7 Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência Parte 1

Prévia do material em texto

CCE0159- Eletromagnetismo
Aula 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1/3
Lei de Gauss
Do que trata a lei de Gauss?
• Outra forma de calcular campos elétricos, tornando o cálculo do campo
bastante simples.
• É aplicada quando se tem alta simetria, só tendo utilidade prática nesses casos.
• É válida quando há movimento de cargas, ou seja, há fluxo elétricos.
• Faz parte das 4 equações de Maxwell.
Eletromagnetismo
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Tema: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência
Inicialmente, a casca não tem uma carga total (líquida) sobre sua
superfície.
Uma carga +𝑄 é fixada em determinado ponto, e, após, uma casca
condutora esférica concêntrica é inserida em torno dela.
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Fluxo Elétrico
Eletromagnetismo
A Experiência de Faraday
+𝑸
𝜳
Depois de carregada, a casca terá a seguinte forma:
Aterrando a casca esférica, uma carga de mesmo valor e de sinal
oposto é detectada na superfície da casca.
O surgimento dessa carga –Q sobre a casca condutora pode ser
justificado como o resultado de um fluxo 𝜳 transitório de cargas
negativas da terra, através do interruptor, para a casca.
Esse fluxo é chamado de fluxo de deslocamento, ou seja, fluxo
devido o movimento de cargas, sendo simbolizado por D (densidade
de fluxo elétrico).
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Fluxo Elétrico
Eletromagnetismo
O fluxo elétrico ψ, começa numa região
positiva e termina numa carga negativa,
supondo-se cargas iguais em módulo.
Quando não houver carga negativa, o fluxo
termina no infinito e forma-se envolta da
carga um campo denso de linhas de fluxo.
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Fluxo Elétrico
Eletromagnetismo
Esse campo forma uma superfície
imaginária, chamada de superfície
gaussiana, dando origem à chamada lei de
Gauss.
superfície gaussiana
-q
2q
Sejam duas cargas elétricas: +2q e -q
Na superfície de Gauss que envolve as duas cargas, cruza um número
líquido de linhas de força que é proporcional à carga líquida em seu
interior.
Carga Líquida de uma Região
Observe que as linhas que saem da superfície não entram de volta.
𝑪𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒍í𝒒.= 𝟐𝒒 + −𝒒 = 𝟐𝒒 − 𝒒 = 𝒒 (𝑪).
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Fluxo Elétrico
Eletromagnetismo
Por definição (lei de Gauss), 1,0 C de carga elétrica em movimento cria um fluxo de 1C.
A soma de várias cargas em movimento geram um fluxo elétrico (ψ) (que é um campo escalar), definindo a
densidade de fluxo elétrico (D) (que é um campo vetorial).
ψ = Q (C) ⟹
Para o exemplo da figura: 
Exemplo 
ψ = Q total ψ = Q = 30 + 150 – 70 = 110 nC
Solução:
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Fluxo Elétrico
Eletromagnetismo
Carga Líquida de uma Região (Cont.)
Num dipolo elétrico, o fluxo através de uma superfície
fechada, com um dipolo no seu interior, é nulo.
ψ = Q total ψ = Q + (-Q)= 0
Uma superfície S engloba as cargas pontuais Q1 = 30 nC, Q2 = 150 nC e Q3 = -70 nC. Qual é o fluxo total através de S?
A carga total presente em determinado volume pode ser calculada por integração, usando a definição densidade de
carga volumétrica (𝜌) :
→ 𝑄 = න
𝑣
𝜌𝑣 . 𝑑𝑣 (𝐶)𝑑𝑄 = 𝜌𝑣 . 𝑑𝑣 (𝐶) → න𝑑𝑄 = න𝜌𝑣 . 𝑑𝑣 (𝐶) →
OBS: Tratando-se densidades de carga superficial e linear, teremos:
𝑄 = න
𝑠
𝜌𝑠. 𝑑𝑠 (𝐶)
𝑄 = න
𝑙
𝜌𝑙 . 𝑑𝑙 (𝐶)
(𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑎)
(𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎)
(𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠)
• 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒂 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂:
• 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒂 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂:
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Fluxo Elétrico
Eletromagnetismo
Carga Líquida de uma Região (Cont.)
• 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒂 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂:
𝜌𝑣 =
𝑑𝑄
𝑑𝑣
Τ𝐶 𝑚2
Exemplo 
Qual é o fluxo total que atravessa a superfície fechada S, conforme a figura, que
contém uma distribuição de cargas sob forma de um disco de raio 4m?
Dado densidade superficial de carga:
ψ = Q 
ψ = Q = 0 (C) 
Solução:
= න
0
2𝜋
න
0
4 𝑠𝑒𝑛∅
2𝑟
𝑟𝑑𝑟𝑑∅
Ψ = 𝑄 =
1
2
න
0
4
𝑑𝑟න
0
2𝜋
𝑠𝑒𝑛∅𝑑∅ Ψ = 𝑄 =
1
2
. 𝑟
4
0
−cos∅
2𝜋
0
Ψ = 𝑄 =
1
2
. 4 − 0 . [(−𝑐𝑜𝑠2𝜋 − (−cos0)] Ψ = 𝑄 = 2. (−1 + 1)
Ψ = 𝑄 = න
𝑠
𝜌𝑠. 𝑑𝑆 (𝐶)
𝜌𝑆 =
𝑠𝑒𝑛∅
2𝑟
𝐶/𝑚2
=
1
2
න
0
2𝜋
න
0
4
𝑠𝑒𝑛∅𝑑𝑟𝑑∅
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Fluxo Elétrico
Eletromagnetismo
Dado área do cilindro: 𝑑𝑆 = 𝑟𝑑𝑟𝑑
O Vetor Densidade de Fluxo Elétrico (D)
A densidade de fluxo elétrico, D, é um campo vetorial, com direção e sentido determinado pelas linhas de fluxo.
P
a
dS
D
Considere um elemento diferencial de área 𝑑𝑆, sob um
fluxo elétrico (figura).
𝐷 =
𝑑Ψ
𝑑𝑆
a 𝐶/𝑚2
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Fluxo Elétrico
Eletromagnetismo
Se na vizinhança do ponto P as linhas de fluxo apresentam a 
direção e sentido do versor a, então D em P será:
➢ Considerando uma carga pontual, a superfície gaussiana
formada tem simetria como uma esfera de raio “a”.
𝐷 =
𝑄
4. 𝜋. 𝑎2
Ԧ𝑎𝑟
O Vetor Densidade de Fluxo Elétrico (D)
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Fluxo Elétrico
Eletromagnetismo
𝐸 =
𝑄
4. 𝜋. 𝜖0.𝑎2
Ԧ𝑎𝑟
A relação entre Densidade de Fluxo
Elétrico (D) e Campo Elétrico (E)”
𝐷 =
𝑄
4. 𝜋. 𝑎2
Ԧ𝑎𝑟
𝑫 = 𝝐𝟎. 𝑬
Sendo Ψ = 𝑄 e área de uma esfera igual a 4𝜋𝑟2, então:
𝐷 =
𝑑Ψ
𝑑𝑆
a 𝐶/𝑚2
Considerando a casca esférica carregada, a região de
densidade de fluxo estará entre as superfícies da
região entre as cascas.
𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 ≤ 𝑟 ≤ 𝑏:
𝐷 =
𝑄
4. 𝜋. 𝑟2
Ԧ𝑎𝑟 ( ൗ
𝐶
𝑚2)
𝐷 =
𝑄
4. 𝜋. 𝑎2
Ԧ𝑎𝑟 ൗ
𝐶
𝑚2
(𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎)
𝐷 =
𝑄
4. 𝜋. 𝑏2
Ԧ𝑎𝑟 ൗ
𝐶
𝑚2 (𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎)
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Fluxo Elétrico
Eletromagnetismo
Exemplo:
Exemplo 
Uma carga pontual Q = 30 nC está localizada na origem de um sistema de
coordenadas cartesianas. Calcule a densidade do fluxo elétrico D em (1, 3, - 4) m.
Solução:
𝑅 = 1 − 0 𝑎𝑥 + 3 − 0 𝑎𝑦 + −4 − 0 𝑎𝑧
𝑅 = 𝑎𝑥 + 3𝑎𝑦 − 4𝑎𝑧
𝑅 = 12 + 32 + (−4)2= 26
𝐷 =
30 × 10−9
4𝜋( 26)2
𝑎𝑥 + 3𝑎𝑦 − 4𝑎𝑧
26
D = 91,8 (𝒂𝒙 + 𝟑𝒂𝒚 − 𝟒𝒂𝒛) (p C/m2)
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Fluxo Elétrico
Eletromagnetismo
𝒅𝑺
D faz um ângulo Ѳ com a normal sobre o elemento de área dS. Então o fluxo
diferencial que atravessará dS será escrito como:
𝑑Ψ = 𝐷 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑆 = 𝐷 𝑑𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜃
O versos a𝑛 é dirigido para fora de S, de modo que dψ corresponde ao fluxo
elementar passando do interior para o exterior de S através de dS.
Seja uma distribuição volumétrica de cargas de densidade ρ (C/m3), limitada pela superfície fechada S.
Lei de Gauss
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Lei de Gauss
Onde dS é o elemento vetorial diferencial de área, de módulo dS e direção a𝑛.
Eletromagnetismo
𝐷 =
𝑑Ψ
𝑑𝑆
a 𝐶/𝑚2
Essa expressão dá origem a Lei de Gauss.
𝑑Ψ = 𝐃. 𝑑𝑆𝒂𝑛 = 𝐃. 𝐝𝐒
𝑑Ψ = 𝐷 𝑑𝑆 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐃. 𝑑𝑆𝒂𝑛 = 𝐃. 𝑑𝐒
Expressão esta que corresponde à lei de Gauss, que estabelece ser o fluxo total
que sai de uma superfície fechada é igual a carga envolvida pela mesma.
ර𝐃. 𝑑𝐒 = 𝑄𝑒𝑛𝑣.
A lei de Gauss, pode estabelecida em função do campo elétrico:
ර 𝐄. 𝑑𝐒 =
𝑄𝑒𝑛𝑣
𝜖0
𝑑Ψ = 𝑫. 𝑑𝑺 ර𝑑Ψ = ර𝐃. 𝑑𝐒→ →
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Lei de Gauss
Ψ = ර𝐃. 𝑑𝐒
Ψ = 𝑄𝑖𝑛𝑡
Eletromagnetismo
⟹
𝑼𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒐 𝒇𝒍𝒖𝒙𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐 𝒆𝒍é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒐:
𝑁.𝑚2
𝐶
ර𝐃. 𝑑𝐒 = 𝑄𝑒𝑛𝑣. ර𝝐𝟎. 𝑬. 𝑑𝐒 = 𝑄𝑒𝑛𝑣.⟹
Exemplo
Uma superfície fechada S contém duas cargas, iguais em módulo e
de sinais contrários. Há fluxo ψ atravessando S?
Resposta: Não.
Embora como indica a figura, haja fluxoatravessando S, o fluxo
total é nulo, pois as cargas são de mesmo módulo e têm sinais
contrários. Logo, pela Lei de Gauss a carga envolvida é igual a zero.
A lei de Gauss justifica que a carga líquida total encerrada numa
região fechada é igual a soma das cargas individuais.
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Eletromagnetismo
Fluxo Elétrico
1 - Um campo elétrico varia no espaço(vácuo) com a seguinte forma: 𝐸 = 400𝑦𝑎𝑛 (
𝑁
𝐶.𝑚
).
Qual é o fluxo do campo elétrico na superfície quadrada indicada na figura ao lado?
Exercício Resolvido para estudo
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Fluxo Elétrico
Eletromagnetismo
Sugestão: consultar em leitura obrigatória deste
capítulo: Conceito de Fluxo do Campo Elétrico,
para melhor compreensão deste problema.
Ψ = ර
𝑠
𝜖0𝐄. 𝑑𝑺 = 𝑸𝒆𝒏𝒗
𝐸 = 400𝑦𝑎𝑛(
𝑁
𝐶.𝑚
)
𝑑𝑆 = 𝐿𝑑𝑦
Ψ = ර
𝑠
400𝑦𝑎𝑛. 𝐿𝑑𝑦 = ර
0
𝐿
400𝑦. 𝐿𝑑𝑦𝑎𝑛 =400𝐿𝑎𝑛ර
0
𝐿
𝑦. 𝑑𝑦
Ψ = 400𝐿𝑎𝑛
𝑦2
2
= 400𝐿(
𝐿2
2
−
02
2
)𝑎𝑛 = 400
𝐿3
2
𝑎𝑛
𝐿
0
Ψ = 400
𝑁
𝐶.𝑚
(3𝑚)3
2
𝑎𝑛 Ψ = 5,4× 10
3𝑎𝑛 (
𝑁
𝐶
𝑚2)Sendo L = 3, vem que:
Solução:
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Fluxo Elétrico
∴
Eletromagnetismo
Ψ = ර
𝑠
𝐄. 𝑑𝑺 =
𝑸𝒆𝒏𝒗
𝜖0
Equação do Fluxo do Campo Elétrico
𝐄 𝑑𝑺
2 - Calcule o fluxo elétrico que atravessa uma área de 1mm2, localizada
sobre uma superfície lateral cilíndrica, em r = 10 m, z = 2m e φ = 53,2 se
D = 2xax + 2(1-y)ay + 4zaz.
Solução:
No ponto P, transformando de c. cilíndrica para coordenada
cartesiana:
x = 10 cos 53,2° = 6
y = 10 sen 53,2° = 8
Cálculo do versor:
│r│= 10
ar = (6ax + 8ay )/10
Subst. x, y e z, (6, 8, 2) em D:
D = 2.6ax + 2(1-8) ay + 4.2az
D = 12ax - 14 ay + 8az (C/m2)
dS aponta na mesma direção de ar
𝑆 = 1𝑚𝑚2 = 10−6m
Há um produto escalar entre D e S.
𝜓 = 𝑄𝑒𝑛𝑣 = 𝐷. 𝑆. a𝑟 = 12ax − 14 ay + 8az . [10−6.(6ax + 8ay)/10]C
𝝍 = [ 12 . 0,6 + −14 . 0,8 + 8 . 0]10−6 = −𝟒𝝁𝑪
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Fluxo Elétrico
Eletromagnetismo
𝑑Ψ = 𝐷 𝑑𝑆 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐃. 𝑑𝑆𝒂𝑛 = 𝐃.𝑑𝐒
⇒ 𝜓 = 𝑄𝑒𝑛𝑣 = 𝐷. 𝑆ar
O fluxo foi definido numa área de 1𝑚𝑚2
Determinação de D (cálculo de x, y e z):
⟹ (6, 8, 2)
Exercício Resolvido para estudo
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Eletromagnetismo
CONCEITO DE FLUXO (𝜱 𝒐𝒖 𝚿)
Fluxo é uma propriedade de qualquer campo vetorial.
Suponhamos que exista uma corrente de ar de velocidade constante e
modulo 𝑣 fluindo em direção a uma janela aberta de área A.
Pode-se definir uma vazão de ar, isto é, a taxa pela qual o ar escoa pelo
plano da janela.
Essa taxa vai depender do angulo entre o vetor 𝒗 e o plano da janela (fig. a).
(a) Uma corrente uniforme de ar
de velocidade 𝑣 é perpendicular ao
plano da janela de área A.
Quando 𝒗 é perpendicular ao plano, a taxa é igual a 𝑣. 𝐴, que é um
produto vetorial; se for paralelo, a taxa é e nula. Para ângulos
intermediários, a taxa 𝜱 depende da componente de 𝒗 que é
perpendicular ao plano, ou seja
𝜱 = 𝒗 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝑨 = 𝒗. 𝑨
Esta equação nos dá o fluxo do campo de velocidades através da janela. Note
que trata-se de um produto vetorial.
(b) A componente de 𝑣
perpendicular ao plano da janela é
𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃, onde 𝜃 é o ângulo entre 𝑣
e a normal do plano.
(c) O vetor área A é perpendicular
ao plano da janela e faz um
ângulo com 𝑣.
(d) O campo de velocidade
interceptado pela área da janela
LEITURA OBRIGATÓRIA
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Eletromagnetismo
FLUXO DO CAMPO ELÉTRICO
Consideremos a Figura ao lado, que mostra uma superfície gaussiana
arbitrária (assimétrica) imersa num campo elétrico não-uniforme.
Dividimos a superfície em pequenos quadrados de área A, pequenos o
suficiente para desprezar qualquer curvatura.
Cada elemento de área pode ser representado por um respectivo vetor
área ∆𝐴. Como estes elementos de área são suficientemente pequenos,
podemos considerar o campo elétrico constante através deles. Os vetores
∆𝐴 e 𝐸 para cada quadrado fazem entre si um ângulo 𝜃 .
O fluxo do campo elétrico total que atravessa a superfície gaussiana pode
ser escrito como
O fluxo do campo elétrico é um escalar e sua unidade SI é 𝑁.𝑚
2
𝐶
LEITURA OBRIGATÓRIA
AULA 7: Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência– Parte 1
Eletromagnetismo
FLUXO DO CAMPO ELÉTRICO E A LEI DE GAUSS
Ψ = ර
𝑠
𝐄. 𝑑𝑺 =
𝑸𝒆𝒏𝒗
𝜖0
Chamaremos a área A de S.
Para carga em movimento (lei de Gauss) (𝛹 = 𝑄𝑒𝑛𝑣).
Então, o fluxo do campo elétrico é: 
ර𝐃. 𝑑𝐒 = 𝑄𝑒𝑛𝑣.Lei de Gauss:
𝐷 = 𝜖0
LEITURA OBRIGATÓRIA
e como:
Assuntos da próxima aula:
Continuação da Aula 6: Lei de Gauss