Cap 3 Eletromag

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Densidade de Fluxo Elétrico
Prof Thiago Coelho
Introdução
Objetivo
– Introduzir o conceito de fluxo 
– Relacionar estes conceitos com o de campo elétrico
– Introduzir os conceitos de fluxo elétrico e densidade 
de fluxo elétrico
– Relacionar estes conceitos com o de campo elétrico
Conceito de Fluxo
Φ =(v.cosθ)A
Φ =v∙A
Fluxo volumétrico= Vazão (volume por unidade de tempo) do ar através 
da espira por área
A) Incidência perpendicular
B) A componente perpendicular é v.cosθ
C) O vetor área A é perpendicular ao plano da espira e faz um ângulo θ com v
Fluxo de um campo
É possível associar um vetor velocidade do vento a 
cada ponto do interior da espira
O conjunto de todos esses vetores é um campo de 
velocidades
A equação Φ =v∙A pode ser interpretada como uma 
expressão para o fluxo do campo de velocidades 
através da espira
Interpretando desta forma, fluxo seria o produto de 
uma área pelo campo que existe no interior dessa 
área
Introdução
Michael Faraday (1791-1867)
– Autodidata, com apenas educação primária
– Grandes contribuições na química e na física
– Habilidade com experimentos
– Descobriu algumas leis que regem a eletricidade e o 
magnetismo
– Propôs a representação do campo elétrico através 
de linhas de força
• Recusado pelos matemáticos da época
• Provado posteriormente por Maxwell
Fluxo Elétrico
Experimento de Faraday
– Seja uma esfera metálica com carga +Q
– Colocando esta esfera no interior de outra esfera metálica
• Carga –Q induzida na parte interna
• Carga +Q induzida na parte externa
Fluxo Elétrico
Experimento de Faraday
– Ligando a esfera à terra
• Carga positivas se deslocarão para a terra
• Esfera externa com carga negativa
Fluxo Elétrico
Experimento de Faraday
– Faraday interpretou o fenômeno como um fluxo de 
deslocamento de cargas da esfera interna para a externa
– Este fluxo deve ser igual à carga total
– As trajetórias de deslocamento de carga são denominadas 
linhas de fluxo
Q
Densidade de Fluxo Elétrico
Densidade de Fluxo 
Elétrico ( )
Medida de quantidade 
de linhas de fluxo por 
unidade de área
Grandeza vetorial que 
aponta na direção das 
linhas de fluxo
D

Densidade de Fluxo Elétrico
Esferas concêntricas
– Considerando uma esfera de 
raio r entre as duas esferas
– A carga total, i.e. o fluxo, 
dentro da esfera é Q e a 
área total é 4r 2
– não depende do “corpo”, 
desde que r seja maior que 
este
D

Densidade de Fluxo Elétrico
Carga pontual na origem
– Considerando esfera interna centrada na origem com 
e esfera externa com
– Se a carga estiver localizada em
râ
r
Q
D
24


0r r
'r

 
'
'
'4
2
rr
rr
rr
Q
rD 








Densidade de Fluxo Elétrico
Carga pontual na origem
– Comparando com a equação do campo para uma 
carga pontual
– No espaço livre
– Da mesma forma, para uma distribuição volumétrica 
de carga
râ
r
Q
E
2
04


ED

0
   



vo l
v
rr
rr
rr
dv
rD
'
'
'4
'
2 





Densidade de Fluxo Elétrico
Exemplo 3.1)
– Calcular densidade de fluxo ao redor de uma linha de 
carga uniforme de 8nC/m no eixo z no espaço livre
E3.1)
– Dada uma carga pontal de 60C na origem, determine 
o fluxo elétrico total que passa através de 
• Porção da esfera de r =26cm limitada por 0<</2 e 
0<</2
• Superfície fechada definida por z =26cm e  =26cm
• Plano z =26cm
Densidade de Fluxo Elétrico
E3.2)
– Calcular densidade de fluxo em coordenadas 
cartesianas no ponto P(2,-3,6) produzido por
• Uma carga pontual QA=55mC em Q(-2,3,-6)
• Uma linha de cargas uniforme com L=20mC/m no eixo x
• Um plano em z =-5m com S =120C/m2
Aplicações da Lei de Gauss 
Introdução
Lei de Gauss
Vamos usá-la para determinar a densidade de 
fluxo se a distribuição de cargas for conhecida
O fluxo elétrico que atravessa uma superfície 
fechada é igual à carga total dentro da superfície
 
S
S SdDQ

Introdução
Solução se torna simples se escolhermos uma 
superfície fechada em que
– é normal ou tangente à superfície gaussiana
• se torna ou zero
– Quando não for zero, deve ser 
constante
SdDS


SD

SdDS

 dSDS
SD
Aplicações da Lei de Gauss
Carga pontual: superfície esférica de raio r em 
torno da carga Q, será sempre 
perpendicular à superfície e constante
SD

 
esfera
S
esfera
S
S
S dSDdSDSdDQ

  
 

0
2
0
2
0
2 sen2sen drDddrDQ SS
24 rDQ S  24 a
Q
DS 
rS â
a
Q
D
24


Aplicações da Lei de Gauss
Distribuição uniforme linear de carga L
– Superfície cilíndrica de raio 
com tampa em z=0 e z=L
– A carga total então será Q=LL
 
basetopolado
S
S
SL dSdSdSDSdDLQ 00




2
L
SD


aD LS

2

LDL SL  2
A integração geralmente 
se limita à área da 
superfície onde D é 
normal
Aplicações da Lei de Gauss
Distribuição superficial de cargas S
– Superfície cilíndrica, uma base
em cada lado da placa
– é perpendicular à placa
– A carga total então será Q=SA
2
S
SD


E
AADADSdDQ SSS
S
S ...  

Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito
– Cilindros condutores
– Raio interno interno= a
– Raio interno externo= b
– Temos S na superfície externa do condutor interno
– Achar o campo elétrico pela lei de Coulomb é 
complicado
Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito
– Para  < a
• Como o condutor é metálico, a carga 
na está na superfície
• A superfície gaussiana não envolve 
nenhuma carga
– Para  > b
• A carga total envolvida é zero
000   SS
S
S DDSdDQ

0SD

Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito
– Para a < < b
• A superfície envolve a carga contida 
no condutor interno para 0<z<L
Pela lei de Gauss
SaLQ 2
LDaL SS  22  

S
S
a
D


â
a
D SS 

S
L
z
S aLdzadQ 


2
0
2
0
  
 
LDQ S 2
Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito
– Para a < < b
• Se o condutor interno for um fio com
distribuição de carga L
LQ L


âD LS
2


SL a 2


S
S
a
D
Forma idêntica a da linha infinita de cargas!
Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito
– Como a carga total nos dois 
condutores tem o mesmo módulo
ba QQ 
SaSb
b
a
 
SbSa bLaL  22 
Aplicações da Lei de Gauss
Exemplo 3.2)
– Seja um cabo coaxial com L=50cm, a=1mm, 
b=4mm e Qa=30nC
• Ache a densidade de carga em cada condutor
• Determine e D E
Lei de Gauss
E3.3)
– Seja nC/m2 no espaço livre. Determine:
• Campo elétrico em
• Carga total dentro da esfera r = 3
• Determine o fluxo total que deixa a esfera r = 4
rârD
23,0

  90,25,2  rP
Lei de Gauss
E3.4)
– Calcule o fluxo total saindo de uma superfície cúbica 
formada por seis planos x,y,z =5, para
• Duas cargas pontuais 0,1C em (1, -2, 3) e 1/7C em 
(-1,2,-2)
• Linha uniforme de carga  C/m em x=-2 e y=3
• Superfície uniforme de carga 0,1C/m2 no plano y=3x
Aplicações da Lei de Gauss
E3.5)
– Uma carga pontual de 0,25Cestá localizada em r=0 
e superfícies uniformes de carga estão dispostas da 
seguinte forma: 2mC/m2 em r=1cm, -0,6mC/m2 em 
r=1,8cm. Calcule a densidade de fluxo elétrico em
• r=0,5cm
• r=1,5cm
• r=2,5cm
– Que densidade de carga superficial uniforme deve ser 
colocada em r=3cm para que a densidade de fluxo 
elétrico em r=3,5cm seja nula
Divergente
Relaciona um campo vetorial com um campo escalar 
O divergente do campo vetorial é o produto escalar 
entre  e 
 zzyyxxzyx âDâDâDâ
z
â
y
â
x
D 















D

D

z
D
y
D
x
D
DD z
yx










 div
Divergente
Em coordenadas cilíndricas
Em coordenadas esféricas
 
z
DDD
D z








 


 11
   













D
r
D
rr
Dr
r
D r
sen
1sen
sen
11 2
2

Divergente
A divergência de um campo vetorial dá como resultado 
o fluxo líquido (fluxo que sai menos fluxo que entra) por 
unidade de volume
O resultado é um escalar
vD 
 Carga por unidade de volume
0 D

0 D
 0< D

Divergência
Exemplos
– Fluxo líquido de água através de qualquer superfície 
fechada é zero
• Água que entra, sai
• Divergência de velocidade é nula
– Ar se expande quando a pressão cai
• Divergência é maior que zero
Aplicações da Lei de Gauss
Lei de Gauss
Vamos aplicar a lei de Gauss a um elemento diferencial 
de volume em problemas que não possuem simetria
Isto servirá para determinar a divergência de um campo 
vetorial e para enunciar a primeira equação de Maxwell 
na forma diferencial
O fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada é 
igual à carga total dentro da superfície
Divergência
Divergência informa quanto fluxo está deixando 
um volume por unidade de volume
– Fonte de densidade de fluxo positiva
– Fonte de densidade de fluxo negativa
– Não há fonte de densidade de fluxo
0 D

0 D

0< D

Primeira Equação de Maxwell
Sabemos que
então
A primeira equação de Maxwell estabelece que o fluxo elétrico 
por unidade de volume que deixa uma unidade de volume 
infinitesimal é igual a sua densidade volumétrica de carga
v
SdD
D S
v 






0
lim QSdD
S






v
v v
Q
D 
0
lim

vD 

Primeira Equação de 
Maxwell (Eletrostática)
Teorema da Divergência
A integral da componente normal a qualquer campo 
vetorial sobre uma superfície fechada é igual à integral 
da divergência desse campo vetorial através do volume 
limitado por uma superfície fechada
Relação entre uma integral dupla de superfície com 
uma integral tripla de volume
 
volS
dvDSdD

Teorema da Divergência
Fisicamente, podemos analisar este resultado como 
sendo preferível se preocupar com as consequências 
do que ocorre na superfície de um volume sem se 
importar com o fenômeno que está se desenvolvendo 
dentro deles
– O que diverge em uma célula
converge na adjacente
– Só contribui para o total
o que diverge na superfície
Teorema da Divergência
Exemplo 3.5
– Calcule ambos os lados do teorema da divergência para o 
campo
C/m2
e um paralelepípedo 0<x<1, 0<y<2, 0<z<3
yx âxxyâD
22 

Teorema da Divergência
Exemplo proposto
– Calcule ambos os lados do teorema da divergência para o 
campo
C/m2
e um paralelepípedo  5, 0    0,1, 0  z  10
zââsenâD
222 2525cos2   
Lista de Exercícios
Capítulo 3
– 3.3, 3.4, 3.5, 3.9, 3.13, 3.17, 3.19, 3.21, 3.23, 3.27, 
3.29