Fluxo de Campo Elétrico Teorema de Gauss - ISUTC

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Instituto Superior De Transportes E Comunicações 
 
 
 
 
 
 
 
 
Departamento De Ciências Básicas 
 
 
 
 
 
 
 
“Fluxo de Campo Elétrico – Teorema de 
Gauss” 
 
 
 
 
 
 
 
Licenciatura em Engenharia Civil E De Transportes 
 
 
 
 
 
 
 
 Disciplina: Física II 
 Docente: Dr. J. Nhanala 
 Discente(s): Lauro Mota, Kelvin Ossmane, Osvaldo Bila, Seretse Andate, Ana Morais. 
 Turma: C12 
 1º Ano 
 
 
 
 
Maputo, Agosto - 2015 
 
	
Índice 
 
1. INTRODUÇÃO	.............................................................................................................................	2	
2. TEOREMA DE GAUSS	..............................................................................................................	3	
3. FLUXO DO CAMPO ELÉTRICO	...........................................................................................	4	
4. LEI DE GAUSS	.............................................................................................................................	8	
5. EXERCÍCIO 3	............................................................................................................................	10	
6. CONCLUSÃO	.............................................................................................................................	11	
7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS	..................................................................................	12	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 2	
1. INTRODUÇÃO 
O presente trabalho tem como objectivo principal abordar os assuntos relativos aos 
Fluxo de Campo Elétrico e o Teorema de Gauss. 
A lei de Gauss é a lei que estabelece a relação entre o fluxo de campo elétrico que 
passa através de uma superfície fechada com a carga elétrica que existe dentro do volume 
limitado por esta superfície. A lei de Gauss é uma das quatro Equações de Maxwell, 
juntamente com a lei de Gauss do magnetismo, a lei da indução de Faraday e a lei de Ampère-
Maxwell e foi elaborada por Carl Friedrich Gauss em 1835, porém só foi publicada após 
1867. Gauss foi um importante matemático alemão que fez descobertas em teoria dos 
números, geometria e probabilidade, tendo também contribuições em astronomia e na 
medição do tamanho e formato da Terra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 3	
2. TEOREMA DE GAUSS 
A lei de Gauss é uma das equações de Maxwell, que escreveu as equações 
fundamentais de eletromagnetismo. Em eletrostática, a lei de Gauss e a lei de Coulomb são 
equivalentes. Os campos elétricos decorrentes de algumas distribuições de carga simétrica, 
como uma concha esférica uniformemente carregada ou linha infinita uniformemente 
carregada, pode ser facilmente calculado usando a lei de Gauss. 
 Uma superfície fechada similar ao da superfície de uma bola de sabão é aquela que 
divide o universo em duas regiões distintas, a região delimitada pela superfície e a região da 
superfície lateral saída. A Figura 1 mostra uma superfície fechada de forma arbitrária que 
encerram um dipolo. O número de linhas de campo eléctrico que começam na carga positiva e 
penetra a superfície a partir do interior depende de onde a superfície é desenhada, mas 
qualquer linha de penetrar na superfície do interior também penetra a partir do exterior. Para 
contar o número resultante de linhas fora de qualquer superfície fechada, contar qualquer 
penetração do interior como, e qualquer penetração de fora como . Assim, para a superfície 
mostrado (Figura 1), o número de linhas de resultante para fora da superfície é zero. Para 
superfícies que encerram outros tipos de distribuição de cargas, tais como o mostrado na 
Figura 2, o número de linhas resultante para fora de qualquer superfície que envolve as cargas 
é proporcional à carga resultante delimitada pela superfície. Esta regra é uma declaração da 
lei ou teorema de Gauss. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2: Uma superfície de forma arbitrária 
envolvendo as cargas +"# e −# . Tanto as 
linhas de campo que terminam em −# não 
passam através da superfície ou que penetram 
a partir do interior o mesmo número de vezes 
mais de fora. O número de resultante que saia, 
a mesma que para uma única carga de +#, é 
igual à carga total abrangida pela superfície. 
 
Fig. 1:	 Uma superfície de forma arbitrária 
encerrando um dipolo elétrico. Enquanto 
a superfície abrange ambas as cargas, o 
número de linhas que penetram na 
superfície do lado de dentro é exatamente 
igual ao número de linhas que penetram 
na superfície do lado de fora, não importa 
onde a superfície é desenhada. 
 
	 4	
3. FLUXO DO CAMPO ELÉTRICO 
“A quantidade matemática que corresponde ao 
número de linhas de campo que penetram uma superfície é 
chamado de fluxo eléctrico %.” (Tipler & Mosca, 2012) 
 
 
 
 
Para obter uma superfície perpendicular à & (Fig. 3), o fluxo eléctrico é o produto dos 
módulos de campo E e área A: 
 
% = &( 
 
 
A unidade de fluxo do campo elétrico é ) ∙ +,/.. 
 
“Porque & é proporcional ao número de linhas do campo por unidade de área, o 
fluxo é proporcional ao número de linhas do campo, que penetram a superfície.” (Tipler & 
Mosca, 2012) 
 
 
 
 
 
Fig. 3: Linhas de campo eléctrico 
de um campo uniforme penetração 
de uma superfície de área A que é 
orientada perpendicular ao campo. 
O produto /0 é o fluxo eléctrico 
através da superfície. 
[1.0]	
	 5	
Na Figura 4, a superfície da área (, não é 
perpendicular ao campo &. No entanto, o número de linhas 
que penetram a superfície da área (, é o mesmo que o 
número que penetra na superfície da área (1 que é normal 
(perpendicular) à &. Estas áreas são relacionadas por: 
 
(, cos 5 = (1 
 
 
 
 
5 é o ângulo entre & e o vector unidade que é normal à superfície (, , como 
apresentado na figura 4. O fluxo eléctrico através de uma superfície é definido como sendo: 
 
% = & ∙ 6( = &( cos 5 = &7( 
 
Onde: &7 = & ∙ 6 é a componente de & normal à superfície. 
 
 
 
 
 
 
[1.1]	
Fig. 4: Linhas de campo elétrico de um 
campo elétrico uniforme que é 
perpendicular à superfície da área 08 , mas 
faz um ângulo 9 com o vector de unidade 
:; que é normal à superfície de área 0" . 
Em que /<<⃗ não é perpendicular à 
superfície, o fluxo é /:0 , onde /: =
/ >?@ 9 é a componente de /<<⃗ que é 
perpendicular à superfície. O fluxo 
através da superfície da área 0" é o 
mesmo que através da superfície da área 
0" . 
[1.2]	
	 6	
 A figura 5 mostra uma superfície curva sobre a qual & 
pode variar. Se a área ∆(B do elemento de superfície que se 
escolhe é suficientemente pequeno, que pode ser modelado 
como um plano, e a variação do campo eléctrico através do 
elemento pode ser negligenciado. 
 
 
 
 
O fluxo do campo eléctrico através deste elemento é dado por: 
 
∆%B = &7B	∆(B = &B ∙ 6B	∆(B 
 
Onde 6B é o vector de unidade perpendicular ao elemento de superfície. &B 
é o campo eléctrico sobre o elemento de superfície. Se a superfície for curva, os vectores 
unitários para os diferentes elementos de superfície pequenas terão diferentes direções. O 
fluxo total através da superfície, é a soma de ∆%B sobre todos os elementos que constituem a 
superfície. No limite, como o número de elementos se aproxima do infinito e a área de cada 
elemento aproxima-se à zero, este valor torna-se um integral. 
 
 
 
 
 
Fig. 5: Se /: varia de lugar para lugar 
sobre uma superfície, quer porque o 
módulo de /<<⃗ varia ou porque o ângulo 
entre /<<⃗ e :́ varia, a área da superfície é 
dividida em pequenos elementos de área 
∆0E . O fluxo através da superfície é 
calculado pela soma de /<<⃗ E ∙ :;E	∆0E ao 
longo de todos os elementos da área. 
[1.3]	
	 7	
A definição geral de fluxo elétrico é, portanto: 
 
% = lim
∆IJ→L
&BB ∙ 6B	∆(B = &M ∙ 6	N( 
 
Onde o O significa a superfície que está sob integração. O sinal do fluxo depende da 
escolha para a direcção da unidade normal 6. Ao escolher 6 para estar fora de um dos lados 
de uma superfície que está adeterminação do sinal de & ∙ 6, e, portanto, o sinal do fluxo 
através da superfície. 
 
 “Em uma superfície fechada, importa o fluxo elétrico através da superfície e, por 
convenção, sempre escolher a unidade vector 6 para estar fora da superfície em cada ponto. 
A integral sobre uma superfície fechada é indicado por meio do símbolo ∮ .” (Tipler & 
Mosca, 2012) 
O fluxo total ou resultante através de uma superfície fechada O é, por conseguinte, 
escrito 
 
%Q = &M ∙ 6	N( = &7M 	N( 
 
O fluxo de resultante %Q através da superfície fechado é positivo ou negativo, 
dependendo se & está predominantemente para fora ou para dentro na superfície. Em pontos 
na superfície onde & é interior, &7 é negativo. 
 
 
[1.4]	
[1.5]	
	 8	
4. LEI DE GAUSS 
A Figura 6 mostra uma superfície esférica de raio R que tem um ponto 
de carga S no seu centro. O campo eléctrico em toda esta superfície é normal à 
superfície e tem o seu módulo dado por: 
&7 =
TS
R,
 
 
 
O fluxo resultante de & fora desta superfície esférica é dado por: 
 
%Q = &7N(M = &7 N(M 
 
Onde foi retirado o &7 para fora do integral porque é constante em toda a superfície. O 
integral de N( através da superfície é apenas a área total da superfície, o que para uma esfera 
de raio R é 4VR,. Utilizando este e substituindo WS/R, para &7, obtêm-se 
 
%Q =
WS
R,
4VR, = 4VWS =
S
XL
 
 
O fluxo resultante para o exterior através de qualquer superfície fechada é igual à 
carga resultante no interior da superfície dividido por YL: 
 
%Q = &
M
∙ 6	N( = &7
M
	N( =
SB7Z[\B]\
YL
 
 
[2.0]	
Fig. 6: A superfície esférica 
que encerra um Q. carga 
pontual O fluxo resultante é 
facilmente calculado por uma 
superfície esférica. /: 
multiplicado pela área da 
superfície, ou /:^_`". 
[2.1]	
[2.2]	
[2.3]	
	 9	
“Esta é a lei de Gauss. Isto reflete o facto de o campo eléctrico devido a uma carga 
pontual única varia inversamente com o quadrado da distância a partir da carga. Foi esta 
propriedade do campo eléctrico que tornou possível desenhar um número fixo de linhas de 
campo eléctrico de uma carga e tem a densidade de linhas de ser proporcional à força do 
campo. A lei de Gauss é válida para todas as superfícies e todas as distribuições de carga. 
Para contribuições de descarga que possuem um alto grau de simetria, que pode ser usada 
para calcular o campo eléctrico. Para distribuições carga estática, a lei de Gauss e a lei de 
Coulomb são equivalentes. No entanto, a lei de Gauss é mais geral na medida em que é 
sempre válida enquanto que a validade da lei de Coulomb é restrita a distribuição de cargas 
estáticas.” (Tipler & Mosca, 2012) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	 10	
5. EXERCÍCIO 3 
Uma esfera não condutora de raio R, tem densidade volumétrica de carga dada por a = b
Qc
 , 
onde . é uma constante, e d é a distancia do centro a qualquer ponto. Determine: 
a) O fluxo total do campo elétrico através da superfície da esfera. 
b) A distribuição do campo elétrico no interior e no exterior da esfera. 
c) A energia potencial elétrica armazenada no interior da esfera. 
 
Solução 
Tendo em conta a densidade volumétrica dada, a equação do fluxo total e superfície da 
esfera que é dada por: O = 4Vd,. Tem-se: 
 
Para d < R 
&O =
1
XXL
gNO
\
L
		⟹ 		& ∙ 4Vd, =
1
XXL
.
d,
\
L
∙ N4Vd, 
& ∙ 4Vd, =
.
XXL
di,
\
L
∙ 4V ∙ dNd		 ⟹ 		& ∙ 4Vd, =
.
XXL
∙ 4V ∙
1
d,
∙
d,
2
	
d
0
 
&d, =
.
XXL
∙
1
d
− 0 	⟹ 		& =
.
XXL
∙
1
dl
 
 
 Para d = R 
& =
.
XXL
∙
1
Rl
 
 
Para d < R 
	&O =
1
XXL
.
d,
Q
L
∙ N4Vd, 		⟹ 	& ∙ 4Vd, =
.
XXL
1
d,
Q
L
∙ 4V ∙ dNd			 
& ∙ d, =
.
XXL
∙
1
d,
∙
d,
2
	
R
0
		⟹ 		& ∙ d, =
.
XXL
∙
1
R,
∙
R,
R
− 0 
& =
.
XXL
∙
1
Rd,
 
	 11	
6. CONCLUSÃO 
Com o presente trabalho concluiu-se que a lei de Gauss estabelece uma relação entre o 
fluxo de campo elétrico através de uma superfície fechada e as cargas que estão no interior 
dessa superfície. Algumas considerações importantes sobre a de lei de Gauss são: 
• A lei de Gauss não contém nenhuma informação que não esteja contida na lei de 
Coulomb e no princípio da superposição. Inclusive, é possível obter a lei de Coulomb 
a partir da lei de Gauss e vice-versa. 
• É fundamental para a lei de Gauss, o fato de que a força elétrica é proporcional ao 
inverso do quadrado da distância. É esse fato que faz com que o fluxo de E não 
dependa da "superfície gaussiana" escolhida e dependa apenas das cargas que estão 
localizadas no interior da superfície. Dessa forma, é possível pensar numa lei de Gauss 
que estabeleça uma relação de fluxo para qualquer campo cuja lei de força associada a 
esse campo seja proporcional ao inverso do quadrado da distância, como a força 
gravitacional, por exemplo, logo existe uma lei de Gauss da gravitação. 
• Apesar da lei de Coulomb fornecer o necessário para calcular o campo elétrico de uma 
distribuição de cargas, muitas vezes, as integrais que envolvem o cálculo do campo 
elétrico podem ser complicadas de serem resolvidas, mesmo para casos razoavelmente 
simples. É nesse ponto que reside um dos aspectos de maior eficiência da lei de 
Gauss: o cálculo do campo elétrico em distribuições de carga que possuam 
determinados tipos de simetria torna-se extremamente simples. 
• A lei de Gauss se refere sempre ao fluxo no interior de uma superfície gaussiana 
escolhida. Portanto, para utilizar a lei de Gauss, é necessário definir o que é uma 
"superfície gaussiana". Esta é, por sua vez, uma superfície arbitrariamente escolhida. 
Normalmente, essa superfície é escolhida de modo que a simetria da distribuição de 
carga permita, ao menos em parte da superfície, um campo elétrico de intensidade 
constante. 
	 12	
7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Tipler, Paul; MOSCA, Gene. (2012). Física Para Cientistas E Engenheiros: Com Física 
Moderna. 6ª Edição. E.U.A. W. H. Freeman and Company 
 
Walker, Jearl; Halliday, David; Resnick, Robert. (2014). Fundamentos De Física. 10ª Edição. 
E.U.A. John Wiley & Sons Inc 
 
Young, Hugh D.; Freedman, Roger A.; Ford, Lewis A. (2012). Sears and Zemansky’s Física 
de Universidade: Com Física Moderna. 13ª Edição. E.U.A. Pearson Education Inc