7ª Lista

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Sétima Lista de Exercícios - Engenharia Civil
Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I - IFSP
1o sem. - 2014
Prof. José Renato
. Derivadas. Regras de derivação. Regra da cadeia. Aplicações.
Exercício 1: Dada a função f(x) = 5− 2x, determine f ′(1) pela definição.
Exercício 2: Dada f(x) =
√
x, encontre f ′(4) pela definição. (Resp.: 1/4)
Exercício 3: Dada a função f(x) =
{
x− 1 se x ≥ 0
x se x < 0
, verificar se existe f ′(0). Esboçar o
gráfico.
Exercício 4: Dê exemplo de uma função f , definida e derivável em IR, tal que f ′(1) = 0.
Interprete geometricamente tal função.
Exercício 5: Dê exemplo de uma função f , definida e derivável em IR, tal que f ′(x) > 0
para todo x.
Exercício 6: Ache a equação da tangente à parábola y = x2 no ponto (−2, 4).
(Resp.: y + 4x+ 4 = 0)
Exercício 7: Ache a equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 1, que é paralela à reta
8x+ y − 2 = 0. (Resp.: y + 8x+ 7 = 0)
Exercício 8: Encontre os pontos da curva y = x3 + x nos quais a tangente tem coeficiente
angular igual a 4. (Resp.: (1, 2) e (-1, -2))
Exercício 9: Sabe-se que r é uma reta tangente ao gráfico de f(x) = x3 + 3x e paralela à
reta y = 6x− 1. Determine r. (Resp.: y − 6x− 2 = 0 e y − 6x+ 2 = 0)
Exercício 10: Calcule as derivadas das funções abaixo.
a) f(x) = x7 b) f(x) = −x5 c) g(x) = x2 + 2x
d) h(x) = x5 − x2 + 30 e) g(x) = 3x3 − x f) f(x) = x12 + x6 + x2
g) f(x) = 3x3 + x+ 8 h) h(x) = x3 − x2 + 15 i) f(x) = 2x2 + 7x− 1
j) g(x) = 3x3 + x− 5 l) g(x) = x4 − 3x2 + x m) g(x) = −x4 + 2x+ 12
1
Respostas:
a) 7x6 c) 2x+ 2 e) 9x2 − 1 h) 3x2 − 2x
i) 4x+ 7 l) 4x3 − 6x+ 1 m) −4x3 + 2
Exercício 11: Dada a função f(t) = 3t3 − 4t+ 1, encontrar f(0)− t f ′(0).
Exercício 12: Calcule as derivadas.
a) g(x) = ex b) f(x) = 3x c) g(x) = 6x + x
d) h(x) = 11x + 4x e) h(x) = ln(x) f) h(x) = log3 x
g) f(x) = log11 x h) g(x) = log4 x + x
2 i) f(x) = log5 x+ e
x
j) f(x) = cos(x) l) f(x) = sen(x) m) f(x) = sen(x) + x3
Respostas:
c) 6x ln(6) + 1 d) 11x ln(11) + 4 f)
1
x ln(3)
i)
1
x ln(5)
+ ex l) cos(x) m) cos(x) + 3x2
Exercício 13: Calcule as derivadas.
a) f(x) = x cos(x) b) f(x) = x2 sen(x) c) f(x) = x sen(x)
d) g(x) = x ex e) g(x) = x2 ex f) f(x) = ex sen(x)
g) g(x) = x ln(x) h) g(x) = x2 ln(x)
Respostas:
a) cos(x)− x sen(x) b) 2x sen(x) + x2 cos(x) d) ex + x ex
f) ex sen(x) + ex cos(x) g) ln(x) + 1
Exercício 14: Calcule as derivadas.
a) f(x) =
x+ 2
x2
b) f(x) =
3x+ 5
x2
c) f(x) =
5x− 3
x3
d) f(x) =
sen(x)
x
e) f(x) =
cos(x)
x
f) f(x) =
sen(x)
x+ 1
g) f(x) =
x+ 2
x2 + 2
h) f(x) =
x
x2 + 1
i) f(x) =
x− 3
x2 + 5
2
Respostas:
a)
1
(x2)
− 2 (x+ 2)
x3
c)
5
x3
− 3 (5x− 3)
x4
d)
cos(x)
x
− sen(x)
x2
e)
−sen(x)
x
− cos(x)
x2
i)
1
(x2 + 5)
− 2x (x− 3)
(x2 + 5)2
Exercício 15: Calcule f ′(x), onde f(x) =
x
sen(x)
.
Exercício 16: Calcule as derivadas das funções.
a) f(x) = e7x b) f(x) = −e5x c) g(x) = e2x + 2x
d) h(x) = e50x e) g(x) = 3 e3x f) f(x) = cos(2x)
g) f(x) = cos(6x) h) h(x) = sen(4x) i) f(x) = sen(12x) + x2
j) g(x) = cos(x4) l) g(x) = cos(x3 + 2) m) g(x) = sen(x5 + x)
Respostas:
a) 7 e7x c) 2 e2x + 2 e) 9 e3x
g) −6 sen(6x) i) 12 cos(12x) + 2x l) −3x2 sen(x3 + 2)
Exercício 17: Derive g(x) = sen(x3 + x2) em relação a x.
(Resp.: (3x2 + 2x) cos(x3 + x2))
Exercício 18: Derive f(x) = ln(x3 + 2x) em relação a x.
(Resp.:
(3x2 + 2)
(x3 + 2x)
)
Exercício 19: Calcule as derivadas das funções:
a) f(x) = tg(x) b) f(x) = cotg(x)
c) h(x) = sec(x) d) g(x) = cossec(x)
Respostas:
a) sec2(x) b) −cossec2(x)
c) sec(x) tg(x) d) −cossec(x) cotg(x)
Exercício 20: Dada a função y = (3x2 + 1)3 . (x − x2)2, determine dy/dx.
(Resp.: 2 (3x
2 + 1)3(x− x2)(1− 2x) + 18x(3x2 + 1)2(x− x2)2)
Exercício 21: Calcule f ′(x), onde f(x) = ln(x2 + 2).
3
Exercício 22: Calcule a derivada da função y = 3x (8x3 − 2). (Resp.: 96 x3 − 6)
Exercício 23: Calcule as derivadas.
a) g(x) = (x2 + 7)4 b) f(x) = (x3 + 2x)5 c) f(x) = (x3 + x2)10
d) h(x) = (x+ 2)40 e) h(x) = (x2 − 2x)6
Respostas:
a) 8x (x2+7)3 c) 10 (3x2+2x) (x3+ x2)9 e) 6 (2x− 2) (x2− 2x)5
Exercício 24: Calcule as derivadas.
a) f(x) = ln(2x+ 5) b) g(x) = ln(2x2 + 5x) c) f(x) = ln(x3 + 5x2)
Respostas:
a)
2
(2x+ 5)
b)
(4x+ 5)
(2x2 + 5x)
Exercício 25: Calcule as derivadas.
a) f(x) = x e2x b) f(x) = x e5x c) f(x) = x cos(2x)
d) f(x) = x sen(2x) e) f(x) = x2 cos(2x)
Respostas:
a) e(2x) + 2x e(2x) c) cos(2x)− 2x sen(2x) d) 2x cos(2x)− 2x2 sen(2x)
Exercício 26: Calcule f ′(x), onde f(x) = cos(2x2 + 5x) .
Exercício 27: Calcule F ′(x) onde F (x) é igual a
√
x
x+ 1
.
Exercício 28: Encontre a derivada da função g(t) =
(
t− 2
2t+ 1
)9
.
(
Resp.:
45 (t− 2)8
(2t+ 1)10
)
Exercício 29: Seja f(x) = x2 sen(x) + cos(x). Calcule f ′(x), f ′(3a) e f ′(x2).
Exercício 30: Se f(x) =
√
x g(x), onde g(4) = 2 e g′(4) = 3, encontre f ′(4).
(Resp.: 6,5)
Exercício 31: Calcule F ′(x) sendo F (x) igual a
a) f(x) = x ex cos(x) b) f(x) = ex sen(x) cos(x)
4
Exercício 32: Seja y = t3 x onde x = x(t) é uma função derivável. Verifique que
dy
dt
= 3 t2x+ t3
dx
dt
.
Exercício 33: A função diferenciável y = f(x) é tal que, para todo x ∈ Df ,
x f(x) + sen(f(x)) = 4. Mostre que
f ′(x) =
−f(x)
x+ cos(f(x))
.
Exercício 34: Seja y = e2x. Verifique que
d2y
dx2
− 4y = 0.
Exercício 35: Um ponto move-se ao longo do gráfico de y = x2 + 1 de tal modo que a
sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 3 (cm/s). Qual é, quando x = 4 (cm), a
velocidade da ordenada y? (Resp.:
dy
dt
= 2x
dx
dt
, onde
dx
dt
= 3. Para x = 4, temos
dy
dt
= 24
cm/s)
Exercício 36: Se f e g são funções diferenciáveis tais que f(2) = 3, f ′(2) = −1, g(2) = −5
e g′(2) = 2, determine o valor de h′(2) se h(x) = f(x) g(x).
Exercício 37: Ache o vértice da parábola y = x2− 8x+18. Sugestão: a tangente no vértice
é horizontal.
Exercício 38: Pesquise e descubra as derivadas de arcsen(x), arccos(x) e arctg(x). (Dica:
Ver livro do Iezzi, p. 145-H, derivada de função inversa.)
Aplicações
Exercício 1: Partindo do repouso, um certo carro move-se s metros em t segundos, onde s =
1, 34 t2. Quanto tempo levará o carro para atingir a velocidade de 26,8 m/s?
(Resp.: 10 segundos)
Exercício 2: Um capacitor (ou condensador) de um circuito elétrico é um aparelho para ar-
mazenar carga elétrica. Se a quantidade de carga num dado capacitor no instante t é
Q = 3t2 + 5t+ 2 coulombs, determine a corrente I =
dQ
dt
no circuito quando t = 3.
Exercício 3: Se a equação de movimento de uma partícula for dada por s = Acos(ω t+ δ),
dizemos que a partícula está em um movimento harmônico simples. Encontre a velocidade da
partícula no instante t. (Resp.: velocidade = s′ = −ωAsen(ω t+ δ))
5
Exercício 4: Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade
de lançamento de 160 pés/s. A pedra atinge uma altura de s = 160 t−16 t2 pés após t segundos.
Qual a velocidade da pedra quando t=4 segundos? E qual a velocidade da pedra quando t=5
segundos? (Resp.: 32 pés/s e 0)
Exercício 5: Uma companhia produz chips de computador. Ela quer manter o comprimento
do lado da placa muito próximo de 15mm e deseja saber como a área A(x) da placa varia
quando mudamos o comprimento do lado x. Encontre A′(15). (Resp.: A(x) = x2 e A′(15) =
30mm2/mm)
Exercício 6: Um balão esférico começa a ser inflado. Encontre a taxa de crescimento
da área da superfície (S = 4pi r2) em relação ao raio r quando r é (a) 1 pé e (b) 2 pés.
(Resp.: 8pi pés2/pés e 16pi pés2/pés)
Exercício 7: Uma das grandezas de interesse na termodinâmica é a compressibilidade. Se
uma dada substância for mantida em uma temperatura constante, então seu volume V depende
de sua pressão P . Podemosconsiderar a taxa de variação do volume em relação à pressão - isto
é, a derivada
dV
dP
. Quando P cresce, V decresce; logo
dV
dP
< 0. A compressibilidade é definida
introduzindo-se o sinal de menos e dividindo essa derivada pelo volume V :
compressibilidade isotérmica = β = − 1
V
dV
dP
.
Assim, β mede quão rápido, por unidade de volume, o volume de uma substância decresce
quando a pressão sobre ela cresce em uma temperatura constante. Por exemplo, o volume V (em
metros cúbicos) de uma amostra do ar a 25oC está relacionado com a pressão P (em quilopascals)
pela equação
V =
5, 3
P
.
Pergunta-se:
a) Qual a taxa de variação de V em relação a P quando P = 50 kPa?
b) Qual a compressibilidade nesta pressão?
(Resp.: −0, 00212m3/kPa e 0, 02 (m3/kPa)/m3)
Exercício 8: O número de galões de água em um tanque, t minutos depois de iniciar seu
esvaziamento, é dado por Q(t) = 200 (30− t)2. A que taxa a água escoará ao fim de 10 minutos?
(Resp.: −8000 gal/minutos)
Exercício 9: Um corpo suspenso em uma mola é deslocado em 5 unidades da posição de
repouso e solto, no instante t=0, para oscilar para cima e para baixo. Sua posição em qualquer
instante t é
s = 5 cos(t).
Qual a sua velocidade no instante t? (Resp.: −5 sen(t))
6
Exercício 10: Suponha que o espaço percorrido por um móvel seja dado por s = t2, com s
em quilômetros (km) e o tempo t em horas (h).
a) Qual a velocidae no instante t?
b) Qual a velocidade no instante t=2?
(Resp.: 2 t (km/h) e 4 km/h)
Exercício 11: O movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou a uma força de
amortecimento (tal como amortecedor em um carro) é frequentemente modelado pelo produto de
uma função exponencial e uma função seno ou cosseno. Suponha que a equação de movimento
de um ponto sobre essa mola é
s(t) = 2 e−1,5 t sen(2pi t),
onde s é a medida em centímetros e t, em segundos. Encontre a velocidade após t segundos.
(Resp.: v(t) = s′(t) = 2 e−1,5 t (2pi cos(2pi t)− 1, 5 sen(2pi t))
Exercício 12: Uma companhia telefônica quer estimar o número de novas linhas residenciais
que deverá instalar em um dado mês. No início de janeiro tinha 100000 assinantes, cada um com
1,2 linha, em média. A companhia estimou que o crescimento das assinaturas a uma taxa mensal
de 1000. Pesquisando os assinantes existentes, descobriu que cada um pretendia instalar uma
média de 0,01 linha telefônica nova até o final daquele mês. Estime o número de novas linhas que
a companhia deverá instalar até o final de janeiro, calculando a taxa de crescimento das linhas
no começo do mês. (Resp.: Denotemos s(t) o número de assinantes e n(t) o número de linhas
telefônicas. O início de janeiro corresponde a t = 0. O número total de linhas é L(t) = s(t)n(t).
A companhia precisará instalar aproximadamente 2200 novas linhas telefônicas durante o mês
de janeiro.)
Exercício 13: Suponha que um balão de volume V e raio r esteja sendo inflado, de tal modo
que V e r sejam ambos funções do tempo t. Se
dV
dt
é constante, o que pode ser dito acerca do
comportamento de
dr
dt
quando r cresce? (Resp.: Temos V =
4pi
3
r3. Logo,
dr
dt
decresce quando
r cresce)
Exercício 14: Um objeto se move numa reta de tal modo que sua posição s no instante t
é dada por s = t3 + 5t2 − 8t. Qual é sua aceleração quando está em repouso? Lembre-se que o
objeto está em repouso quando v = 0. (Resp.: a = ±14)
Exercício 15: Uma das fórmulas para o gerenciamento de estoque diz que o custo médio
semanal de pedidos, pagamentos e armazenamento de mercadorias é
A(q) =
km
q
+ cm+
h q
2
,
onde q é a quantidade (de sapatos, rádios, vassouras ou qualquer outro item) pedida quando as
vendas estão em baixa, k é o custo para se fazer um pedido (sempre o mesmo, independente da
7
frequência com que se faz o pedido), c é o custo de cada item (constante)� m é a quantidade de
itens vendidos por semana (constante) e h é o custo semanal para manter cada item armazenado
(constante que incorpora aspectos como espaço, utilidade, seguro e segurança). Determine
dA
dq
e
d2A
dq2
. (Resp.:
d2A
dq2
=
2km
q3
)
Exercício 16: A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical
se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3000 L/min? Considere V = 1000pi r2 h.
(Resp.: Temos
dV
dt
= −3000. Queremos dh
dt
e lembre-se que o raio permanece constante. A
resposta é
−3
pi r2
m/min)
Exercício 17: A areia cai de uma esteira transportadora a uma taxa de 10m3/min no topo
de um monte cônico. A altura do monte sempre tem três oitavos do diâmetro da base. A que taxa
variará (a) a altura e (b) o raio quando o monte tiver 4 m de altura?
(Resp.: (a)
90
256pi
m/min e (b)
15
32pi
m/min)
Em Economia e Administração, dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de
função marginal para avaliar o efeito causado em f(x) por uma pequena variação de x.
Chama-se função marginal de f(x) à função derivada de f(x).
Assim, a função custo marginal é a derivada da função custo (representa, por exemplo, o
custo extra que a empresa terá pela produção de uma unidade extra).
A função receita marginal é a derivada da função receita (representa, por exemplo, o aumento
na receita pela venda de uma unidade extra).
Exercício 18: Consideremos a função custo C(x) = 0, 01x3− 0, 5x2+300x+100. Obtenha
a função custo marginal, isto é, a derivada da função custo.
Em seguida, obtenha o custo marginal para x = 10 unidades.
(Resp.: 0, 03x2 − x + 300 e 293. O valor de 293 representa o custo de produção da 11
unidade.)
Exercício 19: Dada a função receita R(x) = −2x2 + 1000x, obtenha a função receita
marginal.
Em seguida, obtenha a receita marginal para x = 50 unidades.
(Resp.: −4x + 1000 e 800. O valor de 800 representa o aumento da receita decorrente da
venda da 51 unidade.)
Exercício 20: Dada a função custo C(x) = 0, 3x3 − 2, 5x2 + 20x+ 200, obtenha:
a) O custo marginal; (Resp.: 0, 9x2 − 5x+ 20)
b) O custo marginal para x = 5 e x = 10 unidades. (Resp.: $ 17, 50 e $ 60, 00)
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