Apostila - Elipse

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COLÉGIO DE APLICAÇÃO – UFRJ Portal Professor /Cônicas - Elipse - 2009 
 SETOR CURRICULAR DE MATEMÁTICA www.cap.ufrj.br/matematica 
 
 
Cônicas - Elipse 
 
Sejam um plano e dois pontos distintos e fixos F1 e F2, neste plano. 
 
A cônica denominada elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois 
pontos fixos F1 e F2 é constante, ou seja, qualquer ponto P do plano que satisfaz à condição 1 2FP PF k+ =
����� ������
, 
pertence à elipse . 
 
Acesse a atividade a seguir para visualização dos conceitos apresentados: Atividade 1: Cônicas – Elipse 
 
Elementos da Elipse: 
 
Observe os elementos da elipse na figura abaixo: 
 
 
 
 
• F1 e F2 : focos 
• d (F1, F2) = 1 2FF
�����
: distância focal : 2c 
• C: centro (ponto médio de 1 2FF
�����
) 
• A1, A2, B1, B2 : vértices 
• 1 2A A
�������
 : eixo maior : 2a (contém focos e extremos) 
• 1 2B B
������
 : eixo menor : 2b (é perpendicular a 1 2A A
�������
 pelo centro C, logo 1 2 1 2A A B B 0=
������� ������
i ) 
• e : excentricidade: e = 
c
a
 
 
 
 
 
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Observações: 
1) Percebe-se que d ( F1, F2 ) < d ( A1, A2 ), isto é, 1 2 1 2FF A A<
����� �������
, portanto, 2c < 2a. 
Então, temos: c < a. Donde se conclui que 0 < e = 
c
a
 < 1. 
 
 
2) Observando o gráfico acima percebemos que 1 2 1 2A A B B>
������� ������
, daí 2a > 2b, logo, na elipse, a > b. 
 
 
3) Como A1 e A2 são pontos da elipse e 1 2A A
������
 = 2a , então se o ponto P estiver no vértice A1 ou A2 , temos 
1 2PF + PF = 2a
������ ������
 
 
 
Dedução da equação da elipse com centro em (0,0): 
 
1O caso: Eixo maior coincide com o eixo Ox 
 
Sejam P = ( x, y ), F1 = ( -c, 0 ) e F2 = ( c, 0 ). 
 
( )
1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
FP PF 2a
FP ( x c, y ) e PF c – x, y 
x 2xc c y c 2xc x y 2a
x 2xc c y 2a – c 2xc x y
x 2xc c y 4a – 4a c 2xc x y c 2xc x y
4a c 2xc x y 4a
+ =
= + = −
+ + + + − + + =
+ + + = − + +
+ + + = − + + + − + +
− + + =
����� ������
����� ������
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
 – 4cx
a c 2xc x y a – cx
a c – 2cx x y a – 2a cx c x
a c – 2a cx a x a y a – 2a cx c x
 a – c x a y a a – c 
− + + =
+ + = +
+ + = +
+ =
 
 Como 
 B1 
 
 
 
 b a 
 
 a2 = b2 + c2 
 b2 = a2 - c2 
 
 C c F2 
 
Logo, b2x2 + a2y2 = a2b2 
Dividindo o último resultado por ( : a2b2 ), temos: 
 
2 2
2 2
x y
1
a b
+ = 
 
 
 
 Equação reduzida da elipse de centro C = ( 0, 0 ) e eixo maior sobre o eixo Ox. 
 
 
 
 
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
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2o caso: Eixo maior coincide com o eixo Oy 
 
Por analogia, encontraremos: 
 
 
 Equação reduzida da elipse de centro C = ( 0, 0 ) e eixo maior sobre o eixo Oy. 
 
 
 
Acesse, Atividade 2: Cônicas – Elipse – Eixo maior sobre o eixo Ox. 
 
Acesse, Atividade 3: Cônicas – Elipse – Eixo maior sobre o eixo Oy. 
 
Acesse, Atividade 4: Cônicas – Elipse – Excentricidade 
 
Dedução da equação da elipse com centro fora da origem: 
 
 
1o caso: Eixo maior paralelo ao eixo Ox 
 
Analogamente à translação de eixos da parábola, 
temos 
 
 
 
 
 
 
 Equação da elipse de centro em 
( h, k ) e eixo maior paralelo a Ox 
 
 
 
 
2o caso: Eixo maior paralelo ao eixo Oy 
 
Analogamente, temos: 
 
 
 
 
 
 
 Equação da elipse de centro em 
( h, k ) e eixo maior paralelo a OY 
Exemplo: Dê a equação da elipse que possui as seguintes características: 
I) eixo maior paralelo a Oy; 
II) C = (4, -2); 
III) e = ½ ; 
IV) eixo menor igual a 6. 
 
 
 
2 2 2 2 2
2
a b c 4c 9 c
3c 9 c 3 a 2 3
= + ∴ = +
= ∴ = ∴ =
Informação III:
c
Sabemos que e , logo:
a
c c 1
e a 2c
a a 2
Informação IV:
O eixo menor mede 2b, assim:
2b 6 b 3
=
= ∴ = ∴ =
= ∴ =
( ) ( )2 2
Finalmente, utilizando as
informações I e II, temos:
x 4 y 2
1
9 12
− +
+ =
2 2
2 2
x y
1
b a
+ =
( ) ( )2 2
2 2
x h y k
1
a b
− −
+ =
( ) ( )2 2
2 2
x h y k
1
b a
− −
+ =