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1 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m 
REVISÃO MATEMÁTICA ITA/IME – 2012 
100 QUESTÕES 
 
Professor: Eurico Dias (eurico@gmail.com) 
 
Obs: A distribuição dos tópicos abordados nas 100 questões 
segue aproximadamente a porcentagem média de cobrança 
desses assuntos nas últimas provas do ITA. 
 
I - Geometria Plana 
 
1) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. 
Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao 
lado que mede a centímetros, se forem satisfeitas as 
relações 3a = 7c e 3b = 8c. 
a) 30 b) 60º c) 45º d) 120 e) 135º 
 
2) Um triângulo ABC está inscrito num círculo de raio 
2 3
. 
Sejam a, b e c os lados opostos aos ângulos A, B e C 
respectivamente. Sabendo que a = 
2 3
 e (A,B,C) é uma 
progressão aritmética, podemos afirmar que: 
(a) c = 
4 3
 e A = 30º 
(b) c = 
3 3
 e A = 30º 
(c) b = 6 e C = 85º 
(d) b= 3 e C = 90º 
(e) n.d.a 
 
3) Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento AC mede 2 
cm . Sejam  e , respectivamente , os ângulos opostos aos 
segmentos BC e AC. A área do triângulo é (em cm
2
) igual a 
a) 2sen
2
 cotg  + sen 2 
b) 2sen
2
 tg - sen 2 
c) 2cos
2
 cotg  + sen 2 
d) 2cos
2
 tg  + sen 2 
e) 2sen
2
 tg  - cos 2 
 
4) Considere (P) um polígono regular de n lados. Suponha 
que os vértices de (P) determinam 2n triângulos, cujos lados 
não são lados de (P). O valor de n é: 
a) 6 b) 8 c) 10 d) 20 
e) não existe um polígono regular com esta propriedade. 
 
 
5) Um triângulo abc com |ac| = B, |ab| = C e |bc| = A 
satisfaz 
CBA
3
CB
1
BA
1





. O ângulo em b mede: 
a) 30
o
 b) 45
o
 c) 60
o
 d) 90
o
 e) nda 
 
 
 
 
 
 
6) (ITA-74) Seja 
CD AB 
no quadrilátero ABCD, mostrado 
na figura abaixo. Então podemos garantir que: 
a) 





sen 
sen 
 
 sen
 sen
 
b)  =  
c) tg  . tg  . tg  . tg  
d) 
AB . AD BC
2

 
e) N.D.R.A. 
 
 
 
 
 
7) (ITA-75) Os lados de dois octógonos regulares têm, 
respectivamente, 5 cm e 12 cm. O comprimento do lado de 
um terceiro octógono regular, de área igual à soma das 
áreas dos outros dois, é: 
a) 17 cm c) 14 cm e) N.D.R.A. 
b) 15 cm d) 13 cm 
 
8) (ITA-75) Seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito em 
uma circunferência. Sabe-se que 
4
9
 - C sen . A sen D tg . B tg e D B ,C2 A  ˆˆˆˆˆˆˆˆ
. Neste 
caso, os valores de 
D ,C ,B ,A ˆˆˆˆ
são, respectivamente. 
a) 150°, 45°, 75°, 30° d) 120°, 120°, 60°, 60° 
b) 90°, 120°, 45°, 60° e) N.D.R.A. 
c) 120°, 150°, 60°, 30° 
 
9) O lado do pentágono regular inscrito numa circunferência 
de raio R = 
10 2 5
 vale: 
a) 5 b) 
5
2
 
c) 5 -
5
 d) 
5 5 5
 
e) 
10
 
 
10) Sejam A, B e C os comprimentos dos lados de um 
triângulo, e a, b e c os valores dos ângulos opostos. Se é 
dado que 
13
BA
12
AC
11
CB 




, qual das relações 
abaixo é verdadeira? 
a) 
14
sinc
12
sinb
10
sina

 
b) 
10
sinc
14
sinb
12
sina

 
c) 
12
sinc
14
sinb
10
sina

 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
 
B 
 
A 
 
D 
 
 
 
 
 
2 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m 
d) 
10
sinc
12
sinb
14
sina

 
e) 
12
sinc
10
sinb
14
sina

 
 
 
11) (IME-72) Sejam “n” circunferências de raio R, tangentes 
entre si duas a duas e tendo seus centros sobre os vértices 
de um polígono regular. Calcule a área exterior às 
circunferências e compreendida entre elas, em função de R 
e n. 
a) 





 


n
cot
n
tg.nR 2
 
b) 
2
)1n(
tg.R 2

 
c) 










2
)2n(
n
cot.nR 2
 
d) 





 


n
cos
n
senR 2
 
e) 





 


n
cos
n
tgR 2
 
 
 
II - Polinômios 
 
12) O resto da divisão do polinômio P(x) = x
100
 pelo 
polinômio D(x) = x
2
 – x é igual a 
a) 0 b) 1 c) – x d) x e) 2x 
 
13) Considere todas as parábolas y = ax
2
 + bx + c (a, b e c 
reais) que encontram o gráfico da função f(x) = 2x
4
 + 7x
3
 + 3x 
– 5 em quatro pontos distintos, digamos (x1, y1), (x2, y2), (x3, 
y3), (x4, y4). Determine o valor de x1 + x2 + x3 + x4. 
a) – 7/2 b) (a – 7)/2 c) a + b + c d) 9 
e) impossível de calcular pois depende de a, b e c 
 
14) Sejam a, b, c e d as raízes (nos complexos) do polinômio 
x
4
 + 6x
2
 + 4x + 2. Encontre um polinômio P(x), do quarto 
grau, que tenha como raízes a
2
, b
2
, c
2
 e d
2
. 
a) x
4
 + 12x
3
 + 40x
2
 + 8x + 4 
b) x
4
 + 12x
3
 + 20x
2
 + 4x + 4 
c) x
4
 + 16x
3
 + 16x
2
 + 10x + 4 
d) x
4
 + 40x
2
 + 4x + 4 
e) x
4
 + 36x
2
 + 16x + 4 
 
15) (ITA-75) Sendo a, b, c, d as raízes da equação 2x
4
 – 7x
3
 + 
9x
2
 – 7x + 2 = 0, podemos afirmar que: 
a) a, b, c, d são reais positivas; 
b) a
2
 + b
2
 + c
2
 + d
2
 é igual a 
5
13
; 
c) a, b, c, d não são reais; 
d) 
bcd
1
 + 
acd
1
 + 
abd
1
 + 
abc
1
 é a soma das raízes; 
e) N.D.R.A. 
 
16) (ITA-74) Seja 
222
c
1
 
b
1
 
a
1
 M 
, onde a, b, c, são as 
raízes da equação x
3
 - 
3
 x
2
 + 54 = 0. Então podemos 
afirmar que: 
a) log3M é um número irracional. 
b) log3M é um número primo. 
c) log3M = 
3
5
. 
d) log3M = 
2
5

. 
e) N.D.R.A. 
 
17) Calcular os valores de m, de modo que a equação x
3
 + 
mx
2 
+ 11x +m = 0 admita as raízes ,  e , as quais verificam 
a relação 
2
 + 
2
+ 
2
 = 14. 
a) -6 e 6 b) -2 e 4 c) 2 e 5 d) 3 e 5 e) nda 
 
18) (ITA-76) Determine os valores de a e b, tais que os 
polinômios x
3
 – 2ax
2
 + (3a + b)x – 3b e x
3
 – (a + 2b)x + 2a 
sejam divisíveis por x + 1. 
a) a = 0 b = - 3 b) a = 3 b = - 4 
c) a = 4 b = - 2 d) a = 5 b = - 1 
e) a = 1 b = - 7 
 
19) Um polinômio P(x), dividido por x + 1 e x
2
 + 4 dá restos 0 
e x + 1, respectivamente. Qual é o resto da divisão de P(x) 
por (x + 2)(x
2
 + 4)? 
a) x
2
/4 + 2x + 5 b) x
2
/8 + x + 3/2 
c) x
2
 + 5x/8 + 7 d) x
2
/16 + 7x/4 + 1 
e) NDA 
 
20) Se a é a hipotenusa e b e c são os catetos de um 
triângulo retângulo, então o que podemos afirmar sobre as 
raízes da equação a
2
x
2
 – b
2
x – c
2
 = 0. 
a) são iguais 
b) uma é igual a – 1 é a outra está entre 0 e 1. 
c) uma é igual a 1 e a outra está entre 0 e 2. 
d) uma é igual a 1 e a outra está entre – 1 e 0. 
e) são dois números racionais 
 
21) Seja P(x) um polinômio de grau n  1, com coeficientes 
reais. Sabendo que P(3 + i ) = 2 – 4i, onde i
2
 = –1, calcule P(3 
– i ). 
a) 2 – 4i b) 4 + 2i c) 4 – 2i d) 2 + 4i e) 0 
 
 
 
 
 
 
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III - Geometria Espacial 
22) (ITA-67) Cortando-se uma pirâmide regular de altura h, 
com um plano paralelo à base, resulta uma segunda 
pirâmide. Se a razão entre as áreas das superfícies laterais 
das pirâmides (menor/maior) for r, a que distância do 
vértice deve passar o plano? 
a) h
2
r b) 
rh
 c) 
hr
 d) 
h
r
 e) hr 
23) (ITA-71) Cortando-se um determinado prisma triangular, 
reto, por um plano  que forma um ângulo de 45
o
 com o 
plano da base ABC observamos que a reta r, interseção de 
com o plano da base, dista 7 cm de A, 5 cm de B e 2 cm de C. 
Se a área da base for 21 cm
2
, o volume do tronco de prisma 
compreendido entre a base ABC e o plano  será: 
a) 105 cm
3
 b) 294 cm
3
 c) 98 cm
3
 
d) 
298
 cm
3
 e) 
2
98
 cm
3
 
 
24) (ITA-72) Seja 
'C'B
 a projeção do diâmetro 
BC
 de um 
círculo de raio r sobre a reta tangente t por um ponto M 
deste círculo. Seja 2k a razão da área total do tronco do 
cone gerado pela rotação do trapézio BCC’B’ ao redor da 
reta tangente t e a área do círculo dado. Qual é o valor de k 
para que a medida do segmento 
'MB
 seja igual a metade 
do raio r? 
a) 
3
 b) 
2/3
 c) 2 d) 1/2 e) 4 
 
25) (ITA-73) Um octaedro regular está inscrito num cubo, 
que está inscrito numa esfera, e que está inscrita num 
tetraedro regular. Se o comprimento da aresta do tetraedro 
é 1, qual é o comprimento da aresta do octaedro? 
a) 
27
2
 b) 
4
3
 c) 
4
2
 d) 1/6 e) 1/12 
 
26) Um poliedro convexo tem exatamente 6 vértices e 
exatamente 12 arestas. 
Considere as afirmativas: 
 I – O número de faces é igual a 8; 
 II – O número de faces quadrangulares é igual ao número 
de faces triangulares; 
III – Todas as faces do poliedro são triangulares; 
IV – Todas as faces do poliedro são quadrangulares; 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa I é correta. 
b) Somente as afirmativas I e II são corretas. 
c) Somente as afirmativas I e III são corretas. 
d) Somente as afirmativas I e IV são corretas. 
e) Todas as afirmativas estão erradas. 
 
27) (ITA-75) Consideremos uma esfera de raio r = 1 cm e um 
ponto P fora desta esfera. Sabemos que a distância deste 
ponto P à superfície da esfera mede 2 cm. Qual é a razão K 
entre a área da superfície da esfera e a da calota visível do 
ponto P? 
a) K = 1 b) K = 2 c) K = 3 d) K = 5/2 e) N.D.R.A. 
 
28) (ITA-75) As medidas dos catetos de um triângulo 
retângulo são (sen x) cm e (cos x) cm. Um estudante 
calculou o volume do sólido gerado pela rotação deste 
triângulo em torno da hipotenusa, e obteve como resultado 
 cm
3
. Considerando este resultado como certo, podemos 
afirmar que: 
a) 
6
 x


 c) 
4
 x


 e) N.D.R.A. 
b) 
3
 x


 d) 
5
 x


 
 
29) (ITA-77) O ângulo da geratriz com o eixo de um cone de 
revolução mede 30°. Se S é a área de sua secção reta a uma 
distância h do vértice, qual a relação entre S e h? 
a) S = 
2
h2
 b) S = 
2h
2
3
 c) S = 
3
h2
 
d) S = 
2h
3
2
 e) n.d.a. 
 
30) (ITA-75) As dimensões de um paralelepípedo retângulo 
são proporcionais aos números loget, loget
2
 e loget
3
 e a área 
total é 792 cm
2
. Sabendo-se que a soma das dimensões vale 
12 vezes a razão de proporcionalidade, quais são os valores 
destas dimensões? 
a) 6; 12 e 18 c) 2; 3 e 4 e) N.D.R.A. 
b) 5; 10 e 15 d) 2; 4 e 8 
 
IV - Geometria Analítica 
31) Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos 
pontos (x, y) do plano que satisfazem a equação 
288
13534
1024
16240
1
det
22














  yxyx
. 
 
a) Uma elipse. b) Uma parábola. 
c) Uma circunferência. d) Uma hipérbole. 
 
32) (ITA-78) Seja o triângulo de vértices A: (1,2); B: (2, 4) e C: 
(4, 1), no sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. A 
distância do ponto de encontro das alturas desse triângulo 
ao lado AC, é: 
a) 
70
109
 b) 
70
9
 c) 8
10
 d) 
33
 e) n.d.a. 
 
33) Seja S o conjunto de todos os pontos no plano xy cuja 
distância d1 a (0, 0) e a distância d2 a (1, 0) satisfaz 
4
d
d
2
1 
. 
Qual é a máxima distância possível entre dois pontos de S? 
 
 
 
 
4 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m 
a) 8/15 b) 13/45 c) 4/25 d) 4/75 e) 3/35 
 
34) (IME 92/93 Militares) Dada a cônica x
2
 + 2y
2
 + 3x – 3y – 3 
= 0, determine a área do triângulo formado pelo centro da 
cônica e dois de seus vértices. 
a) 
32
251
 b) 
16
251
 c) 
2
102
 d) 
2
51
 e) 
5
102
 
 
35) (ITA-77) No sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, uma das retas tangentes à circunferência de 
equação x
2
 + y
2
 + 2x + 4y – 20 = 0, passando pelo ponto P0 (– 
2, 5) tem equação: 
a) 3x – y + 1 = 0 b) x + y – 3 = 0 c) x + 3y – 13 = 0 
d) 4x – 3y + 23 = 0 e) 3x + 4y + 10 = 0 
 
36) (ITA-74) A reta que passa pela interseção das 
circunferências x
2
 + y
2
 = 1 e (x – 1)
2
 + (y – 1)
2
 = 2, é tal que: 
a) tem equação 3x/5 – 3y/4 + 1/4 = 0 
b) não passa pela origem 
c) passa pela origem 
d) não é perpendicular e reta que passa pelos centros das 
circunferências. 
e) nda 
 
37) (ITA-74) A reta que passa pelas intersecções das 
circunferências x
2
 + y
2
 = 1 e (x – 1)
2
 + (y – 1)
2
 = 2, é tal que: 
a) tem equação 
0 
4
1
 y 
3
2
 - x 
5
3

. 
b) não passa pela origem. 
c) passa pela origem. 
d) não é perpendicular a reta que passa pelos centros das 
circunferências. 
e) N.D.R.A. 
 
38) (ITA-75) Seja S o conjunto das soluções do sistema de 
desigualdades: 2x + y – 3 > 0 
 x – 2y + 1 < 0 
 y – 3 < 0 
 x + my – 5 < 0, onde m é real. 
A representação geométrica de S, em coordenadas 
cartesianas ortogonais (x, y), é: 
a) um quadrilátero para qualquer m > 0. 
b) um triângulo isósceles para qualquer m < 0. 
c) um triângulo retângulo para m < 0 ou 
3
5
 < m < 4. 
d) S é o conjunto vazio para m > 
3
5
. 
e) N.D.R.A. 
 
39) (ITA-75) Considere a circunferência C que passa a pelos 
pontos (0, 0), (2, 0), e (0, 2) em um sistema de coordenadas 
cartesianos ortogonais. Uma das retas tangentes a esta 
circunferência, que passa pelo ponto (3, 5), tem por 
equação: 
a) x + y – 3 = 0; d) 6x – y – 16 = 0; 
b) 7x – y + 8 = 0; e) N.D.R.A. 
c) x – y + 2 = 0; 
 
 
 
V - Trigonometria 
40) O conjunto de soluções da equação sen 2x = cos x 
pertencentes ao intervalo [0, 2] é: 
a) {arc tg (0,5)} b) {arc tg (0,5),  + arc tg (0,5)} 
c) {/6, 5/6} d) {/6, /2, 5/6, 3/2} 
e) { } 
 
41) (ITA-75) Admitindo-se que o polinômio P(y) = y
5
 – (tg 
u)
2
y
3
 + (tg u) y + sec
2
u – tg
2
u é divisível pelo polinômio Q(y) 
= y + cotg
2
u – cosec
2
u, onde 
 π u 
2
π

, podemos 
assegurar que: 
a) tg u é um número irracional negativo; 
b) cossec u = - sec u; 
c) u = 
3
2
; 
d) tg u é um numero tal que – 1 < tg u < 0; 
e) N.D.R.A. 
 
42) (ITA-75) Sabendo-se que 
0 m e 0 n ,
n m
n - m
 x sen 


, 
podemos afirmar que 






2
x
 - 
4
π
 tg
 é igual a: 
a) 
m
n
 b) 
n
m
 c)  (
m
n
 - 1
) d) 
m
n
 e) N.D.R.A. 
 
43) (ITA-77) Considere um triângulo ABC cujos ângulos 
internos 
Aˆ
, 
Bˆ
 e 
Cˆ
 verificam a relação sen 
Aˆ
 = tg 
2
CˆBˆ 
. 
Então podemos afirmar que: 
a) Com os dados do problema, não podemos determinar 
Aˆ
nem 
Bˆ
 e nem 
Cˆ
. 
b) Um desses ânulos é reto. 
c) 
Aˆ
= 
6

 e 
Bˆ
 + 
Cˆ
 = 
6
5
 
d) 
Aˆ
= 
6

, 
Bˆ
= 
6

 e 
Cˆ
 = 
12
5
 
e) n.d.a. 
 
44) A menor solução positiva da equação 
 sen 9x + sen 5x + 2 sen
2
x = 1 é: 
a) 
4
 b) 3
84
 c) 
42
 d) 
84
 e) 
294
 
 
45) O conjunto das soluções da inequação 
 cos4
x - 4 cos
3
x + 6 cos
2
x - 4 cosx + 1 < 0 é: 
 
 
 
 
5 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m 
a)  b)  c) {2k | k  Z} 
d) {k | k  Z} e) {(2k + 1) | k  Z} 
 
46) (IME-72) Determine os valores de x que satisfazem a 
equação: 
xarcsenx2arcsen)3xarcsen( 
. 
a) x = 0 
b) x =  1 
c) x = 0, x =  1 
d) x = 0, x = 
3
 
e) x = 0; x =  1/2 
 
VI - Funções / Equações 
 
47) Seja uma função f real definida para todo x real tal que: f 
é ímpar; f(x + y) = f(x) + f(Y); e f(x)  0, se x 0. Definindo g(x) 
= 
x
(1) - (x) ff
, se x  0, e sendo n um número natural, 
podemos afirmar que: 
a) f é não – decrescente e g é uma função ímpar. 
b) f é não – decrescente e g é uma função par. 
c) g é uma função par e 0  g(n)  f(1). 
d) g é uma função ímpar e 0  g(n)  f(1). 
e) f é não – decrescente e 0  g(n)  f(1). 
 
 
48) Dada a função real definida por f(x) = x
2
, considere a 
função real g definida por g(x) = f(x+m) + k, sendo m e k 

IR. 
É INCORRETO afirmar que: 
a) o gráfico da função g em relação ao gráfico da função f é 
deslocado k unidades para cima, se k > 0, e m unidades para 
a direita, se m < 0. 
b) a equação do eixo de simetria da parábola que representa 
g é dada por x – m 
c) se m = 0 e k = 1, então o conjunto imagem de g é dado por 
Im = {y 

 IR | y 

 1} 
d) se m = -2 e k = -3, então as coordenadas do vértice da 
parábola que representa g são (-m,k) 
 
49) Para todo x real, 
 
 
 
3
2
1
2
2
2
x ax
x x
 se e só se: 
a) -3 < a < 2 b) -1 < a < 2 c) -6 < a < 7 
d) -1 < a < 7 e) -6 < a < 2 
 
50) (ESPCEX-96) Seja a função f: RR, definida por 
f(x) = 2x + |x + 1| – |2x – 4|. O valor de f 
– 1
(30) é: 
a) 6. b) 20. c) 25. d) 35. e) 10. 
 
51) (ITA-85) Considere as seguintes função: f(x) = x – 7/2 e 
g(x) = x
2
 – 1/4 definidas para todo x real. Então, a respeito 
da solução da inequação |(gof)(x)| > (gof)(x), podemos 
afirmar que: 
a) Nenhum valor de x real é solução. 
b) Se x < 3 então x é solução. 
c) Se x > 7/2 então x é solução. 
d) Se x > 4 então x é solução. 
e) Se 3 < x < 4 então x é solução. 
 
52) (ESPCEX-93) Sejam os conjuntos A = {x  / x  1/2}, B = 
{x  / x  – 1} e as funções f de A em – definidas por f(x) 
= 2x – 1; g de – em +, definida por g(x) = x
2
 e h de + em 
B, definida por h(x) = 4x – 1. Pode-se, então, afirmar que a 
função inversa de ho(gof) é definida por: 
a) 
2 1
4
 x
 b) 16x
2
 – 16x + 3 
c) 
2 1
4
 x
 d) 
2 1
4
 x 
 
53) Seja 
)x(F
2
1
1a
1
)x(G
x









, onde a é um número 
real positivo diferentes de 1 e F(x) é uma função ímpar. Qual 
das alternativas abaixo é verdadeira? 
a) G(x) é uma função ímpar. 
b) G(x) é uma função par. 
c) G(x) não é uma função par e nem ímpar. 
d) G(x) pode ser uma função par ou ímpar dependendo do 
valor de a. 
 
54) Considere a função F: NN definida por 





contrário caso1n2
3 de múltiplo um én se3/n
)n(F
 
Para quantos inteiros positivos k vale a equação F(F(k)) = k? 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
55) Se f(x) = ax
2
 – c satisfaz – 4  f(1)  – 1 e 
– 1  f(2)  5, então: 
a) 7  f(3)  26 b) – 1  f(3)  20 c) – 4  f(3)  15 
d) – 28/3  f(3)  35/3 e) 8/3  f(3)  13/3 
 
56) (ITA-77) Supondo a < b, onde a e b são constantes reais, 
considere a função H(x) = a + (b – a)x definida no intervalo 
fechado (0, 1). Podemos assegurar que: 
a) H não é uma função injetora 
b) Dado qualquer 
y
 < b, sempre existe um 
x
 em (0, 1) 
satisfazendo H(
x
) = 
y
 
c) Para cada 
y
, com a < 
y
 < b, corresponde um único real 
x
, com 0 < 
x
 < 1, tal que H (
x
) = 
y
. 
d) Não existe uma função real G, definida no intervalo 
fechado (a, b), satisfazendo a relação G(H(x)) = x para cada x 
em (0, 1). 
e) n.d.a. 
 
 
 
 
 
6 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m 
57) (ITA-78) Seja f (x) uma função real de variável real. Se 
para todo x no domínio de f temos f (x) = f (-x), dizemos que 
a função é par; se, no entanto, temos f (x) = -f (-x), dizemos 
que a função é impar. Com respeito á função g (x) = loge [ 
sen x + 
xsen 1
2
], podemos afirmar que: 
a) está definida apenas para x  0; 
b) é uma função que não é par nem impar. 
c) é uma função par. 
d) é uma função impar. 
e) n.d.a. 
 
58) Se f(x) satisfaz 2.f(x) + f(1 – x) = x
2
 para todo x, então 
f(x) = 
a) (x
2
 – 3x + 1)/2 b) (x
2
 + 8x – 3)/9 c) (4x
2
 + 3x – 2)/6 
d) (x
2
 + 2x – 1)/3 e) (x
2
 + 9x – 4)/9 
 
59) Suponha que o gráfico de y = ax
2
 + bx + c é dado pela 
figura abaixo. Então entre as expressões: 
ab, ac, b, a + b + c, a – b + c 
quantas são positivas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
60) Seja f uma função real tal que: f(2) = 3 e 
f(a + b) = f(a) + f(b) + ab, para todo a e b. Calcule f(11). 
Resp: 66 
 
61. Quantas pares ordenados (x,y) , x e y sendo números 
inteiros, são soluções da inequação : 
?100yx 
 
a)19801 b) 19802 c) 19803 d) 19804 e) 19805 
 
VII - Complexos 
62) Considere o número complexo z tal que 
zz 
= 2 – i, 
onde i = 
1
 e identifique entre as opções abaixo, as que 
são corretas. 
 
(01) O afixo de z é ponto do 1º quadrante. 
(02) 
1002
4
3
z 






é real positivo. 
(04) 
O menor inteiro positivo n para o qual n
4
1
z 






é 
real negativo pertence ao intervalo ]2, 5[ 
 
 
A soma das opções corretas é igual a 
a) 6 b) 5 c) 3 d)2 
63) (ITA-74) A equação xn – 1 = 0, onde n é um número 
natural maior do que 5, tem: 
a) 1 raiz positiva, 1 raiz negativa e (n – 2) raízes complexas 
quando n é par. 
b) 1 raiz positiva, (n – 1) raízes não reais quando n é par. 
c) 1 raiz negativa, (n – 1) raízes complexas quando n é impar. 
d) 1 raiz positiva, 1 raiz negativa e (n - 2) raízes complexas 
quando n é um número natural qualquer. 
e) N.D.R.A. 
 
64) (ITA-78) O lugar geométrico, no plano complexo, 
representado pela equação 
0 k zz - zz - zz 00 
, onde k é 
um número real positivo e 
k, z
2
0 
 é: 
a) uma hipérbole com centro z0. 
b) uma elipse com um dos focos em z0. 
c) uma circunferência com centro em z0. 
d) uma parábola com vértice em z0. 
e) n.d.a. 
 
65. Para 
,i 1
 os valores reais de a e b tais que 
bi
ii
iia


3263
 são, respectivamente: 
a) 0 e 
2
3
 b) – 4 e 1 c) 
2
3
 e 0 d) 
2
3
 e 2 e) NRA 
 
66) Representemos por 
z
 o conjugado do número 
complexo z . A equação z
3
 = 
z
 : 
a) possui uma única raiz. 
b) possui exatamente quatro raízes. 
c) tem o produto das suas raízes igual a 1. 
d) tem o produto das suas raízes igual a -1. 
e) tem a soma das suas raízes igual a 0 . 
 
67) No conjunto dos números complexos seja  tal que  
< 1. O lugar geométrico dos pontos z  C que satisfazem a 
igualdade:
z
z




1
1
é: 
a) Uma circunferência de centro na origem e raio 1. 
b) Uma hipérbole. 
c) Uma elipse de semi-eixo maior igual a 2. 
d) Uma parábola. 
e) Formado por duas retas concorrentes. 
Observação: A notação 

 é usada para denotar o 
conjugado complexo de 

. 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
7 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m 
 
VIII -Combinatória 
68) Considere que 






p
n
 significa a combinação de n 
elementos tomados p a p. Assim, 
















2
2
n é idêntico a: 
a) 






2
n
 b) 






3
n
2
 c) 3






4
n
 d) 





 
3
1n
2
 e) 





 
4
1n
3
 
 
69) (ITA-77) Se colocarmos em ordem crescente todos os 
números de 5 algarismos distintos obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, 
a posição do número 61473 é: 
a) 76º b) 78º c) 80º d) 82º e) 84º 
 
70) Uma escola oferece 5 diferentes classes de línguas, 4 
diferentes classes de ciências e 3 diferentes classes de 
matemática. De quantas maneiras é possível escolher 2 
classes, não ambas do mesmo assunto? 
a) 64 b) 50 c) 21 d) 36 e) 47 
 
71. Um novo tipo de cadeado com dez botões está sendo 
comercializado, onde para abri-lo devemos pressionar – em 
qualquer ordem – os cinco botões corretos. O exemplo 
abaixo mostra um cadeado com a combinação 
 9,6,3,2,1
. 
6
9
1
2
3
 
Supondo que novos cadeados sejam criados de modo que 
suas combinações incluam desde um até nove botões 
pressionados, o número de combinações adicionais que isto 
perm ite é : 
a) 710 
b) 730 
c) 750 
d) 770 
e) 790 
 
72) Reduzidos os termos semelhantes, quantos termos 
existem no desenvolvimento de (a + b + c + d + e)
17
? 
a) C21, 5 b) C17, 5 c) C12, 5 d) 2.C21, 5 e) 2.C17, 5 
 
73 - O conjunto A possui n elementos. 
a) Determine o número de relações que podem ser 
construídas em A. 
b) Determine o número de relações reflexivas. 
c) Determine o número de relações simétricas. 
d) Determine o número de relações anti-simétricas. 
e) Determine o número de relações reflexivas e simétricas. 
f) Determine o número de relações reflexivas e anti-
simétricas. 
 
IX - Matemática Básica 
74. A classificação dos tipos sangüíneos é feita de acordo 
com presença dos antígenos A, B e Rh. Segundo a escrita 
biomédica, a presença de A e B é simbolizada por AB, a 
ausência de A e B é simbolizada por O; a presença de Rh por 
Rh
+
 e a ausência de Rh por Rh. Em um grupo de 100 
pacientes de um hospital verificou-se 6 pacientes tem 
sangue (O, Rh); 45 pacientes são portadores de somente 
um dos antígenos no sangue, sendo 6 portadores do 
antígeno A e 36 do antígeno Rh; 10 pacientes são 
portadores dos 3 antígenos; 83 pacientes são portadores do 
antígeno Rh sendo que destes, nenhum é portador do 
antígeno A sem ser do antígeno B, Se x e y representam o 
número de pacientes cujos tipos sangüíneos são (B, Rh
+
) e 
(AB, Rh) respectivamente então x + y é igual a : 
a) 38 b) 39 c) 40 d) 41 e) 42 
 
75. Alice em mais uma de suas viagens, encontra-se à frente 
de 3 portas, numeradas de 1 a 3, cada uma das quais conduz 
a uma sala diferente. Em uma das salas encontra-se uma 
linda princesa; em outra, um valioso tesouro; finalmente, na 
outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas encontra-
se uma inscrição: 
Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está 
na porta 2.” 
Porta 2: ”Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro: 
mas cuidado: não entres na porta 3 pois atrás dela encontra-
se um feroz dragão.” 
Porta 3: “podes entrar sem medo pois atrás dessa porta não 
há dragão algum .” 
 
Alertada por seu amigo Shrek de que uma e somente uma 
dessas inscrições é falsa (sendo as outras duas verdadeiras), 
Alice conclui então, corretamente, que atrás das portas 1, 2 
e 3 encontram-se, respectivamente : 
a) o feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesa. 
b) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragão. 
c) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragão. 
d) A linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouro. 
e) O feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouro. 
 
76. Um casal tem filhas e filhos. Cada filho tem um numero 
de irmãos igual ao numero de irmãs. 
Cada filha tem um numero de irmãos igual ao dobro do 
numero de irmãs. Qual o total de filhos e filhas do casal? 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) NRA 
 
77. Quantos números de 1 a 1000 possuem números impar 
de divisores? a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32 
 
78. Para todo conjunto S, seja 
S
 o número de elementos 
de S, e seja n(S) o número de subconjuntos de S. Se A, B, C 
são conjuntos tais que : 
 
 
 
 
8 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m 
       CBAnCnBnAn 
 e 
100BA 
 
então, o valor 
mínimo
 possível para 
CBA 
 é igual a : 
a) 96 b) 97 c) 98 d) 99 e) 100 
 
79. (EN) Se 





















5
32
8
95
222
3
95
37
43
30
1
43
5,7
32
12
yxzy
zyzx
zxyx
 
Determine x+y+z: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 
 
X - Matrizes 
 
80) Considere as seguintes informações sobre matrizes reais 
quadradas de ordem n : 
I- Se as matrizes, não singulares, A e B são ortogonais , então 
A.B é ortogonal. 
II- A inversa da matriz C = .A é .A
-1
 . 
III- Se a matriz A é ortogonal, então A
-1
 é ortogonal. 
IV- (A - B)
3
 = A
3
 - 3A
2
B + 3AB
2
 + B
3
 
Então: 
a) Todas as afirmações são corretas. 
b) Apenas a afirmação I é correta. 
c) Apenas a afirmação II é falsa. 
d) Apenas a afirmação III é correta. 
e) Apenas as afirmações I e III são corretas. 
 
81) Dadas as afirmações: 
I- Se A = 
 2 - 3 - 5
-1 4 5
 1 - 3 - 4










, então A
1997 
= 
1 0 0
0 1 0
0 0 1










. 
II- A matriz A = cos - sen
sen cos
 
 






 é ortogonal. 
III- Se B = 
-1 -1 -1
 0 1 0
 0 0 1










, então B
1997
 = B 
IV- Uma matriz T é involuntória se, e somente se, (I - A) . (I + 
A) = 0. 
V- Duas matrizes comutam se, e somente se, são quadradas 
e de mesma ordem. 
Pode-se afirmar que o número de afirmações corretas é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
82) Seja X = 1 m
0 1






 uma matriz quadrada 2 x 2 , onde m é 
uma número inteiro qualquer. Se P = (aij) é uma matriz 
definida por P = X
n
 + X
n-1
 + X
n-2
 + ... + X , onde n é um 
inteiro positivo (n  1), então podemos afirmar que: 
a) um elemento aij da matriz P é igual a 
m.
n(n 1)
2
 
b) um elemento aij da matriz P é igual a 
m.
n(n 1)
2
 
c) um elemento aij da matriz P é igual a 
n.
m(m -1)
2
 
d) P é uma matriz cujos elementos são todos inteiros se, e 
somente se, m é par. 
e) nda 
 
83) (IME-75/76) Considere as matrizes A e B, apresentadas 
abaixo: 











00a
0b0
c00
A
, 











1606
0250
10016
B
. Os elementos a, b e 
c, da matriz A, são números positivos. Determine a matriz A
– 
1
 sabendo que A
2
 + 2A + I = B. Considere que I é a matriz 
identidade de ordem 3. 
a) 










003/1
04/10
5/100
 b) 










005/1
04/10
3/100
 
c) 











5/100
06/10
003/1
 d) 











5/100
06/10
003/1
 
e) Não existe A
– 1
 
 
 
84) (IME-81/82) Seja Mn(R) o conjunto das matrizes 
quadradas de ordem n, de coeficientes reais. Defini-se a 
função : Mn(R)x Mn(R)  Mn(R) por 
(A, B) = AB – BA. Calcule o valor de 
((A, B), C) + ((B, C), A) + ((C, A), B) : 
a) 0 
b) 2BCA – 2BAC 
c) ABC – ACB + BCA – BAC + CAB – CBA 
d) 4CAB + 4BAC 
e) 6ACB – 6BCA 
 
XI - Sequências 
 
85) (IME-71) Uma bola é lançada na vertical, de encontro ao 
solo, de uma altura h. Cada vez que bate no solo, ela sobe 
até a metade da altura de que caiu. Calcular o comprimento 
 
 
 
 
9 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m 
total percorrido pela bola em suas trajetórias, até atingir o 
repouso. 
a) h b) 2h c) 3h d) 7h/3 e) 3h/2 
 
86) (IME-72) Achar o valor da soma dos termos da série 
abaixo. (O valor absoluto de a é menor que 1): 
...
a
a4
a
a3
a
a2
a
a
432

 
a) a + 1 
b) (a – 1)/a 
c) a – 1 
d) a/(a – 1) 
e) [a/(a – 1)]
2
 
 
87) (ITA-78) Sejam a matriz 








12
k1
A
, k é real, k  
– 1/2, e a progressão geométrica a1, a2, a3, ..., an de razão q > 
0, ai = q
i – 1
.det A, i = 1, 2, 3, ..., n. 
Se a3 = det B, com 










12
3
k
3
1
B
 e a soma dos 16 primeiros 
termos dessa progressão geométrica é igual a 
6
3
3
1

, 
podemos dizer que k é: 
a) k = 1 – 3
– 8
 b) k é um número negativo 
c) k = 1 + 3
– 8
 d) k  0 
e) k = 1 
 
88. (IME-80/81) Mostre que o número 
98......88884......4444
vezes)1n(vezesn


 é um quadrado perfeito. 
 
89. (IME-78/79) Seja uma progressão aritmética de 1º termo 
0a1 
 e último termo a10, tal que 
0aa 101 
. Seja a 
progressão aritmética de 1º termo 
1
1
a
1
b 
 e último termo 
10
10
a
1
b 
. Calcule 
6
5
b
a
 em função de a1 e a10. 
 
 
 
 
XII - Logaritmos 
 
90) A curva abaixo representa o gráfico da função f definida 
por 
.log)( xxf a
 Se B e C têm coordenadas 
respectivamente iguais a (2,0) e (8,0), e se a área do trapézio 
BCDE é igual a 6, então, pode-se dizer que a área do 
triângulo ABE é 
y
0 A B C x
D
E
 
a) um número irracional 
b) um número primo 
c) um número quadrado perfeito 
d) uma dízima periódica 
 
91) (ITA-71) Determinando-se a condição sobre t para que a 
equação 4
x
 – (log t + 3)2
x
 – log t = 0 admita duas raízes 
reais e distintas, obtemos: 
a) e
 – 3
  t  1 b) t  0 c) e
 – 1
 < t < 1 
d) 3 < t < e
2
 e) N.r.a 
 
92) (ITA-78) A soma de todos os valores de x que satisfazem 
à identidade abaixo: 
1
3
4
9
x1
2
1
x



, é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) n.d.a. 
 
93) O conjunto - solução da equação 
 5
2
3
4
5
4
5
8
4





 





 
x x é: 
a) 5
4






 b){1} c) 5
4
1
2
,






 d)
1
5
2
,






 e) nda 
 
 
XIII - Determinantes 
 
94) Sejam A, B e C matrizes quadradas n x n tais que A e B 
são inversíveis e ABCA = A
t
 , onde A
t
 é a transposta da matriz 
A. Então podemos afirmar que: 
a) C é inversível e det C = det(AB)
-1
; 
b) C não é inversível pois det C = 0; 
c) C é inversível e det C = det B; 
d) C é inversível e det C = (det A)
2
. Det B; 
e) C é inversível e det C = 
det
det
A
B
. 
 
95) Seja  um número real, I a matriz identidade de ordem 2 
e A a matriz quadrada de ordem 2, cujos elementos aij são 
definidos por: aij = i + j . Sobre a equação em  definida por 
det (A - I) = det A -  , qual das afirmações abaixo é 
verdadeira ? 
a) Apresenta apenas raízes negativas. 
b) Apresenta apenas raízes inteiras. 
 
 
 
 
10 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m 
c) Uma raiz é nula e a outra negativa. 
d) As raízes são 0 e 5/2. 
e) Todo  real satisfaz esta equação. 
 
96) Seja a matriz 











1aa
a1a
aa1
A
, onde a  . Considere 
que 1, 2 e 3 são as três raízes da equação det (A – I) = 0, 
sendo I a matriz identidade de ordem 3. Determine um valor 
de a de modo que 1
2
 + 2
2
 + 3
2
 = 27. 
a) a = – 1 b) a = 0 c) a = 1 d) a = 2 e) a = 3 
 
 
 
XIV - Sistemas Lineares 
97) Analise as proposições abaixo, classificando-as em 
VERDADEIRA(S) ou FALSA(S). 
I) o sistema linear 








0
0
0
mzy
zx
yx é indeterminado para m= -1 e 
uma de suas soluções é a terna ordenada (-1, 1, 1) 
II) Para que o sistema 





0)2(4
107)1(
ymx
yxm
seja possível deve-
se ter m = -5, somente. 
III) Na equação matricial 












 








52
03
10
11
.
21
zyxz
yx
a soma x+y+z é igual 
a 3 
Tem-se a seqüência correta: 
a) V, V, F b) F, V, F c) V, F, V d) F, F, V 
 
98) (ITA-78) Examinando o sistema abaixo 








0zy2x
02z8yx
02z4y5x podemos concluir que: 
a) o sistema é determinado 
b) o sistema é indeterminado com 2 incógnitas arbitrárias 
c) o sistema é indeterminado com 1 (uma) incógnita 
arbitrária 
d) o sistema é impossível 
e) n.d.a. 
 
99) (ITA-77) Seja: 








0z)kk(y)kk(x)kk(
0z)kk(y)kk(x)kk(
0z)kk(y)kk(x)kk(
132321
133212
313221 
um sistema homogêneo de equações lineares reais em x, y e 
z. Com respeito ao sistema acima podemos afirmar: 
a) se k1   k2, k1   k3 e k2   k3 então o sistema só 
admite solução trivial. 
b) se k1
2
 + k2
2
 + k3
2
  0, então o sistema só admite solução 
trivial. 
c) o sistema admite solução não trivial se e somente se k1
2
 + 
k2
2
 + k3
2
 = 0. 
d) se k1  0, k2  0 e k3  0, então o sistema só admite 
solução trivial. 
e) o sistema admite solução não trivial para quaisquer 
valores reais de k1, k2 e k3. 
 
 
 
XV – Probabilidade 
 
100) Dentro de uma caixa há nove etiquetas. Cada etiqueta 
recebe um número de 01 a 09, sem repetir nenhum. Retira-
se três delas, uma a uma, sem reposição. A probabilidade de 
que os três números correspondentes às etiquetas retiradas 
sejam, nesta ordem, ÍMPAR – PAR – ÍMPAR ou PAR – ÍMPAR 
– PAR é de 
a) 
28
1
 b) 
18
5
 c) 
81
20
 d) 
36
5
 
 
 
 
 
 
 
 
11 | P r o j e t o R u m o a o I T A – w w w . r u m o a o i t a . c o m 
 
 
GABARITO 
 
1) B 2) A 3) A 4) B 
 
5) C 6) A 7) D 8) D 
 
9) C 10) D 11) C 12) D 
 
13) A 14) A 15) D 16) D 
 
17) A 18) B 19) E 20) D 
 
21) D 22) B 23) C 24) C 
 
25) D 26) C 27) C 28) E 
 
29) C 30) A 31) C 32) A 
 
33) A 34) A 35) D 36) B 
 
37) B 38) C 39) D 40) B 
 
41) D 42) B 43) C 44) C 
 
45) C 46) E 47) E 48) B 
 
49) B 50) C 51) E 52) A 53) B 
 
54) C 55) B 56) C 57) D 
 
58) D 59) B 60) 66 61) A 
 
62) B 63) A 64) C 65) B 
 
66) E 67) A 68) E 69) A 
 
70) E 71) C 72) A 
 
73) 
a) 2
2n
 b) 2
nn 2
 C) 2
2
2 nn 
 d) 2
n
* 3
2
2 nn 
 
e) 2
2
2 nn 
 f) 3
2
2 nn 
 
 
74) B 75) E 76) C 77) D 
 
78) B 79) E 80) E 81) C 
 
82) A 83) B 84) A 85) C 
 
86) E 87) B 
88) Número = 
  2n 3/110.2 
. 
89) 
101
6
5 a.a
b
a

. 
90) C 91) E 92) B 93) B 
94) A95) B 96) D 97) C 
98) C 99) D 100) B 
 
 
 
 
 
Júlio Sousa 
Email: contatos@rumoaoita.com