A Geometria escolar em Portugal e no Brasil.

Prévia do material em texto

A GEOMETRIA ESCOLAR EM PORTUGAL E NO BRASIL: 
POSSIBILIDADES DE UM ESTUDO COMPARATIVO 
 
 
Maria Célia Leme da Silva 
GHEMAT/UNIBAN – SP 
mcelialeme@gmail.com 
 
 
 
Palavras-chave: geometria escolar, estudo histórico comparativo, história da educação 
matemática. 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 O presente artigo intenta discutir, apontar e analisar possibilidades, maneiras de 
realizar um estudo histórico comparativo, considerando a experiência vivenciada na 
investigação que teve como objetivo estudar a trajetória do ensino de geometria no 
Brasil e em Portugal, durante o Movimento da Matemática Moderna (MMM). O estudo 
em questão foi desenvolvido no âmbito do Projeto de Cooperação Internacional 
CAPES/GRICES, intitulado “A Matemática moderna nas escolas do Brasil e de 
Portugal: estudos históricos comparativos”, realizados no ano de 2006. 
 Movimento da Matemática Moderna – foi como se tornou conhecida a proposta 
de mudança curricular no ensino da matemática da educação básica, discutido ao longo 
da década de 1950 e que teve suas ações de implantação e divulgação no decorrer das 
décadas de 1960-70. Movimento de âmbito internacional, com a participação de 
profissionais de diferentes áreas, entre eles, matemáticos, educadores, pedagogos, 
psicólogos, professores e com diversas ações de elaboração, implantação e divulgação 
das propostas do MMM. Nos EUA, destaca-se a formação de grupos de estudo para 
produção de textos didáticos, entre eles, o School Mathematics Study Group (SMSG), 
criado em 1958, com financiamento da National Science Foundation (NSF) e que teve 
seus materiais traduzidos para 15 línguas diferentes (D´AMBROSIO, 1987). Na Europa, 
o Seminário de Royaumont, promovido pela Organização Européia de Cooperação 
Econômica (OECE), na França, em 1959, contou com a presença de representantes de 
dezoito países e é considerado uma referência para o início da reforma curricular na 
Europa. 
 2 
 
O ENSINO DE GEOMETRIA NO CENÁRIO INTERNACIONAL 
 
 O Movimento da Matemática Moderna visa promover mudanças significativas 
no currículo de geometria. A frase “Abaixo Euclides!” pronunciada por Dieudonné1 no 
Seminário de Royaumont torna-se emblemática no Movimento. Muitas são as 
interpretações desta frase em diferentes países, e conseqüentemente mais de uma 
proposta é apresentada para o ensino de geometria de modo a encontrar aquela que 
melhor responda aos objetivos do MMM. Entretanto, o consenso, se assim pudermos 
chamar, é que não se pode mais permanecer com a Geometria de Euclides2, com os seus 
axiomas e da forma como vinha sendo ensinada, é preciso, romper com a tradição 
escolar do ensino da Geometria de Euclides. 
 No Seminário de Royaumont, duas perspectivas diferentes são evidenciadas. A 
primeira perspectiva para o ensino de geometria, defendida por Dieudonné, trata-se de 
um programa de geometria totalmente baseado nos vetores e espaços vetorias. Dois 
princípios sustentam a proposta: o primeiro é que só podemos desenvolver uma teoria 
matemática de forma axiomática quando os estudantes já estejam familiarizados com as 
questões nas quais a teoria se aplica, o que significa, trabalhar certo tempo sobre uma 
base experimental, fazendo constantemente apelo a intuição. O segundo princípio é que 
ao introduzir a dedução lógica, devemos sempre apresentá-la com uma honestidade 
rigorosa, ou seja, sem dissimular as lacunas e problemas de raciocínio (OECE, 1961a, p. 
40). A segunda perspectiva, proposta pelo professor Botsch, defende uma concepção 
dinâmica para o ensino da geometria e propõe o estudo das transformações geométricas, 
baseada na teoria dos grupos. 
 Se Royaumont é um marco nas discussões do MMM na Europa, podemos 
considerar a Primeira Conferência Inter-Americana sobre Educação Matemática 
(CIAEM), realizada na Colômbia, em 1961, como o marco correspondente na América. 
Neste encontro, Howard Fehr é convidado a debater acerca da Reforma do Ensino da 
Geometria e aponta duas tendências. A primeira baseada na modificação dos axiomas 
de Euclides proposta por George David Birkhoff e adaptada por Edwin Moise nos 
textos experimentais utilizados nos Estados Unidos. A segunda baseada em Felix Klein 
propõe o desenvolvimento do ensino da geometria pelo grupo das transformações 
(FEHR, 1961, p. 7-8). Fehr ainda ressalta, em seu discurso, a necessidade de idéias 
 3 
novas e audazes no ensino de geometria que nos libertem de Euclides, tese já defendida 
por Dieudonné em Royaumont. Para finalizar propõe um programa de ensino de 
geometria: 
 
antes de ingressar na escola secundária, aos 11 anos ou mais, as 
crianças já devem ter adquirido uma grande quantidade de idéias 
matemáticas, todas elas de natureza física. Aproveitando esses 
conhecimentos e utilizando métodos de laboratório, o aluno pode 
adquirir e empregar toda a informação contida nos elementos de 
Euclides sobre Geometria plana e do espaço... Entre os 14 e 15 anos o 
aluno encontrará trabalho dedutivo adicional em Álgebra ao estudar 
novos sistemas numéricos e a estrutura algébrica. Aos 15 e 16 anos 
deverá ser capaz de combinar a Álgebra com a Geometria, em um 
estudo de geometria plana afim.” (FEHR, 1961, p. 15-16) 
 
 Dando continuidade às discussões iniciadas em Royaumont, a OECE organiza 
uma sessão de trabalho de 21 de agosto a 19 de setembro de 1960, na Iugoslávia, 
Seminário Dubrovnik e que tem seus resultados publicados no livro “Un programme 
moderne de mathématiques pour l´enseignement secondaire”, em 1963. Esta obra é 
traduzida pelo professor Jacy Monteiro3 e publicado no Brasil pelo GEEM4, em 1965 
com o título “Um programa moderno de matemática para o ensino secundário”. 
 Se, no Encontro de Royaumont e no I CIAEM são apresentadas e debatidas 
perspectivas teóricas para o ensino de geometria, em Dubrovnik, a preocupação é em 
como as idéias propostas anteriormente podem ser concretizadas no currículo escolar, 
ou seja, quais conteúdos devem ser destacados, quais os enfoques, quais as 
metodologias mais pertinentes para a proposta, chegando inclusive, a sugerir atividades 
para serem realizadas com os alunos. 
 Para o ensino de geometria relativo ao primeiro ciclo, as orientações são 
estabelecidas considerando três princípios: 
 
1. não empregar uma terminologia difícil e prematura. A linguagem 
matemática correta será empregada no seu devido tempo. Definir as 
palavras novas no contexto em que são empregadas; 
2. um modelo material (favorecendo a observação e a experiência) é a 
base a partir da qual pode-se desenvolver a abstração matemática.... A 
matemática é abstrata e se refere às relações entre coisas abstratas. Para 
o jovem, contudo, uma experiência concreta, rica e variada é uma etapa 
necessária à abstração; 
3. é essencial que o aluno aprenda a pensar de uma maneira criadora e 
intuitiva. Com teste fim, deve ser dado ao aluno a ocasião para formular 
 4 
problemas e expor suas soluções. Naturalmente ele errará muito e dará 
soluções não válidas. (OECE, 1965, p. 67-69) 
 
Além dos princípios, do elenco de conteúdos5 a serem desenvolvidos no 
programa moderno de matemática, a obra exemplifica como tais conteúdos devem ser 
desenvolvidos na sala de aula, ao apresentar sugestões de atividades. De modo geral, 
pode-se dizer que a grande maioria das atividades propostas para o ensino de geometria 
faz uso de materiais concretos, como varetas, varas metálicas, discos circulares de 
cartão, recipientes com formas de objetos geométricos, dobraduras. Predominam 
situações em que o aluno é levado a observar e identificar propriedades características a 
partir do material concreto e tirar conclusões, em outras palavras, realizar uma 
investigação experimental. 
 A ênfase na manipulação concreta é talque as conclusões sugerem um espaço 
particular para o desenvolvimento da nova proposta: 
 
Os métodos preconizados exigem muito material e lugar para guardá-
los. O uso cada vez mais freqüente, em certas regiões, de colocar uma 
sala unicamente à disposição das aulas de matemática, deve ser 
imitado. Primeiro, todo o material está ao alcance, o que é prático; 
segundo, os alunos têm acesso fácil aos aparelhos interessantes para a 
matemática, a qualquer momento; em terceiro lugar, existem 
inúmeras ocasiões para mostrar modelos matemáticos, gráficos, 
planos, informações, etc, que fazem da sala um lugar estimulante e 
atraente para se trabalhar. (OECE, 1965, p. 98) 
 
 Observa-se ainda que a geometria proposta em Dubrovnik é desenvolvida, no 1º 
ciclo, por meio das transformações geométricas. Na verdade, reafirma a defesa de 
Dieudonné em trabalhar numa base experimental com os alunos, de forma intuitiva, 
antes de apresentar uma teoria axiomática, a ser realizada somente no 2º ciclo. 
 Pode-se dizer que o consenso presente nos encontros internacionais que 
preconizam o MMM é que a velha e conhecida Geometria de Euclides não responde 
mais aos objetivos propostos para o ensino da matemática. Na proposta modernizadora, 
se faz necessário mudar conteúdos e metodologia para o ensino de geometria e debate-
se qual será a geometria mais adequada aos novos propósitos. Em relação aos 
conteúdos, temos diversas possibilidades: transformações geométricas, novos axiomas 
baseados nos números reais ou ainda vetores e espaços vetoriais. Na metodologia, a 
proposta é iniciar por uma geometria experimental antes de realizar a axiomatização e 
formalização, na qual o uso de materiais concretos ganha destaque especial. 
 5 
 Em síntese, o programa moderno de matemática no que diz respeito ao ensino de 
geometria propõe mudanças significativas na prática pedagógica, como alterar 
conceitos, até então arraigados ao cotidiano escolar e introduzir novos métodos de 
ensino. Enfim, uma proposta bastante desafiadora para a época. 
 
 
COMO NO BRASIL E EM PORTUGAL A PRODUÇÃO DIDÁTICA 
APROPRIA-SE DO IDEÁRIO DO MMM PARA O ENSINO DE GEOMETRIA? 
 
Antes de tratar especificamente do ensino de geometria, se faz necessária uma 
breve discussão de como se dão as primeiras ações de implementação das mudanças 
propostas pelo MMM no Brasil e em Portugal. Pode-se dizer que tanto no Brasil como 
em Portugal, o início do MMM, no que diz respeito às práticas pedagógicas das aulas de 
matemática da educação básica, é praticamente o mesmo, final do ano de 1963 e início 
de 1964. Em Portugal, no ano de 1963 é nomeada, pelo Ministro da Educação, uma 
Comissão de estudos para a modernização do ensino da Matemática, presidida por José 
Sebastião e Silva, que tem a incumbência de elaborar o material didático a ser 
experimentado, em caráter preliminar, no 6º. ano liceal6, nas turmas-piloto, a partir do 
ano letivo de 1963-64. No Brasil, o primeiro livro didático publicado com a abordagem 
moderna é escrito por Osvaldo Sangiorgi, no ano de 1963, pela Companhia Editora 
Nacional, para ser utilizado no ano letivo de 1964, destinado a 1ª. série do ginásio7. 
 As ações iniciais para a implementação do MMM em Portugal e no Brasil já nos 
revelam que, mesmo tratando-se um Movimento internacional, com objetivos gerais a 
serem atingidos por todos, a forma de apropriação é distinta, se faz necessário levar em 
consideração a cultura específica de cada país de modo a entender como o ideário do 
MMM chega as escolas. Para os objetivos desta comunicação, cabe a pergunta: E em 
relação ao ensino de geometria? Como Brasil e Portugal se posicionam frente às 
recomendações dos encontros internacionais? 
 A comparação feita das primeiras ações do MMM no Brasil e em Portugal é 
problemática pois em relação ao ensino de geometria o material produzido é 
direcionado para alunos diferenciados tanto no diz respeito à idade, como ao público-
alvo. Assim, caberá parametrizar as comparações pelos ciclos de escolaridade: o 1º 
ciclo, dos 11 aos 14 anos e o 2º ciclo, dos 15 aos 17 anos. Nesta comunicação nos 
atemos ao 1º ciclo. 
 6 
 Podemos dizer que no Brasil, a proposta modernizadora para o ensino de 
matemática é introduzida pela coleção de livros didáticos de Osvaldo Sangiorgi, e tem 
seu 1º volume publicado no ano de 1964. Os demais são publicados ano a ano, 
completando a coleção para o 1º ciclo, no 4º volume, em 1967. O ensino de geometria, 
nesta altura, é desenvolvido a partir da 3ª série ginasial (alunos de 13 anos) e é a obra de 
1966 que inaugura o ensino de geometria segundo a abordagem moderna. Na 
apresentação da obra, Sangiorgi destaca as novidades: 
 
Meu caro estudante: 
Neste livro – terceiro da série do ensino moderno da Matemática no 
Ginásio – você entrará em contato com uma porção de coisas novas. 
(...) Finalmente, vem o “bom-bocado” do livro: o estudo da 
Geometria. Agora, não será mais preciso que você decore enfadonhos 
teoremas e mais teoremas, contra o que, erradamente, alguns colegas 
mais adiantados costumavam “preveni-lo.” (Sangiorgi, 1969) 
 
De maneira geral, no que diz respeito ao ensino de geometria, Osvaldo Sangiorgi 
não abandona a Geometria de Euclides, acrescenta aos seus axiomas os postulados da 
medida, aproximando-se da proposta utilizada nos textos experimentais produzidos nos 
Estados Unidos. Há ainda uma mudança significativa na metodologia do ensino de 
geometria nos livros didáticos modernos de Sangiorgi, que passam a enfatizar o 
processo de exploração intuitiva pelo aluno e salienta a importância de que ele encontre 
sua maneira própria de realizar as demonstrações, ao invés de decorar demonstrações 
prontas. Entretanto, as demonstrações estão presentes e baseiam-se na Geometria de 
Euclides. A proposta da Geometria das transformações é apresentada no apêndice do 
livro, de maneira breve e sintética. E em Portugal? O que se faz no mesmo período e no 
mesmo ciclo? 
 No período de 1963 a 1967, em Portugal, a experiência desenvolvida com as 
turmas-piloto (alunos de 16 e 17 anos) é bem avaliada e o número de turmas amplia a 
cada ano. Entretanto, nas séries iniciais do secundário, ao que tudo indica, o processo de 
mudança curricular se dá de maneira distinta, não há trabalho experimental com alunos 
e professores previamente selecionados. Em relação aos livros didáticos, nesse período 
ainda vigora o regime do livro único, que compreende o período de 1945 a 1973 
(Almeida, 2007). Especificamente, para o ensino de geometria, nos primeiros anos do 
curso secundário, há um autor que se destaca na aprovação dos compêndios de 
geometria nos concursos para o livro único: António do Nascimento Palma Fernandes. 
 7 
 Mesmo sem termos realizado um levantamento dos manuais didáticos aprovados 
para o 1º ciclo em Portugal, durante o regime de livro único, encontramos dois 
exemplares do manual “Elementos de Geometria” de autoria de Palma Fernandes. O 
primeiro deles, é destinado aos 4º, 5º, e 6º anos dos Liceus (alunos de 14 a 16 anos), 
data de 1947 e está na 3ª edição e o segundo destinado ao 2º ciclo dos liceus (alunos de 
13 a 15 anos) em que na contra-capa apresenta a rubrica de Livro único e a referência 
“Aprovado oficialmente como livro único (D.o do G.o n.o 92, II Série, de 13 de Abril de 
1962)”. Ou seja, como a periodicidade de vigência do livro único era de 5 anos, pode-se 
dizer que enquanto no Brasil, Osvaldo Sangiorgi publica, em 1966, em sua coleção 
“Matemática Curso Moderno”, uma proposta bastante diferenciada para o ensino de 
geometria em relação a sua coleção anterior, em Portugal, as mudanças, vindas pelo 
MMM para as séries iniciais parecem demorar mais. O livro “Elementos de Geometria” 
de Paula de Fernandes,de 1962, que usamos na comparação, é destinado aos alunos do 
3º, 4º e 5º ano dos Liceus (alunos de 13 a 15 anos), ou seja, o início do ensino de 
geometria, no Brasil e em Portugal, se dá na mesma idade, 13 anos. Entretanto, o livro 
de Palma Fernandes não faz menção nenhuma às mudanças decorrentes do MMM, pelo 
contrário, traz na apresentação da obra, a seguinte nota: 
 
Nota importante 
Os teoremas, corolários e problemas cujos enunciados estão 
impressos em tipo mais forte são os indicados como obrigatórios pela 
circular no. 2026 da Direção-Geral do Ensino Liceal, de 14 de Março 
de 1956. (Fernandes, 1964, p.8) 
 
 Ou seja, a presença obra permanece em acordo com a legislação vigente. Fora 
isso, para cada ano, antes de iniciar os conteúdos, Fernandes apresenta o Programa 
estabelecido pela legislação. Outro fator importante é que os conteúdos desenvolvidos 
são bastante próximos, em ambos os países é desenvolvida a geometria plana, tanto para 
os 3º e 4º anos do Liceu, que corresponde no Brasil, como para as 3ª e 4ª série ginasial 
(ambos alunos de 13 e 14 anos). 
 O livro de Palma Fernandes desenvolve a geometria de Euclides de maneira 
tradicional, não há alterações nos axiomas, nem há apresentação de transformações 
geométricas, segue em ligação estreita o programa aprovado em 1956. Entretanto, é 
preciso salientar um capítulo introdutório do livro, denominado Conjuntos. Esse tema 
não está presente no programa oficial, e é considerado um conteúdo novo proposto pelo 
 8 
MMM, com o objetivo de que a matemática deva utilizar a linguagem moderna, que é a 
da teoria dos conjuntos. Numa primeira análise, esse parece ser o único vestígio do 
MMM presente na obra, nos demais temas, predomina o ensino da geometria de 
Euclides de uma maneira formal, com a apresentação e desenvolvimento de teoremas e 
mais teoremas, com sua dedução lógica. 
 Diante do aqui exposto, algumas questões são postas. Portugal e Brasil 
encontram-se numa fase de implementação das propostas modernizadoras do ensino de 
matemática, entretanto muitas são as diferenças identificadas, em relação ao ensino de 
geometria. Quais as razões que justificariam essa diferenciação? 
 A primeira explicação para as mudanças do ensino de geometria no Brasil e em 
Portugal acontecerem em momentos distintos por ser de como os diferentes autores que 
são considerados referências em manuais didáticos apropriam-se do MMM. Paula 
Fernandes, não está presente na Comissão que irá desenvolver o material a ser 
experimentado nas turmas-piloto. Fora isso, Sebastião e Silva – que é a liderança nesse 
momento para a implementação da proposta modernizadora – tece severas críticas à 
prática pedagógica das aulas de matemática, em particular, sobre os exercícios: 
 
Mas, visto que o objetivo fundamental é modernizar e melhorar o 
ensino (grifo do autor), pede-se a todos os leitores o obséquio de 
colaborarem nesta tarefa, fazendo uma crítica construtiva do que se 
encontra aqui exposto. O nosso ensino encontra-se viciado até à 
medula pelo sistema de exercícios em série – geralmente artificiosos, 
mecanizantes e massacrantes (como as contas no ensino primário) – 
com os quais se procura averiguar indiretamente (grifo do autor) se o 
aluno assimilou bem a matéria. É no sentido de combater este vício 
que devem convergir, em grande parte, os esforços de todos os 
professores do ensino liceal. (Silva, 1964, p. 165-166). 
 
Claro está que não há menção a nenhuma obra particular, porém Palma 
Fernandes é um dos autores que tem muitos livros publicados específicos de exercícios 
de matemática para os diferentes graus de ensino. Tudo indica que Palma Fernandes não 
é um defensor das idéias propostas pelo MMM e não chega a produzir livros com essa 
abordagem. Já Osvaldo Sangiorgi esteve nos EUA no início dos anos 1960 fazendo 
cursos de verão e toma contato com os grupos de estudos norte-americanos que 
produziam e experimentavam materiais didáticos elaborados segundo a proposta do 
MMM e ao retornar ao Brasil passa a ser o grande divulgador e defensor do 
Movimento. 
 9 
Neste sentido, é importante considerar a circulação dos autores. Sangiorgi traz 
em sua obra características de como o MMM se desenvolve nos EUA, certamente a 
opção por manter a geometria de Euclides com a inclusão dos axiomas de medidas e 
deixar a geometria das transformações para o apêndice tem uma ligação com o material 
didático produzido nos diferentes grupos de estudo com os quais mantem contato nos 
EUA. Em Portugal, quem faz a contato com os debates internacionais acerca do MMM 
é Sebastião e Silva e alguns professores dos Liceus que chegam a participar de 
congressos e seminários internacionais, porém Palma Fernandes não se encontra entre 
eles. 
 A possibilidade de comparar um mesmo momento através de duas realidades 
distintas nos ajuda a compreender melhor questões particulares de cada cultura. Valente 
ao discutir a importância da história comparativa que: 
 
Há que ser reconhecida que a produção histórica carrega uma 
tradição de ser produzida nacionalmente. Os estudos históricos 
comparativos colocam a questão do trânsito entre países, entre 
culturas, permitindo que determinados problemas sejam 
compreendidos para além do que poderiam ser os seus determinantes 
regionais. (Valente, 2006, p.5) 
 
 Ainda estabelecendo comparações sobre o ensino de geometria nos primeiros 
anos do ensino secundário, daremos um salto no tempo para o início da década de 1970, 
momento em que o MMM ganha expansão tanto no Brasil como em Portugal. Agora, a 
produção didática com as novas propostas do MMM prolifera e, eventualmente, livros 
didáticos que se destacaram nos anos de 1960, não se sustentam na década seguinte, 
outros autores se apresentam, e podemos dizer que temos um segundo momento do 
MMM, o da consolidação das propostas. 
 Chamamos a análise duas novas coleções de livros didáticos de matemática no 
Brasil e uma coleção em Portugal. A razão pela escolha de tais coleções é que ambas 
incorporam uma das propostas defendidas pelo MMM quanto ao ensino de geometria: o 
ensino das transformações geométricas. 
 No Brasil, no início da década de 1970, é publicada a coleção Curso Moderno de 
Matemática para o Ensino de 1º grau8 da coleção GRUEMA de autoria de Anna 
Averbuch, Franca Cohen Gottlieb, Lucília Bechara Sanches e Manhúcia Perelberg 
Liberman sob a supervisão de Jacy Monteiro. Nessa obra, as transformações 
 10
geométricas são incorporadas ao rol de conteúdos relacionados ao ensino de geometria, 
sem, contudo deixar de lado a geometria de Euclides. A obra apresenta claramente uma 
abordagem metodológica que convida os alunos a participar e apresenta atividades 
diversas sobre as transformações. Uma primeira análise evidencia que a inclusão dessa 
nova abordagem não é considerada no desenvolvimento da geometria axiomática, não 
apresenta relações com o ensino de geometria, fica a impressão de ser um tema a mais a 
ser trabalhado. Uma outra coleção, ainda no Brasil, publicada pela UFBa – Centro de 
Ensino de Ciências da Bahia (CECIBA), também apresenta a matemática moderna. 
Segundo LEME DA SILVA e CAMARGO (prelo): 
 
O volume II foi escrito em 1968 e o volume III em 1969, por Martha, 
Eliana, Norma, Eunice e Neide sob orientação de Catunda. Nos 
conteúdos dos três volumes que foram publicados pelo CECIBA, 
constam à inserção da teoria dos conjuntos, das estruturas, lógica e 
geometria pelas transformações geométricas, ou seja, conteúdo 
proposto pelo Movimento da Matemática Moderna. 
 
 Nessa coleção, está presente a inclusão da proposta das transformações 
geométricas, porém a maneira como ela é tratada distingue-se da utilizada pelo 
GRUEMA. Na coleção do CECIBA, a geometria é desenvolvidapelas transformações 
geométricas, não se trata de uma complementação, as transformações são apresentadas e 
incorporadas ao desenvolvimento da geometria, são utilizadas como ferramenta na 
demonstração dos teoremas. 
 E em Portugal? As transformações geométricas ganham espaço nos livros 
didáticos? A resposta é sim, num momento posterior aquele inicial. 
 Encontramos uma coleção de livros didáticos “Compêndio de Matemática” de 
autoria de António de Almeida Costa e Alfredo Osório dos Anjos, sem data de 
publicação, em que no seu II volume, encontramos as transformações geométricas. Na 
contra-capa, lê-se: “Compêndio impresso ao abrigo do Decreto-lei no. 47 587 de 10-3-
967. No prefácio, o anúncio da modernização: 
 
Se o processo de modernização do ensino da Matemática se estende a 
todos os seus ramos, no estudo da geometria “o rompimento com os 
moldes tradicionais é definitivo”. 
Deseja-se que “a uma geometria inerte suceda uma ciência dinâmica 
que, nesta primeira fase, ganhe vida no uso dos instrumentos e, uma 
vez ou outra, use processos dedutivos. A chegada ao conceito de 
vetor é a base desse dinamismo; as transformações geométricas são a 
sua filosofia própria”. (COSTA e ANJOS, s/d) 
 11
 Uma análise inicial indica que as transformações são realmente incorporadas ao 
ensino de geometria, são tratadas junto ao ensino de geometria, porém de maneira 
distinta das duas abordagens encontradas no Brasil. Uma vez mais, estamos diante de 
apropriações distintas acerca de uma mesma proposta para o ensino de geometria, o das 
transformações geométricas. Novas questões são colocadas para compreender as 
particularidades de cada uma delas. Será uma coincidência a proposta para o ensino de 
geometria incluindo transformações geométricas ser incorporada aos livros didáticos 
num momento posterior ao inicial? Quais elementos estão em jogo para a produção de 
diferentes apropriações acerca de uma mesma proposta de ensino de geometria? Alguns 
desses livros ganham destaque e tornam-se referência para o ensino de geometria da 
época? Quais os motivos que justificam a aceitação ou não da proposta modernizadora 
do ensino de geometria? 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
 Como dissemos na introdução, o presente trabalho está em fase de 
desenvolvimento. As considerações aqui levantadas sobre os livros didáticos são 
bastante iniciais. Trata-se de uma investigação que caminha em paralelo, procurando 
estudar a trajetória do ensino de geometria no Brasil e em Portugal em tempo do MMM. 
 No Brasil, duas dissertações de mestrado estão sendo desenvolvidas para 
analisar cada uma das duas coleções que introduziram o estudo das transformações 
geométricas no Brasil, sob nossa orientação. Em Portugal, pretendemos realizar um 
estudo similar, em conjunto e paralelo, de modo a compreender o significado dado por 
cada uma dessas coleções em relação ao ensino de geometria. Há ainda a necessidade de 
ampliar essa investigação para o 2º ciclo do secundário, em que as orientações são 
diferenciadas. 
 Um elemento a ressaltar nesse processo de investigação é a produção simultânea 
da pesquisa desenvolvida no Brasil e em Portugal. Não se trata de realizar estudos 
separados e num momento posterior tentar estabelecer comparações. A forma como o 
projeto vem sendo desenvolvido e a ausência de pesquisas anteriormente realizadas 
sobre a temática em ambos os países permitem que o processo seja construído com o 
uso das fontes encontradas lá e cá. Certamente, as análises, as interpretações seriam 
distintas se nos restringíssemos a um único local. Valente (2006) destaca como sentido 
 12
maior das investigações históricos-comparativas, “o desafio de pensar em investigações 
que trabalhem sem limitantes locais, regionais, com a idéia de descontinuidade”. 
 
 
1
 Jean Dieudonné pertence ao grupo de matemáticos franceses, intitulado Nicolas Bourbaki, fundado em 
1934, com a proposta de escrever uma nova obra sobre Análise Matemática. Esta proposta inicialmente 
modesta, com o passar do tempo ganha dimensão monumental, e tem como objetivo organizar a 
Matemática como um todo. A visão de Matemática expressa pelos Bourbaki, considera a Matemática 
como um edifício dotado de uma profunda unidade, sustentada pela teoria dos conjuntos e hierarquizada 
em termos de estruturas abstratas, entre elas, algébricas e topológicas. (Pour la Science, 2000, p. 32). 
2 O termo Geometria de Euclides é usada no contexto geometria baseada sobre os axiomas dos elementos 
de Euclides e Geometria Euclidiana é usada como estudo das propriedades do espaço euclidiano. (OECE, 
1965, p. 151) 
3 Luiz Henrique Jacy Monteiro (1921-1975) foi professor na Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da 
Universidade de São Paulo.Quando Jean Dieudonné visitou o Brasil em 1946, para dar curso de “Álgebra 
moderna” e “Grupos de Galois”, Jacy Monteiro exerceu a função de auxiliar de ensino daquele curso. 
(DUARTE, 2007, p. 314). Participou ativamente das atividades do GEEM, desde sua criação, ministrando 
cursos, publicando livros-textos, sendo inclusive responsável pelo Departamento de Publicações do 
GEEM (DUARTE, 2007, p. 325) 
4 GEEM – Grupo de Estudos de Educação Matemática, criado em 1961, em São Paulo, foi o grupo de 
maior repercussão, na divulgação do MMM no Brasil. 
5 A lista de assuntos estudados em geometria (para alunos de 11 a 14 anos) é: vetores, adição, subtração, 
multiplicação por um escalar; ângulo; simetria, transformações estudadas de um ponto de vista físico e 
intuitivo para a pesquisa das propriedades das figuras, as transformações serão efetuadas por meio de: a) 
papel dobrado; b) reflexão; c) rotação, d) translação, e) recorte, f) pontos espaçados regularmente sobre 
circunferências e os polígonos regulares; transformações algébricas simples, representações gráficas 
simples em álgebra, idéias fundamentais incluídas no conceito de área, de volume, teorema de Pitágoras e 
suas extensões; propriedades não métricas da reta e do plano e introdução a notação de conjuntos; 
semelhança e leis associadas nas áreas e volumes; trigonometria: seno, cosseno, tangente e suas 
aplicações e emprego de curtas “demonstrações lógicas” para justificar algumas propriedades geométricas 
vistas anteriormente numa base intuitiva (OECE, 1965, p. 69-70) 
6 Alunos de 16 anos de idade. Corresponde ao 2º.Colegial do atual Ensino Médio brasileiro. 
7 Alunos de 11 anos de idade. Corresponde ao 6º. Ano do atual Ensino Fundamental brasileiro. 
8
 Em 1971, é aprovada LDB 5691/71 – Lei de Diretrizes e Bases na Educação, que altera o sistema 
educacional brasileiro. A nova estrutura é composta de 11 anos de escolaridade, sendo que os primeiros 8 
anos correspondem ao 1o grau e os outros 3, ao 2o grau. 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
ALMEIDA, M. C. R. C. A sombra da Matemática …um contributo para a 
compreensão desta disciplina no 3.º ciclo liceal (1947-1974). Dissertação de Mestrado 
em Ciências da Educação. Universidade Lusófona de Humanidades e Tecnologias. Lisboa, 
2007. 
BOURBAKI: une société secrète de mathématiciens. Pour la Science, Paris, fev.-maio 
2000. 
COSTA, A. A. e ANJOS, A. O. Compêndio de Matemática. 1.o Ano do Ensino 
Liceal. , 2.o Volume. Porto Editora, Ltda, s/d. 
DANTAS, M.M. et al. As transformações Geométricas e o Ensino da Geometria. 
Vol. 1 e 2, Salvador:Centro Editorial e Didático da UFBA, 1996. 
 13
 
D´AMBROSIO, B. The dynamics and consequences of the modern mathematics 
reform movement for Brazilian mathematics education. Tese (Doutorado em 
Educação). Indiana University, Estados Unidos, 1987. 
DUARTE, A. R. S. Matemáticae Educação Matemática: a dinâmica de suas 
relações ao tempo do Movimento da Matemática Moderna no Brasil. Tese 
(Doutorado em Educação Matemática). São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de 
São Paulo – Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, 2007. 
FEHR, H. Reforma do ensino da Geometria. In: Education de lãs Matematicas em las 
Americas. Primeira Conferência Intermericana de Educação Matemática. Trad. 
Moema de Sá de Carvalho. Bogotá, 1961. 
FERNANDES, A. N. P. Elementos de Geometria para os 3º, 4º e 5º anos do Liceus. 
Tip. SILVA, LDA. Lisboa, 1962. 
GEEM, (Grupo de Estudos do Ensino da Matemática) Matemática Moderna para o 
Ensino Secundário. São Paulo: Série Professor, no 1, 1965. 
GRUEMA. Curso Moderno de Matemática para o Ensino do 1ª grau. 7º série. São 
Paulo:Companhia Editora Nacional, 1976. 
GUIMARÃES, H. M. Por uma matemática nova nas escolas secundárias – perspectivas 
e orientações curriculares da Matemática Moderna. In: MATOS, J.M.;VALENTE, W.R. 
(orgs.). A Matemática Moderna nas escolas do Brasil e de Portugal: primeiros 
estudos. São Paulo: Editora Da Vinci / Capes-Grices, 2007, p. 21-45. 
LEME DA SILVA, M. C. e CAMARGO, K. C. Martha Dantas – o ensino da geometria 
na Bahia. Revista Diálogo Educacional. Pontifícia Universidade Católica do Paraná. 
Curitiba. (no prelo). 
OECE, (Organização Européia para a Cooperação Econômica). Mathématiques 
Nouvelles. Paris: OECE, 1961a. 
_____ . Um programa moderno de matemática para o ensino secundário. Trad: 
MONTEIRO, L. H.J. São Paulo: GEEM – Grupo de Estudos do Ensino da Matemática, 
Série Professor, no 2, 1965. 
SANGIORGI, O. Matemática curso moderno. Companhia Editora Nacional, 6ª 
Edição, 1969. 
SILVA, J. S. Guia para a utilização do Compêndio de Matemática. (1º. Volume – 
6º. Ano). Lisboa: Ministério da Educação Nacional – O.C.D.E. – Projeto Especial STP-
4/SP/Portugal, 1964. 
VALENTE, W. R. Estudar Portugal para entender o Brasil e vice-versa: Algumas 
Considerações Sobre História Comparativa em Educação Matemática. Anais II 
Seminário Temático – A Matemática Moderna nas escolas do Brasil e em 
Portugal: Estudos históricos comparativos. Lisboa, Portugal, 2006.