Lista 1 erros e série de taylor

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Métodos Numéricos Aplicados a Engenharia Mecânica 
Lista de Exercícios 1 – Análise de erros e série de Taylor 
 
1. A seguinte série infinita pode ser usada para aproximar 𝑒𝑥: 
 
𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +
𝑥2
2
+
𝑥3
3!
+ ⋯ +
𝑥𝑛
𝑛!
 
 
a) Demonstre que essa expansão em série de Maclaurin é um caso especial da 
expansão em série de Taylor com xi = 0 e h = x. 
b) Use a série de Taylor para fazer uma estimativa de 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 𝑒𝑚 𝑥𝑖+1 =
1 para 𝑥𝑖 = 0,2. Use as versões de ordem zero, um, dois e três e calcule |𝜀𝑡| 
para cada caso. 
 
2. A expansão em série de Maclaurin do arco tangente de x é definida para |x| ≤ 1 
e dada por 
arctan(𝑥) = ∑
(−1)𝑛
2𝑛 + 1
𝑥2𝑛+1
∞
𝑛=0
 
 
a) Escreva os quatro primeiros termos (n = 0, 1, 2, 3) 
b) Começando com a versão mais simples, arctan(x)=x, some termos um de cada 
vez para obter uma estimativa de π/6. Depois de cada termo ser somado, calcule 
os erros relativos percentuais verdadeiro e aproximado. Some termos até que o 
erro estimado caia abaixo de um critério de erro com dois algarismos 
significativos. 
 
 
3. Usa a expansão em série de Taylor de ordem zero até três para prever f(3) para 
𝑓(𝑥) = 25𝑥3 − 6𝑥2 + 7𝑥 − 88 
Utilizando como ponto base x=1. Calcule o erro relativo percentual t para cada 
aproximação. 
 
4. Use a expansão em série de Taylor de ordem zero até quatro para prever f(2,5) 
para f(x) = ln(x) utilizando o ponto x = 1. Calculo o erro relativo percentual t para 
cada aproximação. 
 
5. A lei de Stefan-Boltzmann pode ser utilizada para se fazer uma estimativa da taxa 
de radiação de energia H de uma superfície, como em 
 
𝐻 = 𝐴𝑒𝜎𝑇4 
Onde H está em Watts, A é a área da superfície (m2), e é a emissividade que caracteriza 
as propriedades de emissão da superfície (adimensional),  é uma constante universal 
chamada de constante de Stefan-Boltzmann (=5,67 x 10-8 Wm-2K-4) e T é a temperatura 
absoluta (K). Determine o erro de H para uma placa de aço com A = 0,15 m2, e = 0,90 e 
T = 650 ± 20 K. Compare seus resultados com o erro exato. Repita os cálculos com T = 
650 ± 40 K. 
 
6. Repita o problema (5) agora para uma esfera de cobre com raio igual a 0,15 ± 
0,01 m, e = 0,90 ± 0,05 e T = 550 ± 20 K.