Lista 3 de matemática

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
MAT130 - Matema´tica
Lista de Exerc´ıcios 3 (Valor: 4,0 pontos)
• Todos os exerc´ıcios devem ser resolvidos utilizando o sistema Sage.
• A resposta deve ser enviada em um arquivo que deve ter um dos se-
guintes formatos: DOC, RTF, ODT, TXT, PDF.
• Para cada questa˜o, coloque na resposta a exata sequeˆncia de comandos
que voceˆ utilizou para resolveˆ-la no Sage. Espera-se que o professor
seja capaz de copiar o texto e cola´-lo no Sage, obtendo a mesma res-
posta.
• ATENC¸A˜O: A partir desta lista, passa a ser necessa´ria a
inclusa˜o do gra´fico no arquivo a ser enviado.
Questa˜o 1: Considere as seguintes func¸o˜es no intervalo −5 ≤ x ≤ 5:
(a) f(x) =
x3 − 2x + 8
x2 − 2x + 1
(b) f(x) =
x3 − 2x
x2 − x + 1
(c) f(x) =
√
x2 + 2x + 2− log(x2 − x + 1)
Em cada caso:
• Determine as ra´ızes de f(x) no intervalo considerado. Trace um gra´fico
de f(x) no intervalo considerado, destacando nesse gra´fico as ra´ızes de
f(x).
• Determine os pontos de ma´ximos e mı´nimos locais de f(x) no intervalo
considerado, indicando o mı´nimo global e o ma´ximo global. Trace o
gra´fico de f(x), destacando nesse gra´fico os pontos em que ocorrem os
ma´ximos e de mı´nimos locais de f(x).
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• Determine os intervalos em que f(x) e´ crescente e as regio˜es em que e´
decrescente.
• Determine os intervalos em que f(x) fica localmente convexa e os in-
tervalos em que fica localmente coˆncava.Trace um gra´fico de f(x) no
intervalo considerado, destacando no gra´fico os pontos que separam os
intervalos em que a func¸a˜o e´ coˆncava dos intervalos em que e´ convexa.
Todos os gra´ficos devem ser trac¸ados em escala tal que os elemen-
tos solicitados fiquem claramente vis´ıveis.
Questa˜o 2: Calcule a a´rea delimitada pelas curvas das seguintes func¸o˜es:
(a) y = x2 e y =
√
1− x2
(b) y =
√
x, y = −√x e y = −2x + 5
(c) y = x− 1 e y = log(x) + 1
Em cada caso, trace o gra´fico das func¸o˜es, de forma a que a a´rea considerada
seja visualiza´vel. Todos os gra´ficos devem ser trac¸ados em escala tal
que os pontos de intersec¸a˜o entre as curvas fiquem claramente
vis´ıveis.
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