Aula 5 Zeros de função I

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Zeros de Função I 
Existência e Unicidade; Método da Bisseção 
 Existência e Unicidade 
 
 Seja 𝑓 uma função. Dizemos que 𝜉 é um zero da equação 
(ou raiz da equação) 
 
𝒇 𝒙 = 𝟎 
quando 𝑓 𝜉 = 0. 
Perguntas: 
 
• A equação tem solução? 
• A solução é única? 
 Existência e Unicidade 
 
Teorema do Valor Intermediário 
Seja 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ uma função contínua. Se 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑓 𝑏 < 0 então 
existe pelo menos um 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓 𝜉 = 0. 
 Existência e Unicidade 
Exemplo 1 
Seja a função 𝑓: (0, +∞) → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 . Verifique a 
existência de uma raiz da equação 𝑓 𝑥 = 0. 
Vamos encontrar um intervalo [𝑎, 𝑏] tal que 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑓 𝑏 < 0 e 
aplicar o Teorema do Valor Intermediário. 
• 𝑓 0.5 = −0.6931 
• 𝑓 1.5 = 0.4055 
 
 
 
 
 
 
𝑓 0.5 ⋅ 𝑓 1.5 < 0 
Logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe uma raiz no 
intervalo (0.5,1.5). 
 Existência e Unicidade 
Exemplo 2 
Seja a função 𝑓: (0, +∞) → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 1. 
Verifique a existência de uma raiz da equação 𝑓 𝑥 = 0. 
𝑥𝑙𝑛 𝑥 − 1 ⇔ ln 𝑥 =
1
𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo 𝑔 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 
e h 𝑥 =
1
𝑥
, temos os esboços 
das funções na figura ao lado. 
Logo, a raiz está na interseção 
dos gráficos e concluímos que a 
raiz está no intervalo (2,3). 
 
 Existência e Unicidade 
Exemplo 3 
Seja a função 𝑓: [0, +∞) → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 5𝑒−𝑥. Verifique 
a existência de uma raiz da equação 𝑓 𝑥 = 0. 
Podemos também tabelar alguns valores da função e verificar se 
há mudança de sinal. 
 
 
 
Pelo Teorema do Valor Intermediário temos que existe uma raiz no 
intervalo [1,2]. 
Esta raiz é única? 
 
 
𝑥 0 1 2 3 ⋯ 
𝑓(𝑥) - - + + ⋯ 
 Existência e Unicidade 
 
Teorema (Unicidade) 
Seja 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ uma função derivável. Se 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑓 𝑏 < 0 e 𝑓′ 𝑥 
não troca de sinal em (a,b), então existe uma único 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏) tal 
que 𝑓 𝜉 = 0. 
 Existência e Unicidade 
Exemplo 3 
Seja a função 𝑓: (0, +∞) → ℝ dada por 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 5𝑒−𝑥. 
Verifique a existência de uma raiz da equação 𝑓 𝑥 = 0. 
Esta raiz é única? 
𝑓′ 𝑥 =
1
2 𝑥
+ 5𝑒−𝑥 > 0, ∀ 𝑥 > 0 
Logo, pelo Teorema anterior a raiz é única. 
 
 
 Existência e Unicidade 
 
Como obter uma aproximação inicial para a raiz? 
 
• Esboçar o gráfico da função 
• Rearranjar a equação 𝑓 𝑥 = 0 de modo a obter uma equação 
do tipo 𝑔 𝑥 = ℎ(𝑥) e observar onde esses gráficos se 
interceptam. 
• Tabelar os valores da função, verificar onde há mudança de 
sinal e aplicar o Teorema do Valor Intermediário. 
 Existência e Unicidade 
Exemplo 4 
Determine o(s) intervalo(s) no(s) qual(ais) se encontram a(s) 
raiz(es) da equação x3 − 9x + 3 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Existência e Unicidade 
Exemplo 4 
Determine o(s) intervalo(s) no(s) qual(ais) se encontram a(s) 
raíz(es) da equação x3 − 9x + 3 = 0. 
 
1) Esboço do gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Existência e Unicidade 
Exemplo 4 
Determine o(s) intervalo(s) no(s) qual(ais) se encontram a(s) 
raíz(es) da equação x3 − 9x + 3 = 0. 
 
2) Rearranjar a equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥3 = 9𝑥 − 3 
→ 𝑔 𝑥 = 𝑥3 
→ ℎ 𝑥 = 9𝑥 − 3 
 
 Existência e Unicidade 
Exemplo 4 
Determine o(s) intervalo(s) no(s) qual(ais) se encontram a(s) 
raíz(es) da equação x3 − 9x + 3 = 0. 
 
2) Tabelar valores da função: 
 
 
 
Assim, pelo T. do Valor Intermediário existe uma raíz nos 
intervalos [-5,-3], [0,1] e [2,3]. 
 
Observe que essas são as únicas raízes! 
 
𝑥 -5 -3 -1 0 1 2 3 4 
𝑓(𝑥) - + + + - - + + 
 Método da bisseção 
 
 O método da bisseção é um método iterativo (também 
conhecido como um método intervalar) que parte de um intervalo 
inicial que contenha a raiz e vai refinando o intervalo até que o 
tamanho do intervalo atinja uma precisão pré-definida. 
 
Considere um intervalo [a,b] para o qual 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑓 𝑏 < 0. Uma 
primeira aproximação para a raiz é dada por 
𝑥0 =
𝑎 + 𝑏
2
 
Depois, calcula-se 𝑓(𝑥0). Se 𝑓 𝑥0 = 0, encontramos a raiz! 
 
 
 Método da bisseção 
 
Caso contrário, analisamos o sinal de 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑓(𝑥0). 
• Se 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑓 𝑥0 < 0 então 𝑓 possui uma raiz no entre 𝑎 e 𝑥0 e 
repetimos o procedimento para o intervalo [𝑎, 𝑥0]. 
• Se 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑓 𝑥0 > 0 então 𝑓 𝑏 ⋅ 𝑓 𝑥0 < 0 e 𝑓 possui uma raiz 
no entre 𝑏 e 𝑥0. Daí e repetimos o procedimento para o intervalo 
[𝑥0, 𝑏]. 
 
 
 
 Método da bisseção 
Exemplo 5 
Utilize o método da bisseção para calcular a solução da equação 
𝑒𝑥 − 𝑥 − 2 = 0 no intervalo [-2,0], com precisão 𝜖 = 10−1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Método da bisseção 
 
Critério de Parada: 
Seja 𝑥𝑘 uma aproximação para a solução da equação 𝑓 𝑥 = 0. 
 
• 𝑓 𝑥𝑘 < 𝜖 
• 𝑏𝑘 − 𝑎𝑘 < 𝜖 
• 𝑘< Número máximo de iterações 
 
 
 
 Método da bisseção 
Exemplo 5 
Utilize o método da bisseção para calcular a solução da equação 
𝑒𝑥 − 𝑥 − 2 = 0 no intervalo [-2,0], com precisão 𝜖 = 10−1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k 𝑥𝑘 𝑓(𝑥𝑘) 𝑏𝑘 − 𝑎𝑘 
0 -1 -0.632 2 
1 -1.5 -0.277 1 
2 -1.75 -0.076 0.5 
3 -1.075 0.028 0.25 
4 -1.8125 0.024 0.125 
5 -1.843975 0.00197 0.0625 
 Método da bisseção 
 
Convergência 
O método da bisseção sempre converge para a raiz. 
 
Estimativa do número de iterações 
Dada uma precisão 𝜖 e um intervalo inicial [a,b], o número mínimo 
de iterações 𝑘 do método da bisseção tal que 𝑏𝑘 − 𝑎𝑘 < 𝜖 é dado 
por 
𝑘 >
log10 𝑏 − 𝑎 − log10(𝜖)
log10(2)
 
 
 
 Método da bisseção 
Exemplo 6 
Para encontrar a raiz da equação 𝑒𝑥 − 𝑥 − 2 = 0 no intervalo [-2,0] 
com precisão 𝜖 = 10−2, quantas iterações do método da bisseção, 
no mínimo, devemos efetuar? 
 
𝑘 >
log10 0 − (−2) − log10(10
−2)
log10(2)
=
log10 2 + 2
log10(2)
= 7.64 
 
Ou seja, são necessárias, no mínimo, 8 iterações. 
 
 
 
 
 Método da bisseção 
 
Observações: 
 
• O método da bisseção sempre converge para a raiz; 
 
• As iterações não envolvem cálculos muitos laboriosos; 
 
• A convergência do método é lenta pois de (𝑏 − 𝑎) é muito 
grande e 𝜖 muito pequeno o número de iterações tende a ser 
grande. 
 
 
 Método da bisseção 
 
Algoritmo: 
Seja 𝑓 uma função contínua em [𝑎, 𝑏] e tal que 𝑓 𝑎 ⋅ 𝑓 𝑏 < 0. 
Dados iniciais: f x , 𝑎, 𝑏 e 𝜖; 
1) Se 𝑏 − 𝑎 < 𝜖 então escolha para 𝑥 qualquer número em [𝑎, 𝑏]. 
2) 𝑘 = 1 
3) 𝑀 = 𝑓 𝑎 
4) 𝑥 =
𝑎+𝑏
2
 
5) Se 𝑀 ⋅ 𝑓 𝑥 > 0 faça 𝑎 = 𝑥 e vá para o passo 7) 
6) 𝑏 = 𝑥 
7) Se 𝑏 − 𝑎 < 𝜖, escolha para 𝑥 = 𝑥. 
8) 𝑘 = 𝑘 + 1 e volte para o passo 4). 
 Método da bisseção 
Exemplo 7 
Aplique o método da bisseção para encontrar a menor raiz 
positiva da equação 𝑒𝑥 − 3𝑥 = 0, com precisão 𝜖 = 10−1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Método da bisseção 
Exemplo 7 
Aplique o método da bisseção para encontrar a menor raiz 
positiva da equação 𝑒𝑥 − 3𝑥 = 0, com precisão 𝜖 = 10−1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k 𝑥𝑘 𝑓(𝑥𝑘) 𝑏𝑘 − 𝑎𝑘 
0 0.75 -0.133 0.5 
1 0.625 -0.0067 0.25 
2 0.5625 0.0675 0.125 
3 0.59375 0.0295 0.0625 
 
 Referências Bibliográficas 
• Vera Lopes e Márcia Ruggiero. Cálculo Numérico - Aspectos 
Teóricos e Computacionais. 2. Pearson. 2000 
• Neide Franco. Cálculo Numérico. 1. Pearson Prentice Hall. 
2006 
•Selma Arenales, Artur Darezzo. Cálculo numérico : 
aprendizagem com apoio de software. 1. Thomson Learning. 
2008 
• Richard L. Burden, J. Douglas Faires. Numerical Analysis. 9. 
Cengage Learning. 2011 
• José Vargas, Luciano Araki. Cálculo Numérico Aplicado. 1. 
Manoele. 2016 
 
Profa. Dra. Julianna Pinele 
julianna.pinele@ufrb.edu.br