08 CGFP

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Professor: Leonardo Heluany Zeitune
leoheluany@yahoo.com.br
05 – Características Geométricas das Superfícies 
Planas (CGSP)
Momento Estático
Momento Estático de um Elemento de Superfície é
definido através do produto entre a área do elemento e a
distância que o separa do eixo de referência.
𝑴𝒙 = 𝒚 ∗ 𝒅𝑨
𝑴𝒀 = 𝒙 ∗ 𝒅𝑨
Momento Estático de uma Superfície Plana
Definido através da integral de área dos momentos
estáticos dos elementos de superfície que formam a
superfície total.
𝑀𝑥 = න𝑦 ∗ 𝑑𝐴
𝑀𝑦 = න𝑥 ∗ 𝑑𝐴
Centro de Gravidade de uma Superfície 
Plana
É um ponto localizado na própria figura, ou fora desta, no
qual se concentra a superfície.
A localização deste ponto é realizada através das
coordenadas 𝑋𝐺𝑒 𝑌𝐺 que serão obtidas através da relação
entre o respectivo momento estático de superfície e a
área total desta.
Centro de Gravidade de uma Superfície 
Plana
𝑋𝐺 =
׬ 𝑥 ∗ 𝑑𝐴
׬𝑑𝐴
𝑌𝐺 =
׬𝑦 ∗ 𝑑𝐴
׬𝑑𝐴
Superfície
𝑋𝐺 =
𝑏
2
; 𝑌𝐺 =
ℎ
2
𝑋𝑎 = 𝑌𝑎 =
𝑎
2
Tabela do Centro de Gravidade 
Coordenadas do Centro de 
Gravidade
Superfície
Coordenadas do Centro de 
Gravidade
𝑋𝐺 =
𝑏
3
; 𝑌𝐺 =
ℎ
3
𝑋𝐺 = 0 ; 𝑌𝐺 = 0
Tabela do Centro de Gravidade
𝑋𝐺 =
4𝑟
3𝜋
; 𝑌𝐺 =
4ℎ
3𝜋
𝑋𝐺 = 0 ; 𝑌𝐺 =
4𝑟
3𝜋
Tabela do Centro de Gravidade de 
Superfícies Planas
Superfície
Coordenadas do Centro de 
Gravidade
Exercício 1 
Determinar as coordenadas do centro de gravidade do 
topázio representada na figura a seguir.
Exercício 2 
Determinar as coordenadas do CG da superfície 
hachurada representada na figura.
Exercício 3
Determinar as coordenadas do centro de gravidade do 
perfil U representado na figura a seguir.
Exercício 4
Determinar as coordenadas do CG da superfície hachurada
representada na figura.
Momento de Inércia J (Momento de 2º 
Ordem)
O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um
eixo de referência, é definido através da integral de área dos
produtos entre os infinitésimos da área que compõem a superfície
e suas respectivas distâncias ao eixo de referência
elevadas ao quadrado.
𝐽𝑋 = න
𝐴
𝑦2𝑑𝐴
𝐽𝑌 = න
𝐴
𝑥2𝑑𝐴
𝐽 = 𝑚𝑚2 ∗ 𝑚𝑚2 = 𝑚𝑚4
Momento de Inércia nos Projetos
Fornece através de valores numéricos, uma noção de
resistência da peça.
Quanto maior for o momento de inércia da secção
transversal de uma peça, maior será a resistência da peça.
Translação de Eixos
Para determinar o momento de inércia da superflcie, em
relação aos eixos u e v, paralelos a x e y, aplica-se o
teorema de Steiner.
𝐽𝑢 = ׬𝐴 𝑦 + 𝑎
2𝑑𝐴 𝐽𝑣 = ׬𝐴 𝑥 + 𝑏
2𝑑𝐴
𝑱𝒖 = 𝑱𝑿 + 𝒂
𝟐 ∗ 𝑨 𝑱𝑽 = 𝑱𝒀 + 𝒃
𝟐 ∗ 𝑨
Raio de Giração i
O raio de giração (i) constitui-se em uma distância
particular entre a superfície e o eixo, na qual o produto
entre a distância elevada ao quadrado e a área total da
superfície, determina o momento de inércia da superfície
em relação ao eixo y.
𝑱𝑿 = 𝑨 ∗ 𝒊𝑿
𝟐
𝑱𝒀 = 𝑨 ∗ 𝒊𝒀
𝟐
𝒊𝑿 =
𝑱𝑿
𝑨
𝒊𝒀 =
𝑱𝒀
𝑨
Módulo de Resistência - W
A relação entre o momento de inércia relativo ao eixo
baricêntrico (simetria) e a distância máxima entre o eixo e
a extremidade da secção transversal estudada.
𝑊𝑋 =
𝐽𝑋
𝑌𝑀Á𝑋
𝑊𝑌 =
𝐽𝑌
𝑋𝑀Á𝑋
𝑊𝑋 =
𝐽
𝑋 𝑜𝑢 𝑌
=
𝑚4
𝑚
= 𝑚3
Momento de Inércia Raio de giração e 
Módulo de Resistência
Momento de Inércia Raio de giração e 
Módulo de Resistência
Momento de Inércia Raio de giração e 
Módulo de Resistência
Produto de Inércia ou Momento Centrífugo 
(Momento de 2 Ordem)
O produto de inércia (momento centrífugo) de uma
superfície plana é definido através da integral de área dos
produtos entre os infinitésimos de área dA que compõem a
superfície e as suas respectivas coordenadas aos eixos de
referência.
𝐽𝑋𝑌 = න
𝐴
𝑥𝑦𝑑𝐴
Ex 5 
Determinar o raio de giração e o módulo de resistência
relativos aos eixos baricêntricos x e y dos perfis
representados a seguir, sendo conhecido o momento de
inércia dos mesmos.
Ex 6
Determinar o raio de giração e o módulo de resistência
relativos aos eixos barcêntricos x e y dos perfis
representados a seguir, sendo conhecido o momento de
inércia dos mesmos.
Ex 7
Determinar o momento de inércia relativo ao eixo
baricêntrico x no retângulo de base b e altura h
conforme mostra a figura.
Ex 8
Determinar momento de inércia, raio de giração e
módulo de resistência, relativos aos eixos baricêntricos x
e y do perfil representado na figura.
Ex 9
Determinar momento de inércia, raio de giração e
módulo de resistência, relativos aos baricêntricos x e y
no perfil I representado na figura.
Ex 10
Determinar momento de
inércia, o raio de giração e
o módulo de resistência,
relativos ao eixo
baricêntrico x do conjunto
representado na figura.
Estudo do Sinal
O produto de inércia pode ser positivo, negativo ou nulo,
dependendo da distribuição de superfície em relação aos
eixos de referência.
Jxy > O - Quando a superfície
predominar no 1º e 3º quadrantes
Jxy < O - Quando a superfície
predominar no 2º e 4º quadrantes
Jxy = O - Quando houver eixo de
simetria
Momento Polar de Inércia
O momento polar de inércia de uma superfície plana é
definido através da integral de área dos produtos entre os
infinitésimos de área dA e as suas respectivas distâncias ao
pólo elevadas ao quadrado.
𝐽p = න
𝐴
𝑟2𝑑𝐴
Módulo de Resistência Polar
O módulo de resistência polar de uma superfície é definido
através da relação entre o momento de inércia polar da secção,
e o comprimento entre o polo e o ponto mais distante da
periferia da secção transversal (distância máxima).
𝑊𝑃=
𝐽𝑃
𝑟𝑚á𝑥
𝑊𝑃=
𝐿4
𝐿
= 𝐿3
Módulo de Resistência Polar
Utiliza-se o módulo de resistência polar no
dimensionamento de elementos submetidos a esforço de
torção.
Quanto maior o módulo de resistência polar da secção
transversal de uma peça, maior a sua resistência à torção.
TABELAS
TABELAS
TABELAS
Ex 13
Determinar as expressões de momento polar de inércia
(Jp) e o módulo de resistência polar (Wp) das secções
transversais a seguir, sendo conhecidas as expressões de
momento de inércia das mesmas.
Ex 14
Determinar as expressões de momento polar de inércia
(Jp) e o módulo de resistência polar (Wp) das secções
transversais a seguir, sendo conhecidas as expressões de
momento de inércia das mesmas.
Ex 15
Determinar os momentos Jmáx e Jmin, e os ângulos α 
máx e α mín na superfície representada na figura.
Referencias Bibliográficas
 MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência 
dos Materiais. 17ª ed., Erica, 2006