Geometria analitica capitulo 5

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Geometria Analítica 
Prof. Sergio Ricardo e Geovane Oliveira 
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CAPÍTULO 5 
A Circunferência no Plano 
 
 
 
5 - ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA (NO 2ℝ ) 
 
DEFINIÇÃO – Circunferência é o Lugar Geométrico dos pontos de um plano equidistantes 
de um ponto fixo desse mesmo plano. O ponto fixo é chamado centro e a distância constante é o 
raio. 
 
 
 
 
 
 
 
5.1 - Equação da circunferência 
 
Sejam O(a, b) o centro, r o seu raio e P(x, y) um ponto genérico de uma circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: No caso particular em que o centro da circunferência se encontra na origem, temos 
a = b = 0, e a equação fica: x2 + y2 = r2. 
 
5.2 - Equação geral da circunferência 
O ponto O é o centro 
OA = OB = OC é o raio 
Da definição do LG , temos: 
d (P,O) = − + −(x ) (x )2 2a b = r 
Logo, a equação é : 
 
 − + −(x ) (x )2 2a b = r2 
 
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Desenvolvendo-se a equação − + −(x ) (x )2 2a b = r2, obtém-se a equação geral da 
circunferência: 
 
 x2 + y2 − 2 a x − 2 b y + (a2 + b2 − r2) = 0 
 
 
OBS: Na equação geral da circunferência os coeficientes de x2 e de y2 são unitários. 
 
5.2.1 - Obtenção do raio e do centro a partir da equação geral 
 
5.2.1.1 - Método de completar quadrados 
O objetivo desse método é obter, no lado esquerdo da equação geral, a expressão 
− + −(x ) (x )2 2a b a partir das informações apresentadas. 
 
Exemplo: 
Vejamos como o método funciona na equação geral x2 + y2 − 2 x + 4 y − 4 = 0 
1º passo: 
Agrupam-se os termos em x e os termos em y, isolando no segundo membro o termo 
independente. 
É interessante deixar um espaço após os termos em x e os termos em y e dois espaços 
após o termo independente. 
 x2 − 2 x + ___ + y2 + 4 y + ___ = 4 + ___ + ___ 
2º passo: 
Somam-se a ambos os termos da equação valores convenientes, de modo que os termos 
em x e os termos em y se transformem cada qual em um quadrado perfeito. 
 O número que completa o quadrado perfeito em x é o quadrado da metade do 
coeficiente de x. 
 Como o coeficiente de x é − 2, esse número é (−1)2 = 1 
 Incorporando esse número a ambos os membros, temos: 
 x2 − 2 x + 1 + y2 + 4 y + ___ = 4 + 1 + ___ 
 Analogamente, o número que completa o quadrado perfeito em y é o quadrado da 
metade do coeficiente de y. Como o coeficiente de y é 4, esse número é (2)2 = 4. 
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Incorporando esse número a ambos os membros, temos: 
 x2 − 2 x + 1 + y2 + 4 y + 4 = 4 + 1 + 4 
 E a equação fica: (x − 1)2 + (y + 2)2 = 32. 
 Assim a equação geral x2 + y2 − 2 x + 4 y − 4 = 0 representa uma circunferência de centro 
em (1, −2) e raio 3. 
 
5.2.1.2 - Método da comparação 
Nesse método comparam-se os coeficientes da equação dada e a teórica: 
 x2 + y2 − 2 a x − 2 b y + (a2 + b2 − r2) = x2 + y2 − 2 x + 4 y − 4 
Daí, temos : 
 − 2 a = 2 ⇒ a = − 1 
 − 2 b = 4 ⇒ b = − 2 
 a2 + b2 − r2 = − 4 ⇒ 1 + 4 − r2 = − 4 ⇒ r2 = 9 ⇒ r = 3 (pois o raio é positivo) 
Portanto, o centro da circunferência é (−1, −2) e o raio é 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5.3 - Atividades 
Exercício 1 
Determine a equação da circunferência cujo centro é o ponto A(5, 3) e cujo raio é de 2 cm. 
 
 
Exercício 2 
Determine a equação da circunferência com centro em O (−3, 1) e raio 3 
 
 
Exercício 3 
Determine a equação da circunferência que passa pelo ponto P (2, 3) e cujo centro é o ponto 
A(1, −2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 4 
Verifique se a equação x2 + y2 − 4 x − 8 y + 19 = 0 representa uma circunferência. 
 
 
Exercício 5 
Verifique se a equação x2 + y2 + 2 x − 2 y + 6 = 0 representa uma circunferência. Em caso 
afirmativo, dê as coordenadas do centro e o raio. 
 
 
Exercício 6 
Obtenha o raio e o centro da circunferência x2 + y2 + 6 x − 4 y − 12 = 0. 
 
 
Exercício 7 
O centro de uma circunferência é o ponto médio do segmento AB, sendo A(2, −5) e B(−2, −3). 
Se o raio dessa circunferência é 2 , determine a sua equação. 
 
 
Exercício 8 
O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro C(0, 3) e raio 5. Calcule o valor da ordenada b. 
 
 
 
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Exercício 9 
Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto A(1, 1). 
 
 
 
Exercício 10 
Qual é o centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 = 2 (x − y) + 1. 
 
 
Exercício 11 
Verifique se x2 + y2 + 2 x + 2 y − 2 = 0 representa uma circunferência. Caso positivo exiba seu 
centro e seu raio. 
 
 
Exercício 12 
Determine uma equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equação 
x2 + y2 − 4 x − 4 y + 4 = 0 e é paralela à reta de equação 2 x + 3 y = 0. 
 
 
Exercício 13 
Quais são os valores que k pode assumir para que a equação x2 + y2 − 2 x + 10 y + 13 k = 0 
represente uma circunferência? 
 
 
Exercício 14 
Considere P e Q os pontos de interseção da reta de equação 2y - x = 2 com os eixos coordenados x 
e y, respectivamente. 
a) Determine as coordenadas dos pontos P e Q. 
b) Determine a equação da circunferência que tem o segmento PQ como diâmetro. 
 
 
Exercício 15 
Determine o(s) ponto(s) comum(ns) à circunferência L e à reta s: 
a) + − − =2 2L : x y 4x 12 0 , s: x + y + 2 = 0 
b) + − − + =2 2L : x y 6x 12y 25 0 , s: 2x – y = 0 
c) + − − =2 2x y 2x 8 0 , s: 3x + 4y + 12 = 0 
 
 
Exercício 16 
Determine a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) à circunferência e que passa(m) por P: 
a) P(-2, 5), + + + − =2 2L : x y 2x 4y 20 0 
b) P(5, 3), + − − − =2 2L : x y 4x 2y 4 0 
c) P(-1, -7), + − + − =2 2L : x y 4x 6y 12 0 
 
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5.4 - Gabarito 
1) 2 2 10 6 30 0x y x y+ − − + = 
2) 2 2 6 2 1 0x y x y+ + − + = 
3) 2 2 2 4 21 0x y x y+ − + − = 
4) Sim 
5) Não 
6) ( 3, 2); 5C r= − = 
7) 2 2 8 14 0x y y+ − + = 
8) 7 1b ou b= = − 
9) 2 2 4 2 4 0x y x y+ − − + = 
10) (1, 1); 3C r= − = 
11) Sim ( 1, 1); 2C r= − − = 
12) 2 3 10 0x y+ − = 
13) 2k < 
14) 
15) 
a. )0,2(−=P 
b. )10,5();2,1( 21 == PP 
c. )0,
5
12(=P 
16) 
a. 0377 =+− yx 
b. 01932 =−+ yx 
c. 03143 =++ y