Aula 02 - Transferência de Calor

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TRANSFERÊNCIA 
DE CALOR 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Baroncini Proença 
 
 
 
 
2 
 
CONVERSA INICIAL 
Vimos na aula anterior a importância que o conhecimento sobre a 
transferência de calor tem para o engenheiro. Além disso, estudamos as formas 
e as leis que envolvem os processos de transferência de calor, bem como 
algumas aplicações. 
Com relação à condução, podemos afirmar que seu conhecimento e suas 
aplicações são de fundamental importância, tanto na construção de 
equipamentos e utilitários, quanto na manutenção, geração de energia, eficiência 
energética e várias outras áreas que fazem parte do universo da engenharia. 
 
Figura 1 – Solda de manutenção de navio 
 
Fonte: Shutterstock 
 
Por exemplo, o controle da transferência de calor por condução em 
processos de soldagem é fundamental para evitar danos futuros por fragilização 
em tubulações ou estruturas na chamada zona térmica afetada. O 
aproveitamento do calor de vapores ou gases de combustão para geração de 
energia ou para uma pré-secagem de material é cada vez mais importante, 
sendo que esse calor deve ser transmitido sem que haja contato entre os 
vapores e o fluido que será aquecido para movimentar turbinas de geradores – 
ou para ser usado em câmaras de aquecimento, o que é possibilitado por meio 
da condução. Do ponto de vista do conforto térmico, o controle do calor 
transmitido por condução, seja para dentro ou para fora de galpões industriais 
ou mesmo em construções civis, é hoje um forte aliado da produção. 
 
 
 
3 
Figura 2 – Interior de uma usina de força 
 
Fonte: Shutterstock 
 
Portanto, nesta Aula 2, realizaremos um aprofundamento na 
compreensão da Lei de Fourier da Condução, envolvendo sua origem 
experimental, assim como da dependência da condutividade térmica com a 
natureza física do meio. Também desenvolveremos a equação geral, chamada 
equação do calor, cuja solução nos fornecerá as ferramentas para a 
determinação do fluxo de calor. Trabalharemos então, conceitos da condução 
unidimensional em regime estacionário para paredes planas e em sistemas 
radiais. 
Assim, após esta aula, você terá as ferramentas conceituais necessárias 
para compreender e aplicar a transferência de calor por condução em situações 
cotidianas de engenharia. 
 
Figura 3 – Funcionários da empresa chinesa de energia Huadian Group 
 
Fonte: Shutterstock 
 
 
4 
 
TEMA 1 – EQUAÇÃO DA TAXA DE CONDUÇÃO 
A Lei de Fourier é empírica, isto é, ela é desenvolvida a partir de 
observações experimentais em vez de ser deduzida com base em princípios 
fundamentais. A correta formulação da lei de propagação do calor proposta por 
Fourier foi apresentada em 1807 em um trabalho intitulado M´emoire sur la 
propagation de la chaleur. 
 
Figura 4 – Jean-Baptiste Joseph Fourier 
 
Fonte: <cambridgeblog.org> 
 
Contudo, a publicação definitiva aconteceu em 1822 sob o título Theorie 
analytique de la chaleur. Nesse trabalho, Fourier deduziu e desenvolveu a 
solução da equação da condução do calor por meio de equações diferenciais 
parciais e séries trigonométricas, partindo de observações fenomenológicas. 
Mesmo ignorando as hipóteses da época a respeito do calor, descreveu um 
modelo físico que retratava sua propagação. 
Veja o detalhamento desse tema no Anexo 1. 
 
Figura 5 – Condução de calor em uma barra no regime estacionário 
 
Fonte: Incropera, F. P. et al., 2008. 
 
 
5 
 
Para melhor compreensão da Lei de Fourier, considere que uma barra 
cilíndrica de material conhecido tem sua superfície lateral isolada termicamente, 
enquanto as duas faces de suas extremidades são mantidas a diferentes 
temperaturas, com T1 > T2. A diferença linear de temperaturas leva a 
transferência de calor por condução no sentido positivo do eixo x. 
Podemos, pela Figura 5, observar que, mantendo os valores de ΔT e 
Δx constantes, variando A, qx irá variar de forma diretamente proporcional à A 
(aumentando A, qx aumentará). De modo análogo, mantendo A e Δx constantes, 
qx variará de forma diretamente proporcional à ΔT (quanto maior ΔT, maior será 
qx). Entretanto, mantendo ΔT e A constantes, qx irá variar inversamente com Δx 
(quanto maior for Δx, menor será qx). Assim, podemos afirmar que: 
𝑞𝑥 𝛼 𝐴.
∆𝑇
∆𝑥
 (1) 
Em que: 
 qx = quantidade de calor transferido por condução (W) 
 𝛼 = relação de proporcionalidade 
 A = área da seção transversal (m2) 
 ΔT = variação da temperatura entre as faces (K) 
 Δx = variação da distância ao longo do eixo x (m) 
 
Essa proporcionalidade está diretamente relacionada com a capacidade 
que o meio tem de conduzir calor. Por exemplo, metal conduz calor melhor que 
o cerâmico ou o plástico. 
Dessa forma, podemos reescrever a equação (1) anterior, estabelecendo 
uma constante de proporcionalidade entre as variáveis, ficando: 
𝑞𝑥 = 𝑘. 𝐴.
∆𝑇
∆𝑥
 (2) 
Em que k é uma constante que representa a capacidade do meio de 
conduzir calor, chamada de condutibilidade térmica (W/mK). 
 
Sabemos que nenhum meio é totalmente homogêneo. Assim, para se 
estabelecer a condição de variação linear da temperatura, devemos ter uma 
distância em x extremamente pequena (Δx  0). Para essa distância, a variação 
da temperatura, embora seja também extremamente pequena (ΔT  0), será 
linear. 
 
 
6 
Reescrevendo a equação (2) para esses limites, teremos a Lei de Fourier: 
𝑞𝑥 = 𝑘. 𝐴.
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 (3) 
 
No caso de querermos determinar a quantidade de calor conduzida por 
unidade de área da seção transversal do meio, teremos o fluxo de calor (q”x), 
cuja expressão será: 
𝑞𝑥
𝐴
= 𝑞𝑥
" = 𝑘.
𝜕𝑇
𝜕𝑥
 (4) 
 
A Lei de Fourier, como escrita na equação (3), implica que o fluxo térmico 
é uma grandeza direcional. Em particular, a direção é normal à área da seção 
transversal. Assim, a direção do escoamento de calor será sempre normal a uma 
superfície de temperatura constante, chamada de superfície isotérmica. 
Veja o detalhamento da Lei de Fourier para os três vetores espaciais no 
Anexo 2. 
 
Figura 6 – Transferência de calor no espaço 
 
Fonte: INCROPERA, F. P. et al., 2008. 
 
TEMA 2 – EQUAÇÃO DA DIFUSÃO TÉRMICA 
Vimos que a transferência de calor por condução é a energia térmica em 
trânsito, devido à diferença de temperatura entre um sistema e sua vizinhança 
no espaço, e está diretamente relacionada à transferência de energia em um 
meio devido ao gradiente térmico. Além disso, estudamos que o mecanismo 
 
 
7 
físico é o movimento atômico e molecular randômico. Agora, vamos trabalhar os 
fundamentos relacionados a como o calor difunde através do sistema. 
Primeiro, vamos determinar o perfil de distribuição vetorial da temperatura 
no meio. Lembre-se de que o gradiente da temperatura em coordenadas 
cartesianas tem a seguinte expressão: 
k
z
T
j
y
T
i
x
T
T










 (1) 
 
Assim, pode-se escrever a lei de Fourier como: 
TkAq 
 (2) 
O gradiente de temperatura é negativo pelo fato de T2 ser menor que T1 
(calor é transmitido de T1 para T2). Assim, o sinal na equação também é negativo. 
Agora, vamos fazer o balanço de energia. A equação geral é a seguinte: 
 
energia entra – energia sai + energia “gerada” = energia acumulada 
 
Considerando o sistema representado na Figura 6, temos que: 
Energia que entra no sistema: qx + qy + qz, em que: 
x
T
zykqx



 ; 
y
T
zxkq y



 e 
z
T
yxkqz


(3) 
Energia que sai do sistema: qx+x + qy+y + qz+z, em que: 
x
x
q
qq x
xxx





 ; 
y
y
q
qq
y
yyy





 e 
z
z
q
qq z
zzz





 (4) 
Energia “gerada” dentro do volume de controle devido à conversão de 
outra forma de energia em térmica: 
zyxqE g 
..
.
 (5) 
 Energia acumulada dentro do volume de controle: 
zyx
t
T
c pEa 



.
.
 (6) 
 
 
 
8 
Aplicando na equação de balanço e usando a Lei de Fourier, chega-se à 
equação da difusão de calor por condução: 
t
T
cq
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
p
















 .)()()( (7) 
 
 A equação anterior pode ser escrita na forma vetorial: 
t
T
cqTk p


 
.
 .
 (8) 
 
Para a resolução da equação da difusão, devem ser aplicadas condições 
de contorno, que são simplificações referentes à condutibilidade térmica e ao 
regime de escoamento. 
Simplificações: 
a. k é constante: 
t
T
k
q
T




1
.
2 sendo  = k/(cp) a difusividade térmica. 
 
b. regime estacionário: 
0)()()(
.















q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
 
 
Acompanhe no Anexo 3 a equação da difusão para coordenadas 
cilíndricas e coordenadas esféricas. 
 
TEMA 3 – CONDUTIVIDADE TÉRMICA 
A partir da Lei de Fourier, a condutividade térmica associada à condução 
na direção x é definida como: 
𝑘𝑥 ≡ −
𝑞𝑥
"
(𝜕𝑇 𝜕𝑥⁄ )
 (9) 
Da equação (9), podemos observar que, para um dado gradiente de 
temperatura, o fluxo de calor por condução varia de forma diretamente 
proporcional à condutividade térmica. Em geral, a condutividade térmica de um 
sólido é maior do que a de um líquido, que, por sua vez, é maior do que a de um 
gás. Isso ocorre em virtude do espaçamento entre as moléculas em função do 
grau de vibração molecular para cada estado físico. 
 
 
9 
Para os sólidos, a condutividade térmica é maior em metais (20 – 700 W/m 
K) devido, além da vibração molecular, ao fato de os elétrons poderem se 
movimentar livremente. Os materiais sólidos não metálicos não permitem o 
movimento de elétrons, tendo simplesmente a vibração molecular, o que faz com 
que sua condutividade térmica esteja entre 0,5 e 30 W/m K. Os materiais sólidos 
isolantes térmicos são compostos de materiais de baixa condutividade térmica 
(~ 0,04 W/m K), devido não apenas a não permitirem o movimento dos elétrons, 
mas também à quantidade de ar incorporado na estrutura interna. 
Condutividade térmica e outras propriedades físicas de sólidos, líquidos e 
gases são apresentadas no Anexo 4. 
 
Figura 7 – Condução de calor em parede plana 
 
Fonte: <labvirtual.eq.uc.pt> 
 
TEMA 4 – CONDUÇÃO EM PAREDE PLANA 
Na condução de calor unidimensional em uma parede plana, a 
temperatura é uma função somente da coordenada x, sendo o calor transferido 
exclusivamente nessa direção. 
Começamos analisando as condições no interior da parede. Em primeiro 
lugar, determinamos a distribuição de temperaturas, a partir da qual podemos, 
então, obter a taxa de transferência de calor por condução. 
Aplicando a Lei de Fourier, temos que: 
𝑞 = 𝑘. 𝐴. ∫
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑥2,𝑇2
𝑥1,𝑇1
 (10) 
Nessa equação, temos que a condução unidimensional em parede plana 
simples, ou seja, composta apenas de um material é diretamente proporcional à 
 
 
10 
condutividade térmica (k), à área da seção transversal da parede (A) e à variação 
da temperatura ao longo da espessura x (
𝜕𝑇
𝜕𝑥
). 
Resolvendo a integral definida para os limites x1 com temperatura T1 e x2 
com temperatura T2, teremos que: 
𝑞 = 𝑘. 𝐴.
(𝑇2−𝑇1)
(𝑥2−𝑥1)
≡ 𝑘. 𝐴
∆𝑇
∆𝑥
 (11) 
Figura 8 – Corte de uma parede composta (isolamento térmico) (3D) 
 
Fonte: Shutterstock 
 
No entanto, como fica a análise para paredes compostas, ou seja, com 
mais de um material compondo-as? 
Para esse caso, o melhor é fazer uma analogia entre a lei de Fourier e a 
lei de Ohm da eletricidade (U = Ri), substituindo-se o potencial elétrico pela 
diferença de temperatura, e a intensidade de corrente pelo fluxo de calor. Da 
mesma maneira que uma resistência elétrica está associada à condução de 
eletricidade, uma resistência térmica pode ser associada à condução de calor. 
Definindo resistência como a razão entre um potencial motriz e a correspondente 
taxa de transferência, vem da equação (10) que a resistência térmica na 
condução em uma parede plana é: 
𝑅 ≡
∆𝑇
𝑞
=
∆𝑥
𝑘.𝐴
 (11) 
 
 
 
 
11 
Figura 9 – Condução de calor em parede plana composta 
 
Fonte: Incropera, F. P. et al., 2008. 
 
Uma vez definida a resistência térmica, podemos analisar a parede plana 
composta. 
Tomando como base a lei de Fourier e a definição da resistência térmica, 
temos que: 
𝑞 =
∆𝑇
∑ 𝑅𝐶𝐴
 (12) 
𝑞 =
(𝑇4−𝑇1)
𝑅𝐴+𝑅𝐵+𝑅𝐶
 (13) de onde 𝑞 =
(𝑇4−𝑇1)
∆𝑥𝐴
𝑘𝐴.𝐴
+
∆𝑥𝐵
𝑘𝐵.𝐴
+
∆𝑥𝐶
𝑘𝐶.𝐴
 (14) 
 
TEMA 5 – CONDUÇÃO EM SISTEMA RADIAL 
Considerando uma parede cilíndrica simples de material homogêneo, a 
condutividade térmica constante e temperaturas uniformes nas superfícies 
mostradas, a área da seção transversal é 2rL, sendo L o comprimento do cilindro. 
Partindo da Lei de Fourier, temos que: 
dr
dT
rLk
dr
dT
kAqr 2
 (15) 
Figura 10 – Condução de calor em parede cilíndrica simples 
 
Fonte: INCROPERA, F. P. et al., 2008. 
 
 
12 
Integrando a equação 15, temos: 








r
r
kLTT
q
r
1
2
12
ln
2)(  (16) 
É possível fazer uma análise semelhante para paredes cilíndricas 
compostas àquela feita para paredes planas compostas. Usaremos, para isso, o 
mesmo conceito de resistência térmica. 
 
Figura 11 – Condução de calor em parede cilíndrica composta 
 
Fonte: Incropera, F. P. et al., 2008. 
 
A equação da condução de calor para paredes cilíndricas compostas será: 
𝑞 =
(𝑇4−𝑇1)
ln (
𝑟2
𝑟1⁄ )
2𝜋𝐿𝑘𝐴
+
𝑙𝑛(
𝑟3
𝑟2⁄ )
2𝜋𝐿𝑘𝐵
+
𝑙𝑛(
𝑟4
𝑟3⁄ )
2𝜋𝐿𝑘𝐶
 (17) 
 
NA PRÁTICA 
Veja a seguir algumas aplicações práticas do que foi visto nesta aula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 T1 
 
 T2 
 
 
 X1 X2 
 
 
13 
 
Aplicação 1 
Determinar a transferência de calor por unidade de área, ou seja, o fluxo 
de calor, em regime permanente através de uma placa homogênea de 40 mm 
de espessura de aço do tipo AISI 1010, cuja face interna está a uma temperatura 
constante de 40ºC e cuja face externa está a uma temperatura constante de 
25ºC. 
𝑞 = 𝑘. 𝐴. ∫
𝜕𝑇
𝜕𝑥
𝑇2,𝑥2
𝑇1,𝑥1
= 𝑘. 𝐴.
𝑇2 − 𝑇1
𝑥2 − 𝑥1
 
𝑞
𝐴
= 𝑘.
𝑇2 − 𝑇1
𝑥2 − 𝑥1
 
Para a resolução do problema, é necessário primeiro converter as 
unidades: 
40 mm = 40 x 10-3 m 
40°C = 40 + 273 = 313K 
25ºC = 25 + 273 = 298K 
Do Anexo 4: k = 63,9 W/mK 
𝑞
𝐴
= 63,9.
(313 − 298)
40. 10−3
= − 23962,5 (𝑊 𝑚2)⁄ 
 
Aplicação 2 
Sabendo de uma parede plana composta de uma camada interna de 
reboco de gesso branco e areia de 5 mm, seguida de tijolo comum de doze furos 
de 9 x 9 x 19 cm, e reboco externo de cimento e areia de 20 mm, determinar o 
fluxo de calor unidirecionalque passa por essa parede, sabendo que a 
temperatura externa média é de 30ºC e a interna é mantida a 24ºC. 
 
 
 
 
14 
Sabendo que: 𝑞 =
(𝑇4−𝑇1)
∆𝑥𝐴
𝑘𝐴.𝐴
+
∆𝑥𝐵
𝑘𝐵.𝐴
+
∆𝑥𝐶
𝑘𝐶.𝐴
 , temos que o fluxo de calor será: 
𝑞
𝐴
=
(𝑇4 − 𝑇1)
∆𝑥𝐴
𝑘𝐴
+
∆𝑥𝐵
𝑘𝐵
+
∆𝑥𝐶
𝑘𝐶
 
Sabendo também que o fluxo de calor tem unidade de medida W/m2, e 
que a temperatura tem unidade de medida K, há a necessidade de fazer primeiro 
a conversão de unidades, para, depois, aplicar os valores na equação. Observe 
que os dados da condutividade térmica são obtidos do apêndice 4. 
 
k gesso branco e areia = 0,22 W/mK 
k tijolo comum = 0,72 W/mK 
k cimento e areia = 0,72 W/mK 
T1 = 30 + 273 = 303K 
T4 = 24 + 273 = 297K 
ΔxA = 20 x 10-3m 
ΔxB = 9 x 10-2m 
ΔxC = 5 x 10-3m 
Assim, aplicando na equação, teremos: 
𝑞
𝐴
=
(297 − 303)
20. 10−3
0,72 +
9. 10−2
0,72 +
5. 10−3
0,22
 
𝑞
𝐴
=
−6
0,175
= −34,28 
𝑊
𝑚2
 
 
Observe que o sinal negativo infere o sentido de fluxo de calor do lado 
externo da parede para o lado interno dela. 
 
Aplicação 3 
Uma tubulação de aço inoxidável do tipo AISI 304, de meia polegada de 
diâmetro interno e com 1 mm de espessura de parede, é isolado externamente 
com manta de fibra de vidro para isolamento de dutos, com espessura de 40 
mm. Sabendo que dentro desse duto circula ar aquecido a 120°C e que a 
temperatura ambiente externa à tubulação é de 25ºC, determinar a quantidade 
de calor perdida para o meio externo, por metro de tubulação. 
 
 
 
15 
 
 
Como se trata de parede composta de dois componentes, a tubulação e 
o revestimento externo, usaremos para resolver a equação: 
𝑞 =
(𝑇3 − 𝑇1)
𝑙𝑛(
𝑟2
𝑟1⁄ )
2𝜋𝐿𝑘𝐴
+
𝑙𝑛(
𝑟3
𝑟2⁄ )
2𝜋𝐿𝑘𝐵
 
Para usarmos a equação, teremos novamente de fazer as conversões das 
unidades. 
Primeiro, temos que a tubulação é de ½” de diâmetro interno. Como raio é a 
metade do diâmetro, r1 será metade de ½”, ou seja, ¼”. Como 1” = 2,54 x 10-2 m: 
𝑟1 =
1
4
 . 2,54. 10−2 = 0,635 . 10−2𝑚 
 
Como a espessura da tubulação de aço AISI 304 é de 1 mm, r2 = r1 + 1.10-3 
= 0,635.10-2 + 1.10-3 = 0,735.10-2 m 
Como a espessura da manta é de 40 mm, r3 = r2 + 40.10-3 = 0,735.10-2 + 
40.10-3 = 4,735.10-2 m 
Como pede a quantidade de calor perdida por metro de tubulação, temos 
que L = 1 m 
T1 = 120 + 273 = 393K e T3 = 25 + 273 = 298K 
Do Apêndice 4: k aço AISI 304 teremos valor para 200K e para 400K. 
Podemos adotar o valor de 400K. Assim: k aço AISI 304 = 16,6 W/mK 
k fibra de vidro = 0,038 W/mK 
𝑞 =
(298 − 393)
𝑙𝑛 (0,735. 10
−2
0,635. 10−2⁄ )
2. 𝜋. 1. 16,6 +
𝑙𝑛 (4,735. 10
−2
0,735. 10−2⁄ )
2. 𝜋. 1. 0,038
=
−95
0,146
104,3 +
1,86
0,238
= −12,15 𝑊 
 
 
 
 
16 
SÍNTESE 
Após esta aula, você adquiriu conhecimentos gerais sobre a transferência 
de calor por condução. Expanda seus conhecimentos lendo os anexos das rotas 
de aprendizagem, assim como pesquisando sobre o assunto em outras 
literaturas. 
 
REFERÊNCIAS 
BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. N. Fenômenos de transporte. 
2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. 
INCROPERA, F. P. et al. Fundamentos da transferência de calor e massa. 6. 
ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
MORAN, M. J.; SHAPIRO, H. N. Princípios da termodinâmica para 
engenharia. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
SISSON, L. E.; PITTS, D. R. Fenômenos de transporte. Rio de Janeiro: 
Guanabara Dois, 1996.