7ª Lista

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo
Campus Votuporanga
Cálculo Diferencial e Integral I - Engenharia Civil
Sétima Lista de Exercícios
2o semestre - 2014
Professora Elen Cristina Mazucchi
. Regras de derivação
Exercício 1: Calcule as derivadas das funções abaixo.
a) f(x) = x7 b) f(x) = −x5 c) g(x) = x2 + 2x
d) h(x) = x5 − x2 + 30 e) g(x) = 3x3 − x f) f(x) = x12 + x6 + x2
g) f(x) = 3x3 + x+ 8 h) h(x) = x3 − x2 + 15 i) f(x) = 2x2 + 7x− 1
j) g(x) = 3x3 + x− 5 l) g(x) = x4 − 3x2 + x m) g(x) = −x4 + 2x+ 12
Respostas:
a) 7x6 c) 2x+ 2 e) 9x2 − 1 h) 3x2 − 2x
i) 4x+ 7 l) 4x3 − 6x+ 1 m) −4x3 + 2
Exercício 2: Dada a função f(t) = 3t3 − 4t+ 1, encontrar f(0)− t f ′(0).
Exercício 3: Calcule as derivadas.
a) g(x) = ex b) f(x) = 3x c) g(x) = 6x + x
d) h(x) = 11x + 4x e) h(x) = ln(x) f) h(x) = log3 x
g) f(x) = log11 x h) g(x) = log4 x + x
2 i) f(x) = log5 x+ e
x
j) f(x) = cos(x) l) f(x) = sen(x) m) f(x) = sen(x) + x3
Respostas:
c) 6x ln(6) + 1 d) 11x ln(11) + 4 f)
1
x ln(3)
i)
1
x ln(5)
+ ex l) cos(x) m) cos(x) + 3x2
1
Exercício 4: Calcule as derivadas.
a) f(x) = x cos(x) b) f(x) = x2 sen(x) c) f(x) = x sen(x)
d) g(x) = x ex e) g(x) = x2 ex f) f(x) = ex sen(x)
g) g(x) = x ln(x) h) g(x) = x2 ln(x)
Respostas:
a) cos(x)− x sen(x) b) 2x sen(x) + x2 cos(x) d) ex + x ex
f) ex sen(x) + ex cos(x) g) ln(x) + 1
Exercício 5: Calcule as derivadas.
a) f(x) =
x+ 2
x2
b) f(x) =
3x+ 5
x2
c) f(x) =
5x− 3
x3
d) f(x) =
sen(x)
x
e) f(x) =
cos(x)
x
f) f(x) =
sen(x)
x+ 1
g) f(x) =
x+ 2
x2 + 2
h) f(x) =
x
x2 + 1
i) f(x) =
x− 3
x2 + 5
Respostas:
a)
1
(x2)
− 2 (x+ 2)
x3
c)
5
x3
− 3 (5x− 3)
x4
d)
cos(x)
x
− sen(x)
x2
e)
−sen(x)
x
− cos(x)
x2
i)
1
(x2 + 5)
− 2x (x− 3)
(x2 + 5)2
Exercício 6: Calcule f ′(x), onde f(x) =
x
sen(x)
.
Exercício 7: Calcule as derivadas das funções.
a) f(x) = e7x b) f(x) = −e5x c) g(x) = e2x + 2x
d) h(x) = e50x e) g(x) = 3 e3x f) f(x) = cos(2x)
g) f(x) = cos(6x) h) h(x) = sen(4x) i) f(x) = sen(12x) + x2
j) g(x) = cos(x4) l) g(x) = cos(x3 + 2) m) g(x) = sen(x5 + x)
Respostas:
a) 7 e7x c) 2 e2x + 2 e) 9 e3x
g) −6 sen(6x) i) 12 cos(12x) + 2x l) −3x2 sen(x3 + 2)
2
Exercício 8: Derive g(x) = sen(x3 + x2) em relação a x.
(Resp.: (3x2 + 2x) cos(x3 + x2))
Exercício 9: Derive f(x) = ln(x3 + 2x) em relação a x.
(Resp.:
(3x2 + 2)
(x3 + 2x)
)
Exercício 10: Calcule as derivadas das funções:
a) f(x) = tg(x) b) f(x) = cotg(2x)
c) h(x) = sec(x) d) g(x) = cossec(x2)
Respostas:
a) sec2(x) b) −2cossec2(2x)
c) sec(x) tg(x) d) −2x cossec(x2) cotg(x2)
Exercício 11: Dada a função y = (3x2 + 1)3 . (x − x2)2, determine dy/dx.
(Resp.: 2 (3x
2 + 1)3(x− x2)(1− 2x) + 18x(3x2 + 1)2(x− x2)2)
Exercício 12: Calcule f ′(x), onde f(x) = ln(x2 + 2).
Exercício 13: Calcule a derivada da função y = 3x (8x3 − 2). (Resp.: 96 x3 − 6)
Exercício 14: Calcule as derivadas.
a) g(x) = (x2 + 7)4 b) f(x) = (x3 + 2x)5 c) f(x) = (x3 + x2)10
d) h(x) = (x+ 2)40 e) h(x) = (x2 − 2x)6
Respostas:
a) 8x (x2 +7)3 c) 10 (3x2 +2x) (x3 + x2)9 e) 6 (2x− 2) (x2− 2x)5
Exercício 15: Calcule as derivadas.
a) f(x) = ln(2x+ 5) b) g(x) = ln(2x2 + 5x) c) f(x) = ln(x3 + 5x2)
Respostas:
a)
2
(2x+ 5)
b)
(4x+ 5)
(2x2 + 5x)
3
Exercício 16: Calcule as derivadas.
a) f(x) = x e2x b) f(x) = x e5x c) f(x) = x cos(2x)
d) f(x) = x sen(2x) e) f(x) = x2 cos(2x)
Respostas:
a) e(2x) + 2x e(2x) c) cos(2x)− 2x sen(2x) d) 2x cos(2x)− 2x2 sen(2x)
Exercício 17: Calcule f ′(x), onde f(x) = cos(2x2 + 5x) .
Exercício 18: Calcule F ′(x) onde F (x) é igual a
√
x
x+ 1
.
Exercício 19: Encontre a derivada da função g(t) =
(
t− 2
2t+ 1
)9
.
(
Resp.:
45 (t− 2)8
(2t+ 1)10
)
Exercício 20: Seja f(x) = x2 sen(x) + cos(x). Calcule f ′(x), f ′(3a) e f ′(x2).
Exercício 21: Se f(x) =
√
x g(x), onde g(4) = 2 e g′(4) = 3, encontre f ′(4).
(Resp.: 6,5)
Exercício 22: Calcule F ′(x) sendo F (x) igual a
a) f(x) = x ex cos(x) b) f(x) = ex sen(x) cos(x)
Exercício 23: Seja y = t3 x onde x = x(t) é uma função derivável. Verifique que
dy
dt
= 3 t2x+ t3
dx
dt
.
Exercício 24: Seja y = e2x. Verifique que
d2y
dx2
− 4y = 0.
Exercício 25: Se f e g são funções diferenciáveis tais que f(2) = 3, f ′(2) = −1, g(2) = −5
e g′(2) = 2, determine o valor de h′(2) se h(x) = f(x) g(x).
Exercício 26: Ache o vértice da parábola y = x2− 8x+18. Sugestão: a tangente no vértice
é horizontal.
4