Elipse: Definição, Elementos e Equação

Prévia do material em texto

Elipse
Elipse é uma figura plana estudada em geometria analítica, classificada como uma cônica, porque ela pode ser obtida por meio da secção de um cone. Possui diversas aplicações importantes, uma delas é na análise de movimentos de astros, na vida cotidiana descreve, por exemplo, o caminho que o planeta Terra faz em seu movimento de translação. 
Analisando-a de forma analítica, ela contém elementos importantes, como os focos, o eixo maior e o eixo menor, além da distância focal, o que torna possível descrevê-la por meio de uma equação. 
Definimos a elipse como o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.
	O que é Elipse?
Conhecemos como elipse a figura plana formada pela secção entre o plano e o cone, da seguinte maneira:
Para construir a elipse, é necessário conhecer seus dois focos, F1 e F2, e o comprimento do eixo maior, que é o seguimento de reta que liga as extremidades da elipse, na imagem a seguir, representado por A1 e A2.
O comprimento do eixo maior é igual a 2a, então, a elipse é a curva formada por todos os pontos Pn em que a soma da distância do ponto até o primeiro foco (dPnF1) com a distância do ponto até o segundo foco (dPnF2) é sempre constante e igual a 2a.
 dP1F1 + dP1F2 = dP2F1 + P2F2 = dP3F1 + dP3F2 = dA1A2 = 2a
	Elementos da Elipse
Para compreender bem a formação da elipse, é necessário conhecer cada um de seus elementos. São eles os focos, o centro, o eixo maior e o eixo menor. Com base neles, é possível traçar relações importantes na elipse.
· O centro da elipse é representado pelo ponto O.
· Já os pontos F1 e F2 representam os focos de elipse.
· Os pontos A1 e A2 são extremidades do eixo horizontal da elipse, e os pontos B1 e B2 são extremidades do seu eixo vertical.
· A distância entre B1 e B2 é igual a 2b (comprimento da elipse no eixo menor).
· A distância entre A1 e A2 é igual a 2a (comprimento da elipse no eixo maior).
· A distância focal entre F1 e F2 é igual a 2c.
Observação: É importante perceber que o seguimento F1B1 tem comprimento igual à metade do eixo horizontal, ou seja, dF1B1 = a. Sendo assim, é possível perceber também uma importante relação pitagórica ao analisar o triângulo A1OB1. Note que ele é um triângulo retângulo. Sendo assim, podemos aplicar o teorema de Pitágoras.
a² = b² + c²
Existe outra possibilidade para a elipse, que é quando o maior eixo é o eixo vertical. Nesse caso, os elementos continuam os mesmos.
Nesse caso podemos aplicar o teorema de Pitágoras também, ficando da seguinte maneira:
b² = a² + c²
	Equação da Elipse
O estudo da elipse de forma analítica é feito no plano cartesiano. A geometria analítica busca descrever, por meio de equações, as figuras da geometria plana. Sendo assim, é possível descrever a figura por meio da chamada equação da elipse.
Primeiro faremos exemplos de uma elipse cujos focos estão contidos ou no eixo x ou no eixo y, ou seja, a origem da elipse coincide com a origem do plano cartesiano.
Nesse caso existem duas possibilidades, quando o eixo maior é o eixo vertical e quando o eixo maior é o eixo horizontal:
Observação: Os focos sempre estão contidos no maior eixo, então, se a > b, os focos estão contidos no eixo horizontal, e se b > a, eles estão contidos no eixo vertical.
Nem sempre o centro da elipse está na origem do plano cartesiano, o que não impede o desenvolvimento e a adaptação da equação da elipse para esse caso. Quando a elipse está deslocada da origem O (x0, y0), sua equação pode ser descrita por:
 
Exemplo 1: Encontre a equação da elipse no plano:
Note que os focos estão sobre o eixo x, logo, a > b.
Analisando a elipse, note que a = 3 e b = 2, sendo assim, temos que:
Excentricidade da Elipse
Outra relação importante é a excentricidade, quanto maior for a excentricidade, mais achatada será a elipse, a excentricidade é a razão entre comprimento c e comprimento a:
Como a > c, então, ao dividirmos c pôr a, vamos encontrar sempre um número maior que 0 e menor do que 1, ou seja, 0 < e < 1. Quanto mais próximo de 1, mais achatada será a elipse, e quanto mais próximo de 0, mais redonda será essa elipse, aproximando-se cada vez mais de uma circunferência.