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CURSO: Administração 
DISCIPLINA: Estatística e Probabilidade 
PROFESSOR: Nelson Aguiar 
TEMA: Distribuição Binomial de Probabilidades 
Distribuição binomial 
A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável sempre 
que o processo de amostragem é do tipo do de Bernoulli . Um processo de Bernoulli é 
um processo de amostragem no qual: 
a) em cada tentativa existem dois resultados possíveis e mutuamente exclusivos; eles 
são denominados, por conveniência, sucesso e insucesso (ou fracasso); 
b) as séries de tentativas ou observações são constituídas de eventos independentes; 
c) a probabilidade de sucesso, indicada por p, permanece constante de tentativa para 
tentativa; em outras palavras, o processo é estacionário. 
Em geral, se p é a probabilidade de um evento acontecer em uma tentativa única, 
denominada probabilidade de sucesso, e q = 1 – p é a probabilidade de que o evento não 
ocorra em qualquer tentativa única, denominada probabilidade de insucesso, então a 
probabilidade de o evento ocorrer exatamente X vezes em N tentativas, isto é, de que 
haja X sucessos e N – X insucessos, é dada por: 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
O nome binomial se deve ao fato que 
 é o termo de ordem X em p no 
desenvolvimento do Binômio de Newton (q + p)N. 
 
Nessa fórmula, precisamos recordar dois conceitos que você conhece da matemática: 
fatorial e combinação. 
Mas não vamos perder tempo com teorias. Analisaremos alguns exemplos apenas para 
reativar e relembrar a prática. 
 
 
Fatorial de um número N é representado por N! e é dado pela fórmula: 
N! = N . (N – 1) . (N – 2) . (N –3) . ... . 1 
Exemplo 1 
Vamos calcular o fatorial de 5. 
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 → 5! = 120 
Exemplo 2 
Agora, vamos calcular o fatorial de 9. 
9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 
9! = 362880 
Como exemplo de variável binomial, temos o experimento que consiste no lançamento de 
uma moeda, no qual, em cada lance, podemos ter sucesso ou insucesso no resultado que 
desejamos. 
Para o cálculo das combinações de N elementos tomados X a X, representado por CN,X, já 
mostrado anteriormente, basta utilizarmos a fórmula: 
Cn,x = 
 
 ( ) 
 
Exemplo 3 
Cálculo da combinação de cinco elementos tomados três a três. 
C5,3 = 
 
 ( ) 
 
 
 ( )
 
C5,3 = 
 
 
 
C5,3 = 10 
Exemplo 4 
Cálculo da combinação de oito elementos tomados cinco a cinco. 
C8,3 = 
 
 ( ) 
 
C8,3 = 
 
 
 
C8,3 = 56 
Aplicação da distribuição binomial 
Agora, após recordar um pouco de matemática, vamos analisar exemplos resolvidos da 
distribuição binomial de probabilidades. 
Exemplo 5 
Vamos determinar a probabilidade de ocorrerem três vezes o n.º 6 em cinco (5) lances de um 
dado honesto. 
P(X) = C5.3 . p
3 . q5-3 
 
Lembre-se, ao jogar um dado uma única vez. a probabilidade de ocorrer qualquer resultado é 
igual a 1/6. Então, p = 1/6. Consequentemente, a probabilidade de não ocorrer esse resultado 
é igual a 5/6, pois a probabilidade de sucesso somada à probabilidade de insucesso é igual a 1 
(ou seja, 100%). Então, q = 5/6. 
 
Vamos, então, à solução do exemplo 5. 
P(X) = 
 
 ( ) 
 . (1/6) . (5/6)5-3 
P(X) = 10 . 
 
 
 
 
 
 
P(X) = 0,03215 ou 3,215% 
Exemplo 6 
Verificou-se, em uma fábrica, que, em média, 10% dos parafusos produzidos por uma 
determinada máquina não satisfazem a certas especificações. Se forem selecionados, ao acaso, 
10 parafusos da produção diária dessa máquina, determine a probabilidade de exatamente 
três serem defeituosos. 
 
Atenção: sucesso é ocorrer o que desejamos, No caso, desejamos que os parafusos 
selecionados sejam defeituosos. Portanto, na estatística o sucesso não é necessariamente a 
parte boa de um experimento. Então, p = 10% = 0, 1 e q = 90% = 0, 9. 
 
 
P(3 defeituosos) = C10.3 . (0,1)
3 . (0,9)7 
P(3 defeituosos) = 120 . 0,001 . 0,4782969 
P(3 defeituosos) = 0,0574 ou 5,74%. 
Exemplo 7 
Devido às altas taxas de juros, uma empresa informa que 30% de suas contas a receber de 
outras empresas comerciais encontram-se vencidas. Se um contador escolher, aleatoriamente, 
uma amostra de cinco contas, determine a probabilidade de exatamente 20% dessas contas 
estarem vencidas. 
Importante lembrar-se que 20% das contas escolhidas é: 
20% de 5 = 0,20 . 5 = 1 (ou seja, queremos saber a chance de uma única conta estar vencida 
dentre as cinco que foram escolhidas pelo contador). 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
Lembre-se, também, que 30% das contas estão vencidas. 
Como estamos tentando encontrar uma conta venci da, a probabilidade de sucesso é p = 30%, 
ou seja, p = 0,3. Logo, q = 0,7. 
Então: 
P(X = 1) = C5,1 . 0,3
1 . 0,75-1 
P(X = 1) = 
 
 ( ) 
 . 0,3 . 0,2401 
P(X = 1) = 5 . 0,3 . 0,2401 
P(X = 1) = 0,36015 ou 36,015% 
 
Exemplo 8 
Uma firma de pedidos pelos correios enviou uma carta circular que tem uma taxa de respostas 
de 10%. Suponha que 20 cartas circulares são endereçadas a uma nova área geográfica, como 
um teste de mercado. Considerando que na nova área é aplicável a taxa de respostas de 10%, 
determine a probabilidade, usando a fórmula de probabilidade s binomiais, de apenas uma 
pessoa responder. 
Como a probabilidade de resposta é de 10%, e o sucesso (o que queremos que aconteça) é que 
uma pessoa responda, p = 0,1, logo q = 0,9. 
A minha amostra é de 20 cartas. Então, N = 20. 
Como queremos determinar a probabilidade de uma pessoa responder, X = 1. 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
P(X = 1) = C20,1 . 0,1
1 . 0,920-1 
P(X = 1) = 
 
 ( ) 
 . 0,1 . 0,135085171 
P(X = 1) = 20 . 0,1 . 0,135085171 
P(X = 1) = 0,27017 ou 27,017% 
 
Exemplo 9 
Durante um ano particular, 70% das ações ordinárias negociadas na Bolsa de Valores do Rio de 
Janeiro tiveram sua cotação aumentada, enquanto 30% tiveram sua cotação diminuída ou 
estável. No começo do ano, um serviço de assessoria financeira escolhe dez ações como s endo 
especialmente recomendadas. Se as dez ações representam uma seleção aleatória, usando a 
fórmula de probabilidades binomiais, qual a probabilidade de que todas as dez ações 
escolhidas tenham tido suas cotações aumentadas? 
Escolhemos dez ações. Então, N = 10. 
Desejamos que as dez tenham tido sucesso, ou seja, as dez aumentaram suas cotações. Então, 
X = 10. 
A probabilidade de sucesso é de 70%, logo p = 0,7, em consequência, q = 0,3. 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
P(X = 10) = C10,10 . 0,7
10 . 0,310-10 
P(X = 10) = 
 
 ( ) 
 . 0,028248 . 1 
 
Lembre-se, o fatorial de zero, por definição, é igual a 1. 
Lembre-se, também, que qualquer número real elevado a zero é igual a 1. 
 
 
P(X = 10) = 1 . 0,028248 . 1 
P(X = 10) = 0, 028248 ou 2,8248% 
Pelo resultado, verificamos que a chance de as dez ações escolhidas terem, todas elas, as suas 
cotações aumentadas, é muito pequena. 
 Exercícios 
Nos exercícios a seguir, marque a alternativa correta. 
1. Verifica-se, em uma fábrica, que, em média, 10% dos parafusos produzidos por uma 
determinada máquina não satisfazem a certas especificações. Se forem selecionados, ao 
acaso, oito parafusos da produção diária dessa máquina, usando a fórmula de 
probabilidades binomiais, determine a probabilidade de nenhum dele s ser defeituoso. 
( ) 0,431% ( ) 4,305% ( ) 43,05% ( ) 6,498% ( ) 64,98% 
2. Em um concurso realizado para trabalhar em determinada empresa de exportação, 10% 
dos candidatos foram aprovados.Se escolhermos, aleatoriamente, dez candidatos desse 
concurso, qual a probabilidade de que exatamente dois deles tenham sido aprovados? 
( ) 0,43% ( ) 4,3% ( ) 43% ( ) 0,1937% ( ) 19,37% 
3. Em determinada turma de uma universidade, em 2006, 20% dos alunos foram reprovados 
em Matemática Comercial e Financeira. Se escolhermos, aleatoriamente, oito alunos dessa 
turma, qual a probabilidade de exatamente três desses alunos terem sido reprovados? 
( ) 32,77% ( ) 0,8% ( ) 16,39% ( ) 14,68% ( ) 7,32% 
4. Qual a probabilidade de obtermos exatamente cinco coroas em seis lances de uma moeda 
não viciada? 
( ) 9,375% ( ) 1,5625% ( ) 15,625% ( ) 10,9375% ( ) 4,375% 
5. Em um ano particular, 30% dos alunos de determinada Faculdade de Medicina do Estado 
de São Paulo foram reprovados em Clínica Geral. Se escolhermos, aleatoriamente, dez 
alunos dessa universidade que tenham cursado Clínica Geral, qual a probabilidade de 
exatamente três deles terem sido reprovados? 
( ) 14,68% ( ) 2,7% ( ) 26,68% ( ) 8,24% ( ) 10,94%