MAT17 Introducao Calc Probabilidades

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DAS 
PROBABILIDADES
 
 
 
 
 
 
 
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Apostila: Introdução ao Cálculo das Probabilidades – por Profº Selmo Pires 
 
Apostila de Matemática 
 
 
 
 
Assunto: 
 
 
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DAS 
PROBABILIDADES 
 
 
 
 
Autor: 
 
 
 
PROFº. SELMO PIRES 
 
 
 
 
 
 2 
 
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Apostila: Introdução ao Cálculo das Probabilidades – por Profº Selmo Pires 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 
 
1- INTRODUÇÃO 
 
 O termo probabilidade é usado de modo muito amplo na conversação diária para 
sugerir um certo grau de incerteza sobre o que ocorreu no passado, o que ocorrerá no futuro 
ou o que está ocorrendo no presente. 
 
 O torcedor de certo time pode apostar contra ele porque sua “probabilidade” de ganhar 
é pequena. O aluno poderá ficar contente porque acha que sua “probabilidade” de obter bons 
resultados nas provas é grande. 
 
A idéia de probabilidade desempenha papel importante em muitas situações que 
envolvem uma tomada de decisão. Suponhamos que um empresário deseja lançar um novo 
produto no mercado. Ele precisará de informações sobre a “probabilidade” de sucesso para 
seu novo produto. Os modelos probabilísticos podem ser úteis em diversas áreas do 
conhecimento humano, tais como: Administração de empresas, Economia, Psicologia, 
Biologia e outros ramos da ciência. 
 
Para a avaliação da probabilidade de ocorrência de um determinado evento, 
poderemos basear-nos em duas escolas de pensamento: 
 
 1) A escola objetiva ou clássica, onde as regras do cálculo das probabilidades devem ser 
somente aplicadas a eventos que podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas 
condições. Tais fundamentos garantem que se duas pessoas isoladas e acuradamente, 
determinassem a probabilidade de certo evento, chegariam ao mesmo resultado. Há dessa 
forma, uma “probabilidade” associada, por exemplo, ao evento receber duas figuras em um 
jogo de cartas; ou ganhar numa loteria em que 15 000 pessoas possuam bilhetes, pois os 
”experimentos” ( tirar duas cartas de um baralho ou possuir um bilhete de loteria) podem ser 
repetidos sob as mesmas condições e diferentes pessoas “provavelmente” obteriam os 
mesmos resultados nesses experimentos. Adeptos dessa escola jamais cogitariam atribuir a 
“probabilidade” de que o “Fluminense” ganhe no seu próximo jogo; de que “Ana Beatriz” seja 
a primeira mulher a pisar em “Marte” ou que “Nilo” pague uma rodada de chopp no “Boi 
Zebú”. Tais eventos não resultam de experimentos que possam ser repetidos sob as 
mesmas condições. 
 
 3 
 2) Para a avaliação desses experimentos, deveremos valer-nos dos fundamentos da “escola 
subjetiva” ou personalista. Tal escola considera que a probabilidade de certo evento é 
medida pelo grau de crença que cada pessoa atribui a ocorrência desse evento. 
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Evidentemente, neste caso, teremos diferentes “probabilidades” para um mesmo evento. 
Mesmo admitindo a dificuldade originada por diferentes probabilidades ao mesmo evento, os 
defensores dessa escola crêem que as pessoas que se utilizam sistematicamente das 
probabilidades subjetivas conseguem tomar decisões acertadas. Evidentemente, caro aluno, 
você encontrará defensores das duas linhas de pensamento que irão manifestar suas 
respectivas vantagens. Achamos que ambas possuem méritos e restrições. 
 
Utilizaremos neste capítulo o conceito de probabilidade objetiva, que é ainda o mais 
popular. Todavia, devemos afirmar que a escola subjetiva vem tendo um rápido crescimento 
e em breve se tornará mais difundida. 
 
 
2. CONCEITOS BÁSICOS 
 
Fenômeno: É qualquer acontecimento natural. 
 
Fenômeno determinístico: É um fenômeno que fornece um único resultado sob as 
mesmas condições. 
 
Fenômeno probabilístico, aleatório ou estocástico: É um fenômeno que fornece mais 
de um resultado sob as mesmas condições. 
 
 Experimento Aleatório: é aquele que poderá ser repetido sob as mesmas condições 
indefinidamente. 
 
Tal experimento apresenta variações de resultados, não sendo possível afirmar, a priori, 
qual será sua determinação antes que o mesmo tenha sido realizado. É possível, porém, 
descrever todos possíveis resultados: as possibilidades. O lançamento de um dado constituiu 
um experimento aleatório, pois esse experimento poderá ser repetido quantas vezes 
desejarmos. Antes do lançamento, não poderemos dizer qual será o resultado, mas somos 
capazes de relatar os possíveis resultados: sair o número 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Outro exemplo 
típico de um experimento aleatório e simples de ser entendido é o lançamento de uma 
moeda ao ar e a verificação da fase mostrada ao cair. Sabe-se que os resultados possíveis 
são “cara” ou “coroa”, mas não se sabe qual será a face mostrada. Se este experimento for 
repetido um número grande de vezes, com uma moeda não-viciada, verifica-se que as 
possibilidades de ocorrência de “cara” e de “coroa” são iguais: as freqüências relativas de 
ocorrência tendem para 0,50. 
 
Da mesma maneira, os experimentos abaixo são aleatórios: 
 
E1: Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe. 
 
E2: Retirar com ou sem reposição bolas de uma urna que contém 5 bolas brancas e 
seis pretas. 
 
 4 
E3: Contar o número total de peças defeituosas da produção diária da máquina A. 
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E4: Jogar uma moeda dez vezes e observar o número de caras. 
 
E5: Sortear um aluno de determinada classe. 
 
Espaço amostral (S): É o conjunto de todos os possíveis resultados de um 
experimento aleatório. 
Evento: Qualquer conjunto de resultados de um experimento aleatório. 
 
Sendo evento um subconjunto de S, indicaremos os eventos por letras maiúsculas: 
A,B,C,... 
 
Exemplo: Seja o experimento E = lançamento de um dado. O espaço amostral será o 
conjunto S= { 1,2,3,4,5,6 }. Seja o evento A = sair um número par. Assim, A = { 2,4,6 }. 
 
 Evento simples é aquele formado por um único do espaço amostral, ao passo que 
o evento composto é aquele que possui mais de um elemento. No exemplo acima, o evento 
A é composto. 
 
 Diante das explicações sobre o conceito de eventos, notamos que S (espaço 
amostral) e Φ conjunto vazio também são eventos, e são chamados respectivamente de 
evento certo e evento impossível. Assim, o evento obter um naipe na retirada de uma carta é 
um evento certo, enquanto que obter um sete no lançamento de um dado constitui um evento 
impossível. 
 
 Como evento é um conjunto, poderemos realizar com elas as operações 
costumeiras de união e interseção de conjuntos. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1o diagrama: União: A ∪ B 
A ∪ B é o evento que ocorre se A ocorrer ou B ocorrer ou ambos ocorrerem. 
 
2o diagrama: Interseção: A ∩ B 
A ∩ B é o evento que ocorre se A e B ocorrerem. A ∩ B corresponde à área escura do 2o 
diagrama de Venn. 
 
3o diagrama: Exclusão: A ∩ B = Φ 
 5 
 
alexandre
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alexandre
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Eventos mutuamente exclusivos: Dois eventos A e B são denominados mutuamente 
exclusivos se eles não puderem ocorrer simultaneamente, isto é, A intersecto B = conjunto 
vazio. No exemploanterior A e B são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de A impede 
a ocorrência de B e vice-versa: A ∩ B = Φ ( evento impossível). 
 
4o diagrama: Negação ou evento complementar 
A negação do evento A, denotada por Ac ou A ( lê-se A complementar ou A traço) é o 
evento que ocorre se A não ocorrer. Corresponde à área em branco do 4o diagrama. 
 
Exercício Resolvido: 
1) Seja ε o experimento sortear um cartão dentre dez cartões numerados de 1 a 10. Sejam 
os eventos A = {sair o número 7} e B = {sair um número par}, então, se S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8, 9, 10}, teremos: 
 A = {7} e B = { 2, 4, 6, 8, 10}. 
A ∪ B = {7, 2, 4, 6, 8, 10}; A ∩ B = Φ ( evento impossível) 
O complementar de A será: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}; 
O complementar de B será: B = { 1, 3, 5, 7, 9} 
A ∪ A = S; A ∩ A = Φ; B ∪ B = S ; B ∩ B = Φ. 
 
 
 
 
 
3. AVALIAÇÃO DA PROBABILIDADE 
 
 Nossa preocupação maior será avaliar a probabilidade dos eventos. Para tanto, 
iremos admitir que todos os elementos do espaço amostral têm a mesma chance, ou seja , 
os resultados são igualmente prováveis. Isto significa que, se “n” for o número de elementos 
de S, então a probabilidade de um evento simples será dada por 1/n. 
 
 Para avaliação da probabilidade de um evento composto, basta somarmos as 
probabilidades individuais quantas vezes for o número de elementos do evento composto. 
Simbolicamente, temos: S = { a 1, a 2, a 3,..., a n} ? espaço amostral equiprovável. Então, 
 
 P { a i } = 1/n ? probabilidade de cada evento simples. 
 
 
Para A = { a 1, a 2,..., a r }, com r menor ou igual a n , que é um evento composto, 
teremos: 
 6 
 44444444 21
parcelasr
nrnnnAP //1.../1/1)( 3=+++= 
 
 
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Essa maneira de cálculo das probabilidades é enunciada da seguinte forma: 
 
 P ( A ) = ...
.....
CTN
AeventoaoFCN
 
 
Lê-se: A probabilidade do evento A é dada pelo quociente entre o número de casos 
favoráveis ao evento A ( N.C.F. ao evento A ) e o número total de casos ( N.T.C. ). 
 
Note que para avaliar a probabilidade de certo evento, você deve “contar “ o número de 
casos favoráveis ao evento e o número total de casos possíveis do experimento. Trata-se, 
em última análise, de um problema de contagem. 
 
 
 
Exercício Resolvido: 
 
1) Qual a probabilidade de aparecer uma face ímpar no lançamento de um dado ? 
 
Solução: 
 Seja A o evento: { aparecer um número ímpar }. 
 Então: A = { 1, 3, 5 }, ou seja, N.C.F. = 3. 
 Quanto ao número total de casos (N.T.C.) será igual a seis, pois o espaço-amostral 
desse experimento é S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Portanto: 
 
 P ( A ) = %505,0
2
1
6
3
...
..... ====
CTN
AeventoaoFCN 
Logo, a probabilidade de aparecer um número ímpar no lançamento de um dado é ½ , 
0.50, ou 50%. A primeira maneira (½) de expressar a resposta é a mais comum. 
 
 
 
 2 ) Qual a probabilidade de se tirar um “rei “ de um baralho com 52 cartas ? 
 
 Solução: 
Seja A o evento: aparecer um rei quando se tira uma carta do baralho. Relembrando 
seus “amplos” conhecimentos dos jogos de cartas você irá concluir que N.C.F. = 4 ( existem 
4 reis num baralho) e que N.T.C. = 52, pois existem 52 cartas possíveis de serem sorteadas. 
Assim: 
 
 P(A) = ==
13
1
52
4 0,07692 ≅ 0,077 ? 7,7 % 
 
 
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4. REGRA DO CÁLCULO DAS PROBABILIDADES 
 
 Para maior facilidade na solução dos problemas de cálculo das probabilidades, 
devemos aprender as propriedades e regras seguintes: 
 
P 1) 0 < P(A) < 1 ? A probabilidade de um evento A deve ser um número 
 maior ou igual a zero e menor ou igual a 1. 
 
P 2) P(S) = 1 ? A probabilidade do evento certo é igual a 1. 
 
P 3) P(Φ) = 0 ? A probabilidade do evento impossível é igual a zero. 
 
P 4) P(A ∪ B) = P(A + B) = P(A) + P(B) 
? Regra da soma das probabilidades, se A e B forem dois 
NOTA: Tal propriedade pode ser generalizada para um número maior de eventos, desde 
que eles sejam 2 a 2 mutuamente exclusivos: 
 (A ∩ B = Φ; A ∩ C = Φ; B ∩ C = Φ), então: 
 P(A ∪ B ∪ C) = P(A ) + P(B) + P(C). 
 
P 5) P(A ∪ B) = P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
1) Regra da soma das probabilidades, se A e B NÃO forem dois eventos mutuamente 
exclusivos : 
 
P 6) P(A) = 1 - P(A) 
 ? Se A ( traço ) é o evento complementar de A. 
 
 
 
Exercício Resolvido: Aplicação das regras P4, P5 e P6: 
 
1) Seja o experimento E : lançamento de um dado e os eventos A, B, e C: 
 A = { sair o número 3 }; 
 B = { sair um número par }; 
 C = { sair número ímpar }. 
 Avaliar P(A); P(B); P(C); P(A ∪ B); P(A ∩ C); P(A ∪ C); P(A). 
 
Solução: 
S = { 1,2,3,4,5,6}; A = {3}; B = {2,4,6}; C = { 1,3,5} 
 P(A) =1/6 ; P(B) = 3/6 = ½ ; P(C) = 3/6 = ½ ; 
 P(A ∪ B) = 1/6 + 1/2 = 2/3 
 (A ∩ B = Φ ) ; 
 P(A ∩ C) = 1/6 ; 
 P(A ∪ C) = 1/6 + 1/2 - 1/6 = 1/2 ; 
 8 
P(A) = 1 - 1/6 = 5/6. Observe que A = { 1, 2, 4, 5, 6}. 
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P 7) PROBABILIDADE CONDICIONAL 
( ) ( )( )BP
BAPBAP ∩=/ 
 ? Se A e B são eventos de um espaço amostral S, com P(B) diferente de zero, 
então a probabilidade condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B, é indicada por 
P(A/B) e definida pela relação acima. 
 Para o cálculo da probabilidade condicional de A em relação a B, P(A/B), basta 
contarmos o número de casos favoráveis ao evento A ∩ B e dividirmos pelo 
número de casos favoráveis do evento B: 
 
( )
BaFCN
BaFCNBAP
...
A ../ ∩= 
 
Exercícios Resolvidos: Aplicação da Probabilidade Condicional 
1) Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros 1, 2,...,15. Se o número sorteado for par, 
qual a probabilidade de que seja o número 6 ? 
Solução: 
 S = { 1, 2, 3,...,15} 
 A = { o número ser o 6 } 
 B = { o número ser par } 
 Notem que a probabilidade do evento A, sem a informação da ocorrência de B, é : 
 P(A) = 1/15 = 0,0666... ≅ 0,067 ? 6,7 % 
 Dado porém, a informação de que o número sorteado foi par, o espaço-amostral reduz-
se para 
 S* = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, e é neste espaço-amostral que iremos avaliar a 
probabilidade do evento A. 
 Assim: A ∩ B = {6} e B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}; logo, 
 
 P(A/B) = ( )( ) 14,29% .0,142857..7
1
...
... A P ===∩= ∩
BaFCN
BAaFCN
BP
B 
 
 P(A/B) lê-se: probabilidade de sair o número 6, dado que o número sorteado foi par. 
 
2) De um baralho comum de 52 cartas, retirou-se uma e verificou-se que ela era vermelha. 
Qual a probabilidade de essa carta ser uma figura ? 
 
Solução: 
 A = { a carta é uma figura } 
 B = { a carta é vermelha }; então:Observem que há 6 cartas que são figuras e vermelhas, bem como 26 cartas 
vermelhas. 
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 P(A/B) = ( )( ) ,01%23 0,23076... 13
3
26
6
...
... A P ====∩= ∩
BaFCN
BAaFCN
BP
B 
 
 Neste exemplo P(A/B) lê-se: probabilidade de sair uma figura, dado que a carta retirada 
tenha sido vermelha. 
 
 
P 8) REGRA DO PRODUTO 
. A partir da definição de probabilidade condicional 
 ( ) ( )( )BP
BAPBAP ∩=/ , poderemos “explicitar” P(A ∩ B) e encontrar a regra do 
produto: 
 
 P(A ∩ B) = P(B). P(A/B) ou P(A ∩ B) = P(A). P(B/A) 
 
 Então, a probabilidade da ocorrência simultânea de dois eventos de um mesmo 
espaço-amostral é igual a probabilidade de um deles ocorrer pela probabilidade condicional 
do outro, dado o primeiro. 
 
 
 
 Exercício Resolvido: Aplicação da regra do produto. 
 
1) Retira-se, sem reposição, duas peças de um lote de 10 peças, onde 4 são boas. Qual 
a probabilidade de que ambas sejam defeituosas ? 
 Solução: Sejam os eventos: 
 A = {a primeira peça ser defeituosa }; 
 B = {a segunda peça ser defeituosa }. 
 Precisamos, então, avaliar P(A ∩ B). 
 P(A ∩ B) = P(A). P(B/A) ? P(A ∩ B) = 6/10 . 5/9 = 1/3 = 0,3333... ? 33,33 % 
Observem que P(B/A) é a probabilidade de a segunda peça ser defeituosa, dado que a 
primeira foi defeituosa. 
 
 
 
P 9) REGRA DO PRODUTO PARA DOIS EVENTOS INDEPENDENTES 
 Dois eventos são considerados independentes quando a ocorrência de um deles 
não depende ou não está vinculada com a ocorrência do outro, isto é, P(A/B) = P(A) e 
P(B/A) = P(B). 
 
 Logo, a regra do produto para dois eventos independentes é dada por: 
 P (A ∩ B) = P(A) . P(B) 
 
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Exercício Resolvido: Aplicação da regra do produto. 
 
1) Retira-se, com reposição, duas cartas de um baralho com 52 cartas. Qual a probabilidade 
de que ambas sejam de “paus”? 
Solução: Sejam os eventos: 
 A = {a primeira carta é de “paus”} 
 B = {a segunda carta é de “paus”} 
 Como A e B são independentes, a ocorrência de um deles não está vinculada à 
ocorrência do outro. 
 Observem que, como o processo é com reposição, o espaço-amostral não é alterado 
para o cálculo da probabilidade do outro evento. Assim: 
 P (A ∩ B) = P(A). P(B) = 13/52 . 13/52 = 1/16 = 0,0625 ? 6,25% 
 
 
P 10) REGRA DE BAYES 
 Sejam A1, A2, A3, ... , An , n eventos mutuamente exclusivos tais que 
 A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An = S. Sejam P( Ai ) as probabilidades conhecidas de 
todos os eventos Ai e B um evento qualquer de S tal que conhecemos todas as 
probabilidades condicionais P( Ai ). Então para cada “i” teremos: 
 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nn
ii
i ABPAPABPAPABPAP
ABPAP
BAP
/...././.
/.
/
2211 +++
= 
 
O resultado acima é bastante importante, pois, como vimos, relaciona probabilidades a 
priori: P( Ai ) com probabilidades a posteriori: P( Ai / B ) , probabilidade de Ai depois que 
ocorrer B. 
 
 
 
Exercício Resolvido: Aplicação da regra de Bayes. 
 
1) Suponhamos a seguinte configuração: 
 
Cor Urna 1 Urna 2 Urna 3 Total 
Preta 3 4 2 9 
Branca 1 3 3 7 
Vermelha 5 2 3 10 
Total 9 9 8 26 
 Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso, verificando-se 
que a bola é branca. Qual a probabilidade de a bola ter vindo da urna 2? 
 Solução: 
 Probabilidades a priori: ? P( U1 ) = 1/3; P( U2 ) = 1/3; P( U3 ) = 1/3; 
 Probabilidades a posteriori :? P( br/U1 ) = 1/9; P( br/U2 ) = 1/3; P( br/U3 ) = 3/8; 
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 Desejamos calcular P( U2 / br ), Assim: 
 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )332211
22
2 /././.
/./
UbrPUPUbrPUPUbrPUP
UbrPUPbrUP ++= 
 
( ) 4068,04067966,0
59
24
8
3.3
1
3
1.3
1
9
1.3
1
3
1.3
1
/2 ===++=brUP ? 40,68% 
 
 
 Obs: O que é a probabilidade “a posteriori”? 
 É a probabilidade de ser escolhida a urna 2 dada a informação de que a bola retirada 
foi branca 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1º) Dar o espaço amostral de cada um dos seguintes experimentos: 
a) Lançamento simultâneo de duas moedas; 
b) Lançamento simultâneo de três moedas; 
c) Distribuição de sexo de uma família com três filhos; 
d) Lançamento simultâneo de um dado ( não viciado ); 
e) Lançamento simultâneo de dois dados ( não viciados ); 
f) Retirada de duas cartas de um baralho com 8 cartas, sendo 4 damas e 4 valetes; 
g) Retirada de duas bolas sucessivamente, de uma urna com cinco bolas, sendo três 
brancas e duas amarelas. 
 
2º) Respectivamente aos espaços amostrais do exercício anterior, enumere os eventos: 
a) Faces idênticas; 
b) Uma cara ( pelo menos uma cara ); ( obs: é diferente de exatamente uma cara) 
c) No máximo duas meninas; 
d) Um número primo; 
e) Um par cuja soma seja um número maior do que 8; 
f) Todos valetes; 
g) A primeira bola é branca. 
 
3º) Dois dados são lançados. Pede-se: 
a) enumere o evento A={ a soma dos pontos é 9}; 
b) enumere o evento B={ a soma dos pontos é 7}; 
c) enumere o evento C={ a soma dos pontos é menor do que 10}; 
d) calcule a probabilidade do evento A; 
e) calcule a probabilidade do evento B; 
f) calcule a probabilidade do evento C; 
g) qual a probabilidade da soma NÃO dar 7; 
 12 
h) calcule a probabilidade de ocorrer A ou B; 
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i) calcule a probabilidade de ocorrer B ou C; 
j) calcule a probabilidade de ocorrer A e B; 
l) calcule a probabilidade de ocorrer A e C; 
m) dado que as duas faces mostram números diferentes, calcule a probabilidade de a soma 
ser 4; 
n) determine ? P (C/A); 
o) determine ? P (B/C); 
p) determine a probabilidade de a soma ser 5, visto que o primeiro dado mostra um número 
maior do que o segundo; 
q) determine a probabilidade de a soma ser um número maior do que 8, visto que o primeiro 
dado mostra um número menor do que o segundo; 
 
 4º) São dadas duas urnas: 
 
Cor Urna A Urna B Total 
Preta 2 3 5 
Branca 5 12 17 
Vermelha 3 5 8 
Total 10 20 30 
 
a) Calcular a probabilidade de retirar um bola branca da urna “A”; 
b) Qual a probabilidade de retirarmos uma bola preta da urna “B”; 
c) Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca ou vermelha da urna “A”; 
d) Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca e vermelha da urna “A”; 
e) Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca ou preta da urna “B”; 
f) Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca ou vermelha da urna “B”; 
g) Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas vermelhas da urna “A”, com 
reposição?; 
h) Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas brancas da urna “B”, com reposição?; 
i) Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas pretas da urna “A”? (* sem reposição); 
j) São retiradas uma bola de cada urna; qual a probabilidade de ambas serem da mesma 
cor? ( sempre sucessivamente, nunca ao mesmo tempo ) 
l) Uma bola preta é retirada aleatoriamente de uma das urnas e trazida para você, qual a 
probabilidade dela ter vindo da urna “B”? 
 
5º)Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obter-se: 
a) exatamente duas caras; b) duas caras; c) somente uma coroa; d) pelo menos uma 
coroa; 
e) no máximo duas caras; f) nenhuma cara; g) uma coroa. 
 
6º) São lançados dois dados. Qual a probabilidade de se obter-se: 
a) um par de pontos diferentes? 
b) um par de pontos iguais? 
c) um par de pontos onde o primeiro número é menor que o segundo? 
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d) a soma dos pontos ser um número par? 
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e) de obtermos soma sete, se o par de pontos é diferentes? 
f) de obtermos soma seis, dado que o par de pontos é igual? 
g) de a soma dos pontos ser menor do que 18 
 
h) de a soma dos pontos ser maior do que 13? 
 
7º) Duas cartas são retiradas ao acaso, sem reposição, de um baralho de 52 cartas. 
 Qual a probabilidade de obter-se: { 13 cartas de paus ? ¨ ; 13 cartas de ouro ? © ; 
 13 cartas de copas ? ª ; 13 cartas de espada ? « } 
a) dois reis? b) a primeira carta é um valete e segunda uma dama? c) duas cartas 
vermelhas? 
d) uma figura e uma carta preta ? obs: duas respostas ... e) um número e uma carta preta 
 ( com reposição ) f) um número e uma carta preta ( sem posição ); ? obs: duas 
respostas ...; g) um valete e uma dama?( obs: J e Q ou Q e J ). 
 
8º) A probabilidade de um aluno da turma “A” resolver este problema é de 4/5 ( ou seja 
80%). 
 Qual a probabilidade de que o problema não seja resolvido por um aluno qualquer da 
turma? 
 
9º) A probabilidade de o aluno “X” resolver este problema é de 3/5, e de o aluno “Y” é de 4/7. 
 Qual a probabilidade de que o problema seja resolvido por eles? 
 
10º) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair o número 5 ou um número 
par? 
 
11º) Um inteiro é escolhido ao acaso dentre { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..., 28, 29, 30}. 
Qual a probabilidade de o número escolhido ser: 
 a)divisível por 6 ou 8; b) divisível por 5 ou 8; c) divisível por 5 ou 7; 
 
12º) De um baralho de 52 cartas, uma carta é retirada ao acaso. Qual é a probabilidade de 
sair: 
a) um “As” ou uma carta de copas?; 
b) uma figura ou uma carta vermelha?. 
 
13º) Um grupo de 15 elementos apresenta a seguinte composição: 
. Homens Mulheres . Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-
se: 
.Menores 5 3 . a) Qual a probabilidade de ser homem? 
.Adultos 5 2 . b) Qual a probabilidade de ser adulto? 
 c) Qual a probabilidade de ser menor e 
mulher? 
 d) Sabendo-se que o elemento escolhido é adulto, qual a probabilidade de ser 
homem? 
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 e) Sabendo-se que o elemento escolhido é mulher, qual a probabilidade de ser 
menor? 
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Apostila: Introdução ao Cálculo das Probabilidades – por Profº Selmo Pires 
 
14º) Um grupo de 100 pessoas apresenta, de acordo com o sexo e qualificação a seguinte 
composição: 
 
Sexo Especializado
s 
Não-
especializados 
Total 
Homens 21 39 60 
Mulheres 14 26 40 
Total 35 65 100 
 
Calcular: 
 a) a probabilidade de um escolhido ser Homem. 
 b) a probabilidade de um escolhido ser Mulher e não especializada. 
 c) qual a porcentagem dos não especializados? 
 d) qual a porcentagem dos Homens não especializadas? 
 e) se o sorteado é especializado, qual a probabilidade de ser mulher? 
 f) se o sorteado for homem, qual a probabilidade de ser não especializado? 
 
15º) Uma urna contém quatro bolas brancas, cinco azuis e seis pretas em uma outra temos 
cinco 
 bolas brancas, seis azuis e duas pretas. Extrai-se uma bola de cada urna, na seqüência 
estabelecida anteriormente, qual a probabilidade: 
a) de que ambas sejam da mesma cor? 
b) da primeira ser azul e a segunda ser preta? 
c) de uma ser azul e a outra ser preta? 
d) da primeira ser branca e a segunda não ser branca? 
 
16º) Numa caixa de oito lâmpadas, três são defeituosas. São retiradas duas lâmpadas sem 
reposição. Calcule a probabilidade de: 
a)ambas serem perfeitas; b)ambas serem defeituosas; c)pelo menos uma ser boa; 
 
17º) Temos duas caixas: Na primeira há três bolas brancas e sete pretas, e na segunda 
uma bola branca e cinco pretas. De uma caixa escolhida ao acaso, seleciona-se uma bola e 
verifica-se que é preta. Qual a probabilidade de que a caixa de onde foi extraída a bola seja: 
 a) a primeira caixa? b) a segunda caixa? 
 
18º) A probabilidade da classe "A" comprar um carro é 3/4, da "B" é 1/6 e da "C", 1/20. 
 A probabilidade de o indivíduo da classe "A" comprar um carro da marca "W" é 1/10; de B 
comprar da marca "W" é 3/5 e de C é 3/10. Em certa loja comprou um carro da marca "W". 
Qual a probabilidade de que o indivíduo: 
a)da classe "A" o tenha comprado?; 
b)da classe "B" o tenha comprado?; 
c)da classe "C" o tenha comprado?. 
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Apostila: Introdução ao Cálculo das Probabilidades – por Profº Selmo Pires 
19º) Três máquinas M1, M2 e M3 produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de 
peças 
de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 
5% e 2%. 
 
19.1) Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de 
que a peça tenha vindo da máquina: 
a) M1? b) M2? e c) M3? 
19.2) Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é perfeita. Qual a probabilidade de 
que a peça tenha vindo da máquina: 
 a) M1? b) M2? e c) M3? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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	Exercícios Resolvidos: Aplicação da Probabilidade Condici
	1\) Um número é sorteado ao acaso entre
	EXERCÍCIOS PROPOSTOS