Equação Irracional

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Equações irracionais – Teoria e exercícios nível ITA e IME 
 
Trata – se de um assunto comum nos concursos do IME e do ITA e que pode 
trazer muitos problemas aos alunos. A partir da teoria exposta esperamos que o 
aluno consiga desenvolver as questões propostas. 
Bons estudos! 
 
1) EQUAÇÕES IRRACIONAIS 
 
Equação irracional é uma equação em que há incógnita sob um ou mais radicais. 
A resolução é feita através da eliminação dos radicais, elevando as equações às potências convenientes. Deve-se 
atentar, entretanto, para o fato de que esse procedimento pode introduzir raízes estranhas à equação inicial. 
 
i) Equação do tipo )x(g)x(f = 
 
Elevando ambos os membros ao quadrado: f(x) = [g(x)]2 
A equação original pode ser escrita como: 0)x(g)x(f =− 
A equação elevada ao quadrado fatorada fica: ( ) ( ) 0)x(g)x(f)x(g)x(f =+⋅− 
 
Analisando as duas situações nota-se que as raízes da equação original são aquelas que anulam )x(g)x(f − . Já as 
raízes da equação elevado ao quadrado são aquelas que anulam )x(g)x(f − ou )x(g)x(f + . Logo a equação elevada 
ao quadrado contém as raízes da equação original, mas pode conter outras. 
 
Para evitar esse problema há duas possibilidades: 
1º) testar a raiz encontrada na equação original 
2º) verificar se a equação satisfaz g(x) ≥ 0 
 
2f (x) g(x) f (x) [g(x)] e g(x) 0= ⇔ = ≥ 
 
Exemplo 1: Resolver 53x2 =− 
 
Solução: 
Como g(x) = 5 > 0, não há risco de introduzir raízes estranhas ao elevar a equação ao quadrado. 
53x2 =− ⇒ 2x −3 = 52 ⇒ x = 14 S = {14} 
 
Exemplo 2: Resolver x211x5x2 =+++ 
Solução: 
Nesse caso g(x) = 2x −1 e as soluções válidas são aquelas tais que g(x) ≥ 0, ou seja, x ≥ 1/2. 
x211x5x2 =+++ ⇒ 1x21x5x2 −=++ ⇒ 22 )1x2(1x5x −=++ ⇒ 3x2 −9x = 0 ⇒ x = 0 ou x = 3 S={3} 
Pela condição para g(x) verifica-se que a única solução válida é x = 3. Isso pode ser notado também testando os dois 
valores. 
 
ii) Equação do tipo )x(g)x(f3 = 
 
Elevando ambos os membros ao cubo: f(x) = [g(x)]3 
A equação original pode ser escrita como: 0)x(g)x(f3 =− 
A equação elevada ao cubo fatorada fica: 
[ ] ( ) ( ) 0)x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f 23233 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ +⋅+⋅− [ ] ( ) 04 )x(g32 )x(g)x(f)x(g)x(f 2233 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⋅+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅− 
Como o segundo fator é sempre positivo a equação original e a elevada ao cubo possuem sempre as mesmas raízes 
reais, ou seja, elas são equivalentes no domínio dos reais. 
 
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[ ]33 f (x) g(x) f (x) g(x)= ⇔ = 
 
Exemplo 1: Resolver 31x23 =+ 
Solução: 
31x23 =+ ⇔ 2x +1 = 33 ⇔ x = 13 S = {13} 
 
Exemplo 2: Resolver 1x1x9x43 2 +=++ 
Solução: 
1x1x9x43 2 +=++ ⇔ 4x2 +9x +1 = (x +1)3 ⇔ x3 −x2 −6x = 0 ⇔ x = 0 ou x = 3 ou x = −2 S = {0, 3, −2} 
 
2) EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
1. 22x 1 x− = 2. 3 3x 1 1− = 
 
3. 1 3x 5 x+ − = 4. x x 2− = 
 
5. x 7 1 2x+ + = 6. 21 x 1 x+ − = 
 
7. 2x 3 x 1= + − 8. 4x 7 2x 8+ − + 
 
9. x 7 5 x 2+ = − + 10. 6 x 2x 10 1+ + + = 
 
3) EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO 
 
11. Resolver a equação m 2m 2m 2 x1)x1()x1( −=−−+ 
 
12. (IME 2002) Resolva a equação xx55 =−− , sabendo-se que x > 0. 
 
13. Resolva a equação + + − + − =
2
2 2x 4356 x x x 4356 x 5
x
 
 
14. (Solving Problems) Resolva as equações irracionais: 
 
a) 3x 1 2x 6 2+ − − = 
b) 2 2x x 5 x 8x 4 5+ − + + − = 
c) x x 1 x 9 x 4 0− + + + − + = 
 
15. (Solving Problems) Resolva as equações irracionais: 
a) 2 2 3x 3 2x 3x 2 (x 4)
2
+ − − + = + 
b) 22x 5 2 x 5x 2 x 5 2 x 48− + − + − + = 
 
16. (ITA) Considere a equação: 2 2x p 2 x 1 x− + − = . 
 
a) Para que valores do parâmetro real p a equação admite raízes reais? 
b) Determine todas essas raízes reais. 
 
17. Resolva a equação − + + =4 41 x 15 x 2 
 
 
 
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Gabarito 
 
1. 1 
2. 2
3
 
3. 2 ou 3 
4. 4 
5. 2 
6. 1 
7. 2 
8. 1
2
 
9. 2 
10. –5 
11. m par, 
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠=
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
m
m
5 1 1
2
x
5 1 1
2
 
m ímpar, 
⎛ ⎞± −⎜ ⎟⎝ ⎠=
⎛ ⎞± +⎜ ⎟⎝ ⎠
m
m
5 1 1
2
x
5 1 1
2
 
 
12. 
−= 21 1X
2
 
13. = 6 119x 119
 14. a) x = -1, 3 ou 35 b) x = 2 c) x = 0 
15. a) x = 7/2 ou x = -2 b) ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2
41x
12
 
16. a) ≤ ≤ 40 p
3 b) 
−= −
4 px
2 4 2p
 
17. x = 1 ou x = -15