1a Lista de Exercicios de Complementos de Matematica prof Emerson Lima

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1a Lista de Exercı´cios de Complementos de Matema´tica1
Prof. Emerson Lima
Escola Polite´cnica de Pernambuco
Exercı´cios de Fixac¸a˜o
Exercı´cio U´nico. Escreva cada um dos nu´meros seguintes nas formas cartesiana
1. sen(2 + 4i)
2. cos(3i)
3. tan
(pi
4
+
pi
4
i
)
4.
exp(2 + i)
exp(2 + i)
(nota exp(z) = ez)
5. Log(exp(2) + exp(2i)); Quais sa˜o todas as soluc¸o˜es de exp(z) = exp(2) + exp(2i)?
6. sech(i)
7. cosh(2kpii), k ∈ Z
8. sinh(2kpii), k ∈ Z
9. Log(sen(i))
10. sen(Log(i))
1Nesta lista, como convencional, z,w, u referem-se a nu´meros complexos e λ, µ, ν sa˜o constantes reais. Aˆngulos
em representac¸o˜es polar ou cartesiana sa˜o representados por θ, α, β
2
Problemas
Problema 01. Usando a definic¸a˜o da exponencial complexa, ou seja, ex+iy = ex (cos(y) + isen(y)),
mostre que:
1. ez = ez
2. ez+T = ez se, e somente se, T = 2pii. Ou seja, ez e´ func¸a˜o 2pii-perio´dica. O que podemos
afirmar sobre ez+pii?
3. ei·z = eiz se, e somente se, z = kpi, k ∈ Z
4. ez 6= 0, ∀z ∈ C. Encontre todas as soluc¸o˜es de ez = −1
5. ez ∈ R se, e somente se, z = x + iy com y = kpi, k ∈ Z. Para quais desses valores, ez e´
real e negativo?
Problema 02. Usando a definic¸a˜o das func¸o˜es trigonome´tricas complexas sen(z) =
eiz − e−iz
2i
e
cos(z) =
eiz + e−iz
2
, mostre ainda que sen(z) = sen(z). O que podemos afirmar sobre cos(z)?
Verifique2 ainda quais das seguintes propriedades das func¸o˜es seno e cosseno reais continuam
va´lidas em C:
1. sen2z+ cos2 z = 1
2. senz = cos (pi/2− z)
3. senz = sen(pi − z)
4. cos z = − cos(pi − z)
5. sen(z+ w) = senz cosw+ cos zsenw
6. sen(z− w) = senz cosw− cos zsenw
7. cos(z+ w) = cos z cosw− senzsenw
8. cos(z− w) = cos z cosw+ senzsenw
9. sen2z = 2senz cos z
10. cos 2z = cos2 z− sen2z
11. cos 2z = 2 cos2 z− 1
12. cos 2z = 1− 2sen2z
13. sen(z+ w)sen(z− w) = sen2z− sen2w
14. cos(z+ w) cos(z− w) = cos2 z− sen2w
15. 1 + tan2 z = sec2 z
16. 1 + cot2 z = csc2 z
17. tan z = cot (pi/2− z)
18. cot z = − cot(pi − z)
19. csc z = cot z/2− cot z
20. tan(z+ w) =
tan z+ tanw
1− tan z tanw
21. tan(z− w) = tan z− tanw
1 + tan z tanw
22. cot(z+ w) =
cot z cotw− 1
cot z+ cotw
23. cot(z− w) = cot z cotw+ 1
cot z− cotw
24. tan 2z =
2 tan z
1− tan2 z
25. cot 2z =
cot2 z− 1
2 cot z
Problema 03. Mostre que:
2Sugesta˜o: Ao estabelecer uma propriedade diretamente da definic¸a˜o, use-a como base para provar outras identi-
dades sem ter que recorrer, necessariamente, a` definic¸a˜o novamente. O mesmo e´ verdade para os demais exercı´cios.
3
1.
d(senz)
dz
= cos z
2.
d(cos z)
dz
= −senz
3.
d(tan z)
dz
= sec2 z
4.
d(cot z)
dz
= − csc2 z
5.
d(sec z)
dz
= tan z sec z
6.
d(csc z)
dz
= − cot z csc z
Especificando em cada func¸a˜o acima qual o domı´nio considerado.
Problema 04. Usando a definic¸a˜o das func¸o˜es trigonome´tricas hiperbo´licas complexas senh(z) =
ez − e−z
2
e cos(z) =
eiz + e−iz
2
, verifique quais das seguintes propriedades das func¸o˜es seno e
cosseno hiperbo´licas reais continuam va´lidas em C:
1. cosh2 z− senh2z = 1
2. 1− tanh2(z) = sech2(z)
3. 1− coth2(z) = −csch2(z)
4. senh(z+ w) = senhz coshw+ cosh zsenhw
5. senh(z− w) = senhz coshw− cosh zsenhw
6. cosh(z+ w) = cosh z coshw+ senhzsenhw
7. cosh(z− w) = cosh z coshw− senhzsenhw
8. cosh(2z) = cosh2(z) + senh2(z) = 2 cosh2(z)− 1
9. senh(2z) = 2senh(z) cosh(z)
10. cosh2(z) =
1 + cosh(2z)
2
11. senh2(z) = −1− cosh(2z)
2
O que podemos afirmar sobre senh(z) e sobre cosh(z)?
4
Problema 05. Mostre que:
1.
d(senhz)
dz
= cosh z
2.
d(cosh z)
dz
= senhz
3.
d(tanh z)
dz
= sech2z
4.
d(coth z)
dz
= −csch2z
5.
d(sechz)
dz
= − tanh z sechz
6.
d(cschz)
dz
= − coth z cschz
Especificando em cada func¸a˜o acima qual o domı´nio considerado.
Problema 06. Mostre que os u´nicos zeros complexos das func¸o˜es trigonome´tricas sa˜o os zeros
reais, ou seja, mostre que sen(z) = 0 se, e somente se, z = kpi, k ∈ Z e que cos(z) = 0 se, e
somente se, z =
pi
2
+ kpi, k ∈ Z.
Problema 07. Mostre que as func¸o˜es trigonome´tricas complexas sa˜o 2pi-perio´dicas, ou seja,
mostre que sen(z + T) = sen(z), ∀z ∈ C se, e somente se, T = 2pi e que cos(z + T) =
cos(z), ∀z ∈ C se, e somente se, T = 2pi. Mostre tambe´m que sen(z + pi) = sen(z) e que
cos(z+ pi) = − cos(z). O que podemos afirmar sobre sen
(
z+
pi
2
)
e sobre cos
(
z+
pi
2
)
para o
caso complexo?
Problema 08. Mostre as seguintes identidades que correlacionam as func¸o˜es trigonometricas e
trigonome´tricas hiperbo´licas (em todos os casos, considere z = x+ iy com x, y ∈ R).
1. sen(iz) = isenh(z)
2. cos(iz) = cosh(z)
3. sen(z) = sen(x) cosh(y) + i cos(x)senh(y)
4. cos(z) = cos(x) cosh(y)− isen(x)senh(y)
5. ‖sen(z)‖2 = sen2(x) + senh2(y)
6. ‖ cos(z)‖2 = cos2(x) + senh2(y)
7. senh(z) = senh(x) cos(y) + i cosh(x)sen(y)
8. cosh(z) = cosh(x) cos(y) + isenh(x)sen(y)
9. ‖senh(z)‖2 = senh2(x) + sen2(y)
10. ‖ cosh(z)‖2 = senh2(x) + cos2(y)
5
Problema 09. Mostre as seguintes desigualdades (em todos os casos, considere z = x+ iy com
x, y ∈ R):
1. |senh(y)| ≤ ‖sen(z)‖ ≤ cosh(y)
2. |senh(y)| ≤ ‖ cos(z)‖ ≤ cosh(y)
3. senh(|x|) ≤ ‖ cosh(z)‖ ≤ cosh(x) (Qual o resultado ana´logo para | cosh(z)‖?)
4. ‖sen(z)‖ ≤ |sen(x)| (Qual o resultado ana´logo para |senh(z)‖?)
5. ‖ cos(z)‖ ≤ | cos(x)| (Qual o resultado ana´logo para | cosh(z)‖?)
Problema 10. Mostre que as func¸o˜es trigonome´tricas hiperbo´licas complexas sa˜o 2pii-perio´dicas,
ou seja, mostre que senh(z+ T) = senh(z), ∀z ∈ C se, e somente se, T = 2pii e que cosh(z+
T) = cosh(z), ∀z ∈ C se, e somente se, T = 2pii. O que podemos afirmar sobre senh(z+ pii) e
sobre cosh(z+ pii) = − cos(z).
Encontre os zeros complexos das func¸o˜es trigonome´tricas hiperbo´licas.