Apostila Prof Dimas

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Teoria das Estruturas/Sistemas Estruturais / José Dimas Rietra 
 
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
 
 
VIGAS CONTÍNUAS 
E 
PÓRTICOS 
 
 
 
 
PROF. JOSÉ DIMAS RIETRA EDIÇÃO 2017 
 
 
 
 
 
 
Escola de Minas (UFOP) 
Escola de Engenharia Kennedy 
Instituto FACEB de Educação 
Universidade de Itaúna 
Faculdades Novos Horizontes 
 
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1 
 
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
 
1- INTRODUÇÃO 
 
O método dos deslocamentos é um método de resolução de estruturas que conta com 
o auxílio do cálculo matricial como ferramenta principal. Nesta parte veremos alguns 
conceitos necessários para uma melhor compreensão deste método. 
 
2- DEFORMAÇÕES E DESLOCAMENTOS 
 
Seja a viga biapoiada AB abaixo, solicitada pela carga concentrada P. 
 
 
 
Quando solicitada pela carga P seu eixo outrora retilíneo, passa a curvilíneo. Pontos 
internos se deslocam para novas posições. Dizemos que a mesma sofreu deformação 
(pequena variação de sua forma). 
 
 
 
 
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3- AÇÕES E DESLOCAMENTOS 
 
Denominamos genericamente de ação, cargas concentradas, cargas distribuídas, 
momentos aplicados e combinações destas. Designaremos as ações pela letra A. 
Basicamente existem dois deslocamentos a saber: translação (deslocamento linear) e 
rotação (deslocamento angular). 
Chamamos translação, a distância percorrida por um ponto em uma estrutura e 
rotação, o ângulo de rotação da tangente á curva elástica no ponto. Designaremos os 
deslocamentos pela letra D. 
Seja a viga em balanço abaixo sujeita ás ações A1 e A2. 
 
 
 
Quando A1 e A2 agirem sobre a viga resultarão os deslocamentos D1 e D2. A ação A1 
(carga concentrada) dá origem a uma translação D1 no ponto em que está aplicada A1 
e no mesmo sentido de A1; a ação A2 (momento aplicado) dá origem a uma rotação 
D2 no ponto em que está aplicada A2 e no mesmo sentido de A2. 
 
“Desta forma podemos concluir que a cada ação corresponderá um deslocamento no 
mesmo ponto de aplicação da ação e no mesmo sentido dela.” 
 
Como vimos a ação carga concentrada gera um deslocamento de translação, já a 
ação momento aplicado irá gerar um deslocamento de rotação. 
 
4- EMPREGO DE SUB-ÍNDICES 
 
Seja a viga em balanço abaixo sujeita as ações A1, A2 e A3: 
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Se apenas a ação A1 atuar na viga, teremos três deslocamentos resultantes. 
 
 
 
Assim o deslocamento corresponde a A1 se denomina D11, o deslocamento 
corresponde a A2 se denomina D21, e o deslocamento corresponde a A3 se denomina 
D31. 
 
“O 1° sub-índice indicará o local do deslocamento e o 2° sub-índice a causa que o 
provocou.” 
 
As figuras que se seguem, mostram a ação única de A2 e A3, atuando 
respectivamente sobre a viga. 
 
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Considerando agora a ação simultânea de A1; A2 e A3 sobre a viga, poderemos obter 
os deslocamentos D1; D2 e D3, através de somas que expressam o princípio da 
superposição dos efeitos: 
D1 = D11 + D12 + D13 
D2 = D21 + D22 + D23 
D3 = D31 + D32 + D33 
O princípio da superposição dos efeitos estabelece: 
 
“Os efeitos produzidos por várias causas podem ser obtidos combinando os efeitos 
devidos ás causas individuais.” 
 
5- GRAU DE INDETERMINAÇÃO CINEMÁTICA 
 
Denomina-se grau de indeterminação cinemática (G.I.C.) de uma estrutura, o número 
de graus de liberdade dos apoios (nós) da estrutura á rotação e á translação. 
 
 
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Seja por exemplo a viga abaixo: 
 
 
 
O apoio A permite translação horizontal e rotação, enquanto que o apoio B não 
permite qualquer deslocamento. Neste caso, o G.I.C. é 2. 
 
Seja o pórtico abaixo: 
 
G.I.C. = 4 (rotações em A, B e C e translação horizontal em A). 
 
6- EQUAÇÃO DE AÇÃO E DESLOCAMENTO 
 
Seja a mola linearmente elástica abaixo, sujeita a ação A: 
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A ação A comprime a mola produzindo um deslocamento D: 
 
 
 
O ponto M sofreu uma translação horizontal. 
Podemos relacionar A e D através da relação: 
 
						� � �	. �			 
 
Onde: 
K = coeficiente de mola ou coeficiente de rigidez = ação necessária para produzir um 
deslocamento unitário. 
 
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7- INCÓGNITAS DO MÉTODO 
No método dos deslocamentos as incógnitas são os deslocamentos nos apoios (nós). 
Quando a estrutura está sujeita a cargas, cada nó (apoio) sofre deslocamentos na 
forma de translações e rotações. Para se resolver uma estrutura pelo método, calcula-
se os deslocamentos desconhecidos e a partir destes, calcula-se suas ações de 
extremidade (forças cortantes e momentos fletores) bem como suas ações reativas 
(reações de apoio). Existem apenas três equações básicas a serem processadas com 
o auxílio do cálculo matricial. 
 
A convenção de sinais a ser utilizada será: 
 
 
8- FATORES DE FORMA 
Chamam-se fatores de forma os momentos que produzem uma rotação unitária no 
engaste da viga engastada, e rotação no outro engaste, se houver. Assim: 
 
Viga monoengastada: 
 
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Viga biengastada 
 
 
 
Onde: 
 
E = módulo de elasticidade do material constituinte da barra (concreto armado E = 
2.100.000 t / m2) 
I = momento de inércia baricêntrico 
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l= comprimento do vão ou barra 
9- EQUAÇÃO BÁSICA DO MÉTODO OS DESLOCAMENTOS 
 
D = K-1 (AD – ADL) 
 
Onde: 
D = deslocamento do apoio ou nó á rotação ou á translação. 
K -1 = rigidez do apoio ou nó á rotação ou á translação. 
AD = ação atuante no apoio ou nó da estrutura dada. 
ADL = ação atuante no apoio ou nó da estrutura fixa. 
 
10- EQUAÇÃO PARA O CÁLCULO DAS AÇÕES DE 
EXTREMIDADE 
(forças cortantes e momentos fletores) 
 
AM = AML + AMD . D 
 
Onde: 
AM = ação de extremidade na estrutura dada. 
AML = ação de extremidade na estrutura fixa, devida ás cargas atuantes. 
AMD = ação de extremidade na estrutura fixa, sujeita a deslocamento unitário. 
 
11- EQUAÇÃO PARA CÁLCULO DAS AÇÕES REATIVAS 
(reações de apoio) 
 
AR = ARL + ARD . D 
 
Onde: 
AR = ação reativa na estrutura dada. 
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ARL = ação reativa na estrutura fixa, devida ás cargas atuantes. 
ARD = ação reativa na estrutura fixa, sujeita a deslocamento unitário. 
12 – CÁLCULO MATRICIAL DE VIGAS CONTÍNUAS 
 
Estruturadada 
 
 
 
Fase inicial (identificação das incógnitas e cálculo de AD). 
 
 
 
D = [ D1 ] D1 = rotação em B 
 
AD = [ AD1] = [ 0 ], não há momento aplicado em B. 
 
 
 
 
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Fase L (estrutura fixa com D1 = 0 e cálculo de AML e ADL ) 
 
 
As ações AML são calculadas utilizando tabela. 
ADL1 = AML2 + AML4 ADL = [ADL1 ] 
 
Fase D (estrutura fixa com D1 = 1 e cálculo de AMD e K ) 
 
 
 
As ações AMD são calculadas utilizando tabela. 
K11 = AMD21 + AMD41 K = [ k11] 
 
Fase final (processando as equações matriciais). 
 
D = K-1 ( AD – ADL ) 
 
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[ D1 ] = [ K11 ]-1 {[ AD1 ] – [ ADL1 ]} 
Como = [ AD1 ] = [ 0 ] vem; 
 
[ D1 ] = - [ K11 ]-1 x [ ADL1 ] 
 
AM = AML + AMD . D 
 
 
 
AR = ARL + ARD . D 
 
Esta última equação matricial do método, na maioria das vezes, não precisa ser 
processada, bastando superpor a estrutura dada com a estrutura da fase inicial. Assim 
teremos: 
 
AR1 = AM1; AR2 = AM3 + AM5 e AR3 = AM6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1- Para a viga contínua abaixo, calcular: 
 
a- O deslocamento D1; 
 
b- As reações verticais nos apoios; 
 
c- Traçar o D.F.C. 
 
 
Considerar 5 (cinco) casas decimais. 
 
 
 
 
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[ D1 ] = [ K11 ]-1 {[ AD1] – [ ADL1]} 
 
ARA ARLA ARDA1 
 
ARB = ARLB + ARDB1 x D1 
 
ARC ARLC ARDC1 
 
 
2- Para a viga continua abaixo, pede-se: 
 
a- A estrutura fixa com D1 = 0 e as ações AML; 
 
b- As matrizes AD e ADL; 
 
c- A estrutura fixa com D1= 1 e as ações AMD e K; 
 
d- O deslocamento D1; 
 
e- As ações AM; 
 
f- Os diagramas. 
 
Considerar 5 (cinco) casas decimais. 
 
D = [ D1 ] D1 = Rotação em B 
 
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3- 
 
 
 
D1 = rotação em B 
Para a viga contínua acima, pede-se: 
a- A estrutura fixa com D1 = 0 e as ações AML correspondentes; 
 
b- As matrizes AD e ADL; 
 
c- A estrutura fixa com D1 = 1 e as ações AMD correspondentes, bem como a 
matriz K; 
 
d- O deslocamento D1 (5 casas decimais). 
 
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4- Para a viga contínua abaixo, pede-se: 
 
 a- A estrutura fixa com D1 = D2 = 0, com as respectivas ações AML e ADL (desenho e 
cálculos); 
 b- As estruturas fixas D1	= 1 e D2 = 0; D2 = 1 e D1 = 0, com as respectivas ações AMD 
e K (desenhos e cálculos); 
 c- A matriz K e sua inversa. 
 
 
 
D1�	rotação	em	B	
D2�	rotação	em	C	
 
5- Resolver a viga contínua abaixo traçando os diagramas	
 
 
 
 
 
D =
 
�D�D�� 
�� � rotação	em	B
�� � rotação	em	C 
 
6-
 
Para a viga contínua abaixo, calcular: 
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a- Os deslocamentos D� e D�: 
b- As reações verticais nos apoios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7- Dada a estrutura abaixo, pede-se: 
a- As estruturas fixas: 
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D1 = D2 = 0 
D1 = 1 e D2 = 0 
D2 = 1 e D1 = 0 
b- As ações AML, AMD, ADL e a matriz de rigidez K 
 
c- As ações AM sabendo-se que: 
D = ������ = ��0,019230,07692 D1 = rotação em B e D2 = rotação em C 
 
Unidades: t e tm (5 casas decimais) 
 
 
8- Para os pórticos abaixo, resolvê-los pelo MD, calculando as Forças Cortantes e Momentos 
Fletores (Ações AM), bem como as Reações de Apoio (Ações AR). 
 
8.1 - 
 
 
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 � �	 !�1" D1 = rotação em 1 
 
8.2- 
Considerar: 
barra 1 { #� � 320#$ � 160 barra 2 {#� � 250#$ � 150 
 
 
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D = &�����'( 
D� � translação	horizontal	em	BD� � translação	vertical	em	B					D' � rotação	em	B																										 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Dada a viga contínua abaixo, pede-se: 
 
a. O desligamento D1 (5 casas decimais); 
b. As reações verticais nos apoios; 
c. O D.F.C. 
 
 
 
!D�" � 	 !K��"2�3!A5�" � !A5��"6 D1 = rotação em B 
&�78�79�7:( � 	 &
�7;8�7;9�7;:( <	&
�7=8��7=9��7=:�( ∗ 	 !��" 
2) Para a viga contínua abaixo, calcular: 
 
a. Os deslocamentos D1 e D2: 
b. As reações verticais nos apoios. 
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�D�D�� � 	 �K�� K��K�� K���
2� ?�A5�A5�� �	 �A5@�A5@��A 
&ABCABDABE( � &
AB@CAB@DAB@E( <	&
AB5C� AB5C�AB5D� AB5D�AB5E� AB5E�( ∗ 	 �
D1D2� 
 
 
 
 
3) Para a viga contínua abaixo, pede-se: 
 
a. A estrutura fixa com D1 �	D� � 0 e as ações AML respectivas; 
b. As estruturas fixas c om D1� 	1	e	D� � 0; D2=1 e D1=0 e as ações AMD 
respectivas (5 casas decimais); 
c. As matrizes AD; ADL e K; 
d. Os deslocamentos D1 e D2 (5 casas decimais). 
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� �	 ������ D� � rotação	em	BD� � rotação	em	C 
4) Para a viga contínua abaixo, pede-se: 
 
a. A estrutura fixa com D1 �	D� � 0 e as ações AML respectivas; 
b. As estruturas fixas com D1 � 	1		e	D� � 0; D2=1 e D1=0 e as ações AMD 
respectivas (5 casas decimais); 
c. As ações AM conhecido: 
(5 casas decimais) 
� � 	 � 0,00291�0,01022 
d. O esboço do D.M.F. 
 
 
D �	 �D�D�� D� � rotação	em	BD� � rotação	em	C 
5) Para a estrutura abaixo, pede-se: 
 
a. A estrutura fixa com D1� 0 e as ações AML respectivas (desenho e cálculos); 
b. As matrizes AD e ADL; 
c. A estrutura fixa com D1� 1 e as ações AMD e K ( desenho e cálculos); 
d. O deslocamento D1; 
EI = 40 
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6) Para a estrutura abaixo, pede-se: 
 
a. A estrutura fixa com D1� 1	e	D� � 0; 
b. As ações AMD e K para D1 = 1 e D2 = 0. 
 
 
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24D1 = rotação em B 
D2 = rotação em C 
 
 
 
 
 VALORES 
AUXILIARES 
BARRA 
4EIl 6EIl� 
1 200 100 
2 300 75 
3 400 150 
 
 
 
TABELAS DE MOMENTOS E REAÇÕES (CARGAS) 
 
Vigas monoengastadas 
 
 
MC � 	pl�8 
 
MC � 	3Pl16 
RC � 5pl8 RC � P2 < MCl 
RD � 3pl8 RD � P2 �MCl 
 
 
 
MD � �Pa2 O1 � a
�
l�P 
RC � Pbl < MDl 
RD � Pal � MDl 
 
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Vigas biengastadas 
 
 
MC � �MD � pl�12 
 
MC � �MD � Pl8 
RC � RD � pl2 RC � RD � P2 
 
 
 
MC � Pab�l� 
RC � Pbl < ∆R 
RD � Pal � ∆R 
MD � �Pa�Sl� ∆R � MC 	< MDl 
 
 
 
 
TABELA DE MOMENTOS E REAÇÕES 
(DESLOCAMENTOS UNITÁRIOS) 
 
Vigas monoengastadas 
 
 
 
Vigas biengastadas 
 
 
 
 
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TABELA DE MOMENTOS E REAÇÕES 
DEVIDO Á DESLOCAMENTOS UNITÁRIOS 
 
 
HC � �HD � �EAl 
 
				MC � MD � � UVWXY 
 RC � �RD � � ��VWXZ 
 
 
MATRIZES 
 
Inversão 
 
Seja a matriz A abaixo: 
A � &a�� a�� a�'a�� a�� a�'a'� a'� a''( 
A inversa A-1 desta matriz será: 
A2� � �
Matriz	Transposta	de	cofatores ∆C 
∆C� determinante	da	matriz	A 
�Matriz	Transpostade	cofatores � &
C�� C�� C'�C�� C�� C'�C�' C�' C''( 
∆C� &
a�� a�� a�'a�� a�� a�'a'� a'� a''( 
C�� � �a�� a�'a'� a'' � a�� ∗ a�' � a�' ∗ a'� 
C�� � �a�� a�'a'� a'' � �^a�� ∗ a'' � a�' ∗ a'�_ 
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C�' � �a�� a��a'� a'� � a�� ∗ a'� − a�� ∗ a'� 
C�� � �a�� a�'a'� a'' � −^a�� ∗ a'' − a�' ∗ a'�_ 
C�� � �a�� a�'a'� a'' � a�� ∗ a'' − a�' ∗ a'� 
C�' � �a�� a��a'� a'� � −^a�� ∗ a'� − a�� ∗ a'�_ 
C'� � �a�� a�'a�� a�' � a�� ∗ a�' − a�' ∗ a�� 
C'� � �a�� a�'a�� a�' � −^a�� ∗ a�' − a�' ∗ a��_ 
C'' � �a�� a��a'� a'� � a�� ∗ a�� − a�� ∗ a�� 
 
 
Matriz inversa de uma matriz de ordem 2 x 2. 
Seja a matriz A de ordem 2 x 2. 
A � �a�� a��a�� a�� 
a inversa A-1 desta matriz será: 
A2� �
� a�� −a��−a�� a�� 
`a�� a��a�� a��`
 
 
 
Fontes Consultadas 
1- Teoria Das Estruturas → Flávio Antônio Campanari 
2- Análise De Estruturas Reticuladas→ Gere and Weaver 
3- Analisis De Estruturas → Alfonso Oliveira L. 
4- Teoria Das Estrturas→ José Dimas Rietra – E.E.K 
Produzida por 
Eulália Maria Tomaz de Lima