RESMAT PROJETO 2

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
PRÉ-DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL
Águas Claras 
10 de Novembro de 2017.
EWERTON RODRIGUES ALVES
FLÁVIO HENRIQUE PINHEIRO
RAÍSSA ALMEIDA CALILE
THAILUAN DE SOUZA NEVES
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
PRÉ-DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL
Objeto de análise de dimensionamento estrutural apresentado às disciplinas de Resistência dos Materiais e Estudos Disciplinares no curso de Bacharelado em Engenharia Civil.
Orientador: Prof. MsC. Miguel Enrique Parra Muñoz.
Águas Claras
10 de Novembro de 2017.
Introdução teórica
 
Desde a antiguidade há a necessidade de obter-se conhecimentos acerca da resistência dos materiais no campo de aplicação da construção civil. Os primeiros estudos que se têm conhecimentos remetem a Civilização Egípcia. Logo mais, em meados dos anos 250 a.C, os gregos trariam um avanço significativo para o estudo da Resistência dos Materiais, criando e utilizando o princípio da estática para dimensionamentos estruturais.
A Resistência dos materiais é definida por Hibbeler como “um ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo. [...] abrange também o cálculo da deformação do corpo e o estudo da sua estabilidade, quando ele está submetido a forças externas.” (R.C. Hibbeler – Resistência dos Materiais, 5ª edição – tradução Joaquim Pinheiro Nunes).
A Resistência dos Materiais é o objeto de estudo da Engenharia em seus diversos setores de dimensionamento e cálculo estrutural. Norteia o planejamento e levantamento de quantitativos da construção civil em seus mais variados aspectos.
O pré-dimensionamento estrutural é essencial para o sucesso de um empreendimento no ramo da construção civil, visto que um bom planejamento evita gastos excessivos e desperdícios notáveis. Este dimensionamento permite, por meio de um estudo aprofundado, determinar os diversos tipos de reações que uma estrutura edificada estará submetida. 
O principal objetivo do pré-dimensionamento estrutural é estimar inicialmente as dimensões das seções dos elementos estruturais, permitindo uma projeção realista da alocação de peças em uma construção, sem que esta venha a sofrer qualquer tipo de degradação por forças internas ou externas.
Estabelecer o dimensionamento de forças atuantes em uma estrutura está diretamente ligada a segurança e tempo de vida útil que esta estrutura terá, deste modo, as principais etapas de um dimensionamento estrutural são criadas a partir de um sistema que definirá as cargas e/ou forças que atuam na estrutura: cálculo dos esforços, deformações, forças cisalhantes e flexões. 
Objetivos
Avaliar conteúdo desenvolvido em Resistência dos Materiais, na aplicação de um projeto de vigas que está submetida a um carregamento determinado. (Estes carregamentos são estudados com o objetivo de aplicar diferentes metodologias, que podem ser aplicadas para a análises de um projeto real).
Desenvolvimento teórico
DESCRIÇÃO DO PROBLEMA:
A empresa Euroconstrutora, está construindo um prédio em Águas Claras – DF, eles precisam criar pontes econômicas e leves usando vigas de aço. Dentre as propostas que se têm são de pendurar elas por cabos de aço, como mostra a figura 1, e a outra solução é sustentar elas de prédio a prédio pelas colunas da construção similares a como mostra a figura 2, estas pontes serão usadas parra passar material da construção de um prédio para o outro.
As pontes serão construídas usando duas vigas nos extremos e o mesmo material no centro similar a como mostra a figura 1, deseja-se analisar as vigas e colunas para cada um dos projetos para condições extremas de atuação, com a finalidade de identificar suas resistências e poder utilizá-las em projetos similares, para este caso é procurado um grupo de estagiários que realizarão um estudo de acordo com o conteúdo estudado na área da Resistência dos Materiais.”
Figura 1: Formato proposto da ponte.	Figura 2: ponte suportada por colunas.
A primeira análise é fundamentada na figura 3 a qual mostra uma viga que será pendurada por dois cabos de aço de diâmetros 10 mm e 12 mm fazendo ângulos de 37º e 38º respectivamente, e submetida a diferentes carregamentos, (Considerar o módulo de elasticidade ao cisalhamento de G = 75GPa, e tensões admissíveis normais e de cisalhamento de valores 150 MPa e 100 MPa, respectivamente).
PRIMEIRA PARTE
Elaborando um diagrama de corpo livre realizou-se a análise das forças atuantes, tensões e deformações nas hastes expostas pela figura 3.
(Figura 3 – Sistema estrutural)
(Figura 4 – Diagrama de Corpo Livre)
 As forças atuantes em cada cabo:
Realizou-se o cálculo de forças atuantes levando em consideração os princípios da estática onde:
Obteve-se então:
Considera-se que pela decomposição de vetores exposta no DCL, e .
Logo, realizando as substituições necessárias temos que:
Fc1 = 19,36KN e Fc2 = 9,91KN;
Onde:
RaY: Força de reação no primeiro apoio (junção haste-viga) no eixo Y;
RbY: Força de reação no segundo apoio (junção haste-viga) no eixo Y;
RaX: Força de reação no primeiro apoio (junção haste-viga) no eixo X;
RbX: Força de reação no segundo apoio (junção haste-viga) no eixo X;
Fc1: Força axial no cabo 1;
Fc2: Força axial no cabo 2.
As tensões normais para cada cabo:
Utilizando os dados de forças axiais atuantes em cada cabo anteriormente analisadas, foi possível realizar o cálculo das tensões normais em cada cabo, que dar-se por:
Sabendo que os diâmetros no primeiro e segundo cabo são 10 mm e 12 mm respectivamente, têm-se áreas de 7,854x10-5 m² e 1,131x10-4 m². Sendo assim, realizaram-se as substituições necessárias, obtendo:
Onde:
 = Tensão normal no cabo 1;
= Tensão normal no cabo 2.
Sabendo que as forças aplicadas geram um alongamento de 1.2mm no cabo 1 e 0.95mm no cabo 2 e considerando as tensões calculadas, identificação do módulo de elasticidade para cada cabo, e a deformação para estes. Por que são diferentes?
Sabe-se que a formulação para encontrar o módulo de elasticidade do material dar-se-á por:
Onde: 
Logo, substituindo os valores encontrados anteriormente, obtém-se:
A discordância entre os dois valores se dá por conta das diferentes dimensões apresentadas pelos cabos observados, enquanto que o primeiro cabo possui um comprimento de 1 metro e diâmetro de 10 mm, o segundo cabo possui comprimento de 1,2 metros. Tais dimensões alteram diretamente o cálculo do Módulo de Elasticidade (E), pois o mesmo é dado por uma relação entre a tensão e a deformação (), deformação esta que está diretamente relacionada entre o comprimento do cabo.
Cálculo do coeficiente de Poisson para cada cabo
Sabe-se que a formulação para encontrar o coeficiente de Poisson dá-se por:
Uma vez que por definição, deve necessariamente estar entre o intervalo de 0 > > 0,5 para que seja considerado o valor correto de G.
	Legenda:
 = Módulo de elasticidade;
	 = Módulo de elasticidade ao cisalhamento;
	 = Coeficiente de Poisson.
	Realizando os seguintes cálculos, foi possível encontrar o Coeficiente de Poisson para os dois cabos:
	Verificando que o Coeficiente de Poisson no segundo cabo apresentou um valor negativo, ou seja, fora do intervalo válido, houve-se a necessidade de uma readequação do valor dado anteriormente para o Módulo de Elasticidade ao Cisalhamento (G), encontrando um intervalo válido para (0 > > 0,5):
, sendo assim: > > .
Sabendo que corresponde a 110,73 GPa, tem-se um intervalo para G entre 36,91GPa e 55,36GPa.
Escolhendo o valor aleatório dentro do intervalo de 40GPa foi possível determinar o valor dado por:
Identificação das deformações laterais nos cabos:
A deformação lateral será dada então pelo produto entre o coeficiente de Poisson e a deformação longitudinal do cabo analisado, conforme se segue:
		
Logo, temos que:
Deformação lateral nocabo 1: -0,444x10-3mm/mm
Deformação lateral no cabo 2: -0,304x10-3mm/mm
Representação dos diagramas de tensão deformação para condições normais e para o cisalhamento.
1,2X10
-3
mm/mm
87,70MPa
(Diagrama 1 – Tensão normal x deformação para o primeiro cabo)
7,92x10
-4
mm
246,62MPa
(Diagrama 2 – Tensão normal x deformação para o segundo cabo)
Por falta de dados não montou-se os diagramas para condições de cisalhamento.
SEGUNDA PARTE
	
Calculo das equações de forças cortantes e momentos fletores para a viga, usando os métodos: 
Modelagem pelas integrais
Ao realizar-se o cálculo de esforço cortante e momento fletor utiliza-se o método de determinação por integrais, portanto temos que:
Onde: 
V(x): Esforço cortante;
W(x): Distribuição do carregamento;
Ainda temos que:
Onde: M(x): Momento fletor;
Seguindo as definições, é necessário que se determine intervalos de observação, a fim de que possa obter-se as equações gerais. Observa-se os intervalos obtidos pelo diagrama de corpo livre (figuras 3 e 4), onde se define a primeira observação entre o trecho 0 metros e 0,5 metros, logo:
0 m ≤ X < 0,5 m
Utilizando da definição de momento, temos que:
Logo: 
Obtém-se então que para o primeiro intervalo: 
	V(0) = 11,64 KN
	M(0) = 0 KN.m
	V(0,5) = 11,64 KN
	M(0,5) = 5,82 KN.m
(Tabela de cortantes e momento fletor)
Analogamente ao primeiro intervalo, observa-se o esforço cortante e o momento fletor no intervalo de 0,5 metros aos 1 metros da viga em questão:
0,5 m ≤ X < 1 m
Como a força era pontual, e não carregamento, calcula-se somatório de forças
Utilizando da definição de momento, temos que:
Analisa-se M em 0,5 metros, para obter-se o valor da constante C, utilizando o valor do M encontrado anteriormente no ponto 0,5 onde inicia este intervalo e termina o anterior, Analisa-se M em 0,5 metros para obter-se o valor da constante C. Observa-se que o momento fletor em 0,5 metros já foi encontrado anteriormente e corresponde a 11,64 KN.m e que existe uma constante de 7 KN encontrada no intervalo entre 0,5 e 1 metros logo:
Logo: 
	V(0,5) = -2,36 KN
	M(0,5) = 5,82 KN.m
	V(1) = -2,36 KN
	M(1) = 4,64 KN.m
(Tabela de cortantes e momento fletor entre 0,5m e 1m)
Do mesmo modo do segundo intervalo, observa-se o esforço cortante e o momento fletor no intervalo de 1 metros aos 1,5 metros da viga em questão:
1 m ≤ X < 1,5 m
W = 5KN/m
Assim:
.
Analisa-se V em 1 metros para obter-se o valor da constante C. Observa-se que o esforço cortante em metros já foi encontrado anteriormente e corresponde a -2,36KN e que existe uma constante de 2,64KN encontrada no intervalo entre 1 e 1,5 metros logo:
Utilizando da definição de momento, temos que:
 
Utilizando o valor do M encontrado anteriormente no ponto 1 onde inicia este intervalo e termina o anterior, Analisa-se M em 1 metros para obter-se o valor da constante C. Observa-se que o momento fletor em 1 metros já foi encontrado anteriormente e corresponde a 4,64 KN.m e que existe uma constante de 4,5KN encontrada no intervalo entre 1 e 1,5 metros logo:
	V(1) = -2,36 KN
	M(1) = 4,64 KN.m
	V(1,25) = -3,61 KN
	M(1,25) = 3,89 KN.m
	V(1,5) = -4,86 KN
	M(1,5) = 2,83 KN.m
(Tabela de cortantes e momento fletor entre 1m e 1,5m)
Diferente do terceiro intervalo, observa-se que o carregamento é triangular, o esforço cortante e o momento fletor no intervalo de 1,5metros aos 2 metros da viga em questão:
Como o carregamento é triangular é necessário encontrar o W como uma força pontual (distribuição de carregamento) utilizando a equação da reta.
Usando os pontos máximos do triângulo, como é no final o valor do último ponto é 0, assim:
Usando assim o carregamento encontrado anteriormente na equação base
.
Utilizando o V encontrado anteriormente no ponto 1,5m onde inicia este intervalo e termina o anterior, analisa-se V em 1,5m para obter-se o valor da constante C. Observa-se que o esforço cortante em 1,5 metros já foi encontrado anteriormente e corresponde a -4,86 KN e que existe uma constante de -23,61 KN encontrada no intervalo entre 1,5 e 2 metros logo:
Utilizando da definição de momento, temos que:
	V(1,5) = -4,86 KN
	M(1,5) = 2,83 KN.m
	V(1,42) = -5,292 KN
	M(1,67) = 2,067 KN.m
	V(2) = -3,61 KN
	M(2) = 0,8 KN.m
(Tabela de cortantes e momento fletor entre 1,5m e 2m)
	Utilizando das tabelas anteriormente analisadas, faz-se então a elaboração de uma tabela de esforço cortante e momento fletor para toda a viga:
(Tabela 3 - Cálculo de esforço cortante e momento Fletor utilizando métodos de integração)
Função de descontinuidade
Para o cálculo das equações de esforço cortante e momento fletor apresentados na viga em análise, realizaram-se todos os cálculos levando em consideração as reações nas junções (haste-viga) analisadas no subitem 3.2.1. da primeira parte deste trabalho. Conhecidas as forças atuantes e os carregamentos propostos nas figuras 3 e 4, foi possível a montagem das funções dos carregamentos (W), esforços cortantes (V) e momentos fletores (M) em relação ao comprimento da viga (x).
Para a elaboração das equações foram consideradas as seguintes premissas:
(Figura 5 – Premissas para funções de descontinuidade – Resistência dos Materiais [R. C. Hibbeler p. 435]).
	Seguindo tais premissas expressas na figura 5, verifica-se que na viga analisada (figura 3) surgem três tipos de carga: Pontual, carregamento uniforme e carregamento variado decrescente. Para esse último, a função de descontinuidade de Momento será dependente do coeficiente angular (m). Observa-se então que:
m
	
Verificando o os carregamentos encontrados e levando em consideração as funções de descontinuidade elaborou-se as funções para W, V e M, como se segue:
Realizando as análises necessárias em cada ponto (x) da viga por esse método, elaborou-se uma tabela como se segue:
	X
	0
	0,5
	1
	1,5
	2
	v
	11,65
	0
	-2,35
	-4,85
	-6,1M
	0
	5,825
	4,65
	2,85
	0,0633
(Tabela 1 – Análise de esforço cortante e Momento Fletor em cada ponto relevante da viga)
Método das forças ou áreas
Conhecendo as reações já encontradas para RaY e RbY, pode-se analisar, pelo método das forças ou áreas, os esforços cortantes e momento fletor em cada ponto da viga, como se segue:
O primeiro passo foi definir-se os intervalos de análise na viga, as forças atuantes e as funções relacionadas as áreas compreendidas pelos carregamentos:
0 ≥ x
 
> 0,5
1,5 ≥ x
 
> 2
1 ≥ x
 
> 1,5
O a função que relaciona a força e o comprimento verificado no segundo carregamento compreendido entre 1m e 1,5m foi calculada levando-se em consideração o produto entre a altura do carregamento pelo espaço ocupado por este na viga.
A força em função da área no último carregamento compreendido entre 1,5m e 2m foi calculada como se segue:
W
b
x 
A variação do carregamento em relação a área representa uma figura de forma trapezoidal para x < 0,5m, na qual a fórmula é apresentada como: 
	Logo, formaram-se as equações para esforços cortantes e momentos fletores, levando em consideração as áreas de atuação dos carregamentos:
1ª: 
2ª: 
3ª: 
4ª: 
	Sabendo que , formulou-se as equações para Momento Fletor como se seguem:
01ª: 
2ª: 
3ª: 
4ª: 
Realizou-se então a elaboração de uma tabela de análise que transcreve os resultados das equações como se segue:
	X (m)
	0
	0,5
	1
	1,5
	2
	V (KN)
	11,65
	0
	-2,35
	-4,85
	-7,15
	M (KNm)
	0
	5,825
	4,65
	2,85
	-0,51
(Tabela 2 – Análise de esforço cortante e Momento Fletor por método de forças ou áreas)
Diagramas de esforço cortante e momento fletor:
Realiza-se então a construção gráfica para os valores encontrados:
Para esforço cortante:
(Gráfico 1 – Esforço cortante ao longo do comprimento da viga)
(Gráfico 2 – Momento fletor ao longo do comprimento da viga)
	Expressada de outra forma agora utilizando “FTOOL” que é um programa utilizado para ilustrar a ação dos carregamentos em um sistema, os esforços cortantes e o momento fletor na viga apresentaram-se como:
(Figura 6 – Diagrama de esforço cortante ao longo da viga (FTOOL))
(Figura 7 – Diagrama de momento fletor ao longo da viga (FTOOL))
								
Calculo de tensões máximas à flexão considerando os perfis mostrados:
Para cálculo das tensões máximas a flexão foi considerada a formulação:
 e 
Onde: 
: Tensão máxima de flexão;
: Tensão máxima ao cisalhamento
S: Módulo de Resistência à Flexão da seção transversal.
(Figura 8
 – 
Seção
 em “C”)					
X1= 10cm 	Y1= 02cm 		A1= 80cm² 
X2= 10cm	Y2= 19cm		A2= 150cm² 
X3= 10cm	Y3= 36cm		A3= 80cm²
(Figura 
9
 – 
perfil
 
disposto
 em “
T”)
X1= 10cm 	Y1= 15cm 		A1= 120cm² 
X2= 10cm	Y2= 32,5cm		A2= 100cm² 
(Figura
 10
 – 
Seção retangular
)
X= 15cm 	Y= 20cm 		A= 300cm² 
(Figura 
11
 – 
Seção em “W”
)
X1= 7,5cm 	Y1= 2,5cm 		A1= 75cm² 
X2= 7,5cm	Y2= 15cm		A2= 80cm² 
X3= 7,5cm	Y3= 27,5cm		A3= 75cm²
Cálculo das tensões máximas à flexão considerando os perfis mostrados nas figuras 5, 6, 7 e 8 para os mesmos valores numéricos métricos só que agora as unidades deles serão mm.
(Figura 8 – Seção em “C”)
X1= 10mm 	Y1= 02mm 	A1= 80mm² 
X2= 10mm	Y2= 19mm	A2= 150mm² 
X3= 10mm	Y3= 56mm	A3= 80mm²
(Figura 9 – seção em “T”)
X1= 10mm 	Y1= 15mm 		A1= 120mm² 
X2= 10mm	Y2= 32,5mm		A2= 100mm² 
(Figura 10 – Seção retangular)
X= 15mm 	Y= 20mm 	A= 300mm² 
 (Figura 11 – Seção transversal em “W”)
X1= 7,5mm 	Y1= 2,5mm 	 A1= 75mm² 
X2= 7,5mm	Y2= 15mm	 A2= 80mm² 
X3= 7,5mm	Y3= 27,5mm	 A3= 75mm²
Legenda:
Xcm: Centro de massa no eixo X.
Ycm: Centro de massa no eixo Y.
Ix: Momento de inércia no eixo X.
Iy: Momento de inércia no eixo Y.
Concluir qual dos perfis tem uma resistência maior se em cm ou mm segundo as tensões admissíveis, e se algum deles não cumprir com estas tensões, deverá redimensionar os perfis propostos (os cálculos serão feitos para cada perfil baseados nas cortantes máximas e momentos fletores máximos encontrados). 
	Sabendo que as tensões admissíveis dadas no item 3.1 são de 100 MPa referente a tensão de flexão e de 150MPa para cisalhamento e analisando as tensões máxima obtidas nos itens 3.3.3 e 3.3.4, conclui-se que as medidas dadas em centímetros resistem melhor as tensões à flexão sendo observado que em nenhum dos casos a tensão ultrapassou as tensões admissíveis, seja ela à flexão ou cisalhamento.
Para as tensões em milímetros que ultrapassaram o limite estipulado, foi feito o redimensionamento. O módulo de resistência requerido será uma relação entre o Momento máximo (Mmáximo) e a tensão normal admissível, como se segue:
	
Substituindo, temos que:
	Encontra-se também o peso da viga (P), sendo que essa não poderá ser expressiva, de modo a não somar aos demais carregamentos e alterar as tensões existentes. Dar-se-á por:
 	
Onde: P: Peso da viga;
m: Massa por unidade de comprimento do perfil;
L: Comprimento da viga;
g: Aceleração da gravidade (9,81m/s²).
Conhecendo o módulo de Resistência requerido, selecionaram-se perfis com valores iguais ou superiores em Sreq, de modo que para cada perfil, essa seleção teve como referência tabelas que relacionam as propriedades geométricas de perfis estruturais. Sendo assim temos que:
Redimensionamento para perfil “C” padrão americano
C130X13
h = 8,1mm
H = 110,8mm
B = 47,9mm
b = 127mm	 (Figura 12 – Seção “C” redimensionada)
S analisado = S não atende ao solicitado.
Perfil escolhido:
(Figura 10 – Perfis laminados tipo “C” escolhido para análise – R.C. Hibbeler (Resistência dos Materiais, 7ª ed Apêndice B, p. 584)).
	Seguindo as especificações da figura 10, realizou-se um novo cálculo para verificar os valores sugeridos para os perfis C130X13, de forma que a tensão deverá estar dentro do admissível. Sendo assim fez-se:
Perfil C130X13:
	O perfil C130x13 pode ser utilizado. 
	As dimensões do perfil redimensionado serão dadas conforme a figura 12.
Redimensionamento para perfil “T”
Uma singularidade dos perfis “T” é que o valor encontrado para o módulo de resistência requerido foi superior ao encontrado em diversas tabelas pesquisadas, por esse motivo dimensionou-se levando em consideração um perfil soldado, deste modo:
h = 8 mm
H = 100mm
B = 200mm
b = 15mm(Figura 13 – Seção “T” redimensionada)
S analisado = S não atende ao solicitado. Foi necessária então uma nova análise do momento de Inércia e Centro de massa do perfil com as dimensões especificadas na figura 13. Fez-se então aplicando a formulação do centro de massa e momento de inércia:
e 
Calculando um novo S já e convertendo para m³, temos:
Com os novos valores encontrados, encontraram-se valores para a tensão à flexão crítica e tensão de cisalhamento crítica, a fim de atestar o desempenho da viga.
Perfil T:
	O perfil “T” redimensionado, como na figura 13 poderá ser utilizado. 
Redimensionamento para perfil retangular
A = 58,13mm
B = 77,51mm(Figura 13 – Seção retangular redimensionada)
S analisado = S não atende ao solicitado.
	A relação entre base a altura do perfil dá-se por:
Sendo assim “B” será:
“A” será então:
As dimensões do perfil redimensionado serão dadas pela figura 13.
Redimensionamento para perfil “W”
W150X14
h = 5,5mm
H = 139mm
B = 100mm
b = 4,32mm(Figura 14 – Seção retangular redimensionada)
S analisado = S não atende ao solicitado.
Perfil escolhido para análise:
(Figura 14 – Perfis laminados tipo “W” escolhido para análise – R.C. Hibbeler (Resistência dos Materiais, 7ª ed Apêndice B, p. 583)).
Perfil W150X14:
	O perfil W150x14 pode serutilizado. 
Equações de torção e rotação para a viga:
Utilizou-se o método das funções de descontinuidade para obter-se as equações de torção e rotação para a viga. 
Sabendo que a função EIθ(x) é o resultado da integração de M(x), e que EIʋ(x) é resultado da integração dupla de M(x), se temos que:
Logo:
	Considerando que a deflexão nos extremos da viga é nula, tem-se:
	Sendo assim, as equações para torção e rotação da viga serão:
	Elaborou-se então uma tabela para avaliação da deflexão e rotação da viga:
	X
	0
	0,5
	1
	1,5
	2
	
	-3,75
	-2,27
	0,345
	3,27
	3,12
	
	0
	-1,62
	-2,08
	-1,39
	0
(Tabela – Deflexão e rotação na viga)
Diagramas de tensão e rotação para a viga
Com os valores obtidos no item 3.3.6 foi possível analisar graficamente o comportamento da deflexão e rotação para a viga:
(Gráfico 3 – Deflexão ao longo do comprimento da viga)
(Gráfico 4 – Torção ao longo do comprimento da viga)
Diagrama do círculo de Mohr especificando todos os cálculos para sua construção:
Foi realizada a construção do círculo de Mohr para as medidas em centímetros e milímetros conforme se segue:
Perfil em cm
Plano de tensões
1º passo: Definir o centro da circuferência:
2º passo: Definir o raio da circunferência:
3º passo: Determinar as tensões principais: 
4º passo: Definir as coordenadas no plano de tensões:
5º passo: Definir o plano de tensões:
*Normal:
*Cisalhamento:
6º passo: Marcar os pontos no diagrama do Círculo de Mohr:
c
Legenda:
2θ
 =
 
78,74º
θ = -39,37º
C 
=
 
2,9ΜPa
(Diagrama 5 – Círculo de Mohr – Perfil em centímetros)
Perfil redimensionado em milímetros:
Plano de tensões
Para construção do círculo de Mohr, seguem-se passos que são definidos como:
1º passo: Definir o centro da circunferência:
2º passo: Definição do raio da circunferência:
3º passo: Definir as tensões principais: 
4º passo: Definir as coordenadas:
5º passo: Definir o plano de tensões:
*Normal:
*Cisalhamento:
Círculo de Mohr:
C
Legenda:
2θ
 =
 87,04
º
θ = -43,52º
C 
=
 4
9
,93
ΜPa
 (Diagrama 6 – Círculo de Mohr – Perfil em milímetros)
Onde: : tensão normal.
TERCEIRA PARTE
A terceira parte compreende em analisar os eventos de Flambagem agora analisando a viga apoiada por pilares circulares de diâmetro = 200mm e 2 metros de altura. Para esses, a primeiro momento deve-se analisar o esforço aplicado no centro da coluna, identificando o que se pede em 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4 e 3.4.5.
O carregamento máximo
O carregamento máximo, por definição é uma relação entre o produto do módulo de rigidez da coluna (EI) e pi (π) ao quadrado, pelo produto entre o comprimento de flambagem (K) e o comprimento da viga ao quadrado:
Logo, realizadas as análises pode-se determinar o valor do carregamento máximo:
 
A tensão crítica assumindo que esta coluna sofrerá flambagem no eixo vertical, e esta está com as duas extremidades engastadas.
A tensão crítica é definida pela relação entre carregamento máximo (Pcr) e a área de aplicação conforme se segue:
Sendo assim fez-se:
A deflexão máxima que apresentará a coluna no centro usando a fórmula da secante e a carga excêntrica que pode suportar antes de começar o processo de flambagem
Após deduções, por definição a deflexão máxima é dada por:
Onde é a excentricidade.
Logo, determinou-se a deflexão máxima como:
Escrever a equação que representa a flambagem para esta coluna
A equação representativa da flambagem numa coluna de 2 metros com 200mm de diâmetro de seção foi definida como:
Como , então:
Calculo da equação da flambagem da coluna e tensões máximas assumindo que a carga é aplicada a 20mm do centro da coluna
Utilizando a equação geral encontrada em 3.4.4, substituiu-se o X por 1 devido a deflexão ocorrer na metade de comprimento da coluna ou seja, 1 metro, e de forma que (excentricidade) assumirá valor de 20mm. Logo formulou-se:
 = -0,113339m
Resultados e discussões
Foi feita a análise dos cabos viga a primeiro momento levando em consideração os carregamentos e forças atuantes na viga. Para o primeiro cabo encontraram-se para o primeiro cabo uma tensão de 246,62MPa e para o segundo cabo uma tensão 87,70MPa.
Analisou-se as reações das forças atuantes na viga por meio de uma representação de diagrama de corpo livre (DCL). Obteve-se por meio deste as reações no primeiro apoio e no segundo apoio, denominados RaY e RbY respectivamente que obtiveram valor de 11,6KN e 9,91KN respectivamente.
Encontradas as reações, analisou-se os esforços cortantes nos intervalos da viga. Observou-se neste que a cortante máxima foi de 11,6KN, encontrada na localização do primeiro apoio. A cortante se torna nula ou zero em 0,5m da viga. Ao analisar-se a atuação do Momento Fletor na viga, verificou-se que o máximo Momento Fletor atua onde a cortante foi nula, e tem valor em módulo de 5,82KN.m. Foi possível então a montagem gráfica que auxiliou na estipulação de tensões.
Foram analisados os Momentos de Inércia de cada perfil proposto pela construtora, estes cálculos foram essenciais para análise de tensão máxima que a viga suportaria. Para as tensões máximas que ultrapassaram os valores admissíveis, foi feito o redimensionamento.
Após essas análises foi então possível a construção do circulo de Mohr e também a definição de toda a flambagem que ocorreria em uma possível troca dos cabos proposto na primeira parte por pilares de seção circulares de 200mm.
Conclusão e disposição final
Conclui-se com este, a importância do levantamento de esforços e tensões na viga, a fim de que se evite o comprometimento da estrutura, o que pode ocasionar na perda de desempenho e aparecimento de patologias. 
Nos dias de hoje, com o avanço da tecnologia e aumento da utilização dos recursos não renováveis naturais, fica explícita a importância da utilização racional de insumos materiais. Neste âmbito, se torna importante o planejamento para que se evite o desperdício de materiais, recursos hídricos e emissão excessiva de gases ofensivos.
Deve-se ter em mente que um pré-dimensionamento estrutural, aliada ao seguimento das normas vigentes, é essencial para execução de um empreendimento com segurança. 
Referências bibliográficas
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. Ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
BEER, F. P.; JOHNSTON E. R. Resistência dos Materiais. 2. Ed. São Paulo: McGraw Hill,1982. 
POPOV, E. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Blucher, 1978.
Sítio: 
http://www.fec.unicamp.br/~almeida/ec802/Lancamento/Pre-dimensionamento_EESC.pdf - “Pré-dimensionamento” Cap. 05. Por Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos em 3 abr 2003.