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RACIOCÍNIO LÓGICO
Didatismo e Conhecimento 1
RACIOCÍNIO LÓGICO
1. RACIOCÍNIO LÓGICO: 
CONJUNTOS E SUAS OPERAÇÕES. 
Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, 
podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de 
elementos.
Note que ao subtrairmos os elementos comuns 
evitamos que eles sejam contados duas vezes.
Observações:
a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um 
deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será 
verdadeira.
b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para 
três ou mais conjuntos com a mesma eficiência.
Observe o diagrama e comprove.
Conjuntos
Conjuntos Primitivos 
Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são 
primitivos, ou seja, não são definidos.
Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção 
de livros são todos exemplos de conjuntos.
Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. 
Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou 
um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser 
elemento de algum outro conjunto.
Por exemplo, uma reta é um conjunto de pontos; um feixe de 
retas é um conjunto onde cada elemento (reta) é também conjunto 
(de pontos).
Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, 
B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, y, 
..., embora não exista essa obrigatoriedade.
Em Geometria, por exemplo, os pontos são indicados por 
letras maiúsculas e as retas (que são conjuntos de pontos) por 
letras minúsculas.
Outro conceito fundamental é o de relação de pertinência que 
nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto.
Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x∈A
Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A.
Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x
∉A
Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A.
Como representar um conjunto 
Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos 
entre chaves, separando os por vírgula.
Exemplos
- {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 
6, 7 e 8.
{a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, b 
e m.
{1; {2; 3}; {3}} indica o conjunto cujos elementos são 1, {2; 
3} e {3}.
Pela propriedade de seus elementos: Conhecida uma 
propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A, este 
fica bem determinado.
P termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um 
conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer temos:
Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a 
propriedade P é indicado por:
{x, tal que x tem a propriedade P}
Uma vez que “tal que” pode ser denotado por t.q. ou | ou ainda 
:, podemos indicar o mesmo conjunto por:
{x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda,
{x : x tem a propriedade P}
Didatismo e Conhecimento 2
RACIOCÍNIO LÓGICO
Exemplos 
- { x, t.q. x é vogal } é o mesmo que {a, e, i, o, u}
- {x | x é um número natural menor que 4 } é o mesmo que 
{0, 1, 2, 3}
- {x : x em um número inteiro e x2 = x } é o mesmo que {0, 1}
Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn-Euler 
consiste em representar o conjunto através de um “círculo” de tal 
forma que seus elementos e somente eles estejam no “círculo”.
Exemplos
- Se A = {a, e, i, o, u} então 
- Se B = {0, 1, 2, 3 }, então
Conjunto Vazio
Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-
se pela letra do alfabeto norueguês 0/ ou, simplesmente { }.
Simbolicamente: ∀ x, x∉ 0/
Exemplos
- 0/ = {x : x é um número inteiro e 3x = 1}
- 0/ = {x | x é um número natural e 3 – x = 4}
- 0/ = {x | x ≠ x}
Subconjunto
Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também 
elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou A é a 
parte de B ou, ainda, A está contido em B e indicamos por A ⊂ B. 
Simbolicamente: A⊂B⇔ (∀ x)(x∈∀ ⇒ x∈B)
Portanto, A ⊄B significa que A não é um subconjunto de B 
ou A não é parte de B ou, ainda, A não está contido em B.
Por outro lado, A ⊄ B se, e somente se, existe, pelo menos, 
um elemento de A que não é elemento de B. 
Simbolicamente: A⊄B⇔ (∃ x)(x∈A e x∉B)
Exemplos
- {2 . 4} ⊂ {2, 3, 4}, pois 2 ∈ {2, 3, 4} e 4 ∈ {2, 3, 4}
- {2, 3, 4}⊄ {2, 4}, pois 3 ∉{2, 4}
- {5, 6} ⊂ {5, 6}, pois 5 ∈{5, 6} e 6 ∈{5, 6}
Inclusão e pertinência
A definição de subconjunto estabelece um relacionamento 
entre dois conjuntos e recebe o nome de relação de inclusão (⊂ ).
A relação de pertinência (∈) estabelece um relacionamento 
entre um elemento e um conjunto e, portanto, é diferente da 
relação de inclusão.
Simbolicamente
x∈A ⇔ {x}⊂A
x∉A ⇔ {x}⊄A
Igualdade
Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e 
indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B é 
também subconjunto de A. 
Simbolicamente: A = B ⇔ A⊂B e B⊂A
Demonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale, 
segundo a definição, a demonstrar que A ⊂ B e B ⊂ A.
Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e somente 
se, possuem os mesmos elementos.
Portanto A ≠ B significa que A é diferente de B. Portanto A ≠ B 
se, e somente se, A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto 
de A. Simbolicamente: A ≠ B ⇔ A⊄B ou B⊄A
Exemplos
- {2,4} = {4,2}, pois {2,4} ⊂ {4,2} e {4,2}⊂ {2,4}. Isto 
nos mostra que a ordem dos elementos de um conjunto não deve 
ser levada em consideração. Em outras palavras, um conjunto 
fica determinado pelos elementos que o mesmo possui e não pela 
ordem em que esses elementos são descritos.
- {2,2,2,4} = {2,4}, pois {2,2,2,4} ⊂ {2,4} e {2,4} ⊂ 
{2,2,2,4}. Isto nos mostra que a repetição de elementos é 
desnecessária.
- {a,a} = {a}
- {a,b = {a} ⇔ a= b
- {1,2} = {x,y} ⇔ (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1) 
Conjunto das partes
Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto 
formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo 
conjunto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) de A 
e é indicado por P(A). 
Simbolicamente: P(A)={X | X⊂ A} ou X⊂ P(A) ⇔ X⊂
A
Exemplos
a) = {2, 4, 6}
P(A) = { 0/ , {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A}
b) = {3,5}
P(B) = { 0/ , {3}, {5}, B}
c) = {8} 
P(C) = { 0/ , C}
d) = 0/
P(D) = { 0/ }
Didatismo e Conhecimento 3
RACIOCÍNIO LÓGICO
Propriedades
Seja A um conjunto qualquer e 0/ o conjunto vazio. Valem as 
seguintes propriedades
0/ ≠(0/ ) 0/ ∉ 0/ 0/ ⊂ 0/ 0/ ∈{ 0/ }
0/ ⊂A⇔ 0/ ∈P(A) A⊂A⇔ A∈P(A)
Se A tem n elementos então A possui 2n subconjuntos e, 
portanto, P(A) possui 2n elementos.
União de conjuntos
A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado 
por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Representa-se 
por A∪ B. 
Simbolicamente: A∪ B = {X | X∈A ou X∈B}
Exemplos
- {2,3}∪ {4,5,6}={2,3,4,5,6}
- {2,3,4}∪ {3,4,5}={2,3,4,5}
- {2,3}∪ {1,2,3,4}={1,2,3,4}
- {a,b}∪ φ {a,b}
Intersecção de conjuntos
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por 
todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a B. 
Representa-se por A∩ B. Simbolicamente: A∩ B = {X | X∈A 
ou X∈B}
Exemplos
- {2,3,4}∩ {3,5}={3}
- {1,2,3}∩ {2,3,4}={2,3}
- {2,3}∩ {1,2,3,5}={2,3}
- {2,4}∩ {3,5,7}=φ
Observação: Se A∩ B=φ , dizemos que A e B são conjuntos 
disjuntos.
Subtração
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado 
por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. 
Representa-se por A – B. Simbolicamente: A – B = {X | X ∈A e 
X∉B}
O conjunto A – B é também chamado de conjunto 
complementar de B em relação a A, representado por CAB. 
Simbolicamente: CAB = A - B{X | X∈A e X∉B}
Exemplos
- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} 
 CAB = A – B = {1,3} e CBA = B – A =φ
- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}
 CAB = A – B = {1} e CBA = B – A = {14}
- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} 
 CAB = A – B = {0,2,4} e CBA = B – A = {1,3,5}
Observações: Alguns autores preferem utilizar o conceito de 
completar de B em relação a A somente nos casos em que B ⊂A.
- Se B ⊂ A representa-se por B o conjunto complementar 
de B em relação a A. Simbolicamente: B⊂A ⇔ B = A – B= 
CAB`
Exemplos
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então:
a) A = {2, 3, 4} A⇒ = {0, 1, 5, 6}
b) B = {3, 4, 5, 6 } B⇒ = {0, 1, 2}
c) C = φ C⇒ = S
Número de elementos de um conjunto
Sendo X um conjunto com um número finito de elementos, 
representa-se por n(X) o número de elementos de X. Sendo, ainda, 
A e B dois conjuntos quaisquer, com número finito de elementos 
temos:
n(A∪ B)=n(A)+n(B)-n(A∩ B)
A∩ B=φ ⇒ n(A∪ B)=n(A)+n(B)
n(A -B)=n(A)-n(A ∩ B)
B⊂A⇒ n(A-B)=n(A)-n(B)
Didatismo e Conhecimento 4
RACIOCÍNIO LÓGICO
Exercícios
1. Assinale a alternativa a Falsa:
a) φ ⊂{3}b)(3) ⊂ {3}
c)φ ∉ {3}
d)3∈{3}
e)3={3}
2. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, {3}, {4}, {2, 5}}. Classifique 
as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F).
a) 2 ∈ A 
b) (2) ∈A
c) 3∈A 
d) (3) ∈A
e) 4∈A
3. Um conjunto A possui 5 elementos . Quantos subconjuntos 
(partes) possuem o conjunto A?
4. Sabendo-se que um conjunto A possui 1024 subconjuntos, 
quantos elementos possui o conjunto A?
5. 12 - Dados os conjuntos A = {1; 3; 4; 6}, B = {3; 4 ; 5; 7} e 
C = {4; 5; 6; 8 } pede-se:
a) A∪ B 
b) A∩ B
c) A∪ C 
d) A∩ C
6. Considere os conjuntos: S = {1,2,3,4,5} e A={2,4}. 
Determine o conjunto X de tal forma que: X∩ A=φ e X∪ A = S.
7. Seja A e X conjuntos. Sabendo-se que A⊂X e A∪
X={2,3,4}, determine o conjunto X.
8. Dados três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número 
de elementos de A∩ (B∪ C), sabendo-se:
a) A∩ B tem 29 elementos
b) A∩ C tem 10 elementos
c) A∩ B tem 7 elementos.
9. Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 
13 meninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-se
a) quantas crianças existem na escola?
b) quantas crianças são meninas ou são ruivas?
10. USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa 
que:
- Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
- Quando chove de manhã não chove à tarde;
- Houve 5 tardes sem chuva;
- Houve 6 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
a)7
b)8
c)9
d)10
e)11
Respostas
1) Resposta “E”.
Solução: A ligação entre elemento e conjunto é estabelecida 
pela relação de pertinência (∈) e não pela relação de igualdade 
(=). Assim sendo, 3∈{3} e 3≠{3}. De um modo geral, x ≠ {x}, 
∀ x.
2) Solução:
a) Verdadeira, pois 2 é elemento de A.
b) Falsa, pois {2} não é elemento de A.
c) Verdadeira, pois 3 é elemento de A.
d) Verdadeira, pois {3} é elemento de A.
e) Falsa, pois 4 não é elemento de A.
3) Resposta “32”.
Solução: Lembrando que: “Se A possui k elementos, então 
A possui 2k subconjuntos”, concluímos que o conjunto A, de 5 
elementos, tem 25 = 32 subconjuntos.
4) Resposta “10”.
Solução: Se k é o número de elementos do conjunto A, então 
2k é o número de subconjuntos de A.
Assim sendo: 2k=1024⇔ 2k=210⇔ k=10.
5) Solução: Representando os conjuntos A, B e C através do 
diagrama de Venn-Euler, temos: 
a) 
A∪ B={1,3,4,5,6,7}
b)
A∩ B={3,4}
c)
A∪ C={1,3,4,5,6,8}
Didatismo e Conhecimento 5
RACIOCÍNIO LÓGICO
d)
A∩ C={4,6}
6) Resposta “X={1;3;5}”.
Solução: Como X∩ A=φ e X∪ A=S, então X= A
=S-A=CsA ⇒ X={1;3;5}
7) Resposta “X = {2;3;4}
Solução: Como A⊂X, então A∪ X = X = {2;3;4}.
8) Resposta “A”.
Solução: De acordo com o enunciado, temos:
n(A∩ B∩ C) = 7
n(A∩ B) = a + 7 = 26⇒ a = 19
n(A∩ C) = b + 7 = 10⇒ b = 3
Assim sendo:
e portanto n[A∩ (B∪ C)] = a + 7 + b = 19 + 7 + 3
Logo: n[A∩ (B∪ C)] = 29.
9) Solução:
Sejam:
A o conjunto dos meninos ruivos e n(A) = x
B o conjunto das meninas ruivas e n(B) = 9
C o conjunto dos meninos não-ruivos e n(C) = 13
D o conjunto das meninas não-ruivas e n(D) = y
De acordo com o enunciado temos:



=⇔=+=+=∪
=⇔=+=+=∪
15249)()()(
33429)()()(
xxBnAnDAn
yyDnBnDBn
Assim sendo
a) O número total de crianças da escola é: 
703313915)()()()()( =+++=+++=∪∪∪ DnCnBnAnDCBAn
703313915)()()()()( =+++=+++=∪∪∪ DnCnBnAnDCBAn
b) O número de crianças que são meninas ou são ruivas é: 
5733915)()()()]()[( =++=++=∪∪∪ DnBnAnDBBAn
10) Resposta “C”.
Solução:
Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o 
conjunto dos dias que choveu à tarde. Chamando de M’ e T’ os 
conjuntos complementares de M e T respectivamente, temos:
n(T’) = 5 (cinco tardes sem chuva)
n(M’) = 6 (seis manhãs sem chuva)
n(M Ç T) = 0 (pois quando chove pela manhã, não chove à 
tarde)
Daí:
n(M È T) = n(M) + n(T) – n(M Ç T)
7 = n(M) + n(T) – 0
Podemos escrever também:
n(M’) + n(T’) = 5 + 6 = 11
Temos então o seguinte sistema:
n(M’) + n(T’) = 11
n(M) + N(T) = 7
Somando membro a membro as duas igualdades, vem:
n(M) + n(M’) + n(T) + n(T’) = 11 + 7 = 18
Observe que n(M) + n(M’) = total dos dias de férias = n
Analogamente, n(T) + n(T’) = total dos dias de férias = n
Portanto, substituindo vem:
n + n = 18
2n = 18
n = 9
Logo, foram nove dias de férias, ou seja, n = 9 dias.
Didatismo e Conhecimento 6
RACIOCÍNIO LÓGICO
NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, 
RACIONAIS E REAIS E SUAS OPERAÇÕES. 
REPRESENTAÇÃO NA RETA. 
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO. 
Números Naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela letra 
maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como 
algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a 
Índia, difundindo o seu sistema numérico.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que 
tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos 
considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as 
mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na 
verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema 
posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. 
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com 
o número zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra 
N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem 
fim. N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto 
será representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
A construção dos Números Naturais
- Todo número natural dado tem um sucessor (número que 
vem depois do número dado), considerando também o zero.
Exemplos: Seja m um número natural.
a) O sucessor de m é m+1.
b) O sucessor de 0 é 1.
c) O sucessor de 1 é 2.
d) O sucessor de 19 é 20.
- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois 
números juntos são chamados números consecutivos.
Exemplos:
a) 1 e 2 são números consecutivos.
b) 5 e 6 são números consecutivos.
c) 50 e 51 são números consecutivos.
- Vários números formam uma coleção de números naturais 
consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro 
é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim 
sucessivamente.
Exemplos:
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
b) 5, 6 e 7 são consecutivos.
c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um 
antecessor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
a) O antecessor do número m é m-1.
b) O antecessor de 2 é 1.
c) O antecessor de 56 é 55.
d) O antecessor de 10 é 9.
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números 
naturais pares. Embora uma sequência real seja outro objeto 
matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos 
a denominação sequência dos números naturais pares para 
representar o conjunto dos números naturais pares: P = { 0, 2, 4, 
6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números 
naturais ímpares, às vezes também chamados, a sequência dos 
números ímpares. I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
Igualdade e Desigualdades
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e 
somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto 
B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for 
satisfeita, escreveremos A = B (lê-se: A é igual a B) e quando não 
for satisfeita denotaremos tal fato por: A ≠ B (lê-se: A é diferente 
de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que nãoé 
importante a ordem dos elementos no conjunto.
Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos 
que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do 
conjunto B. Neste caso, A = B.
Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos 
conjuntos A e B serão distintos.
Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Nem todos os elementos 
do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do 
conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar 
que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, 
afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.
Operações com Números Naturais
Na sequência, estudaremos as duas principais operações 
possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a 
Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e 
multiplicação.
A adição de números naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética tem por 
finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou 
mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as 
adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com 
o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.
Didatismo e Conhecimento 7
RACIOCÍNIO LÓGICO
Propriedades da Adição
- Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais 
é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um 
número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N 
é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de 
composição interna no conjunto N.
- Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é 
associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números 
naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer 
modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro 
com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, 
obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a 
soma do segundo e o terceiro. (A + B) + C = A + (B + C)
- Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe 
o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural 
qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será 
o próprio número natural.
- Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição 
é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou 
seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos 
o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a 
primeira parcela.
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro 
número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas 
são as unidades do segundo número denominadas multiplicador.
Exemplo
4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes: 4 x 9 = 9 + 9 + 9 
+ 9 = 36
O resultado da multiplicação é denominado produto e os 
números dados que geraram o produto, são chamados fatores. 
Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.
Propriedades da multiplicação
- Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N 
dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais 
números naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de 
multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto 
como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto 
N.
- Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais 
fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro 
fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro 
número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o 
terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. (m . n) . p = m .(n 
. p) → (3 . 4) . 5 = 3 . (4 . 5) = 60
- Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um 
elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja 
o número natural n, tem-se que: 1 . n = n . 1 = n → 1 . 7 = 7 . 1 = 7
- Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais 
quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, 
multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos 
o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo 
primeiro elemento. m . n = n . m → 3 . 4 = 4 . 3 = 12
Propriedade Distributiva
Multiplicando um número natural pela soma de dois números 
naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das 
parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos. m . (p + q) = m 
. p + m . q → 6 x (5 + 3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48
Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber 
quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro 
número que é o maior é denominado dividendo e o outro número 
que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado 
quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos 
o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, 
pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro 
número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.
Relações essenciais numa divisão de números naturais
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve 
ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5
- Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o 
produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7
- A divisão de um número natural n por zero não é possível 
pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos 
escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não 
é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é 
dita impossível.
Potenciação de Números Naturais
Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto 
de n fatores iguais ao número m, ou seja: mn = m . m . m ... m . m 
→ m aparece n vezes
O número que se repete como fator é denominado base que 
neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado 
expoente que neste caso é n. O resultado é denominado potência.
Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores 
iguais, como por exemplo: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 → 43 = 4 × 4 × 4 = 64
Propriedades da Potenciação
- Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, 
denotada por 1n, será sempre igual a 1. 
Exemplos:
a- 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1
b- 13 = 1×1×1 = 1
c- 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1
- Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1. 
Por exemplo:
- (a) nº = 1
- (b) 5º = 1
- (c) 49º = 1
- A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de 
sentido no contexto do Ensino Fundamental. 
Didatismo e Conhecimento 8
RACIOCÍNIO LÓGICO
- Qualquer que seja a potência em que a base é o número 
natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao 
próprio n. Por exemplo:
- (a) n¹ = n
- (b) 5¹ = 5
- (c) 64¹ = 64
- Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 
seguido de n zeros. 
Exemplos:
a- 103 = 1000
b- 108 = 100.000.000
c- 10o = 1
Exercícios
1. O consecutivo e o antecedente de um número natural n 
serão respectivamente:
2. Se n é par, o consecutivo par de n será? Se n é ímpar, o 
consecutivo ímpar de n será? 
3. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. 
Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no quadrado?
 3cm
4. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3²?
5. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro 
cúbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de 
comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?
6. Faça a potenciação dos seguintes números:
a) 2³
b) 5³
c) 2²
d) 64
7. Qual é o valor do número natural b, tal que 64 = b × b × b?
8. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é 
divisor de todos os números?
9. Realize a divisão nos seguintes números naturais:
a) 125 : 5
b) 36 : 6
c) 49 : 7
10. Calcule:
a) -8 + 5
b) -5 – 7 
c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17)
d) –(-5) + (-10) - 14
Respostas
1) Solução: O antecedente de um número n será n – 1, pois é 
aquele que antecede o n.
Já o consecutivo é n + 1.
2) Solução: Sendo n par, o seu consecutivo será n + 2, e sendo 
impar o consecutivo sendo impar o n será n + 2.
3) Resposta “9 quadradinhos”. 
Solução: Temos 9 quadradinhos, então basta apenas fazermos:
9 x 1 = 9 quadradinhos4) Resposta “9”.
Solução: Basta apenas multiplicarmos o 3 duas vezes:
3 x 3 = 9.
5) Resposta “27”.
Solução: Para construirmos um cubo, basta apenas 
multiplicarmos os lados:
3 x 3 x 3 = 27 cubinhos.
6) Solução:
a) 2 x 2 x 2 = 
= 8
b) 5 x 5 x 5 =
= 125
c) 2 x 2 =
= 4
d) 6 x 6 x 6 x 6 =
= 1296
7) Resposta “4”.
Solução: R³[64] = 4, pois 64 = b × b × b, ou seja, 64 = b³. Esta 
é uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O 
número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b 
= 4.
8) Resposta “1”.
Solução: O número 1, pois se dividirmos um número natural n 
por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 
3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante.
9) Solução:
a) 125 : 5 =
= 25
b) 36 : 6 =
= 6
c) 49 : 7 = 
= 7
10) Solução:
a) -8 + 5 = 
= -3
b) -5 – 7 =
= -12
c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17) =
= 10 + 8 – 12 + 17 =
= 35 – 12 =
= 23
Didatismo e Conhecimento 9
RACIOCÍNIO LÓGICO
d) –(-5) + (-10) – 14 =
= 5 – 10 – 14 =
= 5 – 24 =
= -19
Números Inteiros
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião 
do conjunto dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o 
conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto 
é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto 
pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos 
notáveis:
- O conjunto dos números inteiros não nulos:
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; 
Z* = Z – {0}
- O conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N
- O conjunto dos números inteiros positivos:
Z*+ = {1, 2, 3, 4,...}
- O conjunto dos números inteiros não positivos:
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
- O conjunto dos números inteiros negativos:
Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância 
ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. 
Representa-se o módulo por | |.
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é 
sempre positivo.
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos 
um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que 
os representam distam igualmente da origem.
Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 
2 + (-2) = (-2) + 2 = 0
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e 
vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.
Adição de Números Inteiros
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos 
números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros 
negativos a idéia de perder.
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)
Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas 
o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto 
Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros 
ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + (b + c) = (a + b) + c
2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em 
Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (–z) = 0
9 + (–9) = 0
Subtração de Números Inteiros
A subtração é empregada quando:
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas 
tem a mais que a outra;
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a 
uma delas para atingir a outra.
A subtração é a operação inversa da adição.
Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9
 diferença
 subtraendo
 minuendo
Considere as seguintes situações:
1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de 
+3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura?
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3
2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, 
era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a 
temperatura registrada na noite de terça-feira?
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) 
é o mesmo que (+5) + (–3). 
Temos:
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o 
mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.
Didatismo e Conhecimento 10
RACIOCÍNIO LÓGICO
Multiplicação de Números Inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de 
uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar 
tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente 
alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 
vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição 
pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 
+ ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + 
(–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60
Observamos que a multiplicação é um caso particular da 
adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser 
indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as 
letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos 
obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) x (+1) = (+1)
(+1) x (-1) = (-1)
(-1) x (+1) = (-1)
(-1) x (-1) = (+1)
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Sinais dos números Resultado do produto
Iguais Positivo
Diferentes Negativo
Propriedades da multiplicação de números inteiros: O 
conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação 
de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x (b x c) = (a x b) x c
2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z 
em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe 
um inverso z–1=1/z em Z, tal que
z x z–1 = z x (1/z) = 1
9 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)
Divisão de Números Inteiros
Dividendo divisor dividendo:
Divisor = quociente 0
Quociente . divisor = dividendo
Sabemos que na divisão exata dos números naturais:
40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 40
36 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36
Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão 
exata de números inteiros. Veja o cálculo:
(–20) : (+5) = q  (+5) . q = (–20)  q = (–4)
Logo: (–20) : (+5) = - 4
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para 
efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número 
inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo 
módulo do divisor. Daí:
- Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o 
quociente é um número inteiro positivo.
- Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o 
quociente é um número inteiro negativo.
- A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por 
exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem 
ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro.
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa 
e não tem a propriedade da existência do elemento neutro.
1- Não existe divisão por zero.
Exemplo: (–15) : 0 nãotem significado, pois não existe um 
número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15.
2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de 
zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é 
igual a zero.
Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0
Potenciação de Números Inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto 
de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número 
n é o expoente.
an = a x a x a x a x ... x a
a é multiplicado por a n vezes
Exemplos:
33 = (3) x (3) x (3) = 27
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125
(-7)² = (-7) x (-7) = 49
(+9)² = (+9) x (+9) = 81
- Toda potência de base positiva é um número inteiro 
positivo.
Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9
Didatismo e Conhecimento 11
RACIOCÍNIO LÓGICO
- Toda potência de base negativa e expoente par é um 
número inteiro positivo.
Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um 
número inteiro negativo.
Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125
Propriedades da Potenciação:
Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base 
e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9
Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se 
a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = 
(+13)2
Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se 
os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10
Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9 
(–13)1 = –13
Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual 
a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (–35)0 = 1
Radiciação de Números Inteiros
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a 
operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que 
elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da 
raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal 
do radical).
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a 
operação que resulta em outro número inteiro não negativo que 
elevado ao quadrado coincide com o número a.
Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro 
negativo no conjunto dos números inteiros. 
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos 
e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:
√9 = ±3
mas isto está errado. O certo é:
√9 = +3
Observamos que não existe um número inteiro não negativo 
que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação 
que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual 
ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente 
aos números não negativos.
Exemplos
(a) 3 8 = 2, pois 2³ = 8.
(b) 3 8− = –2, pois (–2)³ = -8.
(c) 3 27 = 3, pois 3³ = 27.
(d) 3 27− = –3, pois (–3)³ = -27.
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de 
números inteiros, concluímos que:
(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número 
inteiro negativo.
(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de 
qualquer número inteiro.
Exercícios
1. Qual é o maior quadrado perfeito que se escreve com dois 
algarismos?
2. Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + 
(90 – 7 + 82) + 101. Qual é esse número inteiro?
3. Calcule:
a) (+12) + (–40)
b) (+12) – (–40) 
c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20)
d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15)
4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças 
verdadeiras:
a) x + (–12) = –5
b) x + (+9) = 0
c) x – (–2) = 6
d) x + (–9) = –12
e) –32 + x = –50
f) 0 – x = 8
5. Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí 
e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as 
informações?
Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul.
Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul.
Máxima prevista 37° no Piauí.
6. Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em 
que o maior deles é –10?
7. Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é 
+99. Determine o produto desses três números.
8. Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros 
de modo que elas se mantenham:
a) (–140) : x = –20 
b) 144 : x = –4 
c) (–147) : x = +21 
d) x : (+13) = +12 
e) x : (–93) = +45 
f) x : (–12) = –36
9. Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a 
soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse?
10. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira 
parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com 
o total?
Didatismo e Conhecimento 12
RACIOCÍNIO LÓGICO
Respostas
1) Resposta “9²”.
Solução: Basta identificar os quadrados perfeitos.
Os números quadrados perfeitos são:
1² = 1 (menor que dois algarismos)
2² = 4
3² = 9
4² = 16 (dois algarismos)
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100 (mais que dois algarismos)
Logo, o maior quadrado perfeito é o 9² = 81
2) Resposta “270”.
Solução:
(53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101
55 – 51 + 165 + 101 = 270
Portanto, o número inteiro é 270.
3) Solução:
a) (+12) + (–40) = 12 – 40 = -28
b) (+12) – (–40) = 12 + 40 = 52
c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) = +5 -16 – 9 + 20 = 25 – 25 = 0
d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) = -3 + 6 – 4 – 2 – 15 = 
6 – 24 = -18
4) Solução:
a) x + (–12) = –5 → x = -5 + 12 → x = 7
b) x + (+9) = 0 → x = -9
c) x – (–2) = 6 → x = 6 – 2 → x = 4
d) x + (–9) = –12 → x = -12 + 9 → x = -3
e) –32 + x = –50 → x = -50 + 32 → x = -18
f) 0 – x = 8 → x = -8
5) Resposta “40˚”. 
Solução:
A diferença está entre -3º e +37º. Se formos ver... -3º, -2º, -1º, 
0º, 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º... será +40º.
6) Resposta “-1320”.
Solução:
(x) . (x+1) . (x+2) = ?
x+2 = -10
x= -10 -2
x = -12
(-12) . (-12+1) . (-12+2) =
-12 . -11 . -10 = - 1320
7) Resposta “999900”.
Solução:
(x) . (x+1) . (x+2) = ?
x= 99
(99) . (99+1) . (99+2) =
99 . 100 . 101 = 999900
8) Solução:
a) (–140) : x = –20
 -20x = -140
 x = 7
b) 144 : x = –4
 -4x = 144
 x = -36
 
c) (–147) : x = +21 
 21x = -147
 x = -7
d) x : (+13) = +12
 x = 12 . 13
 x = 156
 
e) x : (–93) = +45 
 x = 45 . -93
 x = -4185
f) x : (–12) = –36
 x = -36 . -12
 x = 432
9) Resposta “738”.
Solução:
x + (-846) . -3 = 324
x – 846 . -3 = 324
-3 (x – 846) = 324
-3x + 2538 = 324
3x = 2538 – 324
3x = 2214
x = 
x = 738
10) Resposta “3”.
Solução: Seja t o total da adição inicial.
Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 
8 unidades: t + 8
Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido 
de 5 unidades: Temos:
t + 8 - 5 = t + 3
Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.
Números Racionais - Q
Um número racional é o que pode ser escrito na forma 
m
n, onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente 
de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de 
m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser obti-
dos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o 
conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, 
é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = { 
m
n : m e n em Z, n diferente de zero}
Didatismo e Conhecimento 13
RACIOCÍNIO LÓGICO
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:
- Q* = conjunto dos racionais não nulos;
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos;
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos;
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional pq , tal que p não seja múltiplo 
de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do 
numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um 
número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2
5
 = 0,4
1
4
= 0,25
35
 4
= 8,75
153
 50
= 3,06
2º) O numeral decimalobtido possui, após a vírgula, infinitos 
algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. 
Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:1
3
 = 0,333... 
 1
22
 = 0,04545...
167
 66
 = 2,53030...
Representação Fracionária dos Números Decimais
Trata-se do problema inverso: estando o número racional 
escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de 
fração. Temos dois casos:
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador 
é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto 
pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas 
decimais do número decimal dado:
0,9 = 9
10
5,7 = 57
10
0,76 = 76
100
3,48 = 348
100
0,005 = 5
1000
= 1
200
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, 
vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:
Exemplo 1 
Seja a dízima 0, 333... .
Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros 
por 10: 10x = 0,333 
Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da 
segunda:
10x – x = 3,333... – 0,333... ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 3
9
.
Exemplo 2
Seja a dízima 5, 1717...
Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .
Subtraindo membro a membro, temos:
99x = 512 ⇒ x = 512/99
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 512
 99
.
Exemplo 3
Seja a dízima 1, 23434...
Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... .
Subtraindo membro a membro, temos:
990x = 1234,34... – 12,34... ⇒ 990x = 1222 ⇒ x = 1222/990
Simplificando, obtemos x = 611
 495
, a fração geratriz da dízima 
1, 23434... 
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que 
representa esse número ao ponto de abscissa zero.
Exemplo: Módulo de - 3
2
 é 3
2
. Indica-se 3
2
- = 3
2
 Módulo de + 3
2
 é 3
2
. Indica-se 3
2
+ = 3
2
Números Opostos: Dizemos que – 32 e 
3
2 são números 
racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do 
outro. As distâncias dos pontos – 3
2
 e 3
2
 ao ponto zero da reta 
são iguais.
Soma (Adição) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito 
na forma de uma fração, definimos a adição entre os números 
racionais a
b
 e c
d
, da mesma forma que a soma de frações, 
através de:
a
b
 + c
d
 = ad + bc bd
Didatismo e Conhecimento 14
RACIOCÍNIO LÓGICO
Propriedades da Adição de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a 
soma de dois números racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + 
b ) + c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a
- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em 
Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q
- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que 
q + (–q) = 0
Subtração de Números Racionais
A subtração de dois números racionais p e q é a própria 
operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: 
p – q = p + (–q)
Multiplicação (Produto) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito 
na forma de uma fração, definimos o produto de dois números 
racionais a
b
e c
d
, da mesma forma que o produto de frações, 
através de:
a
b x 
c
d
 = acbd
O produto dos números racionais a e b também pode ser 
indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre 
as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos 
obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o 
mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais 
diferentes é negativo.
Propriedades da Multiplicação de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto 
de dois números racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × 
b ) × c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a
- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo 
q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q
- Elemento inverso: Para todo q = a
b
 em Q, q diferente de 
zero, existe q-1 = 
 
b
a 
em Q: q × q-1 = 1 a
b 
x b
a
 = 1
- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × 
b ) + ( a × c )
Divisão de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação 
de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = 
p × q-1
Potenciação de Números Racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores 
iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:
a) 
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
8
125
b) −
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . −
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . −
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = −
1
8
c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25
d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25
Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 
0 é igual a 1.
+ 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
0
 = 1
- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
− 9
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
 = - 9
4
- Toda potência com expoente negativo de um número racional 
diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao 
inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente 
anterior.
− 3
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−2
. − 5
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= 25
9
- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da 
base.
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
8
27
- Toda potência com expoente par é um número positivo.
− 1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= − 1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . −
1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1
25
- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto 
de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a 
base e somamos os expoentes.
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 2
5
.2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5
.2
5
.2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2+3
= 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
Didatismo e Conhecimento 15
RACIOCÍNIO LÓGICO
- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir 
um quociente de potências de mesma base a uma só potência, 
conservamos a base e subtraímos os expoentes.
- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência 
a uma potência de um só expoente, conservamos a base e 
multiplicamos os expoentes
1
2
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3
= 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2+2+2
= 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3+2
= 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
6
Radiciação de Números Racionais
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores 
iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns 
exemplos:
Exemplo 1
4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada 
de 4. Indica-se √4= 2.
Exemplo 2
1
9
 Representa o produto 13 . 
1
3
 
ou 1
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. Logo, 13
 
é a raiz 
quadrada de 1
9
.Indica-se 1
9
= 1
3
Exemplo 3
0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 
é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 0,2163 = 0,6.
Assim, podemos construir o diagrama:
N Z Q
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o 
número zero ou um número racional positivo. Logo, os números 
racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.
O número -100 9 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto 
-10
 3
 
como +10
 3
, quando elevados ao quadrado, dão 100
 9
.
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto 
dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.
O número 2
3
 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe 
número racional que elevado ao quadrado dê 2
3
.
Exercícios
1. Calcule o valor das expressões numéricas:
a) 7
24
− 5
12
− 1
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − −
7
6
+ 3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
b) +
3
16
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ : −
1
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
5
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
− 9
4
− 7
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2. Escreva o produto 
73
3
2.
3
2





+




+ como uma só potência. 
3. Escreva o quociente 
 
− 16
25
⎛
⎝⎜
⎞⎠⎟
12
: − 16
25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4
como uma só 
potência. 
4. Qual é o valor da expressão −
13
24
− 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
: + 3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ?
5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 1
6 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das figurinhas 
3
4
. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram?
6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 1
4
 do livro e no 
dia seguinte leu 1
6
 do livro. Então calcule:
a) A fração do livro que ela já leu.
b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura.
7. Em um pacote há 45 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há 13 . Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que 
o segundo?
8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 5
9
 da rua 
já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?
9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1
3
 
desses apartamentos foi vendido e 1
6
 foi reservado. Assim:
a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?
b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não 
foram vendidos ou reservados?
10. Transforme em fração:
a) 2,08
b) 1,4
c) 0,017
d) 32,17
Respostas
1) Solução
a) 
7
24
− 5
12
− 1
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − −
7
6
+ 3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= 7
24
− 10 − 3
24
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
−14 + 9
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
7
24
− 7
24
+ 5
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
7
24
− 7 +10
24
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
7
24
− 17
24
= − 10
24
= − 5
12
Didatismo e Conhecimento 16
RACIOCÍNIO LÓGICO
b) +
3
16
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ : −
1
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
5
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
− 9
4
− 7
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
16
− 1
12
+ 5
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
− 9 −14
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
36
16
− 5
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − −
5
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
− 9
4
+ 5
2
+ 5
4
= −9 +10 + 5
4
= 6
4
= 3
2
mmc:(4;2)=4
2) Solução:
+ 2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
10
3) Solução:
− 16
25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
8
4) Solução:
5) Resposta 11
12Solução: 
1
6
 + 3
4
 = 2
12
 + 9
12
 = 11
12
6) Solução:
a) 1
4
 + 1
6
 = 3
12
 + 2
12
 = 5
12
b) 1- 5
12
 = 12
12
 - 5
12
 = 7
12
7) Respostas 7
15Solução: 
4
5 - 
1
3
 = 12
15
 - 5
15
 = 7
15
8) Resposta 4
9Solução:
1 - 
5
9 = 
9
9
 - 5
9
 = 4
9
9) Solução:
a) 
1
3 + 
1
6 = 
2
6
 + 16 = 
3
6 = 
1
2
b) 1- 1
2
 = 2
2
 - 1
2
 = 1
2
10) Solução:
a) 2,08 → 
208
100
= 52
25
b) 1,4 → 
14
10
= 7
5
c) 0,017 → 
17
1000
d) 32,17 → 
3217
100
Números Reais
O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto 
dos números racionais que engloba não só os inteiros e os 
fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números 
irracionais.
Os números reais são números usados para representar uma 
quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se 
pensar num número real como uma fração decimal possivelmente 
infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma 
correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.
Denomina-se corpo dos números reais a coleção dos 
elementos pertencentes à conclusão dos racionais, formado pelo 
corpo de frações associado aos inteiros (números racionais) e a 
norma associada ao infinito.
Existem também outras conclusões dos racionais, uma para 
cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos 
números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada 
a p!
Propriedade
O conjunto dos números reais com as operações binárias de 
soma e produto e com a relação natural de ordem formam um 
corpo ordenado. Além das propriedades de um corpo ordenado, R 
tem a seguinte propriedade: Se R for dividido em dois conjuntos 
(uma partição) A e B, de modo que todo elemento de A é menor 
que todo elemento de B, então existe um elemento x que separa os 
dois conjuntos, ou seja, x é maior ou igual a todo elemento de A e 
menor ou igual a todo elemento de B.
Ao conjunto formado pelos números Irracionais e pelos 
números Racionais chamamos de conjunto dos números Reais. Ao 
unirmos o conjunto dos números Irracionais com o conjunto dos 
números Racionais, formando o conjunto dos números Reais, todas 
as distâncias representadas por eles sobre uma reta preenchem-na 
por completo; isto é, ocupam todos os seus pontos. Por isso, essa 
reta é denominada reta Real.
Didatismo e Conhecimento 17
RACIOCÍNIO LÓGICO
Podemos concluir que na representação dos números Reais 
sobre uma reta, dados uma origem e uma unidade, a cada ponto 
da reta corresponde um número Real e a cada número Real 
corresponde um ponto na reta.
Ordenação dos números Reais
A representação dos números Reais permite definir uma 
relação de ordem entre eles. Os números Reais positivos são 
maiores que zero e os negativos, menores. Expressamos a relação 
de ordem da seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b, 
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0
Exemplo: -15 ≤ ↔ 5 – (-15) ≥ 0
 5 + 15 ≥ 0
Propriedades da relação de ordem
- Reflexiva: a ≤ a
- Transitiva: a ≤ b e b ≤ c → a ≤ c
- Anti-simétrica: a ≤ b e b ≤ a → a = b
- Ordem total: a < b ou b < a ou a = b 
Expressão aproximada dos números Reais
Os números Irracionais possuem infinitos algarismos decimais 
não-periódicos. As operações com esta classe de números sempre 
produzem erros quando não se utilizam todos os algarismos 
decimais. Por outro lado, é impossível utilizar todos eles nos 
cálculos. Por isso, somos obrigados a usar aproximações, isto é, 
cortamos o decimal em algum lugar e desprezamos os algarismos 
restantes. Os algarismos escolhidos serão uma aproximação do 
número Real. Observe como tomamos a aproximação de e do 
número nas tabelas.
Aproximação por
Falta Excesso
Erro menor que π π
1 unidade 1 3 2 4
1 décimo 1,4 3,1 1,5 3,2
1 centésimo 1,41 3,14 1,42 3,15
1 milésimo 1,414 3,141 1,415 3,142
1 décimo de 
milésimo 1,4142 3,1415 1,4134 3,1416
Operações com números Reais
Operando com as aproximações, obtemos uma sucessão de 
intervalos fixos que determinam um número Real. É assim que 
vamos trabalhar as operações adição, subtração, multiplicação e 
divisão. Relacionamos, em seguida, uma série de recomendações 
úteis para operar com números Reais:
- Vamos tomar a aproximação por falta.
- Se quisermos ter uma ideia do erro cometido, escolhemos o 
mesmo número de casas decimais em ambos os números.
- Se utilizamos uma calculadora, devemos usar a aproximação 
máxima admitida pela máquina (o maior número de casas 
decimais).
- Quando operamos com números Reais, devemos fazer 
constar o erro de aproximação ou o número de casas decimais.
- É importante adquirirmos a idéia de aproximação em função 
da necessidade. Por exemplo, para desenhar o projeto de uma casa, 
basta tomar medidas com um erro de centésimo.
- Em geral, para obter uma aproximação de n casas decimais, 
devemos trabalhar com números Reais aproximados, isto é, com n 
+ 1 casas decimais.
Para colocar em prática o que foi exposto, vamos fazer as 
quatro operações indicadas: adição, subtração, multiplicação e 
divisão com dois números Irracionais. 
Valor Absoluto
Como vimos, o erro pode ser:
- Por excesso: neste caso, consideramos o erro positivo.
- Por falta: neste caso, consideramos o erro negativo.
Quando o erro é dado sem sinal, diz-se que está dado em valor 
absoluto. O valor absoluto de um número a é designado por |a| e 
coincide com o número positivo, se for positivo, e com seu oposto, 
se for negativo. 
Exemplo: Um livro nos custou 8,50 reais. Pagamos com uma 
Didatismo e Conhecimento 18
RACIOCÍNIO LÓGICO
nota de 10 reais. Se nos devolve 1,60 real de troco, o vendedor 
cometeu um erro de +10 centavos. Ao contrário, se nos devolve 
1,40 real, o erro cometido é de 10 centavos. 
GEOMETRIA PLANA: DISTÂNCIAS E 
ÂNGULOS, POLÍGONOS, 
CIRCUNFERÊNCIA, PERÍMETRO E ÁREA. 
Geometria Plana
A Geometria é a parte da matemática que estuda as figuras e 
suas propriedades. A geometria estuda figuras abstratas, de uma 
perfeição não existente na realidade. Apesar disso, podemos ter 
uma boa idéia das figuras geométricas, observando objetos reais, 
como o aro da cesta de basquete que sugere uma circunferência, 
as portas e janelas que sugerem retângulos e o dado que sugere 
um cubo.
Reta,semirreta e segmento de reta
Definições.
a) Segmentos congruentes.
Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.
b) Ponto médio de um segmento.
Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao 
segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.
c) Mediatriz de um segmento.
É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio
Ângulo
Definições.
a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de 
mesma origem.
b) Ângulos congruentes: Dois ângulos são ditos congruentes 
se têm a mesma medida.
c) Bissetriz de um ângulo: É a semirreta de origem no vértice 
do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.
Perímetro
Entendendo o que é perímetro.
Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de 
comprimento.
Quantos metros lineares serão necessários para colocar rodapé 
nesta sala, sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela não 
se coloca rodapé?
Didatismo e Conhecimento 19
RACIOCÍNIO LÓGICO
A conta que faríamos seria somar todos os lados da sala, 
menos 1m da largura da porta, ou seja:
P = (5 + 5 + 8 + 8) – 1
P = 26 – 1
P = 25
Colocaríamos 25m de rodapé.
A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro.
Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana.
Área 
Área é a medida de uma superfície. 
A área do campo de futebol é a medida de sua superfície 
(gramado). 
Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma 
malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de 
quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área: 
Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de 
área. 
A unidade de medida da área é: m² (metros quadrados), cm² 
(centímetros quadrados), e outros. 
Se tivermos uma figura do tipo: 
Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, 
então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades. 
No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e 
para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área. 
Retângulo 
É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes 
e iguais a 90º.
No cálculo da área de qualquer retângulo podemos seguir o 
raciocínio:
Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada 
onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos 
que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como 
sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos 
dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.
O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, 
só que representado de forma diferente. O cálculo da área do 
retângulo pode ficar também da seguinte forma: 
A = 6 . 4 A = 24 cm² 
Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é: 
 A = b . h 
Didatismo e Conhecimento 20
RACIOCÍNIO LÓGICO
Quadrado 
É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os 
ângulos internos a congruentes (90º). 
Sua área também é calculada com o produto da base pela 
altura. Mas podemos resumir essa fórmula: 
Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é 
igual a e a altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . 
h, temos: 
A = .
A= ²
Trapézio 
É o quadrilátero que tem dois lados paralelos. A altura de um 
trapézio é a distância entre as retas suporte de suas bases.
Em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios 
dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a média 
aritmética dessas bases.
A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo 
que é calculada utilizando a seguinte fórmula: 
A = b . h (b = base e h = altura). 
 2 
Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais 
importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):
Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base 
menor (b) e por uma altura (h). 
Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo 
em dois triângulos, veja como: 
Primeiro: completamos as alturas no trapézio: 
 
Segundo: o dividimos em dois triângulos:
A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos 
dois triângulos (∆CFD e ∆CEF). 
Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo 
separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e 
alturas iguais. 
Cálculo da área do ∆CEF:
A∆1 = B . h 
 2
Cálculo da área do ∆CFD:
A∆2 = b . h 
 2
 Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da 
área de um trapézio qualquer:
AT = A∆1 + A∆2
AT = B . h + b . h 
 2 2 
Didatismo e Conhecimento 21
RACIOCÍNIO LÓGICO
AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evi-
 2 
dência, pois é um termo comum aos dois fatores. 
AT = h (B + b) 
 2 
Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer 
utilizamos a seguinte fórmula:
A = h (B + b) 
 2 
h = altura 
B = base maior do trapézio 
b = base menor do trapézio 
Losango
É o quadrilátero que tem os lados congruentes.
Em todo losango as diagonais são:
a) perpendiculares entre si;
b) bissetrizes dos ângulos internos.
A área do losango é definida pela seguinte fórmula:
.
2
d DS = Onde D é a diagonal maior e d é a menor.
Triângulo
Figura geométrica plana com três lados.
Ângulo externo. O ângulo externo de qualquer polígono 
convexo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento do 
outro lado.
Classificação dos triângulos.
a) quanto aos lados:
- triângulo equilátero.
- triângulo isósceles.
- triângulo escaleno.
b) quanto aos ângulos:
- triângulo retângulo.
- triângulo obtusângulo.
- triângulo acutângulo.
Propriedades dos triângulos
1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos 
internos é 180º.
2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à 
soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes.
3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos 
externos é 360º.
Didatismo e Conhecimento 22
RACIOCÍNIO LÓGICO
4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são 
congruentes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o 
seu lado diferente.
Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado 
oposto.
Área do triangulo
Segmentos proporcionais
Teorema de Tales. 
Em todo feixe de retas paralelas, cortado por uma reta 
transversal, a razão entre dois segmento quaisquer de uma 
transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da 
outra transversal.
Semelhança de triângulos
Definição.
Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois 
congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais.
Definição mais “popular”.
Dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a 
ampliação do outro. 
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a 
proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois 
segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, 
raios das circunferências inscritas, raios das circunferências 
circunscritas, perímetros, etc.
Exercícios
1. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura 
respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro 
paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do 
outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos parale-
logramos?
2. Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a 
área deste triângulo equilátero?
3. Qual é a medida da área de um paralelogramo cujas medi-
das da altura e da base são respectivamente 10 cm e 2 dm?
4. As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é 
a medida da sua superfície?
5. Considerando as informações constantes no triangulo PQR, 
pode-se concluir que a altura PR desse triângulo memde:
a)5 b)6 c)7 d)8
6. Num cartão retangular, cujo comprimento é igual ao dobro 
de sua altura, foram feitos dois vincos AC e BF, que formam, entre 
si, um ângulo reto (90°). Observe a figura:
Didatismo e Conhecimento 23
RACIOCÍNIO LÓGICO
Considerando AF=16cm e CB=9cm, determine:
a) as dimensões do cartão;
b) o comprimento do vinco AC
7. Na figura, os ângulos assinalados sao iguais, AC=2 e AB=6. 
A medida de AE é:
a)6/5 b)7/4 c)9/5d)3/2 e)5/4
8. Na figura a seguir, as distâncias dos pontos A e B à reta va-
lem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os 
pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá 
estar o ponto E, do segmento CD, para que CÊA=DÊB
a)3
b)4
c)5
d)6
e)7 
9. Para ladrilhar uma sala são necessários exatamente 400 pe-
ças iguais de cerâmica na forma de um quadrado. Sabendo-se que 
a área da sala tem 36m², determine:
a) a área de cada peça, em m².
b) o perímetro de cada oeça, em metros.
10. Na figura, os ângulos ABC, ACD, CÊD, são retos. Se 
AB=2 3 m e CE= 3 m, a razão entre as áreas dos triângulos 
ABC e CDE é: 
a)6
b)4
c)3
d)2
e) 3 
 Respostas
1. A2 = (2b)(2h) = 4bh = 4A1
2. Segundo o enunciado temos:
l=5mm
Substituindo na fórmula:
² 3 5² 3 6,25 3 10,8
4 4
lS S S= ⇒ = = ⇒ =
3. Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:
h=10
b=20
Substituindo na fórmula:
. 20.10 100 ² 2 ²S b h cm dm= = = =
4. Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula que en-
volve as diagonais, cujos valores temos abaixo:
d1=10
d2=15
Utilizando na fórmula temos:
1. 2 10.15 75 ²
2 2
d dS cm= ⇒ =
5. 4 6 36 6
9 6
PR
PR
= ⇒ = =
6. 9 ² 144 12
16
) 12( );2 24( )
) 9² ² 81 144 15
x x x
x
a x altura x comprimento
b AC x
= ⇒ = ⇒ =
= =
= + = + =
7. 
8. 
Didatismo e Conhecimento 24
RACIOCÍNIO LÓGICO
9. 
10. 
Ângulos
Ângulo: Do latim - angulu (canto, esquina), do grego - gonas; 
reunião de duas semi-retas de mesma origem não colineares.
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. 
Ângulo Central: 
- Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da cir-
cunferência; 
- Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono 
regular e cujos lados passam por vértices consecutivos do polígono. 
Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à 
circunferência e os lados são tangentes à ela. 
Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma cir-
cunferência e seus lados são secantes a ela. 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º.
Didatismo e Conhecimento 25
RACIOCÍNIO LÓGICO
Ângulo Raso:
- É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semi-retas opostas. 
Ângulo Reto:
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. 
Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementa-
res se a soma das suas medidas é 900. 
Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma 
medida. 
Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos 
pelo vértice se os lados de um são as respectivas semi-retas opos-
tas aos lados do outro. 
Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementa-
res se a soma das suas medidas é 3600. 
Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementa-
res se a soma das suas medidas de dois ângulos é 180º. 
Poligonal: Linha quebrada, formada por vários segmentos 
formando ângulos. 
Grado: (gr.): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 
400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 1/400 da 
circunferência denominamos de grado.
 
Grau: (º): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 
360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 da 
circunferência denominamos de grau.
Exercícios
1. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do 
ângulo â, nos seguintes casos:
Didatismo e Conhecimento 26
RACIOCÍNIO LÓGICO
a)
b)
c)
2. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î?
3. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados:
a)
b)
c)
d)
4. Usando uma equação, determine a medida de cada ângulo 
do triângulo:
a) Quanto mede a soma dos ângulos de um quadrado?
5. Dois ângulos são complementares tais que o triplo de um 
deles é igual ao dobro do outro. Determine o suplemento do menor.
6. A metade de um ângulo menos a quinta parte de seu com-
plemento mede 38 graus. Qual é esse angulo?
Didatismo e Conhecimento 27
RACIOCÍNIO LÓGICO
7. Cinco semi-retas partem de um mesmo ponto V, forman-
do cinco ângulos que cobrem todo o plano e são proporcionais aos 
números 2, 3, 4, 5 e 6. Calcule o maior dos ângulos.
8. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais 
a metade do ângulo z. Calcule y.
9. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n.
10. Determine o valor de a na figura seguinte:
Respostas
1) Resposta
a) 55˚
b) 74˚
c) 33˚
2) Resposta “130”.
Solução: Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando 
uma linha paralela às retas “a” e “b”.
Fica então decomposto nos ângulos ê e ô.
Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao 
complemento de 130° na reta b.
Logo, î = 80° + 50° = 130°.
3) Solução:
a) 160° - 3x = x + 100° 
160° - 100° = x + 3x 
60° = 4x 
x = 60°/4 
x = 15° 
Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115°
b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180°
6x + 2x = 180° -15° - 5°
8x = 160°
x = 160°/8
x = 20°
Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45°
c) Sabemos que a figura tem 90°.
Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90°
4x + 50° = 90°
4x = 40°
x = 40°/4
x = 10°
d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois 
são exatamente a metade de um círculo.
Então, 138° + x = 180°
x = 180° - 138°
x = 42°
Logo, o ângulo x mede 42°.
4) Solução: Sabemos que a soma dos ângulos do triângulo é 
180°.
Então, 6x + 4x + 2x = 180°
12x = 180°
x = 180°/12
x = 15°
Os ângulos são: 30° 60° e 90°.
a) Um quadrado tem quatro ângulos de 90º, e, portanto a soma 
deles vale 360º.
5) Resposta “144˚”.
Solução: 
- dois ângulos são complementares, então a + b = 90º
- o triplo de um é igual ao dobro do outro, então 3a = 2b
É um sistema de equações do 1º grau. Se fizermos a = 2b/3, 
substituímos na primeira equação:
2b/3 + b = 90
5b/3 = 90
b = 3/5 * 90
b = 54 → a = 90 – 54 = 36º
Como a é o menor ângulo, o suplemento de 36 é 180-36 = 
144º.
Didatismo e Conhecimento 28
RACIOCÍNIO LÓGICO
6) Resposta “80˚”.
Solução: (a metade de um ângulo) menos seu a [quinta parte] 
de seu [complemento] mede 38º.
[a/2] – [1/5] [(90-a)] = 38
a/2 – 90/5 + a/5 = 38
a/2 + a/5 = 38 + 90/5
7a/10 = 38 + 18
a = 10/7 * 56
a = 80º
7) Resposta “180˚”.
Solução: Seja x a constante de proporcionalidade, temos para 
os ângulos: a, b, c, d, e…, a seguinte proporção com os números 2, 
3, 4, 5 e 6:
a/2 = x → a = 2x
b/3 = x → b = 3x
c/4 = x → c = 4x
d/5 = x → d = 5x
e/6 = x → e = 6x
Assim as semi-retas: a + b + c + d + e = 2x + 3x + 4x + 5x + 
6x = 360º
Agora a soma das retas: 20x
Então: 20x = 360º → x = 360°/20
x = 18°
Agora sabemos que o maior é 6x, então 6 . 18° = 108°.
8) Resposta “135˚”.
Solução: Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo 
y, mais a metade do ângulo z. Calcule y.
Então vale lembrar que:
x + y = 180 então y = 180 – x.
E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z
E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do 
ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y.
x = y/6 + z/2
Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z
Então:
x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração:
6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x
6x – 2x = 180°
4x = 180°
x=180°/4
x=45º
Agora achar y, sabendo que y = 180° - x
y=180º - 45°
y=135°.
9) Resposta “11º; 159º”.
Solução: 
3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são 
iguais.
3m - 12º = m + 10º
3m - m = 10º + 12º
2m = 22º
m = 22º/2
m = 11º
m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles 
é igual a 180º.
(m + 10º) + n = 180º
(11º + 10º) + n = 180º
21º + n = 180º
n = 180º - 21º
n = 159º
Resposta: m = 11º e n = 159º.
10) Resposta “45˚”.
É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos iguais.
Polígonos
Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por uma 
linha poligonal fechada. A palavra “polígono” advém do grego e 
quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon).
Linhas poligonais e polígonos
Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e 
não-colineares, dois a dois. Classificam-se em:
Linha poligonal fechada simples 
Linha poligonal fechada não-simples
Didatismo e Conhecimento29
RACIOCÍNIO LÓGICO
Linha poligonal aberta simples 
Linha poligonal aberta não-simples 
Polígono é uma linha fechada simples. Um polígono divide o 
plano em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), 
sem pontos comuns.
Elementos de um polígono
Um polígono possui os seguintes elementos:
- Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices con-
secutivos: AB,BC,CD,DE,DE,EA .
- Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, 
B, C, D, E.
- Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecu-
tivos: AC,AD,BD,BE,CE
- Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados conse-
cutivos: , , , , .
- Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo 
prolongamento do lado a ele consecutivo: , , , , 
Classificação dos polígonos quanto ao número de lados
Nome Número de lados Nome
Número 
de lados
triângulo 3 quadrilátero 4
pentágono 5 hexágono 6
heptágono 7 octógono 8
eneágono 9 decágono 10
hendecágono 11 dodecágono 12
tridecágono 13 tetradecágono 14
pentadecágono 15 hexadecágono 16
heptadecágono 17 octodecágono 18
eneadecágono 19 icoságono 20
triacontágono 30 tetracontágono 40
pentacontágono 50 hexacontágono 60
heptacontágono 70 octacontágono 80
eneacontágono 90 hectágono 100
quilógono 1000 googólgono 10100
Classificação dos polígonos
A classificação dos polígonos pode ser ilustrada pela seguinte 
árvore:
Um polígono é denominado simples se ele for descrito por 
uma fronteira simples e que não se cruza (daí divide o plano em 
uma região interna e externa), caso o contrário é denominado com-
plexo.
Um polígono simples é denominado convexo se não tiver ne-
nhum ângulo interno cuja medida é maior que 180°, caso o contrá-
rio é denominado côncavo.
Um polígono convexo é denominado circunscrito a uma cir-
cunferência ou polígono circunscrito se todos os vértices pertence-
rem a uma mesma circunferência.
Um polígono inscritível é denominado regular se todos os 
seus lados e todos os seus ângulos forem congruentes.
Alguns polígonos regulares:
- triângulo equilátero 
- quadrado 
- pentágono regular 
- hexágono regular 
Didatismo e Conhecimento 30
RACIOCÍNIO LÓGICO
Propriedades dos polígonos
De cada vértice de um polígono de n lados, saem n - 3 diago-
nais (dv). 
O número de diagonais (d) de um polígono é dado porn(n − 3)
2
 , onde n é o número de lados do polígono.
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de 
n lados (Si) é dada por (n − 2).180 .
A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de 
n lados (Se) é igual a 360

n
.
Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos 
formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por n - 2. 
A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados 
(ai) é dada por (n − 2).180

n
.
A medida do ângulo externo de um polígono regular de n la-
dos (ae) é dada por 360

n
.
A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono re-
gular de n lados (Sc) é igual a 360º. 
A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados 
(ac) é dada por 360

n
. 
Outros polígonos
Alguns polígonos são diferentes dos outros, por apresentarem 
lados cruzados, são eles:
Estrelado
Polígono formado por corda e ângulos iguais. Pode ser:
Falso: Pela sobreposição de Polígonos
Verdadeiro: Formado por linhas poligonais fechadas não-
-simples
Entrecruzado
Polígono, cujo prolongamento dos lados, ajuda a formar outro 
polígono.
Entrelaçado
Formado por faixas de retas paralelas que se entrelaçam
Esboço dos Polígonos citados acima
Ângulos de um Polígono Regular
Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados 
congruentes e todos os ângulos internos congruentes. Também, em 
cada vértice do polígono, a soma das medidas dos ângulos interno 
e externo é 180°.
Para um polígono de n lados, temos que o ângulo interno (A¡) 
= (1− 2 / n)×180
Exemplos
Hexágono Regular: 6 lados Cálculo da Soma das medidas dos 
ângulos internos: S¡ = 6-2 . 180° = 4.180° = 720°
Como o Hexágono é regular: A¡ = 720º/6 = 120° Ae = 180º - 
120º = 60°
O ângulo interno mede 120° e o externo, 60°.
Para um polígono convexo qualquer de n lados:
Soma dos ângulos Internos
SÎ = (n-2) . 180º
Soma dos ângulos Externos
Sê = 360º
Número de Diagonais
d= n(n-3) / 2
Polígonos regulares
São aqueles que possuem todos os lados congruentes e todos 
os ângulos congruentes.
Î = (n-2).180º /n ê=360º/n
Î + ê =180º
Exercícios
1. Quanto vale a soma dos ângulos internos de um dode-
cágono?
2. Qual o polígono que tem soma dos ângulos internos 
igual a 3240º?
3. Ache o valor de x na figura:
4. Um quadrilátero possui:
a) Quantos vértices?
b) Quantos Lados?
c) Quantos lados internos e externos?
Didatismo e Conhecimento 31
RACIOCÍNIO LÓGICO
5. De o nome do polígono que possui:
a) 8 lados
b) 5 vértices
6. De o nome do polígono que possui:
a) 3 ângulos externos
b) 22 ângulos internos
7. Qual o número mínimo de lados de um polígono?
8. Determine o número de diagonais do octógono.
9. Determine o polígono cujo número de diagonais é o do-
bro do número de lados.
10. Quantos ângulos internos possui um decágono? 
Respostas
1) Solução:
n = 12 
Si = (n - 2).180°
Si = 10.180° = 1800
2) Solução:
Si = 3240°
Si = (n -2 ).180°
3240° = (n - 2).180°
3240
180
= n - 2
18 = n - 2
n = 20
3) Solução: 
A soma dos ângulos internos do pentágono é:
Si = (n - 2).180°
Si = (5 - 2).180°
Si = 3.180°
Si = 540°
540 = x + 3
2
x + x +15 + 2x − 20 + x + 2
540 = 5x + 3
2
x + 20
520 = 10x + 3x
2
1040 = 13x
x = 1040

13
x = 80
4) Solução: Um quadrilátero, pelo próprio nome já diz, possui 
4 lados. Portanto:
a) 4 vértices
b) 4 lados
c) 4 ângulos internos e externos.
5) Solução:
a) Octógono
b) Pentágono
6) Solução:
a) Triângulo
b) Polígono de 22 lados.
7) Solução:
3 lados.
8) Solução. Um octógono possui 8 lados, ou 8 vértices, logo: 
n = 8
n.(n − 3)
2
= 8.(8 − 3)
2
= 8.5
2
= 40
2
= 20
9) Solução:
n número de lados: n
n de diagonais: d = 
Pelo dado do problema: d = 2n
n.(n − 3)
2
= 2n→ n.(n − 3) = 4n→ n.(n − 3)
n
= 4n
n
→ n − 3 = 4→ n = 4 + 3 = 7
Logo, o polígono é o heptágono.
10) Solução:
10 ângulos
Circunferência e Círculo
Equações da circunferência
Equação reduzida
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano 
equidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado 
centro da circunferência:
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da 
circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunfe-
rência. Então:
Didatismo e Conhecimento 32
RACIOCÍNIO LÓGICO
dcp = (XP − XC )
2 + (YP −YC )
2
⇒ (x − a)2 − (y − b)2 = r
⇒ (x − a)2 + (y − b)2 = r2
Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da cir-
cunferência e permite determinar os elementos essenciais para a 
construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunferência estiver na ori-
gem (C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2.
Equação Geral
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral 
da circunferência:(x − a)2 + (y − b)2 = r2 ⇒ x2 − 2ax + a2 + y2 − 2by + b2 = r2
⇒ x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circun-
ferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
x2 − 4x + 4 + y2 + 6y + 9 −16 = 0⇒ x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0
Determinação do centro e do raio da circunferência, dada 
a equação geral
Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o pro-
cesso de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-
-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio 
da circunferência.
Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
- Os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1; 
- Não deve existir o termo xy. 
Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência 
cuja equação geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.
Observando a equação, vemos que ela obedece às duas con-
dições.