Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral

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Departamento de Matema´tica - UFC
Ca´lculo Diferencial e Integral - Primeiro Simestre de 2014
Lista de exerc´ıcios: ma´ximos e mı´nimos
(1) Dado S > 0 encontre x e y de maneira que x + y = S e x2 + y2 seja o
menor poss´ıvel.
(2) O lado de um quadrado Q tem comprimento L. Determine o lado do
quadrado inscrito em Q de maneira que tenha a menor a´rea.
(3) O lado de um quadrado Q tem comprimento L. Determine o lado do
quadrado circunscrito em Q de maneira que tenha a maior a´rea.
(4) Determine o retaˆngulo de a´rea ma´xima que pode ser inscrito num c´ırculo
de raio ρ.
(5) Determine o retaˆngulo de a´rea ma´xima que pode ser inscrito num semic´ır-
culo de raio ρ tendo um dos seus lados sobre o diaˆmetro.
(6) Dentre todos os retaˆngulos de a´rea dada o quadrado possui o c´ırculo ins-
crito de menor a´rea. Prove tal afirmac¸a˜o.
(7) Um agricultor dispo˜e de l metros de arame para cercar uma pastagem
de forma retangular, adjacente a uma parede de pedra.Quais dimensoˆes
dara˜o a a´rea de maior pastagem.
(8) Um agricultor deseja cercar uma pastagem de forma retangular de a´rea
A, adjacente a uma parede de pedra. Quais as dimenso˜es convenientes
devera˜o ser usadas para gastar a menor quantidade poss´ıvel de arame?
(9) Dada uma esfera de raio R, determinar o raio e a altura do cilindro circular
reto de maior volume que pode ser inscrito na esfera.
(10) Dado um cone circular reto de raio R e altura h, determinar o raio e a
altura do cilindro circular reto de maior a´rea lateral que pode ser inscrito
no cone.
(11) Dado uma esfera de raio R determinar o raio e a altura do cone circular
reto de maior volume que pode ser inscrito nessa esfera.
(12) Determinar o trape´zio de a´rea ma´xima que pode ser inscrito num semic´ır-
culo de raio ρ tendo uma de suas bases sobre o diaˆmetro.
(13) Uma caixa sem tampa foi constru´ıda de uma folha de zinco de lados a e
b respectivamente, retirando-se em cada ve´rtice um quadrado de mesma
a´rea. Encontre as dimenso˜es da caixa de maior volume.
(14) Uma folha de papel retengular e´ dobrada de maneira que o ve´rtice inferior
direito fique sobre o lado esquerdo da folha. Se a largura da folha e´ de 6
polegadas e o comprimento e´ de 18 polegadas determine o comprimento
mı´nimo da dobra.
(15) Ache o nu´mero positivo que e´ maior que seu cubo o ma´ximo poss´ıvel.
(16) Ache dois nu´meros positivos x e y tais que sua soma seja 30 e o produto
xy4 seja ma´ximo.
(17) Ache dois nu´meros x e y tais que sua soma seja 56 e o produto xy5 seja
ma´ximo.
(18) Sejam m e n inteiros positivos dados. Se x e y sa˜o nu´meros positivos tais
que x + y = S, onde S e´ uma constante, mostre que o valor ma´ximo do
produto P = xmyn e´ atingido quando x = mSm+n e y =
nS
m+n .
1
2
(19) Exprima o nu´mero 18 como soma de dois nu´meros positivos de tal modo
que a soma do quadrado do primeiro com a quarta poteˆncia do segundo
seja mı´nima.
(20) Ache o nu´mero positivo tal que a soma de seu cubo com 48 vezes o inverso
de seu quadrado seja mı´nima.
(21) A soma de treˆs nu´meros positivos e´ 15. O dobro do primeiro mais treˆs
vezes o segundo mais quatro vezes o terceiro e´ 45. Escolha esses nu´meros
de modo que o produto dos treˆs seja ma´ximo.
(22) Considere um retaˆngulo, com lados 2x e 2y inscrito numa dada circun-
fereˆncia x2 + y2 = a2 e seja n um nu´mero positivo. Queremos achar o
retaˆngulo que maximize a quantidade z = xn + yn. Se n = 2, e´ claro que
z tem o valor constante a2 para todos os retaˆngulos. Se n < 2, mostre que
o quadrado maximiza z, e se n > 2, mostre que z e´ maximizado por um
retaˆngulo degenerado no qual x ou y e´ zero.
(23) Mostre que, de todos os triaˆngulos com uma dada base e um dado per´ımetro,
aquele que tem a maior a´rea e´ o iso´sceles. (Sugesta˜o: use a fo´rmula de
Heron para a a´rea, A =
√
s(s− a)(s− b)(s− c), onde a,b e c sa˜o os lados
e s e´ o semiper´ımetro).
(24) Mostre que, de todos os triaˆngulos com uma dada base e uma dada a´rea,
aquele que tem o menor per´ımetro e´ iso´sceles. (Sugesta˜o: a base estando
apoiada no eixo x, sendo dividida ao meio pela origem, e estando o terceiro
ve´rtice (x,h) a uma altura fixa acima do eixo x enta˜o o triaˆngulo e´ iso´sceles
se x = 0.
(25) Se a e b sa˜o constantes positivas, a regia˜o entre a para´bola a2y = a2b−4bx2
e o eixo x e´ um segmento parabo´lico de base a e altura b. Determine a
base e a altura do retaˆngulo de maior a´rea com a base inferior no eixo x
e com os ve´rtices superiores na para´bola.
(26) Um c´ırculo de raio a e´ dividido em dois segmentos por uma reta L que
esta´ a uma distaˆncia b do centro. O retaˆngulo de maior a´rea poss´ıvel esta´
inscrito no menor desses segmentos. A que distaˆncia do centro esta´ o lado
desse retaˆngulo que e´ o oposto a` reta L?
(27) Duas cercas retas se encontram num ponto, mas na˜o necessariamente em
aˆngulos retos. Um poste esta´ situado na regia˜o angular entre elas. Um
curral triangular e´ formado construindo-se uma nova cerca reta passando
por esse poste. Mostre que o triaˆngulo formado tera´ a´rea mı´nima quando
o poste estiver no centro da cerca.
(28) Uma reta que passa por um ponto fixo (a,b) do primeiro quadrante inter-
cepta o eixo x em A e o eixo y em B. Mostre que os valores mı´nimos de
AB e OA+OB sa˜o (a
2
3 + b
2
3 )
3
2 e (
√
a+
√
b)2.