Apostila_de_caracterizacao_e_dinamica_da_particula

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Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE 
Centro de Engenharias e Ciências Exatas - CECE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de 
Caracterização e Dinâmica da Partícula 
 
 
 
Prof. Marcos Moreira 
 
 
 
 
 
Toledo – PR 
2014 
 
SUMÁRIO 
 
 
1. CARACTERIZAÇÃO DA PARTÍCULA 1 
1.1 Algumas Definições para Partículas 2 
1.2 Algumas Definições para um Conjunto de Partículas (Leitos) 6 
1.3 Análise Granulométrica 8 
1.4 Distribuições de Tamanhos 10 
1.5 Pipeta de Andreasen 13 
2. DINÂMICA DA PARTÍCULA 14 
2.1 Efeito da Presença de Fronteiras Rígidas 17 
2.2 Influência da Concentração de Partículas 17 
BIBLIOGRAFIA 21 
PROF. DR. GIULIO MASSARANI – UM BREVE HISTÓRICO 22 
 
 
 
 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 1 
1. CARACTERIZAÇÃO DA PARTÍCULA 
 
A caracterização da partícula ou de um conjunto de partículas é algo 
de extrema importância nas operações unitárias, pois conhecendo-se a 
partícula (ou o conjunto de partículas) é possível dimensionar e operar 
equipamentos mais próximo ao ideal, o que acarreta em menores custos no 
processo. 
Quanto ao tamanho as partículas podem ser classificadas em: 
- pós (partículas de 1m a 0,5mm) 
- sólidos granulares (de 0,5mm a 10mm) 
- blocos pequenos (1 a 5cm) 
- blocos médios (5 a 15cm) 
- blocos grandes (maiores do que 15cm) 
 
O tamanho da partícula pode ser obtido por diversos meios: 
diretamente ou microscopia, por picnometria, por peneiramento, 
decantação, elutriação ou centrifugação. 
A picnometria consiste basicamente em se colocar N partículas (com 
tamanhos próximos) em um picnômetro. Conhecendo-se o volume total do 
picnômetro, completa-se o picnômetro com um líquido cuja massa 
específica seja conhecida. Sabendo a diferença de massa entre o 
picnômetro com as partículas e o líquido e o picnômetro apenas com as 
partículas, determina-se a massa de líquido utilizada e por conseguinte, o 
volume utilizado de líquido. Conhecendo-se o volume total do picnômetro 
determina-se o volume ocupado pelas N partículas e assim, o volume 
ocupado por cada partícula. Assumindo que as partículas sejam esféricas, 
determina-se então o diâmetro equivalente da partícula (dP). 
O peneiramento consiste em fazer a partícula passar através de malhas 
progressivamente menores, até que ela fique retida. O tamanho da partícula 
estará compreendido entre a medida da malha que a reteve e a da 
imediatamente anterior. A média aritmética das aberturas destas malhas 
servirá para caracterizar o tamanho da partícula. 
A decantação e a elutriação são métodos indiretos que se baseiam na 
medida da velocidade de decantação da partícula num fluido. Conhecendo-
se a relação entre a velocidade da partícula e o seu tamanho será então 
determinado o tamanho da partícula. 
O método de centrifugação, também indireto, obedece ao mesmo 
princípio da decantação, porém a força gravitacional é substituída por uma 
força centrífuga cujo valor pode ser bastante grande. É útil principalmente 
quando as partículas são muito pequenas, sendo por isso de decantação 
natural muito lenta. 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 2 
1.1 Algumas Definições para Partículas 
 
Seja D o tamanho característico da partícula, obtido por qualquer um 
dos métodos anteriores. Esta dimensão será o diâmetro, mesmo que a 
partícula não seja esférica. As características importantes do material 
poderão ser calculadas como segue: 
 
1.1.1 Superfície externa da partícula (SP) 
 
2
P B.DS 
 (1) 
 
O valor do parâmetro B depende da forma da partícula. Para cubos é 
igual a 6 e para esferas vale . 
 
1.1.2 Volume da Partícula (VP) 
 
3
P C.DV 
 (2) 
 
O parâmetro C também depende da forma, sendo igual a 1 para 
partículas cúbicas e /6 para partículas esféricas. 
 
1.1.3 Fator de forma () e fator de forma de Leva (L) 
 
C
B

 (3a) 
 
3/22/3
P
P
L
C
B
25,0
V
S
25,0  (3b) 
 
O fator de forma é igual a 6 para cubos e esferas, sendo maior para 
partículas irregulares. Muitos produtos de operações de moagem têm fator 
de forma igual a 10,5. Para materiais pulverizados varia de 7 a 8 e, para 
partículas laminares de mica, é igual a 55. 
O fator de forma de Leva é utilizado para calcular a perda de carga de 
fluidos através de leitos sólidos porosos ou fluidizados. 
 
1.1.4 Número de partículas da amostra (N) 
 
Sendo m a massa da amostra e  a massa específica do sólido, o 
número de partículas será: 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 3 
.C.D
m
N
3

 (4) 
 
1.1.5 Superfície externa total (ST) 
 


 D.
m.
B.D
.C.D
m
N.SS 2
3PT

 (5) 
 
1.1.6 Superfície específica (SW) 
 


D.m
S
S TW 
 (6) 
 
1.1.7 Diâmetro equivalente (dP) 
 
É o diâmetro da esfera com volume igual ao volume da partícula. 
 
3/1
P
P
6.V
d 







 (7) 
1.1.8 Diâmetro de peneira (d#) 
 
É a média aritmética entre a medida da malha que reteve a partícula e 
a da malha imediatamente anterior. 
 
1.1.9 Diâmetro de Stokes (dSt) 
 
É o diâmetro definido relativo ao escoamento laminar de uma esfera 
em ReD<0,1 a partir de um balanço de forças no instante em que a força 
resultante é nula. Sabendo-se então que o peso da partícula deve ser igual à 
soma do empuxo com a força de resistência, tem-se: 
.g.VP PS
 (8) 
.g.VE P
 (9) 
tSt
2
tD
d .vd...3
2
.A.v.C
F   (10) 
D
D
Re
24
C 
 (11) (para ReD<0,1) 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 4 

.d.v
ReD 
 (12) 
 
dFEP 
 (13) 
 
)g(
.v18.
d
S
t
St 



 (14) 
 
onde 
  viscosidade do fluido 
  massa específica do fluido 
S  massa específica do sólido 
g  aceleração da gravidade 
vt  velocidade terminal 
CD  coeficiente de arraste 
ReD  número de Reynolds da partícula 
 
1.1.10 Diâmetro médio de Sauter (D ) 
 
Considere que as partículas de um dado material apresentem os fatores 
B e C e a massa específica constantes independentemente do tamanho das 
partículas. Sabendo que: 
 
m
dD
dD
dN
B.D
S 0
2
W


 (15) 
 
 e 
dD
dX
.C.D
m
dD
dN
3
S

 (16) 
 
então 
 
S
W
.DC.
B
S


 (17) 
 
e o diâmetro médio de Sauter é dado por: 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 5 
SW .C.S
B
D


 (18) 
 
Esse diâmetro também é dado por: 
 


1
0
.dD
dD
dX
.
D
1
1
D (contínua) (19) 
 
para uma distribuição contínua, e por: 
 




n
1i i
i
D
X
1
D (discreta) (20) 
 
para uma distribuição discreta, onde: 
 
iX
 fração contida em determinada peneira 
iD
 média aritmética dos tamanhos das peneiras i-1 / i 
 
1.1.11 Esfericidade() 
 
A esfericidade expressa a forma de uma partícula independente de seu 
tamanho. É a razão entre a área superficial da esfera de mesmo volume que 
a partícula e a área superficial da partícula. 
PP
P
.Sd
6.V

 (21) 
 
A esfericidade pode ser determinada através da medida da superfície 
específica que pode ser feita por diferentes técnicas como o BET, a 
permeametria e por meio da difusão de Knudsen. Seja dP a dimensão 
característica da partícula. A equação (17) toma a forma: 
 
SP
W
.DC.
B
S


 (21a) 
 
onde B=/ e C=/6, portanto, 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 6 
 
SPW .D.S
6

 
 (21b) 
 
 Uma forma simples e rápida de se fazer uma estimativa sobre a 
esfericidade de uma partícula é dividir a menor dimensão pela maior 
dimensão. 
 
1.1.12 Relações entre dP, d# e dSt 
 
Para partículas com um “certo grau de uniformidade” (isométricas  
aquelas que apresentam 3 eixos perpendiculares entre si, como a esfera, o 
cubo e o tetraedro regular) pode-se considerar que: 
 







0,065
log.843,0
d
d
P
St  (22) 
 
e de modo mais amplo, 
K
d
d
P
# 
 (23) 
O valor de K varia em função do material. Para a areia, por exemplo, o 
valor é de 0,97. Para uma partícula esférica dSt=dP. 
 
1.2 Algumas Definições para um Conjunto de Partículas (Leitos) 
 
1.2.1 Porosidade () 
 
A porosidade é a razão entre o volume de vazios de um leito e o 
volume total do leito, ou seja 
 
total
sólidostotal
total
vazios
V
VV
V
V 
 (24) 
 
1.2.2 Saturação de Líquido () 
 
A saturação de líquido é a razão entre o volume ocupado pelo líquido 
no leito e o volume de vazios, ou seja 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 7 
vazios
Líquido
V
V

 (25) 
 
Uma outra forma de se apresentar a quantidade de líquido em um leito 
é o “Liquid Holdup” (Lh), que nada mais é do que uma pequena 
modificação da saturação de líquido. Esse parâmetro é a razão entre o 
volume de líquido no leito e o volume total do leito, sendo dado por: 
 
 .
V
V
L
total
Líquido
h 
 (26) 
 
1.2.3 Densidade Aparente do Leito (a) 
 
A densidade aparente é a razão entre a massa total do leito pelo seu 
volume. Se no leito existir partículas sólidas juntamente com gás e líquido 
tem-se que: 
 
LGS
LGS
LGS
a ..).1.().1(
VVV
mmm  



 (27) 
 
1.2.3 Permeabilidade do Leito (k) 
 
A permeabilidade é um parâmetro que indica a facilidade que um 
fluido terá para percolar um determinado leito de partículas. A 
permeabilidade é dada por: 
 
  
2
32
P
)-150.(1
d.
k


 (28a) 
ou por 
22
WS
3
)-.(1).S(
.22,0
k



 (28b) 
 
Conhecendo-se , S e 
PD
, pode-se calcular SW a partir da equação 
(21b) e a permeabilidade a partir da equação (28b) conhecendo-se a 
porosidade. Assim, com uma simples análise de peneiras e com valores de 
massa específica do material, porosidade e esfericidade é possível se 
determinar os valores de grandezas da importância da superfície específica 
e da permeabilidade. 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 8 
 
1.3 Análise Granulométrica 
 
É o método que consiste em se passar o material através de uma série 
de peneiras com malhas progressivamente menores, cada uma das quais 
retém uma parte da amostra. Esta operação é aplicável a partículas entre 
7cm e 40m. Todavia, abaixo de 80m o peneiramento já é insatisfatório. 
O material retido em cada peneira é pesado separadamente, sendo a sua 
quantidade relacionada com a abertura da malha que o reteve. Existem 
diversas séries de peneiras, mas a mais utilizada no Brasil é a série Tyler 
(veja a Tabela 1). Ela consta de catorze peneiras e tem como base uma 
peneira de 200 malhas por polegada (200 mesh), feita com fios de 
0,053mm de espessura, o que dá uma abertura livre de 0,074mm. As 
demais peneiras da série e que são colocadas acima desta durante o ensaio, 
apresentam 150, 100, 65, 48, 35, 28, 20, 14, 10, 8, 6, 4 e 3 mesh 
respectivamente. Quando se passa de uma peneira para a imediatamente 
superior a área da abertura é multiplicada por dois e, portanto, o lado da 
malha é multiplicado por 
2
. 
 
Tabela 1. Peneiras da Série Tyler Padrão. 
 Abertura 
Livre 
Malha (mm) 
3 6,680 
4 4,699 
6 3,327 
8 2,362 
10 1,651 
14 1,168 
20 0,833 
28 0,589 
35 0,417 
48 0,295 
65 0,208 
100 0,147 
150 0,104 
200 0,074 
Os resultados de uma análise granulométrica podem ser apresentados 
na forma de tabelas ou gráficos. A Tabela 2 é a análise granulométrica 
diferencial (AGD) do material e a Tabela 3 é a análise granulométrica 
acumulada de grossos ou retidos (AGAR) e a análise granulométrica 
acumulada de finos (AGAF). 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 9 
 
Tabela 2. Análise granulométrica diferencial (AGD). 
Peneiras Abertura 
Di(mm) iD (mm) 
Fração 
i-1 / i iX 
4 4,699 
6 3,327 4,013 4/6 0,0251 
8 2,362 2,844 6/8 0,1250 
10 1,651 2,006 8/10 0,3207 
14 1,168 1,410 10/14 0,2570 
20 0,833 1,000 14/20 0,1590 
28 0,589 0,711 20/28 0,0538 
35 0,417 0,503 28/35 0,0210 
48 0,295 0,356 35/48 0,0102 
65 0,208 0,252 48/65 0,0077 
100 0,147 0,178 65/100 0,0058 
150 0,104 0,126 100/150 0,0041 
200 0,074 0,089 150/200 0,0031 
panela < 0,074 <0,074 - 200 0,0072 
 
O valor de 
iX
 é a razão entre a massa retida na peneira i e a soma da 
massa retida em todas as peneiras. 
 
Tabela 3. Análise granulométrica acumulada (AGA). 
Peneiras Abertura 
Di(mm) 
Fração Acumulada 
Retida 
 iX-1
 
(AGAR) 
Fração Acumulada 
de finos 
 iX
 
(AGAF) 
4 4,699 0,0000 1,0000 
6 3,327 0,0251 0,9749 
8 2,362 0,1501 0,8499 
10 1,651 0,4708 0,5291 
14 1,168 0,7278 0,2721 
20 0,833 0,8868 0,1131 
28 0,589 0,9406 0,0594 
35 0,417 0,9616 0,0384 
48 0,295 0,9718 0,0282 
65 0,208 0,9795 0,0205 
100 0,147 0,9853 0,0143 
150 0,104 0,9894 0,0106 
200 0,074 0,9925 0,0075 
- 200 - 1,0000 0,0000 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 10 
O valor de 
iX-1
 é dado por: 
  i21i X...XXX-1 
 (29) 
 
1.4 Distribuições de Tamanhos 
 
1.4.1 Gates-Gaudin-Schumann (GGS) 
 
m
k
D
X 






 (30) 
1-m
k
D
k
m
dD
dX







 (31) 
onde Dk, m>0 e k=D100. 
Para a determinação de m basta plotar ln(X) versus ln(D), pois: 
 
m.ln(k)-m.ln(D)ln(X) 
 (32) 
 
O coeficiente angular da reta representada pela equação (32) dará o 
valor de m. 
Para m=1 a distribuição é uniforme. Nos casos usuais m>1. Para D 
pequeno recai na distribuição RRB. 
 
1.4.2 Rosin-Rammler-Bennet (RRB) 
 
n)-(D/D'e1X  (33) 
 
n)(D/D'-
1n
e.
D'
D
D'
1
dD
dX







 (34) 
 
onde n>0 e D’=D63,2. 
Para a determinaçãode n basta plotar ln(D) versus ln[ln(1/(1-X))], 
pois: 
 
)n.ln(D'-n.ln(D)
X-1
1
lnln 










 (35) 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 11 
O coeficiente angular da reta representada pela equação (35) dará o 
valor de n. 
Quando n>1 verifica-se a forma de “S” para a função representada 
pela equação (33). 
O valor de D para (dX/dD)max e n>1 é dado por: 
 
 
1/n
(dX/dD)
n
1-n
D'D
max






 (36) 
1.4.3 Log-Normal (LN) 
 
2
erf(Z)]1[
X


 (37); 
)ln(2
)D/Dln(
Z 50


 (38) 
 






  ...7.3!
Z
5.2!
Z
3.1!
Z
-Z
2
)duexp(-u
2
erf(Z)
753Z
0
2

 (39) 
 
)ln( D2
)exp(-Z
dD
dX 2

 (40) 
 
1
D
D
D
D
15,866
50
50
84,134  (40a) 
A reta na representação gráfica é feita com ln(D) em função de X. 
Para =1 todas as partículas têm o mesmo diâmetro. 
O valor de D para (dX/dD)max é dado por: 
 
2
max
)-(ln
50(dX/dD) .eDD
 (41) 
 
Frare et al. (2000) propuseram uma metodologia para a obtenção do 
diâmetro médio e do desvio-padrão da distribuição LN. Através dessa 
metodologia faz-se a regressão linear de ln(D) em função de z que é dado 
de acordo com o domínio de X segundo as equações abaixo. 
 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 12 
para 0X0,5 
2X
1
t  (41a) 
32
2
ftetdt1
ctbta
tz


 (41b) 
 
para 0,5<X1,0 
 2X-1
1
t  (41c) 
32
2
ftetdt1
ctbta
-tz


 (41d) 
 
Os valores das constantes são: 
a=2,51557;b=0,802853;c=0,010328;d=1,432788;e=0,189269;f=0,001308 
A equação utilizada na regressão é dada por: 
 
  zln(D) (41e) 
 
Tendo sido determinados o coeficiente angular e o coeficiente linear, 
são obtidos D50 e  por: 
 
)exp(D50 
 (41f) 
)exp(  (41g) 
 
 
1.4.4 O diâmetro médio de Sauter a partir das diferentes distribuições 
 
Conhecido o modelo de distribuição que melhor representa uma 
amostra, o diâmetro médio de Sauter pode ser calculado através das 
seguintes expressões do Quadro 1: 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 13 
Quadro 1. Equações para o diâmetro médio de Sauter. 
Modelo Diâmetro médio de Sauter 
GGS 
m
1).k-(m
D 
 (42) 
RRB 








n
1
-1
D'
D (43) 
  


0
1m dtet tm
 (43a) 
LN 






 250 )(ln
2
1
-.expDD  (44) 
 
1.5 Pipeta de Andreasen 
 
O peneiramento tradicional é desaconselhado, por falta de precisão, na 
análise granulométrica de partículas menores que cerca de 70m (abertura 
da peneira Tyler n
o
 200: 74m). Neste caso recomenda-se vivamente o 
emprego da Pipeta de Andreasen que conduz, de um modo simples, 
confiável e pouco oneroso à distribuição de tamanhos expressa em termos 
do diâmetro da esfera que tem a mesma velocidade terminal que a partícula 
no movimento lento (regime de Stokes): dSt. A caracterização do diâmetro 
através de seu comportamento dinâmico é particularmente interessante no 
estudo do sedimentador, da câmara de poeira, do ciclone, da centrífuga e do 
precipitador eletrostático. 
Estabelece-se uma relação entre a concentração da suspensão medida 
num determinado instante de tempo em um plano de referência da proveta 
e a fração em massa das partículas (X) com diâmetro menor que dSt, ou 
seja: 
c(0)
c(t)
)X(dSt 
 (45) 
 
onde c(0) está diretamente relacionado com a massa total para preencher a 
proveta. 
Essa técnica pode ser aplicada na faixa aproximada de 3m a 70m. 
 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 14 
 
2. DINÂMICA DA PARTÍCULA 
 
Seja uma partícula de massa m, volume V e densidade S movendo-se 
com velocidade v (velocidade do centro de massa da partícula) em um 
fluido de densidade . Seja u a velocidade do fluido. A equação do 
movimento da partícula é dada por: 
 
dS F.b)V.(
dt
dv
m   (46) 
 
onde “b” é a intensidade do campo exterior e “Fd” é a força resistiva que o 
fluido exerce sobre a partícula (não inclui o empuxo!). No campo 
gravitacional b=g (g  aceleração da gravidade) e no campo centrífugo 
b=2.R ( velocidade angular da partícula; R distância da partícula até 
o centro da curvatura). 
 
Admitiremos que a partícula apresente um “certo grau de 
uniformidade” em sua forma, tornando aceitáveis as seguintes suposições: 
 
a) A posição relativa partícula-fluido não afeta o valor da força resistiva Fd; 
b) 
dF
 tem a direção da velocidade relativa 
vu 
. 
u
 é a velocidade do 
fluido e 
v
 é a velocidade da partícula. 
 
Dentro destas hipóteses, 
 
v-u
)v-u( 
.v-u..CA.
2
1
F
2
Dd  (47) 
 
onde CD é o coeficiente de arraste da partícula e A é uma área característica 
da partícula dada por: 
 
4
.d
A
2
P (48) 
 
A medida da velocidade terminal vt leva à determinação experimental 
do coeficiente de arraste CD, pois a partir das equações (46)-(48) para 
dv/dt=0 tem-se que: 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 15 
 
2
t
SP
D
v
g).(d
.
3
4
C

 

 (49) 
 
Verifica-se que CD é uma função do número de Reynolds e da 
esfericidade da partícula. 
As relações CD.Re
2
 e CD/Re são de grande interesse neste estudo pois 
não utilizam U e nem dP respectivamente. Estas relações são dadas por: 
 
2
S
3
P2
D
b)..(.d
.
3
4
ReC 
 

 (50) 
 
32
SD
U
b)..(
.
3
4
Re
C

 

 (51) 
 
onde 
v-uU 
 (51a) e 

 U..d
Re P
 (51b) 
 
A seguir são apresentadas algumas relações para partículas esféricas e 
isométricas. 
 
partícula esférica isolada para Re<50.000 
1/0,63
0,63
0,63
D 0,43
Re
24
C














 (52) 
 
-1/0,95
-0,95/2
2
D
-0,95
2
D
43,0
ReC
24
ReC
Re




















 (53) 
 
1/0,88
0,88
D
0,88/2
D Re/C
43,0
Re/C
24
Re




















 (54) 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 16 
partícula isométrica isolada para Re<50.000 e 0,65<<1 
1/0,85
0,85
2
0,85
1
D K
Re.K
24
C














 (55) 
 
-1/1,2
-1,2/2
2
2
D
1,2-
2
D1
K
ReC
24
Re.CK
Re




















 (56) 
 
1/1,3
1,3
D
2
1,3/2
D1 Re/C
K
Re/CK
24
Re



















 (57) 
 
 
 
 







0,065
log.843,0K1
 (58) 
.88,431,5K2 
 (59) 
 
 
 
Quadro 2. Correlações para a partícula isométrica isolada. 
Regime de Stokes 
Re<0,5 
Regime de Newton 
1.000<Re<50.000 
Re.K
24
C
1
D 
 (60) 
2D KC 
 (61) 


.18
b)..(K.d
U S1
2
P  (62) 
2
PS
.K3
b.d).(4
U

 
 (63) 
b)..(K
U..18
d
S1
P 


 (64) 
b).(4
.K3.U
d
S
2
2
P 



 (65) 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 17 
2.1 Efeito da Presença de Fronteiras Rígidas 
 
Quando a partícula se movimenta em fluido com sua velocidade 
terminal, essa velocidade pode variar dependendo da distância que a 
partícula se encontra da parede mais próxima. A partir disso, define-se o 
parâmetro kP dado por: 
 


v
v
k tP
 (66) 
onde v é a velocidade da partícula isolada e vt é a velocidade da partícula 
em uma dada condição de distância da parede. As relações abaixo servem 
para determinar kP para partículas isométricas com 0,65<<1 e 
0<DP/Dt0,5. 
 
Quadro 3. Correlações para kP. 
Re<0,1 
4
P
.475,01
1
k 









 (67) 
0,1< Re<1.000 
BP A.Re1
10
k


 (68) 
2,79e.91,8A 
 (68a) 
.281,000117,0B  (68b) 
Re>1.000 
5,1
P 1k 
 (69) 
 
 

 
 
v..d
Re P
 (70) 
t
P
D
d
 (71) 
onde Dt é o diâmetro do tubo. 
 
 
2.2 Influência da Concentração de Partículas 
 
A velocidade terminal de uma partícula é influenciada pela presença 
de outras: um aumento na concentração da suspensão acarreta uma redução 
nesta velocidade, fato importante no estudo da separação sólido-fluido. 
A clássica correlação proposta por Richardson e Zaki é válida para 
porosidades inferiores a 75%, 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 18 
n
t .vv 
 (72) 
ou 
n.vU 
 (72a) 
 
onde v é a velocidade terminal da partícula isolada,  é a porosidade e vt é 
a velocidade terminal de uma partícula não isolada. U está definido na 
equação (51a). 
 
Quadro 4. Valores de n da equação (72) para partículas arredondadas. 
Re<0,2 
65,3n 
 (73) 
0,2< Re<1 
1.Re35,4n -0,03 
 (74) 
1< Re<500 
1.Re45,4n -0,1 
 (75) 
Re>500 
39,1n 
 (76) 
 
Na sedimentação, vt da equação (72) é a velocidade da frente de 
sedimentação. Conhecendo-se os diferentes valores de vt para diferentes 
concentrações de um material A é possível de se realizar uma regressão 
linear a partir da equação (72), onde: 
 
)vln()ln(n)ln(vt   (73) 
 
e determinar v. Com v entra-se na equação (51) e calcula-se CD/Re, o 
qual por sua vez, conhecendo-se a esfericidade da partícula, serve de 
entrada para a equações (57) ou (54) para se obter o valor de Re. Com Re 
entra-se na equação (51b) e calcula-se então o diâmetro das partículas na 
suspensão em análise. 
No transporte pneumático ou hidráulico vertical a equação (72a) 
também serve de base para se estimar a porosidade na operação. Seja A a 
área transversal do transportador, QF a vazão volumétrica superficial de 
fluido e QS a vazão volumétrica superficial de sólido. 
Sendo U dado pela equação (51a) tem-se que: 
 
A
Q
u F


 (74) 
A)1(
Q
v S


 (75) 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 19 
logo 
 
nSF
A)1(
Q
A
Q
v
1
v
v-u
v
U  







 (76) 
 
Assim resolvendo a equação: 
 
nSF
A)1(
Q
A
Q
v
1 










 (77) 
 
é possível determinar o valor da porosidade () do leito. Serão necessárias 
informações sobre o diâmetro e sobre a esfericidade da partícula, pois com 
essas informações calcula-se CD.Re
2
, depois Re e depois v que será 
utilizado na equação (77). 
Baseados na equação (72) Michael e Bolger desenvolveram um 
método que permite a caracterização de partículas floculadas (diâmetro e 
massa específica médios, grau de floculação e velocidade de sedimentação 
dos flocos). Uma vez determinada experimentalmente a velocidade de 
sedimentação da suspensão v a diferentes concentrações co, os parâmetros 
desejados podem ser estimados através do seguinte sistema de equações: 
 
 4,65ok.c1.vv  
 (78) 
 


.18
)..(D
v FL
2
FL g
 (79) 
 
S
S
FL
k.




 (80) 
onde 
 
v – velocidade de sedimentação da interface lodo-líquido clarificado no 
ensaio em batelada; 
v – velocidade terminal do floco à diluição infinita; 
k – volume de flocos por unidade de massa de sólido seco (fornece o grau 
de floculação); 
co – concentração em massa de sólido seco por unidade de volume de 
suspensão; 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 20 
DFL – diâmetro médio dos flocos; 
FL – massa específica dos flocos; 
 – massa específica do fluido; 
S – massa específica do sólido seco; 
g – aceleração da gravidade; 
 – viscosidade do fluido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 21 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
 
 
MASSARANI, G. Alguns Aspectos da Separação Sólido-Fluido. 
Programa de Engenharia Química COPPE/UFRJ - Rio de Janeiro, 
1992. 
 
MASSARANI, G. Fluidodinâmica em Sistemas Particulados Editora 
UFRJ – Rio de Janeiro, 1997 
 
MASSARANI, G. Problemas em Sistemas Particulados Editora Edgard 
Blucher – São Paulo, 1984 
 
Frare, L. M; Gimenes, M. L; Pereira, N. C.; Mendes, E. S. Linearização 
do modelo log-normal para distribuição de tamanho de partículas. Acta 
Scientiarum 22(5):1235-1239, 2000. ISSN 1415-6814. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caracterização e Dinâmica da Partícula – Prof. Marcos Moreira 22 
 
PROF. Dr. GIULIO MASSARANI – UM BREVE HISTÓRICO 
 
Giulio Massarani nasceu em Roma, em 16 de dezembro de 1937. Filho de judeus 
italianos, era o caçula dos três irmãos e veio com a família da Itália para o Rio de 
Janeiro com cerca de um ano e meio de idade, por causa da perseguição aos judeus. 
Formou-se em Engenharia Química e em Química Industrial pela Escola Nacional 
de Química da Universidade do Brasil, atual UFRJ. É mestre pela Universidade de 
Houston, Texas, e Doutor pela Universidade Paul Sabatier, em Toulose, na França. 
Toda sua vida profissional foi vinculada à COPPE, no Programa de Engenharia 
Química, do qual fez parte desde a sua criação. 
Orientou 56 dissertações de mestrado e 26 teses de doutorado. Publicou mais de 
200 trabalhos técnicos em revistas científicas, é autor de 20 livros e publicações 
didáticas. Formou doutores que criaram cursos de pós-graduaçãoem vários estados do 
país. 
Seu trabalho teve grande repercussão nos cursos de engenharia química de muitas 
universidades brasileiras. Ele também colaborava de forma permanente com instituições 
de ensino e pesquisa na França, Estados Unidos e Chile. 
Massarani foi agraciado com vários prêmios durante sua vida acadêmica. Entre 
eles, destacam-se: Comendador da Ordem Nacional do Mérito Científico, concedido 
pelo Governo Federal; Medalha Rilem (Réunion Internationale des Laboratoires 
d’Éssais et de Recherches sur les Matériaux et les Constructions); Medalha Prof. João 
Cristóvão Cardoso, do Instituto de Química da UFRJ; e Prêmio Álvaro Alberto de 
Tecnologia, da Prefeitura do RJ. Também foi Membro Fundador da Academia 
Brasileira de Engenharia. 
Giulio Massarani faleceu no dia 28 de setembro de 2004 durante o Congresso 
Brasileiro de Engenharia Química (COBEQ), deixando a esposa - Edna - e quatro filhos 
- Mariana, Paulo, Luisa e Susana. 
Massarani é o grande mentor das pesquisas em Sistemas Particulados no Brasil. 
 
 
(Texto extraído do folder de promoção do livro “Aplicações em Sistemas Particulados” 
– Edição comemorativa dos 30 anos da área de pesquisa em Sistemas Particulados do 
DEQ/UFSCar, da publicação no JC e-mail 2616, de 29 de Setembro de 2004 e da 
publicação da FAPERJ.)