Livro - Resistencia dos Materiais

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Nelson Henrique Joly
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Curitiba
2021
Resistência 
dos Materiais
Nelson Henrique Joly
Ficha Catalográfica elaborada pela Editora Fael.
J75r Joly, Nelson Henrique
Resistência dos materiais / Nelson Henrique Joly. – Curitiba: 
Fael, 2021.
195 p.
ISBN 978-65-86557-78-7
1. Materiais – Propriedades mecânicas I. Título
CDD 620.11292
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo
Coordenação Editorial Angela Krainski Dallabona
Revisão Editora Coletânea
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Imagem da Capa Stock.adobe.com/Rick Henzel
Arte-Final Evelyn Caroline Betim Araujo
Sumário
Carta ao Aluno | 5
1. Objetivos e aplicações de Resistência dos Materiais | 7
2. Tensão normal: compressão e tração | 19
3. Deformação | 35
4. Propriedades geométricas da seção transversal | 51
5. Flexão pura | 65
6. Flexão composta | 81
7. Flexão oblíqua composta | 97
8. Flexão em vigas compostas | 111
9. Tensão de Cisalhamento | 129
10. Flambagem | 145
11. Conceitos de isostática | 161
12. Forças internas | 175
Gabarito | 187
Referências | 193
Prezado(a) aluno(a),
O ensino nos exige constante atualização, e no desenvol-
vimento desta obra não foi diferente. A pesquisa e a atualização 
constantes são necessárias para qualquer aspecto pessoal e pro-
fissional. Neste texto inicial, gostaria de colocar que o estudo 
desta disciplina, Resistência dos Materiais, requer habilidade ou 
conhecimento prévio sobre conceitos de materiais e mecânica, e 
irá contar com sua atenção e dedicação. Nesta disciplina, vamos 
tratar dos primeiros passos para o aprendizado dos conceitos de 
resistência dos materiais, a sua importância e a utilização nas 
várias áreas da engenharia. Assim, qualquer aluno que se dedi-
que a entender as regras básicas e os procedimentos entenderá 
os conceitos. Aprender esta disciplina não significa aprender a 
calcular, pois é necessário aprender como representar um objeto, 
aprender a interpretar os esforços e como usá-los nas aplicações 
dos problemas.
Carta ao Aluno
– 6 –
Resistência dos Materiais
Para isso, é necessário que você aprenda a pensar no objeto, enten-
dendo as regras e o dinamismo dos esforços. Após entender as regras bási-
cas iniciais, você poderá se dedicar a aprender a disciplina por meio dos 
vários softwares específicos para sua área e avançar no conteúdo.
Bons estudos!
Acredita-se que a origem da resistência dos materiais esteja 
associada aos experimentos conduzidos por Galileu no início do 
século 17, quando estudou os efeitos de cargas em vigas e hastes 
feitas de diversos materiais. Em 1678, Robert Hooke estabeleceu 
os fundamentos da elasticidade por meio dos seus estudos com 
mola. Há diversos outros nomes que poderíamos citar, dentre eles 
destacam-se: Saint Venant, Bernoulli, Navier, Poisson, Cauchy, 
Euler, Castigiliano, Tresca, Von Mises (KAEFER, 1998).
Um livro de resistência dos materiais tem como principal 
objetivo desenvolver a habilidade de resolver um problema de 
forma simples, clara e objetiva. Como vocês verão no decorrer 
deste livro, as operações matemáticas desenvolvidas ao longo da 
resolução dos exercícios são bem simples. No entanto, o raciocí-
nio necessário para a resolução dos problemas torna-se o grande 
desafio desta disciplina.
Objetivos e aplicações 
de Resistência 
dos Materiais
1
Resistência dos Materiais
– 8 –
Primeiramente, devemos fazer a seguinte pergunta: o que é resistên-
cia dos materiais? Conforme Hibbeler (2010) explica, a resistência dos 
materiais é uma área da mecânica que estuda as relações entre as cargas 
externas aplicadas a um corpo deformável, chamada carregamento, e a 
intensidade das forças internas que agem no interior do corpo.
Em uma estrutura, esse carregamento pode ser gerado devido a alguns 
fatores, entre eles o próprio peso da estrutura, cargas de parede e disposi-
ção dos elementos estruturais que podem vir a gerar os esforços internos 
conhecidos como flexão, compressão, tração, torção, cisalhamento. Den-
tro da visão da Engenharia, de uma forma simples, podemos dizer que a 
resistência de um material está ligada diretamente à capacidade de esforço 
que ele consegue absorver mantendo a segurança do projeto.
No entanto, um conceito muito importante é o das propriedades 
mecânicas de cada um dos materiais. Para descobrir essas propriedades, 
diversos ensaios podem ser realizados. Na realização de ensaios, busca-se 
quantificar e qualificar cada um dos materiais, uma vez que os parâmetros 
definidos serão extremamente importantes nas aplicações da Engenharia. 
Qualquer erro na obtenção das propriedades dos materiais pode trazer 
diversos problemas, um deles seria superestimar a resistência de um certo 
tipo de material, o que pode causar ruptura.
Verificada a finalidade do material, deve-se escolher qual tipo de 
ensaio mecânico deverá ser utilizado, avaliando principalmente qual é 
o tipo de esforço que o material irá sofrer na sua aplicação. O inverso 
também é possível – primeiramente, são impostas diversas situações de 
carga no material para que, em uma etapa posterior, seja analisado quais 
dessas solicitações apresentam uma melhor resposta. As aplicações são 
determinadas pelos ensaios mecânicos tendo em vista o tipo de solicitação 
aplicada no material em análise (SOUZA, 1982).
O desconhecimento da resistência em face de um esforço específico 
pode ocasionar possíveis falhas. Desta forma, caracterizar um material 
minunciosamente é um procedimento que ajuda a compreender o comporta-
mento desse material. As ligas ferrosas (Fe-C) têm suas propriedades mecâ-
nicas influenciadas diretamente pela quantidade do teor de carbono. Com o 
acréscimo da quantidade das ligas de carbono, as tensões de escoamento, a 
– 9 –
Objetivos e aplicações de Resistência dos Materiais
dureza e ruptura são melhoradas, entretanto, a tenacidade e ductilidade são 
propriedades que sofrem redução em seus valores. A segurança nos projetos 
de Engenharia se justifica pela importância do conhecimento, o mais amplo 
possível, das propriedades mecânicas do material (ZOLIN, 2011).
Para a concepção de um projeto de Engenharia, são importantes os estu-
dos que são realizados em um material antes e durante a sua aplicação, tendo 
como objetivo o acréscimo da confiabilidade dos projetos de Engenharia. 
Esses estudos podem mostrar um modelo do comportamento real perante as 
diferentes solicitações de carga do material, portanto, pode-se atuar de forma 
mais segura dentro de um projeto de Engenharia real (RAMÍREZ, 2017).
A depender das propriedades que se deseja analisar, existe uma gama 
de tipos de ensaios que têm como objetivo avaliar as características físicas 
e químicas dos materiais. Hibbeler (2010) descreve os principais ensaios 
usados internacionalmente para caracterizar ótica e mecanicamente um 
corpo sólido. Os testes de tração e compressão foram desenvolvidos para 
avaliar a resistência do material perante solicitações de carga de tensão 
axial. Avalia-se também a resistência do material à deformação plástica, 
por meio de ensaios de dureza sobre a superfície do material. A partir do 
ensaio de impacto, é obtido o comportamento frágil ou dúctil dos mate-
riais quando submetidos a altos índices de deformação.
Conforme Ramírez (2017), a escolha do material que será usado em 
alguns projetos de Engenharia é uma das partes mais importantes a ser 
considerada no momento de avaliar a viabilidade de um projeto. Com o 
avanço da tecnologia e o elevado grau de exigência na Engenharia em 
termos de qualidade, deve se procurar sempre satisfazer as solicitações 
de esforço que o material deve suportar, visando sempre à melhor rela-
ção custo-benefício. Em muitos projetos de Engenharia, são necessárias 
peças mecânicas que são submetidas a algum tipo desolicitação de carga. 
As solicitações podem ser suportadas por uma quantidade alta ou escassa 
de materiais que têm uma variedade de preços e qualidades diferentes. 
Com a avaliação das propriedades mecânicas, pode ser feita a escolha 
de um material que cumpra com as solicitações de carga do projeto, evi-
tando falhas indesejadas e com preço mais favorável do que outros tipos 
de materiais que cumprem o mesmo objetivo.
Resistência dos Materiais
– 10 –
Os materiais podem ser produzidos dentro de um ambiente indus-
trial ou retirados diretamente da natureza. Podemos utilizar como exem-
plo dois tipos de materiais industriais: o aço e o concreto; e um material 
natural: a madeira. O aço é uma liga obtida por meio do ferro e do car-
bono, e costuma sair da indústria pronto para ser aplicado. O concreto, 
conforme definição de Chust e Figueiredo (2014), é obtido por meio de 
uma mistura adequada de cimento, agregado fino, agregado graúdo e 
água. O autor cita uma mistura adequada, ou seja, isso pode variar. Essa 
variação pode impactar diretamente nas propriedades do concreto no seu 
estado endurecido, e o fato do concreto depender de uma etapa in loco 
pode explicar sua variabilidade. A quantidade de água colocada, o tipo 
de agregado utilizado e outros fatores podem interferir diretamente na 
resistência obtida.
Figura 1.1 – Seção transversal de um tronco
Medula
Cerne
Raios medulares
Anéis de crescimento
Alburno
Camada de células cambiais
Casca interna
Casca externa
Fonte: adaptada de Stock.adobe.com/kajani
A madeira, por sua vez, é um material natural e desta forma apresenta 
inúmeros defeitos, como nós e fendas que interferem nas suas proprieda-
des mecânicas (PFEIL, 2003). A Figura 1.1 apresenta a seção transversal 
de uma madeira. As madeiras de construção devem ser retiradas, de prefe-
rência, do cerne, por serem mais duráveis.
Como demonstrado, cada material possui suas peculiaridades, e 
deve-se buscar o entendimento do modo como esses materiais possam 
– 11 –
Objetivos e aplicações de Resistência dos Materiais
ser utilizados da forma mais otimizada possível, tendo como propósito a 
segurança e a viabilização dos projetos de Engenharia.
Uma aplicação muito interessante é na obtenção do parâmetro de 
resistência à compressão característica do concreto ( ckF ), indicando a 
qual tensão o concreto tem a capacidade de resistir. O conceito de tensão 
é a relação entre a força aplicada em uma determinada área, ou seja, a ten-
são e a força são unidades diretamente proporcionais. Com relação à área, 
a tensão é inversamente proporcional. A Figura 1.2 apresenta um corpo 
de prova de concreto rompido após a realização de um ensaio de com-
pressão. O ensaio tem como premissa um corpo de prova com medidas 
padrões, que é submetido a cargas de compressão até sua ruptura. Desta 
forma, a partir do diâmetro, a área é conhecida e sabe-se também qual é 
a força que está sendo aplicada. De posse desses dois valores, é possível 
obter a tensão de ruptura do corpo de prova, geralmente fornecida em 
Megapascal (Mpa).
Figura 1.2 – Ruptura do corpo de prova de concreto
Fonte: Stock.adobe.com/mzglass96
Resistência dos Materiais
– 12 –
Outra aplicação importante da resistência dos materiais é no cálculo 
de sapatas de fundações. A Figura 1.3 ilustra uma sapata de fundação. As 
fundações transmitem a carga da estrutura para o solo. Sabendo a carga dos 
pilares que chega a cada uma das sapatas, é necessário obter uma área que 
seja suficiente para dissipar as tensões sem ultrapassar a capacidade de carga 
do solo. Ou seja, quanto maior a área da sapata, menor será a tensão transmi-
tida ao solo. Neste caso em particular, conhecer a tensão resistente do solo é o 
grande desafio, pois, sabendo a carga que chega à sapata e conhecendo a ten-
são do solo, rapidamente se obtém a área da sapata. No entanto, este processo 
não é simples, uma vez que o solo é um material natural e tem grande varia-
bilidade. Rotineiramente, nos projetos de fundações, recorre-se a ensaios de 
laboratório e de campo para conhecer melhor as propriedades do solo.
Figura 1.3 – Sapata de fundação
Fonte: acervo do autor.
Os conceitos de resistência dos materiais também podem ser aplica-
dos ao super-herói conhecido como Homem-Aranha. Uma das caracterís-
ticas desse personagem é lançar suas teias, que são fixadas em edifícios 
e propiciam o seu deslocamento pela cidade. Uma imagem dessas teias é 
ilustrada na Figura 1.4. Dois conceitos importantes podem ser trazidos: 
tensão e deformação.
– 13 –
Objetivos e aplicações de Resistência dos Materiais
Inicialmente, vamos tratar da deformação. É característica de todos 
os materiais se deformarem quando sujeitos a carregamento, e isso não 
seria diferente com a teia do Homem-Aranha. A deformação axial depende 
de algumas características, como carga, comprimento, módulo de elasti-
cidade e área. Ou seja, por se tratar de uma teia, esse material também 
possui um módulo de elasticidade. As teias são lançadas com o mesmo 
diâmetro e a carga suportada pela teia é o peso do super-herói.
Figura 1.4 – O Homem-Aranha e sua teia
Fonte: Stock.adobe.com/Willrow Hood
Sendo assim, podemos dizer que o comprimento das teias é o parâ-
metro que varia. Da resistência dos materiais, sabemos que, ao mantermos 
as propriedades descritas acima como constantes, e variarmos o compri-
mento da teia, quanto maior for o comprimento da teia maior será sua 
deformação axial.
Resistência dos Materiais
– 14 –
Ainda tratando do filme do Homem-Aranha, há uma cena em que o 
super-herói faz parar um trem utilizando seu corpo, com as teias presas em 
locais fixos. Essa cena é ilustrada na Figura 1.5. Ora, só foi possível parar 
o trem porque a relação entre a força aplicada por esse meio de transporte 
e o diâmetro da teia foi inferior à tensão de ruptura da teia. Obviamente, 
são cenas de filmes, mas podemos trazer aplicações de resistência dos 
materiais para essas situações. Outros exemplos similares podem ser ilus-
trados no cálculo dos cabos de aço utilizados em elevadores e para iça-
mento, situações em que deve-se levar em conta a máxima carga que pode 
ser aplicada sem que haja ruptura.
Figura 1.5 – O Homem-Aranha para um trem usando suas teias
Fonte: https://youtu.be/lHQHgFNx2kw
Dentro de um canteiro de obras, é extremamente comum encontrar 
as caixarias preparadas para receber o concreto no estado fresco, moldan-
do-o para que fique com a forma desejada no estado endurecido. A Figura 
1.6 ilustra a montagem de uma viga. As vigas geralmente recebem cargas 
oriundas das paredes. Esses carregamentos induzem esforços de flexão, 
fazendo com que parte do elemento estrutural seja comprimido e a outra 
parte seja tracionada. Este conceito é interessante na aplicação das vigas 
em concreto armado, e chamamos este modelo construtivo desta forma 
pois ele utiliza o concreto em conjunto com a armadura de aço. O concreto 
é um excelente material para absorver os esforços de compressão, supor-
tando cargas bem menores quando tracionado. Dessa forma, utilizam-se 
barras de aço para absorver os esforços de tração.
– 15 –
Objetivos e aplicações de Resistência dos Materiais
Figura 1.6 – Caixaria de viga em concreto armado
Fonte: Stock.adobe.com/PiyawatNandeenoparit
Nos outros elementos estruturais presentes em obras de Engenharia 
Civil, como lajes e pilares, percebe-se a utilização do concreto armado. 
Isso se deve ao fato de esses elementos também estarem sujeitos a esfor-
ços de flexão, fazendo com que a presença do aço seja imprescindível para 
a absorção dos esforços de tração.
A Figura 1.7 será utilizada para explicar uma aplicação das proprie-
dades geométricas aplicadas na resistência dos materiais. O momento de 
inércia representa uma resistência da peça ao giro, e para ser calculado 
depende da forma geométrica da seção transversal. No caso de peças 
retangulares, o valor do momento de inércia é obtido pela multiplicação 
da base pelo cubo da altura, sendo este valor dividido por 12. Ouseja, 
quanto maior a altura da peça, maior será o seu momento de inércia e, 
consequentemente, maior sua resistência ao giro. A Figura 1.7 ilustra duas 
situações, (a) e (b). Geralmente, em obras de Engenharia Civil, percebe-se 
a utilização de vigas com a configuração da Figura 1.7 (a), pois ela teria 
maior resistência ao giro do que a Figura 1.7 (b). A fórmula do momento 
de inércia multiplica a altura ao cubo e base não tem nenhuma potência 
que aumente seu valor; sendo assim, para termos uma equivalência de 
inércia, precisaríamos de bases muito largas em detrimento do aumento da 
altura, o que poderia gerar gastos excessivos em concreto.
Resistência dos Materiais
– 16 –
Figura 1.7 – Elemento geométrico para explicação do momento de inércia
Fonte: elaborada pelo autor.
Conhecer o comportamento e o mecanismo de ruptura de um mate-
rial é extremamente importante. Conforme diz Callister (2005), uma fra-
tura é definida como sendo a ruptura de um corpo devido a uma força 
que pode fraturar esse objeto em duas ou mais partes. De forma geral, há 
duas formas de fratura: frágil e dúctil. Os materiais que têm como ruptura 
a forma dúctil são caracterizados pela alta absorção de energia e defor-
mação plástica excessiva. Em contrapartida, os materiais com ruptura do 
tipo frágil, possuem a capacidade de absorver uma pequena quantidade 
de energia antes da fratura. Com o auxílio de um microscópio, é possível 
identificar uma fratura dúctil a partir do estiramento da vizinhança de uma 
trinca, enquanto na ruptura frágil não é percebida uma deformação plás-
tica excessiva.
Hibbeler (2010) define um material com ruptura do tipo dúctil como 
uma fratura com a presença de grandes deformações antes da ruptura, 
sendo que os engenheiros costumam escolher materiais com esse tipo 
de ruptura, pois eles são capazes de absorver choque e energia, e caso 
cheguem próximo de sua ruptura, exibirão grandes deformações antes da 
falha. Por outro lado, os materiais que exibem pouca ou nenhuma defor-
mação antes da ruptura são aqueles de ruptura do tipo frágil.
– 17 –
Objetivos e aplicações de Resistência dos Materiais
As fraturas dúcteis geralmente ocorrem de forma que a estrutura ten-
sionada sofre uma gradual estricção na região de tensão. Essa redução está 
ilustrada na Figura 1.8. Esta área da seção transversal é reduzida cada vez 
mais, até o ponto em que ocorre a ruptura do material, que denominamos 
de ruptura de um material dúctil.
Figura 1.8 – Estricção e falha de um material dúctil
Fonte: Cdang/CC.
A ocorrência de deformações plásticas em vez da ocorrência de trin-
cas é um fator preponderante para uma fratura ser classificada como dúc-
til. Dessa forma, a ocorrência da propagação de trincas de forma lenta e 
o material tensionado se deformar plasticamente é uma característica da 
fratura dúctil (CALLISTER, 2005).
Na fratura dúctil, há predominância da deformação plástica e uma 
resistência à rápida cisão da estrutura oriunda da propagação de trincas, 
ou seja, o material que sofre fratura dúctil é resistente à ruptura e tende a 
se deformar plasticamente antes da fratura. A fratura frágil é marcada pela 
predominância da formação de trincas em relação à deformação plástica. 
Ocorre, nesse tipo de fratura, uma rápida formação e propagação das trin-
cas, o que leva à rápida ruptura do material com a ocorrência de pouca ou 
nenhuma deformação plástica no processo (DA SILVA et. al, 2017).
Resistência dos Materiais
– 18 –
O objetivo deste livro é oferecer ao estudante uma apresentação clara 
da teoria e das aplicações dos princípios fundamentais desta disciplina. 
O entendimento é obtido a partir do comportamento físico dos materiais 
quando sujeitos a carregamentos e a correta modelagem desses problemas. 
A ênfase recai sobre a importância de satisfazer as condições de compa-
tibilidade de deformações, do comportamento do material e de requisitos 
de equilíbrio
O Capítulo 2 começa com os conceitos de tensão, no qual são vistos 
esforços de compressão e tração. No Capítulo 3 são definidas as defor-
mais normais e por cisalhamento. No Capítulo 4, são demonstradas as 
propriedades geométricas da seção transversal, nas quais são definidos os 
conceitos e o cálculo do centro de gravidade e momento de inércia. Nos 
Capítulos 5, 6, 7 e 8, serão demonstrados diversos tipos de flexões, expla-
nando os conceitos, o cálculo de tensões e deformações e a demonstração 
da linha neutra. No Capítulo 9, serão demonstrados aspectos relacionados 
ao cisalhamento. No Capítulo 10, apresenta-se o conceito e cálculo de 
peças submetidas à flambagem.
Atividades
1. Quais outras aplicações de resistência dos materiais seriam pos-
síveis encontrar em sua casa?
2. Cite e descreva o funcionamento de dois ensaios mecânicos uti-
lizados em resistência dos materiais.
3. Cite e explique uma vantagem e uma desvantagem do material 
madeira.
4. Descreva a importância de pelo menos duas propriedades mecâ-
nicas dos materiais.
5. Cite e explique uma vantagem e uma desvantagem do material aço.
A análise de um projeto de engenharia acarreta a análise das 
forças e tensões atuantes em um corpo. Afinal de contas, você 
sabe a diferença entre força e tensão? Vamos pegar como refe-
rência os cabos de um elevador, ilustrados na Figura 2.1. A partir 
do nosso conhecimento de estática, sabemos que os cabos de aço 
estão sob a ação de duas forças iguais e de sentido contrário, 
atuando na direção do eixo do cabo. No caso ilustrado, os cabos 
estão sendo tracionados, pois eles suportam o peso do elevador. 
Essa primeira análise não nos leva à conclusão de que tal força 
pode ser suportada com segurança. O fato desses cabos serem 
capazes de suportar ou não essa força de tração não depende 
exclusivamente do valor encontrado para esse esforço, mas, tam-
bém, do tipo de material que o forma e da área da seção transver-
sal do cabo do aço.
Tensão normal: 
compressão e tração
2
Resistência dos Materiais
– 20 –
Figura 2.1 – Ilustração dos cabos de um elevador
Fonte: Shutterstock.com/tanaworakit orantanaporn
A intensidade dessas forças distribuídas é igual à força de tração divi-
dida pela área na seção transversal. A ocorrência da falha deste material 
depende da sua capacidade de resistir à intensidade das forças distribuí-
das. Em síntese, a ruptura do cabo depende da força aplicada, da área da 
seção transversal e das propriedades dos materiais.
Os esforços normais em um corpo podem ser divididos em com-
ponentes de compressão e tração, conforme ilustrado na Figura 2.2. Os 
esforços de compressão possuem como característica causar deformações 
de encurtamento no material, como é possível visualizar na Figura 2.2, em 
que o vetor da força P está entrando no corpo analisado. Por outro lado, os 
esforços de tração têm como característica causar deformações de alonga-
mento. Dessa forma, temos o vetor da força P saindo do corpo analisado 
na Figura 2.2. O assunto de deformação será estudado especificamente 
nos próximos capítulos deste livro.
– 21 –
Tensão normal: compressão e tração
Figura 2.2 – Esforços axiais de tração e compressão
Esforço axial de compressão
Esforço axial de tração
Fonte: Shutterstock.com/adison pangchai
A força atuante dividida por uma área correspondente da seção trans-
versal é chamada de tensão normal atuante no corpo. A equação da tensão 
normal é demonstrada na Equação 1:
( ) 1σ = F
A
Onde:
 2 σ : Tensão normal
 2 F: Força
 2 A: Área
Um fator muito importante é saber qual unidade será utilizada na 
tensão normal, ela é função das unidades informadas tanto de força como 
de área. Abaixo, estão listadas algumas possibilidades de unidades a 
serem utilizadas:
 2 força – newton, quilograma força, tonelada força, libra força, 
kip.
 2 área – metros quadrados, centímetros quadrados, milímetros 
quadrados.
Resistência dos Materiais
– 22 –
No sistema internacional, consideramos a unidade de tensão como 
pascal (Pa), ou seja, para que essa unidade sejaobtida, deveremos usar a 
força em newton e a área em metros quadrados. O Quadro 2.1 apresenta 
algumas unidades de tensões usuais, por exemplo, a tensão de Kilopascal 
(kPa), que é muito utilizada dentro da engenharia geotécnica para defi-
nir as tensões efetivas dos solos. Para esse tipo de tensão, é utilizada a 
unidade de força de Kilonewton (kN) e área de metros quadrados (m²). 
A tensão de megapascal (MPa) é utilizada para determinar a resistência 
à compressão característica () dos corpos de prova de concreto armado. 
Para essa unidade, a força é medida em newton (N) e a área em milímetros 
quadrados (mm²).
Quadro 2.1 – Unidades usuais de tensão
Unidade de 
tensão
Unidade de força 
correspondente
Unidade de área 
correspondente
Pa Newton m²
kPa Kilonewton m²
MPa Newton mm²
Fonte: elaborado pelo autor.
Um aspecto relevante no estudo das tensões é obter uma noção 
razoável de quantificação da tensão, por exemplo: quando dizemos que a 
resistência à compressão característica () é de 20 Mpa, quanto isso signi-
fica? Sabemos que 20 MPa equivalem a 20 newtons por milímetro qua-
drado, no entanto, vamos converter essa medida para toneladas por metro 
quadrado. Sendo assim, 20 MPa são equivalentes a 2000 toneladas por 
metro quadrado. Isto é, se levarmos em consideração um carro muito 
popular no Brasil, o Fusca, ilustrado na Figura 2.3, ele possui cerca de 
800 kg, ou seja, 0,80 toneladas. Para equivalermos a esses 20 MPa, seria 
necessário colocar 2500 fuscas por metro quadrado. Consegue imaginar 
2500 fuscas empilhados descarregando esse carregamento em um metro 
quadrado? Seria algo extremamente incomum de se ver, no entanto, é 
essa quantidade que equivale a um de 20 mPa. O mesmo raciocínio aqui 
demonstrado pode ser utilizado em outras situações para termos uma 
noção quantitativa de tensão.
– 23 –
Tensão normal: compressão e tração
Figura 2.3 – Volkswagen Fusca
Fonte: Shutterstock.com/Johnnie Rik
Exemplo numérico 1
A Figura 2.4 ilustra 
uma luminária de 250 N 
que é sustentada por três 
hastes de aço interligadas 
por um anel em A. Deter-
mine qual das hastes está 
submetida à maior tensão 
normal média e calcule 
seu valor. Considere = 30° 
(HIBBELER, 2010).
Figura 2.4 – Problema referente 
ao exemplo numérico 1
D C
A
30°45°
Luminária
Fonte: adaptada de Hibbeler (2010).
Resistência dos Materiais
– 24 –
Primeiramente, iremos analisar o problema para a confecção do dia-
grama de corpo livre. O diagrama de corpo livre consiste na elaboração 
de um diagrama que demonstre todas as forças atuantes no sistema. Ao 
analisar a Figura 2.4, podemos observar que a luminária está agindo como 
uma força peso no sentido da gravidade que acaba por tracionar os cabos 
AD e AC. Esses cabos suportam a luminária e deixam o problema em 
equilíbrio estático, ou seja, o somatório de todas as forças atuantes no 
sistema é igual a zero.
Figura 2.5 – Diagrama de corpo livre
TAC
TAD
P
Fonte: elaborada pelo autor.
Com base nas análises feitas, elaborou-se o diagrama de corpo livre 
ilustrado na Figura 2.5. A força peso atua para baixo, no entanto, para 
deixar o sistema em equilíbrio, os cabos AD e AC reagem no sistema com 
forças contrárias à direção de P. Sendo assim, temos as forças de tração 
TAD, referente ao cabo AD e a força TAC, referente ao cabo AC. Estamos 
diante de um problema de equilíbrio de ponto material. Desse modo, são 
necessárias duas condições de equilíbrio.
0∑ =fx
0∑ =fy
– 25 –
Tensão normal: compressão e tração
Ou seja, o somatório das forças em x deve ser igual a zero e o somató-
rio das forças em y também deve ser igual a zero. Considerando o eixo x o 
eixo das abcissas e o eixo y o eixo das ordenadas, percebemos que apenas a 
força P está alinhada a algum desses eixos, nesse caso, ao eixo y. As forças 
de tração TAD e TAC não estão alinhadas nos eixos mencionados, sendo 
assim, será necessário decompor essas forças em componentes x e y. A 
Figura 2.6 ilustra a decomposição das forças TAD e TAC nos eixos x e y.
Figura 2.6 – Forças decompostas
TACy
TACx
TADy
TADx
P
Fonte: elaborada pelo autor.
As forças decompostas são função dos ângulos que os cabos fazem com 
o eixo x. Dessa forma, segue a correspondente de cada uma dessas forças:
 cosα=xTAD TAD
 senα=yTAD TAD
 cosθ=xTAC TAD
 senθ=yTAC TAD
Resistência dos Materiais
– 26 –
Ao considerar os ângulos fornecidos na Figura 2.4, temos que e . 
Substituindo esses valores nas equações anteriores, temos que:
 cos 45 0,71 = =xTAD TAD TAD
 sen45 0,71 = =yTAD TAD TAD
 cos30 0,87 = =xTAC TAD TAC
 sen30 0,5 = =yTAC TAD TAC
Ao substituir os valores encontrados nos correspondentes da Figura 
2.6, obtemos a Figura 2.7.
Figura 2.7 – Forças decompostas com seus respectivos valores
0,50 TAC
0,87 TAC
0,71 TAD
0,71 TAD
P
Fonte: elaborada pelo autor.
Com as forças decompostas e seus respectivos valores, é possível 
fazer os somatórios de forças. Iniciaremos com o somatório das forças em 
x, considerando as forças que estão indicando para a direta como positi-
vas. Dessa forma, temos:
0∑ =fx
– 27 –
Tensão normal: compressão e tração
( )0,87 0,71 0 2− =TAC TAD
O próximo passo é realizar o somatório das forças em y. Considera-
remos as forças que apontarem para cima como positivas. No enunciado, 
é dito que a luminária pesa 250 N, esse valor é correspondente a P. Sendo 
assim, temos:
0∑ =fy
( )0,71 0,50 250 0 3+ − =TAD TAC
Ao observar as Equações (2) e (3), é possível perceber que estamos 
diante de um sistema de equações. A partir da Equação (2), iremos isolar a 
componente TAC na equação, consequentemente, temos:
( )0,82 4=TAC TAD
Substituindo a Equação (4) na Equação (3):
( )0,71 0,50 0,82 250 0+ − =TAD TAD
Desenvolvendo:
( )223,21 5=TAD N
Ao substituir a Equação (5) em (4), temos:
Em posse das forças, é necessário calcular a área de cada uma das 
hastes. A haste AD possui diâmetro de 7,5 mm e a haste AC possui diâme-
tro de 6,0 mm. Como as hastes são circulares, iremos utilizar a fórmula da 
área para seções circulares. Para a haste AC, temos:
 ²
4
π
= acac
dA
 7,5² 44,18 ²
4
π
= =acA mm
Resistência dos Materiais
– 28 –
Para a haste AD, temos:
 ²
4
π
= adad
dA
 6,0² 28,27 ²
4
π
= =adA mm
Uma terceira haste está ilustrada no problema, a haste AB, que 
suporta a luminária. A haste AB possui diâmetro de 9,0 mm, dessa forma:
 ²
4
π
= abab
dA
 9,0² 63,61 ²
4
π
= =abA mm
Temos todos os parâmetros necessários para calcular a tensão normal 
em cada uma das barras. Iniciaremos o cálculo com a haste AC. A força, 
nessa haste, foi de 183,03 N com uma área de 44,18 mm². Então, podemos 
calcular a tensão nessa haste:
σ =
Ac
TAC
A
183,03 4,14 
44,18
σ = = mPa
Para a haste AD, calculamos um esforço atuante de tração de 223,21 
N, sendo que a haste possui uma área de 28,27 mm². Dessa forma, pode-
mos calcular a tensão:
σ =
AD
TAD
A
223,21 7,89 
28,27
σ = = mPa
– 29 –
Tensão normal: compressão e tração
Para finalizar os cálculos, temos que calcular a tensão na haste AB, 
com área de 63,61 mm², que suporta a luminária de 250 N. Sendo assim, 
temos a tensão nessa haste:
A Tabela 2.1 demonstra um resumo das tensões encontradas.
Tabela 2.1 – Resumo das tensões encontradas
Haste Tensão
AB 3,93 mPa
AD 7,89 mPa
AC 4,14 mPa
Fonte: elaborada pelo autor.
Com base na Tabela 2.1, é possível concluir que a tensão na haste AD 
é superior à da haste AC e AB. Desse modo, a tensão na haste AD com 
intensidade de 7,89 mPa é a resposta dessa questão.
Exemplo numérico 2
Se a tensão de apoio para o material sob os apoios em A e B for , con-
forme mostrado na Figura 2.8, determine os tamanhos das chapas metáli-
cas de apoios quadradas A’ e B’ exigidos para suportar a carga. Considere . 
A dimensão das chapas deverá ter aproximação de 10 mm. As reações nos 
apoios são verticais (HIBBELER, 2010).
Figura 2.8 – Problema referente ao exemplo numérico 2
1
0
.0
 k
N
B
A
P
1
0
.0
 k
N1.50 m
1
5
.0
 k
N
1
0
.0
 k
N
1.50 m 1.50 m 1.50 m
Fonte: Hibbeler (2010).
Ao analisar o problema da Figura 2.8, percebemos que se trata de um 
problema de equilíbrio de corpo rígido. Os apoios em A e B reagem com for-
ças verticais no sentido contrário das forças aplicadas para dar equilíbrio ao 
sistema. Sendo assim, o diagrama de corpo livre está ilustrado na Figura 2.9.
Resistência dos Materiais
– 30 –
Figura 2.9 – Diagrama de corpo livre do exemplo numérico 2
FBFA
10,0 kN 10,0 kN 15,0 kN 10,0 kN 7,5 kN
Fonte: elaborada pelo autor.
Para descobrir a intensidade das forças nos apoios (FA e FB), é neces-
sário realizar as condições de equilíbrio da estática. Nesse caso, iniciare-
mos com a somatória das forças em y sendo zero, considerando as forças 
apontadas para cima como positivas. Dessa forma, temos que:
0∑ =fy
( )10 10 15 10 7,5 0 6+ − − − − − =FA FB
A outra condição de equilíbrio necessária para resolver o exercício 
é a somatória dos momentos em um ponto igual a zero. Calcularemos o 
momento no ponto de aplicação da Força em A e consideraremos como 
positivos os giros impostos no sentido horário. Sendo assim, temos que:
0∑ =aM
( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 .1 ,5 15 . 3,0 10 . 4,5 7,5 . 8 . 4,5 0− − − − + =FA
Ao desenvolver a equação anterior, temos que:
( )36,6 7=FA kN
Ao substituir a Equação (7) na Equação (6), temos o seguinte:
( )36,6 10 10 15 10 7,5 0+ − − − − − =FB
15,9 =FB kN
– 31 –
Tensão normal: compressão e tração
A Figura 2.10 ilustra as chapas metálicas apresentadas nesse pro-
blema, o enunciado diz que elas são quadradas. Dessa forma, a chapa A 
possui dimensões e a chapa B possui dimensões .
Figura 2.10 – Vista em planta das chapas metálicas
Chapa a Chapa ba b
ba
Fonte: elaborada pelo autor.
O objetivo desse exercício é encontrar as dimensões das chapas, já 
conhecemos a tensão de trabalho nas chapas que é de e as forças nas cha-
pas já foram encontradas. Dessa forma, podemos calcular as dimensões. 
Iniciando pela chapa A, temos que:
σ =
a
FA
A
Como utilizamos uma tensão em mPa, sabemos, de acordo com o 
Quadro 2.1, que as tensões em mPa utilizam unidades em newton e milí-
metros quadrados. Desse modo, iremos converter a força de kN para N. 
Consequentemente, temos uma força na chapa A de . Logo, temos que:
366002,8
 
=
a x a
366002,8
²
=
a
36600²
2,8
=a
Resistência dos Materiais
– 32 –
36600
2,8
=a
114,33 =a mm
Como o enunciado pede aproximação de 10 mm, temos como resposta:
120,0 =a mm
Raciocínio análogo deve ser utilizado na chapa B. Temos, então:
σ =
b
Fb
A
159002,8
 
=
b xb
159002,8
²
=
b
15900²
2,8
=b
15900
2,8
=b
75,35 =b mm
Como o enunciado pede aproximação de 10 mm, temos como resposta:
80,0 =b mm
Sendo assim, podemos concluir que as chapas metálicas, com base 
nas condições impostas, deverão ter, na chapa A, medidas de 120,0 x 
120,0 mm e, na chapa B, 80,0 x 80,0 mm de comprimento.
O estudo de tensões normais é extremamente importante, uma vez 
que os conceitos aprendidos nos outros tópicos serão aplicados. Assim, é 
indispensável desenvolver os exercícios propostos nesta seção.
– 33 –
Tensão normal: compressão e tração
Atividades
1. A coluna está sujeita 
a uma força de 8 kN, 
conforme ilustrado a 
seguir. Essa força é 
aplicada no centro da 
área da seção transver-
sal. Calcule a tensão 
normal atuante sobre a 
seção transversal.
Fonte: adaptada de Hibbeler (2010).
2. O bloco de concreto 
tem as dimensões 
ilustradas na figura a 
seguir. Calcule a ten-
são normal atuante 
caso ele seja subme-
tido a uma força P de 
4 kN aplicada no cen-
tro da peça.
25 mm
25 mm
100 mm
25 mm
50 mm
P
50 mm 50 mm
75 mm 75 mm 25 mm
Fonte: adaptada de Hibbeler (2010).
Resistência dos Materiais
– 34 –
3. Considerando a figura da atividade 2, calcule qual é a maior força 
que pode ser aplicada no bloco de concreto caso ele suporte uma 
tensão de 0,840 mPa.
4. O eixo está submetido à força axial de 30 kN, conforme ilus-
trado na figura a seguir. Determine a tensão no mancal que age 
sobre o colar C caso ele passe pelo orifício de 53 mm de diâme-
tro no apoio fixo A.
60 mm
10 mm
40 mm
52 mm
53 mm
C
A
30 kN
Fonte: adaptada de Hibbeler (2010).
Quando sujeitos a algum carregamento, os corpos tendem 
a mudar sua forma e o seu tamanho. Independentemente do tipo 
de carregamento, sempre ocorrerá uma deformação, mesmo que 
tenha baixíssima intensidade e seja imperceptível a olho nu. 
Repare na Figura 3.1: visivelmente, o carregamento imposto na 
areia está causando deformações. Pensar do ponto de vista das 
deformações, analisando o solo, torna a compreensão mais fácil, 
mas o solo seria um material? Certamente, pois, frequentemente, 
os solos estão sujeitos a carregamentos, seja para absorver a 
carga de uma fundação ou quando é necessário fazer algum corte 
para implementar um muro de arrimo.
Deformação
3
Resistência dos Materiais
– 36 –
Figura 3.1 – Caminhada na praia
Fonte: Shutterstock.com/Maridav
No entanto, nem todos os corpos se deformam com magnitudes que 
podem ser percebidas visualmente. Quando alguém caminha sobre uma 
laje, por exemplo, com a força peso de um adulto, também se impõe um 
carregamento que irá causar alguma deformação. Então, por que é mais 
fácil perceber a deformação no solo? Porque cada material possui suas 
propriedades, dispondo de um módulo de elasticidade, coeficiente de 
Poisson e uma configuração das suas partículas, que conferem um caráter 
de deformação frente aos carregamentos. Poderíamos, por exemplo, com-
parar o solo com uma piscina de bolinhas, conforme ilustrado na Figura 
3.2. Costumamos dizer que o solo é um material trifásico, composto pelas 
fases sólida, gasosa e líquida. A fase sólida é representada pelas partícu-
las, que, ao se acomodarem, deixam vazios que podem ser preenchidos 
por oxigênio (fase gasosa) e água (fase líquida). Essa analogia do solo é 
perfeitamente ilustrada na Figura 3.2. As partículas sólidas representam as 
bolinhas – quando uma criança dá um salto, elas acabam se reacomodando 
e gerando deformações.
Claro que este é um exemplo cheio de simplificações para explicar os 
diferentes mecanismos de deformações. No entanto, os vazios do material 
são um fator extremamente importante no desenvolvimento das deforma-
– 37 –
Deformação
ções. Uma barra de aço, por exemplo, tem um menor número de vazios do 
que um solo. Nesse caso, também há deformações quando impomos um 
carregamento, contudo, dificilmente observam-se as deformações a olho nu.
Figura 3.2 – Piscina de bolinhas
Fonte: Shutterstock.com/Kostenko Maxim
Em resumo, quando uma força é aplicada a um corpo, este tende a 
mudar de forma e tamanho. Essas mudanças são chamadas de deformações. 
Há diversos outros exemplos que podemos mencionar. Fissuras em paredes 
são um exemplo de deformações, e os elementos estruturais de uma edifi-
cação sofrem leves deformações quando há apenas pessoas caminhando, ou 
podem sofrer deformações quando são mal dimensionadas, o que pode cau-
sar sua ruína. Também podem ocorrer deformações quando há mudanças 
de temperatura – um exemplo clássico são os portões metálicos que ficam 
expostos às condições atmosféricas. Quando estes recebem a incidência dos 
raios solares, tendem a expandir o seu tamanho, e fica mais difícil fechar 
o portão. As deformações nem sempre serão uniformes: em um mesmo 
corpo, uma parte pode se alongar e outra se comprimir. Essa é uma carac-
terística clássica dos corpos sujeitos a flexão; entretanto, este é um assunto 
que veremos nos próximos capítulos. De qualquer forma, deformações irão 
ocorrer, e é preciso definir níveis seguros de deformação para que os mate-
riais cumpram sua função com a maior eficiência e segurança possível. A 
famosa Torre de Pisa é um exemplo de deformações consideráveis que não 
Resistência dos Materiais
– 38 –
causaram ruptura, mas atrapalharam a utilização da edificação. Imagine um 
edifício com a inclinação dessa torre, comoficaria o percurso da água até 
os ralos do banheiro? Se a inclinação fosse para o lado contrário, teríamos 
um grande problema, e esse é só um exemplo de diversos problemas que 
poderiam ser causados pelas deformações excessivas.
A contração ou o alon-
gamento de um segmento 
de reta por unidade de com-
primento pode ser definido 
como deformação normal. A 
Figura 3.3 ilustra uma borra-
cha sofrendo uma deforma-
ção normal. A deformação 
pode ser positiva se causar 
alongamento do corpo anali-
sado, e negativa se ocasionar 
encurtamento do material.
Figura 3.3 – Tira de borracha sob efeito da 
deformação
Fonte: Shutterstock.com/bartu
Para definir um conceito de deformação normal é necessário analisar 
a Figura 3.4. Inicialmente, consideraremos a reta AB. Essa reta possui um 
comprimento s∆ e está situada no eixo n , conforme a Figura 3.4 (a). Pos-
teriormente ao desenvolvimento de uma deformação, os pontos A e B são 
movidos para os pontos A’ e B’, conforme ilustrado na Figura 3.4 (b). A 
reta com o comprimento s∆ passa a ter um comprimento 's∆ , a diferença 
entre s∆ e s′∆ nos fornece o comprimento da reta. Dessa forma, podemos 
definir a deformação normal média conforme a Equação (1):
( ) 1s s
s
ε ′∆ − ∆=
∆
Desse modo, os valores da deformação positiva indicam um alonga-
mento do corpo, enquanto valores negativos indicam um encurtamento do 
corpo analisado.
– 39 –
Deformação
O valor da deformação é adimensional pelo fato de ser uma razão 
entre dois comprimentos.
Figura 3.4 – Conceito de deformação normal
Fonte: adaptada de Hibbeler (2010).
Ao passo que o ponto B se aproxima do ponto A, o comprimento de 
reta fica cada vez menor, tendendo a zero. De forma análoga, o ponto b’ se 
aproxima do ponto A e temos a reta s′∆ tendendo a zero. Dessa forma, a 
deformação normal no ponto A na direção de n é representado pelo limite 
descrito na Equação (2):
( )
 
lim 2s s
B A ao longo de n
s
ε ′
→
∆ − ∆
=
∆
Considerando a Figura 3.5 (a), temos os pontos A e C situados ao 
longo do eixo n , e os pontos A e B situados ao longo do eixo t . A mudança 
que ocorre no ângulo entre o eixo t e o eixo n é denominada deformação 
por cisalhamento. Após as deformações os eixos, t e n deixam de ser 
retas e transformam-se em curvas, como ilustrado na Figura 3.5 (b).
Resistência dos Materiais
– 40 –
Figura 3.5 – Conceito de deformação por cisalhamento
Fonte: adaptada de Hibbeler (2010).
Dessa forma, podemos definir a deformação no ponto A em função 
dos eixos t e n por meio do limite desenvolvido na Equação (3):
( )
 
 lim 3
2nt B A ao longo de n e C A ao longo de t
πγ θ
→ →
− ′=
O ângulo representado pela letra gama é definido em radianos. Se 
o valor obtido por θ′ for menor do que 
2
π , então a deformação por 
cisalhamento será positiva. No entanto, se o valor de θ′ for maior do 
que 
2
π , a deformação por cisalhamento será negativa.
No capítulo 2 foram demonstrados os conceitos a respeito das ten-
sões. Até o momento, neste capítulo, estamos vendo os conceitos relati-
vos às deformações. No entanto, esses dois valores podem ser utilizados 
em conjunto, o que chamamos de diagrama tensão-deformação. Em um 
ensaio de tração ou compressão, sabendo qual é a força aplicada e a área 
– 41 –
Deformação
do corpo de prova, é possível calcular a tensão atuante no material. É 
possível realizar também a instalação de extensômetros no corpo de prova 
para medir as deformações. A deformação utilizada na Engenharia é a 
deformação nominal, medida diretamente a partir do extensômetro. Essa 
medida é determinada pela variação do comprimento ( )δ em referência 
ao comprimento original ( )0 .L . Dessa forma, podemos definir a deforma-
ção pelos extensômetros pela Equação (4):
( )
0
 4
L
δε =
Os valores medidos pela tensão, correspondentes a uma deformação, 
são plotados em um gráfico, no qual a ordenada é representada pelas ten-
sões e a abcissa é representada pelas deformações. Para o estudo do grá-
fico tensão-deformação, utilizaremos como exemplo o comportamento do 
aço, ilustrado na Figura 3.6.
Figura 3.6 – Diagrama tensão-deformação do aço
Diagrama tensão-deformação convencional e real para material dúctil (aço) (sem escala)
Fonte: adaptada de Hibbeler (2010).
Resistência dos Materiais
– 42 –
Por meio da Figura 3.6 podemos notar quatro regiões de interesse que 
demonstram o comportamento do material: região elástica, escoamento, 
endurecimento por deformação e estricção.
A região elástica (Figura 3.6) tem comportamento elástico, ou seja, há 
uma proporcionalidade entre tensão e deformação. Dessa forma, nessa região 
não temos uma curva, e sim uma reta que vai até a tensão limite de proporcio-
nalidade. Nesse trecho, devido à proporcionalidade entre tensão e deforma-
ção, é possível aplicar a lei de Hooke, que está representada na Equação (5):
( ) 5Eσ ε=
Nela, σ é a tensão aplicada, ε é a deformação e E é o módulo de 
elasticidade que corresponde à rigidez do material. O limite superior para 
essa linearidade entre tensão e deformação é a tensão limite de proporcio-
nalidade. Se a tensão ultrapassar essa tensão, o material ainda se compor-
tará de forma elástica, no entanto, a reta tende a se curvar e achatar. Uma 
característica dos materiais que atuam em níveis de tensões e deforma-
ções compatíveis com a região elástica é que, ao cessar o carregamento 
imposto, o material voltará ao seu formato original, não havendo nenhum 
ganho permanente de deformação.
A segunda região é denominada de resistência ao escoamento, con-
forme ilustrado na Figura 3.6. Nesse período, o material deixa de ter com-
portamento elástico e passa a ter comportamento plástico. Ao cessar o 
carregamento, ocorrerá uma deformação irrecuperável do corpo de prova, 
resultando em uma deformação irreversível, característica pertinente à 
região de comportamento plástico. Nessa região, ocorre uma deformação 
acentuada sem que ocorra um aumento da tensão aplicada. A Figura 3.6 
não está em escala, no entanto, Hibbeler (2010) afirma que as deforma-
ções induzidas nesta região são de 10 a 40 vezes maiores que as produzi-
das até o limite de elasticidade. A elevação da tensão nesta fase da defor-
mação plástica pode causar o fenômeno do encruamento, que é o aumento 
da dureza do material. Sobre este fenômeno, recomenda-se ao aluno a 
pesquisa nas bibliografias indicadas nesta disciplina.
A terceira região ilustrada na Figura 3.6 é a de endurecimento por 
deformação. Quando terminam as deformações por cisalhamento, é possí-
– 43 –
Deformação
vel adicionar novos níveis de tensão. O crescimento da curva nessa região 
tem como característica um formato achatado. Nessa região é alcançada a 
tensão máxima, a qual é denominada de limite de resistência.
A quarta região analisada é a região de estricção, conforme demons-
trado na Figura 3.6. Após alcançar o limite de resistência, o corpo de prova 
passa a reduzir sua seção transversal em uma região localizada, não em 
todo o seu comprimento. O corpo de prova passa a alongar, causando 
uma estricção no ponto em que está ocorrendo o alongamento acentuado. 
Como a área está diminuindo, a tensão absorvida pelo material é con-
sequentemente decrescente, o que explica a forma descendente da curva 
nesta região. Dessa forma, o material alcança a tensão de ruptura.
O material demonstrado na Figura 3.6 possui comportamento dúctil, 
pois sofre grandes deformações antes de ocorrer a sua ruptura. O uso 
de materiais com esse comportamento é interessante para a Engenharia 
Civil. Como esses materiais se alongam muito antes de ocorrer a ruptura, 
é possível retirar as pessoas que estejam dentro da edificação, evitando a 
perda de vidas humanas. O escoamentodesses materiais é característico 
devido aos estalos ouvidos pelos morados nas edificações com materiais 
com essa característica.
Sendo assim, podemos definir a porcentagem de alongamento e de 
redução de área do material ilustrado no ensaio da Figura 3.6. A porcen-
tagem de alongamento pode ser definida pelo comprimento original do 
material ( )0 L com o comprimento do material na ruptura ( )rupL . Dessa 
maneira, temos a porcentagem de alongamento definida na Equação (6).
( ) ( )0
0
 100% 6rup
L L
Porcentagemdealongamento
L
−
=
A porcentagem de redução de área pode ser definida pela área inicial 
( 0 )A ) em conjunto com a área na ruptura ( )rupA ). A Equação 7 ilustra 
esta área:
( ) ( )0
0
 100% 7rup
A A
Porcentagemderedução deárea
A
−
=
Resistência dos Materiais
– 44 –
Figura 3.7 – Diagrama tensão-deformação 
demonstrando comportamento dúctil e frágil
Fonte: Callister (2005).
A Figura 3.7 apresenta as 
diferenças de comportamento 
entre um material dúctil e um 
material frágil. Repare que o 
material frágil rompe antes 
de atingir a tensão de escoa-
mento. Esse tipo de material 
apresenta pouca ou nenhuma 
deformação até o momento da 
ruptura, enquanto os materiais 
dúcteis deformam considera-
velmente. Assim, um material 
frágil se rompe na fase elástica 
sem sofrer nenhuma deforma-
ção elástica.
3.1 Exemplo numérico 1
A barra rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e 
CE, conforme demonstrado na Figura 3.8. Se a carga aplicada P aplicada 
à viga provocar um deslocamento de 10 mm para baixo na extremidade C, 
determine a deformação normal desenvolvida nos cabos CE e BD.
Figura 3.8 – Problema referente ao exemplo numérico 1
 
Fonte: adaptada de Hibbeler (2010).
– 45 –
Deformação
Ao aplicarem o carregamento P, os cabos BD e CE deformarão 
para baixo. A deformação do cabo BD será chamada de BDL∆ , e a do 
cabo CE será chamada de CEL∆ , que estão ilustrados na Figura 3.9. O 
enunciado fala que a viga se deslocou 10 mm em C, logo, podemos 
inferir que 10CEL mm∆ = .
Figura 3.9 – Esquema utilizado na resolução do problema numérico 1
Fonte: elaborada pelo autor.
Para encontrar o valor correspondente a BDL∆ , podemos realizar a 
semelhança de triângulos descrita a seguir:
3,0 7,0
BD CEL L∆ ∆=
10,0
3,0 7,0
BDL∆ =
4,28 BDL mm∆ =
De posse desses dois valores, conseguimos calcular as deformações nos 
dois cabos. Inicialmente, vamos calcular a deformação no cabo CE. O com-
primento do cabo CE foi convertido para mm, conforme ilustrado a seguir:
BD
BD
BD
L
L
ε ∆=
4,28
4000,0BD
ε =
Resistência dos Materiais
– 46 –
0,00107BD
mm
mm
ε =
A seguir, será demonstrado o cálculo da deformação para o cabo BD, 
cujo comprimento também foi convertido para mm:
CE
CE
CE
L
L
ε ∆=
10,0
4000,0CE
ε =
0,0025CE
mm
mm
ε =
Quando calculadas as duas deformações, o exercício está finalizado.
3.2 Exemplo numérico 2
A viga rígida é sus-
tentada por um pino em 
A e pelos cabos BD e CE, 
conforme demonstrado 
na Figura 3.10. Se a carga 
P aplicada à viga for des-
locada 10 mm para baixo, 
determine a deformação 
normal desenvolvida nos 
cabos CE e BD.
Figura 3.10 – Problema referente ao exemplo 
numérico 2
 
Fonte: adaptada de Hibbeler (2010).
– 47 –
Deformação
Ao aplicarem o carregamento P, os cabos BD e CE deformarão para 
baixo. A deformação cabo BD será chamada de BDL∆ , e a do cabo CE será 
chamada de CEL∆ , que estão ilustradas na Figura 3.11. No entanto, há um 
deslocamento da barra na extremidade no ponto de aplicação da carga P, 
que, de acordo com o enunciado, é de 10 mm.
Figura 3.11 – Esquema utilizado na resolução do problema numérico 2
Fonte: elaborada pelo autor.
Para encontrar os valores correspondentes a BDL∆ e CEL∆ , podemos 
realizar a semelhança de triângulos descrita a seguir. Primeiramente, cal-
cularemos o valor da deformação do cabo CE:
7,0 5,0
CEL∆ ∆=
10,0
7,0 5,0
CEL∆=
7,14 CEL mm∆ =
Em seguida, calcularemos a deformação no cabo BD:
7,0 3,0
BDL∆ ∆=
10,0
7,0 3,0
BDL∆=
4,28 CEL mm∆ =
Resistência dos Materiais
– 48 –
De posse desses dois valores, conseguimos calcular as deformações 
nos dois cabos. Inicialmente, vamos calcular a deformação no cabo CE. 
O comprimento do cabo CE foi convertido para mm, conforme ilustrado 
a seguir:
CE
CE
CE
L
L
ε ∆=
4,28
4000,0CE
ε =
0,00107CE
mm
mm
ε =
A seguir, será demonstrado o cálculo da deformação para o cabo BD. 
O comprimento do cabo BD também foi convertido para mm:
BD
BD
BD
L
L
ε ∆=
7,14
3000,0BD
ε =
0,00238BD
mm
mm
ε =
Calculadas as duas deformações, o exercício está finalizado.
Atividades
1. Os dois cabos estão interligados em A, conforme mostra a figura 
a seguir. Se a força P provocar um deslocamento máximo de 2 
mm no ponto em A, determine a deformação normal desenvol-
vida em cada cabo.
– 49 –
Deformação
Fonte: adaptada de Hibbeler (2010).
2. Parte da ligação de controle para um avião consiste em um ele-
mento rígido CBD e um cabo flexível AB, conforme ilustrado a 
seguir. Se uma força for aplicada à extremidade D do elemento e 
provocar uma rotação de 0,3θ = ° , determine a deformação nor-
mal no cabo. Em sua posição original, o cabo não está esticado.
Fonte: adaptada de Hibbeler (2010).
Resistência dos Materiais
– 50 –
3. O cabo AB não está esticado quando o ângulo teta é igual a 45°, 
conforme ilustrado na figura a seguir. Se uma carga vertical for 
aplicada à barra AC e provocar a mudança do ângulo teta para 
47°, determine a deformação no cabo.
Fonte: adaptada de Hibbeler (2010).
4. Considere a Figura 3.10 para a resolução deste problema. Se a 
deformação máxima admitida em cada cabo é de 0,002 mm/mm, 
determine o deslocamento máximo vertical da carga P.
Neste capítulo, estudaremos duas propriedades geométricas 
da seção transversal: centro de gravidade e momento de inércia.
Primeiramente, vamos conceituar e fornecer exemplos a 
respeito do centro de gravidade. Fica mais fácil visualizar o con-
ceito de centro de gravidade com o exemplo do pássaro equili-
brista, ilustrado na Figura 4.1.
Para brincar com esse pássaro, basta colocar o seu bico no 
suporte que o acompanha. É possível dar leves toques no pás-
saro e realizar rotações sem que ele caia do suporte. A razão 
para que o pássaro não caia é baseada em princípios físicos. O 
pássaro fica em equilíbrio em virtude do contrapeso que existe 
em suas asas, deslocando o centro de massa do pássaro para o 
bico. O centro de massa é o ponto médio de toda a massa que 
constitui o pássaro equilibrista, dessa forma, é possível deixá-lo 
estável sem que ele caia.
Propriedades 
geométricas da 
seção transversal
4
Resistência dos Materiais
– 52 –
Qualquer força aplicada fora do centro de gravidade causará uma ten-
dência de giro e a perda de equilíbrio do pássaro.
Figura 4.1 – O pássaro equilibrista
Fonte: Shutterstock.com/vitec
Conhecer o centro de gravidade 
do pássaro equilibrista é algo mais 
complexo do que conhecer o centro 
de gravidade de figuras geométricas 
bidimensionais, como as ilustradas 
na Figura 4.2. Para obter o centro 
de gravidade de um retângulo, basta 
localizar o ponto médio de cada aresta 
e convergir todos esses pontos para o 
centro. Na circunferência, o procedi-
mento é semelhante. Esse ponto do 
centro de gravidade é equivalente ao 
nariz do pássaro equilibrista, ou seja, 
poderíamos apoiar essas figuras na 
base do pássaro equilibrista que elas 
se manteriam estáveis.
Vale lembrar que o centro de gravidade de uma peça pode ser loca-
lizado parcial ou completamente se houver uma condição de simetria. O 
centro de gravidade passará no eixo de simetria da peça.
Figura 4.2 – Centro de gravidade de um retângulo e uma circunferência
Fonte: elaborada pelo autor.
– 53 –
Propriedades geométricas da seção transversal
É muito comum nos depararmos com corpos compostos, ou seja, 
formados por diversas figuras geométricas. Para resolver tais proble-
mas, é possível seccionar ou dividir suas partes componentes,trans-
formando o corpo em vários retângulos, triângulos e circunferências. 
A divisão é realizada porque, ao conhecer o centro de gravidade das 
diversas peças, podemos calcular o centro de gravidade do corpo inteiro 
com base nessas seções.
Figura 4.3 – Posicionamento dos eixos auxiliares V e U
Fonte: elaborada pelo autor.
Para realizar o cálculo do centro de gravidade, inicialmente posi-
cionaremos eixos auxiliares no canto inferior esquerdo. A Figura 4.3 
ilustra um corpo genérico e a posição dos eixos auxiliares v (eixo das 
ordenadas) e u (eixo das abcissas). Dessa forma, o centro de gravidade, 
posicionado em relação aos eixos auxiliares v e u, terá coordenadas v 
conforme a Equação 1:
( )' 1v Av
A
∑
=
∑
Em que a coordenada do centro de gravidade v é, em função do 
somatório da distância dos centros de gravidade das peças conhecidas 
( 'v ), multiplicado pela sua área ( A ).
Resistência dos Materiais
– 54 –
A posição do centro de gravidade em relação ao eixo u é demons-
trada na Equação 2:
( )' 2u Au
A
∑
=
∑
Em que a coordenada do centro de gravidade u é, em razão do soma-
tório da distância dos centros de gravidade das peças conhecidas ( 'u ), 
multiplicado pela sua área ( A ).
Em resumo, para o cálculo do centro de gravidade de peças compos-
tas, recomenda-se seguir os seguintes passos:
1. posicionar os eixos auxiliares u e v no canto inferior esquerdo 
da peça;
2. localizar algum eixo de simetria;
3. seccionar a peça em figuras conhecidas;
4. localizar o centro de gravidade dessas peças;
5. encontrar as medidas 'u e 'v de cada umas das figuras 
conhecidas;
6. calcular a área das peças conhecidas;
7. aplicar as equações (1) e (2);
8. posicionar os eixos do centro de gravidade z e y (z apontado para 
a esquerda e y apontado para baixo).
Há diversos termos que se associam ao centro de gravidade. Um 
deles é o conceito de centro de massa, uma propriedade que não depende 
da ação gravitacional, portanto, é uma propriedade intrínseca ao material. 
O centro de gravidade coincide com o centro de massa quando o campo 
gravitacional é homogêneo. Nos casos de Engenharia, essa condição está 
presente majoritariamente, dessa forma, confundem-se os conceitos, que 
são tidos como sinônimos. Outro termo comum a ser utilizado é o de cen-
troide, que se refere à distribuição de volumes, enquanto o centro de gra-
vidade refere-se a uma distribuição de massas. Para maior detalhamento 
– 55 –
Propriedades geométricas da seção transversal
dessas nomenclaturas, recomenda-se a leitura da bibliografia recomen-
dada para esta disciplina.
Exemplo numérico 1
Calcule o momento de inércia da Figura 4.4. As medidas estão em 
centímetros.
O primeiro passo consiste no posicionamento dos eixos auxiliares v 
e u no canto inferior esquerdo da peça. A Figura 4.5 ilustra o posiciona-
mento desses eixos.
Figura 4.4 – Figura utilizada no 
exemplo numérico 1
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.5 – Posicionamento dos eixos 
auxiliares V e U
Fonte: elaborada pelo autor.
O segundo passo consiste na constatação de algum eixo de simetria. 
Na Figura 4.6, é possível visualizar que a peça possui um eixo de simetria. 
Sendo assim, sabemos que o centro de gravidade passa pelo eixo de sime-
tria. A distância até o centro de gravidade no eixo u é 4 cm, ou seja, temos 
a medida 4,0 cmu = .
Resistência dos Materiais
– 56 –
Figura 4.6 – Eixo de simetria
Fonte: elaborada pelo autor.
O passo 3 consiste na divisão 
da figura em formas geométricas 
conhecidas. É possível obter dois 
retângulos, os quais chamaremos de 
retângulo 1 e retângulo 2 e estão ilus-
trados na Figura 4.7. Ainda, é possí-
vel realizar o passo 4, quando são 
obtidos os centros de gravidade de 
cada um desses retângulos, que tam-
bém estão ilustrados na Figura 4.7.
Figura 4.7 – Localização dos centros de 
gravidade das peças
Fonte: elaborada pelo autor.
Iniciaremos os cálculos para 
o retângulo 1. Conforme demons-
trado na Figura 4.8, a distância 
do centro de gravidade do retân-
gulo 1 é ' 11,5 cmv = (passo 5). O 
retângulo 1 possui base de 8,0 cm 
e altura de 3,0 cm, sendo assim, 
ele possui uma área de 24,0 cm² 
(passo 6).
Finalizadas as etapas do retângulo 1, iniciaremos os cálculos para o 
retângulo 2. Conforme demonstrado na Figura 4.9, a distância do centro 
de gravidade do retângulo 2 é ' 5,0 cmv = (passo 5). O retângulo 2 possui 
base de 2,0 cm e altura de 10,0 cm, sendo assim, ele possui uma área de 
20,0 cm² (passo 6).
– 57 –
Propriedades geométricas da seção transversal
Figura 4.8 – Distância v' do retângulo 1
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 4.9 – Distância v' do retângulo 2
Fonte: elaborada pelo autor.
Com esses dados, é possível aplicar o passo 7. O valor do centro 
de gravidade no eixo u já foi definido a partir do eixo de simetria, dessa 
forma, encontraremos a posição do centro de gravidade no eixo v:
'v Av
A
∑
=
∑
( ) ( )
( )
11,5 . 24,0 5,0 . 20,0
24,0 20,0
v
+
=
+
( ) ( )
( )
276,0 100,0
44,0
v
+
=
Resistência dos Materiais
– 58 –
376,0
44,0
v =
8,55 v cm=
Finalizados os cálculos, temos as coordenadas do centro de gravi-
dade: 4,0 cmu = e 8,55 cmv = . Ao plotar essas coordenadas em relação 
aos eixos u e v, é possível visualizar o centro de gravidade ilustrado na 
Figura 4.10.
Figura 4.10 – Centro de gravidade posicionado
Fonte: elaborada pelo autor.
A próxima propriedade geométrica a ser demonstrada é o momento 
de inércia. Para calcular o momento de inércia, é necessário obter o cen-
tro de gravidade, ou seja, se o cálculo do CG estiver errado, o cálculo do 
momento de inércia carregará esse erro. É muito importante precisão e 
atenção no cálculo do centro de gravidade para não carregar erros oriun-
dos de cálculos malfeitos.
– 59 –
Propriedades geométricas da seção transversal
O momento de inércia é uma propriedade física que representa uma 
resistência ao giro da peça, quanto maior o momento de inércia, maior 
a resistência ao giro da peça. O cálculo do momento de inércia é muito 
importante no cálculo de deflexão de vigas. A unidade do momento de 
inércia é a medida de comprimento utilizada elevada à potência quarta.
O momento de inércia de figuras geométricas conhecidas é ilustrado 
na Figura 4.11.
Figura 4.11 – Momento de inércia de figuras conhecidas
Fonte: adaptada de Shutterstock.com/Fouad A. Saa
Para áreas compostas, é necessário dividir a peça em figuras geomé-
tricas e realizar o somatório de cada uma das parcelas, conforme a Equa-
ção 3, que apresenta o cálculo do momento de inércia em z:
ZI ' ² (3yIz Ad= ∑ +
Com base na Equação 4, o momento de inércia é o somatório dos 
momentos de inércia da figura geométrica (Iz’), obtido conforme a Figura 
4.11, somando com a área da peça multiplicada pelo quadrado do trans-
porte do eixo da peça, considerada em relação ao centro de gravidade.
Para áreas compostas, o momento de inércia em y é demonstrado 
na Equação 5:
( )' 2yI Iy 4zAd= ∑ +
Resistência dos Materiais
– 60 –
Conforme a Equação 5, o momento de inércia é o somatório dos 
momentos de inércia da figura geométrica (Iy’), obtido conforme a Figura 
4.11, somando com a área da peça multiplicada pelo quadrado do trans-
porte do eixo da peça, considerada em relação ao centro de gravidade.
( )
4
4 4
64
DI D dπ= −
Para consolidação dos conceitos demonstrados aqui, recomenda-se 
ao leitor o acompanhamento da literatura indicada na disciplina.
Para simplificar os conceitos demonstrados, faremos a resolução do 
exemplo numérico 2.
Exemplo numérico 2
Calcular o momento 
de inércia para a Figura 4.4. 
Medidas em centímetros.
Primeiramente, é neces-
sário calcular o centro de gra-
vidade da peça, no entanto, 
esse procedimento já está 
calculado e representado na 
Figura 4.10.
Para proceder ao cálculo 
do momento de inércia, é 
necessário dividir a peça em 
figuras geométricas conheci-
das. Consideraremoso racio-
cínio do exemplo numérico 
1, em que a peça foi dividida 
em dois retângulos.
Figura 4.12 – Parâmetros necessários para o 
cálculo do momento de inércia
Fonte: elaborada pelo autor.
A Figura 4.12 ilustra a posição do centro de gravidade da peça e a 
posição do centro de gravidade dos retângulos 1 e 2.
O momento de inércia do retângulo é demonstrado na 
Figura 4.11, então temos que:
3
12
bhI =
– 61 –
Propriedades geométricas da seção transversal
Iniciaremos o cálculo do momento de inércia em z. Conforme a 
Equação 4, temos que:
( ) ( )
3 3
² ²
12 12
bh bhIz Ady Ady
    
= + + +    
    
A primeira parcela da equação corresponde ao retângulo 1 e a outra 
parcela ao retângulo 2. Para obtermos as medidas necessárias para o cál-
culo da inércia da peça, consideraremos as medidas em relação ao eixo 
y. A Tabela 4.1 apresenta os parâmetros para o cálculo do momento de 
inércia dos retângulos.
Tabela 4.1 – Parâmetros necessários para o cálculo do momento de inércia
 Base Altura Área
Retângulo 1 8,0 cm 3,0 cm 24,0 cm²
Retângulo 2 2,0 cm 10,0 cm 20,0 cm²
Fonte: elaborada pelo autor.
O transporte do eixo em y é correspondente à distância em y do cen-
tro de gravidade da peça em relação ao centro de gravidade do sistema, 
dessa forma, temos os parâmetros de cálculo na Tabela 4.2.
Tabela 4.2 – Cálculo do transporte em y (dy)
 V CG – Sistema V Peça dy
Retângulo 1 8,55 cm 11,50 cm 2,95 cm
Retângulo 2 8,55 cm 5,00 cm 3,55 cm
Fonte: elaborada pelo autor.
Com base nos dados das Tabelas 4.1 e 4.2, é possível realizar o cál-
culo a seguir:
( )( ) ( )( )
3 38,0.3,0 2,0.10,024,0 .(2,95² 20,0 .(3,55²
12 12
Iz
    
= + + +    
    
( ) ( )166,66 252,05 18 208,86Iz =  + + +  
Resistência dos Materiais
– 62 –
4645,57 Iz cm=
Para o cálculo do momento em inércia em y, conforme a Equação 5:
( ) ( )
3 3
² ²
12 12
bh bhIy Adz Adz
    
= + + +    
    
A primeira parcela da equação corresponde ao retângulo 1 e a outra 
parcela ao retângulo 2. Para obtermos as medidas necessárias para o cál-
culo da inércia da peça, consideraremos as medidas em relação ao eixo 
z. A Tabela 4.3 apresenta os parâmetros para o cálculo do momento de 
inércia dos retângulos.
Tabela 4.3 – Parâmetros necessários para o cálculo do momento de inércia
 Base Altura Área
Retângulo 1 3,0 cm 8,0 cm 24,0 cm²
Retângulo 2 10,0 cm 2,0 cm 20,0 cm²
Fonte: elaborada pelo autor.
Na Figura 4.12, é possível observar que no eixo z não há distância 
dos centros de gravidade dos retângulos em relação ao centro de gravi-
dade do sistema, todos estão alinhados ao eixo y. Dessa forma, o valor do 
transporte dos eixos em z (dz) é igual a zero. Assim, é possível calcular o 
momento de inércia em y:
( ) ( )( ) ( )( )( )
3 33,0.8,0 10,0.2,024,0 . 0,0 ² 20,0 0,0 ²
12 12
Iy
    
= + + +    
    
( ) ( )134,66 6,66Iy =  +  
434,66 Iy cm=
Com base nos valores calculados, é possível observar que a peça pos-
sui maior resistência ao giro em torno do eixo z em relação a y.
– 63 –
Propriedades geométricas da seção transversal
Atividades
1. Para as seções ilustradas a seguir, determine as coordenadas u 
e v do centro de gravidade e os momentos de inércia yI e zI . 
Obs.: todas as dimensões estão dadas em centímetros.
a)
z
2
v
y
u
CG
2 4 2
2
2
4
6
Fonte: elaborada pelo autor.
b)
z
20
v y
u
CG
10 10 20
30
10
30
Fonte: elaborada pelo autor.
c)
z
20
v
y
u
CG
16
64
20 60
Fonte: elaborada pelo autor.
d)
z
2,5 1 1
v
y
u
CG
1
2,5 2,5
4
1
4
1
4
1
Fonte: elaborada pelo autor.
Para explicar o conceito de flexão, utilizaremos o exemplo 
ilustrado na Figura 5.1. Inicialmente é possível visualizar um gan-
cho segurado por uma corda a uma barra. É aplicado um carrega-
mento na extremidade da corda, deixando-a sujeita a um esforço 
de tração. Esse esforço de tração faz com que a barra passe a 
sofrer uma deformação para baixo. Devido a essa deformação, as 
fibras superiores da barra passam a se tracionar, de outra forma, 
as fibras inferiores da barra passam a estar comprimidas.
Flexão pura
5
Resistência dos Materiais
– 66 –
Figura 5.1 – Exemplo para definição de flexão
Fonte: adaptada de Stock.adobe.com/sljubisa
Dessa forma, a seção transversal da barra está sujeita a duas tensões, 
uma de tração e uma de compressão, sujeita assim a um esforço de flexão. 
O esforço de flexão ocorre quando há uma deformação perpendicular ao 
eixo do corpo analisado, paralelo ao carregamento atuante. Diversos ele-
mentos estruturais dentro da Engenharia Civil estão sujeitos aos esforços 
de flexão (p. ex.: vigas, pilares, lajes, sapatas, blocos). Nas construções 
que utilizam o concreto como material de construção é necessário adicio-
nar o aço para combater esses esforços de tração, visto que o concreto não 
tem resistência adequada contra esses tipos de esforços.
– 67 –
Flexão pura
Para analisar as deformações que ocorrem na flexão, será utilizada 
a Figura 5.2 como exemplo, na qual é utilizado um material homogêneo, 
reto, submetido à flexão. Inicialmente, considere uma barra não defor-
mada conforme a Figura 5.2 (a), e repare nas linhas longitudinais e trans-
versais que formam quadrados.
Figura 5.2 – Deformação na flexão
Fonte: Atlan Coelho.
Ao aplicar um momento fletor (Figura 5.2 (b)), ocorre a deformação da 
barra e a consequente distorção desses quadrados. É possível observar que as 
linhas longitudinais passam a ser curvas e as linhas transversais permanecem 
retas, entretanto, elas sofrem rotação. Dessa forma, é possível observar um 
Resistência dos Materiais
– 68 –
alongamento das fibras inferiores, ocasionado por tensões de tração e uma 
compressão das fibras superiores devido a tensões de compressão. Como a 
seção transversal está sujeita a duas tensões diferentes, é possível imaginar 
um ponto de transição em que a peça não está sendo nem tracionada e nem 
comprimida. Esta posição, na qual a tensão é nula é chamada de linha neutra.
Tendo como base os conceitos expostos no parágrafo anterior, é pos-
sível definir três formulações de como a tensão deforma o material. O 
objeto de estudo deste capítulo é o de flexão pura e na flexão pura há ape-
nas a atuação do carregamento de momento fletor. Nesse tipo de flexão são 
desconsiderados outros tipos de carregamento, como de tensão normal e 
cisalhante. Segundo o primeiro conceito, o eixo x (Figura 5.3 (a)), situado 
no centro de gravidade da peça, não sofre nenhuma mudança de compri-
mento. O momento aplicado tenderá a deformar a barra, fazendo com que 
o eixo x se torne curvo (Figura 5.3 (b)).
Figura 5.3 – Conceito de linha neutra
Fonte: Atlan Coelho.
– 69 –
Flexão pura
O segundo conceito é que não há uma distorção da seção transversal, 
elas permanecem retas e perpendiculares em relação ao eixo longitudinal. 
O terceiro conceito trata do eixo z, que, contido no centro de gravidade 
da peça, é o eixo no qual a peça gira. Assim, dizemos que esse é o eixo 
neutro, ponto pelo qual passa a linha neutra.
A fórmula da flexão pura é desenvolvida a partir de um momento 
fletor interno, que age na seção transversal da viga. Considerando um 
momento fletor atuante no eixo z, a distribuição das tensões na seção 
transversal é obtida a partir da Equação (1):
( ) 1z
z
M y
I
σ = ±
Em que zM é o momento fletor 
atuante no eixo Z, no qual o seu valor 
é inserido na fórmula em módulo (o 
sinal da fórmula depende da direção do 
momento). zI é o momento de inércia 
em relação ao eixo z e y é a distância per-
pendicular do ponto analisado em rela-
ção ao momento em z. O sinal da equa-
ção será positivo se o momento aplicado 
em z tracionar a parte positiva do eixo 
y. Para explicar o sinal da equação, con-
sidere a seção transversal ilustrada na 
Figura 5.4.
Figura 5.4 – Seção transversal 
retangular
Fonte: elaborada pelo autor.
Na Figura 5.5 é aplicado um momento fletor positivoem relação ao 
eixo z, o momento está aplicado no centro de gravidade da peça. Para essa 
configuração de momento, temos que o momento comprime a parte supe-
rior e traciona a parte inferior da seção transversal. Observe que a parte 
positiva do eixo y é tracionada, sendo assim, para essa configuração de 
momento, a Equação (1) leva o sinal positivo.
Resistência dos Materiais
– 70 –
Figura 5.5 – Momento tracionando a parte inferior da seção transversal
Fonte: elaborada pelo autor.
A distribuição das tensões na seção transversal, conforme carre-
gamento ilustrado na Figura 5.5, está ilustrado na Figura 5.6. Como já 
demonstrado, a linha neutra nos casos de flexão neutra passa no centro de 
gravidade e coincide com o eixo z. No ponto mais afastado do centro de 
gravidade, na porção superior da seção transversal, temos a maior tensão 
de compressão, ela vai aumentando linearmente a partir do centro de gra-
vidade. Do outro lado, na porção mais inferior, temos a maior tensão de 
tração, que também cresce linearmente a partir da linha neutra.
Figura 5.6 – Diagrama de tensões
Fonte: elaborada pelo autor.
Na Figura 5.7 é aplicado um momento fletor negativo em relação ao 
eixo z, e o momento está aplicado no centro de gravidade da peça. Para 
esta configuração de momento, temos que este momento traciona a parte 
– 71 –
Flexão pura
superior e comprime a parte inferior da seção transversal. Observe que a 
parte positiva do eixo y é comprimida, sendo assim, para esta configura-
ção de momento a Equação (1) leva o sinal negativo.
Figura 5.7 – Momento tracionando a parte superior da seção transversal
Fonte: elaborada pelo autor.
A distribuição das tensões na seção transversal, conforme carregamento 
ilustrado na Figura 5.7, está ilustrado na Figura 5.8. No ponto mais afastado 
do centro de gravidade na porção superior da seção transversal, temos a 
maior tensão de tração, ela vai aumentando linearmente a partir do centro de 
gravidade. Do outro lado, na porção mais inferior, temos a maior tensão de 
compressão, que também cresce linearmente a partir da linha neutra.
Figura 5.8 – Diagrama de tensões
Fonte: elaborada pelo autor.
De forma análoga às tensões, as deformações na linha neutra são 
nulas e, à medida que se afastam do centro de gravidade, têm seu valor 
acrescido tanto para deformações positivas (tração) quanto para deforma-
ções negativas (compressão).
Resistência dos Materiais
– 72 –
Exemplo numérico 1
Para a seção transversal ilus-
trada na Figura 5.9, confeccione 
o diagrama de tensão normal e a 
orientação da linha neutra. Sabe-
-se que o momento é aplicado no 
centro de gravidade e as medidas 
das figuras estão em centímetros. 
Considere os seguintes momen-
tos:
a) Mz = 10 kN.m
b) Mz = -10 kN.m
Figura 5.9 – Figura utilizada no exemplo 
numérico 1
Fonte: elaborada pelo autor.
O cálculo das propriedades geométricas foi realizado no exemplo 
numérico 1 e 2 do capítulo anterior. A Tabela 5.1 apresenta as coordenadas 
do centro de gravidade.
Tabela 5.1 – coordenadas do centro de gravidade
Coordenada Valor
v 8,55 cm
u 4,00 cm
Fonte: elaborada pelo autor.
– 73 –
Flexão pura
Os momentos de inércia, calculados tanto em z como em y, estão 
apresentados na Tabela 5.2.
Tabela 5.2 – momentos de inércia calculado
Eixo Momento de inércia
Z 645,57 cm4
Y 34,66 cm4
Fonte: elaborada pelo autor.
A Figura 5.10 apresenta o centro de gravidade posicionado na seção 
transversal.
Figura 5.10 – Centro de gravidade posicionado
Fonte: elaborada pelo autor.
Inicialmente, posicionaremos o Mz com intensidade positiva de 10 
kN.m. Por ser positivo, ele está orientado à direita, no sentido do sinal 
positivo do eixo Z, conforme ilustrado na Figura 5.11.
Resistência dos Materiais
– 74 –
Figura 5.11 – Momento z posicionado e escolha dos pontos A e B
Fonte: elaborada pelo autor.
Para traçar o diagrama de tensões, é necessário calcular as ten-
sões máximas de tração e compressão para a seção transversal. Como o 
momento é positivo, sabe-se que ele comprime a parte superior da seção 
transversal e traciona a parte inferior. Dessa forma, determina-se dois pon-
tos, os mais distantes possíveis do centro de gravidade. Então, o ponto A 
é o ponto com a maior tensão de compressão e o ponto B é o ponto com 
maior tensão de tração, conforme ilustrados na Figura 5.11. As coordena-
das dos pontos em relação ao eixo y estão contidas na Tabela 5.3.
Tabela 5.3 – coordenada dos pontos A e B
Ponto Coordenada y
A -4,46 cm
B 8,55 cm
Fonte: elaborada pelo autor.
O ponto A está situado na parte negativa do eixo y, logo, tem sinal 
negativo. Como o momento traciona a parte positiva do eixo y, nesta 
– 75 –
Flexão pura
configuração de momento a Equação (1) assume o sinal positivo. Sendo 
assim, o cálculo para a tensão no ponto A é:
 za a
z
M y
I
σ = +
O momento em z é dado em kN.m. Temos as medidas de inércia e 
coordenadas y em centímetros. Sendo assim, convertendo esse momento 
para kN.cm, temos:
( )1000 4,46
645,57a
σ = + −
6,91 .a kN cmσ = −
O valor da tensão em A é negativo, pois trata-se de uma tensão de 
compressão. Para o ponto b, temos:
 zb b
z
M y
I
σ = +
( )1000 8,55
645,57b
σ = +
13,24 .b kN cmσ =
Figura 5.12 – Diagrama de tensões
Fonte: elaborada pelo autor.
Sinal positivo, pois trata-se de uma tensão de tração. Com base nes-
ses valores, é possível traçar o diagrama de tensões normais que está ilus-
trado na Figura 5.12.
Nesse momento, será realizado o cálculo do Mz com intensidade 
negativa de -10 kN.m. Por ser negativo, ele está orientado à direita, no 
Resistência dos Materiais
– 76 –
sentido contrário do sinal positivo do eixo Z. São mostrados ainda os pon-
tos A e B, obtidos conforme descrito acima. Estes itens podem ser vistos 
na Figura 5.13.
Figura 5.13 – Posicionamento do momento z
Fonte: elaborada pelo autor.
Como os pontos não mudaram, continuam as coordenadas demons-
tradas na Tabela 5.1. Como o momento aplicado em z traciona a parte 
negativa do eixo y, utilizaremos o sinal negativo na Equação (1), desta 
forma, a tensão no ponto A pode ser definida como:
 za a
z
M y
I
σ = −
O momento em z é dado em kN.m. Temos as medidas de inércia e 
coordenadas y em centímetros, sendo assim, convertendo este momento 
para kN.cm, temos:
( )1000 4,46
645,57a
σ = − −
– 77 –
Flexão pura
6,91 .a kN cmσ = +
O valor da tensão em A é positivo, pois trata-se de uma tensão de 
tração. Para o ponto b, temos:
 zb b
z
M y
I
σ = −
( )1000 8,55
645,57b
σ = −
13,24 .b kN cmσ = −
Sinal negativo, pois trata-se de uma tensão de compressão. Com base 
nesses valores, é possível traçar o diagrama de tensões normais, que está 
ilustrado na Figura 5.14.
Figura 5.14 – Diagrama de tensões
Fonte: elaborada pelo autor.
Resistência dos Materiais
– 78 –
Atividades
1. A haste de aço com diâmetro de 20 mm está sujeita a um 
momento fletor. Determine a tensão criada nos pontos A e B e 
trace o diagrama de tensão normal que age na seção.
Fonte: Atlan Coleho.
2. A viga é composta por três tábuas de madeira pregadas como 
ilustra a figura. Se o momento fletor que age na seção transversal 
for M= 1,5 kN.m, determine a tensão normal máxima na viga. 
Trace também o diagrama de tensão normal que age na seção.
25
0 m
m
25
0 m
m
38 mm38 mm
300 mm300 mm
38 mm38 mm
150 mm150 mm
25 mm25 mm
AA
BB
MM
Fonte: adaptada de Hibbeler (2010) com elementos 
de Stock.adobe.com/viktorijareut
– 79 –
Flexão pura
3. Determine o momento M que deve ser aplicado à viga de modo a 
criar uma tensão de compressão no ponto D Dσ = 30 Mpa. Além 
disso, trace um rascunho da distribuição de tensão que age na 
seção transversal e calcule a tensão máxima desenvolvida na viga.
150 mm150 mm
150 mm150 mm
25 mm25 mm
25 mm25 mm 25 mm25 mm
DD
BB
AA
MM
Fonte: adaptada de Hibbeler (2010) com elementos 
de Stock.adobe.com/ Svitlana
4. A viga tem seção transversal mostrada na figura. Se for feita 
de aço, com tensão admissível σ_adm= 170 Mpa, determine o 
maior momento interno