TEXTO_TEORIA DOS CONJUNTOS

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CENTRO UNIVERSITÁRIO CARIOCA 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
 
Unidade 2 - Categorização e teoria dos conjuntos 
 
 
Aula 2 
_______________________________________________ 
 
NOTA DE AULA Nº 2 DE RACIOCÍNIO LÓGICO 
PROF. Wagner Xantre 
 
 
TEORIA DOS CONJUNTOS 
Conceitos de conjuntos 
 Símbolos 
: pertence : existe 
: não pertence : não existe 
: está contido : para todo (ou qualquer que 
seja) 
: não está contido : conjunto vazio 
: contém N: conjunto dos números naturais 
: não contém Z : conjunto dos números inteiros 
/ : tal que 
Q: conjunto dos números 
racionais 
: implica que 
Q'= I: conjunto dos números 
irracionais 
: se, e somente se R: conjunto dos números reais 
 
 
 Conjunto e elemento são entes matemáticos de noções primitivas; ou seja, 
não necessitam de provas ou mesmo definições, bastando para isto exibirmos suas 
características corretas para que tenhamos uma idéia exata do que estamos falando. 
 Conjunto, como o próprio nome sugere, dá a idéia de agrupamento ou 
coleção, desta forma todo agrupamento de objetos, pessoas, animais e outras coisas 
quaisquer constituem um conjunto. 
 Elementos são então os itens, objetos, componentes, portanto todas as coisas 
que se agrupam e constituem um conjunto. 
 Como o conjunto é, portanto, um agrupamento e não faz diferença como 
agrupamos seus elementos a sua ordem não é relevante; ou seja, a ordem dos 
elementos não difere dois conjuntos. 
 
REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO 
 
Representação por Extensão, Enumerativa ou Tabular - Os elementos são 
dispostos entre chaves separados por vírgula ou como em uma tabela. 
 
Exemplos: 
 
{ A, B, C, D, F,. . . } ; { banana, maçã, pêra, abacate } ; 
{ domingo, segunda, . . . } etc. 
 
Representação por Diagrama de Venn - Os 
elementos são representados por ou com pontos interiores 
a uma região plana, limitada por uma linha fechada 
simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação através de Propriedades - Os elementos são obtidos através de 
uma proposição lógica, ou uma definição que caracterize o conjunto. 
 
Exemplos: 
 
 X = {x / x atende a uma determinada propriedade} 
 
(X é o conjunto dos “x” que atendem a uma determinada propriedade); 
 
{x / x é racional e maior que dois} ; {x / x é real e está estritamente entre 1 e 5} 
 
Definição 1: Conjuntos Iguais – são conjuntos que possuem exatamente os mesmos 
elementos, independente de ordem. 
 
Definição 2: Conjunto Universo (relativo) U – é o conjunto ao qual pertencem 
todos os elementos de um determinado estudo, ao qual se está 
fazendo referência; portanto: relativo ao estudo. 
 
Definição 3: Conjunto Vazio – é o conjunto que não possui elementos. 
 Representado por:∅ e { } 
 
Definição 4: Conjunto Unitário – é o conjunto que possui somente um elemento. 
 
 
RELAÇÕES ENTRE ELEMENTOS E CONJUNTOS 
∈ Pertinência – 
 
∉ 
 
Dizemos que um elemento pertence a um conjunto, quando ele 
figura, aparece ou está de acordo com a definição deste 
conjunto, caso contrário ele não pertence. 
 
 
Exemplos: 1∈ { 1 , 2 } { 1 } ∈ { 1 , { 1 } , 2 } { 1 } ∉ { 1 } 
 3 ∉{ 1 , 2 } { 2 } ∉ { 1 , { 1 } , 2 } X ∉X 
 
 
Como vemos, há conjuntos que são também elementos de outros conjuntos. 
 
 
RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS E CONJUNTOS 
⊂Continência – 
 
⊄ 
 
Dizemos que um conjunto está contido em um segundo 
conjunto, se o primeiro for vazio ou for formado por qualquer 
agrupamento de elementos do segundo conjunto; caso 
contrário ele não está contido. 
 
 
Ex: { 1 } ⊂ { 1 , { 1 } , 2 } {{ 1 }} ⊂ { 1 , { 1 } , 2} { 1 , 2 } ⊂ { 1 , { 1 } , 2 } 
 
{ 3 } ⊄ { 1 , { 1 } , 2 } {{ 3 }} ⊄ { 1 , { 1 } , 2 } { 1 , { 1 } } ⊂ { 1 , { 1 } , 2 } 
 
{ 1 , { 1 } , 2 } ⊂ { 1 , { 1 } , 2 }∅⊂ A {{{ 1 }}} ⊄ { 1 , { 1 } , 2 } 
 
Definição 6: Subconjunto e Subconjunto Próprio 
 
 Sejam dois conjuntos: A e B, se A ⊂ B dizemos que A é subconjunto de B, 
além do que podemos dizer que B ⊃ A ( B contém A ), assim como A ⊃ B (A não 
contém B). 
⊃ Contém ⊃ Não Contém 
⊇ Contém ou é Igual ⊆ Está Contido ou é Igual 
 
Seja A ⊂ B e A ≠ B dizemos que A é Subconjunto Próprio de B. 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N). 
 
{ }N = 0, 1, 2, 3, 4, 5,... 
Lembramos, ainda, um subconjunto especial de N: 
 
{ }*N = 1, 2, 3, 4, 5,... . Ele é denominado conjunto dos números naturais não-nulos. 
 
As operações de adição e multiplicação são sempre possíveis no conjunto dos 
números naturais. 
As operações de subtração e divisão nem sempre são possíveis no conjunto N. 
Para tornar possível qualquer subtração, passamos a trabalhar com o conjunto dos 
números inteiros. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z). 
 
{ }Z = ..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...− − − − 
 
Lembramos ainda: 
 
{ }*Z = ..., 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 5,...− − − − Conjunto dos números inteiros não-nulos. 
{ }Z = 0, 1, 2, 3, 4, 5,...+ Conjunto dos números inteiros não-negativos. 
{ }Z = ..., 4, 3, 2, 1, 0− − − − − Conjunto dos números inteiros não-positivos. 
{ }*Z = 1, 2, 3, 4, 5,...+ Conjunto dos números inteiros positivos. 
{ }*Z = 1, 2, 3, 4− − − − − Conjunto dos números inteiros negativos. 
 
 As operações de adição, subtração e multiplicação são sempre possíveis no 
conjunto dos números inteiros. 
 No conjunto dos números inteiros qualquer subtração é possível, porém 
algumas divisões não. 
 Para tornar possível qualquer divisão, devemos trabalhar com o conjunto dos 
números racionais. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q). 
 
Número racional é todo número que tem representação decimal finita ou infinita e 
periódica. Exemplos: 
 
- Representação decimal finita. 
 
3 3 54
 = 0,3 = 0,75 = 2,16
10 4 25
 
 
- Representação decimal infinita e periódica. 
 
5 2 45
 = 0,555... = 0,1333... = 1,363636...
9 12 33
 
 
O conjunto dos números racionais pode ser assim representado: 
3 1 3
Q = ..., 3,..., ,..., 1,...,0,..., ,..., 1,..., ,..., 2,...
2 2 2
 
− − − 
 
 
 
Ou ainda: 
 
*aQ = / a Z e b Z
b
 
∈ ∈ 
 
 
 
Lembramos ainda: 
 
{ }*Q = x Q / x 0∈ ≠ Conjunto dos números racionais não-nulos. 
{ }Q = x Q / x 0+ ∈ ≥ Conjunto dos números racionais não-negativos. 
{ }Q = x Q / x 0− ∈ ≤ Conjunto dos números racionais não-positivos. 
{ }*Q = x Q / x > 0+ ∈ Conjunto dos números racionais positivos. 
{ }*Q = x Q / x 0− ∈ < Conjunto dos números racionais negativos. 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ( I ). 
 
Número irracional é todo número que tem representação decimal infinita e não- 
periódica. Exemplos: 
 
0,323223222... 
0,0200200020002... 
0,123456... 
2 = 1,4142135...
3 = 1,7320508...
 = 3,14159265π
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R). 
 
A união do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números 
irracionais ( I ) corresponde ao conjunto dos números reais, que representamos por 
R. Veja o diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Destacamos alguns subconjuntos especiais de R: 
 
{ }*R = x R / x 0∈ ≠ Conjunto dos números reais não-nulos. 
{ }R = x R / x 0+ ∈ ≥ Conjunto dos números reais não-negativos. 
{ }R = x R / x 0− ∈ ≤ Conjunto dos números reais não-positivos. 
{ }*R = x R / x > 0+ ∈ Conjunto dos números reais positivos. 
{ }*R = x R / x 0− ∈ < Conjunto dos números racionais negativos. 
 
 
 
 
 
 
I 
N 
Z 
Q 
R 
Exercícios: 
 
1) Utilizando os símbolos ∈ (pertence ) e ∉( não pertence ), estabeleça a relação que 
existe entre: 
 
a) 7 e N d) 0,1 e Z g) 0 e Z
3
b) e N e) - 8 e Z h) 1 000 e Z
4
c) 0,5 e N 
3
 f) 0,111... e Z i) - e Z
2
 
 
2) Utilizando os símbolos ∈( pertence ) e ∉( não pertence ),estabeleça a relação que 
existe entre: 
 
a) 17 e Q f) - 1,05 e Q
b) 0,9 e Q g) 3,14159... e Q
3
c) - e Q h) 0,1
5
2345... e Q
d) 0,3 e Q i) 16 e Q
e) 7 e Q j) 5 e Q
 
 
 
3) Determine os números irracionais: 
 
a) 0 g) - 3,14
b) 0,777... h) = 3,14159265...
c) 1414414441... 
π
3
 i) 
900
d) 2 j) 2,71828182...
e) 4,0525252... l) 1,73
f) 0,54 m) - 3
 
 
 
4) Determine as sentenças verdadeiras: 
 
a) - 0,777... Q f) 5,25 N
b) 2,111... I g) 0 I
c) 0,010010001... R 
∈ ∈
∈ ∈
∈ h) 64 Q
d) Q i) - 81 Z
e) 2,151551555... I 
π
∈
∈ ∈
∈
 
 
5) Observe o diagrama abaixo e identifique as sentenças verdadeiras: 
 
a) Todo número inteiro é racional. 
b) Todo número real é racional. 
c) Toda dízima periódica é número racional. 
d) Todo número irracional é real. 
e) todo número decimal não-exato é irracional. 
f) todo número real é irracional. 
g) O número zero é real, inteiro e racional. 
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) 
a) d) g) 
b) e) h) 
c) f) i) 
∈ ∉ ∈
∉ ∈ ∈
∉ ∉ ∉
 
 
 
2) 
a) f) 
b) g) 
c) h)
d) i)
e) j) 
∈ ∈
∈ ∉
∈ ∉
∈ ∈
∉ ∉
 
 
 
3) c, d, h, j e m 
 
 
4) a, c, e, h, e i 
 
5) a, c, d, e g 
 
 
 
 
 
 
I 
N 
Z 
Q 
R