ 𝒃 ∙ 𝒅 ² ∙ 𝒇𝒄𝒅 
𝑴𝒍𝒊𝒎 = 𝟎, 𝟐𝟓𝟏 ∙ 𝟎, 𝟏𝟐 ∙ 𝟎, 𝟐𝟗 ² ∙
𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒌𝑵/𝒎²
𝟏, 𝟒
 
𝑴𝒍𝒊𝒎 = 𝟑𝟔, 𝟏𝟗 𝒌𝑵𝒎 
EXEMPLO 04: Para um momento fletor M = 45 kNm, calcular a armadura 
necessária de uma seção retangular com b = 0,12m e d = 0,29m. Considerar 
estribos de Ø6 mm, barras longitudinais de Ø10 mm e cobrimento de 2,5 cm 
(classe de agressividade I). 
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
B) Cálculo de M2: 
𝑴𝟐 = 𝑴𝒅 − 𝑴𝒍𝒊𝒎 = 𝟒𝟓 ∙ 𝟏, 𝟒 − 𝟑𝟔, 𝟏𝟗 = 𝟐𝟔, 𝟖𝟏 𝒌𝑵𝒎 
C) Cálculo de As (KXlimite = Xlimite/d = 0,45) armadura tracionada As = As1 +As2: 
𝑨𝒔 =
𝑴𝒍𝒊𝒎
𝒇𝒚𝒅 ∙ 𝒅(𝟏 − 𝟎, 𝟒 ∙ 𝑲𝑿𝒍𝒊𝒎)
+
𝑴𝒅 − 𝑴𝒍𝒊𝒎
𝒇𝒚𝒅 ∙ (𝒅 − 𝒅′)
 
d’ = Distância da armadura 
comprimida à borda comprimida 
= recobrimento + Ø estribo + Ø/2 
aço longitudinal. 
𝑨𝒔 =
𝟑𝟔, 𝟏𝟗 
𝟓𝟎
𝟏, 𝟏𝟓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟗 ∙ (𝟏 − 𝟎, 𝟒 ∙ 𝟎, 𝟒𝟓)
+
𝟒𝟓 ∙ 𝟏, 𝟒 − 𝟑𝟔, 𝟏𝟗
𝟓𝟎
𝟏, 𝟏𝟓 ∙ (𝟎, 𝟐𝟗 − (𝟎, 𝟎𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟔 + 𝟎, 𝟎𝟏/𝟐))
 
𝑨𝒔 = 𝟓, 𝟗𝟑𝒄𝒎² 
EXEMPLO 04: Para um momento fletor M = 45 kNm, calcular a armadura 
necessária de uma seção retangular com b = 0,12m e d = 0,29m. Considerar 
estribos de Ø6 mm, barras longitudinais de Ø10 mm e cobrimento de 2,5 cm 
(classe de agressividade I). 
Dados: aço CA50; fck = 20 MPa (20.000 kN/m²) 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
C) Cálculo de As’ (aço de compressão), sendo necessário conhecer fs’: 
𝜺𝒔′ =
𝟎, 𝟑𝟓 ∙ (𝒙𝒍𝒊𝒎 − 𝒅
′)
𝒙𝒍𝒊𝒎
 =
𝟎, 𝟑𝟓 ∙ ((𝟎, 𝟐𝟗 ∙ 𝟎, 𝟒𝟓) − 𝟎, 𝟎𝟑𝟔)
(𝟎, 𝟐𝟗 ∙ 𝟎, 𝟒𝟓)
= 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓𝟎 
*Como εs’ > εyd’ (εyd’ = 0,00207 para CA50), logo, adotar fs’ = fyd 
𝑨𝒔′ =
𝑴𝒅 − 𝑴𝒍𝒊𝒎
𝒇𝒔′ ∙ (𝒅 − 𝒅′)
 =
(𝟏, 𝟒 ∙ 𝟒𝟓) − (𝟑𝟔, 𝟏𝟗)
𝟓𝟎
𝟏, 𝟏𝟓
∙ (𝟎, 𝟐𝟗 − 𝟎, 𝟎𝟑𝟔)
 = 𝟐, 𝟒𝟑𝒄𝒎² 
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
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5. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA - Tepedino (1980) 
Para obtenção da área de aço necessária para a armadura (tracionada), utiliza-se: 
As ≥ As1 + As2 
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5. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA - Tepedino (1980) 
Em que: 
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ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I 
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5. CÁLCULO DE SEÇÕES COM ARMADURA DUPLA - Tepedino (1980)