AULA 1 TEORIA DOS CONJUNTOS

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Matemática para negócios
Aula 1 - Teoria dos conjuntos
INTRODUÇÃO
Nesta aula, você terá oportunidade de desenvolver o conceito e aplicações de conjuntos dos números naturais, 
apresentando as operações de adição; subtração; multiplicação e divisão, com as suas propriedades de fechamento; 
comutativa; associativa; distributiva e elemento neutro; aplicando as regras de sinais nas operações de adição; 
subtração; multiplicação e divisão para o conjunto dos números reais.
Bons estudos!
OBJETIVOS
Reconhecer a Teoria dos Conjuntos como importante para a matemática, tendo em vista que formar conjuntos de 
números é uma operação que está presente em vários aspectos de nosso cotidiano. Ela nos fornece os principais 
elementos para a linguagem que é aplicada em diversos ramos da matemática e também será útil nas relações com os 
conteúdos de outras disciplinas;
Descrever os conceitos de conjuntos, subconjuntos e operações entre conjuntos (união, interseção e complementação), 
juntamente com as regras fundamentais dessas operações;
Estabelecer relações, interpretar e utilizar os diferentes conjuntos numéricos (racionais, irracionais e reais) em contextos 
matemáticos, sociais e de outras áreas do conhecimento;
Identificar e utilizar valores aproximados para números racionais de maneira adequada ao contexto do problema ou da 
situação em estudo.
TEORIA DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
Fonte da Imagem:
Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números que guardam entre si alguma característica 
comum. Tais conjuntos possuem elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos números 
naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dos números reais.
Dessa forma, podemos classificar os conjuntos numéricos em:
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os objetos; os outros foram surgindo com 
ampliações do conjunto dos números naturais. Os demais conjuntos serão vistos a seguir.
Podemos citar, como exemplo, a necessidade de se atribuir números de telefones às pessoas.
Para se trabalhar com conjuntos, são adotados símbolos que representam os relacionamentos entre eles. Veja a seguir:
NOÇÕES SOBRE CONJUNTOS
Agora vamos conhecer alguns aspectos importantes dos conjuntos.
Conjunto vazio
É um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por:
Subconjuntos
Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um 
subconjunto de B, ou seja, A ⊂ B.
União de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∪ B por todos os 
elementos pertencentes a A ou B, ou seja:
Interseção de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como interseção dos conjuntos A e B o conjunto representado por A Ո B formado 
por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:
Diferença de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) o conjunto representado por A - B, 
formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja:
Podemos representar a união, interseção e diferença entre os conjuntos da seguinte forma:
A representação de conjuntos pode ser:
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
N é conjunto dos números naturais:
Onde n representa o elemento genérico do conjunto.
Sempre que possível, procuraremos destacar o elemento genérico do conjunto em questão.
Quando houver “...” ao final dos elementos de um conjunto, trata-se de um conjunto de infinitos elementos, como 
acontece com N.
O conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de uma reta numerada. Escolhemos sobre essa reta um 
ponto de origem (correspondente ao número zero), uma medida unitária e uma orientação (geralmente para a direita).
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes:
No conjunto dos números naturais, estão definidas duas operações:
Note que adicionando ou multiplicando dois elementos quaisquer de N, a soma ou o produto pertence igualmente a N. 
Em símbolos, temos:
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
O conjunto dos números inteiros (Z) pode ser representado por:
Todos os elementos de N pertencem também a Z, o que vale dizer que N é subconjunto de Z:
Temos também outros subconjuntos de Z:
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
O conjunto Z é fechado em relação às operações de adição, multiplicação e subtração, mas o mesmo não acontece à 
divisão.
Por esse motivo, fez-se uma ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos números racionais (Q).
O conjunto dos números racionas (Q) é inicialmente descrito como o conjunto dos quocientes entre dois números 
inteiros.
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador 
ϵ Z), ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e 
negativas.
Utilizando o elemento genérico, podemos dizer que:
Assim, podemos construir o diagrama:
No conjunto Q, destacamos os seguintes subconjuntos:
Assim, podemos escrever:
A representação decimal das frações pode ser feita da seguinte forma:
Forma decimal: divisão do numerador pelo denominador
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I)
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escritos na forma 
de fração (divisão de dois inteiros).
Vejamos alguns exemplos:
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais (I), definimos o conjunto dos números reais como:
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
Além desses (N, Z, Q, I), o conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes:
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. Como subconjuntos de “I” temos:
Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Veja alguns exemplos:
Questão 1: Sendo Np o conjunto dos números naturais pares e Ni o conjunto dos números naturais ímpares, efetue a 
operação: Np ∪ 𝐍𝐢
N*
{ }
N
N*-
Justificativa
Questão 2: Sendo Np o conjunto dos números naturais pares e Ni o conjunto dos números naturais ímpares, efetue a 
operação: Np ∩𝐍𝐢.
N*
{ }
N
N*-
Justificativa
Questão 3: Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 3, 4}, então:
A – B = {0}
A ∪B={1, 3, 4}
A ⊂ B
A ⊃ B
Justificativa
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