Cap 4 Eletromag

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Energia e Potencial
Prof Thiago Coelho
1
Introdução
 Objetivos
 Apresentar o conceito de potencial
 Interpretação física mais real e mais familiar
 Desenvolver um terceiro método para determinar 
campo elétrico
 Integral escalar simples seguida de diferenciação
2
Energia e Potencial
 Carga pontual em movimento num campo elétrico
 Temos que
 Definindo como um vetor unitário na direção do movimento 
 A força que deve ser aplicada é igual e contrária, isto é,
 O trabalho a ser produzido é
x
y
x1 x2
+Q
L
EQFE


La

Ld

LLEEL aEQaFF


LELapl aEQFF


dLaEQdLFdW Lapl


LdEQdW


3
ELFapl
F
E

EF

La

Integral de Linha
 Em notação de análise vetorial, a integral de linha assume a
forma de integral ao longo de um caminho prescrito do
produto escalar entre o campo vetorial e o vetor
comprimento diferencial
 Para um campo uniforme
onde é o vetor dirigido do ponto inicial B ao ponto final A
 Trabalho não depende do caminho escolhido, mas dos
pontos inicial e final
 Mesmo princípio é válido para qualquer campo elétrico não-
uniforme.
BA
A
B
A
B
LEQLdEQLdEQW

 
Ld

BAL

4
Integral de Linha
 O trabalho independe do caminho tomado.
 Vetor comprimento diferencial
 Coordenadas cartesianas
 Coordenadas cilíndricas
 Coordenadas esféricas
zyx adzadyadxLd


zadzadadLd

     adrardadrLd r  sen
5
Integral de Linha
 Trabalho em torno de uma linha de cargas
 Trabalho realizado ao deslocar uma carga +Q em um
caminho circular de raio  centrado na linha
 Qualquer caminho adotado o resultado é sempre nulo 
 Temos um campo conservativo e a integral de linha num 
percurso fechado sempre resulta em zero
 O campo elétrico gerado por cargas é conservativo
 

aaEE L

02

 adLd


 

 
2
0 0
0
2
daaQLdEQW L
F
I

6
Integral de Linha
 Sinal do trabalho calculado:
 Se positivo: a força externa realiza trabalho para
o deslocamento da carga
 Se negativo: não há necessidade da força externa
na realização do trabalho, o próprio sistema
aplica a força necessária no deslocamento da
carga.
7
Integral de Linha
 Trabalho em torno de uma linha de cargas
 Trabalho realizado ao deslocar uma carga +Q de =a até 
=b ao longo do caminho radial sendo a > b adLd


 
b
a
L
F
I
daaQLdEQW 



02a
bQ
W L ln
2 0


8
Potencial e diferença de potencial
 Trabalho
 Diferença de potencial
 Trabalho realizado por uma fonte externa ao deslocar 
uma carga unitária de um ponto a outro em um campo 
elétrico
 
final
início
LdEQW

coulomb
joule
coulomb
metronewton
 volt 

 
final
início
LdE
Q
W
V

Conhecido no SI como volt (V)
9
Potencial e diferença de potencial
 Diferença de potencial entre A e B
 É o trabalho realizado para levar uma unidade de carga de B até A
 Geralmente o ponto inicial B está no infinito ou na terra (importante na 
definição de potencial em um ponto)
 Para uma carga pontual na origem e deslocamento radial de rB para rA
 Para uma linha infinita e um deslocamento radial de b para a
 
A
B
AB LdEV







 
BA
r
r
r
r
rr
A
B
AB
rr
Q
dr
r
Q
adra
r
Q
LdEV
A
B
A
B
11
444 0
2
0
2
0 

radrLd

 a
b
a
bQ
QQ
W
V LLAB ln
2
ln
2
1
00 




10
Potencial e diferença de potencial
 Potencial (absoluto) de um ponto
 Escolhemos um ponto onde convencionamos ter potencial 
zero
 Desta forma, podemos medir um potencial absoluto entre 
outros pontos
 E4.4)
 VMN para M(2,6,-1) e N(-3,-3,2)
 VM para V=0 em Q(4,-2,-35)
 VN para V=2 em P(1,2,-4)
BAAB VVV  mVaayaxE zyx / 466
2  
11
Campo potencial de uma carga 
pontual
 Diferença de potencial entre dois pontos em um campo de uma 
carga pontual 
 Depende somente da distância de cada ponto à carga
 Não depende do caminho particular usado para deslocar a carga de um 
ponto a outro
 Deslocando B para o infinito
  
A
B
r
r
rr
A
B
AB adrardadra
r
Q
LdEV  

sen
4 20






 
BA
r
r
AB
rr
Q
dr
r
Q
V
A
B
11
44 0
2
0 
AA
A
r
Q
r
Q
V
00 4
11
4 








12
Campo potencial de uma carga 
pontual
 Campo potencial de uma carga pontual 
 Potencial de qualquer ponto distante r de uma carga pontual, tendo 
como referência (V=0) aquele para o raio infinito
 É um campo escalar
 Esferas são superfícies de mesmo potencial (superfícies equipotenciais)
 Generalização
 O potencial segue o princípio da superposição
 Estrutura pode ser decomposta em uma série de cargas pontuais
r
Q
V
04
 
'4 0 rr
Q
rV 




13
Campo potencial de uma carga 
pontual
E4.5) 
Uma carga pontual de 15 nC localiza-se na origem, no espaço 
livre. Calcule V1 se o ponto P1 está posicionado em 
P1(-2, 3, -1) e:
a)V=0 em (6, 5, 4)
b)V=0 no infinito
c)V=5V em (2, 0, 4)
14
Introdução
 Objetivos
 Estender o conceito de campo potencial para distribuição 
de cargas
 Apresentar o conceito de gradiente de potência e um 
novo método para cálculo do campo elétrico
15
Campo potencial de um sistema de 
cargas
 Calcula-se V em um ponto pela soma dos potenciais neste 
ponto provocado por cada carga individual
 Para duas cargas
 Para n cargas
 Se cada carga for representada como um elemento com 
distribuição volumétrica de carga vDv e permitindo o número 
de elementos de carga se tornar infinito
 
20
2
10
1
44 rr
Q
rr
Q
rV 




   
 

n
m m
m
rr
Q
rV
1 04



16
1r

2r

r
 1
rr


2rr

1
Q
2Q  rV

Campo potencial de um sistema de 
cargas
 Distribuição volumétrica de cargas
 Distribuição superficial de cargas
 Distribuição linear de cargas
 
 
 

vol
v
rr
dvr
rV
'4
''
0





 
 
 

área
S
rr
dSr
rV
'4
''
0





 
 
 

linha
L
rr
dLr
rV
'4
''
0





17
Campo potencial de um sistema de 
cargas
 Ex: Determinar potencial no eixo z para uma linha de cargas 
uniforme L em forma de um anel de raio a
 
 
 

linha
L
rr
dLr
rV
'4
''
0





'' addL 
zazr

 aar

'
22' zarr 
  




2
0
22
04
'
za
ad
rV L
 
22
0
2
0
22
0 24
'
za
a
za
a
rV LL










18
Campo potencial de um sistema de 
cargas
E4.6) Se tomarmos o zero de referência para o potencial no 
infinito, calcule o potencial em (0,0,2) causado por essa 
configuração de cargas no espaço livre:
a) 12 nC/m na linha  2,5m, z=0 
b) Carga pontual de 18 nC em (1, 2, -1)
c) 12 nC/m de x=-1 a x=1 m na linha y=2,5m, z=0
19
Gradiente do potencial
 dN lembra que dL é normal às equipotenciais
 O módulo do campo elétrico é dado pela máxima taxa de variação de V e 
sua direção é normal à superfícieequipotencial no sentido decrescente de 
potencial
Na
dN
dV
E


VE 
 














 zyx a
z
V
a
y
V
a
x
V
E















 za
z
V
a
V
a
V
E

 
1
20
Gradiente do potencial
 Exemplo 4.3: Dado o campo potencial V=2x2y – 5z , determine 
no ponto P(-4,3,6):
 Potencial
 Campo elétrico
 Direção do campo elétrico
 Densidade de fluxo elétrico
 Densidade volumétrica de carga
21
Gradiente do potencial
 Ex: Determinar campo elétrico no eixo z para uma linha de 
cargas uniforme L em forma de um anel de raio a
 
22
02 za
a
rV L


















 zyx a
z
V
a
y
V
a
x
V
E

z
L a
az
a
z
E












22
0
1
2

  z
L a
az
az
E

2322
02 



22
Gradiente do potencial
 E4.8: Dado o campo potencial em coordenadas cilíndricas, 
[V] e o ponto P(3 m,60o,2 m), calcule P para:
A) V
B) E
C) E
D) dV/dN
E) an 
F) densidade volumétrica de carga no espaço livre ρv
 cos
1
100
2 

z
V
23
Dipolo e Densidade de Energia
24
Introdução
 Objetivos
 Apresentar o dipolo elétrico e calcular o seu potencial
 Derivar expressões para densidade de energia no campo 
eletrostático
25
Dipolo elétrico
 Configuração de cargas importante para entendimento do 
comportamento do material dielétrico no campo elétrico
 Composta de duas cargas pontuais, iguais e com sinais 
contrários e separadas por uma distância d muito pequena
 Considerando o dipolo na origem (coord. esféricas), temos o 
potencial em um ponto P com
R1 e R2>>d









2102010
11
444 RR
Q
R
Q
R
Q
VP 
21
12
04 RR
RRQ
VP



26
Dipolo elétrico
 Em um ponto distante, R2 – R1=dcos e R1 R2=r
 Campo elétrico distante do dipolo
2
04
cos
r
Qd
VP 


VE 
 













   a
V
r
a
V
r
a
r
V
E r

sen
11






 



a
r
Qd
a
r
Qd
E r

3
0
3
0 4
sen
4
cos2
  aar
Qd
E r

sencos2
4 30

27
Dipolo elétrico
 Considerando uma 
configuração em que
 Superfícies 
equipotenciais para 
dipolo vertical com 
carga positiva em cima
 Em azul, campo 
potencial; em preto, 
campo elétrico
2
0
cos1
4
rV
Qd
P 
28
Momento do dipolo
 Definindo um vetor de –Q para +Q, definimos o momento 
de dipolo como
 Para o dipolo na origem
 Generalizando ϴ
d

dQp

 cosdad r 
 2
0
2
0 44
cos
r
ap
r
Qd
V rP 
  
 
'
'
'4
2
0
rr
rr
rr
p
rV 










dipolo do Centro'
 Ponto


r
Pr


29
'r

r
 'rr


Q
Q  rV

Momento do dipolo
 E4.9: Um dipolo elétrico posicionado na origem no espaço 
livre tem um momento nC.m
a) Calcule V em PA(2, 3, 4) 
b) Calcule V em r=2,5, θ=30o, φ=40o
 zyx aaap

 23
30
Densidade de energia no campo 
eletroestático
 Potencial de uma carga pontual 
 Trabalho realizado para trazer uma carga unitária do infinito 
até uma distância R da carga
 Este trabalho é igual à energia armazenada no campo, pois 
se soltarmos a carga unitária, ela adquirirá energia cinética
 Portanto a energia de um sistema de cargas é a soma dos 
trabalhos realizados pela fonte externa para posicionar as 
cargas
 Em um universo vazio, o trabalho para posicionar a primeira 
carga é zero, para a segunda é W2=Q2V2,1
R
Q
V
04

31
Densidade de energia no campo 
eletroestático
 Generalizando
 Então
 Para uma distribuição volumétrica de cargas
 Recordando a identidade vetorial
 Usando



N
m
mmE VQW
12
1
 dvQ v

vol
vE VdvW 
2
1
     VDDVDV 

vD 

32
Densidade de energia no campo 
eletroestático
 Temos então
 Pelo teorema da divergência
 Temos
       
volvol
E dvVDDVdvDVW

2
1
2
1
   
áreavol
SdDVdvDV

  
volárea
E dvVDSdDVW

2
1
2
1
33
Densidade de energia no campo 
eletroestático
 Para envolver todo o universo, a superfície da primeira integral 
deve ser infinita
 Podemos imaginar uma esfera de raio infinito
 O potencial nesta região deve tender a zero, de modo que a primeira 
integral é nula
   
volvol
E dvEDdvVDW

2
1
2
1
A energia total armazenada é proporcional
à integral em todo o volume do módulo
do campo elétrico ao quadrado
34
Densidade de energia no campo 
eletroestático
 Exemplo: cabo coaxial de comprimento L
 Carga no condutor interno
 

a
a
D SS



a
a
E S

0
    






L b
a
S
E dzdd
a
W
0
2
0
2
0
0
2
1




a
bLa
W SE ln
0
22



SaLQ 2 a
bQa
W SE ln
2 0


35
Densidade de energia no campo 
eletroestático
 Temos que
 Sabemos que a diferença de potencial de =b até =a é
 Finalmente


2
2 LSSL aaLL 
a
ba
a
b
V SLab lnln
2 00 




abE QVW
2
1
 a
b
aV Sab ln0  
Energia armazenada
em um capacitor
36
Densidade de energia
 E4.11: Calcule a energia armazenada no espaço livre para a 
região 2 mm < r < 3 mm, 0 < θ < 90o, 0< φ < 90o
dado o campo de potencial V=:
a) 200/r [V]
b) (300cosθ)/r2 [V]
37
Lista de Exercícios
 4.1, 4.3, 4.4, 4.6, 4.9, 4.11, 4.12, 4.15, 
4.17,4.19 (até a tvc 1)
38