listinha cálculo

Prévia do material em texto

Aplicac¸o˜es da Integral (J. Adonai) - 1
UFAL – IM – 2011.1
J. Adonai
Ca´lculo 2 – Lista 2
Aplicac¸o˜es da Integral
2-1 Em cada caso, ache o volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado pela rotac¸a˜o em
torno do eixo-y da regia˜o plana limitada pelas curvas dadas.
(a) y = 1√
x+3
e y = 0, 1 ≤ x ≤ 6.
(b) y = 1− 2x2 e y = 0, 0 ≤ x ≤ 1.
(c) y = 1− 2x2 e y = −1, −1 ≤ x ≤ 1.
2-2 Ache o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada
por y = x2 e y = 4 em torno das retas:
(a) x = 0. (b) y = 4.
(c) y = −1. (d) x = 2.
2-3 Mostre que o volume do toro gerado pela rotac¸a˜o do c´ırculo x2 + (y− b)2 = a2,
0 < a < b, em torno de OX, vale V = 2pi2a2b.
2-4 Uma cunha esfe´rica de aˆngulo α e raio
r e´ o so´lido determinado em uma esfera
de raio r por dois planos que conte´m um
diaˆmetro e fazem um aˆngulo α entre si.
(a) Mostre que o voluma da cunha e´
V = 23αr
3.
(b) Deduza o volume da esfera.
(c) Calcule o volume da cunha da esfera
x2 + y2 + z2 = 9 determinada pelos
planos x− y = 0 e x = 0. Cunha Esfe´rica
α
r
2-5 Seja Vae o volume do anel esfe´rico obtido pela rotac¸a˜o em torno do eixo-x do
setor circular limitado por x2 + y2 = r2, de aˆngulo β − α. Mostre que
Vae =
2pir3
3
(cosα− cosβ).
Setor Esfe´ricoAnel Esfe´rico
yy
r r
h
α
α
β
xx
(a) Conclua que o volume do setor
esfe´rico de aˆngulo α vale
Vse =
2pir3
3
(1− cosα).
Mostre que, em termos de sua altura
h, o volume do setor esfe´rico e´
Vse =
2pir2
3
h.
(b) Mostre que volume da calota
esfe´rica de altura h e´
Vce =
pih2
3
(3r − h).
Calota Esfe´rica
y
r
h
α
x
(c) A partir de cada fo´rmula obtida acima, ache o volume da esfera.
2-6 Encontre o volume da calota esfe´rica determinada na esfera dada pelo plano
dado.
(a) A esfera x2 + y2 + z2 = 9 e o plano y = 2.
(b) A esfera (x− 3)2 + (y+ 2)2 + (z− 1)2 = 100 e plano 2x− 2y− z+ 9 = 0.
Aplicac¸o˜es da Integral (J. Adonai) - 2
2-7 Uma broca cil´ındrica, de diaˆmetro d < 10cm, perfura um orif´ıcio ao longo de
um diaˆmetro de uma esfera de raio 5cm. Sabendo que o volume restante da
esfera perfurada vale V = 36picm3, ache o diaˆmetro da broca.
2-8 Calcule o volume dos so´lidos limitados pelas superf´ıcies:
(a) x
2
a2 +
y2
b2 +
z2
c2 = 1 (Elipso´ide).
(b) z = x
2
a2 +
y2
b2 , 0 ≤ z ≤ H (Parabolo´ide el´ıtico).
(c) z2 = x
2
a2 +
y2
b2 , 0 ≤ z ≤ H (Cone el´ıtico).
(d) 2z = x
2
4 +
y2
9 e z
2 = x
2
4 +
y2
9 .
2-9 Encontre o volume do so´lido comum por dois cilindros circulares retos, de mesmo
raio r, cujos eixos se interceptam ortogonalmente. Estes cilindros podem ser
visto como
y2 + z2 = r2 e x2 + z2 = r2.
x
y
z
2-10 A figura abaixo mostra dois cilindros circulares obl´ıquos de mesmo raio R e
altura H, que possuem em comum a base circular superior, as bases inferiores
sendo tangentes.
R
R
H
R
x
(a) Calcule o volume de cada um deles.
(b) Calcule o volume do so´lido resultante formado por eles.
(c) Calcule o volume do so´lido comum aos dois cilindros.
2-11 Ache o comprimento de arco da curva dada.
(a) y = x2, 0 ≤ x ≤ 1.
(b) y =
√
x, 0 ≤ x ≤ 1.
(c) y3 = x2, considerando
(i) 0 ≤ x ≤ 1;
(ii) −8 ≤ x ≤ 0;
(iii) −1 ≤ x ≤ 8.
(d) y = log x, 1 ≤ x ≤ e.
(e) y = coshx, −1 ≤ x ≤ 1.
(f) y = arcsen(e−x), 0 ≤ x ≤ 1.
2-12 Dado a > 0, considere a catena´ria γ dada
por
y = a cosh
x
a
, x ∈ R.
(a) Mostre que o comprimento de arco
de γ entre A = (0, a) e P = (x, y) e´
l = a senh
x
a
e, portanto,
y2 = l2 + a2.
θ
xB = (x, 0)
a
Q
A = (0, a)
l
l
P = (x, a cosh(x/a))
y
r
(b) Se θ e´ o aˆngulo entre o eixo-x e a reta tangente de γ em P , enta˜o
tg θ = senh
x
a
e sec θ = cosh
x
a
.
(c) Mostre que a distaˆncia de B = (x, 0) a` reta r tangente em P e´ d(Q,B) = a
e d(Q,P ) = l.
(d) Conclua uma construc¸a˜o geome´trica para trac¸ar a tangente a` catena´ria em
um dado ponto P .
2-13 Calcule as seguintes integrais iteradas (duplas).
(a)
∫ 1
0
dx
∫ x2
0
(x+ y) dy;
(b)
∫ 1
0
dx
∫ x
x2
xy dy;
Sugesto˜es & Respostas (J. Adonai) - 3
Lista 2
Sugesto˜es & Respostas
2-1
(a) 40pi/3.
(b) pi/2.
(c) pi.
2-2
(a) 8pi. (b) 512pi/15.
(c) 1088pi/15. (d) 128pi/3.
2-4
(a) Observe as sec¸o˜es ao longo do diaˆmetro comum aos planos sa˜o setores
circulares. Portanto, determine o raio de cada sec¸a˜o em func¸a˜o de x, con-
siderando o diaˆmetro como eixo-x e y =
√
r2 − x2.
(b) Fac¸a α = 2pi.
(c) O aˆngulo entre os planos e´ pi/4 e a esfera tem raio 3. O volume pedido e´
9pi/2.
2-5
(a) O aˆngulo menor e´ igual a zero.
(a) h = r − r cosα.
(c) A partir de Vce, basta fazer h = 2r.
2-6
(a) 8pi/3.
(b) 416pi/3.
2-7 d = 8cm. Note que a esfera perfurada e´ de revoluc¸a˜o, gerada por um segmento
circular conveniente.
2-8
(a) 4piabc/3.
(b) 4piabH2/2.
(c) 4piabH2/2
(d) 8pi.
2-9
2-9 As sec¸o˜es transversais ao eixo-z sa˜o quadrados de aresta 2
√
r2 − z2. O volume
do so´lido e´ ∫ r
−r
4(r2 − z2) dz = 16r3/3.
2-10
(a) piR2H.
(b) Observe que as sec¸o˜es transversais ao eixo-x indicado na figura sa˜o dois
segmentos circulares iguais. Determine as a´reas destes segmentos circula-
res em func¸a˜o de x e integre entre 0 e H, para obter o volume do so´lido
resultante:
2H(−2 + 3pi)R2
3
.
(c) 4R2H/3.
2-11
(a) 2
√
5+argsenh(2)
4 .
(b) 2
√
5+argsenh(2)
4 .
(c) Use y = x
2
3 . Voceˆ usara´ a mudanc¸a de varia´vel: u = 4 + 9x
2
3 .
(i) l1 = 13
√
13−8
27 .
(ii) l2 =
8(10
√
10− 1)
27
.
(iii) l1 + l2.
(d) 1−√2 +√1 + e2 + argsenh(1)− log(1 +√1 + e2).
(e) l = 2 senh 1.
(f) log(e+
√−1 + e2).
Sugesto˜es & Respostas (J. Adonai) - 4
2-12
(c) Indicando por (X,Y ) as coordenadas de um ponto da reta r, a equac¸a˜o de
r fica Y − y = dydx (X − x), isto e´,
senh(x/a)X − Y − senh(x/a)x+ a cosh(x/a) = 0.
Agora, calcule a distaˆncia de B a r. (Voceˆ lembra a fo´rmula da distaˆncia
de um ponto a uma reta? E´ mais ou menos assim:
d((x0, y0), r) =
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
,
onde r e´ dada por ax+ by + c = 0.
(d) Projete P no eixo-x, determinando B. Agora desenhe um c´ırculo de raio a
centrado em B. Pronto, a tangente procurada e´ uma das tangentes a este
c´ırculo que saem de P . (Voceˆ saberia construir uma tangente a um c´ırculo,
passando por um ponto fora dele?)
2-13
(a) 720 .
(b) 124 .